高中数学选修1,2《复数代数形式的四则运算》教案
人教版高中数学选修1-2第三章复数代数形式的四则运算 同步教案
A.5-4i
B.5+4i
C.3-4i
D.3+4i
4、设复数 z 满足(z-2i)(2-i)=5,则 z=( )
A.2+3i
B.2-3i
C.3+2i
D.3-2i
5、设 z=1-3i,则 z 的共轭复数为( )
A.-1+3i
B.-1-3i
C.1+3i
D.1-3i
4
z1 z2
)2
一定为负数。
3
【能力提升】
1、已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 z=( )
A.-3+4i
B.-3-4i
C.3+4i
D.3-4i
2、复数 z=(3-2i)i 的共轭复数等于( )
A.-2-3i
B.-2+3i C.2-3i
D.2+3i
3、已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a-i 与 2+bi 互为共轭复数,则(a+bi)2=( )
c－di c－di
＝
ac＋bd ＋ bc－ad c2＋d2
i(c＋di≠0)．
例题精讲
【题型一、复数的运算】 【例 1】已知复数 z1 满足(z1－2)(1＋i)＝1－i，复数 z2 的虚部为 2，且 z1·z2 是实数，求 z2.
1
【方法技巧】复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分
母的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式．
巩固训练
1、i 为虚数单位，则11＋－ii2011＝(
)．
A．－i
B．－1
C．i
D．1
2、 设 z1 3 4i , z2 2 3i ，则 z1 z2 在复平面内对应的点位于（ ）
2019-2020年高中数学《复数代数形式的四则运算乘除运算》教案3新人教A版选修1-2
2019-2020年高中数学《复数代数形式的四则运算乘除运算》教案3新人教A 版选修1-2教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念 教学难点：乘除运算 教学过程： 一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1） （2） （3）3. 计算：（1） （2） （类比多项式的乘法引入复数的乘法） 二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1） （2） （3）（4）探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？ 例2．1、计算（1） （2）（3）2、已知复数，若，试求的值。
变：若，试求的值。
②共轭复数：两复数叫做互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
③类比，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ada bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中叫做实数化因子 例3．计算，（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算，2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
三、巩固练习：1．计算（1） （2） （3）2．若，且为纯虚数，求实数的取值。
变：在复平面的下方，求。
2019-2020年高中数学《复数的基本概念及其运算》教案1 新人教A 版选修1-2一、目标要求：(1) 复数的概念的发展和有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数）；复数的代数表示与向量表示。
(2) 掌握复数的表示方法。
苏教版高中数学选修1-2《复数的四则运算(第1课时)》参考学案
3.2 复数的四则运算(1)【要点梳理】1. 设di c z bi a z +=++=21,是任意两个复数(1)复数的加法法则： (2)复数的减法法则:： (3) 两个复数相加(减)就是2. 复数bi a z +=（R b a ∈,）的共轭复数记作 z ,=z3. 复数z 是实数的充要条件为 =z =±21z z4．复数的代数形式的乘法运算法则5．乘法运算律：对任何C z z z ∈321,,，*∈N n m ,有=21z z =321)(z z z =+)(321z z z =n m z z =n m z )( =n z z )(216．几个特殊结论：（1）=+14n i =+24n i =+34n i =n i 4(2)如果i 2321+-=ω,则ω= =2ω =3ω =++21ωω =ωω =2ω(3)=+2)1(i =-2)1(i【典型例题】例1． 计算：50325032i i i i ++++例2．已知复数i m m m z )(1221+++=与i m z )31(22-+= )(R m ∈是共轭复数，求实数m 的值．例3．已知,36)(,32)(i i z f i z z z f -=+-+=求)(z f -的值．例4．求i 3016+-的平方根．★ 基础训练★1．已知：,21iz -=则150100++z z 的值是 （ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．=---+-6)2321)(2321)(2321(i i i （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．以上全不对3． 已知复数i t z i z +=+=21,43，且21z z ⋅是实数，则实数t 等于（ ）A ．43B ．34C ．34-D ．43- 4．当复数+-=+=2,3121z i z i 时，=+21z z +i 8，+-=-312z z i ． 5．,1)(,5,3221z z f i z i z -=-=+=则=-)(21z z f ．6．已知集合}{C z z z w w P ∈+==,，{}C z z z w w Q ∈-==,，则=⋂Q P 7．(12)(23)(34)(20062007)i i i i ---+----= 8．32121232++--+++n n n n i i i i = ．9．已知复数,230i z +=复数z 满足,300z z z z +=⋅则复数=z ．10．复数),0(,,1321R b a ai b z bi a z z ∈>+=+==，且321,,z z z 成等比数列，则=2z11．164-x 分解成一次式的乘积为 ．12．已知,,R y x ∈复数xi y x 5)23(++与复数18)2(+-i y 相等，求y x ,．13．设,R m ∈复数,)3(2,)15(2221i m m z i m m m m z -+-=-+++=若21z z +是虚数， 求m 的取值范围．。
高中数学选修1,2《复数代数形式的四则运算》教案
高中数学选修1,2《复数代数形式的四则运算》教案高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》教案【一】教学准备教学目标知识与技能：掌握复数的四则运算;过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律情感态度与价值观：通过复数的四则运算学习与掌握，进一步理解复数引发学生对数学学习的兴趣，激起学生的探索求知欲望。
教学重难点熟练运用复数的加减法运算法则。
教学过程教学设计流程一、导入新课：复数的概念及其几何意义;二、推进新课：建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。
设Z1 =a+bi, Z2 =c+di是任意两个复数，我们规定：1、复数的加法运算法则：Z1+Z2=(a+从)+(b+d)i2、复数的加法运算律：交换律：Z1+Z2=Z2+Z1结合律：Z1+Z2+Z3=Z1+(Z2+Z3)3、复数加法的几何意义:4、复数的减法运算法则: Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i5、复数减法的几何意义:三、例题讲解例1：计算：(7-3i)+(-1-i)-(6+3i)课后小结复数的加法与减法的运算及几何意义课后习题课本习题 A组 1题、2题、3题.高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》教案【二】教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教学过程：学生探究过程：1. 复数的加减法的几何意义是什么?2. 计算(1) (2) (3)3. 计算：(1) (2) (类比多项式的乘法引入复数的乘法)讲解新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：。
人教版高中选修1—2数学3.2复数代数形式的四则运算教案(5)
复数代数形式的四则运算导学一、建立复数运算的原则作为复数的实数，在复数集里运算和在实数集里的运算是一致的.二、复数的加法和减法1．数学语言表达：12z a bi z c di =+=+，，则12()()z z a c b d i ±=±+±．2．文字语言表达：两个复数相加（减），就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），所得结果仍是复数.3．复数加减法的几何意义：由于复数z a bi =+←−−−→一一对应点()Z a b ，←−−−→一一对应OZ ，因此复数的加减法可以利用向量的加减法来表示．若111z x y i =+，222z x y i =+对应的向量22()OZ x y =，，且1OZ 和2OZ 不共线（共线时可以直接计算），以1OZ 和2OZ 为邻边作平行四边形12OZ ZZ ，则1212O Z O Z O Z z z =+=+，211212Z Z OZ OZ z z =-=-，故复数加（减）法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则（向量减法的三角形法则）．三、复数的乘法和除法1．规定复数的乘法按照如下法则进行：设12z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么它们的积2()()()()a bi c di ac bci bdi ac bd bc ad i ++=++=-++．说明：复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把2i 换成1-，再把实部、虚部分别合并．2．虚数单位i 的乘方：计算复数的乘积要用到复数的单位i 的乘方，n i 有如下性质：1i i =，21i =-，32i i i i ==-·，4321i i i i i i ==-=-=··．从而对于任何n *∈N ，都有4144()n n n i i i i i i +===··，同理可证421n i +=-，43n i i +=-，41n i =．这就是说，如果n *∈N ，那么有41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41n i =．说明：（1）上述公式中，说明n i 具有周期性，且最小正周期是4． （2）n 可推广到整数集． （3）4()k k ∈Z 是i 的周期．3．复数的除法：已知z a bi =+，如果存在一个z '，使1z z '=·，则z '叫做z 的倒数，记作1z ，有了倒数的概念我们可以规定除法的运算法则：将商a bic di++看作分数，分子分母同乘以分母的共轭复数c di -，把分母变为实数，化简可得运算结果，即()()()()a bi a bi c di c di c di c di ++-=++- 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc adi c d c d c d ++-+-==++++．4．共轭运算性质：1212z z z z ±=±，1212z z z z =··，11222(0)z zz z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，z z =．5．模运算性质：1212z z z z =··，11222(0)z z z z z =≠， 22221212122()z z z z z z ++-=+，121212z z z z z z -±+≤≤．其中两个共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方，即22zz z z ==·． 6．常用结论：①2(1)2i i ±=±；②11i i i+=-，11ii i -=-+；③设1322w i -=+， 则21210(0)n n n w w w w w n ++++=++=∈N ，且31w =．。
复数代数形式的四则运算(教学设计)
学习必备欢迎下载复数代数形式的四则运算（教学设计）（1）§ 3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义教学目标：知识与技能目标：掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义过程与方法目标：培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力。
情感、态度与价值观目标：培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。
教学重点：复数代数形式析加法、减法的运算法则。
教学难点：复数加减法运算的几何意义。
教学过程：一、复习回顾：1、复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 z a bi一一对应复平面内的点Z( a,b)这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应 .这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法2、 . 若a(x1, y1 ) ， b ( x2 , y2 ) ，则a b(x1x2 , y1y2 ) ，a b( x1x2 , y1y2 )两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3、若A( x1, y1)，B( x2, y2)，则AB x2x1, y2y1一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即AB = OB OA =( x2,y2)(x1,y1)= (x 2x1, y2y1 )二、师生互动、新课讲解：1、复数代数形式的加减运算（ 1）复数 z1与 z2的和的定义：z1+z2=( a+bi )+( c+di)=(a+c)+(b+d)i .（2）复数 z1与 z2的差的定义： z1-z2 =(a+bi )-(c+di)=( a-c)+(b-d)i .（3）复数的加法运算满足交换律 : z1+z2=z2+z1.证明：设z1=a1+b1i， z2=a2+b2i(a1， b1， a2， b2∈R).∵z1 +z2=(a1+b1i)+( a2+b2i )=(a1+a2)+( b1 +b2)i.z2+z1=(a2+b2 i)+(a1+b1i)=( a2+a1)+( b2+b1)i. 又∵ a1+a2=a2+a1， b1+b2=b2+b1.∴ z1 +z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.（4）复数的加法运算满足结合律 : ( z1+z2)+z3 =z1+(z2+z3)证明：设z1=a1+b1i.z2=a2 +b2i ， z3=a3+b3i(a1， a2， a3，b1， b2， b3∈R).∵(z1+z2)+z3=［( a1+b1i)+( a2+b2 i)］ +(a3+b3i)=［ (a1+a2)+( b1+b2)i ］+( a3+b3 )i=［ (a1+a2)+a3］+［ (b1+b2)+b3］ i=( a1 +a2+a3)+(b1+b2+b3) i.z1 +(z2+z3)=( a1+b1i)+ ［ (a2+b2 i)+(a3+b3i)］=( a1 +b1i)+ ［ (a2+a3)+( b2+b3)i］=［ a1+(a2+a3)］+［ b1+(b2+b3 )］ i=( a1+a2+a3)+( b1+b2+b3)i∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3) ，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).