初中数学竞赛因式分解专题
初中数学因式分解(含答案)竞赛题精选2
初中数学因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，咱们经常使用十字相乘法．某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，能够用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．咱们将上式按x降幂排列，并把y看成常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，能够看做是关于x的二次三项式．关于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也能够用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解因此，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的进程，实施了两次十字相乘法．若是把这两个步骤中的十字相乘图归并在一路，可取得以下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．双十字相乘法因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，取得一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列组成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列组成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；2．求根法形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，那么称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，那么多项式f(x)有一个因式x-a．依照因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．关于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一样方式的，但是当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，常经常使用下面的定理来判定它是不是有有理根．定理2的根，那么必有p是a0的约数，q是a n的约数．专门地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．咱们依照上述定理，用求多项式的根来确信多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．3．待定系数法在因式分解时，一些多项式通过度析，能够判定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确信，这时能够用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，依照多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方式叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9．初中数学因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，咱们经常使用十字相乘法．关于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，咱们也能够用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．咱们将上式按x降幂排列，并把y看成常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，能够看做是关于x的二次三项式．关于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也能够用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解因此，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的进程，实施了两次十字相乘法．若是把这两个步骤中的十字相乘图归并在一路，可取得以下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这确实是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，取得一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列组成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列组成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：22(3)xy+y2+x-y-2；解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．2．求根法咱们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．依照因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．关于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一样方式的，但是当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，常经常使用下面的定理来判定它是不是有有理根．定理2的根，那么必有p是a0的约数，q是a n的约数．专门地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．咱们依照上述定理，用求多项式的根来确信多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式假设有整数根，必是-4的约数，逐个查验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，因此依照定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，因此原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，专门要注意的是多项式的有理根必然是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不必然是多项式的根．因此，必需对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明假设整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式能够化为9x2-3x-2，如此能够简化分解进程．总之，对一元高次多项式f(x)，若是能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就能够够分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，如此，咱们就能够够继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方式，应用很普遍，那个地址介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式通过度析，能够判定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确信，这时能够用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，依照多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方式叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，假设原式能够分解因式，那么它的两个一次项必然是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m 和n，使问题取得解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，那么有解之得m=3，n=1．因此原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明此题也可用双十字相乘法，请同窗们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析此题所给的是一元整系数多项式，依照前面讲过的求根法，假设原式有有理根，那么只可能是±1，±7(7的约数)，经查验，它们都不是原式的根，因此，在有理数集内，原式没有一次因式．若是原式能分解，只解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，因此有由bd=7，先考虑b=1，d=7有因此原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，因此对b=-1，d=-7等能够不加以考虑．此题若是b=1，d=7代入方程组后，无法确信a，c的值，就必需将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．此题没有一次因式，因此无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使咱们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有效武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9．。
初中数学竞赛双十字相乘法因式分解练习100题及答案
初中数学竞赛双十字相乘法因式分解练习100题及答案(1)222541636089x y z xy yz xz+--+-(2)2274012742a ab b a b+-++(3)2227156381341x y z xy yz xz+---+ (4)2224985422242a b c ab bc ac+++--(5)22634455212x xy y x y+-+++ (6)24040593521m mn m n--++(7)22152********x xy y x y+-+--(8)22284233215x y z xy yz xz+--++(9)2263491413206x xy y x y--++-(10)222723531031615x y z xy yz xz+--+-(11)22203973189m mn n m n-+++-(12)22320123346m mn n m n++---(13)22546212x y x y-+-+(14)22152********x xy y x y-+-++ (15)2212104256525x xy y x y+--+-(16)222822472x xy y x y-+-+(17)2227334451818x xy y x y --++-(18)2224275351223x y z xy yz xz --+-+(19)21863733535x xy x y ++++(20)2230774931356x xy y x y ++---(21)22242312501224x xy y x y ---++(22)2230148551025m mn n m n --+-+(23)222122854424m mn n m n +---+(24)221431151421x xy y x y ++--(25)2240316624a ab b a b -+-+-(26)222212721x xy y x y--+-(27)22141122799x xy y x y -+-++(28)226520914x xy y x y -++-+(29)2214217454025p pq q p q -+-++(30)22943103326m mn n m n +-+--(31)222243524222248a b c ab bc 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z-+++ (69)(423)(263)x y z x y z++-+ (70)(36)(922)x y x y+---(71)(924)(234)a b a b--++ (72)(33)(874)x y x y--++ (73)(572)(56)x y x y+---(74)(772)(832)x y z x y z++-+ (75)(825)(476)x y x y--+-(76)(257)(632)x y x y---+ (77)(727)(436)x y x y+---(78)(72)(65)m n m n-+++(79)(867)(64)a b a b--+-(80)(572)(225)x y x y+--+ (81)(76)(843)m m n++-(82)(566)(26)x y z x y z+-++(83)(665)(7)a b c a b c----(84)(86)(524)x y z x y z+++-(85)(93)(565)x y z x y z++++ (86)(775)(654)x y z x y z--+-(87)(667)(42)x y x y++++ (88)(32)(543)x y x y-++ (89)(33)(962)x y x y++--(90)(454)(272)x y x y+-+-(91)(954)(33)a b c a b c-+--(92)(676)(356)x y x y--++ (93)(9)(334)x y z x y z+++-(94)(331)(745)x y x y-+++ (95)(343)(65)x y x y-++ (96)(673)(36)x y x y-+-+ (97)(835)(645)x y z x y z++--(98)(72)(747)p p q-+-(99)(445)(4)x y x+--(100)(82)(95)x y x---。
八年级数学(竞赛)因式分解
第一讲 分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨 视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) (上海市竞赛题)思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组；(2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多项式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学历训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝ ．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ．4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ．5．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (第13届“希望杯”邀请赛试题)6．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 7．分解因式:（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001； (4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++； (6)613622-++-+y x y xy x ．8．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．9．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．10．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x11．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定12．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（第13届“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-． 利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+第二讲 分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。
