(word完整版)高中数学等差数列练习题
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一、等差数列选择题1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知58a =,36S =,则107S S -的值是( )A .48B .60C .72D .242.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200B .100C .90D .803.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=,则7S =( ) A .10-B .8C .12D .144.在巴比伦晚期的《泥板文书》中,有按级递减分物的等差数列问题,其中有一个问题大意是:10个兄弟分100两银子,长兄最多,依次减少相同数目,现知第8兄弟分得6两,则长兄可分得银子的数目为( ) A .825两 B .845两 C .865两 D .885两 5.为了参加学校的长跑比赛,省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米,最后三天共跑了10800米,则这15天小李同学总共跑的路程为( ) A .34000米 B .36000米 C .38000米 D .40000米6.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,且351024a a a ++=,则13S 的值为( ) A .8B .13C .26D .1627.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,10a <且11101921a a =,则当n S 取最小值时,n 的值为( ) A .21B .20C .19D .19或208.已知等差数列{}n a 中,5470,0a a a >+<,则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为( ) A .4SB .5SC . 6SD . 7S9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 2=8,38522a a a +=+,则a 1等于( ) A .1B .2C .3D .410.设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+,则63a b 的值为( ) A .511B .38C .1D .211.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若542S S =,248a a +=,则5a 等于( ) A .6B .7C .8D .1012.已知等差数列{}n a 中,161,11a a ==,则数列{}n a 的公差为( )A .53B .2C .8D .1313.已知{}n a 是公差为2的等差数列,前5项和525S =,若215m a =,则m =( ) A .4B .6C .7D .814.设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ,已知10100S =,则47a a +=( ) A .12B .20C .40D .10015.已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,则*n N ∈时,使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是( ) A .19B .20C .21D .2216.在等差数列{}n a 中,已知前21项和2163S =,则25820a a a a ++++的值为( )A .7B .9C .21D .4217.设等差数列{}n a 的前n 和为n S ,若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈,则必有( )A .0m S <且10m S +>B .0m S >且10m S +>C .0m S <且10m S +<D .0m S >且10m S +<18.已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =,则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =( )A .4或5B .5或6C .4D .519.在等差数列{}n a 中,25812a a a ++=,则{}n a 的前9项和9S =( ) A .36B .48C .56D .7220.在数列{}n a 中,129a =-,()*13n n a a n +=+∈N ,则1220a a a +++=( )A .10B .145C .300D .320二、多选题21.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=,则下列结论一定正确的是( ) A .100a = B .911a a = C .当9n =或10时,n S 取得最大值D .613S S =22.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且35a =,73a =,则( ) A .12d =B .12d =-C .918S =D .936S =23.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==,则( ) A .25n a n =-B .310na nC .228n S n n =- D .24n S n n =-24.已知数列{}n a 为等差数列,则下列说法正确的是( ) A .1n n a a d +=+(d 为常数)B .数列{}n a -是等差数列C .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D .1n a +是n a 与2n a +的等差中项25.在数列{}n a 中,若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .{(1)}n -是等方差数列C .若{}n a 是等方差数列,则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列26.已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,67S S <,且78S S >,则( ) A .在数列{}n a 中,1a 最大 B .在数列{}n a 中,3a 或4a 最大 C .310S S =D .当8n ≥时,0n a <27.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是( )A .{}n a 为等差数列B .0n a >C .n S 最小值为214-D .{}n a 为单调递增数列28.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d .已知a 3=12,S 12>0,a 7<0,则( ) A .a 6>0 B .2437d -<<- C .S n <0时,n 的最小值为13 D .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 29.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且13623a a S +=,则以下结论正确的是( ). A .10a =0B .10S 最小C .712S S =D .190S =30.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若90a <,100a >,则下列结论正确的是( ) A .109S S >B .170S <C .1819S S >D .190S >【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.A根据条件列方程组,求首项和公差,再根据107891093S S a a a a -=++=,代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得:102a d =⎧⎨=⎩, ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选:A 2.C 【分析】先求得1a ,然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=,所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选:C 3.D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ,再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=,则()177477142a a S a +=== 故选:D 4.C 【分析】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子,数列{}n a 是等差数列,8106100a S =⎧⎨=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程,即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子,由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ,其前n 项和为n S ,则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩,即1176109101002a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得186585a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以长兄分得865两银子.【点睛】关键点点睛:本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列,要熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式. 5.B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =,143600a =,再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意:小李同学每天跑步距离为等差数列,设为n a ,则123233600a a a a ++==,故21200a =,13141514310800a a a a ++==,故143600a =,则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选:B. 6.B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=,再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==,所以71a =,又()1131371313131132a a S a +===⨯=, 故选:B. 【点睛】结论点睛:等差、等比数列的下标和性质:若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈,(1)当{}n a 为等差数列,则有2m n p q t a a a a a +=+=; (2)当{}n a 为等比数列,则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.7.B 【分析】 由题得出1392a d =-,则2202n dS n dn =-,利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,由11101921a a =得11102119a a =,则()()112110199a d a d +=+, 解得1392a d =-,10a <,0d ∴>,()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-,对称轴为20n =,开口向上, ∴当20n =时,n S 最小.故选:B. 【点睛】方法点睛:求等差数列前n 项和最值,由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值. 8.B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围,由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩,所以015n a n >⇒≤≤, 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 9.C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算,可求出1a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则3856522a a a a a +=+=+,解得652d a a =-=,212112228S a a a d a =+=+=+=,解得13a =故选:C 10.C 【分析】令22n S n λ=,()37n T n n λ=+,求出n a ,n b ,进而求出6a ,3b ,则63a b 可得. 【详解】令22n S n λ=,()37n T n n λ=+,可得当2n ≥时,()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-,()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+,当1n =,()11112,3710a S b T λλλ====+=,符合()221n a n λ=-,()232n b n λ=+故622a λ=,322b λ=,故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时,11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中,若不符合要单独列出,一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解. 11.D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ,即可求得5a . 