灰色系统预测

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灰色预测法

灰色预测法1.介绍灰色预测就是灰色系统所做的预测，灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙教授创立的一种兼具软硬科学特性的新理论。

灰色系统的具体含义就是：部分信息已知，部分信息未知的某一系统。

一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。

例如物价系统，导致物价上涨的因素有很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。

2.适用问题灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。

比如说人口预测、气象预报、初霜预测、灾变预测（如地震时间的预测）、数列预测（如对消费物价指数的预测）。

灰色预测模型所需要的数据量比较少，预测比较准确，精确度比较高。

样本分布不需要有规律性，计算简便，检验方便。

灰色GM(1,1) 模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论进行预测的方法，对历史数据有很强的依赖性，没有考虑各个因素之间的联系，所以误差偏大，只适合做中长期的预测，不适合长期预测。

3.数学方法核心步骤3.1数据的检验与处理首先，为了确保建模方法的可行性，需要对抑制数据作必要的检验处理，设参考数据为(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，计算数列的级比(0)(0)(1)().2,3,...,()x k k k n x k λ-==如果所有的级比()k λ 都在可容覆盖2212(,)n n ee-++ 内，则数列(0)x 可以作为模型GM(1,1)的数据进行灰色预测，否则，需要对(0)x 做必要地变换处理，使其落入可容覆盖内，即取适当的c ，做平移变换(0)(0)()(),1,2,...,y k x k c k n =+=则是数列(0)(0)(0)(0)()((1),(2),...,())y k y y y n =的级比(0)(0)(1)(),2,3,...,()y y k k X k n y k λ-=∈=3.2 建立模型按照下面的办法建立模型GM （1,1）（1）由上面的叙述知道参考数据列为(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，对其做一次累加（AGO ）生成数列(1)x(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(1)(0)((1),(2),...,())((1),(1)(2),...,(1)())x x x x n x x x x n x n ==+-+其中(1)(0)1()()(1,2,...,)ki x k x i k n ===∑ 。

灰色预测理论详解

单序列灰色预测模型
灰色系统理论认为：系统的行为现象尽管朦胧，数据尽管复杂，但它必然是有序的，都存在着某种内在规律。不过这些规律被纷繁复杂的现象所掩盖,人们很难直接从原始数据中找到某种内在的规律. 灰色生成：建立灰色模型之前，需要对原始时间序列按照某种要求进行预处理，得到有规律的时间序列数据—生成列。即对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在规律. 常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍：
灰色预测理论
胡亚飞彭
敬
李云飞
吕连磊苗成林
沈聪
目录
灰色系统理论简介以及发展灰色预测理论 —灰色预测简介 —灰色预测类型 —灰色预测模型 —灰色预测检验案例以及软件实现
灰色系统理论简介
灰色系统理论是由我国著名学者邓聚龙教授于1982年创立的“以部分信息已知，部分信息未知的小样本、贫信息”不确定系统为研究对象的一门系统科学新学科，具有原创性的科学意义，是我国对系统科学的新贡献，目前已受到国内外学术界的广泛重视，并在农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科学、控制科学、航空航天等众多领域中得到了广泛的应用，解决了许多过去难以解决的实际问题。
(1)
k
累加生成的作用：通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化。 2.累减生成对数列求相邻两数值的差，是累加生成的逆运算。记原始序列为 X(1)=(x(1)(1), x(1)…(2),…),x(1)(n)) 一次累减生成序列为 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),…,x(0)(n)) 其中，x(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1) 累减生成的作用累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模方程用来获得增量信息。

灰色预测法

则关联系数定义为：
min min Xˆ 0k X 0k max max Xˆ 0k X 0k
(k)
Xˆ 0k X 0k max max Xˆ 0k X 0k
式中：
Xˆ 0k X 0k 为第k个点 X 0 和 Xˆ 0 的绝对误差； min min Xˆ 0k X 0k 为两级最小差； max max Xˆ 0k X 0k为两级最大差；
二、生成列
为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
（1）数据处理方式灰色系统常用的数据处理方式有累加
和累减两种。
累加累加是将原始序列通过累加得到生成列。
累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成列的第一个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数据上，其和作为生成列的第二个数据，将原始序列的第三个数据加到生成列的第二个数据上，其和作为生成列的第三个数据，按此规则进行下去，便可得到生成列。
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。
（2）灰色预测法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系
统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预则，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
• 灰色系统理论提出了一种新的分析方法—— 关联度分析方法。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5；对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。