数学竞赛专题讲座---第一讲因式分解(一)
第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一：它被广泛地应用于初等数学之中：是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活：技巧性强：学习这些方法与技巧：不仅是掌握因式分解内容所必需的：而且对于培养学生的解题技能：发展学生的思维能力：都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上：对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中：我们学过若干个乘法公式：现将其反向使用：即为因式分解中常用的公式：例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)：(2)a2±2ab+b2=(a±b)2：(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)：(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2：(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)：(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数：(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)：其中n为偶数：(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)：其中n为奇数．运用公式法分解因式时：要根据多项式的特点：根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4：(2)x3-8y3-z3-6xyz：(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab：(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形：直接使用公式(5)：解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性：现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式：本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式：用它可以推出很多有用的结论：例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然：当a+b+c=0时：则a3+b3+c3=3abc：当a+b+c＞0时：则a3+b3+c3-3abc ≥0：即a3+b3+c3≥3abc：而且：当且仅当a=b=c时：等号成立．如果令x=a3≥0：y=b3≥0：z=c3≥0：则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项：从最高次项x15开始：x的次数顺次递减至0：由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)：所以说明在本题的分解过程中：用到先乘以(x-1)：再除以(x-1)的技巧：这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时：整理、化简常将几个同类项合并为一项：或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时：需要恢复那些被合并或相互抵消的项：即把多项式中的某一项拆成两项或多项：或者在多项式中添上两个仅符合相反的项：前者称为拆项：后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多：这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法：注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出：用拆项、添项的方法分解因式时：要拆哪些项：添什么项并无一定之规：主要的是要依靠对题目特点的观察：灵活变换：因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3：(2)(m2-1)(n2-1)+4mn：(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4：(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目：由于分解后的因式结构较复杂：所以不易想到添加+ab-ab：而且添加项后分成的三项组又无公因式：而是先将前两组分解：再与第三组结合：找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在：同学们需多做练习：积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体：并用一个新的字母替代这个整体来运算：从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开：是关于x的四次多项式：分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体：并用字母y来替代：于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y：则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体：比如今x2+x+1=u：一样可以得到同样的结果：有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式：然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2：则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y：则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知：用换元法分解因式时：不必将原式中的元都用新元代换：根据题目需要：引入必要的新元：原式中的变元和新变元可以一起变形：换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体：但并没有设立新元来代替它：即熟练使用换元法后：并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母：且当互换这两个字母的位置时：多项式保持不变：这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式：经常令u=x+y：v=xy：用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u：xy=v：则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2：(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4：(2)x4-11x2y2+y2：(3)x3+9x2+26x+24：(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1：(2)x4+7x3+14x2+7x+1：(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1：(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．。
初中数学因式分解竞赛题精选
1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．双十字相乘法因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；2．求根法形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．3．待定系数法在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9．初中数学因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9．。
初中数学竞赛专题培训(2)：因式分解(2)
初中数学竞赛专题培训第二讲：因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3；=(x-5y+3)(x-3y-1) =(x-1)(x-y+3) (3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．=(3x-2y+2z)(x-3y-z)2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4；=(x-3)(x^2+4x+2) =(x+2)(x-2)(x^2+3x+1)(3)4x4+4x3-9x2-x+2．=(x-1)(2x+1)(2x-1)(x+2)3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9．= (2x-3y+4)(x+3y+5) =(x^2+3)(x^2+5x-3)。
(完整)初中数学竞赛因式分解专题
初中数学竞赛专题——因式分解多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2 =(x2-xy+y2)2．。
因式分解 竞赛题集
例 2 分解因式：a3+b3+c3－3abc． 解 原式=(a+b)3－3ab(a+b)+c3－3abc =［(a+b)3+c3］－3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2－c(a+b)+c2]－3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)． 说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公
课内练习
1. 若 a+b=3,a2b+ab2=－30,则 a3+b3 的值是（
）
（A）117 （B）133
（C）－90
（D）143
2. 已知 a = 1996, b = −1994, c = 1992 ，那么 bc(b + c) + ca(c − a) − ab(a + b) 等于
_____________
=(x2+6x+8)(x2+5x+8) =(x+2)(x+4)(x2+5x+8)． 说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要， 引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．
例 4 分解因式：6x4+7x3－36x2－7x+6． 解法 1 原式=6(x4+1)＋7x(x2－1)－36x2
3. 把代数式 (x + y − 2xy)(x + y − 2) + (xy −1)2 分解成因式的乘积，应当是 。
九年级数学竞赛资料专题(二)——因式分解的9种方法
因式分解的多种方法----知识延伸，向竞赛过度1、提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式：完全平方公式、平方差公式 例一：0322=-x x解：()032=-x x ，01=x ，232=x 这是一类利用因式分解的方程。
总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解a x =时，该式分解后必有一个()a x -因式,这对我们后面的学习有帮助。
2、公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。
注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式。
3、十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。
注意：它不难。
这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数1a ，2a 的积21a a ⋅，把常数项c 分解成两个因数1c ，2c 的积21c c ⋅，并使1221c a c a +正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例二： 把3722+-x x 分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1；分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况：经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式()02≠++a c bx ax ，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即21a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即21c c c =，把1a ，2a ，1c ，2c ，排列如下：1a 1c╳2a 2c1221c a c a +按斜线交叉相乘，再相加，得到1221c a c a +，若它正好等于二次三项式c bx ax ++2的一次项系数b ，即1221c a c a +b =，那么二次三项式就可以分解为两个因式11c x a +与22c x a +之积，即 c bx ax ++2()()2211c x a c x a ++=这种方法要多实验，多做，多练。
初中数学因式分解含竞赛题
初中数学因式分解(二 ) 1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．某些二元二次六项式2 2(ax +bxy+cy +dx+ey+f) ，可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2 2．我们将上式按x 降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为2x -7xy-22y -5x+35y-32 22x -(5+7y)x-(22y -35y+3) ，可以看作是关于x 的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y 的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为2即： -22y +35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x 的二次三项式分解所以，原式 = ［ x+(2y-3) ］［ 2x+(-11y+1) ］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下列图：它表示的是下面三个关系式：22(x+2y)(2x-11y)=2x -7xy-22y；2(x-3)(2x+1)=2x -5x-3 ；2(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3 ．双十字相乘法因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解 ax2 +bxy+cy 2，得到一个十字相乘图 (有两列 )；(2) 把常数项f 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．Word 文档例 1 分解因式：22； 22；(1)x -3xy-10y +x+9y-2 (2)x -y +5x+3y+4 2(3)xy+y +x-y-2 ； 2 ．求根法nn-1x+a (n 非 整数 )的代数式称 关于x 的一元多 式，并用f(x)，g(x) ，⋯等 号表示，形如 a x +an-1x +⋯+an 1252如 f(x)=x -3x+2 ，g(x)=x +x +6 ，⋯，当 x=a ，多 式 f(x)的 用 f(a)表示．如 上面的多 式f(x) 2f(1)=1 -3 ×1+2=0 ；2f(-2)=(-2) -3 ×(-2)+2=12 ．假设 f(a)=0 ， 称 a 多 式f(x)的一个根．定理 1( 因式定理 ) 假设 a 是一元多 式 f(x)的根，即 f(a)=0 成立， 多 式 f(x)有一个因式x-a ． 根据因式定理， 找出一元多 式 f(x)的一次因式的关 是求多 式f(x)的根． 于任意多 式 f(x)，要求出它的根 是没有一般方法的，然而当多 式f(x)的系数都是整数 ，即整系数多 式 ， 常用下面的定理来判定它是否 有有理根． 定理 2的根， 必有p 是 a 0的 数， q 是 a n 的 数．