材料力学——动力学动静法及小结

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②拉格朗日方程
d ∂L ∂L ′ ( )− = QK & dt ∂q k ∂q k
k = 1, 2 , L , N
N 叫拉格朗日函数或动势, L = T − V 叫拉格朗日函数或动势, T 为质点系的 动能，是广义速度和广义坐标的函数， 是势能， 动能，是广义速度和广义坐标的函数，V是势能，是广
三、解题方法 准确掌握各运动量、 1．准确掌握各运动量、力的作用量的计算和惯性力 的简化中心及简化结果； （偶）的简化中心及简化结果； 2．无论什么问题，均先要以整体为研究对象: 无论什么问题，均先要以整体为研究对象: （1）画受力图，包括主动力和约束反力； 画受力图，包括主动力和约束反力； （2）假设系统运动趋势，画出加速度（角加速度） 假设系统运动趋势，画出加速度（角加速度） 的指向（转向）； 的指向（转向）； （3）虚加惯性力（偶）并且画在图上，计算出它 虚加惯性力（ 并且画在图上， ），如果不用达朗伯原 们的大小（ 们的大小（包含未知量a 或α），如果不用达朗伯原 理求解，可省去这一步； 理求解，可省去这一步；
解: 这是动力学的综合问题 （1）考虑整体为研究对象，用动能定理求轮心A的速 考虑整体为研究对象，用动能定理求轮心A 度及加速度
T1 = 0
2 vA 3 1 2 2 T2 = 2 × ⋅ m1vA + m2vA = (3m1 + m2 ) 2 4 2
W12 = PS
（a）
代入动能定理
i =1
n
表示
外力系的主矢， ∑ F i ( e ) 表示外力系的主矩）与 外力系的主矢， 表示外力系的主矩） 虚加在各质点上的惯性力，组成平衡力系， 虚加在各质点上的惯性力，组成平衡力系，这就是 质点系的达朗伯原理。 质点系的达朗伯原理。
2．动力学基本定理，包括 动力学基本定理， （1）动量定理（质心运动定理） 动量定理（质心运动定理）
i =1
n
是外力系对定点O 是外力系对定点O的主矩
Jz =
dω Jz = dt
∑M
n
z
( Fi )
(b)
m i ri 2 ，是刚体对转轴的转动惯量 ∑
(e) ix
Ma cx = ∑ F i =1 n (e) Ma cy = ∑ F iy i =1 J c α = M c ( F i( e ) )
四、例题 求图示位置板BC BC动 1．已知曲柄OA长为L，角速度 ω ，求图示位置板BC动 已知曲柄OA长为L OA长为 量的大小。 量的大小。设该板的质量为m。 解： v
cA = 3lω p = mvB = 3mlω
2．在图示系统中，已知：物块A质量为ml，均质滑轮B、C 在图示系统中，已知：物块A质量为m 均质滑轮B 质量分别为m 半径分别为r 物块A 质量分别为m2、m3，半径分别为r、R。物块A与斜面之间 的动摩擦系数为f 弹簧的弹性常数为k 的动摩擦系数为f，弹簧的弹性常数为k。设绳与滑轮间无 相对滑动，绳的倾斜段与斜面平行。试求： 相对滑动，绳的倾斜段与斜面平行。试求： (1) 重物A 下滑速度为 重物 A v时系统的动能; 时系统的动能; (2) 重物A 下滑距离为 重物 A S 时 ， 弹性力与 摩擦力所作的功 (初瞬时弹簧为 原长) 原长)。
（2）动量矩定理（刚体绕定轴转动微分 动量矩定理（ 方程，刚体平面运动微分方程） 方程，刚体平面运动微分方程）
d L0 = dt
∑
i =1
n
M 0 ( Fi ( e ) )
（a）
L0 = ∑ m0 ( mi vi ) = ∑ ri × mi vi
是质点系对定点O 是质点系对定点O的动量矩
m0 ( Fi( e ) ) = ∑ ri × Fi( e ) ∑
（5）寻求运动学补充方程。无论是杆系、轮 寻求运动学补充方程。无论是杆系、 系，各构件间总有某种运动联系，要充分利用这 各构件间总有某种运动联系， 些条件，建立运动学的补充方程， 些条件，建立运动学的补充方程，方能使整个题 目得到充足的方程式； 目得到充足的方程式；
（6）列方程并求解方程组。这是一般的解题步 列方程并求解方程组。 骤，但特别应注意的是应用动能定理和拉格朗日方 程时，一定是以整体为研究对象， 程时，一定是以整体为研究对象，而用其余公式解 题时，一般需要将系统拆开后， 题时，一般需要将系统拆开后，分别以每个物体为 研究对象，这样可以减少每个方程中未知量的个数， 研究对象，这样可以减少每个方程中未知量的个数， 避免一些不需求解的未知量（如约束反力） 避免一些不需求解的未知量（如约束反力）出现在 方程式中。 方程式中。下面我们通过五个例题说明如何计算运 动量、力的作用量及如何求力和运动。 动量、力的作用量及如何求力和运动。
3．动力学普遍方程和拉格朗日方程 其实质是将虚位移原理与达朗伯原理结合起来， 其实质是将虚位移原理与达朗伯原理结合起来，导出 求解质点系动力学问题的重要方法。 求解质点系动力学问题的重要方法。 ①动力学普遍方程
∑ (F
i =1
n
i
− mi a i ) ⋅ δri = 0
∑[(F
n i =1