灰色预测理论-定义

什么是灰色预测法?灰色预测是就灰色系统所做的预测。

所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。

一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。

例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。

灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。

尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

简言之，灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述（模糊预测领域中理论、方法较为完善的预测学分支）。

灰色系统的概念是由邓聚龙教授于1982年提出的，它描述部分信急己知，部分未知介于黑白系统之间的系统。

GM（1,1）模型是灰色理论中较常用的预测方法，它以定性分析为先导，定量与定性结合，对离散序列建立微分方程以及白化方程，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤。

灰色系统通过对原始数据的整理来寻求其变化规律，这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，称为灰色序列的生成。

生成数通过对原始数据的整理寻找数的规律，分为三类：a、累加生成：通过数列间各时刻数据的依个累加得到新的数据与数列。

灰预测

4）模型检验。检验方法与GM（1，1）模型检验类似。
1.数据的检验与处理为了保证GM（1，1）建模方法的可行性，需要对已知数据做必要的检验处理。设原始数据列为 x (0) ( x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n)) 计算数列的级比 ( 0)
x (k 1) (k ) ( 0 ) , k 2,3,, n. x (k ) 2
第三节灰预测
灰预测
灰预测是灰色系统理论中的一个重要内容, 它是指基
于灰色系统理论的GM(1,1)模型的预测。灰预测可分
为五类：
1. 数列预测(Sequence Grey Prediction)
级比 (0) (k ) 落于可容区的(大)惯性序列, 可以直接
建立GM(1,1)模型, 以预测数据值的分布, 称为数列灰预测。概括的来说, 即为对数据大小进行的预测。
对发生在特定时区(季节)的事件作时分布预测, 称为季节灾变灰预测。通俗的说, 即为对一年或某个季节内发生的灾变或异常值进行的预测。
灰预测
4. 拓扑灰预测(Topological Grey Prediction)
对于大幅度摆动序列, 按点集拓扑基选取时分布序列, 作 GM(1,1)建模, 预测拓扑基的时分布, 以达到预测摆动序列未来发展态势的目的, 称为拓扑灰预测。它是一种全波形预测 , 是整体预测。
ˆ (a, u)T ( BT B)1 BTYN 2）用最小二乘法估计得到参数 a
1 (1) (1) ( x (1) x (2)) 2 1 ( x (1) (2) x (1) (3)) 2 B 1 ( x (1) (3) x (1) (4)) 2 1 (1) ( x (4) x (1) (5)) 2

灰色预测原理及实例

灰色预测原理及实例
一、灰色预测原理
灰色预测，是指根据动态系统的过去试验数据和实测数据，利用灰色规律进行预测的一种数学方法。

灰色预测的基本思想是：由内在原理和系统的实际运行数据，建立有关系的关于未来时间的数学模型，即所谓的灰色系统模型，从而建立未来状态的预测模型。

二、灰色预测实例
1、灰色模型在汽车行业的应用
汽车行业是一个特殊的行业，其市场受到很多因素的影响，因此，在汽车行业预测中，灰色模型能够很好地发挥其优势。

首先，根据汽车市场的详细统计数据，如汽车生产量、销售量，可以采集过去一定时间段内（如一年、两年）汽车的生产量及销售量等数据，将这些数据经过一定的模型处理，形成一个灰色模型，利用该模型可以预测汽车行业的今后发展趋势。