∴(z1+z2)+z3=z1+(z2 +z3).即复数的加法运算满足结合律讲解范例：例 1（课本 P57 例 1）计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解： (5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i例 2 计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i )+⋯+(－2002+2003i )+(2003－2004i)解法一：原式=(1－ 2+3－ 4+⋯－ 2002+2003)+( － 2+3 － 4+5+ ⋯ +2003－ 2004i)=(2003 － 1001)+(1001 － 2004)i=1002－1003i.解法二：∵ (1－ 2i )+(－ 2+3i)= － 1+i ，(3 － 4i)+( － 4+5i)=－ 1+ i，⋯⋯(2001 － 2002i)+( － 2002+2003)i =－ 1+i.相加得 (共有 1001 个式子 )：原式 =1001( － 1+i)+(2003 －2004i)=(2003 － 1001)+(1001 － 2004)i =1002－ 1003i2.复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加 (减 )法 (a+bi)± (c+di)=( a± c)+( b± d)i .与多项式加 (减) 法是类似的 .就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减 ).（ 1）复平面内的点Z (a, b)一一对应平面向量 OZ（ 2）复数z a bi一一对应平面向量 OZ（ 3）复数加法的几何意义：设复数 z1=a+bi， z2=c+di，在复平面上所对应的向量为OZ1、OZ2，即 OZ1、 OZ2的坐标形式为 OZ1=( a，b)，OZ2 =(c， d) 以OZ1、OZ2为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2，则对角线 OZ 对应的向量是OZ，∴OZ=OZ1+ OZ2=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝( a+c)+( b+d)i（ 4）复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=( a－ c)+( b－ d)i ，所以 z－ z1=z2， z2+z1=z，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，OZ1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量OZ2就与复数 z－ z1的差 (a－ c)+( b － d)i 对应由于OZ2Z1Z，所以，两个复数的差z－ z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.例 3 已知复数z1=2+ i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、 B，求AB对应的复数 z， z 在平面内所对应的点在第几象限？解： z=z2－ z1=(1+2 i)－ (2+i)=－ 1+i，∵z 的实部 a=－ 1＜ 0，虚部 b=1 ＞ 0，∴复数 z在复平面内对应的点在第二象限内 .点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差.即 AB所表示的复数是z B－ z A.，而BA 所表示的复数是z A－ z B，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关例 4 复数 z 1=1+2 i ， z 2=－2+i ，z 3=－ 1－ 2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数 .分析一：利用AD BC ，求点 D 的对应复数 .解法一：设复数z 1、 z 2、 z 3 所对应的点为 A 、 B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为 x+yi(x ，y ∈ R )，是：AD OD OA =( x+yi)－ (1+2 i)=( x －1)+( y － 2)i ;BCOC OB =( － 1－ 2i)－( －2+i)=1 －3i .∵ ADBC ，即 (x －1)+( y －2)i=1－3i ，x 1 1, x 2,例 2 图∴23, 解得1.yy故点 D 对应的复数为 2－i .分析二：利用原点O 正好是正方形 ABCD 的中心来解 .解法二：因为点 A 与点 C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是 (－ 2+i)+(x+yi )=0 ，∴ x=2 ， y=－ 1.故点 D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用课堂练习：（课本 P58 练习： NO ： 1；2）三、课堂小结，巩固反思：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈ R ，那么a+bi=c+dia=c ，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小复数的加法法则： (a+bi )+(c+di)=( a+c)+( b+d)i(a ，b ， c ，d ∈ R ). 复数的加法，可模仿多项式的加法法则计算，不必死记公式。
高中数学 32 复数的四则运算教案(pdf)苏教版选修1-2 教案
确定的复数!
$ $
"!复数代数形式的乘法运算法则也是一种规定#与复 数 $
* &$# &$! &$"'& &%# &%! &%"'9# 7 结 合 律&T#&T!'&T"*T#&&T!&T"'仍 成 立 ! 想一想任何一个实 数 都 有 唯 一 的 相 反 数#那 么 任 何 一
加 减 法 一 样 #可 按 与 多 项 式 相 乘 类 似 的 办 法 进 行 !
$ 个虚数是否也有唯一的相反数呢$
%!复数的乘法运算满足交换律"结合律及乘法对加法 的
$ $
类比实数的相反数 的 概 念#引 导 学 生 联 想 并 规 定 如 下!
分 配 律 #教 学 时 可 引 导 学 生 进 行 简 单 的 证 明 !
$ 已知复数$&%9&$"%2'#根据加法的定义#存在唯一的复数
数 形 式 的 四 !!能 进 行 复 数 代 数 形 式 的 乘 除 法 运 算#理 解 乘 除 $ 复 数 的 加 法 的 运 算 法 则 如 下 !
则运算法则# 法的运算法则+
$ $
设T#*$&%9#T! *'&(9#$"%"'"(2#那 么T# &T! *
能 进 行 复 数 "!复数的除法 运 算 中#应 理 解 )分 母 实 数 化 *的 思 $ &$&%9'&&'&(9'*&$&''&&%&('9!
人教课标版高中数学选修1-2：《复数代数形式的四则运算》教案-新版
3.2 复数代数形式的四则运算一、教学目标 1.核心素养通过学习复数代数形式的四则运算，初步形成基本的数学抽象和数学运算能力. 2.学习目标（1）掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义.（2）理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质.（3）培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力. 3.学习重点复数代数形式四则运算法则. 4.学习难点复数加减法运算的几何意义，对复数除法法则的运用. 二.教学设计 （一）课前设计 1.预习任务任务1 预习教材P 56---P 60,完成P 58和P 60相应练习题 任务2 掌握复数加、减、乘、除四则运算法则 任务3 利用复平面理解复数加减法的几何意义 2.预习自测1.设z 1＝2＋bi ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋bi 为（ ） A.1＋i B.2＋i C.3 D.－2－i 答案：D解析：∵z 1＋z 2＝(2＋bi )＋(a ＋i )＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0， ∴⎩⎨⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－1，∴a ＋bi ＝－2－i .2.已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：C解析：z ＝z 2－z 1＝(1－2i )－(2＋i )＝－1－3i .故z 对应的点为(－1，－3)，在第三象限. 3.若复数z 满足z ＋(3－4i )＝1，则z 的虚部是（ ） A.－2 B.4 C.3 D.－4 答案：B解析：z ＝1－(3－4i )＝－2＋4i ，所以z 的虚部是4. （二）课堂设计 1.知识回顾1. 复数通常用小写字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a,b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.2. 两个复数相等，即实部和虚部分别相等即a ＋b i ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )3. 复数z ＝a ＋bi (a,b ∈R )的模为22z a b =+2.问题探究问题探究一：复数的加减法●活动一 怎样计算复数的加法与减法?设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d R =+=+∈,是任意两个复数，那么（1）复数1z 与2z 的和的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++ （2）复数1z 与2z 的差的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-. ●活动二 从复数的加法和减法法则我们可以得到一个怎样的结论？事实上，两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）. ●活动三 复数的和与差还是一个复数吗？ 显然，复数的和与差仍然是一个唯一确定的复数.●活动四 我们以前学过的运算律还能在复数中使用吗？ 对任意123,,z z z C ∈.（1）交换律：1221z z z z +=+；（2）结合律：123123()()z z z z z z ++=++.●活动五 复数代数形式的加减运算的几何意义是什么？（1）复平面内的点(,)Z a b OZ ←−−−→uu u r 一一对应平面向量（2）复数i z a b OZ =+←−−−→uu u r一一对应平面向量 （3）复数的加减法的几何意义复数的加、减法的几何意义，即为向量的合成与分解：平行四边形法则，可简化成三角形法则，如图，OZ uu u r 表示复数12z z +所对应的向量，12Z Z uuuu r 表示复数12z z -所对应的向量，即OZuu u r表示复数()()i a c b d +++所对应的向量，12Z Z uuuu r表示复数()()i a c b d -+-所对应的向量注： 两个复数的差12z z -表示与连接两个终点12,z z 且指向被减数的向量对应. 问题探究二：复数的乘除法●活动一 复数的乘法怎么算？复数的乘法是否有似曾相识的感觉？设1z =a ＋b i ，2z =c ＋d i （a,b,c,d ∈R ）是任意两个复数，则1z ·2z =（a ＋b i ）（c ＋d i ）=_________________.从上面可以看出，两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. ●活动二 复数的乘法是否也满足运算律呢？ 对任意123,,z z z C ∈. （1）交换律：2121z z z z ⋅=⋅（2）结合律：123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）分配律：1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅1z●活动三 复数的除法又该如何计算呢？设1z =a ＋b i , 2z =c ＋d i （a,b,c,d ∈R ，且c ＋d i≠0），122222i i(i 0)i z a b ac bd bc ad c d z c d c d c d+++==++≠+++ 几个运算性质：①i 的幂的周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N ). ②(1±i)2＝±2i ，1i i 1i +=-，1i i 1i -=-+，1i i=-. ③设13i 22ω=-+，则ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.●活动四 什么叫做共轭复数？一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 通常记复数i(,)z a b a b R =+∈的共轭复数为i(,)z a b a b R =-∈.共轭复数有如下性质：①z R z z ∈⇔=；②22z z z z ⋅==；③2z z a +=，2i z z b -=；④1212z z z z +=+，1212z z z z -=-；⑤1212z z z z ⋅=⋅，1122z zz z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(z 2≠0).例 1 计算下列各题： (1)3(2-3i)(2i)12+-++； (2)i 1i 1()()i 2332----+；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i).(4)已知复数z 满足z ＋1＋2i ＝10－3i ，求z . 【知识点：复数的四则运算】详解：33=(22)(3)i 11i 22-+-++=-（1）原式 111111=()(1)i i 322366-++--+=+（2）原式.（3）原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i ＝－11i. （4）z ＋1＋2i ＝10－3i ，∴z ＝(10－3i)－(2i ＋1)＝9－5i.点拔：复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减.例2 设及分别与复数z 1＝5＋3i 及复数z 2＝4＋i 对应，试计算z 1＋z 2，并在复平面内作出复数z 1＋z 2所对应的向量.【知识点：复数的四则运算，复数加减法的几何意义】 【思路探究】利用加法法则求z 1＋z 2详解：∵z 1＝5＋3i ，z 2＝4＋i ，∴z 1＋z 2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i ∵15,3OZ =uuu r （），24,1OZ =uuu r （），由复数的几何意义可知，12OZ OZ +uuu r uuu r 与复数z 1＋z 2对应， ∴12OZ OZ +uuu r uuu r ＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4).作出向量12OZ OZ OZ +=uuu r uuu r uu u r如图所示.点拔：1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.2.利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.3.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.变式：在题设不变的情况下，计算z 1－z 2，并在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量. 解：z 1－z 2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i ＝1＋2i.