实验阻尼振动与受迫振动
阻尼振动与受迫振动
【实验目的】1．观测阻尼振动，学习测量振动系统基本参数的方法。
2．研究受迫振动的幅频特性和相频特性，观察共振现象。
3．观察不同阻尼对受迫振动的影响。
【实验原理】当摆轮受到周期性强迫外力矩t M M ωcos 0=的作用，并在有空气阻尼的媒质中运动时（阻尼力矩为 ），其运动方程为t M dt d b k dtd J ωθθθcos 022+--= （1）其中，J 为摆轮的转动惯量，θk -为弹性力矩，0M 为强迫力矩的幅值，ω为强迫力的圆频率。
令J k =20ω，J b=β2，JM m 0=，则（1）式变为 t m dt d dtd ωθωθβθcos 22022=++ （2） 其中，β为阻尼系数，0ω为系统的固有频率，m 为强迫力矩。
当0cos =t m ω时，（2）式即为阻尼振动方程，当0=β，即在无阻尼情况时，（2）式变为简谐振动方程。
方程（2）的通解为()()0201cos cos ϕωθαωθθβ+++=-t t e t （3）由（3）式可见，受迫振动可分为两部分：第一部分，()αωθβ+-t e t 01cos 表示阻尼振动，经过一定时间后衰减消失。
第二部分，说明强迫力矩对摆轮作功，向振动体传递能量，最后达到一个稳定的振动状态，其振幅为()22222024ωβωωθ+-=m（4）它与强迫力矩之间的相位差ϕ为()2022022012T T T T tg -=-=-πβωωβωϕ （5） 由（4）式和（5）式可看出，振幅2θ与相位差ϕ的数值取决于强迫力矩m 、频率ω、固有频率0ω和阻尼系数β四个因素，而与振动起始状态无关。
由()[]04222220=+-∂∂ωβωωω极值条件可得出，当受迫力的圆频率2202βωω-= 时产生共振，θ有极大值。
若共振时的圆频率和振幅分别用r ω 、r θ表示，则dtd b θ-2202βωω-=r （6）2222βωβθ-=m r （7）（6）式和（7）式表示，阻尼系数β越小，共振时圆频率越接近于系统固有频率，振幅也越大。
大学物理学-阻尼振动与受迫振动
v
弹性力
粘滞阻力: f r v
粘滞阻力
x
dx
d 2x
kx
m 2
dt
dt
令k / m 0 , / m 2
2
d2x
dx
2
2
0 x 0
2
dt
dt
大学物理学
k （固有频率）
0
m
（阻尼系数）
2m
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4.3 阻尼振动与受迫振动
4.3 阻尼振动与受迫振动
一、 阻尼振动
振幅随时间减小的振动叫阻尼振动。
形成阻尼振动的原因：
振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；
振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。
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4.3 阻尼振动与受迫振动
1. 阻尼振动的微分方程
弹性力:
F kx
(以液体中的水平弹簧振子为例)
阻尼＝0
阻尼较小
pr 02 2 2
阻尼较大
共振振幅 :
Ar
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f0
2 02 2
O
p
0
共振曲线
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4.3 阻尼振动与受迫振动
2. 速度共振
受迫振动的速度的振幅出现极大值的现象
v pA sin( pt )
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r
d2x
k
x0
2
2
dt
m J r
阻尼振动与强迫振动的区别与联系
阻尼振动与强迫振动的区别与联系引言：振动现象广泛存在于自然界和工程领域中。
阻尼振动和强迫振动作为振动现象的两种基本形式，它们在物理特性、引起原因和动力学特征等方面存在一定的区别和联系。
本文将着重讨论阻尼振动与强迫振动的区别与联系，以深入了解这两种振动形式的本质。
一、阻尼振动的定义与特点阻尼振动是指受到阻尼力作用下的振动现象。
在阻尼振动中，振动系统受到阻尼力的耗散作用，会导致振幅的逐渐减小，直至 eventually下降为零。
阻尼振动的物理特性主要包括振动频率的减小、振幅的衰减和振动系统能量的损失。
二、强迫振动的定义与特点强迫振动是指在外界作用下，振动系统受到周期性或非周期性的外力驱动，并由此产生的振动现象。
与阻尼振动不同，强迫振动在无外力驱动时不会自发发生。
强迫振动的物理特性主要包括受迫振动频率与外力频率的一致性、振幅的稳定性和外界驱动力对振动系统的影响。
