图析两平面镜成像个数的规律

图析两平面镜成像个数的规律

根据平面镜成像原理，一个物体放在一块平面镜中只能成一个像，当两平面镜构成夹角不同时，能成几个像呢？关于角镜成像个数计算的公式问题，有的杂志中的论文这样表述：这个问题“十分复杂”，“很难用一个简单公式把物体成像的数目表示出来”。为了把复杂的问题简单化，本文通过具体事例及作光路图进行简易推理、归纳总结出两平面镜放置夹角不同时成像个数的规律，供大家参考。

例１：把点光源放在夹角为９０°的两块平面镜之间，

如图１所示，能成几个像？

例析：本题作图法，利用平面镜成像原理和像的对称性两种方法并作，可达到直观、简易性。依题意作图，点光源Ｓ放在垂直放置的两平面镜前，据光的反射定律或平面镜成像规律，由于点光源Ｓ在两平面镜Ｍ１、Ｍ２中成像，见图２中Ｓ１、Ｓ３两点。此外，由于一些光线分别射到Ｍ１、Ｍ２镜面，反射后又分别射到Ｍ２、Ｍ１两个镜面上，被Ｍ１、Ｍ２两个镜面二次反射的光线是发散的（见①线、②线），但它们反向延长相交到一点Ｓ２，

如图２所示，这个点也是点光源的像，可见互成９０°的两平面镜可成三个像，其中角顶的一个像Ｓ２是两块平面镜所成的重合像。也可据平面镜成像规律，像与物对镜面相互对称，把像与物连接起：Ｓ→Ｓ１→Ｓ２→Ｓ３→Ｓ作图２中虚线所示；Ｓ１是Ｓ在Ｍ１的像，Ｓ３是Ｓ在Ｍ２中的像，Ｓ２是Ｓ分别在Ｍ１、Ｍ２所成的重合像。从图中很明显看出物与像组成了一个正方形，物在角的平分线上。

例２：在例１中，当两平面镜之间的夹角改为６０°时，点光源可成几个像？

例析１：

１．像的位置

如图３所示，点光源Ｓ在平面镜ＯＭ１和ＯＭ２之间，以两镜交点Ｏ为圆心，以ＯＳ为半径作圆。据平面镜成像规律，像与物对镜面对称：像Ｓ１，Ｓ５分别跟平面镜ＯＭ２，ＯＭ１与点光源Ｓ对称，Ｓ２与Ｓ３跟平面镜ＯＭ１对称，Ｓ３与Ｓ４跟ＯＭ２对称。因为Ｓ３到Ｏ点的距离与Ｏ到Ｓ的距离相等，所以Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４，Ｓ５也分布在以Ｏ点为圆心，以ＳＯ为半径的此圆周上。连接圆的内接线，把图中的像与物组成一个正方六边。而且除镜面内是光源外，其余每等分角内均有一个像。

２．像的个数

据平面镜成像规律，可作得点光源Ｓ在平面镜ＯＭ１、ＯＭ２的两个夹角之间可成５个像：即Ｓ１是Ｓ在ＯＭ２中的像，Ｓ５是Ｓ在ＯＭ１中的像，Ｓ４是Ｓ１在ＯＭ１的像，Ｓ２是Ｓ５在ＯＭ２中的像，其中角顶的一个像Ｓ３，是Ｓ分别在ＯＭ１，ＯＭ２两镜中所成的重合像，而Ｓ３重合像不能再在ＯＭ１，ＯＭ２中成像。

例３按例２，当平面镜之间的夹角改为３０°时，点光源可成几个像？

例析：按例２方法作图１～４，从图可知，该点光源可成１１个像。其中角顶的一个像Ｓ６是Ｍ１、Ｍ２两块平面镜所成的重合像。物与像可组成一个正十二边形，除物点外，其余像点均分面在等分角内。

从上述三例可看出，物与像之间组成了一幅对称图形，有直接相邻的对称，也有间接相邻的对称和轴对称，为此我们可总结出这样一个成像规律。若用ｎ表示成像个数，α表示两平面镜之间的夹角，则有：

ｎ＝■－１（０°≤α≤１８０°情况下成立）

上式是从三个特殊事例中总结出来的，而且３６０°均能被ａ整除得到偶数，其重合像为１个。因此它只能适用于３６０°被整除的一系列夹角。

上述还包括以下二个特例：

１．当ａ＝１８０°时，即是两块平面镜Ｍ１、Ｍ２拼合成一个平面镜，

如图５所示，ＡＢ为人高，Ｃ为人眼睛，头顶Ａ的光线射向平面镜，经镜面反射进入人眼Ｃ，Ａ成像于Ａ′。脚Ｂ的光线射向平面镜，反射后进入人眼Ｃ，Ｂ成像于Ｂ′。此时像的个数ｎ＝１。

２．当ａ＝０°度时，此时是指两平面镜互相平行，当人站在竖直放置且彼此平行的平面镜前，可看到自己在Ｍ１，Ｍ２两镜中一系列的像。为什么呢？

分析：如图６所示，据光的反射规律，人ＡＢ的光线分别经Ｍ１、Ｍ２第一次成像，分别为Ａ′１Ｂ′１、Ａ′２Ｂ′２；第二次成像Ａ′１Ｂ′１、Ａ′２Ｂ′２分别经Ｍ２、Ｍ１镜面又反射成像于Ａ″２Ｂ″２、Ａ″１Ｂ″１；第三次成像Ａ″２Ｂ″２经镜面Ｍ１反射成像于Ａ?苁１Ｂ１?苁处。由于人ＡＢ的光线经Ｍ１、Ｍ２两块平面镜多次反射成像，形成：镜中物→镜中像→像中像→像又成像→像再成像，此时每个像都是前一个像的像，而又相当于是后一个像的物，如此下去，如果没有光损失，这个人在镜里的像有无限个，即ｎ→∞这时在平面镜内可看到一系列物体的像，像与物在同一直线上。

上述三例中为了便于作图，故把物放在镜面夹角的角平分线上，若物体不位于此线上所得的图形再不是正多边形，但所成像的个数还是与上述公式计算结果相符。若■不为整数，则重合像为Ｏ。请读者自行作图验证。