工程流体力学(孔珑版)第四章_题解

第四章 流体运动学和流体动力学基础

【4-2】 已知平面流动的速度分布规律为

j y

x x

i y x y v 2

22222+++-=πΓπΓ 式中Γ为常数。求流线方程并画出若干条流线。

【解】 由题设，()2

22,y x y y x v x +-=πΓ，()2

22,y x x

y x v y +=

πΓ

代入流线的微分方程

()()

t z y x v y

t z y x v x y x ,,,d ,,,d =

得

2

22

22d 2d y x x y y x y x

+=

+-

πΓπΓx

y y x d d -=y

y x x d d -=⎰⎰-=y y x x d d

C y x +-=222

1

21'22C y x =+

【4-4】 已知流场的速度分布为

k xy j y i xy v +-=32

3

1

（1）问属于几维流动？（2）求（x , y , z ）=（1, 2, 3）点的加速度。

【解】 （1）由于速度分布可以写为

()()()k y x v j y x v i y x v v z y x

,,,++= (1)

流动参量是两个坐标的函数，因此属于二维流动。

（2）由题设，

()2,xy y x v x = (2)

()331

,y y x v y -= (3)

()xy y x v z =, (4)

()()()()

43222232223

10

23

1

031d d xy xy y y xy xy z

xy xy y y xy x xy xy t z v

v y v v x v v t v t v a x z x y x x x x x =+⋅-+=∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==

(5)

()

5233333233

10

31

003131313131d d y y y y z xy y y y y x xy y t z

v v y

v v x

v v t

v t

v a y z

y y

y x

y y y =+-⋅-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=

∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=

= (6)

()()()()3

32323

20

3

1

031d d xy x y y xy xy z

xy xy y y xy x xy xy t z v

v y v v x v v t v t v a z z z y z x z z z =+⋅-⋅+=∂∂

+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==

(7)

将x =1，y=2，z =3代入式(5)(6)(7)，得

31621313144=⨯⨯==

xy a x 332

2313155=

⨯==y a y 31621323233=⨯⨯==xy a z

【4-15】 图4-28所示为一文丘里管和压强计，试推导体积流量和压强计读数之间的关系式。

图4-28 习题4-15示意图

【解】 列1-1、2-2断面的能量方程：

w a a h g

p z g v g p z g v +++=++ραρα222

2

21121

122 (1) 不计损失，h w =0，取α1=α2=1，则

g

p z g v g p z g v ρρ222

2112122++=++ (2)

g v g v g p z g p z 2221222211-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ρρ (3) 设液体ρm 左侧界面的坐标为z 3，由流体静力学基本方程，得

()()gH H z z g p z z g p m ρρρ+--+=-+322311 (4)

()()g

gH H z z g p

z z g p m ρρρρ+--+=-+322311 (5)

ρ

ρρρH H z g p

z g p m +-+=+2211 (6)

H z g p z g p m ⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+12211ρρρρ (7) 由式(3)(7)，得

g v g v H m 221212

2-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-ρρ (8)

由于连续方程

2211v A v A = (9)

2114

d A π

=

2

224

d A π=

(10)

22

2121v d v d = (11)

2

2

2

112d d v v = (12)

由式(8)，得

2

12212v v H g m -=⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-ρρ (13) 将式(12)代入式(13)，得

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112424

121212

22211d d v v d d v H g m ρρ (14)