导数基础部参变分离变更主元

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导数各类题型方法总结(绝对经典)

0 a 1, x1 a x2 3a
依题得
0 a 1,2a a 1
第三种：构造函数求最值题型特征 : f (x) g(x)恒成立
f (x) g(x) 恒成立, 从而转化成第一、二种处理方法
2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数） -----（已知谁的范围就把谁作为主元）；第三种：构造函数求最值
3、根分布；
2
4、判别式法 f (x) x3 3ax2 3在R上单调递增,则a
5、二次函数区间最值求法：
（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
（2）端点处和顶点是最值所在
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下四个步骤进行解决：第一步：写定义域并求导第二步：令导函数为0求根第三步：列表或画图(注意又赋值) 第四步：作答求值。
1 1 3
3 4或1 1 1 3
t
3 4,
t
t
(i)0 t 2 3时, h(4) 0, t 1
1 t 2 3
4
4
(ii)t 2 3时, h(1 1) 0, t
此时 0, 2 3 t 2 3(舍去) 综上所述t的取值范围是1 t 2 3
--（已知谁的范围就把谁作为主元）；第三种：构造函数求最值
二、常考题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法一 : 转化为f '(x) 0或f '(x) 0恒成立,回归基础题型
解法二：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

求参数取值范围的两个技巧

求参数的取值范围问题比较常见，常出现在不等式、函数、方程、直线、圆、向量等问题当中.此类问题侧重于考查同学们的运算能力和综合分析能力.要求得参数的取值范围，需重点讨论与参数相关的变量或式子，用变量来约束参数的取值.下面介绍两个求参数取值范围的技巧.一、分离参数分离参数是指将不等式或等式进行恒等变形，使不等式或等式的一边含有参数，另一边不含有参数，然后根据不含参数的式子的范围来确定参数的取值范围.一般地，我们可以运用构造函数法、基本不等式法、导数法等来确定不含参数的式子的范围.例1.若函数f(x)=x3-b2x2+bx+c在[-2,1]上是增函数，求b的取值范围.解：由题意可知，函数f(x)在[-2,1]上是增函数，则对于∀x∈[-2,1],有f'(x)=3x2-bx+b≥0恒成立.当x=1时，3x2-bx+b≥0成立；而当x∈[-2,1),要使3x2-bx+b≥0，需使b≥3x2x-1，那么就只需要b>(3x2x-1)max,又(3x2x-1)max=0,所以b≥0.因此，实数b的取值范围是[0,+∞).若遇到含参不等式问题时，我们可先将不等式进行变形，把参数分离出来，得到a≤f(x),a≥f(x),a< f(x),a>f(x)的形式，求出f（x）的最值，只要使a≤f(x)min, a≥f(x)max,a<f(x)min,a>f(x)max，即可求出参数的取值范围.例2.已知不等式sin x∙cos x>m2+m2-1的解集为R，求m的求值范围.解：将不等式sin x∙cos x>m2+m2-1变形可得2sin x∙cos x>2m2+m-2，设g(m)=2m2+m-2,f(x)=2sin x∙cos x=sin2x≥-1,而g(m)<f(x)min，所以2m2+m-2<-1,即(2m-1)(m+1)<0,解得-1<m<12,因此m的取值范围为(-1，12）.本题的不等式中有多项含有m，因此将含m的项与常数项一起分离出来，再构造函数g（x）、f（x），求得f（x）的最值，使g(m)<f(x)min，即可求得m的取值范围.由此可见，通过分离参数解答含参不等式问题，大致可以分为三步：①分离参数；②求函数的最值；③利用极端原理得到最终的答案.二、变更主元对于一些含有多个参数、变量的问题，我们通常使用变更主元法来解题.将参数作为主元，将变量当作参数，将问题转化为关于参数的不等式、函数、方程问题，借助不等式的性质、函数的性质、方程的判别式来建立关于参数的关系式，从而求得参数的取值范围.例3.若函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,对任意a∈[-1,1]，有g(x)<0，求实数x的取值范围.解：∵g(x)=3x2-ax+3a-5,∴令ϕ(x)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1.对于-1≤a≤1,有g(x)<0恒成立,即ϕ(a)<0.∴ìíîϕ(1)<0,ϕ(-1)<0,即ìíî3x2-x-2<0,3x2+x-8<0,解得x∈(-23,1).∴x的取值范围为(-23,1).我们将x看作参数，将a看作变量，将问题转化为关于a的一次函数问题.根据g(x)<0，建立关于a的不等式，解不等式就能求得参数a的取值范围.相比较而言，分离参数的适用范围较广，但运算量较大；变更主元的技巧较为简单，但使用范围较窄，很多同学经常很难想到这个技巧.因此，在解题受阻时，同学们要注意变通，尝试从不同的角度思考解题的思路.（作者单位：甘肃省陇南市成县第一中学）折直解题宝典45。

专题17 参变分离法解决导数问题(解析版)

专题17参变分离法解决导数问题1.分离变量法在处理含参a 的函数(,)f x a 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程(,)0f x a =，转化为()()g x h a =这样就将把研究含参函数(,)f x a 与x 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数()g x 与动直线()y h a =的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。