三、阻尼振动与强迫振动的区别1. 物理特性：阻尼振动主要表现为能量的衰减和振幅的逐渐减小，而强迫振动的振幅较为稳定，受迫振动频率与外力频率一致。
2. 引起原因：阻尼振动产生的主要原因是振动系统与环境介质之间的相互作用，而强迫振动则是由外界施加的外力引起的。
3. 频率依赖性：阻尼振动的频率与外界没有直接的关系，而强迫振动的频率受外界驱动力的影响，与外力频率保持一定的一致性。
4. 能量耗散：阻尼振动会因阻尼力的作用逐渐损失能量，而强迫振动的振动系统能量主要来自外界驱动力。
四、阻尼振动与强迫振动的联系1. 泛化关系：强迫振动可以看作是阻尼振动的一种特殊情况，当外界驱动力的频率趋近于阻尼振动系统的固有频率时，强迫振动会逐渐趋近于稳定状态。
2. 共存关系：在实际物理系统中，阻尼振动与强迫振动可以同时存在。
外界施加的强迫力可能使阻尼振动系统产生共振现象，引起系统的不稳定性。
3. 相互影响：阻尼振动和强迫振动之间存在着相互影响关系。
阻尼振动的存在会导致强迫振动的振幅逐渐减小，而强迫振动的存在也会影响阻尼振动系统的能量耗散。
阻尼振动、受迫振动和共振
v F γ
O x
v v F = −kx
x
dx 动力学方程 m 2 = −kx − γ dt dt k γ 2 令 ω0 = ,2β = m m 2 dx dx 2 + 2β + ω0 x = 0 dt 2 dt
ω0
d2 x
：无阻尼时振子的固有频率
β ：阻尼因子
方程解： 方程解：
x = Ae
−β t
f0 dA d 求极值： 求极值： = =0 dω dω ω2 −ω2 2 + 4β 2ω2 0
(
)
共振频率： 共振频率： 共振振幅： 共振振幅：
2 ωr = ω0 − 2β 2
ω0为固有频率
Ar =
f0
2 2β ω0 − β 2
结论： 阻尼系数 β 越 小，共振角频率ωr 越接近于系统的固 有频率 ω0 ，同时 共振振幅A 也越大。 共振振幅 r也越大。
cos( ω − β
2 0
2
t +ϕ
)
x = Ae
−β t
cos(ωt +ϕ)
2π
A
2
x
周期： 周期： T =
ω −β
2 0
O
t
2 β 2 < ω0
角频率： 角频率： ω =
ω −β
2 0
2
A
x = Ae
讨论： 讨论：
−β t
cos ω − β t +ϕ
2 0 2
(
)
2 β 2 < ω2 阻尼较小时（ ），振动为减幅振动 振动为减幅振动， 1. 阻尼较小时（β 2 < ω0 ），振动为减幅振动，振幅
阻尼振动与受迫振动
，可以推出������0 =
2������ ������������ 1−������
2
= ，是阻尼振动振幅衰减到原来 ������−1 需要
，是系统共振锐度或频率选择性的量度。
������������ ������
6. 对数缩减率Λ =
=
2������������ 1−������ 2
，定义为衰减阻尼振动中相邻两
������ ������ 0 ������ 、 ������
=
������ 2 ������������ 2������
2 ������2 0 −������
3. 阻尼振动周期������������ = 4. 时间常数������ = 的时间。 5. 品质因素������ ≡
1 2������ 2������ ������ 1 ������
2 小阻尼(������ 2 − ������0 < 0)时，阻尼振动运动方程的解为 2
������ ������ = ������������ exp −������������ cos
2 ������0 − ������ 2 ������ + ������������ 2
由 上 式 可 知 ， 阻 尼 振 动 角 频 率 ������������ = ������2 0 − ������ ， 而 周 期 为 ������������ =
[2]
即 ������ 2 ������ ������������ ������ 2 + ������ + ������������ = ������������������ cos ������������ ������������ ������������ 它和弹簧支座固定、摆轮受周期外力矩������������������ cos ������������作用时运动 方程在形式上完全一致，等效外激励力矩的振幅为������������������ ，则对 应的稳态解振幅和相位差分别为 ������������ = ������������ ������2 0
利用波尔共振仪研究受迫振动实验报告
利用波尔共振仪研究受迫振动实验报告一、实验目的1、观察摆轮的自由振动、阻尼振动和受迫振动现象。
2、研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响，并测定阻尼系数。
