初中数学竞赛因式分解专题

初中数学比赛专题——因式分解

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被宽泛地应用于初等数学之中，是我们解决很多半学识题的有力工具．因式分解方法灵巧，技巧性强，学习这些方法与技巧，不单是掌握因式分解内容所必需的，并且对于培育学生的解题技术，发展学生的思想能力，

都有着十分独到的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，比如：

(1)a 2-b2=(a+b)(a -b) ；

(2)a 2± 2ab+b2=(a ± b) 2；

(3)a 3 3 2 2 +b =(a+b)(a -ab+b ) ；

(4)a 3 3 2 2 -b =(a -b)(a +ab+b ) ．

下边再增补几个常用的公式：

(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；

(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

(7)a n-b n=(a -b)(a n-1 +a n-2 b+a n-3b2++ab n-2 +b n-1 ) 此中 n 为正整数；

(8)a n n n-1 n-2

b+a

n-3 2 n-2n-1

) ，此中 n 为偶数；-b =(a+b)(a -a b - +ab -b

(9)a n+b n=(a+b)(a n-1 -a n-2 b+a n-3 b2 - -ab n-2+b n-1) ，此中 n 为奇数．

运用公式法分解因式时，要依据多项式的特色，依据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例 1 分解因式：

(1)-2x5n-1 y n+4x3n-1 y n+2-2x n-1 y n+4；

(2)x 3-8y3-z3-6xyz ；

(3)a 2+b2+c2-2bc+2ca -2ab；

7 5 2 2 57

(4)a -a b +a b -b ．

解 (1) 原式 =-2x n-1 y n(x 4n-2x2ny2+y4)

=-2x n-1 y n[(x 2n) 2 -2x 2ny2+(y 2) 2]

=-2x n-1 y n(x 2n-y2) 2

n-1 nn 2 n 2

=-2x y (x -y) (x +y) ．

(2) 原式 =x3+( -2y) 3+( -z) 3-3x( -2y)( - Z)

=(x -2y-z)(x 2+4y2+z2+2xy+xz -2yz) ．

＝(a -b) 2+2c(a -b)+c 2

=(a -b+c) 2．

本小题能够略加变形，直接使用公式(5) ，解法以下：原式 =a2+( - b) 2+c2+2( -b)c+2ca+2a( -b)

=(a -b+c) 2

(4) 原式 =(a 7 5 2 2 5 7 -a b )+(a b -b )

=a 5(a 2-b2)+b 5(a 2-b2) =(a 2-b2)(a 5+b5)

=(a+b)(a

4 3 2 2 3 4 - b)(a+b)(a -a b+a b -ab +b )

2 4

3 2 2 3 4

=(a+b) (a - b)(a - a b+a b -ab +b )

例 2 分解因式： a3+b3+c3-3abc．

本题实质上就是用因式分解的方法证明前方给出的公式(6) ．

剖析我们已经知道公式

(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3

的正确性，现将此公式变形为

3 3 3

a +

b =(a+b) -3ab(a+b) ．

这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

3 3

解原式 =(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc

= ［ (a+b)3+c 3］ -3ab(a+b+c)

=(a+b+c) ［ (a+b) 2 -c(a+b)+c 2] -3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a 2+b2+c2 -ab-bc -ca) ．

说明公式 (6) 是一个应用极广的公式，用它能够推出好多实用的结论，比如：我们将公式 (6) 变形为

3 3 3

a +

b +

c -3abc

3 3 3

；当 a+b+c＞ 0 3 3 3 3 3 3

明显，当 a+b+c=0 时，则 a +b +c =3abc 时，则 a +b +c -3abc ≥ 0，即 a +b +c ≥3abc，并且，当且仅当 a=b=c 时，等号建立．假

如令 x=a3≥ 0， y=b3≥ 0， z=c3≥ 0，则有

等号建立的充要条件是 x=y=z ．这也是一个常用的结论．例

3 分解因式： x15 +x14+x13+ +x2+x+1．

剖析这个多项式的特色是：有 16 项，从最高次项 x15开始， x 的次数按序递减至 0，由此想到应用公式 a n -b n来分解．

解因为

x16-1=(x -1)(x 15+x14+x 13+x2+x+1) ，

所以

说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x -1) ，再除以 (x -1) 的技巧，这一技巧在等式

变形中很常用．

2．拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项互相抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被归并或互相抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或许在多项式中添上两个仅切合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多

项式能用分组分解法进行因式分解．

例 4 分解因式： x3 -9x+8．

剖析本题解法好多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、

添项的目的与技巧．

解法 1 将常数项8 拆成 -1+9．

3

3

=(x -1) - 9x+9

2

=(x -1)(x +x+1) -9(x -1)

2

=(x -1)(x +x-8) ．

解法 2 将一次项 -9x 拆成 -x-8x ．

3

3

=(x -x)+( -8x+8)

=x(x+1)(x -1) -8(x -1)

2

解法 3 将三次项x3拆成 9x3-8x3．

原式 =9x 3 3

-8x -9x+8

=(9x 3 3

+8)

- 9x)+( -8x

2

=9x(x+1)(x -1) - 8(x -1)(x+x+1)

2

=(x -1)(x +x-8) ．