2、灰色模型在电力行业的应用。

灰色预测

(5)
x (1) (1) 由于 x (1) (i) 的两个时刻的值，因此， t 涉及到累加列 x
x(i ) (i) 替换为取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将
2 灰色系统的模型
1 (i ) [ x (i ) x (i ) (i 1)], (i 2,3,..., N ). 2
将（5）写为矩阵表达式
售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要求作精度检验。
则(6)式的矩阵形式为
y BU
ˆ a T 1 T ˆ U ( B B) B y ˆ u
(6)’
方程组(6)’的最小二乘估计为 (7)
2 灰色系统的模型
ˆ ˆ 把估计值 a与u 代入（4）式得时间响应方程
ˆ ˆ u ˆ u ˆ (1) (k 1) x(1) (1) e ak x ˆ ˆ a a
类似地有
x(1) (3) x (1) ( N ) (0) x (3),..., x (0) ( N ). t t
于是，由式（3）有
ì x ( 0) (2) + ax (1) (2) = u , ï ï ï ï ( 0) ï x (3) + ax (1) (3) = u , ï ï í ï .............................. ï ï ï ( 0) ï x (N ) + ax (1) (N ) = u . ï ï î
2 灰色系统的模型把 ax
(1)
(i) 项移到右边，并写成向量的数量积形式
(0) a (1) x (2) [ x (2), 1] u a (0) (1) x (3) [ x (3), 1] u (0) a (1) x ( N ) [ x ( N ), 1] u

灰色系统预测GM(1,m)

灰色GM （1,1）模型及其原理1灰色GM （1,1）模型的构建GM （1,1）模型是将离散的随机数经过依次累加成算子，削弱其随机性，得到较有规律的生成数，然后建立微分方程、解方程进而建立模型。

设所要预测的某项指标的原始数据序列为：()()()()()()()()(){}n X X X X X 00000,,3,2,1 =对原始数据序列作一次累加生成处理，获得新的数据序列： ()()()()()()(){}n X X X X1111,,2,1 = 式中：()()()()∑==i k k X i X 101 n i 3,2,1=经过累加处理，新生成的数据序列与原始的数据序列相比，具有平稳性增强而波动性减弱的特点。

对生成数列建立GM （1，1）白化形式的微式方程[4]：()()()u aX dt t dX =+11式中：a 称为发展系数，u 称为内控发展灰数。

利用最小二乘法拟合求得估计参数：()n TT X B BB u a 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 式中：()()()()[]()()()()[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-=1121121211111n X n X X X B()()()()()()[]n X X X X n 000,,3,2 =将B 带入公式，最终确定GM （1,1）预测模型()()()()a e a X t X at μμ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∧∧100 n t 2,1,0= 将值代入离散模型公式求()()t X ∧1，预测的累加值还原为预测值：()()()()()()1110--=∧∧∧t X t X t X2模型精度的检验2.1残差检验计算残差()()t 0ε及其相对残差()()t q 0，即：()()()()()()1000--=∧t x t x t ε，()()()()()()%100000⨯=t x t t q ε n t ,,2,1 =相对残差()0q 越小，表示模型精度越高。

灰色预测与决策

灰色预测与决策灰色系统中的预测与决策部分主要包括序列算子生成；GM 预测模型即GM(1,1)，GM(1，N),GM(0，N),GM(2,1),Verhulst及GM(r,h)模型和离散灰色模型等；灰色系统预测；灰色关联分析；灰色聚类评估；灰色决策模型等内容。

我们知道灰色系统理论是研究少数据，贫信息不确定性问题的新方法，是通过对原始数据的挖掘、整理中寻求其变化规律。

而且传统的GM(1,1)模型利用的数据是近指数，低增长的数据，所以就需要我们对数据进行处理。

这里可以用缓冲算子、初值化生成算子、均值化生成算子、区间值化生成算子减少干扰或函数变换即对数变换、平移变换、开方变换、余弦函数变换、正切函数变换、负指数函数变换、幂函数变换、中心位似函数变换等缩小级比偏差，使数据适于建模。

1、灰色预测部分:1)、数据经过以上的处理后，基本适于建模，传统的预测模型有GM(1,1)模型，其原始形式如下： ()()b k ax k x =+)()(10，其基本形式如下：()()b k az k x =+)()(10，此方程是用均值()()k z 1代替()()k x 1，使得数据更平滑，其中()()()()()()k x k x k z 111121)(+-=，叫做方程的背景值，-a 是发展系数，b 是灰作用量。

这里的a,b 是利用最小二乘法求出来的。

白化方程为：()()b k ax dtdx =+)(11 时间响应函数为：()()()()a b e a b x t x t a +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1111)( 时间响应序列为：()()()a b e a b x k x ak +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-∧1)1(01 还原值是：()()()()()()()()()ak a e a b x e k x k x k x -∧∧∧⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+=1110110 模型的求解是先用最小二乘法将a,b 求出，再利用白化微分方程求出解。