【详解】解:设数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 则由542S S =,248a a +=,得:111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩,即{1132024a d a d +-+=, 解得:{123a d =-=,51424310a a d ∴=+=-+⨯=.故选:D. 12.B 【分析】设公差为d ,则615a a d =+,即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ,则615a a d =+,即1115d =+,解得:2d =, 所以数列{}n a 的公差为2, 故选:B 13.A 【分析】由525S =求出1a ,从而可求出数列的通项公式,进而可求出m 的值【详解】 解:由题意得15452252a ⨯+⨯=,解得11a =, 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-, 因为215m a =,所以22115m ⋅-=,解得4m =, 故选:A 14.B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+,再由1011045100S a d =+=,从而可得结果. 【详解】 解:1011045100S a d =+=,12920a d ∴+=, 4712920a a a d ∴+=+=.故选:B. 15.B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,再由等差数列的通项公式可得1nn a ,进而可得1n a n=,再结合基本不等式即可得解. 【详解】 因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,所以12211n n n a a a ++=+, 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,设其公差为d , 由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅, 所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩,解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩,所以()1111n n d n a a =+-=,所以1n a n=,所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立,又10020n n +≥=,当且仅当10n =时,等号成立, 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选:B. 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 16.C 【分析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=,即可得113a =,再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则()1212121632a a S +==, 所以1216a a +=,即1126a =,所以113a =, 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=,故选:C 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是求出1216a a +=,进而得出113a =,()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.17.D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意,1110,0m m a a a a ++>+<, 所以1()02m m m a a S +=>,111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选:D. 18.A 【分析】由2219a a =,可得14a d =-,从而得2922n d dS n n =-,然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】解:设递减的等差数列{}n a 的公差为d (0d <),因为2219a a =,所以2211(8)a a d =+,化简得14a d =-,所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-, 对称轴为92n =, 因为n ∈+N ,02d<, 所以当4n =或5n =时,n S 取最大值, 故选:A 19.A 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,得出54a =,再由等差数列前n 项和公式,即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列,25812a a a ++=, 所以5312a =,即54a =, 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选:A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 20.C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-,结合分组求和法即可得解。
等差数列练习题(有答案)doc

一、等差数列选择题1.在等差数列{}n a 中,若n S 为其前n 项和,65a =,则11S 的值是( ) A .60B .11C .50D .552.已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,若454a a +=,则8S =( ) A .16 B .-16 C .4D .-43.等差数列{}n a 中,12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列的前20项和等于( ) A .160B .180C .200D .2204.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,且351024a a a ++=,则13S 的值为( ) A .8B .13C .26D .1625.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作,它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一部,部七十六岁,二十部为一遂,遂千百五二十岁”.现恰有30人,他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520),其中年长者年龄介于90至100,其余29人的年龄依次相差一岁,则最年轻者的年龄为( ) A .32B .33C .34D .356.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为( ) A .89B .910C .1011D .11127.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,315S =,则8a =( ) A .11B .12C .23D .248.若两个等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且3221n n S n T n +=+,则1215a b =( ) A .32B .7059C .7159D .859.题目文件丢失!10.已知等差数列{}n a 的公差d 为正数,()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数,则n a =( )A .21n -B .43n -C .54n -D .n11.已知{}n a 为等差数列,n S 是其前n 项和,且100S =,下列式子正确的是( )A .450a a +=B .560a a +=C .670a a +=D .890a a +=12.已知{}n a 是公差为2的等差数列,前5项和525S =,若215m a =,则m =( ) A .4B .6C .7D .813.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =.定义数列{}n b 如下:()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值,则13519 b b b b ++++=( )A .25B .50C .75D .10014.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{} n a ,则5a =( ) A .103B .107C .109D .10515.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且132a a +=,422a a -=,则5S =( ) A .21B .15C .10D .616.在等差数列{}n a 中,已知前21项和2163S =,则25820a a a a ++++的值为( )A .7B .9C .21D .4217.在等差数列{}n a 中,()()3589133224a a a a a ++++=,则此数列前13项的和是( ) A .13 B .26 C .52 D .56 18.若等差数列{a n }满足a 2=20,a 5=8,则a 1=( )A .24B .23C .17D .1619.已知等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41a =,则12a 的值是( ) A .15B .30C .3D .6420.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足:21<<m m m S S S ++,若0n S >,则n 的最大值为( ) A .2mB .21m +C .22m +D .23m +二、多选题21.已知数列{}n a 是等差数列,前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是( ) A .7S 最小B .130S =C .49S S =D .70a =22.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=,则下列结论一定正确的是( ) A .100a =B .911a a =C .当9n =或10时,n S 取得最大值D .613S S =23.已知数列{}n a 满足0n a >,121n n n a na a n +=+-(N n *∈),数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )A .11a =B .121a a =C .201920202019S a =D .201920202019S a >24.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =,46a =,则( ) A .23n S n n =- B .2392-=n n nSC .36n a n =-D .2n a n =25.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==,则( ) A .25n a n =-B .310na nC .228n S n n =- D .24n S n n =-26.(多选题)在数列{}n a 中,若221n n a a p --=,(2n ≥,*n N ∈,p 为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( )A .若{}n a 是等差数列,则{}2n a 是等方差数列B .(){}1n-是等方差数列C .若{}n a 是等方差数列,则{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 27.定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =,前n 项和为n S ,则( )A .数列{}n a 为等差数列B .数列{}n a 为等比数列C .2020202320202S = D .2S ,4S ,6S 成等差数列28.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d .已知312a =,120S >,70a <则( ) A .60a >B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C .0n S <时,n 的最小值为13D .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项29.无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++,其中a ,b ,c 为实数,则( )A .{}n a 可能为等差数列B .{}n a 可能为等比数列C .{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D .{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列30.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且13623a a S +=,则以下结论正确的是( ). A .10a =0B .10S 最小C .712S S =D .190S =【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.D 【分析】根据题中条件,由等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中,若n S 为其前n 项和,65a =, 所以()1111161111552a a S a +===.