本科生毕业论文 《高考数学新定义题型解法探究》

曲靖师范学院本科生毕业论文（第六稿）论文题目: 高考数学新定义题型解法探究作者、学号：杨永仙2011111135学院、年级：数学与信息科学学院2011级学科、专业：数学数学与应用数学指导教师：黄丽云高考数学新定义题型解法探究摘要新定义题型是近些年来高考考查的重要问题，它有内容新、抽象性、即学即用等特点，是考查学生的综合能力，发掘学生潜能的较佳题型.学生在解决这类问题时，若是以阅读理解为前提，基础知识为载体，灵活运用为目的，掌握数学知识之间的联系与区别，寻求正确有效的解题途径，寻找科学有效的解题方法，就可以使得各类新定义问题迎刃而解.但是在实际操作时，由于这类问题新颖别致又灵活多样，有的学生读懂题目尚且困难，更谈不上解题.论文给出了解新定义题型的一般步骤，并概括分析了高考数学常见的几类新定义题型，包括概念新定义型、运算新定义型、性质新定义型、集合新定义型、函数新定义型、数列新定义型、变换新定义型.旨在拓展学生分析问题的思路，提高学生解新定义型问题的能力.关键词：新定义题型；解题方法；概念新定义题型；运算新定义题型；性质新定义题型Solutions to the Mathematical Problems on the New Definition in CollegeEntrance ExaminationAbstract: The mathematical problems on the new definition are hot issues in college Entrance Examination in recent years. It has some features, such as the elements of creation, abstraction, flexibility and so on, and it is to examine the overall quality of students and the ability to tap the potential of students preferred kinds of questions. Students in solving such problems, If the premise of reading comprehension, the basic knowledge of the carrier, the flexible use for the purpose, grasping connections and differences of mathematics and seeking proper and effective problem-solving approach, looking for scientific and effective problem-solving methods. They can make all kinds of new definition problems solved. However, in actual operation,because of flexiblity and variety of these problems, some students read the title difficultly yet, not to mention solving. Paper gives the general steps to solve the new definition problems, and summaries common types of new definition problems in the mathematical entrance examination, including the new definition of the concept types, the new definition of arithmetic types, the new definition of nature types, the new definition of set types, the new definition of function and sequence types, the new definition of converting types. Aims to expand the students to analyze ideas, improve students' ability to solve the problems on the new definition.Keywords: problem on new definition; problem-solving approach; the new definition of the concept