3、研究受迫振动的幅频特性和相频特性，观察共振现象，测定受迫振动的共振频率和共振振幅。
二、实验仪器波尔共振仪，包括振动系统、电磁阻尼系统、电机驱动系统、光电计数系统和智能控制仪等部分。
三、实验原理1、自由振动无阻尼的自由振动方程为：＄m\frac{d^2\theta}｛dt^2}＝k\theta$，其中$m$为摆轮的转动惯量，＄k$为扭转弹性系数，＄＼theta$为角位移。
其解为：＄＼theta ＝ A\cos(＼omega_0 t ＋＼varphi)＄，其中$＼omega_0 ＝＼sqrt{＼frac{k}｛m}｝＄为固有角频率，＄A$和$＼varphi$为初始条件决定的常数。
2、阻尼振动考虑阻尼时，振动方程为：＄m\frac{d^2\theta}｛dt^2} ＋b\frac{d\theta}｛dt} ＋ k\theta ＝ 0$，其中$b$为阻尼系数。
根据阻尼的大小，可分为三种情况：小阻尼：＄＼omega ＝＼sqrt{＼omega_0^2 ＼frac{b^2}｛4m^2}｝＄，振动逐渐衰减。
临界阻尼：振动较快地回到平衡位置。
大阻尼：不产生振动。
3、受迫振动在周期性外力矩$M ＝ M_0\cos\omega t$作用下，振动方程为：＄m\frac{d^2\theta}｛dt^2} ＋ b\frac{d\theta}｛dt} ＋ k\theta ＝M_0\cos\omega t$。
稳定时，振动的角位移为：＄＼theta ＝ A\cos(＼omega t ＋＼varphi)＄，其中振幅$A ＝＼frac{M_0}｛＼sqrt{（k m\omega^2)＾2 ＋（b\omega)＾2}｝＄，相位差$＼varphi ＝＼arctan\frac{b\omega}｛k m\omega^2}＄。
§14阻尼振动受迫振动
课堂练习
2.如图所示演示装置，一根张紧的水平
绳上挂着四个单摆，让b摆摆动，其余各
摆也摆动起来，可以发现（ CD ）
A. a 摆摆动周期最短
B. c 摆摆动周期最长
C.各摆摆动的周期均与b摆相同
D. d 摆振幅最大
3.两个弹簧振子，甲的固有频率为f，乙的 固有频率为4f，当它们均在频率为2f的驱 动力作用下做受迫振动时，则 （ ）C A、甲的振幅较大，振动频率为f B、乙的振幅较大，振动频率为4f C、甲的振幅较大，振动频率为2f D、乙的振幅较大，振动频率为2f
二、受迫振动
1．驱动力： 周期性 的外力． 2．受迫振动：系统在 驱动力 作用下的振动． 思考： 弹簧振子做自由振动的频率是怎样的？ 弹簧振子在驱动力作用下做受迫振动，稳定后弹簧
振子的振动频率又怎样？
3．振动稳定后受迫振动的频率 总等于 驱动力 的频率，受迫 振动稳定后的频率与物体的固有 频率 无 关系．
§1.4阻尼振动 受迫振动
问题设计
在研究弹簧振子和单摆振动时，我们强调忽略阻力 的影响，它们做的振动都属于简谐运动.在实验室中让一 个弹簧振子振动起来，经过一段时间它将停止振动，你 知道是什么原因造成的吗？ 答案 阻力阻碍了振子的运动，使机械能转化为内能.
阻尼振动实例 同学荡秋千，由于受到空气的阻尼作用，
课堂练习
1. 如图所示，是用来测量各种发动机转速的转 速计原理图。在同一铁支架NM上焊有固有频率 依次为80Hz、60Hz、40Hz、20Hz的四个钢片a、 b、c、d。将M端与正在转动的电动机接触，发 现b钢片振幅最大，则a、b、c、d此时振动频率
约为6__0_H__z____ ， 电动机转速3为6_0_0_____r/min 。
阻尼振动__受迫振动
实验表明：
物体在外力驱动下振动时，振动稳定后的频率等于外力 驱动的频率，跟物体的固有频率没有关系.
受迫振动物体
T T驱 f f驱
受迫振动实例：
①跳板在人走过时发生的振动 ②机器底座在机器运转时发生的振动 ③听到声音时耳膜的振动 ④电磁打点计时器的振针所做的振动
1.下列振动中属于受迫振动的是(
D.后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
【解题指导】在阻尼振动中,振动系统的动能和势能之 和减小.但在一段较短的时间内,动能和势能不一定都减小,关 键要分析动能与势能之间是如何转化的.
思考： 用什么方法才能得到持续的振动呢？
1，驱动力：作用到振动系统周期性的外力 2，受迫振动：物体在外界驱动力作用下的振动 3、受迫振动的特点：受迫振动的频率总等于驱动力 的频率，与系统的固有频率无关
o
t
阻尼振动图象
注意：阻尼振动的振幅是逐渐减小的，但是它的频率是不发生
变化的，频率与振幅是无关的。
2.系统不受外力作用，也不受任何阻力，只在自身 回复力作用下的振动，称为自由振动 又叫做无阻尼振动。
或无阻尼振动图象
自由振动的频率，叫做系统的固有频率