（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；（2）解题过程中可能遇到的问题：①参数无法分离；②参数分离后的函数()y g x =过于复杂；③讨论位置关系时可能用到()y g x =的函数极限，造成说理困难.2.分类：分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！一、单选题1．已知函数()ln f x x ax =-在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【解析】1()0f x a x '=-≥在区间()1,2上恒成立，即1a x≥在区间()1,2上恒成立，显然1y x=在区间()1,2的最小值为12，所以12a ≤．故选：B ．2．若函数()5ln f x x a x x=--在[)1,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．-⎡⎣B ．(,-∞C ．(],6-∞D ．(]0,6【解析】因为函数()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，即()2510a f x x x '=+-≥，即5a x x≤+恒成立，又5x x +≥=x =a ≤，故选：B 3．已知函数()e xf x mx x=-（e 为自然对数的底数），若()0f x >在()0,∞+上恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(),2-∞B ．2e ,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(],e -∞D ．2e ,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】若()0f x >在()0,∞+上恒成立，则2ex m x <在()0,∞+上恒成立等价于2e x min m x ⎛⎫< ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，令()()2e0xh x x x =>，则()()()3e 20x x x h x x-'>=，令()0h x '>，解得2x >，令()0h x '<，解得02x <<，故()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()()2e 24minh x h ==，故2e 4m <.故选：B.4．关于x 的方程210x mx ++=在[]0,2内有解，则实数m 的取值范围（）A ．(],2-∞-B ．[)2,+∞C ．5,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】当0x =时，可得10=显然不成立；当(]0,2x ∈时，由于方程210x mx ++=可转化为1m x x =--，(]0,2,x ∈令1y x x =--，可得222111x y x x-=-='，当01x <<时，0y '>，函数单调递增；当12x <<时，0y '<，函数单调递减，所以当1x =时，函数1y x x=--取唯一的极大值，也是最大值，所以2max y =-，所以2y ≤-，即2m ≤-，所以实数m 的取值范围(],2-∞-.故选：A.5．若函数()ln x f x x x ae =+没有极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意可得，()1ln 0x f x x ae '=++=没有零点，或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），即1ln xxa e +-=没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.令1ln ()x x g x e+=，0x >，则1ln 1()xx x g x e --'=，令1()ln 1h x x x=--则()h x 在()0,∞+上单调递减且()10h =，所以当01x <<时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，当1x >时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，故当1x =时，()g x 取得最大值1(1)g e=，又0x →时，()g x →-∞，x →+∞时，()0g x →，结合图象可知，1a e -≥即1a e≤-.故选：C.6．若对任意正实数x ，不等式()21xe a x -≤恒成立，则实数a 的范围是（）A ．ln 2122a ≤+B ．ln 212a ≤+C ．1ln 22a ≤+D ．ln 2122a ≥+【解析】因为不等式()2e 1xa x -≤恒成立，2e 0x >，所以21e xa x ≤+恒成立，设()21ex f x x =+，则()min a f x ≤，因为()221e x f x '=-+，令()0f x '=，则ln 22x =，所以当ln 2,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当ln 2,2x +∈∞⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在ln 2,2⎛⎫-∞ ⎝⎭上单调递减，在ln 2,2+∞⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()min ln 21ln 2222f x f ⎛⎫==+⎪⎝⎭，所以ln 2122a ≤+，故选：A 7．已知函数()x f x a x xe =-+，若存在01x >-，使得()0 0f x ≤，则实数a 的取值范围为：（）A ．[0,)+∞B ．(,0]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞【解析】由题意可得0x a x xe +≤-在()1,-+∞上能成立，所以x a x xe ≤-在()1,-+∞上能成立，令()()1x x xe h x x -=>-，则()()11xx h x e -+'=，令()()11x x x e m =-+，则()()02x x m x e +'=-<，所以()()11xx x e m =-+在()1,-+∞上单调递减，且()()000110e m -+⨯==，即()00h '=，因此()h x 在()1,0-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以()()max 00h x h ==，所以0a ≤，故选：B.8．当0x >时，11e 2x a x->-恒成立，则a 的取值范围为（）A ．()1,+∞B ．()e,∞+C ．1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞【解析】由11121e2e x x x a a x x --->-⇒>，设()121e x x f x x --=，则()()()2212121121e ex x x x x x f x x x --+-+-++'==，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间()0,1上递增，在区间(1,)+∞上递减，故()()11f x f ≤=，故1a >.故选：A.9．对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（）A BC ．1eD ．e【解析】∵e ln()(1)0x ax a x -+-≥，∴ln()e ln()ln()e x ax x ax ax ax +≥+=+．令()e x f x x =+，则不等式化为()(ln())f x f ax ≥．∵()e (0)xf x x x =+>为增函数，∴ln()x ax ≥，即ex a x≤．令e ()=x g x x ，则2(1)e ()x x g x x'-=，当01x <<时，()0g x '<，即()g x 递减；当1x >时，()0g x '>，即()g x 递增；所以()()min 1e e g x g a ⇒≤==．∴实数a 的最大值为e ．故选：D 10．已知函数21()()2x f x x x e -=-，若当1x >时，()10f x mx m -++≤有解，则实数m 的取值范围为（）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)-+∞D ．[1,)+∞【解析】()10f x mx m -++≤有解，即21(211)(1)1x x x e m x --+-≤--，设1t x =-，则0t >，不等式转化成2(1)1tt e mt -£-在0t >时有解，则2(1)1t t e m t -+³有解，记2(1)1()t t e h t t-+=，则322(1)1()tt t t e h t t+-+-¢=，再令32()(1)1t g t t t t e =+-+-，则32()(4)0t g t t t t e ¢=++>，那么()g t 在0t >时递增，所以()(0)0g t g >=，于是()0h t '>，()h t 在0t >时递增，故20(1)1()lim t t t e h t t ®-+>，记()()21t t t e ϕ=-，0()(0)()lim (0)10t t h t t j j j ®-¢>==--，于是2(1)1tt e m t-+³有解，只需要1m >-.