概率论与数理统计期末考试试卷答案

《概率论与数理统计》试卷A（考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷）（注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。

答案填写在试卷和草稿纸上无效）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则AB =()A 、AB B 、A BC 、A BD 、A B2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示()A 、A ，B ，C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生C 、A ，B ，C 中不多于一个发生D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P AB =，()0.2P A =，()0.4P B =，则()成立A 、()0.32P AB = B 、()0.2P A B =C 、()0.4P B A -=D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则()A 、()()()P AB P A P B -=- B 、()()()P AB P A P B =+C 、()()()P AB P A P B =D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是()A 、A 与B 独立 B 、A 与B 独立C 、()()()P AB P A P B =D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为()F x ，则(3)F =()A 、0B 、0.3C 、0.8D 、17、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1]()0,cx x f x ⎧∈=⎨⎩其它 ，则常数c =()A 、15 B 、14C 、4D 、58、设X ～)1,0(N，密度函数22()x x ϕ-=，则()x ϕ的最大值是()A 、0B 、1 C、9、设随机变量X 可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为33(;3),0,1,2,!k p k e k k -==，则下式成立的是()A 、3EX DX ==B 、13EX DX == C 、13,3EX DX == D 、1,93EX DX ==10、设X 服从二项分布B(n,p),则有()A 、(21)2E X np -=B 、(21)4(1)1D X np p +=-+C 、(21)41E X np +=+D 、(21)4(1)D X np p -=-11、独立随机变量,X Y ，若X ～N(1,4)，Y ～N(3,16)，下式中不成立的是()A 、()4E X Y +=B 、()3E XY =C 、()12D X Y -= D 、()216E Y += 12、设随机变量X 的分布列为：则常数c=()A 、0B 、1C 、14 D 、14- 13、设X ～)1,0(N ,又常数c 满足{}{}P X c P X c ≥=<,则c 等于()A 、1B 、0C 、12D 、-1 14、已知1,3EX DX =-=,则()232E X ⎡⎤-⎣⎦=()A 、9B 、6C 、30D 、36 15、当X 服从( )分布时,EX DX =。

A 、指数B 、泊松C 、正态D 、均匀 16、下列结论中，()不是随机变量X 与Y 不相关的充要条件。

A 、()()()E XY E X E Y =B 、()D X Y DX DY +=+C 、(),0Cov X Y =D 、X 与Y 相互独立A 、100.6n p ==，B 、200.3n p ==，C 、150.4n p ==，D 、120.5n p ==，18、设()()(),,,p x y p x p y ξη分别是二维随机变量(),ξη的联合密度函数及边缘密度函数，则()是ξ与η独立的充要条件。

A 、()E E E ξηξη+=+B 、()D D D ξηξη+=+C 、ξ与η不相关D 、对,,x y ∀有()()(),p x y p x p y ξη= 19、设是二维离散型随机变量，则X 与Y 独立的充要条件是()A 、()E XY EXEy =B 、()D X Y DX DY +=+C 、X 与Y 不相关D 、对(),X Y 的任何可能取值(),i j x y i j i j P P P = 20、设(),X Y 的联合密度为40()xy x p x y ≤≤⎧=⎨⎩，，y 1，0，其它，若()F x y ，为分布函数，则(0.52)F =，()A 、0B 、14 C 、12D 、1二、计算题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)1、 若事件 A 与B 相互独立，()0.8P A = ()0.6P B =。

求：()P A B +和{()}P A A B +2、 设随机变量(24)X N ，，且(1.65)0.95Φ=。

求( 5.3)P X ≥3、 已知连续型随机变量ξ的分布函数为0,0()04414x x F x x x ≤⎧⎪⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩，，，求ξE 和ξD 。

4、 设连续型随机变量X 的分布函数为()F x A Barctgx x =+-∞<<+∞求： （1）常数A 和B ；（2）X 落入（-1，1）的概率；（3）X 的密度函数()f x5、某射手有3发子弹，射一次命中的概率为23，如果命中了就停止射击， 否则一直独立射到子弹用尽。

求：（1）耗用子弹数X 的分布列；（2）EX ；（3）DX6、设(),ξη的联合密度为40()xy x p x y ≤≤⎧=⎨⎩，，y 1，0，其它， 求：（1）边际密度函数(),()p x p y ξη；（2）,E E ξη；(3）ξ与η是否独立三、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 1、 设1X ，2X 是来自正态总体(1)N μ，的样本，下列 三个估计量是不是参数μ 的无偏估计量，若是无偏 估计量，试判断哪一个较优？ 1212133X X μ=+ ，1211344X X μ=+，1211122X X μ=+。