故选:D. 2.A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.3.B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=,再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=, 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选:B 4.B【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=,再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==,所以71a =,又()1131371313131132a a S a +===⨯=, 故选:B. 【点睛】结论点睛:等差、等比数列的下标和性质:若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈,(1)当{}n a 为等差数列,则有2m n p q t a a a a a +=+=; (2)当{}n a 为等比数列,则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.5.D 【分析】设年纪最小者年龄为n ,年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=,结合等差数列的求和公式得出111429m n =-,再由[]90,100m ∈求出n 的值.【详解】根据题意可知,这30个老人年龄之和为1520,设年纪最小者年龄为n ,年纪最大者为m ,[]90,100m ∈,则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m ++++++++=++=则有291114n m +=,则111429m n =-,所以90111429100m ≤-≤ 解得34.96635.31n ≤≤,因为年龄为整数,所以35n =. 故选:D 6.C 【分析】 首先根据()12n n n S +=得到n a n =,设11111n n n b a a n n +==-+,再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时,111a S ==, 当2n ≥时,()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==,所以n a n =.设()1111111n n n b a a n n n n +===-++,前n 项和为n T , 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选:C 7.C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ,即可求得结果. 【详解】32153S a ==,25a ∴=, 12a =,∴公差213d a a =-=, 81727323a a d ∴=+=+⨯=,故选:C. 8.C 【分析】可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,进而求得n a 与n b 的关系式,即可求得结果. 【详解】因为{}n a ,{}n b 是等差数列,且3221n n S n T n +=+, 所以可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,又当2n 时,有1(61)n n n a S S k n -=-=-,1(41)n n n b T T k n -=-=-, ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-, 故选:C .9.无10.A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项,由2132a a a =+列出方程,求出公差,利用等差数列的通项公式求解可得答案. 【详解】11a =,()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =,则()()121211a a t a +=+,解得21a t =-令2n =,则()()2322121a a t a +=+,即()2311t a t -=-,若1t =,则20,1a d ==,与已知矛盾,故解得31a t =+{}n a 等差数列,2132a a a ∴=+,即()2111t t -=++,解得4t =则公差212d a a =-=,所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选:A 11.B 【分析】由100S =可计算出1100a a +=,再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】由等差数列的求和公式可得()110101002a a S +==,1100a a ∴+=, 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选:B. 12.A 【分析】由525S =求出1a ,从而可求出数列的通项公式,进而可求出m 的值 【详解】 解:由题意得15452252a ⨯+⨯=,解得11a =, 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-, 因为215m a =,所以22115m ⋅-=,解得4m =, 故选:A 13.B 【分析】先求得21n a n =-,根据n a m ≥,求得12m n +≥,进而得到21212k k b --=,结合等差数列的求和公式,即可求解. 【详解】由题意,等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =,可得21n a n =-,因为n a m ≥,即21n m -≥,解得12m n +≥, 当21m k =-,(*k N ∈)时,1m m b k m+=,即()()11212m m m mk m b m m +===++, 即21212k k b --=, 从而()13519113519502b b b b ++++=++++=.故选:B. 14.B【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2,即可写出通项,求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2,21+2n a n ∴=, 5215+2107a ∴=⨯=.故选:B. 15.C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组,求解出1,a d 的值,再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】 因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩,所以122222a d d +=⎧⎨=⎩,所以101a d =⎧⎨=⎩,所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=, 故选:C. 16.C 【分析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=,即可得113a =,再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则()1212121632a a S +==, 所以1216a a +=,即1126a =,所以113a =, 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=,故选:C 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是求出1216a a +=,进而得出113a =,()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.17.B 【分析】利用等差数列的下标性质,结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质,可得3542a a a +=,891371013103a a a a a a a ++=++=,因为()()3589133224a a a a a ++++=, 可得410322324a a ⨯+⨯=,即4104a a +=, 故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选:B. 18.A 【分析】 由题意可得5282045252a a d --===---,再由220a =可求出1a 的值 【详解】 解:根据题意,5282045252a a d --===---,则1220(4)24a a d =-=--=, 故选:A. 19.A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据等差数列的通项公式列方程组,求出1a 和d 的值,12111a a d =+,即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩,即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得:174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==, 所以12a 的值是15, 故选:A 20.C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系,得到10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++,再根据选项,代入前n 项和公式,计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得,10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+,()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+,()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛:本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩,判断数列的项的正负,第二个关键能利用等差数列的性质和公式,将判断和的正负转化为项的正负.二、多选题21.BCD 【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=,求出1a 与d 的关系,结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++,即160a d += 所以70a =,则选项D 正确. 选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值,故A 错误. 选项B. 113137131302a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =,故C 正确. 故选:BCD 【点睛】关键点睛:本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用,解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=,即70a =,然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题. 22.ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-,结合等差数列的性质,逐一判断即可得出结论. 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=, ∴()111875282a a d a d ⨯++=+,解得19a d =-, 故10190a a d =+=,故A 正确;∵918a a d d d =+=-=,11110a a d d =+=,故有911a a =,故B 正确; 该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ,它的最值,还跟d 的值有关,故C 错误; 由于61656392S a d d ⨯=+=-,131131213392S a d d ⨯=+=-,故613S S =,故D 正确, 故选:ABD. 【点睛】思路点睛:利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简,直接根据性质判断结果. 23.BC 【分析】根据递推公式,得到11n n nn n a a a +-=-,令1n =,得到121a a =,可判断A 错,B 正确;根据求和公式,得到1n n nS a +=,求出201920202019S a =,可得C 正确,D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+,即11n n n n n a a a +-=-, 当1n =时,则121a a =,即得到121a a =,故选项B 正确;1a 无法计算,故A 错; 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以1n n S a n +=,则201920202019S a =,故选项C 正确,选项D 错误. 故选:BC. 【点睛】 方法点睛:由递推公式求通项公式的常用方法:(1)累加法,形如()1n n a a f n +=+的数列,求通项时,常用累加法求解; (2)累乘法,形如()1n na f n a +=的数列,求通项时,常用累乘法求解; (3)构造法,形如1n n a pa q +=+(0p ≠且1p ≠,0q ≠,n ∈+N )的数列,求通项时,常需要构造成等比数列求解;(4)已知n a 与n S 的关系求通项时,一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.24.BC【分析】由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d , 因为30S =,46a =,所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得133a d =-⎧⎨=⎩, 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-,21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=, 故选:BC 25.AD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩,进而得13,2a d =-=,故25n a n =-,24n S n n =-.