第一章 排列与组合

1
x n

k 0
(1)
k

n

k k
1xk ,
1

(1)k xk ,
1 x k0
1


xk .
1 x k0
2)
1
x n

k 0

n

k k
1xk

k 0
F (n, r)xk ,
1
x
1
k 1
一般地,设S为有限集,将S分解为互不相交 的子集S1,S2,…,Sm的并,Si为具有性质Ai的事 件的集合, i=1,2,…,m,则S中事件的个数为
|S|=|S1|+|S2|+…+| Sm|.
例 1 某班选修人工智能的有 18 人，不选的 有 10 人，则该班共有 18 + 10 = 28 人。
9. k0 k k p q p q . (李善兰 (1811 —1882, 清代数学家)恒等式）
§1.6 应用举例
例1 将n个有区别的球放入k个有区别的盒子中, 盒内有序的放法有多少种?
例2 某售票处有5个窗口,现有8个人,他们排队购 票的方案有多少种?
结论：
1)重集B={∞·b1, ∞ ·b2,…, ∞ ·bn}的r-排列的个数为 nr。
2)重集B={n1·b1,n2·b2,…,nk·bk}的全排列的个数为
n!
k
n1!n2!...nk !
其中 n ni。
i 1
例7 由1,2,3,4,5,6这几个数字组成多少个5位数？可 组成多少个大于34500的5位数？
从n个不同元素的集合中，不重复地取r个 元素，按次序排成一列，称之为从n个中取r 个的一个排列，又称为A的一个r-排列。
所有r-排列的个数用P(n,r)表示。当r=n 时称为全排列。
规定：
1, n r 0,
P(n,r) 0, n r.
一些重要的结果：
1) P(n, r) n(n 1)...( n r 1) n! ,
F(7,14)
例4 求将n个无区别的球放入r个有标志的盒子里(n≥r) 而无一空盒的方式数。
例5 求方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数。 解：设b1,b2,…,bn为n个不同的元素，考虑重集
B={∞·b1, ∞ ·b2,…, ∞ ·bn} 的任一r-组合，满足形式
{x1·b1, x2 ·b2,…, xn ·bn} 其中x1, x2,…, xn 为非负整数, 且满足x1+x2+…+xn=r.
y
k
,
1
xn

k
n 0

n k
x
k

n k0 n
n
k xk ,
k
n 0

n k


2n
,
k
n 0
(1)k

n k


0.
2.以上公式的推广形式: 设α ∈R, 对满足|x/y|<1的 所有x和y有
x
y
二、允许重复的组合
从重集B={k1·b1,k2·b2,…,kn·bn}中选取r个元素 不考虑它们的次序组织在一起，称为从B中取r 个元素的重组合，所有重组合的个数记为F(n,r)。
结论： B={∞·b1, ∞ ·b2,…, ∞ ·bn}的r-组合数为
F(n,r)=C(n+r-1,r)。
例3 某餐厅有7种不同的菜，为招待朋友，一个顾客 需要买14个菜，问有多少种买法？
例3 证明下图中从O到A的路径数为 n mm
从O到A的任意一条路径对应m个“—”和n条“|”的 一个全排列。
例4 给出以下等式的组合意义
m r k n k n r 1
k0
k
m k
m
B={a,a,b,b,b,c,d,d,d,d} ={2·a,3·b,1·c,4·d}为重集。
一般地，重集
B={k1·b1,k2·b2,…,kn·bn}, 其中，ki为元素bi的重复次数，i=1,2,…,n。
如对某元素没有限制，则在重集中该元素 可以出现无限次，即ki =∞。
§1.2 排列
一、线排列
例3求有多少个5位数，每位数字都不相同， 不能取0，且数字7和9不相邻。
例4 12个人从左到右排成一列，其中张三不 能排在队首，也不能排成队尾，问有多少种排 法？
二、圆排列
从n个不同元素的集合中取出r个元素按某顺序排成 一个圆圈，这样的排列称为圆排列，所有圆排列的 个数记为Q(n,r)。
Q(n,r)与P(n,r)间的关系
反之，每个满足方程的非负整数解对应B的一个r-组 合。于是, B的r-组合与方程的非负整数解之间建立了 一一对应关系。
三、不相邻组合
从集合A ={a1,a2,…,an}中取r个，不存在ai,ai+1 两个相 邻元素出现在同一个组合中的组合，称为r-不相邻组 合。
结论：从A ={a1,a2,…,an}中取r个作不相邻的组合，其 个数为：
例1 某班要从7名女生和4名男生中产生一个班委 会，问有多少种方式？若 (1)这个班委员有5人，其中3女、2男。 (2)这个班委员有4人，其中至少2名女生。 (3)这个班委员有4人，其中之一为指定某同学。
例2 数510510能被多少个不同的奇数整除？
注：整数a能被整数b整除，则b一定是a的因素； 奇数的乘积还是奇数。
三、计数问题
分两类： 1)计算事物的有序安排或选择数 a、不允许任何事物重复 b、允许事物重复 2)计算事物的无序安排或选择数 a、不允许任何事物重复 b、允许事物重复
如何区分事物的重复或不重复？ 利用集合与重集的安排或选择的说法加以
区别。 集合：元素一定不相同； 重集：元素可以相同。 例如，A={a,b,c,d}为集合
一般地，设
S= S1×S2×…×Sm ={(a1,a2,…,am)|ai ∈Si,i=1,2,…,m},
则
|S|= |S1|×|S2|×…×|Sm|。
例3 某种字符串由两个字符组成，第一个字 符可选自{a，b，c，d，e}，第二个字符可 选自{1，2，3}，则这种字符串共有 5 3 = 15 个。
j0
j

