天津大学理论力学运动学

Theoretical Mechanics
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5.1 点的运动的表示法
5.1.1 点的运动的矢径表示法
运动方程
运动方程 用点在任意瞬时t的位置矢量r(t)表示。 r(t)简 称为位矢。
M
z
M´
M
y
O x
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表示动点M在空 间运动时，矢径r的 末端将描绘出一条连 续曲线，称为矢径端 图，它就是动点运动 的轨迹。 r = r (t)
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5.1 点的运动的表示法
5.1.1 点的运动的矢径表示法
加
速
度
t 瞬时: 速度 v(t)
t＋ t 瞬时:速度 v(t ＋ t ) 或v
t 时间间隔内速度的改变量
v(t)＝ v (t ＋ t )－ v(t)
点在 t 瞬时的加速度
刚体：点的集合，而且其任意两点的距离保持不变。
例如，在研究地球绕太阳运行的规律时，可以将地球抽 象化为一个动点；而在研究地球上的河岸冲刷、季候风的成
因时，则要将地球抽象化为一个刚体。
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第5章 点的一般运动和刚体的基本运动
5.1 点的运动的表示法
5.2 刚体的基本运动
结 论
点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相 应坐标对时间的一阶导数。
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5.1 点的运动的表示法
5.1.2 点的运动的直角坐标表示法
已知速度的投影求速度
大小
v v v v
2 x 2 y
2 z
方向由方向余弦确定
cosv , i v x v cosv , j v y v cosv , k v z v
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5.1 点的运动的表示法
5.1 .3 点的运动的弧坐标表示法
自然轴系的基矢量：、n、b
b(副法线) n(主法线)
自然轴系的特点
s+ 跟随动点在轨 迹上作空间曲线 运动。
b n
s
-
(切线)
M
自然轴系的单位矢量、n、b 是方向在不断变化的单位矢量。
固定的直角坐标系的单位矢量i、j、k。则是常矢量。
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5.1 点的运动的表示法
5.1 .3 点的运动的弧坐标表示法
密切面
密切面与自然轴系 当P´点无限 接近于 P点时， 过这两点的切 线所组成的平 面，称为P点的 密切面。
P P
lim a1 a
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v dv a lim t 0 t dt
d r a 2 dt
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2
5.1 点的运动的表示法
5.1.1 点的运动的矢径表示法
点的加速度为矢量
v dv a lim t 0 t dt
加速度 —— 描述点在 t 瞬时速度大小和 方向变化率的力学量。 加速度的方向为 v 的 极限方向(指向与轨迹 曲线的凹向一致) 。 加速度大小等于矢量 a 的模。
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5.1 点的运动的表示法
5.1 .3 点的运动的弧坐标表示法
运动方程
s = f (t)
若点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方程，可用点在 已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。
弧坐标特点
（1）在轨迹上任选一参考点作为坐标原点。 （2）有正、负方向(一般以点的运动方向作为正 向，反之为负)；即弧坐标是一代数量。 （3）坐标系为自然轴系。
2
tan
aτ an
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5.1 点的运动的表示法
加速度
点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标 对时间的二阶导数。
加速度大小
2 2 a ax a y az2
方 cosa, i a x a, 向 cosa, j a y a, 余 弦 cosa, k a z a
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5.1 点的运动的表示法
5.1.2 点的运动的直角坐标表示法
速
度
矢径： r x i y j z k
v vx i v y j vz k
dy dx dz v i j k dt dt dt
dx dy dz vx , v y , vz dt dt dt
根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式 dv v vτ τ a dt
dτ dτ d ds τ dt d ds dt
ds vτ dt
?
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1
ρ
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5.1 点的运动的表示法
5.1 .3 点的运动的弧坐标表示法
dτ τ lim 0 d
5.1 .3 点的运动的弧坐标表示法
dτ dτ d ds dt d ds dt
dvτ vτ a τ n dt
2

