人教版高中数学必修1反证法教案

二简易逻辑（§1.7.3 四种命题）

教学时间:第三课时

课题: §1.7.3 反证法

教学目标：

1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.

2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力. 教学重点：反证法证题的步骤.

教学难点：理解反证法的推理依据及方法.

教学方法：讲练结合教学.

教具准备：投影片共3张

教学过程：

（I）复习回顾

师：初中已学过反证法，什么叫做反证法？

生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.

师：本节将进一步研究反证法证题的方法.

（II）讲授新课

§1.7.3 反证法证题的步骤是什么？

生：

(注：学生回答时，教师投影出：反证法证明命题的一般步骤.)

师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。例如：“在ΔABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角。”显然命题的结论是正确的，但直接证明是较困难的，而用反证法就容易证明之。请一同学证明。生：假设∠B是直角，因∠C是直角，所以∠C+∠B=1800，此时∠A=00，这与ABC 为三角形相矛盾。所以∠B为锐角。

师：请讨论上述证明推理是否正确？为什么？

生：上述证明推理不完整。因∠B 不是锐角有两种情况，即∠B 为直角或钝角，

必须对两种可能均加以否定，才能证明∠B 一定是锐角。

师：分析正确。由此在运用反证法证明命题中如果命题结论的反面不止一个时，

必须将结论所有反面的情况逐一驳证，才能肯定原命题的结论正确. 下面看例题：（投影片2） 例3：用反证法证明： 如果a>b>0,那么 。

（由学生回答，教师书写）

证明：假设 不大于 ，即 或 。

∵ a>0,b>0

∴ (由学生回答上述步骤转化的目的是什么？)

(推理利用了不等式的传递性)

又由

但这些都与已知条件a>b>0矛盾.

∴ 成立。

（投影片3）

例4：用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

已知：如图：在⊙0中，弦AB 、CD 交于点P ，且AB 、CD 不是直径。 求证：弦AB 、CD 不被P 平分。

师分析：假设弦AB 、CD 被P 平分，连结OP ，由平面几何知识可推出： 生：OP ⊥AB 且OP ⊥CD 。又推出：在平面内过一点P 有两条

直线AB 和CD 同时与OP 垂直，这与垂线性质矛盾，则

原命题成立。

证明：（略）（可由投影片给出证明）

师：由上述两例题可看：利用反证法证明时，关键是从假

设结论的反面出发，经过推理论证，得出可能与命题

的条，或者与已学过的定义、公理、定理等相矛盾的结论，这是由假设所引起的，因此这个假设是不正确的，从而肯定了命题结论的正确性。 例5：若p>0,q>0,p 3+p 3=2.试用反证法证明：p+q ≤2.

b

a >a

b b a ＜b a ＝.b b b a a b b a b a •<••<•⇒与＜

b a b ab ab a <⇒<<⇒，b a b a =⇒=b a <

师：此题直接由条件推证p+q≤2是较难的，由此用反证法证之。

（师生共同分析：）

证明：假设p+q>2,∵p>0,q>0.则：（p+q）3=p3+3p2q+3pq2+q3>8.

又∵p3+q3=2。∴代入上式得：3pq(p+q)>6,即：(pq(p+q)>2.(1)

又由p3+q3=2，即(p+q)(p2-pq+q2)=2代入（1）得：

pq(p+q)>(p+q)(P2-pq+q2).

但这与（p-q）2≥0矛盾，∴假设p+q>2不成立。故p+q≤2.

师：对反证法的掌握，还有待于随着学习的深入，逐步提高。

1、2）

（III）课堂练习：（略）（课本P

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（IV）课时小结

本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。

对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高。（V）课后作业

，习题1.7:5题。

一、书面作业：课本P

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二、预习：下节内容，预习提纲：

1.充分条件与必要条件的意义是什么？

2.命题“若p则q”的真假与p是q的充分条件，q是p的必要条

件的关系是什么？

教学后记：