故选：C 二、多选题11．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，则下列选项正确的是（）A ．10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()y f x =在(0,)e 上单调递增C ．126x x +>D ．若221,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则212a x x a --<【解析】令()0f x =得ln x a x=，记ln ()xg x x =21ln ()xg x x -'=，令()0g x '=得x e =当(0,)x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；且0x →时，()g x →-∞，1(e)g e=，x →+∞时，()0g x →据题意知y a =的图象与()y g x =的图象有两个交点，且交点的横坐标为1x ，2x ，所以10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 选项正确；因为11()'-=-=ax f x a x x ，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 递增，因为10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1(0,)0,e a ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，故B 选项正确；当1a e →时，1e a→，10f a ⎛⎫→ ⎪⎝⎭，又因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以12,x e x e →→，所以1226x x e +→<，所以C 选项错误；因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减，且221,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，因为()1(1)0f a f x =-<=，所以11x >因为()2222ln 2ln 20f e f x a a ⎛⎫=-<-== ⎪⎝⎭，所以22x a <所以21221a x x a a--<-=，故D 选项正确故选：ABD.12．已知函数()()1x f x x k e =-+在区间[11]-，上只有一个零点，则实数k 可取的值有（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【解析】由题意可知，()10x x k e -+=在区间[1,1]-上只有一个根，等价于1xk x e =+在区间[1,1]-上只有一个根，等价于y k =与1()xg x x e =+的图像有唯一一个公共点，由1()x g x x e =+得1()1x g x e=-'，令()0g x '=得0x =，当10x -≤<时，()0g x '<，则()g x 在[1,0)-上单调递减，当01x <≤时，()0g x '>，则()g x 在(0,1]上单调递增，∴在区间[1,1]-内，当0x =时()g x 取极小值也是最小值，∴当()(0)1g x g ≥=，又1(1)1g e =+，(1)1g e -=-，且111e e ->+，则满足条件的k 的取值范围是{}11(1,1]e e⋃+-，所以k 可取的值为1、2.故选:CD.13．设函数()f x =为自然对数的底数).若存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立，则实数a 的取值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】易知()f x 在定义域内单调递增，若()f b b >，则()()()f f b f b b >>，若()f b b <，则()()()f f b f b b <<.故存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立，则()f b b =，即()f x x =在[]0,1上有解.故[]2e ,0,1x x a x x x ⇔=+∈=-，设[]2e ,0,1()x g x x x x +∈-=，则e 1(2)x g x x =-+'，令2e 1,2e ()()x x h x h x x '=+--=，在[)0,ln 2上()0,()h x h x '<单减，在(]ln 2,1上()0,()h x h x '>单增，故()(ln 2)32ln 20h x h ≥=->即()0g x '>，()g x 在[]0,1上单增，又(0)1,(1)e g g ==，故1e a ≤≤.故选：BC.14．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则“对于任意的(0,1]x ∈，不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-≥恒成立”的充分不必要条件可以是（）A ．1a e-≤<B ．4312a e e≤<C ．3211a e e ≤<D ．1a ee≤<【解析】奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则在(0,)+∞上也单调递增，即()f x 是R 上的单增函数；222(2)(ln )0(2)(ln )(ln )x x f ae x f x x x f ae x f x x x f x x x ++-≥⇔+≥--=-，则22ln xae x x x x +≥-，(0,1]x ∈，即22ln xx x x xa e --≥在(0,1]x ∈上恒成立；令22ln ()xx x x xg x e --=，则222(22ln 1)(2ln )43(1)ln ()x x x xx x e x x x x e x x x x g x e e-------+-+-'==(1)(3ln )x x x x e ---=，(0,1]x ∈记()ln 3h x x x =--，1()10h x x'=-≤恒成立，即()h x 单减，又3311()0h e e=>，(1)20h =-<，则必有0(0,1]x ∈，使000()ln 30h x x x =--=，故0(0,)x x ∈，()0h x >，0(,1]x x ∈，()0h x <，因此0(0,)x x ∈，()0g x '>，()g x 单增，0(,1]x x ∈，()0g x '<，()g x 单减，因此0020000000002ln (ln )2()()x x x x x x x x x x g x g x e e ----≤==，由0300000ln 30ln 3,x x x x x x e ---=⇒-==代入得00030003321()()x x x x x e g x g x e e e --≤===，故若使22ln xx x x xa e --≥在(0,1]x ∈上恒成立，则031()a g x e ≥=，根据充分不必要条件的定义可以判断C 、D 正确，A 、B 错误；故选：CD.三、填空题15．若函数21()e 2x f x x a =-是R 上的减函数，则实数a 的最小值为_______【解析】由题意得，()e 0x f x x a '=-≤在R 上恒成立，即e xxa ≥在R 上恒成立，令1()=,()=e ex x x xg x g x -'，当1x <时，()0g x '>，()g x 递增，当1x >时，()0g x '<，()g x 递减，故max 1()=g(1)=eg x ，故1e a ≥，即函数a 的最小值为1e ，16．已知函数()()e ln xf x m x m =+∈，若对任意正数12,x x ，当12x x >时，都有()()1212f x f x x x ->-成立，则实数m 的取值范围是______．【解析】由()()1212f x f x x x ->-得，()()1122f x x f x x ->-令()()g x f x x =-，∴()()12g x g x >，∴()g x 在()0,∞+单调递增，又∵()()e ln x g x f x x m x x =-=+-，∴()e 10xmg x x'=+-≥，在()0,∞+上恒成立，即()1e x m x ≥-令()()1exh x x =-，则()()e 110xh x x '=-++<∴()h x 在()0,∞+单调递减，又因为()()01e 00h =-⨯=，∴0m ≥．17．已知函数()333sin x x x f x =+-，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式()()ln 20f x f ax -+≤恒成立，则实数a 的取值范围为___________.【解析】因为()()()()()()3333sin 33sin f x x x x x x x f x -=-+---=-+-=-，所以()f x 为奇函数，因为()()22333cos 331cos 0x x x x f x '=+-=+-≥，所以()f x 为R 上的增函数，由(ln 2)()0f x f ax -+≤得(ln 2)()()f x f ax f ax -≤-=-，则ln 2x ax -≤-，因为,()0x ∈+∞，所以ln 2x a x--≥．