高考数学中的内切球和外接球问题

高考数学中的内切球和外接球问题

一、有关外接球的问题

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.

一、直接法(公式法)

1、求正方体的外接球的有关问题

例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .

例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.

2、求长方体的外接球的有关问题

例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.

例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，

体积为16，则这个球的表面积为（）.

A. 16π

B. 20π

C. 24π

D. 32π

3.求多面体的外接球的有关问题

例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8

9，底面周长为3，则这个球的体积为 .

解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有

⎪⎩

⎪⎨⎧⨯

==h x x 24368936

⎪⎩

⎪⎨⎧=

=213

x h ∴正六棱柱的底面圆的半径2

1

=r ，球心到底面的距离2

3

=d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：3

3

4R V π=

. 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.

二、构造法(补形法) 1、构造正方体

例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.

例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .

故其外接球的表面积ππ942==r S .

小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即2

2

22c b a R ++=

练习：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,6,1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为ππ1642==R S

例 6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A. π3

B. π4

C. π33

D. π6

例7 已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，ABC DA 平面⊥，BC AB ⊥，

3===BC AB DA ，则球O 的体积等于 .

解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于ABC DA 平面⊥，BC AB ⊥，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为

3===BC AB DA ，则此长方体为正方体，所以CD 长即为外接球的直

径，利用直角三角形解出3=CD .故球O 的体积等于π2

9

.（如图4）

A

O

图4

C

B

O

图5

2、例8（2008年安徽高考题）已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，

BCD AB 平面⊥，BC DC ⊥，若8,132,6===AD AC AB ，则球的体积是

解析：首先可联想到例7，构造下面的长方体，于是AD 为球的直径，O 为球心，4==OC OB 为半径，要求B 、C 两点间的球面距离，只要求出BOC ∠即可，在ABC Rt ∆中，求出4=BC ，所以 60=∠BOC ，故B 、C 两点间的球面距离是π3

4.（如图5）

本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。 三.多面体几何性质法

例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是

A.π16

B.π20

C.π24

D.π32.

小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

四.寻求轴截面圆半径法

例正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，点

D C B A S ,,,,都在同一球面上，则此球的体积为

解:设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得ABCD OO 平面⊥1.

又ABCD SO 平面⊥1，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.

在ASC ∆中，由222,2,2AC SC SA AC SC SA =+===得，

C

D

A

B

S

O 1图3