灰色预测模型讲解

6.2
序列算子与灰色序列生成
公理 6-1（不动点公理） D 为序列算子，则 D 满足
设 X 为系统行为数据系列，
x(n)d=x(n)
公理 6-2（信息充分利用公理）系统行为数据序列 X 中的每一个数据 x(k),k=1,2,…,n 都应充分的参与算子作用的全过程。公理 6-3 （解析化、规范化公理）任意的 x(k)d,(k=1,2,…,n), 皆可由一个统一的 x(1), x(2) ,…,x(n)的初等解析式表达。
1 x ( k ) n0
x ( k 1) x ( k 1)
x (n ) x(n )
T
T

x(k )
新弱化算子
x ( k )d
1 [kx ( k ) ( k 1) x ( k 1) nx ( n )] ( n k )( n k 1) 2 k 1, 2, , n
6.2
序列算子与灰色序列生成
定义 6-5 设 X 为系统行为数据系列，D 为作用于 X 的算子，X 经过算子 D 作用后所得序列记为
XD x1d , x2d , , xnd
称 D 为序列算子，称 XD 为一阶算子作用序列。序列算子的作用可以进行多次，相应的，若 D1,D2,D3 皆为序列算子，我们称 D1D2 为二阶算子，并称
第6章灰色系统预测
定义 2 设 X
(0)
ˆ 为原始序列， X
( 0)
为相应的模拟序列，
(0)
为残差序列，则
1 n ( 0) 1 n (0) 2 2 x x (k ) ， S1 ( x (k ) x ) n k 1 n k 1

灰色预测

灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类： (1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。 (2) 畸变预测（灾变预测）。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。 (3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。 (4) 系统预测，是对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。
关联度分析是分析系统中各因素关联程度的
方法。计算关联度需先计算关联系数。
1.2 灰色预测的概念
1.2 灰色预测的概念
1.2 灰色预测的概念
1.3 灰色预测模型
x (k ) x (0) (i ) x (1) (k 1) x (0) (k )
(1) i 0 k
X (1) {x(1) (1), x(1) (2),..., x(1) (n)}
1.2 灰色预测的概念
(2) 累减生成数(IAGO) 是累加生成的逆运算。记原始序列为 X (1) {x(1) (1), x(1) (2),..., x(1) (n)} (1) 对 X 做一次累减生成，得生成序列 X (0) {x(0) (1), x(0) (2),..., x(0) (n)} 其中 x(0) (k ) x(1) (k ) x(1) (k 1) 规定 x(1) (0) 0 累加生成与累减生成之间的关系如下图所示： 1-AGO IAGO
X (0) {x(0) (1), x(0) (2),..., x(0) (n)}

灰色系统预测

1 预测方法介绍预测方法可分为定性和定量预测两种。

定性预测是依据预测者对预测对象有关情况的了解和分析，由预测者根据实践经验和主观判断做出的预测，可分为市场调研法、专家预测法、主观概率法、交叉影响法等。

该方法主要用于对预测对象的未来性质、发展趋势和转折点进行预测。

定量预测是以大量的历史观察值为主要依据，建立适当的数学模型进行预测，推断和估计预测目标的未来值。

预测精度和把握度较高，克服了定性分析不足。

具体方法包括相关因素预测法和时间序列预测法。

1．相关因素预测常用预测方法为一元线性回归法和多元线性回归法。

两者均需要建立线性回归模型进行预测。

线性回归模型一般是用于测定经济现象之间在数量上变化的一般关系，运用最小二乘法，计算出经济指标在时间上的变化关系和发展趋势。

在搜集数据齐全的基础上，构建线性回归模型，再由最小二乘法计算回归系数，最后由建立的线性回归模型预测未来年的指标结果。

2.时间序列预测时间序列预测是针对已知的历史数据进行分析，建立时间序列模型预测。

常用方法有指数平滑法、灰色预测法。

指数平滑法是移动平均法的一种，其特点在于给过去的观测值不一样的权重，即较近期观测值的权重比较远期观测值的权重要大。

根据平滑次数不同，指数平滑可分为一次指数平滑、二次指数平滑等。

如果实际数据具有较为明显的变动趋势时，采用一次指数平滑直接预测。

当时间序列的变动出行直线变动趋势时，采用一次指数平滑预测具有明显的滞后偏差，因此需要在一次指数平滑基础上进行二次指数平滑，利用滞后偏差规律找出数据的变化趋势，然后建立直线趋势预测模型，这便是二次指数平滑法。