【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d ,因为450,5S a ==所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得:1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩,解方程组得:13,2a d =-=,所以()31225n a n n =-+-⨯=-,24n S n n =-.故选:AD. 26.BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项,取n a n =,则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数,则{}2n a 不是等方差数列,A 选项中的结论错误;对于B 选项,()()22111110n n+⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数,则(){}1n-是等方差数列,B 选项中的结论正确;对于C 选项,若{}n a 是等方差数列,则存在常数p R ∈,使得221n n a a p +-=,则数列{}2na 为等差数列,所以()221kn k n a a kp +-=,则数列{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列,C 选项中的结论正确;对于D 选项,若数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,则存在m R ∈,使得n a dn m =+,则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++,由于数列{}n a 也为等方差数列,所以,存在实数p ,使得221n n a a p +-=,则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立,则()2202d m d d p⎧=⎪⎨+=⎪⎩,得0p d ==, 此时,数列{}n a 为常数列,D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义,解题时要充分利用题中的定义进行判断,也可以结合特殊数列来判断命题不成立,考查逻辑推理能力,属于中等题. 27.AC 【分析】 由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==,即112222n n n a a a n -+++=⋅,则2n ≥时,()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅,可求解出1n a n =+,易知{}n a 是等差数列,则A 正确,然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ,判断C ,D 的正误. 【详解】 解:由112222n n nn a a a H n-+++==,得112222n n n a a a n -+++=⋅,①所以2n ≥时,()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅,②得2n ≥时,()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅,即2n ≥时,1n a n =+,当1n =时,由①知12a =,满足1n a n =+.所以数列{}n a 是首项为2,公差为1的等差数列,故A 正确,B 错, 所以()32n n n S +=,所以2020202320202S =,故C 正确.25S =,414S =,627S =,故D 错,故选:AC . 【点睛】本题考查数列的新定义问题,考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解,难度一般. 28.ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>,又70a <,所以6>0a ,可判断A ;由已知得出2437d -<<-,且()12+3n a n d =-,得出[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又()1112+3n a n d =-,可得出1na 在1,6n n N上单调递增,1na 在7n nN ,上单调递增,可判断B ;由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=,可判断C ;判断 n a ,n S 的符号, n a 的单调性可判断D ; 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-,()()612112712+12+220a a a a S ==>,又70a <,所以6>0a ,故A 正确;由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩,解得2437d -<<-,又()()3+312+3n a n d n d a =-=-,当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,又()1112+3n a n d =-,所以[]1,6n ∈时,1>0na ,7n ≥时,10n a <,所以1na 在1,6nn N上单调递增,1na 在7nn N ,上单调递增,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列,故B 不正确;由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=,而120S >,所以0n S <时,n 的最小值为13,故C 选项正确 ;当[]1,6n ∈时,>0n a ,7n ≥时,0n a <,当[]1,12n ∈时,>0n S ,13n ≥时,0n S <,所以当[]7,12n ∈时,0n a <,>0n S ,0nnS a <,[]712n ∈,时,n a 为递增数列,n S 为正数且为递减数列,所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项,故D 正确; 【点睛】本题考查等差数列的公差,项的符号,数列的单调性,数列的最值项,属于较难题. 29.ABC 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式,利用定义判定得出答案.【详解】当1n =时,11a S a b c ==++.当2n ≥时,()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+. 当1n =时,上式=+a b .所以若{}n a 是等差数列,则0.a b a b c c +=++∴=所以当0c 时,{}n a 是等差数列, 0a cb ==⎧⎨≠⎩时是等比数列;当0c ≠时,{}n a 从第二项开始是等差数列. 故选:A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系,利用n S 求通项公式,属于基础题. 30.ACD 【分析】由13623a a S +=得100a =,故A 正确;当0d <时,根据二次函数知识可知n S 无最小值,故B 错误;根据等差数列的性质计算可知127S S =,故C 正确;根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =,故D 正确. 【详解】因为13623a a S +=,所以111236615a a d a d ++=+,所以190a d +=,即100a =,故A 正确;当0d <时,1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2dn n =-无最小值,故B 错误;因为127891*********S S a a a a a a -=++++==,所以127S S =,故C 正确; 因为()1191910191902a a S a+⨯===,故D 正确.故选:ACD. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式,考查了等差数列的性质,属于中档题.。
等差数列数列练习题(5篇)

等差数列数列练习题(5篇)第一篇:等差数列数列练习题一、选择题35241.已知为等差数列,1A.-1B.1C.3D.7 a+a+a=105,a+a+a6=99,则a20等于()2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于()A.13B.35C.49D. 633.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3 =6,a1=4,则公差d等于5C.-2D 3 34.已知{an}为等差数列,且a7-2a4=-1, a3=0,则公差d=A.1B11C.D.2 225.若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=()A.-2B.-A.12B.13C.14D.156.在等差数列{an}中,a2+a8=4,则其前9项的和S9等于()A.18B 27C36D 97.已知{an}是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和S10等于()A.64B.100C.110D.1208.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S4=20,则S6=()2A.16B.24C.36D.489.等差数列{an}的前n项和为Sx若a2=1,a3=3,则S4=()A.12B.10C.8D.610.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.2711.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是()A.15二、填空题 B.30 C.31 D.6412.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S12=21,则a2+a5+a8+a11=13.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=72,则a2+a4+a9=14.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=5a3则S9=S515.等差数列{an}的前n项和为Sn,且6S5-5S3=5,则a4=已知等差数列{an}的公差是正整数,且a3⋅a7=-12,a4+a6=-4,则前10项的和S10 16.三、解答题17.在等差数列{an}中,a4=0.8,a11=2.2,求a51+a52+Λ+a80.18、设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0,①求公差d的取值范围;②S1,S2,Λ,S12中哪一个值最大?并说明理由.19、设等差数列{an}的前n项的和为S n ,且S 4 =-62, S 6 =-75,求:(1){an}的通项公式a n 及前n项的和S n ;(2)|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.20.已知等差数列{an}中,a3a7=-16,a4+a6=0求{an}前n项和sn.1第二篇:数列四等差数列1、(2009湖北卷文)已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a6=55,a2+a7=16.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式:(Ⅱ)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an=={bn}的前n项和Sn2、(重庆市重庆八中2011届高三第四次月考理)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=(1)求数列{an}的通项公式an;s11s22Snn+2(n-1),(n∈N).*b12+b22+b32+...bn2n(n为正整数),求数列snn(2)是否存在正整数n使得++....+求出n值;-(n-1)=2011?若存在,若不存在,说明理由.3、(北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考)在数列{an}中,a1=bn=1an(n∈N).*13,并且对任意n∈N*,n≥2都有an⋅an-1=an-1-an成立,令(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;ann(Ⅱ)求数列{}的前n项和Tn.4、(江苏泰兴市重点中学2011届)已知数列{an}是等差数列,cn=an-an+1(n∈N*)(1)判断数列{cn}是否是等差数列,并说明理由;(2)如果a1+a3+Λ+a25=130,a2+a4+Λ+a26=143-13k(k为常数数列{cn}的通项公式;(3)在(2)的条件下,若数列{cn}得前n项和为Sn,问是否存在这样的实数k,使Sn当且仅当n=12时取得最大值。
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11.已知数列 中, , ,对 都有 ,则 等于()
A. B. C. D.
12.在等差数列 中,若 为其前 项和, ,则 的值是()
A.60B.11C.50D.55
13.若等差数列{an}满足a2=20,a5=8,则a1=()
A.24B.23C.17D.16
14.设等差数列 的前 和为 ,若 ,则必有()
A.若 ,则 , ;
B.若 ,则使 的最大的n为15;
C.若 , ,则 中 最大;
D.若 ,则 .