types; the new definition of arithmetic types; the new definition of nature types目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1国内外研究现状 (1)2.2国内外研究现状评价 (2)2.3提出问题 (2)3 高考数学新定义题型解法探究 (3)3.1新定义题型概述 (3)3.2新定义题型的特点 (3)3.3解新定义题型的步骤 (3)3.4高考数学常见的几类新定义题型 (4)3.4.1概念新定义型 (4)3.4.2运算新定义型 (6)3.4.3性质新定义型 (9)3.4.4集合新定义型 (12)3.4.5函数新定义型 (13)3.4.6数列新定义型 (15)3.4.7变换新定义型 (18)4 结论 (20)4.1主要发现 (20)4.2启示 (20)4.3局限性 (20)4.4努力方向 (21)参考文献 (22)1 引言新课标课程背景下，数学教学日益强调学生的理性思维和数学素养，创新意识和实践能力的培养.数学课程应致力于实现高中数学培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使不同的学生在数学上得到不同的发展.提高学生发现和提出问题，分析和解决问题的能力，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和判断.随着新一轮课程改革的深入和推进，高考的改革更加重视考查学生的学习潜力，因此各类新题型层出不穷，尤其新定义型问题成为高考考查的热点.随着时代的进步，科学的发展，在近几年来国内外的升学考试、智力测试以及数学竞赛试题中新定义题型较为突出，这类问题内容新颖别致又灵活多样，目的是很好的考查学生的阅读理解能力，对知识的迁移能力以及后续的学习潜力.作为学业水平考试的高考，既要兼顾对知识能力的考查，又要体现选拔的区分度、公平性和数学的导向性，因此新定义型问题受到了广大命题者的亲睐。

新定义型问题成为高考的热点，而学生的数学素养不高，遇到新颖别致的题目，许多学生会心里紧张、没底气，感到束手无策，不知如何下手.出现这种现象的原因就在于学生只以课本上学过的知识为主，不会以点带面，对知识进行迁移.为了考试而进行题海战术，学生只会一味的做题，在解决过程中看到熟悉的内容，只会用相应的知识点生搬硬套，盲目乱撞，最终却达不到解题的目的.因此就要求我们寻求正确有效的解题途径，寻找科学有效的解题方法.数学方法是数学解题的关键，它反映了人们的理性思维和数学素养.可见我们在解决新定义型问题时应重在对数学方法的引领和优化学生的思维品质.本文在对近几年高考试题分析的基础上,归纳总结涉及新定义型常见的几类问题及其求解方法，旨在拓宽人们分析问题的思路，提高人们解新定义型问题的能力.2 文献综述2.1国内外研究现状现查阅到的参考文献中，分别对数学新定义类型和各种思想方法在解决新定义型问题中的应用做出说明．其中卢珍在文献[1]中提到高考新定义题型的三大类型：主要体现为新观点型创新试题、新定义型创新试题、探究型创新试题，以上试题都是以高等数学为背景而设计的创新型试题，因为高等数学的基本思想和方法是考查学生进一步学习潜能的良好素材．郑一平在文献[2]中对高考新定义型问题做了部分归纳分析．陈华安在文献[3]中针对新课标背景下新定义型试题的编制方法做出了简要说明．张为军在文献[4]中提出新定义型的实质性问题，“变”中也有“不变”的规则，变在于它的表象变了，不变的还是用我们曾学过的思想方法来解题.莫汉才、李圣汉、顾干虎、陈华安在文献[5-7]中就新定义型问题的重要性及求解方法展开叙述．李记林在文献[8]中提到新定义型试题鼓励重视数学应用的教与学，用相关的知识灵活地解决问题，在解决这一问题的时候，阅读理解成为打开问题的第一道大门的“金钥匙”.吴华、宁永明在文献[9]中指出由教材出发，通过变式探索解题方法，并举例说明实验、探究、猜想等方法在解新定义型问题中的应用．文献[10]中，訾本凤指出解新定义型的策略是要运用类比、归纳、联想的思想方法，关键是要读懂、理解新定义的规定.丁芸、李祎、黄培煌、王国涛在文献[11-12]中在对高考试题分析的基础上归纳总结涉及新定义型试题常见的几类问题及其求解方法.王勇、王云权在文献[13]中用七道典型试题给以深度分析，旨在探索题型规律，揭示解题方法．赵陈平、俆卫明、高慧明在文献[14-15]中提到新定义试题可以和已学过的知识联系起来，让学生进行观察、对比、分析、归纳、推理、理解数学概念和规律.邓春生在文献[16]中例说了“新定义型”问题的解题策略，阅读理解为前提，合理运用为目的.杨文佳在文献[17]中说明新定义型问题考查了学生的综合素质.2.2国内外研究现状评价文献[1-17]中分别就新定义型问题的意义和类型作了举例说明，文献中主要归纳了常见的几类新定义型问题，而且简明扼要地论述了解新定义题型的几种思想方法，没有全面地介绍解新定义题型的一般步骤和有关的思想方法．