灰色预测是通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统的发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。

灰色预测模型能够根据现有的少量信息进行计算和推测。

最常用的灰色预测模型是GM(1,1)模型。

G 表示Gray （灰色），M 表示Model （模型），GM （1，1）表示1阶的、1个变量的灰色模型。

灰色预测模型GM

灰色预测模型GM (1,1)§1 预备知识灰色预测是就灰色系统所做的预测。

所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统。

一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。

例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。

灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。

平面上有数据序列()()(){}n n y x y x y x ,,,,,,2211 ，大致分布在一条直线上。

设回归直线为：b ax y +=，要使所有点到直线的距离之和最小（最小二乘），即使误差平方和()∑=--=ni i i b ax y J 12最小。

J 是关于a , b的二元函数。

由()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅--⋅=∂∂=-⋅--⋅=∂∂∑∑==0120211ni ii i ni i i i i b x a y b J x b x a y a J()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--⇒∑∑==00112ni i i n i i i i i b a y bx ax y x 则得使J 取极小的必要条件为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⋅∑∑∑∑∑=i iii n i i i y nb x a y x x b x a 12（*）()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22222i i i i i i i i i i i i i x x n y x x x y b x x n y x y x n a (1) 以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。

灰色系统理论在预测领域的应用

灰色系统理论在预测领域的应用一、灰色系统理论概述灰色系统理论是一种针对缺乏数据或信息不完全不确定性问题的理论，对于这些问题的预测或者决策提供了一种方法。

它是中国学者陈纳德于1982年提出的，并且在中国获得了成功地应用，成为国际上新兴的研究方向之一。

灰色系统理论建立在不确定性信息的基础上，所处理的数据量较小，数据来源不确定，但灰度值分布比较明显，比如股市、气候、疾病等领域，这些领域数据都存在不确定性，所以适合应用灰色系统理论。

二、灰色系统模型灰色系统理论主要应用灰色系统模型进行分析。

灰色系统模型的本质是一种数学模型，它通过数学方法，整合有限的信息资源、利用有限的数据，建立出一组模型来描述这些问题，使模型能够更好地反映系统的特性。

灰色系统模型的优点是能够利用少量的数据来预测未来的趋势，并且减少对数据的要求。

而与其他预测模型相比，灰色系统模型所需的数据量是最少的。

三、灰色系统理论在预测领域的应用1、天气预测天气预测是大众常关心的话题，气象数据来源复杂，计算分析复杂，灰色模型的应用可以充分利用气象数据的6倍次方分之一的样本数据量，减少数据对模型的要求，提高预测准确度。