2、设10~(,)(0)0xex f x θξθθθ-⎧>⎪=>⎨⎪⎩其它12,,...,n x x x 。

为 ξ的一组观察值，求θ的极大似然估计。

概率论与数理统计试卷答案及评分标准二、计算题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)1、 解：∵A 与B 相互独立∴()()()()P A B P A P B P AB +=+-………（1分）()()()()P A P B P A P B =+- ………（1分）0.80.60.8?0.6=+-0.92= ………（1分）又[()]()()P A A B P A A B P A B ++=+………（1分）()()()()()P AB P A P B P A B P A B ==++………（2分）0.13= ………（1分）2、 解：( 5.3)1P X ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭5.3-2Φ2 ………（5分）1(1.65)10.950.05=-=-=Φ ………（2分）3、解：由已知有()0,4U ξ………（3分）则：22a bE ξ+== ………（2分） ()24123b a D ξ-== ………（2分）4、解：(1)由()0F -∞=，()1F +∞=有：0212A B A B ππ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解之有：12A =，1B π= ………（3分）(2)1(11)(1)(1)2P X F F -<<=--= ………（2分） (3)21()()(1)f x F x x π'==+ ………（2分） 5、解：(1)………（3分）(2)31221131233999i ii EX x p===⨯+⨯+⨯=∑ ………（2分）(3) ∵3222221221231233999i ii EX x p ===⨯+⨯+⨯=∑ ∴222231338()()9981DX EX EX =-=-=………（2分） 6、解：(1) ∵10()()42p x p x y dy xydy x ξ+∞-∞===⎰⎰，∴20()x x p x ξ≤≤⎧=⎨⎩，10，其它同理：20()y y p x η≤≤⎧=⎨⎩，10，其它 ………（3分）(2) 1202()23E xp x dx x dx ξξ+∞-∞===⎰⎰ 同理：23E η=………（2分） (3) ∵()()()p x y p x p y ξη=，∴ξ与η独立 ………（2分）三、应用题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 1、 解：∵12121()33E E X X μμ=+= 同理：23E E μμμ==∴123μμμ，，为参数μ 的无偏估计量………（3分）又∵21212121415()33999D D X X DX DX μσ=+=+= 同理：221016D μσ=，2324D μσ=且D D D μμμ<<∴3μ较优 ………（6分）2、 解：12,,...,n x x x 的似然函数为：1112111(,,...,)niii x nxn ni L x x x eeθθθθθ=--=∑==∏，………（3分）11()ln ni i Ln L n x θθ==--∑21()10nii dLn L n xd θθθ==-+=∑解之有：11ni i x X n θ===∑ ………（6分）一、(共30分,每题5分)1、设事件A 与B 相互独立，8.0)(,5.0)(==B A P A P , 求)(B A P .解：因为事件A 与B 相互独立，所以)()()(B P A P B A P =)()()()()(B P A P B P A P B A P -+= …….2分由8.0)(,5.0)(==B A P A P ，得6.0)(=B P …….2分 2.0)()()(==B P A P B A P …….1分2、三人独立地去破译一份密码，他们译出的概率分别为41,31,51.求能将此密码译出的概率.解：53)411)(311)(511(1=----=P …….5分3、设随机变量X 的分布律为求12+=X Y 的分布律，并计算)31(<≤X P . 解：4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知1)]2)(1[(=--X X E 求λ. 解：λ==)()(X D X E ， …….2分12)(3)]([)( )23()]2)(1[(22=+-+=+-=--X E X E X D X X E X X E …….2分所以0122=+-λλ，得1=λ. …….1分 5、为检查某食用动物含某种重金属的水平，假设重金属的水平服从正态分布σμσμ,),,(~2N X 均未知，现抽取容量为25的一个样本，测得样本均值为186，样本标准差为10，求μ的置信度为0.95 的置信区间. 解：总体均值 μ 的置信度为0.95 的置信区间为))1((025.0-±n t ns X ……….2分即 )0639.2510186(⨯± …….2分所求置信区间为（181.8722，190.1278） …….1分6、某车间用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖重量),,(~2σμN X 当机器正常时，其均值5.0=μ公斤，标准差015.0=σ公斤.某日开工后为检验包装机是否正常，随机地抽取它所包装的糖9袋，称得平均重量为0.511公斤，问这天包装机工作是否正常？（取显著水平05.0=α）解：由题意设 5.0:;5.0:10≠=μμH H ……….1分 拒绝域为 025.0|5.0|z nX ≥-σ ……….1分由于2.2|9015.05.0511.0||5.0|=-=-n X σ ，,96.1025.0=z ……….2分即2.2>1.96,拒绝原假设，认为这天包装机工作不正常. ……….1分论与数理统计B 班级 姓名 学号 第 2 页二、（共18分,每题6分)1、设随机变量X 和Y 相互独立，概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-.0 ,00 ,2)(2x x e x f x X ， ⎩⎨⎧≤>=-.0 ,0,0 ,3)(3y y e y f y Y求: （1） ;)32(Y X E -（2） );32(Y X D -（3）XY ρ. 