并且文献中对新定义型的特点和在高考中的作用提到的很少，对学生在实际应用中出现的问题也没有给出详细的说明．2.3提出问题一部分高中生已经有较强的自学能力，在新定义学习的过程中会根据已有的知识进行迁移来学习新知识，但大多数学生应变能力差，遇到陌生新颖的题型就无从下手，还有少部分学生根本不理解题意.所以除学好基础知识外，还要体会教师所讲到的数学思想方法，总结数学思想方法在各方面的应用；了解新定义型问题的特点，从中总结归纳解新定义型问题的步骤.对于普通高中多数学生，要较好地掌握高中数学基础知识尚且困难，更谈不上体会解决问题中所涉及的数学思想方法，更不用说用所学的知识和数学思想方法迁移解决新题型．因此，除了对解决新定义型问题过程中出现的数学思想方法介绍外，还需要对数学思想方法在解题过程中学生会出现的问题及解决办法作探讨，包括分析这些方法的目的和作用．3 高考数学新定义题型解法探究3.1新定义题型概述所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合自己已有的知识、能力进行理解，并根据新的定义进行运算、推理、迁移的一种题型．这类题目具有启发性、思考性、挑战性和隐蔽性等特点，由于它构思巧妙、题意新颖，是考查学生综合素质和能力，挖掘学生潜力的较佳题型.3.2新定义题型的特点（1）内容新新定义型常常出现过去没有学过的新的概念、定理、公式或方法，要求通过自己学习以后，理解这些概念、定理、公式或方法，并能运用它们解决有关的问题.（2）抽象性这里新的概念、定理、公式或方法的叙述通常比较简略，没有解释和说明的语言，需要自己去仔细揣摩、领会和理解.与平时在课堂里教师指导下学习新知识有很大的区别，没有教师的讲解、举例和解说，没有许多感性的内容，比较抽象和概括，对独立学习能力和抽象思维能力要求较高，因此解这类问题往往感到很困惑.（3）即学即用这里学习新知识的时间很短，要求学生通过阅读很快就能理解新的概念、定理、公式或方法，并能立即运用它们解决有关的问题，不举例题，没有模仿的过程.因此对思维的敏捷性和独创性要求较高.3.3解新定义题型的步骤新定义型问题主要考查学生自己提取信息、组织信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，根据条件，找出关键的信息，让信息转化，最终达到灵活解题的目的.如果题目考查的是对新定义的“现学现用”，解题时只用字面理解，读懂其意；如果考查的是对新定义的“新题实用”，解题时要深层理解，揭示本质；如果考查的是对新定义的“新题活用”，解题时还要理解，注意新旧知识的区别与联系.具体步骤如下：第一步，阅读理解.（1）字面理解：首先通过阅读理解题意，理解题目所包含的新的概念、定理、公式等，要求读懂其中每一个句子的含义.（2）深层理解：要求深入理解新的概念的本质属性，分清新的定理的条件和结论，理解新的方法的关键等.（3）迁移理解：这类题型既源于教材又高于教材，既与旧知识有联系，又在本质上有所发展与区别.但由于先入为主的影响，在学习新定义时往往会与相近的旧概念相混淆，因此要特别注意新旧概念的区别.第二步，合理运用.（1）初步运用：要求在熟悉和理解新定义的基础上，能够在具体的情景中运用新定义，解决新问题.这类问题相对比较简单，只是初步运用新定义，其目的是考查对新定义的初步浅显的理解.（2）深层运用：这类问题属于新定义的外延，相对于上述问题而言要求就高了.要求对新定义必须理解准确、透彻，才能完美解决问题.通常可以直接运用定义，但要满足定义所反映的本质属性，还可以举反例说明它不满足定义的本质属性.这类问题有效地考查了学生的思维品质和分析问题，解决问题的能力.求解此类问题首先要对新定义进行信息提取，确定化归方向；然后对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法；最后对新定义中提取的知识进行转换，有效的输出.其中对新定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是求解的难点.这就要求学生要把新旧知识联系起来，进行观察、对比、分析、归纳、推理、理解数学概念和规律.达到以阅读理解为前提，基础知识为载体，灵活运用为目的.3.4高考数学常见的几类新定义题型3.4.1概念新定义型所谓“新定义概念”，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的概念，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.正确的理解和形成一个数学概念，必须明确这个数学新概念的内涵——对象的“质”的特征，及其外延——对象的“量”的范围.正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能，发展逻辑论证和空间想象能力的前提.