复数z 1－z 2所对应的向量为21Z Z uuuu r.例3 （1）设z 1，z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|. （2）已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值.【知识点：复数的模，复数的模的几何意义，复数加减法的几何意义；数学思想：数形结合】（1）设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ).由题意，知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，∴2ac ＋2bd ＝0. ∴|z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－2ac －2bd ＝2.∴|z1－z2|＝2.（2）【思路探究】利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题.解法一：设w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1.可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆.如图(1)所示，∴|w|max＝41＋1，|w|min＝41－1.(1)(2)解法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1.点拔：|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.例4 （1）计算61i23i 1i32i ++⎛⎫+⎪--⎝⎭.（2）计算：2013 23i21i123i⎛⎫-++ ⎪⎪-+⎝⎭；(3)若复数1i1iz+=-，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值.【知识点：复数的四则运算】（1）分析：先计算1i1i+-再乘方，且将23i32i+-的分母实数化后再合并.详解：626(1i)23i32i62i3i6 =i1i 255⎡⎤+++++-+=+=-+⎢⎥⎣⎦()()原式又解：626(1i)23i i23i i =i1i 232i i23i⎡⎤++++=+=-+⎢⎥-+⎣⎦()()原式().（2）【思路探究】将式子进行适当的化简、变形，使之出现i n 的形式，然后再根据i n 的值的特点计算求解.详解：10062i(123i)22(2)=1i 1i 123i ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦原式 100622(1i)=i 2i 2+⎛⎫+⋅⎪-⎝⎭10062(1i)=i i 2++⋅222=i 22--+(3)201422013111z z z zz-++++=-L ， 而21i (1i)2i =i 1i (1i)(1i)2z ++===--+，所以201422201311i 11i 11iz z z zz --++++===+--L 点拔：1.要熟记i n 的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与i n 联系起来以便计算求值.2.如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解.例5 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若3i 13i z z z ⋅-⋅=+，求z .【知识点：复数的四则运算，共轭复数】详解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎨⎧ a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎨⎧a ＝－1b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.点拔：1.22z z z z ⋅==是共轭复数的常用性质.2.实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔ z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数.3.若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数. 3.课堂总结 【知识梳理】1.两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.2.复数加减法的几何意义3.复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.4.复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 【重难点突破】(1)复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，实质上是合并同类项，不必死记公式.(2)复数加法的几何意义：如果复数12z z ，分别对应于向量12OP OP uuu r uuu r、，那么，以12OP OP 、为两边作平行四边形，对角线OS 表示的向量OS uu r就是12z z +的和所对应的向量.复数减法的几何意义：两个复数的差12z z -与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. (3)复数的乘法，也可按照多项式的乘法法法则计算，实质上也是合并同类项，同样不必死记公式.(4)两个复数相除较简便的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简 .(5)复数除法的核心是分母实数化，类似分母有理化. 4.随堂检测 1.21i=+（ ） A.22 B.2 C.2 D.1 答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模】 原式211i==+ 2.复数i(2－i)等于（ ） A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2i D.－1－2i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算】 i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.3.已知(1－i)2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于（ ） A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 答案：D解析：【知识点：复数的四则运算】由(1－i)2z ＝1＋i ，知z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－1－i ，故选D.（三）课后作业 ★基础型 自主突破 1.()212i1i +-等于（ ）A.11i 2--B.11i 2-+C.11i 2+D.11i 2-答案：B解析：【知识点：复数的四则运算】 原式12i i12i 2+==-+- 2. i 为虚数单位，i 607的共轭复数为（ ） A.i B.－i C.1 D.－1 答案：A解析：【知识点：共轭复数相关概念，i 的周期性】 方法一：i 607＝i 4×151＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.故选A.方法二：i607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i ，其共轭复数为i.故选A.3.已知i 是虚数单位，则(2+i)(3+i)等于（ ） A.5-5i B.7-5i C.5+5i D.7+5i 答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】4.复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的几何意义】 5.复数z 满足(i)i 2i z -=+，则z =（ ） A.1i -- B.1i - C.13i -+ D.12i - 答案：B解析：【知识点：复数的四则运算】2iz i i+-=，∴1z i =- 6.复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（ ） A.2+i B.2－i C.－1+iC.－1－i答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数的定义】(3)(2)15i i z i -++==-+，1z i =-- 7.若复数z 满足z (2-i )=11+7i (i 为虚数单位)，则z 为（ ）A.3+5iB.3－5iC.－3+5iD.－3－5i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算】117(117)(2)3525i i i z i i +++===+- 8. (1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案：1i -+解析：【知识点：复数的四则运算】 原式6(23i)(32i)5i i 11i 325++=+=-+=-++ ★★能力型 师生共研1.已知复数z 满足z (1＋i )＝1＋ai (其中i 是虚数单位，a ∈R )，则复数z 在复平面内对应的点不可能位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B 解析：【知识点：复数的四则运算】由条件可知：z ＝1＋a i 1＋i ＝(1＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a ＋12＋a －12i ；当a ＋12<0，且a －12>0时，a ∈∅，所以z 对应的点不可能在第二象限，故选B.2.若12+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A.2,3b c ==B.2,1b c ==-C.2,1b c =-=-D.2,3b c =-=答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，复数的相等】 把12i +代入方程20x bx c ++=，利用复数的相等即可3.设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i +为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】4.设z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）A.若2z ≥0，则z 是实数B.若2z <0,则z 是虚数C.若z 是虚数，则2z ≥0D.若z 是纯虚数，则2z <0答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】5.一个实数与一个虚数的差（ ）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】6.设复数1z ＝1－i ，2z ＝a ＋2i ，若12z z 的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为______.答案：6解析：【知识点：复数的概念，复数的四则运算】∵a ∈R ，1z ＝1－i ，2z ＝a ＋2i ， ∴12z z ＝a ＋2i 1－i ＝(a ＋2i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i 2＝a －22＋a ＋22i ，依题意a ＋22＝2×a －22，解得a ＝6.7.若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________. 答案：5解析：【知识点：复数的模，复数的四则运算】∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎨⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b.∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－1.∴|a ＋bi |＝|2－i |=222(1)+-＝ 5.8.计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i).答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算】解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i ，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i ，……(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i.相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i★★★探究型 多维突破A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，复数的加减法的几何意义】2.已知1122,,,x y x y R ∈，定义运算“⊙”为1z ⊙2z ＝2121y y x x +，设非零复数21,ωω在复平面内对应的点分别为21,P P ,点O 为坐标原点，若1ω⊙2ω＝0，则在21OP P ∆中，21OP P ∠的大小为________.答案：90o解析：【知识点：复数的四则运算】设 111a b i ω=+，222a b i ω=+ （12,0a a ≠）故得点),(111b a P ，),(222b a P ，且2121b b a a +＝0，即12211-=⋅a b a b . 从而有1212121OP OP b b k k a a ==-g g ，故21OP OP ⊥. 3.复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i (m ，λ，θ∈R )，且z 1＝z 2，则λ的取值范围是_____________.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 解析：【知识点：复数的四则运算，三角函数的值域】由复数相等的充要条件可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916， 因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7. 4.已知复数z ＝x ＋yi ，且|z －2|＝3，则 y x 的最大值为________. 答案： 3解析：【知识点：复数的加减法的几何意义，复数的模，直线的斜率的应用】∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 5.已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的加减法的几何意义】设D （x,y ),则OA OD AD -=对应的复数为(x +y i)－(1+2i)=(x －1)+(y －2)iOB OC BC -=对应的复数为：(－1－2i)－(－2+i)=1－3i∵BC AD = ∴(x －1)+(y －2)i=1－3i∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x ,解得⎩⎨⎧-==12y x ∴D 点对应的复数为2－i.6.已知复数z 满足: 13i ,z z =+-求22(1i)(34i)2z ++的值.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模，复数的概念】设i(,)z a b a b =+∈R ，而13i ,z z =+-即2213i i 0a b a b +--++=,则224,10,43i.3,30a a b a z b b ⎧=-⎧⎪++-=⇒=-+⎨⎨=-=⎩⎪⎩22(1i)(34i)2i(724i)247i34i22(43i)43i z ++-++===+-+-.(四)自助餐1.