特 地，当 a 0 =1 ，整系数多 式 f(x)的整数根均 a n 的 数． 我 根据上述定理，用求多 式的根来确定多 式的一次因式，从而 多 式 行因式分解．Word 文档3 2例2 分解因式： x -4x +6x-4 ．4 3 2例 3 分解因式： 9x -3x +7x -3x-2．Word 文档3．待定系数法在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组 )，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．2 2例 4 分解因式： x +3xy+2y +4x+5y+3．4 3 2例 5 分解因式： x -2x -27x -44x+7．Word 文档练习二1．用双十字相乘法分解因式：2 2；2；(1)x -8xy+15y +2x-4y-3 (2)x -xy+2x+y-3222(3)3x -11xy+6y -xz-4yz-2z．2．用求根法分解因式：3 2；4 3 2；(1)x +x -10x-6 (2)x +3x -3x -12x-4432(3)4x +4x -9x -x+2 ．3．用待定系数法分解因式：2 2；4 3．(1)2x +3xy-9y +14x-3y+20 (2)x +5x +15x-9 Word 文档初中数学因式分解(二 ) 1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式2 2(ax +bxy+cy +dx+ey+f) ，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2 2．我们将上式按x 降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为2x -7xy-22y -5x+35y-32 2，2x -(5+7y)x-(22y -35y+3)可以看作是关于x 的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y 的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为2即： -22y +35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x 的二次三项式分解所以，原式 = ［ x+(2y-3) ］［ 2x+(-11y+1) ］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下列图：它表示的是下面三个关系式：22(x+2y)(2x-11y)=2x -7xy-22y；2(x-3)(2x+1)=2x -5x-3 ；2(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3 ．这就是所谓的双十字相乘法．Word 文档用双十字相乘法对多项式2 2进行因式分解的步骤是：ax +bxy+cy +dx+ey+f(1)用十字相乘法分解 ax2 +bxy+cy 2，得到一个十字相乘图 (有两列 )；(2) 把常数项 f 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例 1 分解因式：2 2；(1)x -3xy-10y +x+9y-22 2；(2)x -y +5x+3y+42(3)xy+y +x-y-2 ；解(1)原式 =(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式 =(x+y+1)(x-y+4)．(3) 原式中缺2项，可把这一项的系数看成0 来分解．x原式 =(2x-3y+z)(3x+y-2z)．Word 文档2 ．求根法我 把形如nn-1x+a (n 非 整数 )的代数式称 关于x 的一元多 式，并用 f(x)， g(x)，⋯等 号a x +an-1 x + ⋯+an1表示，如252f(x)=x -3x+2 ，g(x)=x +x +6 ，⋯，当 x=a，多 式 f(x)的 用 f(a)表示．如 上面的多 式f(x)2-3 ×1+2=0 ；f(1)=12×(-2)+2=12 ．f(-2)=(-2) -3假设 f(a)=0 ， 称 a 多 式 f(x)的一个根．定理 1( 因式定理 ) 假设 a 是一元多 式 f(x)的根，即 f(a)=0 成立， 多 式 f(x)有一个因式 x-a ．根据因式定理， 找出一元多 式 f(x)的一次因式的关 是求多 式f(x)的根． 于任意多 式 f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多 式f(x)的系数都是整数 ，即整系数多 式 ， 常用下面的定理来判定它是否有有理根． 定理 2的根， 必有p 是 a 0的 数， q 是 a n 的 数．特 地，当 a 0 =1 ，整系数多 式 f(x)的整数根均 a n 的 数．我 根据上述定理，用求多 式的根来确定多 式的一次因式，从而 多 式 行因式分解． 32例 2 分解因式： x -4x +6x-4 ．分析 是一个整系数一元多 式，原式假设有整数根，必是-4 的 数，逐个 -4 的 数：± 1，±2，±4，只有32+6 ×2-4=0 ，f(2)=2 -4 ×2即 x=2 是原式的一个根，所以根据定理 1，原式必有因式 x-2 ．解法 1 用分 分解法，使每 都有因式(x-2) ．322原式 =(x -2x )-(2x -4x)+(2x-4)2=x (x-2)-2x(x-2)+2(x-2)2=(x-2)(x -2x+2) ．解法 2 用多 式除法，将原式除以(x-2) ， 所以2 ．原式 =(x-2)(x -2x+2)明 在上述解法中，特 要注意的是多 式的有理根一定是-4 的 数，反之不成立，即-4 的 数不一定是多式的根．因此，必-4 的 数逐个代入多 式 行 ．Word 文档例 34 3 2．分解因式： 9x -3x +7x -3x-2分析因为 9 的约数有± 1，±3，±9； -2 的约数有± 1，±为：2所以，原式有因式9x -3x-2 ．432解9x -3x +7x -3x-24322=9x -3x -2x + 9x -3x-2232=x (9x -3x-2)+9x-3x-222=(9x -3x-2)(x +1)2=(3x+1)(3x-2)(x+1)说明假设整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式2可以化为9x -3x-2 ，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a) ，那么 f(x)就可以分解为(x-a)g(x) ，而 g(x)是比 f(x) 低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x) 进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组 )，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例 42 2．分解因式： x +3xy+2y +4x+5y+3分析由于2 2，(x +3xy+2y )=(x+2y)(x+y)假设原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m 和 x＋y＋ n 的形式，应用待定系数法即可求出m 和n，使问题得到解决．解设22x +3xy+2y+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)2 2，=x +3xy+2y +(m+n)x+(m+2n)y+mn比拟两边对应项的系数，那么有Word 文档解之得 m=3 ， n=1 ．所以原式 =(x+2y+3)(x+y+1)．说明此题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例 54 3 2．分解因式： x -2x -27x -44x+7分析此题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，假设原式有有理根，那么只可能是±1，±7(7 的约数 )，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为22(x + ax+b)(x +cx+d) 的形式．解设22原式 =(x +ax+b)(x +cx+d)432=x +(a+c)x +(b+d+ac)x +(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7 ，先考虑 b=1 ， d=7 有所以22原式 =(x -7x+1)(x +5x+7) ．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1 ，d=-7等可以不加以考虑．此题如果b=1 ，d=7 代入方程组后，无法确定 a， c 的值，就必须将bd=7 的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．此题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：2 2；2；(1)x -8xy+15y +2x-4y-3 (2)x -xy+2x+y-3 Word 文档.222(3)3x -11xy+6y -xz-4yz-2z．2．用求根法分解因式：3 2；4 3 2；(1)x +x -10x-6 (2)x +3x -3x -12x-4432(3)4x +4x -9x -x+2 ．3．用待定系数法分解因式：2 2；4 3．(1)2x +3xy-9y +14x-3y+20 (2)x +5x +15x-9 Word 文档.单纯的课本容，并不能满足学生的需要，通过补充，到达容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。
初中数学竞赛专题6：因式分解
专题6：因式分解第1讲 因式分解赛题练习一、选择题1．（第17届希望杯竞赛题）若22222006200620072007m =+⨯+，则m （ ） A ．是完全平方数，还是奇数 B ．是完全平方数，还是偶数 C ．不是完全平方数，但是奇数D ．不是完全平方数，但是偶数2．（第17届希望杯竞赛题）There is a two-placed number 10ab a b =+satisfying that ab ba + is a complete square number ，then total number of those like ab is （ ） A ．4B ．6C ．8D ．10（英汉词典：two-placed number 两位数；number 数；to satisfy 满足；complete square 完全平方（数）；total 总的，总数）3．（2005年全国初中数学竞赛题）若223894613M x xy y x y =-+-++（x ，y 是实数），则M 的值一定是（ ） A ．正数B ．负数C ．零D ．整数4.（北京市竞赛题）44a +分解因式的结果是（ ） A.()()222222a a a a +--+ B.()()222222a a a a +--- C.()()222222a a a a ++--D.()()222222a a a a ++-+5.（2006年希望杯竞赛题）实数320052005m =-，下列各数中不能整除m 的是（ ） A.2006B.2005C.2004D.20036.（2005年武汉市竞赛题）若3234x kx -+被31x -除后余3，则k 的值为（ ） A.2B.4C.9D.107.（第13届希望杯竞赛题）已知a b c >>，222M a b b c c a =++，222N ab bc ca =++，则M 与N 的大小关系是（ ） A.M N <B.M N >C.M N =D.不能确定8.（美国犹他州竞赛题）322136x x x +-+的因式是（ ） A.21x - B.2x + C.3x -D.21x +E.21x +9.（2005年全国初中数学竞赛题）若22389M x xy y =-+-4613x y ++（x 、y 是实数），则M 的值一定是（ ） A.正数B.负数C.零D.整数10.（武汉市竞赛题）如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（ ） A.7 B.8C.15D.21二、填空题11．（第7届五羊杯竞赛题）把()()()()16a b c d b c a d c a b d a b c d abcd ++++--+--+--+因式分解为________．12．（第18届五羊杯竞赛题）在实数范围内分解因式：432344x x x x +---=________． 13．（第18届五羊杯竞赛题）分解因式：2226773x xy y x y --+++=________．14．（2004年全国初中数学竞赛题）已知实数a ，b ，x ，y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=________．15．（2007年全国初中数学联赛题）若10064a +和20164a +均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是________．16.（北京市竞赛题）已知222246140x y z x y z ++-+-+=，则2002()x y z --=__________. 17.（2004年广西竞赛题）已知()22210x y x y +--+=，则()999x y +=__________.18.（北京市竞赛题）1~100若存在整数n ，使2x x n +-能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有____________个.19.（郑州市竞赛题）分解因式：22423a b a b -+++=_______________________________________. 20.（2004年河南省竞赛题）分解因式：229643x x y y --+-=_______________________________. 21.（第16届希望杯竞赛题）分解因式：()()221ab a b a b +-++=_____________________________. 22.（2004年全国初中数学竞赛题）已知实数a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=___________________.23.（第15届江苏省竞赛题）已知26x x +-是多项式43221x x ax bx a b +-+++-的因式，则a =___________，b =___________.24.（第18届五羊杯竞赛题）在实数范围内分解因式：432344x x x x +---=___________. 25.（大连市第8届育英杯竞赛题）分解因式：()()112x x y y xy -++-=____________. 三、解答题26．（1991年黄冈初中数学竞赛题）已知a 是自然数，且3221215a a a +-+表示质数，求这个质数．27．（1999年天津市数学竞赛题）当k 为何值时，多项式222352x xy ky x y -++-+能分解成两个一次因式的积？28．（第9届华杯赛总决赛题）计算；()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++．29．（第10届希望杯竞赛题）272-1能被500与600之间的若干整数整除，请找出三个这样的整数，它们是________．30．（第10届希望杯竞赛题）若233x x x k +-+有一个因式是x +1，求k 的值．31．（第6届希望杯竞赛题）计算：2211100.010.01101001000⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．32．（第9届五羊杯竞赛题）当n =1，x =2时，求多项式51n n x x ++的两个因式的和．33．（2000年美国犹他州中学数学竞赛题）如果328x ax bx +++有两个因式x +1和x +2，求a +b 的值．34．（第5届美国数学邀请赛试题）计算：()()()()()()()()()()44444444441032422324343244632458324432416324283244032452324++++++++++．35．（第37届美国中学生数学竞赛题）设543269569106910695691N =+⨯+⨯+⨯+⨯+．问：有多少个正整数是N 的因数？36．（第9届莫斯科奥林匹克试题）证明：对任何整数x 和y ，343223453515412x x y x y x y xy y +--++的值都不会等于33．37．（第37届美国中学生数学竞赛题）已知b ，c 是整数，二次三项式2x bx c ++既是42625x x ++的一个因式，也是4234285x x x +++的一个因式，求当x =1时，2x bx c ++的值．38.（祖冲之杯竞赛题）分解因式：32539x x x ++-.39.（北京市竞赛题）证明恒等式：()244422()2a b a b a ab b +++=++.40.