在解答这类问题时，千万不要被“新”所迷惑，应透过“新”的表面现象，把握问题的实质所在，吃透题目中新材料提供的有关信息，学会对有关概念阅读、理解、转化、表述与探究，采用类比、联想、迁移的方法]18[.例1 我们把由半椭圆)0(12222≥=+x b y a x 与半椭圆)0(12222≤=+x cx b y 合成的曲线称作“果圆”，其中.0,0,222>>>+=c b a c b a 如图1，设点210,,F F F 是相应椭圆的焦点，21,A A 和21,B B 是“果圆”与y x ,轴的交点，M 是线段21A A 的中点.若三角形210F F F 是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程.解：因为),,0(),,0(),0,(2222210c b F c b F c F -=--==所以12,1)(222122210=-===+-=c b F F b c c b F F于是47,432222=+==c b a c ，所求“果圆”的方程为： ).0(134),0(1472222≤=+≥=+x x y x y x 评注：本题是由两个半椭圆复合而成的图形，在解这类题时要先观察图形，使用数形结合的方法.例2 如图2，平面中两条直线1L 和2L 相交于点O .对于平面上任意一点M ，若q p ,分别是点M 到直线1L 和2L 的距离，则称有序非负实数对),(q p 是点M 的“距离坐标”.已知常数,0,0≥≥q p 给出下列命题:① 若,0==q p 则“距离坐标”为)0,0(的点有且仅有1个；② 若,0=pq 且,0≠+q p 则“距离坐标”为),(q p 的点有且仅有2个；图1③ 若,0≠pq 则“距离坐标”为),(q p 的点有且仅有4个；上述命题中，正确命题的个数是（ ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 解：当0==q p 时，“距离坐标”为（0,0）的点只能为点0；当,0=pq 且0≠+q p 时，则q p ,中有且仅有一个为0，有考虑到q p ,为常数，所以此时“距离坐标”为()q p ,的点有且仅有2个；当,0≠pq 则“距离坐标”为()q p ,的点可以在被直线1l 和2l 分成的四个区域中，从而“距离坐标”为()q p ,的点有且仅有4个.故选D.评注：本题新定义了一种数学概念“距离坐标”，有图形辅助，理解起来就相对容易，难点在于对新定义信息的划归转化.例 3 记实数n x x x ,,,21 中的最大数为{},,,,m ax 21n x x x 最小数为{},,,,m in 21n x x x 已知ABC ∆的三边长为)(,,c b a c b a ≤≤，定义它的“倾斜度”为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=a c c b b a t ,,max .⎭⎬⎫⎩⎨⎧a c c b b a ,,min ，则“1=t ”是“ABC ∆为等边三角形”的（ ）. （A ） 必要而不充分条件（B ） 充分而不必要条件（C ） 充要条件（D ） 既不充分也不必要条件解：若ABC ∆为等边三角形，即c b a ==，此时有⎭⎬⎫⎩⎨⎧==⎭⎬⎫⎩⎨⎧a c c b b a a c c b b a ,,min 1,,max ，则1=t ；若令,3,2====c c b a 此时有1,32,,min ,23,,max ==⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧t a c c b b a a c c b b a ，但ABC ∆不是等边三角形.故选A.评注：本题首先要明确“倾斜度”的概念，特别是充分性的判断中边a,b,c 的选值有一定的难度，这对学生的判断问题以及解决问题的能力有较高要求.3.4.2运算新定义型所谓“新定义运算”就是指用一段简练的文字与符号表述出一种中学数学中没有学过的运算，它研究的是数与数的性质.新定义的运算是在原有的四则运算——加、减、乘、除的基础上加以整理再做一些改变得到的.运算是数学中最古老、最基础和最初等的部分，他考查学生对数学的基础认识、基本了解，培养学习数学的数感.高考考查创新意识的基本载体是创新题，而数学的基础是运算，因此“新定义运算”是高考常见的题型.这种题型主要考查学生的基础数学知识，基本数学素养.要求学生读懂新定义运算的算法，准确运用算法计算相应的题.学生要运用已学过的知识，先弄清新定义运算与原有的运算公式的差异和联系，然后全面准确地理解题意，科学合理地推理运算.例 4 在集合}{d c b a ,,,上定义两种运算⊕和⊗如表1、表2所示，那么d ⊗(a ⊕c)=( ).(A) a (B) b (C) c (D) d表1表2解：由表1,2可知：（a ⊕c ）=c,故d ⊗（a ⊕c ）=d ⊗c=a,选A.