若12,z z ∈C ，1212z z z z --+是（ ）A.纯虚数B.实数D.不能确定答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的概念】121212i,i(,,,),(i)(i)(i)(i)--=+=+∈+=+-+-+z a b z c d a b c d z z z z a b c d a b c d R 22ac bd =+∈R .2.为正实数，i 为虚数单位，i 2i a +=，则a =（ ） A.2 B.3 C.2D.1答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模】2i |1i |12,i +=-=+=a a aa >0,故3a =. 3.36(13i)2i (1i)12i -+-++++的值是（ ） A.0B.1C.iD .2i答案：D解析：【知识点：复数的四则运算】33336(13i)2i 13i (2i)(12i)-1+3i 15i ()()()+(1i)12i 2i 52i 5-+-+-+-+-+=+=++=i+i =2i .4 若复数z 满足3(1)i 1z z -+=,则2z z +的值等于（ ）A .1D .13i 22-+答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】13i133i 3i 10,i ,2213i z z z ω+---===-+=-221z z ωω+=+=-.5.已知33i (23i)z -=⋅-,那么复数z 在复平面内对应的点位于（） A .第一象限B .第二象限C.第三象限D .第四象限答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，复数的几何意义】33132223iz i i -==+-6.已知复数z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则z z －－z －1＝（ ）A.－2iB.－iC.iD.2i答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】解：B 依题意得z z －－z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.7.设456121z i i i i =++++L ，456121z i i i i =⋅⋅⋅L 则12,z z 的关系是（）A .12z z =B .12z z =-C .121z z =+D .无法确定答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，等比数列的前n 项和，等比数列的前n 项和】491(1)1111i i i z i i--===--，456127221z i i ++++===L 故选A. 8.已知2()i i (i 1,n n f n n -=-=-∈N )，集合{}()f n 的元素个数是（ ） A.2B.3C.4D.无数个答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】00-12-23-31(0)i -i 0,(1)i-i =i-=2i,(2)i -i 0,(3)i -i =-2i.i f f f f ======9.在复平面内,复数6+5i,-2+3i 对应的点分别为A ,B.若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是（ ）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i答案：C解析：【知识点：复数的加减法的几何意义】A 点坐标为(6,5),B 点坐标为(-2,3),则中点C 的坐标为(2,4),∴C 点对应的复数为2+4i.10.设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若z ＝1＋i ，则z i ＋i ·z 等于（ ）A.－2B.－2iC.2D.2i解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴ z i ＋i ·z ＝1－i ＋i (1－i )＝(1－i )(1＋i )＝2.故选C.11.若复数z 满足(3－4i )z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为（ ）A.－4B.－45C.4D.45答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|，所以⎩⎨⎧ 3b －4a ＝0，3a ＋4b ＝5，解得b ＝45. 故选D12.若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于（ ）A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】∵z 1－i ＝i ，∴z ＝i (1－i )＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i .故选A.13.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（）A.AB.BC.CD.D解析：【知识点：复数的概念，复平面，共轭复数】表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .选B.14.设z =（2-i ）2（i 为虚数单位），则复数z 的模为 .答案：5解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】15. i 为虚数单位,设复数1z ,2z 在复平面内对应的点关于原点对称,若1z =2-3i,则2z = . 答案：2z = -2+3i解析：【知识点：复数的几何意义】由于z 1对应的点的坐标为(2,-3),所以z 2对应的点的坐标为(-2,3), 2z = -2+3i .16.（1） i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.(2)已知复数z ＝(5＋2i )2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________.答案：-2；21解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】（1）(1－2i )(a ＋i )＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0,1－2a ≠0，∴a ＝－2（2）因为z ＝(5＋2i )2＝25＋20i ＋(2i )2＝25＋20i －4＝21＋20i ，所以z 的实部为21. 17.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 016＝________. 答案：1解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 1 008＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i ＋i 21－2i ＋i 2 1 008＝1. 18.－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＝________. 答案：1i +解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】原式＝i(1＋23i)1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008＝i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 008＝i ＋i 1 008＝i ＋i 4×252＝1＋i . 19.已知f (x )＝⎩⎨⎧ 1＋x ，x ∈R ，(1＋i)x ，x ∉R ，则f [f (1－i )]＝________. 答案：3∵f (1－i )＝(1＋i )(1－i )＝2，∴f [f (1－i )]＝f (2)＝1＋2＝3.20.已知复数z 满足|z |＝5，且(3+ 4i )z 是纯虚数，求z .答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念，复数的相等，复数的模】设z ＝x ＋y i （x, y ∈R ），∵ |z |＝5，∴ x 2＋y 2＝25.又(3＋4i)z =(3＋4i)(x ＋y i)＝(3x －4y )+(4x ＋3y )i 是纯虚数，∴340,430,x y x y -=⎧⎨+≠⎩联立三个关系式解得4,3,x y =⎧⎨=⎩或4,3.=-⎧⎨=-⎩x y∴ z =4＋3i 或z ＝－4－3i21.设1zz +是纯虚数，求复数z 对应的点的轨迹方程.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念，复数的相等，共轭复数，复数的模】 ∵1z z + 是纯虚数，∴011z z z z ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，即20(z 1)(z 1)zz z z ++=++, 设(x,y R)z x yi =+∈，则222()20x y x ++=∴ 2211(y 0)24x y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭.它为复数z 对应点的轨迹方程. 22.如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO→、BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数. 答案：见解析解析：【知识点：复数的概念，复平面，复数的向量表示】①AO→＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i . ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i . ②CA→＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i )－(－2＋4i )＝5－2i . ③OB→＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i )＋(－2＋4i )＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i .点评：因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.23.已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai )2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.答案：见解析解析：【知识点：复数的概念，复平面，复数的向量表示】设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i＝15(x －2i )(2＋i )＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i . ∵(z ＋ai )2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎨⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6， ∴实数a 的取值范围是(2,6).三、数学视野以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论.解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论.复变函数论产生于十八世纪.1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程.而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们.因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”.到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”.复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一. 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱.后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了.二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献.复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的.比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的.比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献.复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论.它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响.。
最新人教版高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》目标导引
3.2 复数代数形式的四则运算一览众山小三维目标1.掌握复数的加法、减法的运算法则及其几何意义，掌握复数的乘法、除法的运算法则，并能熟练、准确运用运算法则解决相关问题.2.学习复数加减法的几何意义时，要充分依据向量的加法与减法这个模型，这样能更好地把握复数加减法的意义.乘法、除法在记住公式形式的同时，要注重公式推导的一般过程，并且在学习过程中掌握各种运算的性质和常用结论.3.强化运算能力，养成用数形结合及联系变化的观点来看问题,对复数的概念有一个更深的认识.4.感受数学内部的和谐、高度抽象美、简洁美，数学结构系统的协调与统一美.学法指导学习本节应加强与实数有关内容的联系与对比，做到熟练、准确进行复数代数形式的加减运算，学习复数加减法的几何学意义时，注意复习向量的加法的平行四边形法则(三角形法则).复数代数形式的乘法法则与复数的加减法一样，可按与两个多项式相乘类似的办法进行，而不必专门记忆公式，重视模的一个重要性质|z|2=z·z的应用，熟记i的正整数指数幂运算规律，这将对计算带来很大方便.注意进行复数除法时，为了简化过程，常采用将分母实数化的方法，另外要掌握共轭复数及模的有关性质.诱学导入材料：德国数学家高斯(1777—1855)在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示.在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a+bi.像这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“高斯平面”.高斯在1831年，用实数组(a，b)代表复数a+bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合,并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应.高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法.至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了.问题：建立了复数理论后，复数能不能进行运算，如果能运算它又如何进行复数的运算呢？导入：复数可以在平面上用点来表示,那么就对应一个向量，所以可以用向量来表示复数，那么复数的运算就可以借鉴向量的运算方法.现给出向量的运算法则:若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2，y1+y2)；a-b=(x1-x2，y1-y2).。
【优选整合】高中数学人教A版选修1-23.2复数代数形式的四则运算（3）教案（1）