ix
− mi &&i ) ⋅ δxi + (Fiy − mi &&i ) ⋅ δyi + (Fiz − mi &&i ) ⋅ δzi = 0 x y z
（4）选定做题的公式，这是学习的难点。总的 选定做题的公式，这是学习的难点。 思路是先求运动后求力，方程尽可能的少。比如， 思路是先求运动后求力，方程尽可能的少。比如，要 求运动，可考虑用动能定理， 求运动，可考虑用动能定理，因为此式显含了速度 （角速度），对时间t求导数，就可求出加速度（角 角速度），对时间t求导数，就可求出加速度（ ），对时间 加速度）。求力时，可考虑用质心运动定理或动理定 加速度）。求力时， ）。求力时 理（动量矩定理），因为这些式子里显含了约束反力 动量矩定理），因为这些式子里显含了约束反力 ）， （偶）；
1 即 − maA ⋅ r − maA r − mraA = 0 2
所以
aA = 0
α A = aA / r = 0
在图示机构中，已知：两匀质圆轮A 沿水平面作纯滚动， 4．在图示机构中，已知：两匀质圆轮A、B沿水平面作纯滚动，质 量均为m 半径均为r 形细杆ABC的质量为m 设在C ABC的质量为 量均为m1、半径均为r，T形细杆ABC的质量为m2。设在C端受一水平 系统由静止开始运动，不计滚动摩阻。试求当C 力P后，系统由静止开始运动，不计滚动摩阻。试求当C端向左移动 距离S 轮心A的速度及加速度； 轨道给轮A的摩擦力。 距离S时：(1) 轮心A的速度及加速度；(2) 轨道给轮A的摩擦力。
式中 J c =
(c)
∑m r
2
i i
,是平面运动刚体对质心的转动惯量。 是平面运动刚体对质心的转动惯量。
M c (Fi(e ) )
是外力系对质心的主矩 。
（3）动能定理 微分形式 积分形式
dT =
∑ δW
i =1
n
Fi
T2 − T1 = ∑WFi
具有理想约束的质点系，其动能的改变（ 具有理想约束的质点系，其动能的改变（增量或对 时间的一阶导数）， ），等于作用于质点系的主动力的元功 时间的一阶导数），等于作用于质点系的主动力的元功 之和；在理想的约束条件下， 之和；在理想的约束条件下，质点系在某一段运动过程 中起点和终点的动能改变量， 中起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的主动 力在这段过程中所作的功的和。 力在这段过程中所作的功的和。
解：（1）惯性力（偶） ：（1 惯性力（
L ′ ′′ FgA = ma A , Fgc = ma A , Fgc = m a AB 2
M gA 1 2 1 = J Aα A = mr a A = mra A 2 2
M gc = J C α AB
1 = ml 2α AB 12
（2）[AB杆] [AB杆
2 vA (3m1 + m2 ) = PS 2
解得
vA =
2 PS 3m1 + m 2
（b）
（a）式两端对时间t 求导得 解得
P aA = 3m1 + m2
α
解：（1）动能 1 1 1 1 2 2 2 T = m1v + J Bω1 + J C ω 2 + m3 vc2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 v 2 2 2 v 2 2 = m1v + ( m2 r )( ) + ( m3 R )( ) 2 2 2 2 2 2R r 2 1 v 2 v m2 3 + m3 ( ) = (m1 + + m3 ) 2 2 2 2 8 （2）弹性力的功
义坐标的函数,N是质点系的自由度数。 义坐标的函数,N是质点系的自由度数。 ,N是质点系的自由度数
∑δW ′ Q′ =
k k
δqk
是质点系所受的非保守力对应的第k个 广义坐标的广义力
二、不会做题的原因 1．没有真正听懂课、听懂例题的解题过程； 没有真正听懂课、听懂例题的解题过程； 对所学公式记忆不深， 或记住了没有理解， 2 ． 对所学公式记忆不深 ， 或记住了没有理解 ， 不知道什 么情况下该用什么公式； 么情况下该用什么公式； 3 ． 对所学公式中的各项的计算 ， 比如运动量和力的作用 对所学公式中的各项的计算， 量的计算，惯性力系的简化等的计算没有真正掌握， 量的计算，惯性力系的简化等的计算没有真正掌握，写 的时候容易出错； 的时候容易出错； 4．不知道应该以整体或某个刚体（质点）为研究对象； 不知道应该以整体或某个刚体（质点）为研究对象； 5．求运动和力的时候不知用哪些表达式。 求运动和力的时候不知用哪些表达式。
第三篇动力学
一、内容复习 动力问题（质点系和刚体系） 动力问题（质点系和刚体系）的学习是理论力学课程 中非常重要的内容， 中非常重要的内容，因为这些内容更加接近于工程实 际，其中的许多问题和模型都是由工程实际抽象出来 的。 主要有以下内容。 主要有以下内容。 在牛顿运动定律的基础上， 1．达朗伯原理 在牛顿运动定律的基础上，引 入惯性力的概念， 入惯性力的概念，用静力学中研究平衡问题的方法来 研究动力学中不平衡的问题，因而也被称为动静法。 研究动力学中不平衡的问题，因而也被称为动静法。