评注：此题是以抽象代数中的知识为背景定义了一种新运算，无需计算，只需看懂题目中以数学符号形式展现的运算法则就可以得出答案，考查学生的抽象思维能力和自学能力.例5 定义平面向量的一种运算“□” 如下：对任意的),(n m a =,),(q p b =,令a □b =np mq -,下列说法错误的是：（ ）.（A ）若a 与b 共线，则a □b =0； (B)a □b =b □a ；(C)对任意的λ∈R ，有（a λ）□b =λ(a □b )； (D)(a □b )2+(b a ⋅)2= 22.b a .解：若a 与b 共线，则有np mq =，此时a □b =0，A 正确；由于a □b =np mq -,b □a =qm pn -,则a □b ≠b □a ，B 是错误的.评注：本题在平面向量的基础上，又定义了一种新的运算法则，两种运算平行进行，易造成错误.这就要求考生熟记平面向量的运算法则，再利用新定义的运算共同解题，考察了学生分析问题以及知识迁移的能力.例 6 对任意两个非零的平面向量α和β定义βββαβα..=，若平面向量b a ,满足,0>≥b a a 与b 的夹角)4,0(πθ∈，且b a 和a b 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈Z n n 2中，则b a =( ). (A) 1/2 (B) 1 (C) 3/2 (D)5/2解：,cos cos ..2b a bb a b b b a b a θθ=== （1） ,cos cos ..2a b aa b a a a b a b θθ===（2） 因为)4,0(πθ∈，所以.1cos 22<<θ 因为,0>≥b a 所以,1cos 0,10<<≤<θab ab 所以.10<<a b因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈∈Z n n a b 2,所以21=a b .)2()1(⨯得()⎪⎭⎫⎝⎛∈=1,21cos )(2θa b b a ，所以,21,12121<<<<b a b a所以.23=b a 故选C.评注：本题通过引入一种新的运算，在原有的知识中加以创新，考查向量数量积的定义和性质.在做此题时，因注意新旧知识的区别与联系，合理的根据运算，以不变应万变.例7 对实数a 和b 定义运算“☀”，a ☀b=.,,,22b a ab b b a ab a >-≤- 设x x f 2()(=-1）☀（x-1）,且关于x 的方程)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ,则321x x x 的取值范围是（ ）.解：由定义可得=)(x f.0,)1(,0,)12(>--≤-x x x x x x作出)(x f 的图像，由图3可知，当410<<m 时，)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ,不妨设,321x x x <<则32,x x 是一元二次方程2=+-m x x 的两个根.所以,,1,0,323232m x x x x x x ==+>令,0,41)12(<=-x x x 则,4311-=x 易得,043111<<-x x 所以.016311321<=<-mx x x x 评注：本题新定义了一种运算，考查新运算的分析与理解能力，同时考查分段函数及二次函数的图像，对称性、单调性、方程的根、函数的零点、不等式的基本性质等基础知识，要求学生有较强的理解和处理信息的创新能力及数形结合思想的应用. 3.4.3性质新定义型所谓“新定义性质”，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的性质，数学在现代文化中扮演着中心的角色，而对数学性质的基本了解成为科学素养的需要.要做到这一点，要了解数学思维的本质，并熟悉重要数学的性质和技巧.数学性质依靠的是图3两种东西：逻辑与创造.人们通过学习数学知识从中直接推导得出运算法则、运算公式等延伸的知识，而且通过原有的性质合理的创造出新的性质，得到性质加以运用，解决了很多数学问题.数学知识的概念和性质具有紧密的衔接关系，很多数学性质是从数学概念直接推导出来的.而在性质的提取中加强了人们的观察、猜想、抽象、联想、概括、类比等方面能力的培养.因此,新定义性质题型成为了高考的热点问题，而要解决此类问题，就要求学生有很好的逻辑推理能力和再创造能力.解题时，需要在具体的尝试和探索过程中求解，深刻把握性质的本质，同时能数形结合，深入探讨，反复研究.例8 函数)(x f 在[]b a ,上有定义，若对任意[]b a x x ,,21∈有[],)()(21)2(2121x f x f x x f +≤+则称)(x f 在[]b a ,上具有性质P .