【优选整合】⾼中数学⼈教A版选修1-23.2复数代数形式的四则运算（3）教案（1）第三章数系的扩充与复数的引⼊3.2复数代数形式的四则运算3⼀、教学⽬标：知识与技能：掌握复数的加减法运算及意义过程与⽅法：理解并掌握实数进⾏四则运算的规律，了解复数加减法运算的⼏何意义情感、态度与价值：让学⽣探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这⼀活动培养学⽣善于和他⼈合作的精神.⼆、教学重点、难点重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的⼏何意义。
三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采⽤“探究——发现”教学模式．教师的教法：利⽤多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与⽅法的引导．“抓三线”，即(⼀)知识技能线（⼆）过程与⽅法线（三）能⼒线.“抓两点”,即⼀抓学⽣情感和思维的兴奋点，⼆抓知识的切⼊点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（⼀）温故知新1. 与复数⼀⼀对应的有？2. 试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----在复平⾯中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3. 同时⽤坐标和⼏何形式表⽰复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ +。
向量的加减运算满⾜何种法则？4. 类⽐向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？（⼆）探究新知1.虚数单位i :(1)它的平⽅等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进⾏四则运算，进⾏四则运算时，原有加、乘运算律仍然成⽴2. i 与－1的关系: i 就是－1的⼀个平⽅根，即⽅程x 2=－1的⼀个根，⽅程x 2=－1的另⼀个根是－i3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，⽤字母C 表⽰*5. 复数的代数形式: 复数通常⽤字母z 表⽰，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表⽰成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式6 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.7. 复平⾯、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R)可⽤点Z (a ，b )表⽰，这个建⽴了直⾓坐标系来表⽰复数的平⾯叫做复平⾯，也叫⾼斯平⾯，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表⽰实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z =0+0i =0表⽰是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表⽰纯虚数复数集C 和复平⾯内所有的点所成的集合是⼀⼀对应关系，即复数z a bi =+←→⼀⼀对应复平⾯内的点(,)Z a b 这是因为，每⼀个复数有复平⾯内惟⼀的⼀个点和它对应；反过来，复平⾯内的每⼀个点，有惟⼀的⼀个复数和它对应.这就是复数的⼀种⼏何意义.也就是复数的另⼀种表⽰⽅法，即⼏何表⽰⽅法 8.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =9. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差10. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=⼀个向量的坐标等于表⽰此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)⼀．复数代数形式的加减运算b Z(a ，b)a o y x１．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.3. 复数的加法运算满⾜交换律: z1+z2=z2+z1.4. 复数的加法运算满⾜结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i)=［(a1+a2)+(b1+b2)i］+(a3+b3)i=［(a1+a2)+a3］+［(b1+b2)+b3］i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)+［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1+(a2+a3)］+［b1+(b2+b3)］i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i ∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满⾜结合律（三）典例解析例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i) 解法⼀：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i) =(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.解法⼆：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i，……(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i.相加得(共有1001个式⼦)：原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i⼆.复数代数形式的加减运算的⼏何意义复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).１．复平⾯内的点(,)Z a b ←→⼀⼀对应平⾯向量OZ 2. 复数z a bi =+←→⼀⼀对应平⾯向量OZ 3.复数加法的⼏何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平⾯上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平⾏四边形OZ 1ZZ 2，则对⾓线OZ 对应的向量是OZ ，∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i4. 复数减法的⼏何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法⼏何意义，以OZ 为⼀条对⾓线，1OZ 为⼀条边画平⾏四边形，那么这个平⾏四边形的另⼀边OZ 2所表⽰的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z =，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平⾯内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平⾯内所对应的点在第⼏象限？解：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平⾯内对应的点在第⼆象限内.例4 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平⾯上的对应点是⼀个正⽅形的三个顶点，求这个正⽅形的第四个顶点对应的复数. 分析⼀：利⽤BC AD =，求点D 的对应复数. 解法⼀：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正⽅形的第四个顶点D 对例2图应的复数为x +yi (x ，y ∈R)，是：OA OD AD -==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i ;OB OC BC -==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i . ∵BC AD =，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ，∴-=-=-,32,11y x 解得?-==.1,2y x(x +yi )=0，∴x =2，y =－1.故点D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然⽽通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作⽤（四）当堂达标1.已知复数z 1=2+i ,z 2=1+2i ,则复数z =z 2－z 1在复平⾯内所表⽰的点位于A.第⼀象限B.第⼆象限C.第三象限D.第四象限2.在复平⾯上复数－3－2i ,－4+5i ,2+i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平⾏四边形ABCD 的对⾓线BD 所对应的复数是A.5－9iB.－5－3iC.7－11iD.－7+11i3.已知复平⾯上△AOB 的顶点A 所对应的复数为1+2i ,其重⼼G 所对应的复数为1+i ,则以OA 、OB 为邻边的平⾏四边形的对⾓线长为 A.32 B.22 C.2 D.54.复平⾯上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i ,5+2i ,则由A 、B 、C 所构成的三⾓形是A.直⾓三⾓形B.等腰三⾓形C.锐⾓三⾓形D.钝⾓三⾓形5.⼀个实数与⼀个虚数的差（）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.⽆法确定是实数还是虚数6.计算(－])23()23[()23()32i i i ++---++=____.7.计算：(2x +3yi )－(3x －2yi )+(y －2xi )－3xi =________(x 、y ∈R).8.计算（1－2i )－(2－3i )+(3－4i )－…－(2002－2003i ).9.已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i ,z 2=a －1+(a 2+2a －1)i (a ∈R)分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为原点），若向量2 1Z Z。
高中数学_复数代数形式的四则运算教学设计学情分析教材分析课后反思
探究二：复数代数形式的加、减运算的几何意义[典例2]如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：(1)AO ―→表示的复数； (2)对角线CA ―→表示的复数；四、新知再探：新知4．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝ . 新知5．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有新知6.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则：_______________________新知7：复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝________________(c ＋d i ≠0)．交换律 z 1·z 2＝ 结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 分配律 z 1(z 2＋z 3)＝运用所学的知识解决问题，在具体题目中体会数形结合思想的重要性。
学生独立思考后，再小组交流自己的观点。
学生回答。
教师点评。
这一部分有、由师生共同完成学情分析：1、学生已经了解复数的概念与定义以及复数在数域内的地位。
2、学生已经通过课前预习案预习过复数代数形式的加减法法则3、学生知识经验与学习经验较为丰富，以具有类比知识点的学习方法。
4、学生积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。
5、学生层次参差不齐，个体差异比较明显。
效果分析：本节课采用循序渐进由易到难的方法进行推进，并在课前进行知识铺垫，使学生在思想上，方法上，知识上都做了充足的准备。
在上课的过程中与老师的配合度较好。
在课后与学生的交流中，学生反映上课的效果不错，都能听懂，课后作业也能顺利地完成。
教材分析数系的扩充与复数的引入是人教A版选修1-2与选修2-2的内容，复数的内容是高中数学课程中的传统内容，对于复数，《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学的内部矛盾在数系扩充中的作用。
苏教版高中数学选修1-2 第3章 3.2 复数的四则运算 学案
3.2复数的四则运算第1课时复数的加法、减法、乘法运算学习目标 1.掌握复数代数形式的加减运算.2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算.3.掌握共轭复数的概念及应用．知识点一复数的加减运算思考1类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．思考2复数的加法满足交换律和结合律吗？答案满足．梳理(1)运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b ＋d)i，(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．知识点二复数的乘法运算思考复数的乘法与实数的乘法有何联系与区别？答案复数的乘法类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚部分别合并．梳理(1)复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)乘法运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有知识点三共轭复数思考复数3＋4i与3－4i，a＋b i与a－b i(a，b∈R)有什么特点？答案这两组复数的特点：①实部相等，②虚部互为相反数．梳理(1)把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数．(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的共轭复数记作z，即z＝a－b i.(3)当复数z＝a＋b i(a，b∈R)的虚部b＝0时，z＝z，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．两个实数的和、差、积仍是实数，两个虚数的和、差、积仍是虚数．(×)2．任意有限个复数的含加、减、乘法的混合运算中，应先进行乘法，再进行加、减法，有括号时先算括号内的．(√)3．两个互为共轭复数的和是实数，差是纯虚数．(×)类型一复数的加减运算例1计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．解(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.反思与感悟复数加减运算法则的记忆方法(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．跟踪训练1(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.解(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)＝(3－3)＋(－7－4)i ＝－11i. (2)由z ＋1－3i ＝5－2i ，得z ＝(5－2i)－(1－3i)＝(5－1)＋(－2＋3)i ＝4＋i. 类型二 复数的乘法 例2 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.