[要点提炼 ] 1．对阻尼振动的理解 (1)同一简谐运动能量的大小表现为 振幅 的大小．
2．阻尼振动和无阻尼振动的比较 振动类型 阻尼振动 比较项目 产生条件 振幅 受到阻力作用 如果没有能量补充，物 体的振幅会 越来越小
无阻尼振动 不受阻力作用或受到 阻力作用，但外界补 充能量 振幅 不变
振动图像 用锤敲锣，由于锣的振 动，发出响亮的锣声， 弹簧振子的振动，单 但锣声越来越弱，振幅 摆的振动 越来越小，属阻尼振动
实例
1.下列说法中正确的是 [ ACD
机械振动中的阻尼振动与受迫振动
机械振动中的阻尼振动与受迫振动在机械系统中，振动是一种普遍存在的现象，它包含着阻尼振动和受迫振动两种类型。
阻尼振动是指系统在一定的阻尼作用下运动的周期性减弱振动，而受迫振动是指系统受到外部力的作用而发生周期性振动。
本文将探讨机械振动中的阻尼振动和受迫振动的特点及其应用。
一、阻尼振动阻尼振动是指振动系统在受到阻力的作用下产生的振动。
阻尼力可以分为粘性阻尼、干摩擦阻尼和液体摩擦阻尼等不同形式。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，振动频率也逐渐减小。
阻尼振动的主要原因是能量的损失。
当机械系统受到阻尼力的作用时，振动系统的机械能会逐渐转化为热能而损失。
这导致振动幅度逐渐减小，最终停止振动。
例如，摆钟在受到空气阻力的影响下，其摆动幅度会逐渐减小，最终停止。
阻尼振动的应用广泛。
在机械工程中，阻尼振动常常被用于减震和能量吸收的装置设计。
例如，在车辆的悬挂系统中使用减震器，可以有效地缓解车辆行驶中的颠簸感。
同时，阻尼振动还常用于物体的减振和抗震设计，例如建筑物中的隔震装置。
二、受迫振动受迫振动是指振动系统在外部力的作用下产生的振动。
外力可以是周期性的，也可以是非周期性的。
受迫振动的特点是振幅和频率与外力的频率相关。
外力对振动系统的影响可以分为共振和强迫两种情况。
共振是指外力的频率接近或等于振动系统的固有频率时，振动幅度会显著增大。
强迫是指外力的频率与振动系统的固有频率有一定的差别，但仍然能引起系统振动。
受迫振动在实际生活中有许多应用。
例如，在音乐中，乐器的共振现象使得乐器能够产生特定的音调。
另外，受迫振动还在工程领域中有着广泛的应用，如振动筛、振动输送机等。
它们利用外力作用产生振动，以完成特定的分选和输送任务。
三、阻尼振动与受迫振动的关系阻尼振动与受迫振动是机械振动中两种常见的振动类型，它们在某些情况下可以相互转化。
当受迫振动系统存在阻尼时，会产生阻尼振动。
此时，外力的频率与振动系统的固有频率相同或接近时，阻尼振动的幅度会受到外力的影响，产生共振效应。
《阻尼振动与受迫振动》实验报告
《阻尼振动与受迫振动》实验报告工程物理系核41 崔迎欢 2014011787一．实验名称：阻尼振动与受迫振动二．实验目的1．观测阻尼振动，学习测量振动系统基本参数的方法；2．研究受迫振动的幅频特性和相频特性，观察共振现象；3．观测不同阻尼对受迫振动的影响。
三．.实验原理1．有粘滞阻尼的阻尼振动弹簧和摆轮组成一振动系统，设摆轮转动惯量为J，粘滞阻尼的阻尼力矩大小定义为角速度dθ/dt与阻尼力矩系数γ的乘积，弹簧劲度系数为k，弹簧的反抗力矩为-kθ。
忽略弹簧的等效转动惯量，可得转角θ的运动方程为记ω0为无阻尼时自由振动的固有角频率，其值为ω0=，定义阻尼系数β=γ/（2J），则上式可以化为：小阻尼即时，阻尼振动运动方程的解为（*）由上式可知，阻尼振动角频率为，阻尼振动周期为2．周期外力矩作用下受迫振动的解在周期外力矩Mcosωt激励下的运动方程和方程的通解分别为这可以看作是状态（*）式的阻尼振动和频率同激励源频率的简谐振动的叠加。
一般t>>τ后，就有稳态解稳态解的振幅和相位差分别为其中，φ的取值范围为（0，π），反映摆轮振动总是滞后于激励源支座的振动。
3．电机运动时的受迫振动运动方程和解弹簧支座的偏转角的一阶近似式可以写成式中αm是摇杆摆幅。
由于弹簧的支座在运动，运动支座是激励源。
弹簧总转角为。
于是在固定坐标系中摆轮转角θ的运动方程为也可以写成于是得到由θm的极大值条件可知，当外激励角频率时，系统发生共振，θm有极大值。
引入参数，称为阻尼比。
于是，我们得到四．实验仪器：波耳振动仪五．实验步骤。
1．打开电源开关，关断电机和闪光灯开关，阻尼开关置于“0”档，光电门H、I可以手动微调，避免和摆轮或者相位差盘接触。
手动调整电机偏心轮使有机玻璃转盘F上的0位标志线指示0度，亦即通过连杆E和摇杆M使摆轮处于平衡位置。
染货拨动摆轮使偏离平衡位置150至200度，松开手后，检查摆轮的自由摆动情况。
正常情况下，振动衰减应该很慢。
实验二阻尼和受迫振动
令
，
，
则式（1）变为
（2）
当
时，式（2）即为阻尼振动方程。
