物理(教科)课件：第四章 第四讲 平抛运动 圆周运动的临界极值问题

5 h3
两式联立解得 h3≈2.13 m，即当击球高度小于 2.13 m 时，无论 球被水平击出的速度多大，球不是触网，就是越界． [答案] 见解析
[方法技巧] 极端分析法处理临界极值问题
所谓极端分析法，是指两个变量之间的关系，若是单调上升或 单调下降的函数关系，可以通过连续地改变某个变量甚至达到 变化的极端，来对另一个变量进行判断的研究方法．
[解析] 若木块 A、B 间没有细绳相连，随着 ω 的逐渐增大，
由 f＝mω2r 可知木块 B 先出现相对滑动．
当木块 A、B 间有细绳相连时，若细绳刚要出现弹力，则对木
块 B 由牛顿运动定律有 kmg＝mω21·2L
解得 ω1＝
kg 2L
当木块 A 刚要出现相对滑动时，设绳的弹力为 T，则对于木块
解析 答案
热点二 圆周运动中的临界极值问题
题型1 水平面内圆周运动临界问题 1．在水平面内做圆周运动的物体，当角速度 ω 变化时，物体 有远离或向着圆心运动的趋势．这时要根据物体的受力情况， 判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是一些 接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)．
2．三种临界情况： (1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是： 弹力 N＝0. (2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常 存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最 大值． (3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度 的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最 大张力，绳子松弛的临界条件是：T＝0.
[学习目标] 1．掌握平抛运动中的临界极值问题． 2．会分析圆周运动中三类面上的临界极值问题． 3 ． 明 确 竖 直 面 内 圆 周 运 动 的 两 个 模 型 ——“ 轻 绳 ” 模 型 和 “轻杆”模型，熟练掌握两个模型做圆周运动的临界条件．
热点一 平抛运动中的临界极值问题 1．若题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显 表明题述的过程中存在着临界点． 2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离” 等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点 往往就是临界点． 3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等 字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临 界点．
B 有 T＋kmg＝mω22·2L 对于木块 A 有 kmg－T＝mω22L
解得 T＝13kmg，ω2＝
2kg 3L
综上可知，当 2kLg＜ω≤ 23kLg时，绳子有弹力，且绳的最
大张力 T＝13kmg.
[答案]
2kLg＜ω≤
2kg 1 3L 3kmg
[跟踪训练] 2.(2018·湖南株洲二中月考)用一根细线 一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥 顶上，如图甲所示，设小球在水平面内做匀速圆周 运动的角速度为 ω，线的张力为 T，则 T 随 ω2 变化 的图像是图乙中的( )
(2)若击球点在 3 m 线正上方的高度小于某个值，那么无论击球 的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度．
[解析] (1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网 点的水平位移 x1＝3 m，竖直位移 y1＝h2－h1＝(2.5－2)m＝ 0.5 m，根据位移关系 x＝vt，y＝12gt2，可得 v＝x 2gy，代入 数据可得 v1＝3 10 m/s. 设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移 x2＝12 m，竖直位移 y2＝h2＝2.5 m， 代入上面的速度公式 v＝x 2gy，可求得 v2＝12 2 m/s， 欲使球既不触网也不越界，则击球速度 v 应满足 3 10 m/s＜v＜12 2 m/s.
[示例2] 如图所示，两个可视为质点 的相同木块 A 和 B 放在转盘上，且 木块 A、B 与转盘中心在同一条直线 上，两木块用长为 L 的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力 均为各自重力的 k 倍，A 放在距离转轴 L 处，整个装置能绕通 过转盘中心的转轴 O1O2 转动．开始时，绳恰好伸直但无弹力， 现让该装置从静止转动，使角速度 ω 缓慢增大．为使细绳有弹 力，而木块 A 和 B 又能相对转盘保持静止，求角速度 ω 的取 值范围和细绳张力的最大值．
v2 C.4g
v2 D.2g
[跟踪训练] 1.(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，半圆
形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地
面垂直．一小物块以速度 v 从轨道下端滑入轨
道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离
与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度
大小为 g)( )
v2 A.16g
v2 B.8g
v2 C.4g
v2 D.2g
解析 答案
解析：设轨道半径为 R，小物块从轨道上端飞出时的速度为 v1， 由于轨道光滑，根据机械能守恒定律有 mg×2R＝12mv2－12mv21， 小物块从轨道上端飞出后做平抛运动，对运动分解有 x＝v1t,2R ＝12gt2，求得 x＝ －16R－8vg22＋4vg42，因此当 R－8vg2＝0，即 R＝8vg2时，x 取得最大值，B 项正确，A、C、D 项错误． 答案：B
[跟踪训练] 1.(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，半圆形光滑轨道固定
在水平地面上，半圆的直径与地面垂直．一小物块以速度 v 从
轨道下端滑入轨道，并从轨道上关，此距离最大时对应的轨道半
径为(重力加速度大小为 g)( )
v2 A.16g
v2 B.8g
[示例1] (教科版必修 2P12 发展空间改 编)如图所示，排球场总长为 18 m，设球 网高度为 2 m，运动员站在离网 3 m 的线 上(图中虚线所示)正对网前跳起将球水 平击出．(不计空气阻力，取 g＝10 m/s2) (1)设击球点在 3 m 线正上方高度为 2.5 m 处，试问击球的速度 在什么范围内才能使球既不触网也不越界？
(2)设击球点高度为 h3 时，球恰好既触 网又压线，如图乙所示
设此时排球的初速度为 v，击球点到
触网点的水平位移 x3＝3 m，竖直位
移 y3＝h3－h1＝(h3－2)m，代入速度公式 v＝x 2gy可得 v＝
3 h3－5 2；同理对压线点有 x4＝12 m，y4＝h3，代入速度公式
v＝x
2gy可得 v＝12