解 (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.反思与感悟 (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.跟踪训练2 若复数(m 2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m ＝________. 答案 －1解析 ∵(m 2＋i)(1＋m i)＝m 2－m ＋(m 3＋1)i 是实数，∴m 3＋1＝0，则m ＝－1. 类型三 共轭复数的概念例3 复数z 满足z ·z ＋2i z ＝4＋2i ，求复数z 的共轭复数． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i. ∵z ·z ＋2i z ＝4＋2i ， ∴x 2＋y 2＋2i(x ＋y i)＝4＋2i ， 因此(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝4＋2i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝4，2x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.因此z 的共轭复数z ＝1－3i 或z ＝1＋i.反思与感悟 (1)有关复数z 及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：①设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2.②z ∈R ⇔z ＝z .(2)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础．跟踪训练3 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )．由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3， 所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.1．已知复数z 1＝12－32i 和复数z 2＝cos 60°＋isin 60°，则z 1＋z 2＝________.答案 1解析 ∵z 2＝12＋32i ，∴z 1＋z 2＝1.2．已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 答案 －1＋3i解析 (－1＋i)(2－i)＝－2＋3i －i 2＝－1＋3i.3．若复数z 满足z ＋(2－3i)＝－1＋2i ，则z ＋2－5i ＝________. 答案 －1解析 ∵z ＝－1＋2i －2＋3i ＝－3＋5i ， ∴z ＋2－5i ＝－3＋5i ＋2－5i ＝－1.4．设复数z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，若z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________. 答案 －1＋10i解析 ∵z 1＋z 2＝x ＋2i ＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ， ∴(x ＋3)＋(2－y )i ＝5－6i(x ，y ∈R )， 由复数相等的定义，得x ＝2且y ＝8， ∴z 1－z 2＝2＋2i －(3－8i)＝－1＋10i.5．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和z 1＋z 2为实数，差z 1－z 2为纯虚数，则a ，b 的值分别为________． 答案 －3，－4解析 ∵z 1＋z 2＝a －3＋(4＋b )i 为实数， ∴4＋b ＝0，即b ＝－4.又z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 为纯虚数， ∴a ＋3＝0且4－b ≠0，∴a ＝－3.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )看作关于“i ”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就行，不需要记加法、减法法则． 2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数，例如(3－2i)＋2i ＝3. 3．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数． 4．理解共轭复数的性质 (1)z ∈R ⇔z ＝z .(2)当a ，b ∈R 时，有a 2＋b 2＝(a ＋b i)(a －b i)，这是虚数问题实数化的一个重要依据.一、填空题1．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z ＝________. 答案 1＋i解析 ∵z －(1－i)＝2i ， ∴z ＝1－i ＋2i ＝1＋i.2．若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b ＝________. 答案 2解析 (1＋b i)(2＋i)＝(2－b )＋(2b ＋1)i ， 令2－b ＝0，且2b ＋1≠0， ∴b ＝2.3．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________. 答案 －1解析 ∵z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.4．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是________． 答案 －1－i解析 ∵z ＝i(i ＋1)＝i 2＋i ＝－1＋i ， ∴z 的共轭复数是z ＝－1－i.5．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z 的实部是________． 答案 6解析 ∵z ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i ，∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5， ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. ∴z ·z ＋z 的实部是6. 6．复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a ＝________. 答案 12解析 ∵z 2＝⎝⎛⎭⎫32－a i 2＝⎝⎛⎭⎫34－a 2－3a i ， ∴⎝⎛⎭⎫34－a 2－3a i ＝12－32i(a ∈R )，则⎩⎨⎧34－a 2＝12，3a ＝32，∴a ＝12.7．把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 答案 2＋i解析 设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )， (1＋2i)z ]＝(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.8．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i(x ，y ∈R )，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝________，z 2＝________. 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用答案 5－9i －8－7i解析 ∵z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y －4y ＋2x )＋(y －4x ＋5x ＋3y )i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝5－9i ，z 2＝－8－7i. 9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则z 1·z 2＝________. 答案 －18－63i 解析 z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i] ＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝4 3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴z 1＝3＋3i ，z 2＝－33＋3i.z 1·z 2＝(3＋3i)(－33＋3i)＝－18－63i.10．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________. 答案 5＋5i解析 ∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)， ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i.11．若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 答案 2解析 由题意知x i －1＝－1＋2i ，又x ∈R ，由复数相等，得x ＝2. 二、解答题12．已知z －1＋2z i ＝－4＋4i ，求复数z .解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入z －1＋2z i ＝－4＋4i ，整理，得(x －2y －1)＋(2x ＋y )i ＝－4＋4i ，故有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －1＝－4，2x ＋y ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以复数z ＝1＋2i.13．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i ，若z 2＋az ＋b ＝1－i(a ，b ∈R )，求b ＋a i 的共轭复数． 解 z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i ， 由z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，∴a ＋b ＋i(a ＋2)＝1－i(a ，b ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.所以b ＋a i ＝4－3i ，则b ＋a i 的共轭复数是4＋3i. 三、探究与拓展14．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 答案 34解析 ∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i ， ∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2 ＝(3t ＋4)＋(4t －3)i. 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.15．已知复数z ＝1＋i ，实数a ，b 满足az ＋2bz ＝(a ＋2z )2成立，求a ，b 的值． 解 az ＋2bz ＝(a ＋2b )＋(a ＋2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ，∴(a ＋2b )＋(a ＋2b )i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a ＋2b ＝4(a ＋2)，解得⎩⎨⎧ a ＝－22，b ＝4－32，或⎩⎨⎧a ＝22，b ＝4＋3 2.∴所求实数a ＝－22，b ＝4－32或a ＝22，b ＝4＋3 2.。
2019-2020年苏教版高中数学(选修1-2)3.2《复数的四则运算》word教案2篇
2019-2020年苏教版高中数学（选修1-2）3.2《复数的四则运算》word 教案2篇一、数系的扩充和复数的概念1．复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身发展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者．我们知道，方程210x +=在实数范围内无解，于是需引入新数i 使方程有解，显然，需要21i =-．数系的扩充过程：自然数集N 引入负数整数集Z 引入分数有理数集Q 引入无理数实数集R 引入虚数复数集C ．2．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i 可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如()a bi a b +∈R ，的数叫做复数，并且把()z a bi a b =+∈R ，的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a 叫做复数的实部，b叫复数的虚部．注意复数12的虚部是．3．复数相等的充要条件 a b i c d i a +=+⇔=且()b d a b c d =∈R ，，， 注意事项：（1）复数a bi +(0)(0)(0)(0)a b bi a a bi b a bi a =⎧⎪=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 （2）复数集C ⎧⎨⌝⎩RR实数集虚数集（3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小. 二、复数的几何意义1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是复数集{}a bi a b =+∈C R ，|与坐标系中的点集{}()|a b a b ∈R ，，，可以建立一一对应． 2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是１，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点(00)，对应复数0．于是有下面的一一对应关系：复数Z a bi =+复平面内的点()Z a b ，． 3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有： 复数Z a bi =+一一对应平面向量OZ ．在这些意义下，我们就可以把复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，这给研究复数运算的几何意义带来了方便．4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数z a bi =+的模为z ． 三、复数代数形式的四则运算 1．复数的加法、减法①运算法则()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±． 其运算法则类似于多项式的合并同类项 ②复数加法的运算律对于任意的123z z z ∈C ，，，有： 交换律：1221z z z z +=+．结合律：123123()()z z z z z z ++=++． ③复数加法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应，根据向量加法的平行四边形（三角形）法则，则有12OZ OZ OZ +=（如图1）．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d +=++，，即得OZ 与复数()()a c b d i +++对应．可见，复数的加法可以按向量加法的法则进行．④复数减法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应（如图2）， 根据向量加法的三角形法则有：2211OZ Z Z OZ +=． 于是：1221OZ OZ Z Z -=．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d -=--，，即得21Z Z 与复数()()a c b d i -+-对应．