当 ，即在无阻尼情况时式（2）变为简谐振动方程，系统的 固有频率为 。方程（2）的通解为
由式（3）可见，受迫振动可分成两部分：
（3）
第一部分， 减消失。
和初始条件有关，经过一定时间后衰
第二部分，说明强迫力矩对摆轮作功，向振动体传送能量，最后 达到一个稳定的振动状态。振幅为
摆轮振幅是利用光电门 H 测出摆轮读数 A 处圈上凹型缺口个数，并在控制 箱液晶显示器上直接显示出此值，精度为 10。
波耳共振仪电器控制箱的前面板和后面板分别如图 1-4 和图 1-5 所示。
电机转速调节旋钮，系带有刻度的十圈电位器，调节此旋钮时可以精确改 变电机转速，即改变强迫力矩的周期。锁定开关处于图 1-6 的位置时，电位器 刻度锁定，要调节大小须将其置于该位置的另一边。×0.1 档旋转一圈，×1 档 走一个字。一般调节刻度仅供实验时作参考，以便大致确定强迫力矩周期值在 多圈电位器上的相应位置。
④ 学生做完实验后测量数据需保存后，才可在主机上查看特性曲线及振 幅比值。
5、关机
在图二状态下，按住复位按钮保持不动，几秒钟后仪器自动复位，此时所做实验数据 全部清除，然后按下电源按钮，结束实验。
ZKY-BG 型波尔共振仪由振动仪与电器控制箱两部分组成。振动仪部分如图 1-3 所示，铜质圆形 摆轮 A 安装在机架上，弹簧 B 的一端与摆轮 A 的轴相联， 另一端可固定在机架支柱上，在弹簧弹性力的作用下，摆轮可绕轴自由往复摆 动。在摆轮的外围有一卷槽型缺口，其中一个长形凹槽 C 比其它凹槽长出许多。 机架上对准长型缺口处有一个光电门 H，它与电器控制箱相联接，用来测量摆轮 的振幅角度值和摆轮的振动周期。在机架下方有一对带有铁芯的线圈 K，摆轮 A 恰巧嵌在铁芯的空隙，当线圈中通过直流电流后，摆轮受到一个电磁阻尼力的 作用。改变电流的大小即可使阻尼大小相应变化。为使摆轮 A 作受迫振动，在 电动机轴上装有偏心轮，通过连杆机构 E 带动摆轮，在电动机轴上装有带刻线 的有机玻璃转盘 F，它随电机一起转动。由它可以从角度读数盘 G 读出相位差Φ。 调节控制箱上的十圈电机转速调节旋钮，可以精确改变加于电机上的电压，使 电机的转速在实验范围（30-45 转/分）内连续可调，由于电路中采用特殊稳速 装置、电动机采用惯性很小的带有测速发电机的特种电机，所以转速极为稳定。 电机的有机玻璃转盘 F 上装有两个挡光片。在角度读数盘 G 中央上方 900 处也有 光电门 I（强迫力矩信号），并与控制箱相连，以测量强迫力矩的周期。
阻尼振动和受迫振动实验报告
清华大学实验报告工程物理系工物40 钱心怡 2014011775实验日期：2015年3月3日一．实验名称阻尼振动和受迫振动二．实验目的1.观测阻尼振动，学习测量振动系统参数的基本方法2.研究受迫振动的频幅特性和相频特性，观察共振现象3.观察不同阻尼对振动的影响三．实验原理1.阻尼振动在转动系统中，设其无阻尼时的固有角频率为ω0，并定义阻尼系数β其转动的角度与时间的关系满足如下方程解上述方程可得当系统处于弱阻尼状态下时，即β<ω0时，θ和t满足如下关系解得阻尼振动角频率为ωd=，阻尼振动周期为T d=同时可知lnθ和t成线性关系，只要能通过实验数据得到二者之间线性关系的系数，就可以进一步解得阻尼系数和阻尼比。
2.周期性外力作用下的受迫振动当存在周期性外力作用时，振动系统满足方程θ和t满足如下关系：该式中的第一项随着时间t的增大逐渐趋于0，因此经过足够长时间后，系统在外力作用下达到平衡，第一项等于0，在该稳定状态下，系统的θ和t满足关系：其中；（θ∈（0，π）） 3.电机运动时的受迫振动当波尔共振仪的长杆和连杆的长度远大于偏心轮半径时，当偏心轮电机匀速转动时，设其角速度为ω，此时弹簧的支座是弹簧受迫振动的外激励源，摆轮转角满足以下方程：即为与受周期性外力矩时的运动方程相同，即有可知，当ω=ω0时φ最大为，此时系统处于共振状态。
四．主要实验仪器和实验步骤1.实验仪器波尔共振仪主要由振动系统和提供外激励的两个部分组成。
振动系统包括弹簧和摆轮。
弹簧一端固定在摇杆上。
摆轮周围有一圈槽型缺口，其中有一个长缺口在平衡时对准光电门。
右侧的部分通过连杆向振动装置提供外激励，其周期可进行调节。
上面的有机玻璃盘随电机一起转动。
当摆轮转到平衡位置时，闪光灯闪烁，照亮玻璃盘上的白色刻度线，其示数即为在外激励下摆轮转动时落后于电动机的相位。
2.实验步骤（1）调整仪器打开电源并断开电机和闪光灯的开关。
阻尼调至0档。
手动调整电机的偏心轮使其0标志线与0度刻线对齐。
阻尼振动与受迫振动
阻尼振动与受迫振动●阻尼振动●受迫振动●共振1．阻尼振动实例a. 阻尼弹簧振子，阻力γγ其中。
实例b. RLC谐振电路或写作其中。
分析：引入阻尼将引起能量的减小，计算能量改变率，β（等于阻尼做功的功率）。