设)(x f 在[]3,1上具有性质P ，先给出如下命题：① )(x f 在[]3,1上的图像是连续不断的； ② )(2x f 在[]3,1上具有性质P ；③ 若)(x f 在2=x 处有最大值1，则)(x f =1, x ∈[]3,1； ④ 对任意的[]3,1,,,4321∈x x x x ,有[])()()()(41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++.(A) ①② (B) ①③ (C) ②④ (D) ③④解：通过构造某些特殊函数，排除不适合的选项，利用反证法证明③正确，再两次利用定义证明④正确.令 )(x f = .3,1,31,0,1,1=<<=x x x可知对[],3,1,21∈∀x x 都有[],)()(21)2(2121x f x f x x f +≤+ 但)(x f 在[]3,1上的图像不连续，故①不正确； 同理令,)(x x f -=②不正确；对于选项③，假设存在[]3,10∈x ，使得,1)(0≠x f 因为[],3,1,1)2()(max ∈==x f x f 所以,1)(0<x f 又,310≤≤x 所以,3410≤-≤x 由)(x f 在[]3,1上具有性质P ，所以[],)4()(21)24()2(0000x f x f x x f f -=≤-+= 而,1)4(,1)(00≤-<x f x f所以上式矛盾，即[],1)(,3,1=∈∀x f x 所以选项③正确；[],3,1,,,4321∈∀x x x x [].)()()()(412221422)4(4321432143214321x f x f x f x f x x f x x f x x x x x x x x f +++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=+++故选项④正确.即正确的答案是D.评注：本题以高等数学中的凸函数的性质为背景，定义了一种新性质P ，综合考查抽象函数的单调性、最值和图像特征，考查学生抽象概括能力和推理论证能力.例9 已知数集A ={})2,1(,,,2121≥<<<≤n a a a a a a n n 具有性质P ，对任意的)1(,n j i j i ≤≤≤，j i a a 与ij a a 两数中至少有一个属于A .（1）分别判断数集}{4,3,1与}{6,3,2,1是否具有性质P ，并说明理由； （2）证明：,11=a 且n nn a a a a a a a =++++++---1221121......；解：（1）由于43⨯与34均不属于数集}{4,3,1，所以该数集不具有性质P . 由于66,33,22,11,36,26,32,61,31,21⨯⨯⨯⨯都属于数集}{6,3,2,1，所以数集具有性质P . （2）证明：因为{})2,1(,,,2121≥<<<≤n a a a a a a n n 具有性质P ， 所以n n a a 与nna a 中至少有一个属于A ，故),...,3,2,1(n k A a a n k =∉.由A 具有性质P 可知),...,3,2,1(n k A a a kn=∈. 又因为,...121a a a a a a a a n n n n n n <<<<-所以,,,...,,111221n n n n n n n n a a aa a a a a a a a ====-- 从而n n n n n n n n a a a a a aa a a a a a ++++=+++=--121121......， 所以n nn n n a a a a a a a a a =++++++++------1111211121.......评注：本题属于较难层次题，难在问题比较新又抽象，只有在分析条件理解题意的基础上，用集合、等比数列的性质以及数之间的关系进行推理方能奏效.例10 已知函数)(x f y =的反函数.定义：若对给定的实数)0(≠a a ，函数)(a x f y +=与)(1a x f y +=-互为反函数，则称)(x f y =满足“a 和性质”；若函数)(ax f y =与)(1ax fy -=互为反函数，则称)(x f y =满足“a 和性质”.判断函数)0(1)(2>+=x x x g 是否满足“1和性质”，并说明理由.解：函数)0(1)(2>+=x x x g 的反函数是)1(1)(1>-=-x x x g ，所以)1(1)(1>-=-x x x g ，而)1(1)1()1(2->++=+x x x g 的反函数是).11(1)1(1>--=+-x x x g故)0(1)(2>+=x x x g 不满足“1和性质”.评注：本题涉及新定义函数性质问题，新定义函数问题常连带其特殊的性质，解题时应抓住这些性质结合有关知识解决. 