于是得到向量的减法运算法则为：两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．2．复数代数形式的乘法运算①运算法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++．两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把2i 换为1-，并且把实部与虚部分别合并即可．②运算律：交换律：1221z z z z =··．结合律：123123()()z z z z z z =····． 分配律：1231213()z z z z z z z +=+．③虚数i 的乘方及其规律：1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =，61i =-，7i i =-，81i =，．可见，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41()n i n *=∈N ，即i 具有周期性且最小正周期为4．④共轭复数 a b i +与a bi -互为共轭复数，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． 它的几何意义是：共轭的两个复数关于x 轴对称．主要用于复数的化简以及复数的除法运算.3．复数代数形式的除法运算运算法则：2222(0)a bi ac bd bc adi c di c di c d c d++-=++≠+++． 其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的把分母“有理化”．数系的扩充与复数的引入复习指导『教材重点』：１．复数的相等，复数与实数以及虚数的关系，复数的几何意义；２．复数的加减、乘除运算法则，以及复数加法、减法的几何意义；３．体会数学思想方法－类比法．『教材难点』：复数的几何意义，复数加法以及复数减法的几何意义，复数的除法．『复习过程指导』在复习本章时，我们重点从数学思想方法上勾通知识的内在联系：(1)复数与实数、有理数的联系；（2）复数的代数形式的加法、减法运算与平面向量的加法、减法运算的联系；（3）复数的代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减法、乘法运算的联系．在知识上，在学法上，在思想方法上要使知识形成网络，以增强记忆，培养自己的数学逻辑思维能力．其数学思想方法（类比法、化一般为特殊法）网络如下：1数学思想方法之一：类比法 （1）复数的运算复数代数形式的加法、减法运算法则 ()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±复数代数形式的乘法运算运算法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++显然在运算法则上类似于多项式的加减法（合并同类项），以及多项式的乘法，这就给我们对复数的运算以及记忆带来了极大的方便．（2）复数的几何意义 我们知道，实数与数轴上的点一一对应的；有序实数对与直角坐标平面内的点一一对应；类似的我们有：复数集C ＝{}|,a bi a b R +∈与坐标系中的点集{}(,)|,a b a R b R ∈∈一一对应．于是：复数集z ＝a bi +↔复平面内的点(,)Z a b复数集z ＝a bi +↔平面向量OZ 例1．在复平面内，复数1i i+＋(1＋3i )2对应的点 位于 ( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限解答：复数1i i+＋(1＋3i )2＝1132i +++-＝31(22i -++因为复数31(22i -++对应着直角坐标平面内的点31(,22-+，故在第二象限，答案为B ．此题一方面考查了复数的运算能力，另一方面考察了对复数的几何意义的理解．例2．非零复数12,z z 分别对应复平面内向量,OA OB ，若12||z z +=12||z z - 则向量OA 与OB 的关系必有（ ）A ．OA =OB B ．OA OB =C ．OA OB ⊥D ．OAOB ，共线 解答： 由向量的加法及减法可知：OC ＝ OA OB +AB ＝ OB OA -由复数加法以及减法的几何意义可知： 12||z z +对应OC 的模 12||z z -对应AB 的模又因为12||z z +=12||z z -，且非零复数12,z z 分别对应复平面内向量,OA OB所以四边形OACB 是正方形 因此OA OB =，故答案选B ．注：此题主要考察了复数加法以及减法的几何意义（3）复数的化简虚数除法运算的分母“实数化”，类似的有实数运算的分母“有理化”． 例３若复数iia 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 （A ）-2 (B)4 (C) -6 (D)6 解答：由ii a 213++＝(3)(12)(12)(12)a i i i i +-+-＝226(32)12a a i++-+ ＝63255a a i +-+ 因为复数iia 213++是纯虚数所以605a +=且3205a-≠ 解得6a =-故答案选C ．注：这里在复数的化简中主要用了一对共轭复数的积是实数(12)(12)i i -+＝５，一般地（a bi +）（a b i -）＝22a b + 这也是一个复数与实数转化的过程，即63255a ai +-+是纯虚数可得：605a +=且3205a-≠， 2．数学思想方法之二 转化法我们知道在运算上，高次方程要转化为低次方程，多元方程要转化为一元方程进行运算；实数的运算要转化为有理数的运算；类似地，有关虚数的运算要转化为实数的运算．基础知识：复数a bi +(0)(0)(0)0)a b bi a a bi b a bi a =⎧⎪=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数（ 例４若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则 实数a 的值为 ． 解答：12z z ＝222(2)(34)3434a i a i i i +++=-+＝38642525a a i -++ 因为12z z 为纯虚数 所以38025a -=且64025a +≠．解得83a = 例５．设a 、b 、c 、d R ∈，若a bic di++为实数，则，（A ）0bc ad +≠（B ）0bc ad -≠ （C ）0bc ad -=（D ）0bc ad +=解答： 由2222a bi ac bd bc adi c di c d c d++-=++++ 因为 a bic di++为实数，所以其虚部220bc adc d -=+，即0bc ad -=故答案选C ． 这里先把分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式． 类似于以前所学的实数化简时的把分母“有理化”．再把它转化为实数的运算．二．解题规律总结１有关虚数单位i 的运算及拓展虚数i 的乘方及其规律：1i i =，2i ＝－１，3i i =-，41i =，5678,1,,1i i i i i i ==-=-=…4142434,1,,1n n n n i i i i i i +++==-=-=…（n N *∈）拓展（1）任何相邻四个数的和为０；（2）指数成等差的四个数的和为０；例如：23212123n n n n i i i i --+++++＝０（3）连续多个数相加的规律． 例6．求101112i i i +++ (2006)i的值解答：共有2006－10＋１＝１997项由于1997＝4⨯499＋1 由于连续4个的和等于0因此原式＝10i ＝－12．有关复数的几个常用化简式 22(1)2,(1)2i i i i +=-=-，1i i =-，11,11i ii i i i+-==--+ 例7（2005高考重庆2）．20051()1i i+=- （ ）A ．iB ．－iC ．20052D ．－20052解答： 2005200545011()()1i i i i i i+===- 故答案选A 3．有关复数的综合运算例７、（本题满分12分）在复数范围内解方程iii z z z +-=++23)(||2（i 为虚数单位）解法一．设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-由于222||()2z z z i a b ai ++=++32i i-+＝22(3)(2)21i i --+＝1i - 所以222a b ai ++＝1i -根据复数的相等得22121a b a ⎧+=⎨=-⎩解得1,2a b =-=因此，12z =-±即为所求． 解题评注：（1）设复数的代数形式（z =(,)a bi a b R +∈）以代入法解题的一种基本而常用的方法；（2）复数的相等（a bi +＝c di +⇔,a c b d ==(,,,a b c d R∈）是实现复数运算转化为实数运算的重要方法．这两种方法必须切实掌握；三．高考命题趋势从新教材的特点来看，高考题的难度不会大，主要以客观题的形式考察基础知识．以上结合高考题给出了复习的方法，以及重点难点，希望同学们结合数学思想方法，使知识形成网络，系统全面的掌握所学知识．。
最新人教版高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》示范教案
3．2.2复数代数形式的乘除运算整体设计教材分析本节课是《复数代数形式的四则运算》的第二课时，是四则运算的重点，也是本章的重点．复数的乘法法则是规定的，其合理性表现在：这种规定与实数乘法的法则是一致的，而且实数乘法的有关运算律在这里仍然成立．由除法是乘法的逆运算的这种规定，可以得到复数除法的运算法则．教材在内容编排上使用问题探究式的方法，引导学生能够自己探究新知，发现新知，理解新知．学生不仅学到了知识，而且培养了学习兴趣，提高了学习积极性．课时分配1课时．教学目标知识与技能目标1．掌握复数代数形式的乘除运算法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．2．理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质．过程与方法目标1．运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程．2．培养学生的发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性．情感、态度与价值观通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法．重点难点重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．难点：复数除法的运算法则．教学过程引入新课提出问题：试计算5(2＋i)．活动设计：先由学生独立思考，然后交流看法．学情预测：学生可能类比单项式与多项式的乘法来计算．活动成果：(板书)5(2＋i)＝(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＝10＋5i.设计意图通过比较分别运用实数集中乘法的意义和复数的加法法则计算所得的结果，得到结论：m(a＋bi)＝ma＋mbi，其中m，a，b∈R.引出新课．两个复数相乘又该如何计算？探究新知提出问题：如何计算(2＋i)(3＋2i)?活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．学情预测：学生可能类比两个多项式的乘法来计算．活动成果：(板书)(1)规定，复数的乘法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积：(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)(2＋i)(3＋2i)＝6＋3i＋4i＋2i2＝4＋7i.设计意图遇到问题就得解决问题，但是复数又是一个全新的知识，它是实数集的扩充，所以在不违背原有知识的基础上规定了复数的乘法法则，使学生体会知识的创新与发展的过程．理解新知提出问题1：怎样理解复数的乘法法则？它可能满足哪些运算律？活动设计：学生独立思考，然后同学间交流．学情预测：学生可以独立理解复数的乘法法则，并写出它满足的运算律．活动成果：(1)可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．两个复数的积是一个确定的复数．(2)实数集上的乘法满足的运算律，可以直接推广到复数集上的乘法运算中：对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.设计意图准确地把握法则及其满足的运算律，为正确熟练地运用打下良好的基础．提出问题2：计算i5，i6，i7，i8的值，你能推测i n(n∈N*)的值有什么规律吗？活动设计：学生独立思考，然后同学间交流结果，教师巡视指导．学情预测：学生能够计算出四个值，并说出周期性．活动成果：i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，推测i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1(n∈N*)．设计意图了解i的幂的周期性，培养学生的观察和归纳能力．运用新知例1计算：(1)(1－i)2；(2)(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)．思路分析：第(1)题可以用复数的乘法法则计算，也可以用实数系中的乘法公式计算；第(2)题可以按从左到右的运算顺序计算，也可以结合运算律来计算．解：(1)解法一：(1－i)2＝(1－i)(1－i)＝1－i－i＋i2＝－2i；解法二：(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.(2)解法一：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝(3＋4i－6i－8i2)(1＋2i)＝(11－2i)(1＋2i)＝(11＋4)＋(22－2)i＝15＋20i；解法二：(1－2i)(3＋4i)(1＋2i)＝[(1－2i)(1＋2i)](3＋4i)＝5(3＋4i)＝15＋20i.点评：此题主要是巩固复数乘法法则及运算律，以及乘法公式的推广应用．特别要提醒其中(－2i)·4i＝8，而不是－8.探究新知提出问题1：在例1中1－2i与1＋2i的积恰好是一个实数，观察这两个复数之间有何联系？活动设计：学生独立思考，然后交流．学情预测：在教师的引导下，学生能够得出两个复数的异同．活动成果：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部为0的两个共轭复数也叫共轭虚数．注意：z 的共轭复数常用z 表示．即：若z ＝a ＋bi ，则z ＝a －bi.设计意图例1(2)为引出共轭复数的概念提供了实例支持，从而得出共轭复数的定义，使学生对知识的接受变得自然．提出问题2：类比实数的除法，联系复数减法法则的引入过程，探求复数除法的法则． 活动设计：引导学生运用乘法法则以及复数相等的概念来得到除法法则．活动成果：(1)规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足(c ＋di)(x ＋yi)＝a ＋bi(c ＋di ≠0)的复数x ＋yi ，叫做复数a ＋bi 除以c ＋di 的商．(2)经计算可得(cx －dy)＋(dx ＋cy)i ＝a ＋bi.根据复数相等的定义，有cx －dy ＝a ，dx ＋cy ＝b.由此得x ＝ac ＋bd c 2＋d 2，y ＝bc －ad c 2＋d 2. 于是得到复数除法的法则是：(a ＋bi)÷(c ＋di)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数．理解新知提出问题1：若z 1，z 2是共轭复数，那么(1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？(2)z 1·z 2是一个怎样的数？(3)若z 1是实数，则它的共轭复数是怎样的数？活动设计：学生独立探究，然后再小组交流．教师巡视指导．学情预测：学生通过独立思考，然后与同学交流看法，最后能够得出正确的结论． 活动成果：(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称；(2)z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2；(即z·z ＝|z|2＝|z |2)(3)z 1的共轭复数仍是z 1，即实数的共轭复数是它本身．