解：（1） 0;313-212)(3)(2)32(=⨯⨯=-=-Y E X E Y X E ….2分（2） ;2919414)(9)(4)32(=⨯+⨯=+=-Y D X D Y X D ….2分（3）因为量X 和Y 相互独立，所以0=XY ρ. ….2分2、已知随机变量)36,2(~),25,1(~N Y N X ，4.0=XY ρ， 求：Y X U 23+= 与Y X V 3-=的协方差. 解：)3,23(),(Y X Y X Cov V U Cov -+=)(6),(2),(9)(3Y D Y X Cov Y X Cov X D -+-=….3分)(6)()(7)(3Y D Y D X D X D XY --=ρ225366654.07253-=⨯-⨯⨯⨯-⨯= ….3分3、设1321,,,X X X 是来自正态总体)1,0(N 的一个样本，且已知随机变量∑∑==+=1352412)()(i i i i X b X a Y 服从自由度为2的2χ分布，求b a ,的值.解：因为)1,0(~N X i 且相互独立，13,,2,1 =i .所以，)4,0(~41N X i i ∑=，)9,0(~135N X i i ∑=， ….2分)1,0(~2141N X i i ∑=，)1,0(~31135N X i i ∑=，且相互独立. ….2分211213224三、（共18分,每题6分)1、设总体),6,52(~2N X 现随机抽取容量为36的一个样本，求样本均值X 落入（50.8，53.8）之间的概率.解：)1,52(~N X ， ……….2分}8.538.50{<<X P =)528.50()528.53(-Φ--Φ)2.1()8.1(-Φ-Φ==8849.019641.0+- ….3分849.0= ……….1分2、设随机变量X 的分布函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<≤=--.1 ,1,10 ,,0 ,)()1(x Ae x B x Ae x F x x求：（1）A , B 的值；（2）}31{>X P .解：（1）由连续型随机变量分布函数的连续性，得)0()(lim 0F x F x =-→，)1()(lim 1F x F x =-→，即⎩⎨⎧-==AB BA 1 解得5.0==B A ……….3分 （2）5.05.01)31(1}31{=-=-=>F X P ……….3分概率论与数理统计B 试题 班级 姓名 学号 第 3 页3、箱子中有一号袋1个，二号袋2个.一号袋中装1个红球，2个黄球，二号袋中装2个红球，1个黄球，今从箱子中任取一袋，从中任取一球，结果为红球，求这个红球是从一号袋中取得的概率. 解：设i A ={从箱子中取到i 号袋}，2,1=iB ={抽出的是红球})|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += ……….2分9532323131=⨯+⨯= ……….1分)|()()|()()|(21111i i i A B P A P A B P A P B A P ∑==51= ……….3分 四、（8分） 设随机变量X 具有密度函数 ⎩⎨⎧<<=.,010 , )(其它，x Ax x f求（1）常数A ；（2）X 的分布函数.（1）因为 1)(⎰+∞∞-=dx x f ……….2分所以 110=⎰xdx A 得 2=A ……….2分（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=⎰.1 ,1,10 ,2,0 ,0)(0x x xdx x x F x=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<.1 ,1,10 ,,0 ,02x x x x ……….4分五、（8分）某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为 60、30、10件，现从中随机抽取一件，记. ,0 ,1⎩⎨⎧=等品没有抽到等品若抽到i i X i ，求21X X ，的联合分布律.解：设321,,A A A 分别表示抽到一、二、三等品，1.0)()0,0(321====A P X X P ，6.0)()0,1(121====A P X X P 3.0)()1,0(221====A P X X P ，0)1,1(21===X X P 21X X ，的联合分布律为……….8分（每个2分）六、（10分）设随机变量X 和Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<=.,0,10 ,15),(2其它y x y x y x f（1） 求边缘概率密度；（2）判断随机变量X 和Y 是否独立. 解：（1）dy y x f x f X ),()(⎰+∞∞-= ……….1分⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0,10 ),1(21522其它x x x ……….2分 dx y x f y f Y ),()(⎰+∞∞-= ……….1分⎩⎨⎧<<=.,0,10 ,54其它y y ……….2分（2） 因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以随机变量X 和Y 不独立.…..….4分七、（8分）设n X X X ,,,21 是总体X 的一个样本，n x x x ,,,21 为一相对应的样本观测值，总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=.,0,10 ,)(1- 其它x x x f θθ求参数θ的矩估计和极大似然估计. 解：（1）矩估计 ⎰+==-1011)( θθθθdx x x X E ， …….2分由11μ=A 得 XX X -=⇒=+11θθθ…….2分（2）似然函数1111)()(-==-∏∏==θθθθθni i nni ix x L对数似然函数i ni Lnx nLn LnL ∑=-+=1)1()(θθθ …….2分令0)(=θθd dLnL ，得 ini i ni Lnx nLnx n ∑∑==-=⇒=+110θθ参数θ的极大似然估计量为∑=-=ni iLnX n1θ…….2分,9861.0.0)2.2( , 9332.0)5.1( ,8849.0)2.1( , 9641.0)8.1( =Φ=Φ=Φ=Φ 附0595.2)25( , 0639.2)24(,645.1 ,96.1025.0025.005.0025.0====t t Z Z。