25.朱世杰是元代著名数学家,他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题,主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔,小明模仿“堆垛”问题,将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”,要求层数不小于2,且从最下面一层开始,每一层比上一层多1根,则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是()
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
15.已知递减的等差数列 满足 ,则数列 的前n项和取最大值时n=()
A.4或5B.5或6C.4D.5
16.已知数列 中, ,且 ,则这个数列的第10项为()
A.18B.19C.20D.21
17.记 为等差数列 的前 项和,若 , ,则 等于()
A.6B.7C.8D.10
A.4B.5C.7D.8
26.记 为等差数列 前 项和,若 且 ,则下列关于数列的描述正确的是()
A. B.数列 中最大值的项是
C.公差 D.数列 也是等差数列
27.设 是等差数列, 是其前 项的和,且 , ,则下列结论正确的是()
A. B.
C. D. 与 均为 的最大值
等差数列题目100道

等差数列题目100道一、基础概念类题目1. 已知数列{a_n}满足a_{n + 1}-a_n = 3,a_1 = 2,求数列{a_n}的通项公式。
- 解析:因为a_{n + 1}-a_n = d = 3(d为公差),a_1 = 2。
根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n - 1)d,可得a_n=2+(n - 1)×3=3n - 1。
2. 在等差数列{a_n}中,a_3 = 7,a_5 = 11,求a_{10}。
- 解析:首先求公差d,d=frac{a_{5}-a_{3}}{5 - 3}=(11 - 7)/(2)=2。
由a_3=a_1+(3 - 1)d,即7=a_1 + 2×2,解得a_1 = 3。
那么a_{10}=a_1+(10 -1)d=3+9×2 = 21。
3. 若数列{a_n}为等差数列,且a_2=5,a_6 = 17,求其公差d。
- 解析:根据等差数列通项公式a_n=a_m+(n - m)d,则a_6=a_2+(6 - 2)d,即17 = 5+4d,解得d = 3。
4. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=-1,公差d = 2,求该数列的前n项和S_n的公式。
- 解析:根据等差数列前n项和公式S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d,将a_1=-1,d = 2代入可得S_n=-n+(n(n - 1))/(2)×2=n^2 - 2n。
5. 在等差数列{a_n}中,a_1 = 1,a_{10}=19,求S_{10}。
- 解析:根据等差数列前n项和公式S_n=(n(a_1 + a_n))/(2),这里n = 10,a_1 = 1,a_{10}=19,则S_{10}=(10×(1 + 19))/(2)=100。
二、性质应用类题目6. 在等差数列{a_n}中,若a_3+a_8+a_{13}=12,求a_8的值。
- 解析:因为在等差数列中,若m,n,p,q∈ N^+,m + n=p+q,则a_m + a_n=a_p + a_q。
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一、等差数列选择题1.已知等差数列{}n a 中,5470,0a a a >+<,则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为( ) A .4SB .5SC . 6SD . 7S2.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为( ) A .161B .155C .141D .1393.等差数列{}n a 中,已知14739a a a ++=,则4a =( ) A .13B .14C .15D .164.等差数列{}n a 的公差为2,若248,,a a a 成等比数列,则9S =( ) A .72B .90C .36D .455.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,15a =,且满足122527n na a n n +-=--,若p ,*q ∈N ,p q >,则p q S S -的最小值为( )A .6-B .2-C .1-D .06.设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为( ).A .65B .16C .15D .147.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,3518a S +=,633a a =+,则n a =( ) A .1n -B .nC .21n -D .2n8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列判断错误的是( ) A .S 5,S 10-S 5,S 15-S 10必成等差数列 B .S 2,S 4-S 2,S 6-S 4必成等差数列 C .S 5,S 10,S 15+S 10有可能是等差数列D .S 2,S 4+S 2,S 6+S 4必成等差数列9.题目文件丢失!10.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,且351024a a a ++=,则13S 的值为( ) A .8B .13C .26D .16211.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若7916+=a a ,则15S =( ) A .60B .120C .160D .24012.已知等差数列{}n a 满足48a =,6711a a +=,则2a =( ) A .10B .9C .8D .713.《周碑算经》有一题这样叙述:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,则后五个节气日影长之和为( )(注:一丈=十尺,一尺=十寸) A .一丈七尺五寸 B .一丈八尺五寸 C .二丈一尺五寸D .二丈二尺五寸14.《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺”,则从第2天起每天比前一天多织( ) A .12尺布 B .518尺布 C .1631尺布 D .1629尺布 15.在等差数列{}n a 中,已知前21项和2163S =,则25820a a a a ++++的值为( )A .7B .9C .21D .4216.在等差数列{}n a 中,()()3589133224a a a a a ++++=,则此数列前13项的和是( ) A .13B .26C .52D .5617.已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =,则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =( )A .4或5B .5或6C .4D .518.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为( )A .3、8、13、18、23B .4、8、12、16、20C .5、9、13、17、21D .6、10、14、18、2219.已知数列{x n }满足x 1=1,x 2=23,且11112n n n x x x -++=(n ≥2),则x n 等于( ) A .(23)n -1B .(23)n C .21n + D .12n + 20.数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =,则通项公式是( ) A .32n -B .322n - C .3122n - D .3122n + 二、多选题21.已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠,且满足140(2)n n n a S S n -+=≥,114a =,则下列说法错误的是( ) A .数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B .数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C .数列{}n a 为递增数列D .数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列22.已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠,且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=,则下列说法正确的是( )A .数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B .数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C .数列{}n a 为递增数列D .数列1{}nS 为递增数列 23.(多选)在数列{}n a 中,若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .(){}1n- 是等方差数列C .{}2n是等方差数列.D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列24.已知数列{}n a 的前4项为2,0,2,0,则该数列的通项公式可能为( )A .0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B .1(1)1n n a -=-+C .2sin2n n a π= D .cos(1)1n a n π=-+25.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==,则( ) A .25n a n =-B .310na nC .228n S n n =- D .24n S n n =-26.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若10a >,717S S =,则( ) A .0d < B .120a > C .13n S S ≤D .当且仅当0nS <时,26n ≥27.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d > B .70a =C .95S S >D .6S 与7S 均为n S 的最大值28.已知数列{}n a 为等差数列,则下列说法正确的是( ) A .1n n a a d +=+(d 为常数) B .数列{}n a -是等差数列 C .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D .1n a +是n a 与2n a +的等差中项29.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =,411a =,则( ) A .45n a n =-B .23n a n =+C .223n S n n =-D .24n S n n =+30.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题,其中的真命题为( ). A .数列{}n a 是递增数列 B .数列{}n na 是递增数列 C .数列{}na n是递增数列 D .数列{}3n a nd +是递增数列【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围,由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩,所以015n a n >⇒≤≤, 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 2.B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ,根据所给定义:用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列,即得到了一个等差数列,如图:由图可得:3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ,解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选:B. 3.A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=,代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=, 所以1474339a a a a ++==,解得:413a =, 故选:A 4.B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列,有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ,进而得到1a 、n a ,即可求9S . 【详解】由题意知:244a a =-,848a a =+,又248,,a a a 成等比数列,∴2444(4)(8)a a a =-+,解之得48a =,∴143862a a d =-=-=,则1(1)2n a a n d n =+-=,∴99(229)902S ⨯+⨯==,故选:B 【点睛】思路点睛:由其中三项成等比数列,利用等比中项性质求项,进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比,即2k m n a a a =; 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 5.A 【分析】 转化条件为122527n na a n n +-=--,由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--,求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】 因为122527n n a a n n +-=--,所以122527n na a n n +-=--, 又1127a =--,所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项,公差为2的等差数列, 所以()1212327na n n n =-+-=--,所以()()2327n a n n =--, 令()()23270n a n n =--≤,解得3722n ≤≤, 所以230,0a a <<,其余各项均大于0,所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选:A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项,再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项,即可得解. 6.C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差,然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得,12a =,()2111n S n -=-+,所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-,所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩,故828115a =⨯-=.