令ln 2()(0)x g x x x-=>，则()23ln xg x x -'=，令()0g x '=，得3e x =，当30e x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当3e x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，故()()33max 1e e g x g ==，所以31e a -≥，即31e a ≤-，所以实数a 的取值范围为31,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.18．已知(0,2)x ∈，若关于x 的不等式21e 2x k x x x <+-恒成立，则实数k 的取值范围是________．【解析】依题意，知220+->k x x ，即22>-k x x 对任意(0,2)x ∈恒成立，从而0k ≥，因此由原不等式，得2e 2<+-x k x x x 恒成立．令2e ()2=+-xf x x x x ，则2e ()(1)2⎫⎛'=-⋅+⎪ ⎝⎭x f x x x ．令()0f x '=，得1x =．当(1,2)x ∈时，()0f x '>．函数()f x 在(1,2)上单调递增；当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)e 1<==-k f x f ，故实数k 的取值范围是[0,e 1)-．四、解答题19．已知函数21()ln 2f x x x =-.（1）求函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值(参考数据：ln 20.7≈)；（2）若不等式2()(2)f x a x >-有解，求实数a 的取值范围.【解析】（1）求导得：211()x f x x x x-'=-=，令()0f x '>可得112x <<，令()0f x '>可得12x <<，于是函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在(1,2)单调递减，于是当1x =时，()f x 取最大值为12-，又111ln 0.825228f ⎛⎫=-≈- ⎪⎝⎭，(2)ln 22 1.3f =-≈-，于是当2x =时，()f x 取最小值为ln 22-综上：当1x =时，()f x 取最大值为12-，当2x =时，()f x 取最小值为ln 22-（2）原不等式即为：221ln (2)2x x a x ->-，可化简为2ln 122x a x -<-记2ln 1()2x g x x =-，则原不等式有解可转化为2()a g x -<的最大值求导得：312ln ()xg x x '-=，于是函数()g x 在上单调递增，在)+∞上单调递减于是：()max 11g22g x e ==-，于是11222a e -<-，解得：5122a e>-.20．已知函数()2()ln f x x ax x =+，a R ∈.（1）若()f x 的图像在1x =处的切线经过点(0,2)-，求a 的值；（2）当21x e <<时，不等式2()f x x <恒成立，求a 的取值范围.【解析】（1）由题知()f x 的定义域为(0,)+∞.又()(2)ln f x x a x x a '=+++，则(1)1f a '=+.又因为(1)0f =，所以切点为(1,0).所以02110a +=+-，解得1a =.（2）当21x e <<时，0ln 2x <<.当21x e <<时，不等式2()f x x <恒成立，即不等式ln xa x x<-，()2x e ∈1,恒成立.设()ln x g x x x=-，()2x e ∈1,，则222ln 1(ln )ln 1()1(ln )(ln )x x x g x x x '--+=-=-.因为2213(ln )ln 1ln 024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以()0g x '<.所以()g x 在()21,e 上单调递减，从而()22()2eg x g e >=-.要使原不等式恒成立，即()a g x <恒成立，故22ea ≤-.即a 的取值范围为2,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.21．已知函数()()212ln f x x ax x a R =-+∈，曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线l 的斜率为4.(1)求切线l 的方程；(2)若关于x 的不等式()2f x x bx +恒成立，求实数b 的取值范围.【解析】(1)函数()f x 的定义域为{}|0x x >，12()2f x x a x'=-+，由题意知，(1)144f a '=-=，所以10a =，故2()1012ln f x x x x =-+，所以(1)9f =-，切点坐标为(1,9)-故切线l 的方程为413y x =-．(2)由（1）知，2()1012ln (0)f x x x x x =-+>，所以2()f x x bx ≤+，可化为：12ln 10x x bx -≤，即12ln 10xb x≥-在(0,)+∞上恒成立，令12ln ()10x g x x =-，则212(1ln )()x g x x -'=，当(0,e)x ∈时，()0g x '>，()g x 在(0,e)上单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(e,)+∞上单调递减，所以当e x =时，函数()g x 取得最大值12(e)10eg =-，故当1210e b ≥-时，12ln 10x b x≥-在(0,)+∞上恒成立，所以实数b 的取值范围是1210,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.22．已知函数()ln 1f x x mx =--．(1)若0x ∀>，不等式()0f x <恒成立，求m 的取值范围；(2)若曲线()y f x =存在过点(1,0)的切线，求证：1m ≥-．【解析】(1)由已知有()0f x <恒成立，即代表ln 10x mx --<恒成立，因为0x >，故ln 1x m x->恒成立，令ln 1()x g x x -=()0x >，故22ln ()xg x x -'=，令()0g x '>，解得：20x e <<，故()g x 在()20,e 上单调递增，在()2,e +∞上单调递减，故()g x 在()0,+∞的最大值为221()g e e =，故21m e >，所以m 的取值范围是21e ⎫+∞⎪⎝⎭；(2)：设切点为000(,ln 1)x x mx --，又因为1()f x m x'=-，所以函数在0x x =处的切线斜率01k m x =-，所以函数在0x x =处的切线方程为：0000(ln 1)()1m x y x mx x x ⎛⎫---=- ⎪⎝-⎭，又切线经过点(1,0).故可得：00000(ln 1)(1)1m x x mx x ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭-，化简整理可得：0001ln 2(0)m x x x =+->，令1()ln 2(0)h x x x x=+->，21()x h x x-'=，令()0h x '>，解得1x >，故()h x 在(0,1)上单调递减，(1,)+∞单调递增，故()h x 在(0,)+∞的最小值为(1)1h =-，故：1m ≥-，得证．23．已知函数()()()x x f x e sinx ax a R g x e cosx=-∈=(1)当0a =时，求函数f （x ）的单调区间；(2)若函数()()()F x f x g x =-在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个极值点，求实数a 的取值范围.【解析】(1)当0a =时，()e sin x f x x =，()e (sin cos )x f x x x '=+sin()4x x π+，当224k x k ππππ<+<+，即32244k x k ππππ-<<+时，()0f x '>，当2224k x k πππππ+<+<+，即372244k x k ππππ+<<+时，()0f x '<，所以()f x 的增区间是32,2,44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，减区间是372,2,44k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ．(2)()e sin e cos e (sin cos )x x x F x x ax x x x ax =--=--，()e (sin cos cos sin )2e sin x x F x x x x x a x a '=-++-=-，由题意2e sin 0x x a -=在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个不等实根，即2e sin x a x =有两个实根，设()2e sin x h x x =，则()2e (sin cos )sin()4x x h x x x x π'=+=+，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，35,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以324x ππ<<时，()0h x '>，()h x 单调递增，34x ππ<<时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以34max 3()2e 4h x h ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，其中22e 2h ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0h π=，所以当3242e a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2e sin x a x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个实根，即当3242e a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()F x 在,π2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个极值点.24．已知函数2()ln ()f x x x ax a =+∈R 的图象在点(1,(1))f 处的切线与直线(1e)y x =-平行（e 是自然对数的底数）.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若2()2e f x kx x >-在(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】(1)由题意得()2ln (0)f x x x x a x ++>'=，所以(1)1f a '=+，又()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线与直线(1e)y x =-平行，所以11e a +=-，解得a e =-，所以2()ln e f x x x x =-.(2)2()2e f x kx x >-在(0,)+∞上恒成立，即22ln e 0x x kx x -+>在(0,)+∞上恒成立，因为0x >，所以22ln e e ln x x x k x x x+<=+.令e ()ln g x x x =+，则221e e ()x g x x x x-=-='.当(0,e)x ∈时，()0g x '<；当(e,)x ∈+∞时，()0g x '>.所以函数e ()ln g x x x=+在(0,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，所以()(e)2g x g ≥=，故2k <，即实数k 的取值范围是(,2)-∞.25．已知函数()()21e xax x f x a R -+=∈.(1)当2a =-时，求()f x 的单调区间；(2)当0x ≥时，()1f x ≤，求a 的取值范围.【解析】（1）2a =-时，()221e x x x f x --+=，()()()212e xx x f x +-'=，令()1102f x x '=⇒=-，22x =.∴()f x的单调递增区间为,⎛-∞ ⎝，()2,+∞，单调递减区间为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）法一：常规求导讨论()()()()221212e ex x ax a x ax x x F -++----'==.①当0a ≤时，令()02f x x '=⇒=且当02x ≤<时，()0f x '<，()f x ；当2x >时，()0f x '>，()f x .注意到()01f =，2x ≥时，()0f x <符合题意.②当12a =时，()()21220ex x f x --'=≤，()f x 在[)0,∞+上，此时()()01f x f ≤=符合题意.③当102a <<时，令()102f x x '=⇒=，21x a =，且当()f x 在[)0,2上，12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，此时()()01f x f ≤=符合题意.③当102a <<时，令()102f x x '=⇒=，21x a=，且当()f x 在[)0,2上，12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，此时只需1111111e 1e a aa a f a -+⎛⎫=≤⇒≥ ⎪⎝⎭，显然成立.④当12a >时，令()110f x x a'=⇒=，22x =，且当()f x 在10,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上，1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()2,+∞上 .此时只需()22411e 121e 24a f a -+=≤⇒<≤.综上：实数a 的取值范围2e 1,4⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦.法二：参变分离①0x =时，不等式显然成立.②当0x >时，2e 1x x a x +-≤，令()2e 1x x g x x +-=，()()()33e 12e 2e 2x x x x x g x x x ----+'==.令()02g x x '=⇒=且当02x <<时，()0g x '<，()g x ；当2x >时，()0g x '>，()g x ，∴()()2min e 124g x g +==，∴2e 14a +≤.26．已知函数()ln a f x x x x=++，a ∈R .（1）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）若()f x 在区间()1,2上单调递增，求a 的取值范围；（3）若函数()()g x f x x '=-有一个零点，求a 的取值范围.【解析】（1）因为()ln a f x x x x =++，则2221()1a x x a f x x x x +-'=-+=，由于()'10f =，则221101a +-=，∴2a =，当2a =时，()()222221212()1x x x x f x x x x x +-+-'=-+==因为()f x 的定义域为()0,∞+，则()0f x '=时，1x =，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，所以2a =符合题意，故2a =.（2）()22'x x a f x x+-=，∴20x x a +-≥在()1,2x ∈恒成立，即2a x x ≤+在()1,2x ∈恒成立，∴a 的取值范围为(],2-∞.（3）220x x a a x +--=在()0,x ∈+∞有1个根即方程32a x x x -=--在()0,x ∈+∞有1个根，令32()h x x x x =--，0x >，则()()2()321131h x x x x x '=--=-+当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，且(0)0h =，(1)1h =-，x →+∞时，()h x →+∞，当0a -≥即0a ≤时，1个根；当1a -=-即1a =时，1个根，综上：a 的取值范围为(]{},01-∞U .27．已知函数()ln x f x x=.（I ）求函数()f x 的单调区间和极值；（II ）若不等式()kx f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】（I ）因为()()21ln 0x f x x x -'=>，当()0,e x ∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 的单调增区间为()0,e ，单调减区间为()e,+∞；且()()1e ef x f ==极大，无极小值；（II ）因为()kx f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，所以2ln x k x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，设()()2ln 0xg x x x =>，则()max k g x ≥，因为()()432ln 12ln 0x x x x g x x x x --'==>，当(x ∈时，()0g x '>，()g x单调递增，当)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()max 1e 2e g x g ===，所以12e k ≥.28．已知函数()()e e 0x f x x x=>．(1)求函数()f x 的最小值；(2)若不等式()ln 1f x x a x ≥++对于()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围．【解析】(1)求导：1e e 1e e ()x xf x x x ++'=-，即e 1e ()(e)x f x x x+'=-当()0,f x '<解得0e;x <<当()0,f x '>解得ex >()f x 的单调递减区间为()0,e ；单调递增区间为()e,+∞∴函数()f x 的最小值为(e)1f =(2)由（1）得()(e)1f x f ≥=，所以要使得()ln 1f x x a x ≥++恒成立，必须满足：(e)e ln e 1ef a a ≥++⇒≤-，下面证明：当e a -≤时()ln 1f x x a x ≥++恒成立e a ≤ e eln 1l 1e n e e x x x a x x x x x ∴---≥-+-，∴只需证明e e eln 10xx x x -+-≥，设e ()n 1e el x x x x x ϕ=-+-，则e e 1e e e e 11()()()1()e x x x x x x x x x x ϕ+⎛⎫'=---=⋅-⋅- ⎪⎝⎭由（1）得e e 10x x-≥且只在e x =取等号，∴当0e x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减，∴当e x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增e ()()0x ϕϕ∴≥=.