vτ

n
加速度表示为自然轴系投影形式
dvτ d 2 s aτ 2 dt dt
an vτ
2
a aτ τ an n ab b
切向加速度
a a τ an
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5.1 点的运动的表示法
5.1 .3 点的运动的弧坐标表示法
自然轴系
b(副法线)
n(主法线)
自然轴系M－ nb
M为空间曲线上的动点；
s+
过M点作垂直于 的平面， 称为曲线在M点的法面
为过动点P的密切面内的切
s
-
(切线)
M
线，其正向指向弧坐标正向；
5.1 点的运动的表示法
5.1 .3 点的运动的弧坐标表示法
M点的密切面
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5.1 点的运动的表示法
5.1 .3 点的运动的弧坐标表示法
由密切面得到的几点结论
1. 空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是惟 一的。 2. 空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长， 可以看作是位于密切面内的平面曲线。 3. 对于平面曲线而言，密切面就是该曲线所在的 平面。 4. 曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率， 用1/ 表示。 5. 曲线在垂直于密切面的平面内的曲率，称为第 二曲率。
若 d s 0 ,则 vτ 0，即点沿着s+的方向运动；
dt
反之点沿着s－的方向运动。
式 v vτ τ 中
v 和 分别表示速度的大小与方向。
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5.1 点的运动的表示法
5.1 .3 点的运动的弧坐标表示法
弧坐标中的加速度表示
d vτ dτ a vτ τ τ vτ dt dt
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5.1 点的运动的表示法
5.1.1 点的运动的矢径表示法
速
度
t 瞬时: 矢径 r(t) t＋ t 瞬时: 矢径r (t ＋ t )或r t 时间间隔内矢径的改变量 r(t)＝ r (t ＋ t )－ r(t)
点在 t 瞬时的速度
r dr v lim t 0 t dt 动点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。
第二篇 运动学 Theoretical Mechanics
第二篇 运动学
制作与设计 贾启芬 刘习军 郝淑英
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第二篇 运动学 一、运动学的研究任务
引 言
1. 研究物体的机械运动及运动的几何性质。
2. 研究机构传动规律。 二、学习运动学的目的 1. 学习动力学的基础:
受力分析和运动分析是学习动力学的两大基础。
d r d r ds v dt ds dt ds ＝s＝vτ dt
dr ＝τ ds
dr r lim 1 t 0 s ds
v vτ τ
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5.1 点的运动的表示法
5.1 .3 点的运动的弧坐标表示法
ds v 两点讨论 有关 v dt
dv y dv x dv z d2 y d2x d2z a i j k 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt dt dt
点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标 对时间的二阶导数。
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5.1 点的运动的表示法
5.1.2 点的运动的直角坐标表示法
n为密切面内垂直于切线的
直线，其正向指向曲率中心；
b为过动点P垂直于切线 和主法线的直线，其正
向由
b τ n
确定。
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5.1 点的运动的表示法
5.1 .3 点的运动的弧坐标表示法
自然轴系
自然轴系M－ nb n

b
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2. 学习机械原理和设计传动机构的基础。 3. 解决工程问题。
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第二篇 运动学 三、研究方法
不考虑引起运动的原因，只研究运动的几何性质。Fra bibliotek引 言
四、研究对象
将实际物体抽象化为两种力学模型：几何学意义上的点 （或动点）和刚体。 点：无质量、无大小、在空间占有其位置的几何点。
2 sin τ 2 lim 0
lim sin
0
当0时， 和´以及 同处 于M点的密切面内，这时， 的 极限方向垂直于 ，亦即n方向。
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2
2 1
d τ n d
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5.1 点的运动的表示法
5.1.1 点的运动的矢径表示法
r dr v lim t 0 t dt
速 度 —— 描述点在 t 瞬时运动快慢和运 动方向的力学量。速度的方向沿着运动轨迹的切 线；指向与点的运动方向一致；速度大小等于矢 量的模。
还表明速度矢量v和加速度矢量a都位于密切面内。
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5.1 点的运动的表示法
5.1 .3 点的运动的弧坐标表示法
点的加速度的大小和方向
几 点 讨 论
2 dv v 2 2 a a τ an dt 2
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5.1 点的运动的表示法
5.1.2 点的运动的直角坐标表示法
运动方程
不受约束的点在空间有三个自由度，在直角坐 标系中，点在空间的位置由三个方程确定。
x = f1(t) y = f2(t)
z = f3(t)
矢径r 与x,y,z的关系
r＝xi＋yj＋zk
5.3 定轴轮系的传动比 5.4 角速度和角加速度的矢量表示法。 点的速度和加速度的矢积表示法。
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第5章 点的一般运动和刚体的基本运动
5.1 点的运动的表示法
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5.1 点的运动的表示法
5.1.1 点的运动的矢径表示法 5.1.2 点的运动的直角坐标表示法 5.1 .3 点的运动的弧坐标表示法
法向加速度

ab 0
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5.1 点的运动的表示法
5.1 .3 点的运动的弧坐标表示法
几 点 讨 论
切向加速度
dv τ aτ s dt
表示速度矢量大小的变化率； 法向加速度 an
vτ
2
表示速度矢量方向的变化率；
ab 0 表明加速度 a在副法线方向没有分量；
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5.1.2 点的运动的直角坐标表示法
加速度
a ax i a y j az k
dv x d 2 x ax 2 dt dt dv y d 2 y ay 2 dt dt dv z d 2 z az 2 dt dt
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5.1 .3 点的运动的弧坐标表示法
自然轴系的特点
跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。
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5.1 .3 点的运动的弧坐标表示法
弧坐标中的速度表示
点的速度在切线轴上的投影等 于弧坐标对时间的一阶导数。