3.4.4集合新定义型所谓“新定义集合”，就是给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，集合是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象.要求学生有较高的抽象思维和逻辑推理能力.由于此类题目编制角度新颖，突出能力立意，突出学生数学素养的考查，特别能够考查学生现场做题的能力，并且在近几年高考模拟试题和高考试题中频繁出现.解题时，要注意新旧知识的区别和联系，深层理解新集合的定义，熟练掌握新集合的性质.例11 对于集合{}n a a a a ,,,,321 和实常数0a ，定义[])(sin ...)(sin )(sin 1020220122a a a a a a nS n n -++-+-=为集合{}n a a a a ,,,,321 相对于0a 的“正弦方差”，求集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧913,97,9πππ相对于实常数0a 的正弦方差.23S解：根据正弦方差的定义，有.21)2914cos(6134cos )2914(cos 3121)2914(cos 61)2926(cos )292(cos 6121)913(sin )97(sin )9(sin 310002020202020223=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=a a a a a a a a s πππππππππ评注：该题在方差的基础上，新定义了一个集合“正弦方差”，学生首先要准确理解其定义，然后与方差联系起来，再加上集合的知识，就可以完成此题.例12 若集合21,A A 满足A A A =⋃21，则称),(21A A 为集合A 的一种分拆；并规定：当且仅当21A A =时),(21A A 与),(12A A 为集合A 的同一种分拆，则集合{}321,,a a a A =的不同分拆种数为 种.解：可分三步进行求解:第一步共有13C 种方法；第二步共有13C 种方法；第三步共有13C 种方法.根据乘法原理共有27..131313=C C C 种. 评注：该题新定义了一个集合“分拆”，求解此题的关键是正确理解新定义并作为解题的依据，同时熟练掌握集合的相关概念和性质. 3.4.5函数新定义型所谓“新定义函数”就是指定义了一种中学数学中没有介绍的一种函数，这类函数的高考试题常常是以新定义函数的概念或性质为载体，考查学生运用数学知识综合解决问题的能力]19[.此类函数多是抽象函数，解题时，要熟悉函数的概念，把握常见函数的性质是解决抽象函数问题的基础；审清题意，重视对题目中文字语言的理解和对图象信息的捕捉是解决抽象函数问题的关键；而数形结合、联想构造等思想方法的灵活运用，则有利于化抽象为具体，增强直观性和可操作性，从而使问题得以顺利解决.例13 定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈存在常数0>M ，都有M x f ≤)(成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界.已知函数xxa x f ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=41211)(，若函数)(x f 在[)+∞,0上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.解：由题意知，3)(≤x f 在[)+∞,0上恒成立，即.3)(3≤≤-x f所以xx x xa ⎪⎭⎫⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--212.2212.4在[)+∞,0上恒成立，所以.212.2212.4maxmax ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x xxa 设tt t p t t t h t x 12)(,14)(,2-=--==，由[)+∞∈,0x 得1≥t ，设,121t t <≤则.0)14)(()()(21211221>--=-t t t t t t t h t h评注：本题新定义了一种函数“有界函数”，需充分理解题意，准确把握实质，进而转化为我们所熟悉的关于a 的不等式恒成立的问题.考查了学生学习新知识的能力及方法迁移转化的能力.例14 已知)(),(x g x f 的定义域分别为G F ,，且.G F ⊄若对任意的,F x ∈都有),()(x g x f =则称)(x g 为)(x f 在G 上的一个“延拓函数”.已知函数)0(2)(≤=x x f x ，若)(x g 为)(x f 在R 上的一个“延拓函数”，且)(x g 是偶函数，则函数)(x g 的解析式是（ ）.(A) x2 (B) x 2log (C) x⎪⎭⎫⎝⎛21 (D) x 21log。