较为实用的天气预测模型是GM(1,1)模型。

该模型具有计算简单、便于实施等优点，当然准确率上还有提升空间。

2、金融市场预测金融市场变化快速，灰色系统理论模型可以很好地利用各种现有的市场状况进行预测。

在股票交易市场中，常用的灰色系统理论是GM(1,1)模型，根据历史数据和市场情况，进行分析建立模型，进行未来趋势预测等。

3、疾病预测疾病预测是一项重要的医学组成部分，它可以早期发现疾病，及时采用有效的预防措施来遏制疾病的蔓延。

灰色系统理论可以根据病毒在人群中的传染力和人口迁移等因素，对流行病的发展趋势进行预测，更加准确地早期预测传染病的流行。

4、能源预测能源预测一直是复杂的问题，而灰色系统理论的应用可得以解决。

灰色系统理论可以将能源消耗的趋势和变化因素进行分析，建立一个科学、可靠的能源预测模型。

灰色系统理论及其应用

灰色系统理论及其应用一、灰色系统理论概述灰色系统理论，是一种研究不确定性问题的方法。

它起源于20世纪80年代，由中国学者邓聚龙教授提出。

灰色系统理论认为，现实世界中的许多问题并非非黑即白，而是介于黑白之间的灰色地带。

这种理论为我们处理复杂、模糊、不确定性问题提供了一种新的视角。

灰色系统理论的核心思想是通过对部分已知信息的挖掘和加工，实现对整个系统行为的合理预测和控制。

它将系统分为白色系统、黑色系统和灰色系统。

白色系统是指信息完全已知的系统，黑色系统是指信息完全未知的系统，而灰色系统则是介于两者之间的系统，部分信息已知，部分信息未知。

二、灰色系统理论的基本原理1. 灰灰是灰色系统理论的基础，它通过对原始数据进行处理，具有规律性的序列。

常见的灰方法有累加（AGO）、累减（IGO）和均值等。

2. 灰关联分析灰关联分析是灰色系统理论的重要方法，用于分析系统中各因素之间的关联程度。

通过对系统各因素发展变化的相似度进行比较，揭示系统内部因素之间的联系。

3. 灰预测灰预测是灰色系统理论在实际应用中的重要手段，它通过对部分已知信息的挖掘，建立灰色模型，对系统未来发展趋势进行预测。

三、灰色系统理论的应用领域1. 经济管理灰色系统理论在经济学和管理学领域具有广泛的应用，如企业竞争力分析、市场预测、投资决策等。

通过灰关联分析，可以找出影响企业发展的关键因素，为企业制定发展战略提供依据。

2. 工程技术在工程技术领域，灰色系统理论可用于设备故障预测、质量控制、能源消耗分析等。

例如，通过对设备运行数据的分析，建立灰色预测模型，提前发现潜在故障，确保设备安全运行。

3. 社会科学4. 生态环境在生态环境领域，灰色系统理论可以用于水资源评价、环境污染预测、生态平衡分析等。

通过对生态环境数据的挖掘，有助于我们更好地了解和把握生态环境的发展态势。

四、灰色系统理论的优势与局限性优势：1. 对小样本数据的适用性：灰色系统理论不需要大量数据即可进行建模和分析，这对于样本量有限的情况尤其有价值。

灰色预测模型

(1)
dx
(t)
(1)
ax
(t)b,
dt
解为
b
a
(
t
1
) b
x(
t)
(
x(
1
))
e
.
a
a
(
1
)
(
0
)
（3）
于是得到预测值
b
b
(
1
)
(
0
)

ak
ˆ
x(
k

1
)

(
x(
1
)

)
e
,
k

1
,
2
,

,
n

1
,
a
a
从而相应地得到预测值：
(
0
)
(
1
)
(
1
)
ˆ
ˆ
ˆ
x
(
k

1
)

x
(
k

1
)

x
(
k
lim
dt
t
t 0
而（ 1）( x ( k )) x ( k ) x ( k 1 ), 相当于
t 1
（3）加权邻值生成
(
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
)
x

(
x
(
1
),
x
(
2
),

,
x
(
n
))
设原始数列为

(完整版)灰色预测模型

我们说X (1)是X (0)的AGO序列，并记为
当且仅当
X (1) AGO X (0)
X (1) x(1) 1, x(1) 2,L , x(1) n
k
并满足 x(1) (k) x(0) (m) (k 1, 2,L , n) m1
例1 摆动序列为：X (0) 1, 2, 1.5, 3
3、灰数及其运算
只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰数，通常记为：“”。
例如： 1. 头发的多少才算是秃子。应该是个区间范
围。模糊 2.多少层的楼房算高楼，中高楼，低楼。 3.多么重才算胖子？。
灰数的种类：
a、仅有下界的灰数。有下界无上界的灰数记为： ∈[a, ∞] b、仅有上界的灰数。有上界无下界的灰数记为： ∈[-∞ ,b] c、区间灰数既有上界又有下界的灰数： ∈ [a, b] d、连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续灰数。
这表明
IAGO X (1) IAGO(பைடு நூலகம்AGO X (0) ) X (0)
3. 均值生成算子（MEAN）
定义它是将AGO序列中前后相邻两数取平均数，以获得生成序列。令X (1)为X (0)的AGO序列
X (1) x(1) 1, x(1) 2,L , x(1) n
称Z (1)为X (1) 的MEAN序列，并记为
定义它是对AGO生成序列中相邻数据依次累减，又称累减生成。令X (0)为原序列
X (0) x(0) 1, x(0) 2,L , x(0) n
称Y是 X (0)的IAGO序列，并记为
当且仅当
Y IAGO X (0)
Y y(1), y(2),L , y(n)