如果很小，基本上还是简谐振动，但由于能量消耗，振幅会逐渐减小，解的形式近似为：能量，β一个周期内能量的消耗率：其中称为品质因数(quality factor)，简称值(Q factor)。
从数量级上讲，Q值就是把储存的能量衰减完，振子中能够振荡的次数。
（注：RLC谐振电路，）精确解：(a)弱阻尼()其中。
与近似分析的结果相比，只是频率有所减小。
(b)过阻尼()其中。
无振荡，呈指数衰减。
注意是的减函数，衰减速度随增大反而减慢。
(c)临界阻尼()，无振荡，但衰减最快。
2．受迫振动实例a. 驱动弹簧振子γ实例b. RLC串联电路非齐次线性方程解的一般形式：其中是原方程的一个解（称为特解），是齐次方程的任意解。
写成复数形式，令满足方程则满足方程令，其中所以可取称为稳态解，而把称为暂态解。
3．共振为简单起见，只讨论速度共振。
的振幅为性质：(1)驱动频率与固有频率相等（）时，时速度振幅（或平均动能）最大，出现共振。
(2)共振时，速度与驱动力同相位，驱动一直做正功。
(3)驱动频率与固有频率相差越大，振幅（动能）越小，形成一个共振峰。
(4)Q值越大，共振峰越高，同时也越窄（对驱动频率的选择性越高）。
共振的应用：乐器、无线电接收、调Q激光、核磁共振与电子自旋共振等。
共振有时会造成破坏，需要避免。
阻尼振动与受迫振动
阻尼振动与受迫振动振动是自然界中普遍存在的一种现象，它在物理学、工程学等领域中具有重要的应用价值。
而阻尼振动和受迫振动是振动学中两个重要的概念。
阻尼振动是指在振动系统中存在摩擦或阻力的情况下所产生的振动。
当一个物体受到外力作用而开始振动时，若存在阻尼，振动的幅度将逐渐减小，最终停止。
这种振动方式在日常生活中很常见，例如钟摆摆动时逐渐停下来的过程。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，振动频率不变。
这是因为阻尼力与振动速度成正比，而速度越大，阻尼力就越大。
因此，振动系统在受到外力作用后，振幅将逐渐减小，直到最终停止振动。
与阻尼振动相对应的是受迫振动，它是指在外力作用下振动系统发生的振动。
受迫振动的特点是振幅随时间的变化而发生周期性的变化，振幅的变化与外力的频率和振幅有关。
受迫振动的一个重要应用是共振现象。
当外力的频率与振动系统的固有频率相等时，共振现象会发生。
在共振状态下，振幅将达到最大值，这是因为外力与系统的振动频率相同，能够为系统提供持续的能量输入，从而使振幅增大。
阻尼振动和受迫振动经常在实际工程中应用。
例如，在汽车悬挂系统中，为了提高乘坐舒适性，往往会采用阻尼装置来减小车身的振动。
而在建筑工程中，为了避免共振现象对建筑物产生破坏性影响，工程师们会根据建筑物的固有频率来设计结构。
除了工程领域，阻尼振动和受迫振动也在物理学和生物学中有广泛的应用。
例如，在电子学中，阻尼振动可以用于减小电路的振荡幅度；在生物学中，研究细胞的振动特性有助于了解细胞的结构和功能。
总之，阻尼振动和受迫振动是振动学中的两个重要概念。
阻尼振动是指在存在阻力或摩擦力的情况下发生的振动，振幅逐渐减小；而受迫振动是指在外力作用下发生的振动，振幅随时间的变化而发生周期性变化。
这两种振动方式在实际应用中具有重要意义，对于理解和应用振动学理论有着重要的作用。
实验十五阻尼振动与受迫振动
实验十六 玻尔共振振动是物理学中一种重要的运动,是自然界最普遍的运动形式之一。
振动可分为自由振动(无阻尼振动）、阻尼振动和受迫振动．振动中物理量随时间做周期性变化，在工程技术中，最多的是阻尼振动和受迫振动，及由受迫振动所导致的共振现象。
共振现象一方面对建筑物有破坏作用，另一方面却有许多实用价值能为我们所用。
如利用共振原理设计制作的电声器件,利用核磁共振和顺磁共振研究物质的结构等。
本实验用波耳共振仪研究阻尼振动和受迫振动的特性. [实验目的］１．观察阻尼振动,研究波尔共振仪中弹性摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性. 2．观察共振现象,研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响． ３。
学习闪频法测定运动物体的定态物理量——相位差. ［实验原理］当一个物体在持续的周期性外力作用下发生振动时，称为受迫振动，周期性外力称为强迫力。
若周期性外力按简谐振动规律变化的，则这种受迫振动也是简谐振动。
在稳定状态,振幅恒定不变,振幅大小与强迫力的频率、振动系统的固有振动频率及阻尼系数有关.振动系统同时受到阻尼力和强迫力作用，作受迫振动.在稳定状态时物体的位移、速度变化与强迫力变化相位不同，有一个相位差。
当强迫力频率与振动系统固有频率相同时会产生共振,此时相位差９０º，振幅最大.波尔共振仪的摆轮在弹性力矩作用下作自由摆动，在电磁阻尼力矩作用下产生阻尼振动。