（江苏省竞赛题）已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，求22x y +的值.41.（希望杯竞赛题）分解因式：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-.42.（第12届五羊杯竞赛题）分解因式：()()42424310x x x x +-+++.43（2006年希望杯培训题）计算：32322007220072005200720072008-⨯-+-.44.（太原市竞赛题）已知关于x 、y 的二次式22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式的乘积，求a 的值.45.（2005年莫斯科市竞赛题）对方程22222004a b a b ++=，求出至少一组整数解.46.（2006年创新杯培训题）已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，求n .47.（2006年全国初中数学竞赛题）计算 (252)(472)(692)(8112)(200420072)(142)(362)(582)(7102)(200320062)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯+48.计算：（1）（第15届希望杯竞赛题）2220034004200320024008200320042003300520032003200520053005-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯；（2）（第九届华杯赛竞赛题）()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++49.分解因式： （1）4464a b +； （2）4224x x y y ++； （3）()2222(1)x x x x ++++；（4）（昆明市竞赛题）()()()24c a b c a b ----；（5）（第15届希望杯竞赛题）432234232a a b a b ab b ++++； （6）（重庆市竞赛题）32256x x x +--.50.（重庆市竞赛题）分解因式： （1）224443x x y y --+-； （2）343115x x -+.问题解决例1.分解因式：()()()3332332125x y x y x y -+---=______. 例2.把下列各式分解因式： （1）()()22525312x x x x ++++-； （2）()()()()21236x x x x x +++++； （3）()()()()211x y x y xy xy xy +++++-.例3.阅读理解：观察下列因式分解的过程： （1）244x xy x y -+-原式()()()()()()24444x xy x y x x y x y x y x =-+-=-+-=-+. （2）2222a b c bc --+原式()()()()222222a b c bc a b c a b c a b c =-+-=--=+--+.第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式.仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： （1）2a ab ac bc -+-； （2）22244x y z yz --+.例4.分解因式：326116x x x +++.例5.把下列各式分解因式： （1）261110y y --； （2）22823x xy y --.数学冲浪 知识技能广场1.分解因式：（1）()()22162x x x ---=______； （2）()()4a b a b ab --+=______； （3）276ax ax a -+=______. 2.分解因式：（1）3222a ab a b +-=______；（2）()()21211x x ---+=______； （3）2221a ab b -+-=______； （4）2244x y x --+=______. 3.分解因式：（1）323412x x x +--=______； （2）()()2223238x xx x +-+-=______.4.若()()23x x m x x n ++=-+对x 恒成立，则n =______.5.把多项式22344x y xy x --分解因式的结果是（ ）. A.()34xy x y x --B.()22x x y --C.()2244x xy y x --D.()2244x xy y x --++6．()()()()()()656565323322134x x x x x x x xx +-+++-+++-与下列哪一个式子相同（ ）.A.()()653421x x x -+ B.()()653423x x x -+ C.()()653421x x x --+D.()()653423x x x --+7．把多项式22243x y x y ----因式分解之后，正确的结果是（ ） A.()()31x y x y ++-- B.()()13x y x y +--+ C.()()31x y x y +--+D.()()13x y x y ++--8．已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ） A.3个B.4个C.6个D.8个9．先阅读以下材料，然后解答问题.分解因式：()()()()mx nx my ny mx nx my ny x m n y m n +++=+++=+++=()()m n x y ++；也可以()()()()()()mx nx my ny mx my nx ny m x y n x y m n x y +++=+++=+++=++. 以上分解因式的方法称为分组分解法. 请用分组分解法分解因式：3322a b a b ab -+-.10.分解因式：（1）22463a b a b -+-；（2）222944a b bc c -+-； （3）()()()2a c a c b b a +-+-； （4）()()221212x x x x ++++-； （5）()22223122331x x x x -+-+-； （6）()()()213512x x x -+++.思维方法天地11.分解因式：()()()()()12345x x x x x x ++++++=______. 12.分解因式：()()()33322x y x y -----=______.13.已知()()()()1931131713171123x x x x -----可因式分解为()()8ax b x c ++，其中a ，b ，c 均为整数，则a b c ++=______.14.已知1x -得多项式33x x k -+的一个因式，那么k =______；将这个多项式分解因式，得______. 15.44a +分解因式的结果是（ ）.A.()()222222a a a a +--+B.()()222222a a a a +---C.()()222222aa a a ++-- D.()()222222aa a a ++-+16．实数320052005m =-，下列各数中不能整除m 的是（ ） A.2006B.2005C.2004D.200317．已知3a b -=，5b c +=-，则代数式2ac bc a ab -+-的值为（ ） A.15-B.2-C.6-D.618．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三边长，且满足()222220a b c b a c ++-+=，则此三角形是（ ）. A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不能确定19．分解因式：（1）224443x x y y --+-；（2）()()()2221x y xy x y xy +-+-+-； （3）343115x x -+； （4）32539x x x ++-.应用探究乐园20.已知在ABC ∆中，三边长a ，b ，c 满足等式222166100a b c ab bc --++=.求证：2a c b +=.21.下金蛋的鸡法国数学家费马（1601-1665）一生中提出了不少猜想，最著名的是“费马大定理”：关于x ，y ，z 的方程n n n x y z +=（n 为大于2的整数）没有正整数解.直到350年之后，这个猜想才由英国数学家怀尔斯（1953— ）于1994年证明.德国数学家希尔伯特（1862-1943）将费马大定理称为“一只会下金蛋的鸡”，因为在攻克它的漫漫征程中，不但引出了许多数学概念和方法，而且促进了一些新的分支的创立和发展.这些远比证明定理本身更重要！不过费马的猜想并不总是正确的.他考察了12215+=，222117+=，3221257+=，422165537+=，发现结果都是素数（也称质数），于是猜想：对任意正整数n ，221n+（即()221n+）都是素数.瑞士数学家欧拉（1707-1783）指出，5221+并不是素数.我国数学家华罗庚（1910—1985）在他的著作《数论导引》中给出一种简明的证法：设72a =，5b =，可算得()524442111ab a a b +=++-，可见5221+必有除1和本身以外的约数______（填较简单的一个，用含a ，b 的式子表示），即5221+能被______整除（填入具体数值），所以不是素数.第2讲 因式分解的应用赛题练习1.（2004年重庆市竞赛题）已知2310x x x +++=，则220041x x x ++++的值为（ ）A.0B.1C.1-D.20042.（第19届江苏省竞赛题）若432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，则:a b 的值是 （ ） A.2-B.12-C.6D.43.（第14届希望杯竞赛题）若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值为（ ） A.0B.1-C.1D.34.（第17届江苏省竞赛题）a 、b 、c 是正整数，a b >，且27a ab ac bc --+=，则a c -的值为（ ） A.1-B.1-或7-C.1D.1或75.（中学生智能通讯赛试题）设()()322320042003200420052003200220012002a -⨯+=⨯--，()()322320052004200520062004200320022003b -⨯+=⨯--，则a 、b 的大小关系是（ ） A.a b >B.a b =C.a b <D.不能确定6.（湖北省竞赛题）设a 是正数，且21a a -=，那么224a a-的值为（ ） A.3-B.1C.3D.57.（2005年全国初中数学竞赛题）已知2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭，则与A 最接近的正整数是（ ） A.18B.20C.24D.258.（2007年全国初中数学竞赛题）方程323652x x x y y ++=-+的整数解(),x y 的个数是（ ） A.0B.1C.3D.无穷多9.（第17届希望杯竞赛题）若22222006200620072007m =+⨯+，则m （ ） A.是完全平方数，还是奇数 B.是完全平方数，还是偶数 C.不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数10.（2002年全国初中数学联赛题）若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为（ ） A.1B.0C.1-D.2-11.（2003年全国初中数学联赛题）满足等式2003=的正整数对(),x y 的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412.（第14届希望杯竞赛题）已知54410a a b a a b --+--=，且231a b -=，则33a b +的值为___________.13.（全国初中数学竞赛题）已知a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222ab xy ab x y +++=___________.14.（第17届希望杯竞赛题）A 、n 都是自然数，且21526A n n =++是一个完全平方数，则n =_____________.15.（四川省竞赛题）对一切大于2的正整数n ，数5354n n n -+的最大公约数是____________. 16.（2001年全国初中数学联赛题）一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为___________.17.（第9届华杯赛试题）a 、b 、c 是正整数，并且满足等式12004abc ab ac bc a b c +++++++=，那么a b c ++的最小值是__________.18.（祖冲之杯竞赛题）整数a 、b 满足6910303ab a b =-+，则a b +=___________.19.（第18届五羊杯竞赛题）若P 是两位的正整数，则以下等式中有可能成立的式子的个数是______________.①22006(34)(59)x Px x x ++=--； ②22006(17)(118)x Px x x ++=--； ③22006(34)(59)x Px x x --=+-； ④22006(17)(118)x Px x x --=+-； ⑤22006(1)(2006)x Px x x +-=-+.20.（2001年全国初中数学联赛题）若214x xy y ++=，228y xy x ++=，则x y +的值为___________. 21.（2005年四川省竞赛题）对于一个正整数n ，如果能找到正整数a 、b ，使得n a b ab =++，则称n 为一个“好数”，例如31111=++⨯，3就是一个“好数”，那么，在1~20这20个正整数中，好数有___________个.22.（2004年北京市竞赛题）已知x 、y 为正整数，且满足22222341x y x y +=+，则22x y +__________. 23.（第10届希望杯竞赛题）7221-能被500与600之间的若干整数整除，请找出3个这样的整数，它们是__________.24.（2008年天津市竞赛题）已知4个实数a 、b 、c 、d ，且a b ≠，c d ≠.若4个关系式：22a ac +=，22b bc +=，24c ac +=，24d ad +=同时成立，则6232a b c d +++的值为___________. 25.（五城市联赛题）若a 是自然数，则4239a a -+是质数还是合数？给出你的证明.26.（全国初中数学联赛题）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是()911145mn m n +++元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数.27.（2006年俄罗斯萨温市竞赛题）（1）证明：19992000200120032004200536⨯⨯⨯⨯⨯+是一个完全平方数.（2）证明：数848497n n ++-对于任何自然数n 都能被20整除.28.（江苏省竞赛题）（1）证明：791381279--能被45整除；（2）证明：当n 为自然数时，()221n +形式的数不能表示为两个整数的平方差；（3）计算：44444444441111124681044444111111357944444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭29.（2005年太原市竞赛题）二次三项式22x x n --能分解为两个整系数一次因式的乘积. （1）若130n ≤≤，且n 是整数，则这样的n 有多少个？ （2）当2005n ≤时，求最大的整数n .30.（重庆市竞赛题）按下面规则扩充新数：已有两数a 、b ，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，在a 、b 、c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4. （1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； （2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.问题解决例1.方程2270xy x y --+=的整数解（x y ≤）为______. 例2.1621-能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是（ ）. A.6 B.5 C.4 D.3例3.计算：（1）2220034004200320024008200320042003300520032003200520053005-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯；（2）()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++. 例4.