故选:C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解,较简单,利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 7.B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组,求解出首项和公差,则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】因为3518a S +=,633a a =+,所以11161218523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩,所以111a d =⎧⎨=⎩,所以()111n a n n =+-⨯=,故选:B. 8.D 【分析】根据等差数列的性质,可判定A 、B 正确;当首项与公差均为0时,可判定C 正确;当首项为1与公差1时,可判定D 错误. 【详解】由题意,数列{}n a 为等差数列,n S 为前n 项和,根据等差数列的性质,可得而51051510,,S S S S S --,和24264,,S S S S S --构成等差数列,所以,所以A ,B 正确;当首项与公差均为0时,5101510,,S S S S +是等差数列,所以C 正确;当首项为1与公差1时,此时2426102,31,86S S S S S =+=+=,此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列,所以D 错误. 故选:D.9.无10.B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=,再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==,所以71a =,又()1131371313131132a a S a +===⨯=, 故选:B. 【点睛】结论点睛:等差、等比数列的下标和性质:若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈,(1)当{}n a 为等差数列,则有2m n p q t a a a a a +=+=; (2)当{}n a 为等比数列,则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.11.B 【分析】利用等差数列的性质,由7916+=a a ,得到88a =,然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ,所以由等差数列的性质得978216a a a +==, 解得88a =, 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=. 故选:B 12.A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ,进一步求得2a . 【详解】在等差数列{}n a 中,设公差为d ,由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩,24210a a d ∴=-=. 故选:A 13.D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,已知条件为985.5S =,14731.5a a a ++=,由等差数列性质即得5a ,4a ,由此可解得d ,再由等差数列性质求得后5项和. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和, 则()19959985.52a a S a +===(尺),所以59.5a =(尺),由题知1474331.5a a a a ++==(尺),所以410.5a =(尺),所以公差541d a a =-=-, 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=(尺). 故选:D . 14.D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布,前()N n n *∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,根据15a =,30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布,前()N n n *∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=,解得1629d =.故选:D. 15.C 【分析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=,即可得113a =,再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则()1212121632a a S +==, 所以1216a a +=,即1126a =,所以113a =, 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=,故选:C 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是求出1216a a +=,进而得出113a =,()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.16.B 【分析】利用等差数列的下标性质,结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质,可得3542a a a +=,891371013103a a a a a a a ++=++=, 因为()()3589133224a a a a a ++++=, 可得410322324a a ⨯+⨯=,即4104a a +=, 故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选:B. 17.A 【分析】由2219a a =,可得14a d =-,从而得2922n d dS n n =-,然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】解:设递减的等差数列{}n a 的公差为d (0d <),因为2219a a =,所以2211(8)a a d =+,化简得14a d =-,所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-, 对称轴为92n =, 因为n ∈+N ,02d<, 所以当4n =或5n =时,n S 取最大值, 故选:A 18.C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则171,25a a ==,则712514716a a d --===-, 则这5个数依次是5,9,13,17,21. 故选:C 19.C 【分析】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,进而得出答案.【详解】 由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,且121131,2x x ==,故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=,故21n x n =+故选:C 20.C 【分析】根据题中条件,求出等差数列的公差,进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =, 则公差为31322a a d -==, 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选:C.二、多选题21.ABC 【分析】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠(),且满足1402n n n a S S n -+=≥(),114a =,可得:1140n n n n S S S S ---+=,化为:1114n n S S --=,利用等差数列的通项公式可得1nS ,n S ,2n ≥时,()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---,进而求出n a . 【详解】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠(),且满足1402n n n a S S n -+=≥(),114a =,∴1140n n n n S S S S ---+=,化为:1114n n S S --=, ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,公差为4, ∴()14414n n n S =+-=,可得14n S n=, ∴2n ≥时,()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---, ∴()1(1)41(2)41n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩, 对选项逐一进行分析可得,A ,B ,C 三个选项错误,D 选项正确.故选:ABC.【点睛】 本题考查数列递推式,解题关键是将已知递推式变形为1114n n S S --=,进而求得其它性质,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题22.AD【分析】先根据和项与通项关系化简条件,再构造等差数列,利用等差数列定义与通项公式求S n ,最后根据和项与通项关系得n a .【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+=11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项,4为公差的等差数列,也是递增数列,即D 正确; 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=,即A 正确; 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩,即B ,C 不正确; 故选:AD本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性,考查基本分析论证与求解能力,属中档题.23.BD【分析】根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故{}na 不是等方差数列,故A 错误; 对于B ,数列(){}1n-中,222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数,{(1)}n ∴-是等方差数列,故B 正确;对于C ,数列{}2n 中,()()22221112234n n n n n a a ----=-=⨯不是常数,{}2n ∴不是等方差数列,故C 错误;对于D ,{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+,{}n a 是等方差数列,()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,2210n n a a --=是常数,故D 正确.故选:BD.【点睛】关键点睛:本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义,利用定义进行判断.24.BD【分析】根据选项求出数列的前4项,逐一判断即可.【详解】解:因为数列{}n a 的前4项为2,0,2,0,选项A :不符合题设;选项B :01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+= 23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=,符合题设;选项C :,12sin 2,2a π==22sin 0,a π==332sin 22a π==-不符合题设; 选项D :1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=,符合题设.【点睛】本题考查数列的通项公式的问题,考查了基本运算求解能力,属于基础题. 25.AD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩,进而得13,2a d =-=,故25n a n =-,24n S n n =-.【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d ,因为450,5S a ==所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得:1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩, 解方程组得:13,2a d =-=,所以()31225n a n n =-+-⨯=-,24n S n n =-.故选:AD.26.AB【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果.【详解】因为等差数列中717S S =,所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=, 又10a >,所以12130,0a a ><,所以0d <,12n S S ≤,故AB 正确,C 错误; 因为125251325()2502a a S a +==<,故D 错误, 故选:AB【点睛】关键点睛:本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=,结合10a >,进而得到12130,0a a ><,考查学生逻辑推理能力.27.BD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项即可求解.【详解】根据题意,设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项:{}n a 是等差数列,若67S S =,则7670S S a -==,故B 正确;又由56S S <得6560S S a -=>,则有760d a a =-<,故A 错误;而C 选项,95S S >,即67890a a a a +++>,可得()7820a a +>,又由70a =且0d <,则80a <,必有780a a +<,显然C 选项是错误的. ∵56S S <,678S S S =>,∴6S 与7S 均为n S 的最大值,故D 正确;故选:BD.【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质,需熟记公式,属于基础题.28.ABD【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项,根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项.【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列,所以1n n a a d +-=,即1n n a a d +=+,所以A 正确;B. 因为数列{}n a 是等差数列,所以1n n a a d +-=,那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-,所以数列{}n a -是等差数列,故B 正确; C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==,不是常数,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列,故C 不正确;D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+,所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项,故D 正确.故选:ABD【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列,属于基础题型.29.AC【分析】由535S =求出37a =,再由411a =可得公差为434d a a =-=,从而可求得其通项公式和前n 项和公式【详解】由题可知,53535S a ==,即37a =,所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=, 所以()4445n a a n d n =+-=-,()2451232n n n S n n --==-. 故选:AC.【点睛】本题考查等差数列,考查运算求解能力.30.AD【分析】根据等差数列的性质,对四个选项逐一判断,即可得正确选项.【详解】0d >,10n n a a d +-=> ,所以{}n a 是递增数列,故①正确,()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦,当12d a n d-<时,数列{}n na 不是递增数列,故②不正确,1n a a d d n n -=+,当10a d -<时,{}n a n不是递增数列,故③不正确, 134n a nd nd a d +=+-,因为0d >,所以{}3n a nd +是递增数列,故④正确, 故选:AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质,属于基础题.。