通过观察周期性强迫力阻尼振动，可以研究波尔共振仪中弹性摆轮受迫振动幅频特性和相频特性，以及不同阻尼力矩对受迫振动的影响。
设周期性强迫力矩:t M ωcos 0；电磁和空气阻尼力矩:dtd b θ-；振动系统的弹性力矩:θk -.则摆轮的运动方程为：t M dt d k dtd J o ωθθθcos b 22+--=(１6 －１)式中J 为摆轮的转动惯量，令JM m J bJ k o ===,2,2βω，o ω、β和m 分别称固有频率、阻尼系数和强迫力矩.则式(15—1）变为t m dt d dtd o ωθωθβθcos 2222=++（16—2) 此式称为阻尼振动方程，其解为：)cos()cos(21o f t t t e ϕωθαωθθβ+++=-（1６—3)由此式可见，受迫振动由两部分组成:① 阻尼振动:)cos(1αωθβ+-t e f t ，此阻尼振动经过一定时间后将衰减消失. ②强迫振动：)cos(2o t ϕωθ+,频率为ω的强迫力矩作用在摆轮上,最后达到稳定状态.摆轮的振幅2222224)(ωβωωθ+-=om(16—4)摆轮的振动与强迫力的相位差)(tan 2tan 202201221T T T T o -=-=--πβωωβωϕ（16—5) 相位差ϕ取值范围为:πϕ<<0,反映了摆轮振动滞后于激励源振动。
阻尼振动 受迫振动汇总
向睿
一、阻尼振动
如图1-4-1所示，在鼓皮上放几 颗米粒，猛敲一下鼓，观察米粒在 鼓皮上的运动.
猛敲一下鼓皮，开始时鼓声很大，随后迅速变弱.在鼓 皮上放一些米粒，开始时它跳动的幅度很大，随着鼓声变弱 ，米粒跳动的幅度变小.由此可知，鼓皮振动的振幅变小了. 这是振动的鼓皮受到阻力的缘故.弹簧振子和单摆在振动过 程中振幅总会不断减小，这是因为它们不可避免地要受到摩 擦力等阻力的作用.
系统在振动过程中受到阻力的作用，振动逐渐消逝 ，振动能量逐渐转变为其他能量，这种振动叫做阻尼振 动.
系统不受外力作用，也不受任何阻力，只在自身回 复力作用下的振动，称为自由振动，又叫做无阻尼振动.
自由振动的频率，叫做系统的固有频率.固有频率由 系统本身的特征决定.
图1-4-2 图1-4-2(a)(b)分别是自由振动和阻尼振动的振动图像.
T驱＝T固或f驱 ＝f固
振动物体获 得的能量最
大 共振筛、声
四、共振的应用和防止
美国有一农场农妇，习惯于用吹笛的方式招 呼丈夫回家吃饭，可当她有一次吹笛时，居然发 现树上的毛毛虫纷纷坠地而死，惊讶之余，她到 自己的果园吹了几个小时，一下子将果树上的毛 毛虫收拾的一干二净，究其原因，还是笛子发出 的声音引起毛毛虫内脏发生剧烈共振而死亡。
洗衣机把衣服脱水完毕切断电源后，电动机 由于惯性还要转一会儿才能停下来，在这个过程 中，洗衣机的振动剧烈程度有变化，其中有一阵 子最剧烈。
唐朝时候洛阳某寺一僧人房中挂着的一件乐器， 经常莫名其妙地自动鸣响，僧人因此惊恐成疾，四处 求治无效。他有一个朋友是朝中管音乐的，闻讯特去 看望他。这时正好听见寺里敲钟声，那件乐器又随之 作响。于是朋友说：你的病我可以治好，因为我找到 你的病根了。只见朋友找到一把铁锉，在乐器上锉磨 几下，乐器便再也不会自动作响了。
阻尼振动、受迫振动与共振
T 2π 2π
02 2
上式表明，由于阻尼的存在，阻尼振动的周期比无阻尼振动 的周期长，即振动变慢了。阻尼越大，阻尼振动的周期越长。
阻力很大，即β＞ω0时，在未完成一次振动前，振动系统的 能量已全部耗尽，此时，振动系统将通过非周期运动的方式回到 平衡位置，这种阻尼振动称为过阻尼振动，如下图所示b曲线
在振动研究中，常把辐射阻尼当作某种等效的摩擦阻尼来
处理。因此，下面我们在讨论时仅考虑摩擦阻尼。实验证明，
介质对运动物体的阻力与物体的运动速度有关，在物体速度不
太大时，阻力Fr的大小与速度v的大小成正比，方向与速度v的
方向相反，即
Fr
v
dx dt
对弹簧振子，在弹力F＝－kx和阻力Fr的作用下，根据牛 顿第二定律可得阻尼振动的动力学方程为：
x Acos（ pt ）
稳定状态受迫振动的振幅A和初相φ可由下式确定：
f
A
（02
2）2
p
4
2 2 p
tan
2p
02
2 p
需要注意的是，稳定状态的受迫振动虽然也是简谐振动，
但它与无阻尼振动有着本质的区别：受迫振动的角频率不是振 动系统的固有频率，而是驱动力的频率；受迫振动的振幅和初 相不是决定于振动系统的初始条件，而是决定于振动系统本身
在阻尼振动中，能量损失的原因通常有以下两种：一种是 由于介质对振动物体的摩擦阻力作用，使振动物体的能量转变 为热能，称为摩擦阻尼；另一种是由于振动物体引起临近质点 的振动，使系统的能量向四周辐射出去，转变为波动的能量， 称为辐射阻尼。例如，音叉振动时，不仅因为摩擦而消耗能量 ，同时也因辐射声波而损失能量。
阻尼振动和受迫振动(经典)
2
s.