设计意图使学生加深对共轭复数概念的了解．提出问题2：在实际进行复数运算时，每次都按照乘法逆运算的办法来求商，这是十分麻烦的．如何简化求商的过程？这种简化的求商过程与实数系中作何种运算的过程相类似？活动设计：起初学生会无从下手，可以提示他们观察商的实部和虚部的分母与除数的关系，从而得解．学情预测：学生在教师的指导下，基本上能发现规律．活动结果：(1)在进行复数除法运算时，通常先把(a ＋bi)÷(c ＋di)写成a ＋bi c ＋di的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c －di ，化简整理后即可．(2)这种求商过程与作根式除法时的处理是很类似的．在作根式除法时，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”．这里分子和分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”．设计意图简化求解过程，有利于熟练运用法则．运用新知例2计算(1＋2i)÷(3－4i)．思路分析：先把(1＋2i)÷(3－4i)写成1＋2i 3－4i的形式，然后分子、分母都乘以3＋4i ，计算整理即可．解：(1＋2i)÷(3－4i)＝1＋2i 3－4i ＝(1＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3－8＋6i ＋4i 32＋42＝－5＋10i 25＝－15＋25i. 点评：例2是复数除法的计算题，目的是让学生熟练操作上述作除法的简便过程． 巩固练习计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)(3＋2i)(－3＋2i)；(3)(－1＋i )(2＋i )－i. 解：(1)7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－25i 25＝1－i ； (2)(3＋2i)(－3＋2i)＝(2i)2－(3)2＝2i 2－3＝－2－3＝－5；(3)(－1＋i )(2＋i )－i ＝－2－i ＋2i ＋i 2－i ＝－3＋i －i ＝(－3＋i )i －i·i＝－1－3i. 变练演编1．已知：________÷________＝1＋2i ，则横线上可以填的条件是什么？(可以多写几种)2．计算：3＋4i 4－3i；并自己编制一道类似的题目． 答案：1.11＋2i ，3－4i 或5,1－2i 等等．(先写出被除数或除数中的一个，然后求另一个)2．解法一：3＋4i 4－3i ＝(3＋4i )(4＋3i )(4－3i )(4＋3i )＝25i 25＝i ； 解法二：3＋4i 4－3i ＝(3＋4i )i (4－3i )i ＝(3＋4i )i 3＋4i＝i. 编制的题目：5＋3i 3－5i ，－5i ＋6－6i －5(编制的原则设分子是z 1＝a ＋bi ，则分母为z 2＝b －ai ，即分母与i 的乘积就是分子，可直接约分，从而达到分母实数化)．设计意图第一个题目的设计不仅是为了训练学生灵活处理问题，熟练运用知识的能力，而且可以培养学生发散思维与集中思维的能力，还可以考查学生对知识、问题理解的深刻性和思维的深刻性、全面性．题型的新颖性、开放性更是不言而喻．第二个题的目的是使学生更深刻理解复数的除法就是分母的实数化．达标检测1．复数a ＋bi 与c ＋di 的积是实数的充要条件是( )A ．ad ＋bc ＝0B ．ac ＋bd ＝0C ．ac ＝bdD ．ad ＝bc2．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z.3．计算－23＋i 1＋23i＋(21－i )2 010. 解析：1.若(a ＋bi)(c ＋di)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i 是实数，则只需虚部ad ＋bc ＝0.故答案为A.2．由已知可得z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i 5＝2－i ，所以z ＝2＋i. 3.－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 010＝i (1＋23i )1＋23i＋[(21－i )2]1 005＝i ＋(2－2i )1 005 ＝i ＋i 1 005＝i ＋i 4×251＋1＝i ＋i ＝2i.课堂小结对给定的三个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，你能研究些什么？用什么样的方法来研究？(数系的扩充，当复数的虚部为0时，复数也就是特殊的实数；复数的分类；复数相等的概念；复数的几何意义；复数的模；复数的运算；复数的运算律；任一个复数的共轭复数及性质等本章所学的所有知识．用类比、转化、数形结合、化虚为实等思想方法来研究．)布置作业习题3.2 A 组4、5题．补充练习基础练习1．复数(15＋8i)(－1－2i)的值为________．2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－343．复数z ＝m －2i 1＋2i在复平面上对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i 且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为__________． 5．已知z 1＝5＋10i ，z 2＝3－4i ，1z ＝1z 1＋1z 2，求z. 答案：1.1－38i 2.A 3.A 4.83 5.5－52i. 拓展练习6．已知2i －3是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值．思路分析：2i －3是方程的根，代入方程后根据复数相等的定义，化虚为实，即可求得． 解：由已知得：2(2i －3)2＋p(2i －3)＋q ＝0，从而(10－3p ＋q)＋(2p －24)i ＝0.于是，有⎩⎪⎨⎪⎧10－3p ＋q ＝0，2p －24＝0，解得p ＝12，q ＝26. 点评：解决复数问题的关键就是转化为实数问题来处理，复数相等就是实现这一转化的很好的工具．设计说明本节课是本章的重点内容，同时复数乘、除法的法则的理解更是难点．故在本节课的设计上多次采取类比的方法，使知识在不失其本质的情况下，更易于理解．同时这种处理方法可以使新知识与所学知识建立联系性，有利于知识的网络化和系统化．在整个设计上突出了问题驱动式的教学方法，以问题为主线，以学生为主体，随着问题的提出与解决，教学内容也被随之很好地学习与理解．在例题和习题的设计环节上，力求突出本节课的重点：熟练掌握复数的乘除法运算以及数学思维方式与技能形成的培养．例题的选题目的有三：一是巩固所学法则及运算律；二是通过一题多解培养学生的发散思维能力；三是培养计算能力，以形成技能．变练演编的第1题考查学生灵活运用知识、发散思维及逆向思维的能力；第2题则是使学生更加深刻地体会复数除法的实质就是“分母实数化”，培养学生问题理解的深刻性、全面性．为了进一步巩固所学，又设计了巩固练习、达标检测和补充练习等环节．在补充练习中为学有余力的同学安排了拓展练习，增加思维量的同时也开阔了视野．备课资料我们知道，对于实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，如果b 2－4ac<0，那么它在实数集R 内没有实根．现在把实数集R 扩充为复数集C ，再来考察这一问题．经过变形，原方程可以化为x 2＋b a x ＝－c a， ∴x 2＋2·x·b 2a ＋(b 2a )2＝(b 2a )2－c a ，(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac (2a )2，(x ＋b 2a )2＝－[－(b 2－4ac )(2a )2]． 由于－(b 2－4ac )(2a )2是正实数，我们可以得到x ＋b 2a ＝±－(b 2－4ac )·i 2a . 所以当b 2－4ac<0时，实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0在复数集C 内有且只有两个根x ＝－b±－(b 2－4ac )·i 2a(b 2－4ac<0). 显然，它们是一对共轭复数．(设计者：许彩霞 董伟伟)。
人教A版高中数学选修复数代数形式的四则运算教案一新
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学要求：掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。
教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义教学难点：加、减运算的几何意义教学过程：一、复习准备：1. 与复数一一对应的有？2. 试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ +。
向量的加减运算满足何种法则？4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？二、讲授新课：1.复数的加法运算及几何意义①.复数的加法法则：12z a bi Z c di =+=+与，则12()()Z Z a c b d i +=+++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(72)(14)i i -++ （3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14),(72)i i +-，(32),(43),(5)i i i --++所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若12Z Z Z +=，则Z 叫做21Z Z 减去的差,21Z Z Z =-记作。
④讨论：若12,Z a b Z c di =+=+，试确定12Z Z Z =-是否是一个确定的值？（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）⑤复数的加法法则及几何意义：()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。
复数代数形式的四则运算(教学设计)(2)
(C)
1 i
(D) 1 i
1 1 i 1 i 1 i ，故选A 1 i (1 i )(1 i ) 2 2 2
【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。复数的运算要做到细心准确。
5
8.【2012高考江西文1】若复数 z 1 i （ i 为虚数单位) z 是z的共轭复数 ， 则 z 2 + z ²的虚部为 A 0 B -1 C 1 【答案】A D -2
3 i (3 i )(2 i ) 5 5i 1 i ，所以其共轭复数为 z 1 i ，选D. 2i (2 i )(2 i ) 5
4
3.【2012高考山东文1】若复数z满足 z (2 i ) 11 7 i(i 为虚数单位)，则 z 为 (A)3+5i 【答案】A 【解析】 z
a bi ac bd bc ad i(c+di≠0). c di c 2 d 2 c 2 d 2
两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复 数，再把结果化简
奎 奎
奎 奎 奎
奎 奎
四、布置作业： A组： 1、（课本P61习题3.2 A组：NO：4） 2、（课本P61习题3.2 A组：NO：5） 3、（课本P61习题3.2 B组：NO：1）
(1 2i )(1 2i ) 3 c ，所以解得 b 2 ， c 3 ，选D.
b 6.【2012高考陕西文4】设 a, b R ， i 是虚数单位，则“ ab 0 ”是“复数 a 为纯虚数”的（ i
）
A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 【答案】B.
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
复数的四则运算法则教案1北师大版选修22
总结反思：i的乘方运算的周期性规律是？
探究三：有关 1的三次方根
例1.设 ，求证：
（1） （2） （3）
变式练习：（B级）设 ，求证：
（1） (2) (3)
探究四：复数的除法的定义与运算法则：
例2.计算
解法一：（待定系数法）
解法二：（除法法则）
模块三达标提升
当堂检测：
1.（A级）若复数 ，则复数 的虚部等于
教学
重点
1.复数的加法运算法则
2.复数的减法运算法则
3.复数的乘法运算法则
教学
难点
1.复数的加、减法运算法则
2.复数的乘法运算法则
学法
指导
在学习中，要把概念和运算融为一体，切实掌握好。复数的加、减法运算法则类似于多项式中的合并同类项。复数的乘法与多项式的乘法完全类似，只是在运算过程中要把 换成 ，然后把实部与虚部分别合并。
教学过程
师生互动
反思
模块一预习导学
基础训练回顾：
1.分别写出下列复数 的共轭复数
2.
3. =
4.若复数 满足 ，则 =
5.计算
模块二合作探究
探究一：复数的正整数指数幂运算律：
（1）
（2）
(3)
探究二：复数的乘方运算：
。。。。。。
4n+1=, 4n+2=, 4n+3=, 4n=
1.（A级）计算：
（1） （2）
（2）设 ，在复数集C内，你能将 分解因式吗？
例3.已知复数Z满足 ，求Z的值
模块三达标提升
1.(A级) 的值为
2.(A级)i表示虚数单位，则 =
3.(A级)计算： =
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复数的概念及其几何意义;
二、推进新课：
建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。
设Z1 =a+bi, Z2 =c+di是任意两个复数，我们规定：
1、复数的加法运算法则：Z1+Z2=(a+从)+(b+d)i
2、复数的加法运算律：
交换律：Z1+Z2=Z2+Z1
结合律：Z1+Z2+Z3=Z1+(Z2+Z3)
教学目标：
知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算
过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
例3.计算，(师生共同板演一道，再学生练习)
练习：计算，
2.小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
三、巩固练习：
1.计算(1) (2) (3)
2.若，且为纯虚数，求实数的取值。变：在复平面的下方，求。
高中数学选修1,2《复数代数形式的四则运算》教案
知识与技能：掌握复数的四则运算;
过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
情感态度与价值观：通过复数的四则运算学习与掌握，进一步理解复数引发学生对数学学习的兴趣，激起学生的探索求知欲望。
教学重难点
熟练运用复数的加减法运算法则。
教学过程
教学设计流程
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教学过程：
学生探究过程：
1.复数的加减法的几何意义是什么?
2.计算(1) (2) (3)
3.计算：(1) (2) (类比多项式的乘法引入复数的乘法)
讲解新课：
1.复数代数形式的乘法运算
①.复数的乘法法则：。
例1.计算(1) (2) (3)
(4)
探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律?
例2.1、计算(1) (2) (3)
②共轭复数：两复数叫做互为共轭复数，当时，它们叫说出下列复数的共轭复数。
③类比，试写出复数的除法法则。
2.复数的除法法则：
其中叫做实数化因子
3、复数加法的几何意义:
4、复数的减法运算法则: Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i
5、复数减法的几何意义:
三、例题讲解
例1：计算：(7-3i)+(-1-i)-(6+3i)
课后小结
复数的加法与减法的运算及几何意义
课后习题
课本习题3.2 A组1题、2题、3题.
高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》教案【二】