设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数.例5.已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，求n 的值.例6.（1）实数x ，y 满足221252810x xy y y ++-+=，则22x y -=______.（2）在平面直角坐标系中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标(),x y 的个数为（ ）. A.10B.9C.7D.5数学冲浪 知识技能广场1.设y ax =，若代数式()()()23x y x y y x y +-++化简的结果为2x ，则a =______.2.如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为______. 3.如果实数x ，y 满足方程组1,2225,x y x y ⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩那么22x y -的值为______.4.已知2m ≥，2n ≥，且m ，n 均为正整数，如果将n m 进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述：（1）在52的“分解”中最大的数是11； （2）在34的“分解”中最小的数是13；（3）若3m 的“分解”中最小的数是23，则m 等于5. 其中正确的是______.5.若实数x ，y ，z 满足()()()240x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是（ ） A.0x y z ++= B.20x y z +-= C.20y z x +-=D.20z x y +-=6．边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（ ） A.140B.70C.55D.247．设n 为某一自然数，代入代数式3n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中正确的结果是（ ）. A.5814B.5841C.8415D.84518．a ，b ，c 是正整数，a b >，27a ab ac bc --+=，则a c -等于（ ） A.1- B.1-或7- C.1 D.1或79．计算：（1）32322004220042002200420042005-⨯-+-； （2）44444444441111124681044444111111357944444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.10.选取二次三项式()20ax bx c a ++≠中的两项，配成完全平方式的过程叫配方. ①选取二次项和一次项配方：()224222x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：(()22424x x x x -+=+，或((32424x x x x -+=-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-.根据上述材料，解决下面的问题.（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方；（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值.思维方法天地11.若两个不等实数m ，n 满足22m m a -=，22n n a -=，225m n +=，则实数a 的值为______. 12.已知a ，b ，x ，y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，则()()2222a b xy ab x y +++=______. 13.整数x ，y 满足方程283xy x y ++=，则x y +=______.14.A ，n 都是自然数，且21526A n n =++是一个完全平方数，则n =______. 15.若22222006200620072007m =+⨯+，则m （ ）. A.是完全平方数，还是奇数 B.是完全平方数，还是偶数 C.不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数16．设n 为某一正整数，代入代数式2n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中仅有一个是正确的，则这个正确的结果是（ ） A.7770B.7775C.7776D.777917．方程222334x xy y ++=的整数解(),x y 的组数为（ ）. A.3B.4C.5D.618．黑板上写有1，12，…，1100共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数a ，b ，然后删去a ，b ，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后黑板上剩下的数是（ ）. A.2012B.101C.100D.9919．已知()()222012a b c b a c +=+=，且a b ≠，求()2c a b +的值.20.计算：()()()()()()()()()()424242424242424242422214416618881010133155177199111111++++++++++++++++++++.应用探究乐园21.当我们看到下面这个数学算式333337133713503724613724++==++时，大概会觉得算题的人错用了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++，但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种等式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，…，你能发现以上等式的规律吗？22.按下面规则扩充新数：已有两数a ，b ，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，在a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数……每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4. （1）求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； （2）能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.。
初中数学竞赛专题辅导 因式分解(二)
初中数学竞赛专题辅导因式分解(二) 1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．。
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初中数学竞赛专题——因式分解多式的因式分解是代数式恒等形的基本形式之一，它被广泛地用于初等数学之中，是我解决多数学的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性，学些方法与技巧，不是掌握因式分解内容所必需的，而且于培养学生的解技能，展学生的思能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介了提取公因式法、运用公式法、分分解法和十字相乘法．本及下一在中学数学教材基上，因式分解的方法、技巧和用作一步的介．1．运用公式法在整式的乘、除中，我学若干个乘法公式，将其反向使用，即因式分解中常用的公式，例如：(1)a 2-b2=(a+b)(a -b) ；(2)a 2± 2ab+b2=(a ± b) 2；(3)a 3 3 2 2 +b =(a+b)(a -ab+b ) ；(4)a 3 3 2 2 -b =(a -b)(a +ab+b ) ．下面再充几个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a -b)(a n-1 +a n-2 b+a n-3b2+⋯ +ab n-2 +b n-1 ) 其中 n 正整数；(8)a n n n-1 n-2b+an-3 2 n-2n-1) ，其中 n 偶数；-b =(a+b)(a -a b -⋯ +ab -b(9)a n+b n=(a+b)(a n-1 -a n-2 b+a n-3 b2 -⋯ -ab n-2+b n-1) ，其中 n 奇数．运用公式法分解因式，要根据多式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地公式．例 1 分解因式：(1)-2x5n-1 y n+4x3n-1 y n+2-2x n-1 y n+4；(2)x 3-8y3-z3-6xyz ；(3)a 2+b2+c2-2bc+2ca -2ab；7 5 2 2 57(4)a -a b +a b -b ．解(1) 原式 =-2x n-1 y n(x 4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1 y n[(x 2n) 2 -2x 2ny2+(y 2) 2]=-2x n-1 y n(x 2n-y2) 2n-1 nn 2 n 2=-2x y (x -y) (x +y) ．(2) 原式 =x3+( -2y) 3+( -z) 3-3x( -2y)( - Z)=(x -2y-z)(x 2+4y2+z2+2xy+xz -2yz) ．(3) 原式 =(a 2 -2ab+b 2)+( -2bc+2ca)+c 21＝(a -b) 2+2c(a -b)+c 2=(a -b+c) 2．本小可以稍加形，直接使用公式(5) ，解法如下：原式 =a2+( - b) 2+c2+2( -b)c+2ca+2a( -b)=(a -b+c) 2(4) 原式 =(a 7 5 2 2 5 7 -a b )+(a b -b )=a 5(a 2-b2)+b 5(a 2-b2) =(a 2-b2)(a 5+b5)=(a+b)(a4 3 2 2 3 4 - b)(a+b)(a -a b+a b -ab +b )2 43 2 2 3 4=(a+b) (a - b)(a - a b+a b -ab +b )例2 分解因式： a3+b3+c3-3abc．本上就是用因式分解的方法明前面出的公式(6) ．分析我已知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，将此公式形3 3 3a +b =(a+b) -3ab(a+b) ．个式也是一个常用的公式，本就借助于它来推．3 3解原式 =(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc= ［ (a+b)3+c 3］ -3ab(a+b+c)=(a+b+c) ［ (a+b) 2 -c(a+b)+c 2] -3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b2+c2 -ab-bc -ca) ．明公式 (6) 是一个用极广的公式，用它可以推出很多有用的，例如：我将公式 (6) 形3 3 3a +b +c -3abc3 3 3；当 a+b+c＞ 0 3 3 3 3 3 3然，当 a+b+c=0 ， a +b +c =3abc ， a +b +c -3abc ≥ 0，即 a +b +c ≥3abc，而且，当且当 a=b=c ，等号成立．如果令x=a3≥ 0， y=b3≥ 0， z=c3≥ 0，有等号成立的充要条件是 x=y=z ．也是一个常用的．例 3 分解因式： x15 +x14+x13+⋯+x2+x+1．2分析个多式的特点是：有 16 ，从最高次 x15开始， x 的次数次减至 0，由此想到用公式 a n -b n 来分解．解因x16-1=(x -1)(x 15+x14+x 13+⋯ x2+x+1) ，所以明在本的分解程中，用到先乘以(x -1) ，再除以 (x -1) 的技巧，一技巧在等式形中很常用．2．拆、添法因式分解是多式乘法的逆运算．在多式乘法运算，整理、化常将几个同合并一，或将两个符号相反的同相互抵消零．在某些多式分解因式，需要恢复那些被合并或相互抵消的，即把多式中的某一拆成两或多，或者在多式中添上两个符合相反的，前者称拆，后者称添．拆、添的目的是使多式能用分分解法行因式分解．例4 分解因式： x3 -9x+8．分析本解法很多，里只介运用拆、添法分解的几种解法，注意一下拆、添的目的与技巧．解法 1 将常数8 拆成 -1+9．33=(x -1) - 9x+92=(x -1)(x +x+1) -9(x -1)2=(x -1)(x +x-8) ．解法 2 将一次 -9x 拆成 -x-8x ．原式 =x3-x-8x+83=(x -x)+( -8x+8)=x(x+1)(x -1) -8(x -1)2解法 3 将三次x3拆成 9x3-8x3．原式 =9x 3 3-8x -9x+8=(9x 3 3+8)- 9x)+( -8x2=9x(x+1)(x -1) - 8(x -1)(x+x+1)2=(x -1)(x +x-8) ．3解法 4 添加两项 -x 2+x 2． 原式 =x 3 -9x+8322=x -x +x -9x+8 =x 2 (x - 1)+(x -8)(x -1) =(x -1)(x 2+x-8) ．说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规， 主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例 5 分解因式：(1)x 9+x 6+x 3-3；(2)(m 2-1)(n 2 -1)+4mn ；(3)(x+1)4+(x 2-1) 2+(x -1) 4；(4)a 3b-ab 3+a 2+b 2 +1．解 (1) 将 -3 拆成 -1-1-1．96 3原式 =x +x +x - 1- 1-1=(x 963-1)+(x -1)+(x -1)=(x 363333-1)(x +x +1)+(x -1)(x +1)+(x-1)=(x 3-1)(x6+2x3+3)=(x -1)(x 2+x+1)(x 6+2x 3+3) ． (2) 将 4mn 拆成 2mn+2mn ．22原式 =(m -1)(n -1)+2mn+2mn2 222=mn -m-n +1+2mn+2mn2222=(m n +2mn+1)-(m -2mn+n)=(mn+1) 22-(m-n)=(mn+m-n+1)(mn -m+n+1)．(3) 将 (x 2-1) 2 拆成 2(x 2-1) 2-(x 2-1) 2．原式 =(x+1) 4+2(x 2222+(x -1) 4 -1) -(x -1)=［ (x+1) 422422+2(x+1) (x -1) +(x -1) ] - (x -1)=［ (x+1) 22222+(x - 1) ] -(x -1)22222+1)(x 2+3) ．=(2x +2) -(x - 1) =(3x (4) 添加两项 +ab-ab ．332 2原式 =a b-ab +a +b +1+ab-ab=(a 3b- ab 3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)=ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b 2+1)42=a(a -b) ［ b(a+b)+1]+(ab+b+1)2=[a(a -b)+1](ab+b+1)=(a 2 2+ab+1) ．-ab+1)(b说明 (4) 是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式： (x 2+x+1)(x 2+x+2) -12．分析将原式展开，是关于x 的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x 看作一个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设 x2+x=y，则原式 =(y+1)(y+2)- 12=y2+3y-10=(y -2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x -1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将2看作一个整体，比如今2x +x+1 x +x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例 7 分解因式：(x 2+3x+2)(4x 2+8x+3) -90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式 =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2) -90．令y=2x2+5x+2，则原式 =y(y+1) -90=y 2+y-90=(y+10)(y -9)=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x -1) ．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y) 的基础．例 8 分解因式：(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2．解设 x2+4x+8=y ，则5原式 =y2+3xy+2x 2=(y+2x)(y+x)=(x 2+6x+8)(x 2 +5x+8)=(x+2)(x+4)(x 2+5x+8) ．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9 分解因式： 6x4+7x3-36x2-7x+6．解法 1 原式 =6(x 4+1) ＋ 7x(x 2 -1) -36x24 2 2 2 2=6［(x -2x +1)+2x ］ +7x(x -1) -36x=6[(x 2 2]+7x(x2 2 - 1)2+2x -1) -36x=6(x 2 2+7x(x2 2 -1) -1) -24x=[2(x 2- 1) -3x］［ 3(x 2-1)+8x]=(2x 2 -3x-2)(3x 2+8x-3)=(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3) ．2说明本解法实际上是将 x -1 看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法 2原式 =x2 [6(t 2+2)+7t -36]=x2 (6t 2+7t -24)=x 2(2t - 3)(3t+8)=x2 [2(x -1/x) -3][3(x - 1/x)+8]2 2+8x-3)=(2x - 3x-2)(3x=(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3)．例10 分解因式： (x 2+xy+y 2) -4xy(x 2+y2 ) ．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令 u=x+y ，v=xy ，用换元法分解因式．解原式 =[(x+y) 2 2 2．令 x+y=u， xy=v ，则-xy] -4xy[(x+y) -2xy]2 2 2原式 =(u -v) -4v(u -2v)=u4-6u2v+9v22 2=(u -3v)6=(x 2+2xy+y 2 -3xy) 2=(x 22 2．-xy+y )7。