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一、等差数列选择题1.已知等差数列{}n a 中,161,11a a ==,则数列{}n a 的公差为( ) A .53B .2C .8D .132.等差数列{}n a 的公差为2,若248,,a a a 成等比数列,则9S =( ) A .72B .90C .36D .453.定义12nnp p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n,又2n n a b =,则1223910111b b b b b b +++=( ) A .817 B .1021C .1123 D .919 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,10a <且11101921a a =,则当n S 取最小值时,n 的值为( ) A .21B .20C .19D .19或205.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足:21<<m m m S S S ++,若0n S >,则n 的最大值为( ) A .2mB .21m +C .22m +D .23m +6.《周碑算经》有一题这样叙述:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,则后五个节气日影长之和为( )(注:一丈=十尺,一尺=十寸) A .一丈七尺五寸 B .一丈八尺五寸 C .二丈一尺五寸D .二丈二尺五寸7.《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺”,则从第2天起每天比前一天多织( ) A .12尺布 B .518尺布 C .1631尺布 D .1629尺布 8.在数列{}n a 中,129a =-,()*13n n a a n +=+∈N ,则1220a a a +++=( )A .10B .145C .300D .3209.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=,则7S =( ) A .10-B .8C .12D .1410.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且71124a a -=,则5S =( ) A .15B .20C .25D .3011.已知数列{}n a 中,11a =,22a =,对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+,则10a 等于( ) A .10BC .64D .412.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =.定义数列{}n b 如下:()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值,则13519 b b b b ++++=( )A .25B .50C .75D .10013.已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,则*n N ∈时,使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是( ) A .19B .20C .21D .2214.在等差数列{}n a 的中,若131,5a a ==,则5a 等于( ) A .25B .11C .10D .915.在等差数列{}n a 中,()()3589133224a a a a a ++++=,则此数列前13项的和是( ) A .13B .26C .52D .5616.设等差数列{}n a 的前n 和为n S ,若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈,则必有( )A .0m S <且10m S +>B .0m S >且10m S +>C .0m S <且10m S +<D .0m S >且10m S +<17.在数列{}n a 中,11a =,且11nn na a na +=+,则其通项公式为n a =( ) A .211n n -+B .212n n -+C .221n n -+D .222n n -+18.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若718a a a -<<-,则必定有( ) A .70S >,且80S < B .70S <,且80S > C .70S >,且80S >D .70S <,且80S <19.已知等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41a =,则12a 的值是( ) A .15B .30C .3D .6420.设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+,则63a b 的值为( ) A .511B .38C .1D .2二、多选题21.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( ) A .1:17:2a d =-B .180S =C .当0d >时,6140a a +>D .当0d <时,614a a >22.若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立,则实数a 的可能取值为( ) A .2- B .1- C .1 D .223.若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩,135a =,则数列{}n a 中的项的值可能为( ) A .15B .25C .45D .6524.等差数列{}n a 是递增数列,公差为d ,前n 项和为n S ,满足753a a =,下列选项正确的是( ) A .0d <B .10a <C .当5n =时n S 最小D .0n S >时n 的最小值为825.等差数列{}n a 的首项10a >,设其前n 项和为{}n S ,且611S S =,则( ) A .0d > B .0d < C .80a = D .n S 的最大值是8S 或者9S26.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是( )A .{}n a 为等差数列B .0n a >C .n S 最小值为214-D .{}n a 为单调递增数列27.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈,公差0d ≠,690S=,7a 是3a 与9a 的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .2d =-B .120a =-C .当且仅当10n =时,n S 取最大值D .当0nS <时,n 的最小值为2228.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39S =,47a =,则( )A .2n S n =B .223n S n n =-C .21n a n =-D .35n a n =-29.公差为d 的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,110S >,120S <,下列说法正确的有( ) A .0d <B .70a >C .{}n S 中5S 最大D .49a a <30.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若90a <,100a >,则下列结论正确的是( ) A .109S S >B .170S <C .1819S S >D .190S >【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.B 【分析】设公差为d ,则615a a d =+,即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ,则615a a d =+,即1115d =+,解得:2d =, 所以数列{}n a 的公差为2, 故选:B 2.B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列,有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ,进而得到1a 、n a ,即可求9S . 【详解】由题意知:244a a =-,848a a =+,又248,,a a a 成等比数列,∴2444(4)(8)a a a =-+,解之得48a =,∴143862a a d =-=-=,则1(1)2n a a n d n =+-=,∴99(229)902S ⨯+⨯==,故选:B 【点睛】思路点睛:由其中三项成等比数列,利用等比中项性质求项,进而得到等差数列的基本量1、由,,m k n a a a 成等比,即2k m n a a a =; 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 3.D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和,然后利用前n 项和求解通项公式,最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得:12n n S n=,则:22n S n =, 当1n =时,112a S ==,当2n ≥时,142n n n a S S n -=-=-, 且14122a =⨯-=,据此可得 42n a n =-,故212nn a b n ==-,()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 据此有:12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选:D 4.B 【分析】 由题得出1392a d =-,则2202n dS n dn =-,利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d , 由11101921a a =得11102119a a =,则()()112110199a d a d +=+, 解得1392a d =-,10a <,0d ∴>,()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-,对称轴为20n =,开口向上, ∴当20n =时,n S 最小.故选:B.【点睛】方法点睛:求等差数列前n 项和最值,由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值. 5.C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系,得到10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++,再根据选项,代入前n 项和公式,计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得,10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+,()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+, ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛:本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩,判断数列的项的正负,第二个关键能利用等差数列的性质和公式,将判断和的正负转化为项的正负. 6.D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,已知条件为985.5S =,14731.5a a a ++=,由等差数列性质即得5a ,4a ,由此可解得d ,再由等差数列性质求得后5项和. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和, 则()19959985.52a a S a +===(尺),所以59.5a =(尺),由题知1474331.5a a a a ++==(尺),所以410.5a =(尺),所以公差541d a a =-=-, 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=(尺). 故选:D .7.D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布,前()N n n *∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,根据15a =,30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布,前()N n n *∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=,解得1629d =.故选:D. 8.C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-,结合分组求和法即可得解。
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入门题:
1、有一个数列,4、10、16、22 …… 52,这个数列有多少项?
