概率统计试卷答案

一、填空题1．已知()0.8,()0.5,P A P A B ==且事件A 与B 相互独立，则()P B = 0.375 ．2．若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为18.012.012.008.01111b a X Y--，且X 与Y 相互独立，则=a 0.2 ；=b 0.3 .3．已知随机变量~(0,2)X U ，则2()[()]D XE X = 13．4．已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞平均数是7300，均方差是700。

设X 表示每毫升白细胞数，利用切比雪夫不等式估计{52009400}P X <<89≥ .5．设123,,X X X 是总体X 的样本，11231ˆ()4X aX X μ=++，21231ˆ()6bX X X μ=++是总体均值的两个无偏估计，则a = 2 ，b = 4 ．二、单项选择题1．甲、乙、丙三人独立地译一密码，他们每人译出密码的概率分别是0.5，0.6，0.7，则密码被译出的概率为 （ A ）A. 0.94B. 0.92C. 0.95D. 0.902．某人打靶的命中率为0.8，现独立射击5次，则5次中有2次命中的概率为（ D ） A. 20.8 B. 230.80.2⨯C. 220.85⨯ D. 22350.80.2C ⨯⨯3.设随机变量Y X 和独立同分布，则),,(~2σμN X （ B ） A. )2,2(~22σμN X B. )5,(~22σμN Y X - C. )3,3(~22σμN Y X + D. )5,3(~22σμN Y X -4．对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =⋅，则（ B ）. A. ()()()D XY D X D Y =⋅ B.()()()D X Y D X D Y +=+ C.X 和Y 独立 D.X 和Y 不独立5．设 ()2~,X N μσ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 为其样本， 下列各项不是统计量的是（ A ）.A.22212321()X X X σ++ B.13X μ+C.123max(,,)X X XD.1231()3X X X ++6．在假设检验中，0H 表示原假设，1H 表示备择假设，则称为犯第二类错误的是（C ）. A.1H 不真，接受1H B.0H 不真，接受1HC.0H 不真，接受0HD.0H 为真，接受1H三、某公司有200名员工参加一种资格证书考试，按往年经验，该考试通过率为0.8.试用中心极限定理计算这200名员工至少有150人通过考试的概率.解：设X 表示200名员工中通过考试的员工数，则~(200,0.8)X B ，()2000.8160E X =⨯=，()2000.80.232,D X =⨯⨯=~(0,1)N 近似， 四、某一城市有25%的汽车废气排放量超过规定，一废气排放量超标的汽车有0.99的概率不能通过城市检验站的检验。

而一废气排放量未超标的汽车也有0.17的概率不能通过检验，求（1）汽车未通过检验的概率（2）一辆未通过检验的汽车废气排放量确实超标的概率。

解：设事件B 表示汽车废气排放量超标，A 表示汽车未通过检验，则()0.25P B =，()0.75P B =，(|)0.99P A B =，(|)0.17P A B =， （1）()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.250.990.750.170.375=⨯+⨯= （2）()(|)(|)()(|)()(|)P B P A B P B A P B P A B P B P A B =+0.250.990.660.375⨯==五、. 已知连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<=其它01||)(2x Ax x f 求 (1)系数A 。