初中数学竞赛1.5 因式分解的应用(含答案)
1.5 因式分解的应用◆赛点归纳因式分解在初中数学竞赛中，用途很广泛，具体来说用得较多的有如下几个方面：（1）利用因式分解简化计算；（2）利用因式分解求较复杂的代数式的值；（3）利用因式分解确定多项式中的某些相关的待定系数；（4）利用因式分解解决某些数的整除问题；（5）利用因式分解解某些特殊的方程或方程组等问题．◆解题指导例1化简：222 2000199819971997 19982000199820014+--⨯-．【思路探究】本题直接计算比较复杂，由于分子和分母都有平方与差的关系，由此可联想到运用因式分解方法简化计算．例2 （2001，“五羊杯”，初二）若（x－1）（y+1）=3，xy（x－y）=4，则x7－y7=_______．【思路探究】由（x－1）（y+1）=3，知xy+（x－y）=4，经观察可知，两个条件等式都含有xy和x－y的关系式．若设xy=u，x－y=v，则u+v=4，uv=4，于是有u（4－u）=4，经过变形知它符合完全平方公式，即（u－2）2=0，故可知u=2，v=2，即xy=2，x－y=2．至此，将x7－y7分解成和xy和x－y相关的因式就不难求值．【思维误区】有位同学这样解答例2，你认为对吗？解：∵（x－1）（y+1）=3，∴xy+（x－y）=4．设xy=u，x－y=v，则u+v=4．①uv=4．②由①、②，得u2－4u+4=0．∴（u－2）2=0．∴u=2．∴v=2．∴x2+y2=（x－y）2+2xy=22+2×2=8，x3－y3=（x－y）（x2+xy+y2）=2（8+2）=20，x4+y4=（x2+y2）2－2x2y2=82－2×22=56．∴x7－y7=（x4+y4）（x3－y3）=56×20=1120．例3 （2004，“TRULY○R信利杯”）已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=•2，•ax+by=5，则（a2+b2）xy+ab（x2+y2）的值为________．【思路探究】求待求式的值，由条件等式可知，需将待求式进行合理变形，使它含有因式ax+by．这里用多项式分解因式的方法是可以达到的．例4 （2001，北京市竞赛）证明恒等式：a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）2．【思路探究】若能证明a4+b4+（a+b）4－2（a2+ab+b2）2的值为零，则可说明左右相等．•由观察可知，这个“差式”具有平方差公式的特征．因此，可先设法利用平方差公式分解因式，然后证明其中某个因式为零．例5 （2002，太原市竞赛）已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a2+ab－ac－bc=0，b2+bc－ba－ca=0，则△ABC是（）．A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形【思路探究】要判断这个三角形的形状，由条件等式要么证明三边的平方关系，要么证明三边有两边或三边相等关系．这由条件等式分解因式就可判断．例6 （2000，“五羊杯”，初二）设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2•位数字后，•剩下的数还是完全平方数．•则N•的最大值是_______．【思路探究】由N是完全平方数和去掉它的末两位数仍是完全平方数，可知这个数是一个特殊数．若设N=x2，去掉的末两位数为y，去后所得的整数M=m2，•则可得它们之间的关系式x2=100m2+y，故y=x2－100m2．利用平方差公式可得两个关于x的一次式．再根据题设不难探求N 的最大值．【拓展题】已知多项式x 3+bx 2+cx+d 的系数都是整数，bd+cd 是奇数，求证这个多项式不能分解为两个整系数多项式的积．◆探索研讨因式分解是初中数学的常用解题方法，加之解法比较多，因此，对于它在不同的方面的应用应选择不同的思维方式，有时要整体分解因式，有时要部分分解因式．请结合本节的例题，总结自己的发现．◆能力训练1．已知四个代数式：①m+n ；②m －n ；③2m+n ；④2m －n ，当用2m 2n 乘以上述四个式中的两个的积时，便得到多项式4m 4n －2m 3n 2－2m 2n 3，那么这两个式子的编号是（ ）．A ．①与②B ．①与③C ．②与③D ．③与④2．（2005，全国竞赛）已知A=48×（22211134441004+++---）．则与A 最接近的正整数是（ ）．A ．18B ．20C ．24D ．253．*若3x 3－x=1，则9x 4+12x 3－3x 2－7x+2002的值等于（ ）．A ．2002B ．2004C ．2005D ．20064．已知三个整数a 、b 、c 的和为奇数，那么，a 2+b 2－c 2+2ab （ ）．A ．一定是非零偶数B ．等于零C ．一定是奇数D ．可能是奇数，也可能是偶数5．关于x 、y 的方程x 2y=180的正整数解有（ ）．A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6．方程2x 2－3xy －2y 2=98的正整数解有（ ）．A ．3组B ．2组C ．1组D ．0组7．（2001，全国竞赛）若x 2+xy+y=14，y 2+xy+x=28，则x+y 的值为______．8．*设m 2+m －1=0，则m 3+2m 2+2005=________．9．若x 3+3x 2－3x+k 有一个因式是x+1，则k=______．10．（2000，“五羊杯”，初二）若x－y=1，x3－y3=4，则x13－y13=______．11．（2003，四川省竞赛）对一切大于2的正整数n，•数n5－5n3+4n的最大公约数是________．12．设x3+3x2－2xy－kx－4y可分解为一次与二次因式之积，则k=________．13．*若a=20052+20062+20052·20062，求证：a是一个完全平方数．14．某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11•个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，•已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数．15．已知A=a+2b+3c+4d=3，B=a－2b+4c+5d=2，试求a+10b+c+2d的值．16．（2000，武汉市竞赛）如果一个自然数的立方的末三位数字为999，则称这样的自然数为“千禧数”，试求最小的“千禧数”．答案:解题指导例1 设1998=x，则原式=2222(54)(32)(1)(4)(1)(2) (2)(34)(1)(2)(1)(4)x x x x x x x xx x x x x x x x++-+++--=--+-+--+=1．例2 1136．[提示：设xy=u，x－y=v，则u+v=4，uv=4，从而可得（u－2）2=0，即u=2．∴v=2．于是x2+y2=（x－y）2+2xy=22+2×2=8，x3－y3=（x－y）（x2+xy+y2）=2（8+2）=20，x4+y4=（x2+y2）2－2x2y2=82－2×22=56．∴x7－y7=（x4+y4）（x3－y3）+x3y3（x－y）=56·20+23·2=1136．]例3 －5．[提示：由a+b=x+y=2，得（a+b）（x+y）=ax+by+ay+bx=4．①∵ax+by=5，将它代入①式，得ay+bx=－1．∴（a2+b2）xy+ab（x2+y2）=（a2xy+aby2）+（b2xy+abx2）=ay（ax+by）+bx（by+ax）=（ax+by）（ay+bx）=5×（－1）=－5．]例4 ∵a4+b4+（a+b）4－2（a2+ab+b2）=（a2+b2）2－2a2b2+（a2+2ab+b2）2－2（a2+ab+b2）2=[（a2+b2）2－（a2+ab+b2）2]+[（a2+2ab+b2）2]－（a2+ab+b2）2]－2a2b2=（2a2+2b2+ab）（－ab）+（2a2+3ab+2b2）·ab－2a2b2=ab（－2a2－2b2－ab+2a2+3ab+2b2－2ab）=0，∴a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）2．你还能给出别的证法吗？不妨试一试．例5 C [提示：由a2+ab－ac－bc=0，得a（a+b）－c（a+b）=0，∴（a+b）（a－c）=0，∴a=c，a=－b （舍去）．由b2+bc－ba－ca=0，得b（b+c）－a（b+c）=0，∴（b+c）（b－a）=0，∴b=a，b=－c（舍去）．∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形．]例6 1681．[提示：设N=x2，x为自然数，N的末2位数字组成整数y，去掉此2•位数字后得到整数M，M=m2，m为自然数，则1≤y≤99．∴x2=100m2+y．∴y=x2－100m2=（x+10m）（x－10m）．令x+10m=a，x－10m=b，则b≥1，m≥1．x=10m+b≥11，a=x+10m≥21．若m≥4，则x=10m+b≥41，a=x+10m≥81，唯有b=1，m=4，x=41，a=81，y=81，M=16，N=1681．显然当m≤3时，x≤40，故N=1681为所求的最大值．]【拓展题】假设x3+bx2+cx+d=（x+p）（x2+qx+r），其中p、q、r均为整数．令x=0，得pr=d，由bd+cd=（b+c）d为奇数知，b+c与d•均为奇数，从而p、r也都是奇数，再取x=1．由假设有1+（b+c）+d=（1+p）·（1+q+r）．左边是3个奇数之和，必为奇数；右边的因式（1+p）为偶数，从而（1+p）（1+q+r）必为偶数，显然奇数不等于偶数，所以假设不成立，故原式不能分解成两个整系数多项式的积．能力训练1．C [提示：对多项式做因式分解：原式=2m2n（2m2－mn－n2）=2m2n（2m+n）（m－n）．]2．D [提示：对于正整数n（n≥3），有21111(),442211111148[(1)()]429856102111111112(1)2349910010110211112512().9910010110211114112()12,99100101102992n n n A =---+=⨯+++-+++=+++----=-++++++<⨯<则 ∴与A 最接近的正整数为25．]3．D [提示：由3x 3－x=1，得3x 3=x+1，∴3x 4=x （3x 3）=x （x+1）=x 2+x ．∴原式=3·3x 4+4·3x 3－3x 2－7x+2002=3（x 2+x ）+4（x+1）－3x 2－7x+2002=3x 2+3x+4x+4－3x 2－7x+2002=4+2002=2006．]4．C [提示：a 2+b 2－c 2+2ab=（a+b ）2－c 2=（a+b+c ）（a+b －c ）．∵a+b+c 为奇数，∴a 、b 、c 三数中可能有一个奇数、两个偶数，或者三个都是奇数． 当a 、b 、c 中有一个奇数、两个偶数时，则a+b －c 为奇数；当a 、b 、c 中三个都是奇数时，也有a+b －c 为奇数．∴（a+b+c ）（a+b －c ）是奇数．]5．D [提示：∵180=1×22×32×5，又x 2y=180．∴x 2y=1×22×32×5，且x 、y 为正整数/∴12,3,6,1804520 5.x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或 故共有四组正整数解．]6．C [提示：∵（x －2y ）（2x+y ）=98，x 、y 是正整数，∴x>2y ，且2x+y>x －2y ．∴方程可能的解只有以下情形：21,22,27,298;249;214.x y x y x y x y x y x y -=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+=+=+=⎩⎩⎩ 其中只有第二种情形有解x=20，y=9．]7．6或－7． [提示：把两个已知等式相加，得（x+y ）2+（x+y ）=42，即（x+y ）2+（x+y ）－42=0．∴（x+y －6）（x+y+y ）=0．∴x+y=6或x+y=－7．]8．2006． [提示：原式=m 3+m 2－m+m 2+m －1+2006=m （m 2+m －1）+（m 2+m －1）+2006=（m 2+m －1）（m+1）+2006．∵m 2+m －1=0，∴原式=2006．]9．－5． [提示：∵x 3+3x 2－3x+k 有一个因式是x+1，∴x 3+3x 2－3x+k=x 3+x 2+2x 2+2x －5x －5+5+k=x 2（x+1）+2x （x+1）－5（x+1）+（k+5）=（x+1）（x 2+2x －5）+（k+5）．∴当k+5=0，即k=－5时，原多项式有一个因式是x+1．]10．521． [提示：由x 3－y 3=（x －y ）（x 2+xy+y 2）=4和x －y=1，可得x 2+xy+y 2=4； 由（x －y ）2=x 2－2xy+y 2=1，可得xy=1．又x 6+y 6=（x 3－y 3）2+2x 3y 3）=42+2×13=18，x 4+y 4=（x 2+y 2）2－2x 2y 2=（1+2×1）2－2×12=7，x 7－y 7=（x 4+y 4）（x 3－y 3）+x 3y 3（x －y ）=7×4+1×1=29．从而x 13－y 13=（x 7－y 7）（x 6+y 6）－x 6y 6（x －y ）=29×18－16×1=522－1=521．] 11．120． [提示：n 5－5n 3+4n=（n －2）（n －1）n （n+1）（n+2）．对于大于2的任何正整数n，数n5－5n3+4n都含有公约数1×2×3×4×5=120．故这些数的最大公约数是120．]12．－2．[提示：x3+3x2－2xy－kx－4y=（x3+3x2－kx）－（2xy+4y）=x（x2+3x－k）－2y（x+2）．欲使此式可分解，则x2+3x－k应含因式x+2．将x=－2代入得（－2）+3（－2）－k=0，即－2－k=0，故k=－2．]13．∵a=20052+20062+20052·20062=（2005·2006）2+20052－1+20062+1=（2005·2006）2+（2005+1）（2005－1）+20062+1=（2005·2006）2+2006·2004+20062+1=（2005·2006）2+2006（2004+2006）+1=（2005·2006）2+2×2005·2006+1=（2005·2006+1）2．∴a是一个完全平方数．14．mn+9m+11n+145=（m+11）（n+9）+46，由已知m+11│（mn+9m+11n+145），（n+9）│（mn+9m+11n+145），m+11=n+9，得（m+11）│46，（n+9）│46．∵46=46×1=23×2，∴m+11=n+9=46，或m+11=n+9=23．由此可得，每人捐款数为47元或25元．15．设a+10b+c+2d=mA+mB=（m+n）a+（2m－2n）b+（3m+4n）c+（4m+5n）d．则m+n=1，2m－2n=10，3m+4n=1，4m+5n=2．解得m=3，n=－2．故a+10b+c+2d=3A－2B=3×3－2×2=5．16．设“千禧数”为x，则x3=1000k+999（k为自然数）．∴x3+1=1000（k+1），即（x+1）（x2－x+1）=1000（k+1）．∵x2－x+1=x（x－1）+1为奇数，可设x+1=8m（m为自然数），∴m（x2－x+1）=125（k+1）．下面证明5（x2－x+1）．若5│x，显然5（x2－x+1），若5トx，设x=5n+p（1≤p≤4）．当p=1时，x2－x+1=5n1+1；当p=2时，x2－x+1=5n2+3；当p=3时，x2－x+1=5n3+2；当p=4时，x2－x+1=5n4+3．综上所述5 ト（x2－x+1）．∴x+1=1000t，为使x最小，应取t=1，∴x=999．经验证得999是“千禧数”．故最小的“千禧数”是999．。