2、一个等差数列,首项是3,公差是2,项数是10。
它的末项是多少?
3、求等差数列1、
4、7、10 ……,这个等差数列的第30项是多少?
4、6+7+8+9+……+74+75=()
5、2+6+10+14+……+122+126=()
6、已知数列2、5、8、11、14 ……,47应该是其中的第几项?
7、有一个数列:6、10、14、18、22 ……,这个数列前100项的和是多少?
练习题:
1、3个连续整数的和是120,求这3个数。
2、4个连续整数的和是94,求这4个数。
3、在6个连续偶数中,第一个数和最后一个数的和是78,求这6个连续偶数各是多少?
4、丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学会1个,最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中共学会了多少个单词?
5、有80把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?
6、某班有51个同学,毕业时每人都要和其他同学握一次手,那么这个班共握了多少次手?。
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一、 过关练习:
1、在等差数列{}n a 中,2,365-==a a ,则1054a a a ++=
2、已知数列{}n a 中,()
*+∈+==N n a a a n n 3
111,111,则50a = 3、在等差数列{}n a 中,,0,019181=+>a a a 则{}n a 的前n 项和n S 中最大的是 4、设数列{}n a 的通项为()*∈-=N n n a n 72,则1521a a a +++ =
二、 典例赏析:
例1、在等差数列{}n a 中,前n 项和记为n S ,已知50,302010==a a
(1)求通项n a ;(2)若242=n
S ,求n 例2、在等差数列
{}n a 中, (1)941,0S S a =>,求n S 取最大值时,n 的值; (2)1241,15S S a ==,求n S 的最大值。
例3、已知数列{}n a 满足()22,21
2
1≥-==-n a a a a a a n n ,其中a 是不为零的常数,令a a b n n -=1 (1) 求证:数列{}n b 是等差数列 (2)求数列{}n a 的通项公式
三、强化训练:
1、等差数列{}n a 中,40,19552==+S a a ,则1a =
2、等差数列{}n a 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则前3m 项和为
3、等差数列{}n a 中,,4,84111073=-=-+a a a a a 记n n a a a S +++= 21,则13S 等于
4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且10,10010010==S S ,则110S = 。
5、在ABC ∆中,已知A 、B 、C 成等差数列,求2tan 2tan 32tan 2tan
C A C A ++的值
作业
A 组:
1、 在a 和b 两个数之间插入n 个数,使它们与a 、b 组成等差数列,则该数列的公差为
2、 已知方程
()()02222=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列,则n m -等于 B 组:
3、 已知一元二次方程()()()02=-+-+-b a c x a c b x c b a
有两个相等的实根, 求证:
c b a 1,1,1成等差数列
4、 已知数列
{}n a 的通项公式是254-=n a n ,求数列{}n a 的前n 项和
等差数列性质
1、已知数列
{}n a 中,1*2(,2)n n a a n N n --=∈≥,若3,1a =则此数列的第10项是 2、等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若1845a a =-,则8s 等于
3、在等差数列中,1a 与11a 是方程2270x x --=的两根,则6a 为
4、等差数列
{}n a 共有21n +项,所有奇数项之和为132,所有偶数项之和为120,则n 等于 5、在x 和y 之间插入n 个实数,使它们与x y ,组成等差数列,则此数列的公差为
6、首相为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d 的取值范围
7、已知等差数列{}n a 中,前15项之和为9015S =,则8a 等于
8、已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,又数列{
11n a +}为等差数列,则a n =________ 9、数列{}n a 满足:36n 12n+2n+1a a a a a ===-,,,2004a =
10、在等差数列{}n a 中,n a m =,m a n = (m ,n ∈N +
),则=+n m a 11、等差数列{}n a 中,已知1251,4,33,3
n a a a a n =+==则为 12.已知在数列{a n }中,a 1=-10,a n+1=a n +2,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 10|等于
13、已知等差数列共有10项,其中奇数项之和15,偶数项之和为30,则其公差是
14、设数列{a n }和{b n }都是等差数列,其中a 1=24, b 1=75,且a 2+b 2=100,则数列{a n +b n }的第100项为
15、设{}n a 是公差为正数的等差数列,若12315a a a ++=,12380a a a =,则111213a a a ++=
16.在等方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列,则|m -n|= 17、若{}n a 为等差数列,2a ,10a 是方程0532=--x x 的两根,则=+7
5a a ____________。
18.等差数列{a n }中,a 1=-5,它的前11项的平均值是5,若从中抽取1项,余下10项的平均值是4,则抽取的是第 项.
19、若lg2,lg(2x -1),lg(2x+3)成等差数列,则x 等于________
20、三个数成等差数列,和为12,积为48,求这三个数.
21.在等差数列{a n }中,如果a 4+a 7+a 10=17,a 4+a 5+a 6+…+a 14=77,
(1)求此数列的通项公式a n ;
(2)若a k =13,求k 的值。
22.三个实数a ,b ,c 成等差数列,且a+b+c=81,又14-c ,b+1,a+2也成等差数列,求a ,b ,c 的值.
23、在等差数列{}n a 中,n S 为前n 项和:
(1)若20191220a a a a +++=,求20S ;
(2)若14S =,48S =,求17181920a a a a +++的值;
(3)若已知首项131a =,且311S S =,问此数列前多少项的和最大?。