灰色预测是指利用GM模型对系统行为特征的变化规律进行预测

灰色预测是指利用GM 模型对系统行为特征的变化规律进行预测，同时也可以对行为特征的发展变化的时刻进行估计，以及在特定时区内发生事件的未来事件分布情况作出研究等等，这些工作的实质是将“随机情况”当做“灰色过程”，“随机变量”当做“灰变量”，并主要以灰色系统理论中的GM(1,1)模型来进行处理。

在预测时间范围为a ：5月31日0时0分至5月31日23时45分时，对PA 进行灰色预测。

第一步：级别检验建立5月31日0时0分之前的7组数据的时间序列如下： ()()()()()()()()()()()()()()()()7,6,5,4,3,2,100000000x x x x x x x x ==（170.6250，290.6250，267.7500，203.2500，307.6875，279.0938，195.1875）（1）求级比()k λ()()()()()k x k xk 001-=λ ()()()()()()()7,6,5,4,3,2λλλλλλλ= =（0.6,1.085,1.3,0.7,1.1,1.4）（2）级别判断由于所有的()[]4.16.0-∈k λ，()7,6,5,4,3,2=k ,故可以用作满意的GM(1,1)建模。

第二步：GM(1,1)建模（1）对原始数据()0x 做一次累加，即()()2188.1714,0313.1519,9375.1239,25.932,729,25.461,625.1701=x（2）构造数据矩阵B 及数据向量Y()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+-+-=1762116521132211212111111111x x x x x x x x B, ()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=76320000x x x x Y (3)计算∧μ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛===T -T T∧8936.2920367.0,1Y B B B b a μ于是得：a=0.0367,b=292.8936 (4)建立模型()()8936.2920367.011=+xdtdx求解得：()()()()kak e ab ea b x k x 0023.00197.780860.797911--*-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+（5）求生成数列值()()11+∧k x 及模型还原值()()10+∧k x 令k=1,2,3,4,5,6,由上面的时间响应函数()1∧x ，其中取 ()()()()()()625.170111001===∧∧x x x由()()()()()()1110--=∧∧∧k x k x k x ，取k=2,3,4,5,6,7，得 ()(),2460.234,0038.243,0890.252,5140.261,2912.271,4341.281,625.1700=∧x第四步：模型检验模型的各项检验指标值的计算结果如下表：第一个时点进行预测，由附件1可得：预测值为：225.8037，实测值为：249.0938，计算相对误差为：0.0935。

灰色预测

′ X 2 = (1,1.063,1.1227,1.1483)
′ X 3 = (1,.097,1.0294,1.0294 )
′ X 4 = (1,1.0149,0.805,0.7 )
第二步：第二步求序列差 ∆ 2 = (0,0.1155,0.1992,0.2335)
∆ 3 = (0,0.0225,0.1059,0.1146)
1 1 1 1 1
计算BTB,(BTB)-1和BTYn
− 42.45 − 74.6 − 42.45 − 74.6 −108.05 −143 −179.65 T * −108.05 B B = 1 1 1 1 1 −143 −179.65
X 3 = (3.4,3.3,3.5,3.5) X 4 = (6.7,6.8,5.4,4.7 )
参考序列分别为X 1 ，被比较序列为 X 2 , X 3 , X 4 试求关联度。
以
X 1 为参考序列求关联度
第一步：初始化，即将该序列所有数据分
别除以第一个数据。得到：
X 1′ = (1,0.9475,0.9235,0.9138)
ˆ ˆ X (1) (i ) 累减生成 X (0 ) (i ),
ˆ 然后计算原始序列X (0 ) (i )与 X (0 ) (i ) 的绝对误差序列及相
对误差序列。
ˆ ∆(0 ) (i ) = X (0 ) (i ) − X (0 ) (i )
∆(0 ) (i ) φ (i ) = (0 ) ×100% X (i )
∆ 4 = (0,0.0674,0.1185,0.2148)
第三步：第三步求两极差
M = max max ∆ i (k ) = 0.2335