(完整版)因式分解(奥赛)
因式分解【奥赛花絮】最早的数学竞赛匈牙利是举办中学数学竞赛最早的国家,自1894年匈牙利物理数学学会通过了关于举行中学生奥林匹克数学竞赛的决议起，每年十月举行这种竞赛。
仅仅由于两次世界大战和1956年的匈牙利时件间断过7年。
2003年举行的是第103届匈牙利数学竞赛。
【奥赛赛点】将一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解。
因式分解是一种重要的恒等变形,在数学中有广泛的应用.因式分解的方法比较多，除了课本介绍的提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法外，我们还要掌握换元法,主元法，配方法，待定系数法等。
【解题思路与技巧】1．换元法。
在解题的过程中，我们常把某个比较复杂的代数式看成一个整体，将它用一个字母来代替,从而简化这个代数式的结构，这种方法就是换元法.在因式分解中用换元法，又可细分为整体代换（如例1，例2），对称代换（如例3)，倒数代换(如例4),平均代换(如例5)等。
2．主元法在分解一个含有多个字母的多项式时，我们常选择一个字母作为主要元素,将其他字母看作常数,然后将多项式按选定的字母降幂排列，这种方法叫做主元法。
用主元法往往可以得到恰当的分组，从而找出公因式来，如例6。
3．配方法通过添项，拆项利用公式将一个多项式配成一个完全平方，是一种常用的恒等变形技巧，以便利用公式来分解因式，如例7,例8。
4．待定系数法在解决有关多项式时，可先假定问题的结果已经求出，其中含有未知系数，然后根据多项式恒等的定义或性质，列出含有这些未知数的方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知系数的值,从而解决问题的方法,如例9，例10。
【典型示例】例1 （1994年第6届“五羊杯”数学竞赛试题）在有理数范围内分解因式：(1)16（6x-1)(2x—1)（3x+1）(x-1）+25= 。
（2）(6x—1）(2x—1)（3x-1)（x-1)+x2= 。
(3）（6x—1)(4x-1)(3x-1)(x-1）+9x4= .[解] （1）原式=(6x—1)（4x—2）（6x+2)(4x+4)+25=（24x2-16x+2) （24x2-16x—8）+25设 24x2-16x+2=t，原式=t(t-10)+25=（t—5)2=(24x2—16x—3）2（2）原式=(6x-1）（x—1) (2x-1)(3x—1） +x2=（6x2-7x+1）（6x2-5x+1) +x2设6x2-7x+1=t, 原式=t（t-2x) +x2=（t—x)2=(6x2-6x+1)2（3)原式=(6x-1) (x-1) (4x-1)(3x-1） +9x4=(6x2-7x+1） (12x2-7x+1）+ 9x4设6x2-7x+1=t, 原式=t(6x2+t）+ 9x4=（t+3x2）2=（9x2-7x+1)2例2 (2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题)分解因式：(2x–3y)3 + （3x–2y)3 –125（x–y）3= 。
初中数学因式分解(含答案)竞赛题精选2
初中数学因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．双十字相乘法因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；2．求根法形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．3．待定系数法在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9．初中数学因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；22解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4；4323．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9．。
初中数学因式分解有答案竞赛题
初中数学因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．双十字相乘法因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；2．求根法形如an x n+an-1x n-1+…+a1x+a(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．3．待定系数法在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9．初中数学因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．2．求根法我们把形如an x n+an-1x n-1+…+a1x+a(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9．。
初二数学因式分解竞赛难题
初二数学因式分解竞赛难题【知识精读】1、分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。
使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。
能预见到下一步能继续分解。
而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。
2、对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式()()x a b x ab x a x b 2+++=++()进行因式分解。
掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项ax bx c 2++（a、b、c 都是整数，且a ≠0）来说，如果存在四个整数a c a c 1122，，，满足a a a c c c 1212==，，并且a c a c b 1221+=，那么二次三项式ax bx c 2++即()a a x a c a c x c c 122122112+++可以分解为()()a x c a x c 1122++。
这里要确定四个常数a c a c 1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
【分类解析】1.在数学计算、化简、证明题中的应用例1.把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（）A a aB a aC a aD a a .().().().()222222221111+--+++--例2.分解因式x x x x x 54321-+-+-2.在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足a b a c b ac>+<+，2222证明：以a、b、c 为三边能构成三角形3.在方程中的应用例：求方程x y xy -=的整数解4、中考点拨例1.分解因式：1222--+=m n mn _____________。
(完整)初中数学竞赛因式分解专题
初中数学竞赛专题——因式分解多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) a 2-b2=(a+b)(a -b) ；2 2 2(2) a 2± 2ab+b2=(a ± b) 2；3 3 2 2(3) a +b =(a+b)(a -ab+b ) ；(4) a 3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2) ．下面再补充几个常用的公式：2 2 2 2(5) a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) ；3 3 3 2 2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b+c -ab-bc-ca) ；(7) a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+⋯+ab n-2+b n-1)其中n 为正整数；(8) a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-⋯+ab n-2-b n-1) ，其中n为偶数；(9) a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-⋯-ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例 1 分解因式：5n-1 n 3n-1 n+2 n-1 n+4(1) -2x y +4x y -2x y ；(2) x 3-8y3-z3-6xyz ；222(3) a +b +c -2bc+2ca-2ab；7 5 2 2 5 7(4) a -ab +a b -b ．解(1) 原式=-2x n-1y n(x 4n-2x2ny2+y4)n-1 n 2 2 2 2 2 2=-2x y [(x n) -2x ny +(y ) ]n-1 n 2 2 2=-2x y (x n-y )n-1 n n 2 n 2=-2x y (x -y) (x +y) ．(2) 原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)( -Z)2 2 2=(x -2y-z)(x +4y +z +2xy+xz -2yz) ．22(3) 原式=(a 2-2ab+b2)+( -2bc+2ca)+c2＝(a-b) +2c(a -b)+c =(a -b+c)本小题可以稍加变形，直接使用公式(5) ，解法如下：2 2 2 原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a( -b)=(a -b+c) 2(4) 原式=(a7-a5b2)+(a 2b5-b7)5 2 2 5 2 2=a (a -b )+b (a -b)2 2 5 5=(a -b )(a +b)4 3 2 2 3 4=(a+b)(a - b)(a+b)(a -a b+a b -ab +b)=(a+b) 2(a - b)(a 4-a3b+a2b2-ab3+b4)例 2 分解因式：a+b+c -3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6) ．分析我们已经知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为3 3 3a +b =(a+b) -3ab(a+b) ．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．33解原式=(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc= [ (a+b)3+c 3] -3ab(a+b+c)22=(a+b+c) [ (a+b) -c(a+b)+c ] -3ab(a+b+c)222=(a+b+c)(a +b+c -ab-bc -ca) ．说明公式(6) 是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6) 变形为333a+b +c -3abc显然，当a+b+c=0 时，则a3 +b3+c3=3abc ；当a+b+c> 0 时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc ，而且，当且仅当a=b=c 时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c 3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z ．这也是一个常用的结论．例 3 分解因式：x15+x14+x13+⋯+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为16 15 14 13 2x -1=(x -1)(x +x +x +⋯x +x+1) ，所以解法 4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+83 2 2=x -x +x -9x+82=x2(x - 1)+(x -8)(x -1)=(x -1)(x 2+x-8) ．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例 5 分解因式：(1) x 9+x6+x3-3；22(2) (m -1)(n -1)+4mn；(3) (x+1) 4+(x 2-1) 2+(x -1) 4；(4) a 3b-ab3+a2+b2+1．解(1) 将-3拆成-1-1-1．9 6 3 原式=x +x +x -1-1-1963=(x 9-1)+(x 6-1)+(x 3-1)3 6 3 3 3 3=(x 3-1)(x 6+x3+1)+(x 3-1)(x 3+1)+(x 3-1)3=(x -1)(x6+2x3+3)=(x -1)(x 2+x+1)(x 6+2x3+3) ．(2) 将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n 2-1)+2mn+2mn2 2 2 2=mn -m-n +1+2mn+2mn2 2 2 2=(mn +2mn+1)-(m -2mn+n)22=(mn+1) -(m-n) =(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3) 将(x 2-1) 2拆成2(x 2-1) 2-(x 2-1) 2．原式=(x+1) 4+2(x 2-1) 2-(x 2-1) 2+(x -1) 44 2 2 4 2 2=[ (x+1) 4+2(x+1) 2(x -1) 2+(x -1) 4] -(x 2-1) 2 =[ (x+1) 2+(x - 1) 2] 2-(x 2-1) 2 =(2x 2+2) 2-(x 2- 1) 2=(3x 2+1)(x 2+3)．(4) 添加两项+ab-ab．3 3 2 2原式=a b-ab +a+b +1+ab-ab=(a 3b- ab3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)2=ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b +1)2=a(a -b) [ b(a+b)+1]+(ab+b 2+1)2=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x -1) ．2=[a(a -b)+1](ab+b 2+1)22=(a 2-ab+1)(b 2+ab+1) ．说明(4) 是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．22例 6 分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2) -12．分析将原式展开，是关于x 的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x 看作一个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y ，则2原式=(y+1)(y+2) - 12=y2+3y -1022=(y -2)(y+5)=(x 2+x-2)(x 2+x+5)2=(x -1)(x+2)(x 2+x+5) ．22说明本题也可将x2+x+1 看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：22(x 2+3x+2)(4x 2+8x+3) -90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3) -90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)] -9022=(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2) -90 ．