5、如图，表示两个单摆m、M悬挂到一根钢丝上，原来它们都 静止，今使m偏离平衡位置一个小角度，释放后m做简谐运动 的方向在垂直于纸面的竖直平面里，对M此后的运动情况，下 列说法正确的是（ ）
A、M仍静止
B
B、M将做受迫振动，周期为2π C、M将做受迫振动，周期为2π
I g
L g
l L m
D、M能发生共振
振幅不变，而一直振动下去呢？ 用周期性的外力作用于振动系统，通过外 力对系统做正功，补偿系统机械能的损耗， 使系统持续地振动下去。
三、受迫振动
1、驱动力： 作用于振动系统 ，使系统能持续振动下 去的周期性外力叫做驱动力 2、受迫振动：物体在周期性驱动力作用下所做的振 动叫受迫振动。 3、规律：
①物体做受迫振动时,振动稳定后的频率等于驱动力的频 率,跟物体的固有频率无关。 ②物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频
A.降低输入电压
C.增加筛子质量
B.提高输入电压
D.减小筛子质量
4、如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果不转
动把手B而用手拉振子，放手后让其上下振动，其作30次 全振动所用的时间是15s.如果匀速转动把手，弹簧振子 也可上下振动.若把手以30r/min的转速匀速转动，当弹 簧振子的振动稳定后，它的振动周期为
生活中的共振现象
1831年，一队骑兵通过曼彻斯特附近的一座便桥 时，由于马蹄节奏整齐，桥梁发生共振而断裂。
军队过桥便步走,火车过桥慢行
生活中的共振现象
1940 年11月7日美国的全长860米的Tocama 悬索桥因 在建成后的4个月就因风共振而坍塌 。
生活中的共振现象
美国有一农场农妇，习惯于用吹笛的方式 招呼丈夫回家吃饭，可当她有一次吹笛时，居 然发现树上的毛毛虫纷纷坠地而死，惊讶之余， 她到自己的果园吹了几个小时，一下子将果树 上的毛毛虫收拾的一干二净，究其原因，还是 笛子发出的声音引起毛毛虫内脏列说法中正确的是（ ABC ） A、某物体做自由振动时，其振动频率与振幅无关 B、某物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关 C、某物体发生共振时的频率就是其自由振动的频率 D、某物体发生共振时的振动就是无阻尼振动 2、实际的振动系统做阻尼振动时，它的（ A、周期越来越小 B、位移越来越小 C、振幅越来越小
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实验内容：
1.本实验中振动系统所受的阻力是怎样实现的？如何调节？
2.在阻尼系数β的测量中直接测ห้องสมุดไป่ตู้的量有哪些？与阻尼系数存在什么样的关系？
3.本实验中振动系统所受的策动力是怎样实现的？如何调节？
4.改变受迫振动中电机的电压，改变了策动力的什么参量？此参量与振子振动的幅度和频率有什么样的关系？
4.受迫振动中振动系统的合外力由哪些力组成？各有什么样的变化规律？大小取决于什么因素？
5.策动力不变，受迫振动（稳态）的振动周期是否恒定？
6.策动力振幅初相不变的情况下，改变策动力的振动频率，受迫振动（稳态）的振幅是否变化？会有什么现象发生？若策动力不变，改变阻尼，是否也有类似的变化呢？
7.策动力振幅初相不变的情况下，改变策动力的振动频率，受迫振动（稳态）与策动力之间的相位差是否变化？若策动力不变，改变阻尼，是否也有类似的变化呢？
大学物理实验预习报告
姓名
实验班号
实验号
实验四阻尼振动与受迫振动
实验目的：
实验原理及仪器介绍：
1.阻尼振动中振动系统的合外力由哪些力组成？各有什么样的变化规律？大小取决于什么因素？
2.阻尼不变，阻尼振动的振动周期是否恒定？且周期与忽略阻尼的理想简谐振动是否相同？有什么样的关系？
3.阻尼不变，阻尼振动的振幅如何衰减？与阻尼系数具有什么样的关系？
数据表格：
1.记录所用测量仪器的仪器误差：
2.列出数据记录表格：
教师签字：
月日