综上e a -≤．解法二：（变量分离）整理得：e1l e n xx x a x--≤只需m e in 1()l e n xx x a x --≤，先证明：e 1x x ≥+，构造()e 1x g x x =--，()e 1x g x '=-，当0x >时，()0g x '≥，()g x 单调递增()(0)0g x g ≥=，从而证明得e 1x x ≥+e ln e 11l e e e e n 11ln xx x x x x x x x x---=--≥-+--=- ，当仅且当n 0el x x -=即e x =处取得等号.e 1ln ln e e e ln xx x x x x ---∴≥=-，∴e a -≤.，解法三：（不分离）l e e n ()ln 1ln 10(ln )10e e x x x f x x a x x a x x a x x-≥++⇒---≥⇒-+-≥eln (ln )1e e e ln 1(ln )10x x x x x x x a x --+-≥-+-+-≥得ea -≤下面证明当e a -≤时，e ln 10e xx a x x---≥e a ≤ e e ln 1l 1e n e e x x x a x x x x x∴---≥-+-∴只需证明e e eln 10x x x x-+-≥设e ()n 1e el x x x x xϕ=-+-，则e e 1e e e e 11()()()1()e x x x x x x x x x x ϕ+⎛⎫'=---=⋅-⋅- ⎪⎝⎭由（1）得e e 10x x-≥且只在e x =取等号∴当0e x <<时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减∴当e x >时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增e ()()0x ϕϕ∴≥=.综上e a -≤．29．已知函数2213()ln ,()224f x x ax x g x x ax ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.(1)若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若当1≥x 时，()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.【解析】(1)因为1()(1)ln 12f x x x x =-'+-，所以1(1)2'=-f ，又(1)0f =，所以切线方程为1(1)2y x =--，即210x y +-=(2)由()()f x g x ≥知2213ln 2024x ax x x ax ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭，因为1≥x 所以13ln (ln 2)24x x x a x -≥-，当2e x =时，R a ∈，当2e x >时，13ln 24ln 2x x x a x -≤-，当21e x ≤<时，13ln 24ln 2x x x a x -≥-构造函数13ln 24()ln 2x x x h x x -=-，2(2ln 5)(ln 1)()4(ln 2)x x h x x --'=-当1e x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当2e <e x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，故21e x ≤<时，max e ()(e)4h x h ==，因此e 4a ≥当522e e ,()0x h x '<<<，()h x 单调递减，当52e x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，故2e x >时，5522min ()e e h x h ⎛⎫= ⎪⎭=⎝，因此52e a ≤，综上：52e ,e 4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦30．已知函数()2ln ,f x x ax a R =-∈.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)设函数()()ln 21g x f x x x =--+，若()0g x ≤在其定义域内恒成立，求实数a 的最小值；(3)若关于x 的方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明121x x >.【解析】(1)当0a =时，()2ln f x x =，所以()2l 01n1=f =，()2f x x'=，所以()12f '=，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为：()021y x -=-，即22y x =-(2)由题意得，()ln 21g x x ax x =--+，因为()0g x ≤在其定义域内恒成立，所以ln 210x ax x --+≤在()0,∞+恒成立，即ln 12x a x++≥在()0,∞+恒成立，等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，令(ln 1x h x x +=()0,∞+，所以()2ln x h x x -'=，令()0h x '>解得01x <<，令()0h x '<解得1x >，所以函数()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以()()1=1h x h ≤，所以21a +≥，即1a ≥-，故a 的最小值为1-.(3)先证明必要性：由()2ln f x x x =+得2ln x ax x -=，即ln 0x x a x--=，令()()ln 0x m x x a x x =-->，则()221ln x x m x x --'=，设()21ln t x x x =--，则()12t x x x'=--，因为0x >，所以()0t x '<恒成立，函数()t x 在()0,∞+单调递减，而()10t =，故在()0,1上()0t x >，()0m x '>，()m x 单调递增，在()1,+∞上()0t x <，()0m x '<，()m x 单调递减，所以()()11max m x m a ==--.故方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根只需：10a -->，所以实数a 的取值范围是(),1-∞-；再证明充分性：当(),1a ∞∈--时，方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，条件等价于2ln x ax x -=，即ln x x a x -=，即y a =与ln x y x x=-，当1a <-，0x >时有两个不同的交点，所以221ln x x y x --'=，由上面必要性的证明可知函数在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以ln x y x x =-在0x >时的最大值为：ln11=11y =--，最小值趋近于负无穷，所以当(),1a ∞∈--时，程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根，即充分性成立.下证：121x x >，不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，所以()121122111x x x m x m x x ⎛⎫>⇔>⇔> ⎪⎝⎭，因为()()120m x m x ==，所以()()22122222221ln ln 1111x x m x m m x m x a a x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭2222222222221ln ln ln 11ln 1x x x x x x x x x x x x =--+=-++2222211ln x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，令()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭，则()211ln 0x x x ϕ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以当1x >时，()()10x ϕϕ>=，即2222211ln 0x x x x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，所以()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以121x x >.。