k
.
p p q n k n n
8. k0 k k p q p q .
p p q n p q k n p n q
例8 用字母A、B、C组成5个字母的字符串，要求 在每个字符串中，A至多出现2次，B至多出现1次， C至多出现3次，求此类符号的个数。
§1.3 组合
一、不允许重复
从n个不同元素的集合A中取r个且不考虑其元素
的顺序放在一起，称为从n中取r个的一个组合，或
A的r-组合，它是A的r-无序子集。A的所有r-组合
.

0.
3.
k
n 0
k
2

n k


n(n

1)2n2
,
k
n 0
(1)
k
k
2

n k


0.
4.
n k 0
k
1 1

n k


2n1 1. n 1
5. p min{ m, n}
n n m m n
k0 k p k p ,

k 0
k
x
k
yk ,
其中
k


(
1, 0,

1)....(
k!

k

1)
,
k 0
k 0 k 0

-----广义二项式系数
几个推论: 对|x|<1的任何x有
1)
1 x

k 0
k
xk
,
的个数记为C(n,r)或Cnr或

n r
。
规定：
C(n,
r)

1, 0,
n r 0, n r.
几个重要的结论：
1) C(n, r) P(n, r) n! , r! r!(n r)!
2)C(n,r)=C(n,n-r); C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1) --------Pascal公式 =C(n-1,r-1)+C(n-2,r-1)+…+C(r-1,r-1).
例2 北京每天直达上海的客车有 5 次，客 机有 3 次，则每天由北京直达上海的旅行 方式有 5 + 3 = 8 种。
二、乘法法则
若具有性质A的事件有m个，具有性质B的事件有n个，则 具有性质A与B的事件数有 m ·n个。
集合论语言：
若 |A| = m , |B| = n , AB = {(a,b) | a A,b B}, 则 |A B| = m ·n 。
(1) k 1 k 22k1

2k k
2 1

x
k
.
§1.5 常用组合恒等式
对正整数m,n,k,p,有
1.

n k


n k

n k
11 ,
2.
n k 1
k
n k


n2n1
,
k
n 0
(1)
k
k

n k

(n r)!
P(n, n) n!
全排列
2)当n≥r ≥2时，P(n,r)=nP(n-1,r-1); 3) P(n,r)=rP(n-1,r-1)+P(n-1,r)
例1 将具有9个字母的单词FRAGMENTS进行 排列，要求字母A总是紧跟字母R的右边，问 有多少种排法？
例2 求20000到70000间的偶数中由不同的数 字组成的5位数的个数。
C(n-r+1,r)。
§1.4 二项式定理
1. 当n为正整数时,对任意x与y有
x
y
n

k
n 0

n k
x
k
y
nk

k
n 0

n
n
k
x
k
y
nk

k
n 0

n k
x
nk
y
k

k
n 0

n
n
k
x
nk
注：在乘法法则中要注意事件 A 和事件 B 的相互独 立性。
例6 求小于10000的含1的正整数的个数。
解法一：小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但 0000除外，故有9×9×9×9－1＝6560个.从而含1的 有：9999－6560=3439个。
解法二: 全部4位数有104 个,不含1的四位数有94 个, 含1的4位数为两个的差: 104－94= 3439个
Q(n, r) P(n, r) , r
Q(n,n)=(n-1)!.
例5 有8人围圆桌就餐，问有多少种就座方式？如 有两人不愿意坐在一起，又有多少种坐法？
例6 有4男4女围圆桌交替就座有多少种方式？
三、重排列 从重集B={k1·b1,k2·b2,…,kn·bn}中选取r个元素按一 定的顺序排成的一列，称为重排列。
例4 从A到B有三条道路，从B到C有两条道 路，则从A经B到C有 32=6 条道路。
例5 某种样式的运动服的着色由底色和装饰条纹的 颜色配成。底色可选红、蓝、橙、黄，条纹色可选 黑、白，则着色方案共有
42 = 8种
若此例改成底色和条纹都用红、蓝、橙、黄四种颜 色的话，则方案数就不是4 4 = 16， 而只有 4 3 = 12 种。
第一章 排列与组合
§1.1 加法法则与乘法法则
------是解决计数问题的两个最基本和最常用的规则
一、加法法则
若具有性质A的事件有m个，具有性质B的事件有n 个，则具有性质A或B的事件数为m+n。
集合论语言描述：
若 |A| = m , |B| = n , AB = , 则 |AB| = m + n =|A|+|B|。
m n m m n
k0 k k m
n
k 0

n k

2


2n n
.
(令p m),
源自文库
6.
i
n 0

i k



n k

11
.
7. R
k j k 1