令y=2x2+5x+2 ，则2原式=y(y+1) -90=y 2+y-90=(y+10)(y -9)22=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)22说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y) 的基础．例8 分解因式：(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2．2解设x2+4x+8=y ，则原式=y2+3xy+2x 2=(y+2x)(y+x)22=(x 2+6x+8)(x 2+5x+8)2 =(x+2)(x+4)(x2+5x+8) ．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．4 2 2解法 1 原式=6(x 4+1) ＋7x(x 2-1) -36x24 2 2 2 2 =6[(x -2x +1)+2x ] +7x(x -1) -36x2 2 2 2=6[(x 2- 1)2+2x 2]+7x(x 2-1) -36x22 2 2 2=6(x 2-1) 2+7x(x 2-1)-24x222=[2(x 2- 1) -3x][ 3(x 2-1)+8x]22=(2x 2-3x-2)(3x 2+8x-3) =(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3) ．说明本解法实际上是将x2-1 看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法222原式=x2[6(t 2+2)+7t -36]=x2(6t 2+7t -24)=x 2(2t -3)(3t+8)2=x2[2(x -1/x) -3][3(x - 1/x)+8]22=(2x 2- 3x-2)(3x 2+8x-3) =(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3) ．2 2 2 2例10 分解因式：(x 2+xy+y 2) -4xy(x 2+y2) ．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y ，v=xy ，用换元法分解因式．2 2 2解原式=[(x+y) -xy] -4xy[(x+y) -2xy] ．令x+y=u，xy=v ，则2 2 2原式=(u -v) -4v(u -2v)4 2 2=u-6u v+9v22=(u -3v)22=(x +2xy+y -3xy)2 2 2 =(x 2-xy+y 2) 2．说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x -1) ，再除以(x -1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．3例 4 分解因式：x* 2 3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法 1 将常数项8拆成-1+9．3原式=x3-9x-1+93=(x -1) - 9x+9=(x -1)(x 2+x+1) -9(x -1)2=(x -1)(x 2+x-8) ．解法 2 将一次项-9x 拆成-x-8x ．原式=x3-x-8x+83=(x -x)+( -8x+8)=x(x+1)(x -1) -8(x -1)2=(x -1)(x 2+x-8) ．解法 3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+833=(9x 3- 9x)+( -8x3+8)2=9x(x+1)(x -1) - 8(x -1)(x 2+x+1)2=(x -1)(x 2+x-8) ．。
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初中数学比赛专题——因式分解多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被宽泛地应用于初等数学之中，是我们解决很多半学识题的有力工具．因式分解方法灵巧，技巧性强，学习这些方法与技巧，不单是掌握因式分解内容所必需的，并且对于培育学生的解题技术，发展学生的思想能力，都有着十分独到的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，比如：(1)a 2-b2=(a+b)(a -b) ；(2)a 2± 2ab+b2=(a ± b) 2；(3)a 3 3 2 2 +b =(a+b)(a -ab+b ) ；(4)a 3 3 2 2 -b =(a -b)(a +ab+b ) ．下边再增补几个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a -b)(a n-1 +a n-2 b+a n-3b2++ab n-2 +b n-1 ) 此中 n 为正整数；(8)a n n n-1 n-2b+an-3 2 n-2n-1) ，此中 n 为偶数；-b =(a+b)(a -a b - +ab -b(9)a n+b n=(a+b)(a n-1 -a n-2 b+a n-3 b2 - -ab n-2+b n-1) ，此中 n 为奇数．运用公式法分解因式时，要依据多项式的特色，依据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例 1 分解因式：(1)-2x5n-1 y n+4x3n-1 y n+2-2x n-1 y n+4；(2)x 3-8y3-z3-6xyz ；(3)a 2+b2+c2-2bc+2ca -2ab；7 5 2 2 57(4)a -a b +a b -b ．解 (1) 原式 =-2x n-1 y n(x 4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1 y n[(x 2n) 2 -2x 2ny2+(y 2) 2]=-2x n-1 y n(x 2n-y2) 2n-1 nn 2 n 2=-2x y (x -y) (x +y) ．(2) 原式 =x3+( -2y) 3+( -z) 3-3x( -2y)( - Z)=(x -2y-z)(x 2+4y2+z2+2xy+xz -2yz) ．＝(a -b) 2+2c(a -b)+c 2=(a -b+c) 2．本小题能够略加变形，直接使用公式(5) ，解法以下：原式 =a2+( - b) 2+c2+2( -b)c+2ca+2a( -b)=(a -b+c) 2(4) 原式 =(a 7 5 2 2 5 7 -a b )+(a b -b )=a 5(a 2-b2)+b 5(a 2-b2) =(a 2-b2)(a 5+b5)=(a+b)(a4 3 2 2 3 4 - b)(a+b)(a -a b+a b -ab +b )2 43 2 2 3 4=(a+b) (a - b)(a - a b+a b -ab +b )例 2 分解因式： a3+b3+c3-3abc．本题实质上就是用因式分解的方法证明前方给出的公式(6) ．剖析我们已经知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为3 3 3a +b =(a+b) -3ab(a+b) ．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．3 3解原式 =(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc= ［ (a+b)3+c 3］ -3ab(a+b+c)=(a+b+c) ［ (a+b) 2 -c(a+b)+c 2] -3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b2+c2 -ab-bc -ca) ．说明公式 (6) 是一个应用极广的公式，用它能够推出好多实用的结论，比如：我们将公式 (6) 变形为3 3 3a +b +c -3abc3 3 3；当 a+b+c＞ 0 3 3 3 3 3 3明显，当 a+b+c=0 时，则 a +b +c =3abc 时，则 a +b +c -3abc ≥ 0，即 a +b +c ≥3abc，并且，当且仅当 a=b=c 时，等号建立．假如令 x=a3≥ 0， y=b3≥ 0， z=c3≥ 0，则有等号建立的充要条件是 x=y=z ．这也是一个常用的结论．例3 分解因式： x15 +x14+x13+ +x2+x+1．剖析这个多项式的特色是：有 16 项，从最高次项 x15开始， x 的次数按序递减至 0，由此想到应用公式 a n -b n来分解．解因为x16-1=(x -1)(x 15+x14+x 13+x2+x+1) ，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x -1) ，再除以 (x -1) 的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项互相抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被归并或互相抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或许在多项式中添上两个仅切合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例 4 分解因式： x3 -9x+8．剖析本题解法好多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法 1 将常数项8 拆成 -1+9．33=(x -1) - 9x+92=(x -1)(x +x+1) -9(x -1)2=(x -1)(x +x-8) ．解法 2 将一次项 -9x 拆成 -x-8x ．33=(x -x)+( -8x+8)=x(x+1)(x -1) -8(x -1)2解法 3 将三次项x3拆成 9x3-8x3．原式 =9x 3 3-8x -9x+8=(9x 3 3+8)- 9x)+( -8x2=9x(x+1)(x -1) - 8(x -1)(x+x+1)2=(x -1)(x +x-8) ．解法 4 增添两项 -x2+x2．原式 =x3 -9x+83 2 2=x -x +x -9x+8=x2 (x - 1)+(x -8)(x -1)=(x -1)(x 2+x-8) ．说明由本题能够看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无必定之规，主要的是要依赖对题目特色的察看，灵巧变换，所以拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例 5 分解因式：(1)x 9+x6+x3-3；(2)(m 2-1)(n 2 -1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x -1)4；(4)a 3b-ab3+a2+b2 +1．解 (1) 将 -3 拆成 -1-1-1．9 6 3原式 =x +x +x - 1- 1-1=(x 9 6 3-1)+(x -1)+(x -1)=(x 3 6 3 3 3 3 -1)(x +x +1)+(x -1)(x +1)+(x -1)=(x 3-1)(x6+2x3+3)=(x -1)(x 2+x+1)(x 6+2x3+3) ．(2) 将 4mn拆成 2mn+2mn．2 2原式 =(m -1)(n -1)+2mn+2mn2 2 2 2+1+2mn+2mn=mn -m-n2 2 2 2=(m n +2mn+1)-(m -2mn+n)2 2=(mn+1) -(m-n)=(mn+m-n+1)(mn -m+n+1)．(3) 将 (x 2-1) 2拆成 2(x 2-1) 2-(x 2-1) 2．原式 =(x+1) 4+2(x2 2 2 2+(x -1)4-1) -(x -1)=［(x+1) 4 2 2 4 2 2 +2(x+1) (x -1) +(x -1) ] - (x -1)=［(x+1) 2 2 2 2 2 +(x - 1) ] -(x -1)2 2 2 2 2+1)(x 2+3) ．=(2x +2) -(x - 1) =(3x(4) 增添两项 +ab-ab．3 3 2 2原式 =a b-ab +a +b +1+ab-ab=(a 3b- ab3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)=ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b 2+1)2=a(a -b) ［ b(a+b)+1]+(ab+b+1)2=[a(a -b)+1](ab+b+1)=(a 2 2+ab+1) ．-ab+1)(b说明 (4) 是一道较难的题目，因为分解后的因式构造较复杂，所以不易想到增添+ab-ab，并且增添项后分红的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组联合，找到公因式．这道题目使我们领会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，累积经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，进而使运算过程简洁清楚．例 6 分解因式： (x 2+x+1)(x 2+x+2) -12．剖析将原式睁开，是对于x 的四次多项式，分解因式较困难．我们不如将x2+x 看作一个整体，并用字母y 来代替，于是原题转变为对于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设 x2+x=y，则原式 =(y+1)(y+2)- 12=y2+3y-10=(y -2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x -1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将2看作一个整体，比方今2x +x+1 x +x+1=u，相同能够获得相同的结果，有兴趣的同学不如试一试．例 7 分解因式：(x 2+3x+2)(4x 2+8x+3) -90．剖析先将两个括号内的多项式分解因式，而后再从头组合．解原式 =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2) -90．令 y=2x2+5x+2，则原式 =y(y+1) -90=y 2+y-90=(y+10)(y -9)=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x -1) ．说明对多项式适合的恒等变形是我们找到新元(y) 的基础．例 8 分解因式：(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2．解设 x2+4x+8=y ，则原式 =y2+3xy+2x 2=(y+2x)(y+x)=(x 2+6x+8)(x 2 +5x+8)=(x+2)(x+4)(x 2+5x+8) ．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不用将原式中的元都用新元朝换，依据题目需要，引入必需的新元，原式中的变元和新变元能够一同变形，换元法的实质是简化多项式．例 9 分解因式： 6x4+7x3-36x2-7x+6．解法 1 原式 =6(x 4+1) ＋ 7x(x 2 -1) -36x24 2 2 2 2=6［(x -2x +1)+2x ］ +7x(x -1) -36x=6[(x 2 2]+7x(x2 2 - 1)2+2x -1) -36x=6(x 2 2+7x(x2 2 -1) -1) -24x=[2(x 2- 1) -3x］［ 3(x 2-1)+8x]=(2x 2 -3x-2)(3x 2+8x-3)=(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3) ．2说明本解法其实是将 x -1 看作一个整体，但并无建立新元来取代它，即娴熟使用换元法后，并不是每题都要设置新元来取代整体．解法 2原式 =x2 [6(t 2+2)+7t -36]=x2 (6t 2+7t -24)=x 2(2t - 3)(3t+8)=x2 [2(x -1/x) -3][3(x - 1/x)+8]2 2+8x-3)=(2x - 3x-2)(3x=(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3)．例 10 分解因式： (x 2+xy+y 2) -4xy(x 2+y2 ) ．剖析本题含有两个字母，且当交换这两个字母的地点时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，常常令 u=x+y ，v=xy ，用换元法分解因式．解原式 =[(x+y) 2 2 2．令 x+y=u， xy=v ，则-xy] -4xy[(x+y) -2xy]2 2 2原式 =(u -v) -4v(u -2v) =u4-6u2v+9v22 2=(u -3v)=(x 2+2xy+y 2 -3xy) 2=(x 22 2．-xy+y )。