高考导数题型及方法总结(思维导图)

函数极值最值
和差型导函数积商型导函数指数e^x混合型幂次x^n混合型
逆构造解不等式
求函数零点个数求函数极值最值
抽象导函数问题பைடு நூலகம்
导数
恒成立求参
参变分离分离函数必要性探路端点效应分类讨论求最值隐极值代换双任意双存在问题
不等式证明
一元不等式证明
指对处理技巧基本放缩隐零点代换凹凸反转
直线与曲线最短距离对称曲线最短距离公共切点不同切点
在点切线过点切线距离最值
公切线问题
导数的几何意义
一次型
因式分解型不能因式分解
二次型
二次求导
可以参变分离
几何意义函数性质
不能参变分离
常见函数图像含参讨论单调性已知单调性求参
函数单调性
求函数极值最值已知极值最值求参极值最值范围问题
双重最值问题
二元不等式证明
主元法同构法
齐次式法
极值点偏移问题数列不等式证明
对称构造比值代换\差值代换对数均值\指数均值切线构造
函数零点问题
求函数零点个数已知零点个数求参
找点技巧

利用导数解决恒成立问题

恒成立问题常见处理恒成立问题的三种方法：第一种：参变分离法求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0），一般地：m x f >)(恒成立⇔m x f >min )(；m x f <)(恒成立⇔m x f <max )(；第二种：变更主元法：（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；第三种：构造函数求最值题型特征：)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；从而转化为第一、二种题型，或直接求最值。

例1. 设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，4323()1262x mx x f x =--；（1）若()y f x =在区间(]3,0上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.例 2.已知函数32()f x x ax =+图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3-，326()(1)3(0)2t g x x x t x t -=+-++> （1）求,a b 的值；（2）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；（3）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

例3.(2014陕西)设函数()ln ,m f x x m R x=+∈. (1)当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；(2).讨论函数()'()3x g x f x =-零点的个数（3）若对任意()()0,1f b f a b a b a ->><-恒成立，求m 的取值范围.练习1．已知函数f （x ）=|x |，g （x ）=﹣|x ﹣4|+m（Ⅰ）解关于x 的不等式g [f （x ）]+2﹣m ＞0；（Ⅱ）若函数f （x ）的图象恒在函数g （x ）图象的上方，求实数m 的取值范围．2．已知函数f （x ）=lnx ﹣．（Ⅰ）若a ＞0，试判断f （x ）在定义域内的单调性；（Ⅱ）若f （x ）在[1，e ]上的最小值为，求实数a 的值；（Ⅲ）若f （x ）＜x 2在（1，+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围．3．已知f （x ）=xlnx ﹣ax ，g （x ）=﹣x 2﹣2．（1）当a=﹣1时，求f （x ）的单调区间；（2）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．4．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．5．设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．6．已知f（x）=+nlnx（m，n为常数）在x=1处的切线为x+y﹣2=0．（1）求y=f（x）的单调区间；（2）若任意实数x∈[，1]，使得对任意的t∈[，2]上恒有f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2成立，求实数a的取值范围．7．已知函数f（x）=e x（其中e是自然数的底数），g（x）=x2+ax+1，a∈R．（1）记函数F（x）=f（x）•g（x），且a＞0，求F（x）的单调增区间；（2）若对任意x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数a的取值范围．8．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．9．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．。

用导数方法解决参数和函数零点技巧专题

用导数方法解决参数和函数零点技巧专题一．参变分离1. 注意分离后的函数是否严格单调2. 注意定义域上是否取遍3. 严格单调且定义域取遍用端点效应二．端点效应比较适用于恒成立问题，那么区间的端点也一定满足恒成立要求1. 优先论证函数严格单调2. 在区间左右端至少能找一点满足题干3. 不到万不得已不要取无穷远端注：一旦定义域完全为开区间，要么丢失此法，要么洛必达开始论述，要么证明函数严格单调并证函数值大于(小于)端点值【例1】f (x )=e x -e -x -ax ，其中V x 40,使得>(x )>0恒成立，求a 的取值范围方法1：参变分离方法2f (端点效应x 00恒成立解：又(0)=0f (x )>0,V x 00恒成立的必要条件为f '(x )>0f '(x )=e x +e 我们可以看到函数要非负一定要增，也可能又增又减出现极小值) (这就是函数增的一个条件)充分性：f 、(x )=e x +e -x -ae x +e -x >2:.f '(x )=e x +e -x -a >0・•・f (x )>0,V x 00恒成立的充分必要条件是a <2f '(0)=2-a >0「.a <2(这就是函数值非负的必要条件，我们仅考虑的是函数严格递增的条件)(现在我们论证一下函数是否在此条件下单调增)显然我们应有此方法成立的充要条件是函数严格单调，我们考虑的端点并不是整个定义域的增减趋势，但是从0开始函数值一定要单调增，否则恒成立失效。

于是才有导函数在0处也非负，我们就得到a的一个大致范围，通过这个大致范围作为已知条件验证其充分性。

【注】：充分性验证时一旦出现导函数有小于0的情况，表示函数不单调，则在必要性的条件下研究函数的最值。

【思考1】f(x)=(ax-1)e x+ax+1，V x^0,有f(x)>0，求a的取值范围三：极值点偏移我们分析一下二次函叫x,x(x丰x)使得f(x)=f(x),x是二次函数的对称轴，1212120我们有x+x=2x120x+x。