（2）}2121{≤<-X P ．(3)分布函数)(x F 解：（1）因为1)(=⎰+∞∞-dx x f ，（2分）即 132|3113112===+-+-⎰A x A dx Ax所以 23=A （2）}2121{≤<-X P 81|21232121321212===--⎰x dx x（3）⎰∞-=x dt t f x F )()(当1-<x 时，⎰∞-=xdt t f x F )()(00==⎰∞-xdt当11<≤-x 时，⎰∞-=x dt t f x F )()(当x ≤1时，⎰∞-=x dt t f x F )()(+=⎰-∞-10dt +⎰-11223dt t 101=⎰xdt所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1111212110)(3x x x x x F六、设),(Y X 的联合密度函数为(23),0,0(,)0,x y Ae x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它（1）确定常数A ；（2）求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ，并判断X 与Y 是否独立 （3）求),(Y X 的分布函数 解：（1）由概率密度的性质⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f ，应有(23)01111236x y Adx Ae dy A +∞+∞-+==⨯⨯==⎰⎰，（1分）于是6A =，即（2）⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(22,00,x e x -⎧>=⎨⎩其它因为()()()y x f y f x f Y X ,=，所以X 与Y 相互独立. （3）00(,)(.)xyF x y dx f u v ddv =⎰⎰(23)006,0,00,x yu v du edv x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩⎰⎰其它或(,)()()X Y F x y F x F y =23(1)(1),0,00,x y e e x y --⎧-->>=⎨⎩其他七、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其它10),(1x xθθx f θ,θ未知.n X X X ,,21Λ，是来自X 的样本,试求θ的矩估计量.解：11(,)μE X xf x θdx x dx +∞-∞=====⎰⎰⎰（）,由此得 22ˆ1μθμ=-（） ， 所以221ˆ）（X X θ-= 八、检查一批保险丝，抽取10根，通过强电流后测得熔化平均熔化时间63.4,x =标准差1475.11=s ，已知熔化时间服从正态分布，在下，能否认为这批保险丝的平均熔化时间少于65秒？解：（1）由654.63<=x ，得：65:0≥μH ，65:1<μH ，10=n ，0.05(1)(9) 1.8331αt n t -==，4.63=x ，1475.11=s ，检验统计量为：0/X T S n=拒绝域为{})1(--≤=n t T W α{}1.8331T =≤-t W ∉Q ，所以接受0H ，认为这批保险丝的平均熔化时间不少于65秒.九、从总体()211~,X N μσ和总体()222~,Y N μσ中分别抽取容量为1210,16n n ==的独立样本，已知2256.5,52.4x y s s ==。

求2212σσ的置信水平为95%的置信区间。

解：2221σο的置信度为α-1的置信区间为：22212121212222/((1,1))(1,1)S S S F n n F n n S αα----，120.02520.05,(1,1)(9,15) 3.12,F n n F αα=--==，2212122/56.5/52.40.3456(1,1) 3.12S S F n n α==--，2221σο的置信度为α-1的置信区间为：(0.3456 4.0650)， 十、为研究某一化学反应过程中温度x 对产品质量指标y 的影响，测得数据如下：x （C ︒） 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 y45 51 54 61 66 70 74 78 85 89假设x 和y 之间呈线性相关关系，即εbx a y ++=，()2,0~σεN . 求 (1)XX L , YY L , XY L (2) 变量Y 倚X 的回归方程 （3）样本相关系数，并判断其相关方向和密切程度解：（1）14501=∑=ni i x ， 21850012=∑=ni ix ，8250)(12112=-=∑∑==ni i ni ixx x n x L6731=∑=ni iy,4722512=∑=ni i y ,1.1932)(12112=-=∑∑==ni i ni iyyy n y L1015701=∑=ni i i y x ，3985))((1111=-=∑∑∑===ni i ni i ni i i xy y x n y x L （2）145=x ，3.67=y , （3）0.9981L r ==.因为0.81r <<，所以X 和Y 是高度线性相关，且为正相关。

十一、（6分）设921,,,X X X Λ为来自正态总体X 的简单随机样本，记()621161X X X Y +++=Λ，()987231X X X Y ++=，()9222712i i S X Y ==-∑，()SY Y Z 212-=．证明：统计量Z 服从自由度为2的t 分布． 证明：2~(,),1,,2,,9i X N i μσ=Q L ，()211261~(,),66Y X X X N σμ=+++L()227891~(,),33Y X X X N σμ=++且12,Y Y 相互独立，又2222~(2)S χσ，)12~(2)Y Y Z t S-==。