(完整版)变更主元法

变更主元法在解答与函数、方程、不等式有关的数学题目时，常常把数学式子中的主元与常量换位（即将主元看作常量），主元与参数换位，参数与常量换位，产生一种认识上的转化,但并不换元.借助这种思维方式解题的方法叫做变更主元法.例1. 若不等式mx x +2＞34-+m x 对于满足1≤m ≤4的所有实数m 恒成立，求实数x 的取值范围.【巧解】〔变更主元法〕不等式mx x +2＞34-+m x ⇔34)1(2+-+-x x m x ＞0设34)1()(2+-+-=x x m x m f . 视参数m 为自变量，主元x 为参数，)(m f 关于m 的一次函数.1°当x =1时，)(m f 恒等于0，即)(m f ＞0不成立即mx x +2＞34-+m x 不成立.2°当x ≠1时，（x -1）2x m +-4x +3＞0⇔⎩⎨⎧〉〉0)4(0)1(f f 2121210102322〉〈-⇔⎩⎨⎧〉〈-〉〈⇔⎪⎩⎪⎨⎧〉-〉+-⇔x x x x x x x x x 或或或综合1°、2°得：x ＜-1或x ＞2例2. 求函数1122+++-=x x x x y 的值域【巧解】〔变更主元法〕易知函数的定义域为R将原函数去分母整理，得：0)1()1()1(2=-+++-y x y x y …… ① 视y 为某常数.（1）当1=y 时，0=x（2）当y ≠1时，因x ∈R ，即方程①有实根故22)1(4)1(--+=∆y y ≥0 即 31032-+-y y ≥0 得331≤≤y综合（1）、（2）得331≤≤y例3[1997年全国数学高考理科题]若0))((4)(2=----z y y x x z ，求证：z y x ,,成等差数列【巧证】〔变更主元法〕将已知式视为y （y 为主元、z x 、为常量）的二次方程，有：[]z y y x zx y z x y z x y z x y -=-+=∴=+-=+++-20)(20)()(44222即按定义，z y x 、、成等差数列例4. 设a ,b ∈R ，求证：直线（2a +b ）x +(a -b)y+(a -b)=0总是经过一个定点：【巧证】〔变更主元法〕将原方程变形为：0)1()12=-++++b y x a y x （ (1)视参数a ,b 为主变数∵a ,b ∈R ，即a ,b 为任取的两个实数，要（1）式成立，必有⎩⎨⎧=-+=++01012y x y x 解得⎩⎨⎧=-=32y x 就是说，不论a ,b 取什么实数，x =-2，y =3，适合上述方程，即系列直线总是经过定点（-2，3）巧练1. 函数xx y 32+=的值域是 . 巧练 2. 对满足︱log 2p ︱＜2的一切实数p ，求使不等式12++px x ＞p x +3都成立的x 的取值范围. 巧练3. 求证：当动点P （a ,b ）在定直线L 1：y x 23+=6上移动时，动直线L ：12=+ay bx 总是经过一个定点，并求此定点的坐标.。

导数中的参数问题(解析版)

【方法综述】导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式恒成立、存在性、方程的根、零点等条件，求解参数的取值或取值范围”.这类问题在近几年的高考中，或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。

而要解决这类型的题目的关键，突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分离参数法、分类讨论法及变换主元法等，从而解决常见的导数中的参数问题。

【解答策略】一．分离参数法分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离. 1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.例1．已知函数432121()ln 432e f x x x ax x x x =-++-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．21[,)e e++∞B ．(0,]eC ．21[2,)e e--+∞ D ．[21,)e -+∞【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题【答案】A【解析】32()2ln 0f x x ex ax x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立2ln 2xa ex x x⇔≥+-，设2ln ()2x p x ex x x =+-，221ln 2()()x e x x p x x-+-'=，当0x e <<时，()0p x '>；当x e >时，()0p x '<；()p x ∴在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，21()()p x p e e e∴≤=+，21a e e ∴≥+.故选：A .专题6.2 导数中的参数问题【举一反三】1.（2020·宣威市第五中学高三（理））若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t '=，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数21()32g x kx x =-+为函数()2ln f x x x x =+的“友导”函数，则k 的最小值为（） A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】()1g x kx '=-，由题意，()g x 为函数()f x 的“友导”函数，即方程2ln 1x x x kx +=-有解，故1ln 1k x x x=++，记1()ln 1p x x x x =++，则22211()1ln ln x p x x x x x-'=+-=+，当1x >时，2210x x ->，ln 0x >，故()0p x '>，故()p x 递增；当01x <<时，2210x x-<，ln 0x <，故()0p x '<，故()p x 递减，故()(1)2p x p ≥=，故由方程1ln 1k x x x=++有解，得2k ≥，所以k 的最小值为2.故选：C. 2．（2020·广东中山纪念中学高三月考）若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（）A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦【答案】B【解析】由12f a -=-+（），可得222alnx x a --≤-+ 在0x ＞恒成立，即为a （1-lnx ）≥-x 2，当x e = 时，0e -＞ 2显然成立；当0x e ＜＜时，有10lnx -＞，可得21x a lnx ≥-，设201x g x x e lnx =-（），＜＜，222(1)(23)(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx （），---'==-- 由0x e ＜＜时，223lnx ＜＜，则0g x g x （）＜，（）'在0e （，）递减，且0g x （）＜，可得0a ≥ ；当x e ＞时，有10lnx -＜，可得21x a lnx ≤- ，设22(23)1(1)x x lnx g x x e g x lnx lnx -='=--（），＞，（），由32 e x e ＜＜时，0g x g x （）＜，（）' 在32 e e （，）递减，由32x e >时，0g x g x '（）＞，（）在32 ,x e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，即有)g x （在32x e = 处取得极小值，且为最小值32e ，可得32a e ≤ ，综上可得302a e ≤≤ ．故选B ．3.（2020湖南省永州市高三）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】原不等式等价于：令，则存在，使得成立又当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，，即当且仅当，即时取等号，即，本题正确选项：2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.【例2】已知函数2ln 1()x mx f x x+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2e 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意2ln 1()0x mx f x x+-==，得2ln 1x m x +=，设2ln 1()(0)x h x x x +=>，求导4332(ln 1)12(ln 1)(2ln 1)()x x x x x h x x x x-+-+-+'=== 令()0h x '=，解得12x e -=当120x e -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12x e ->时，()0h x '<，()h x 单调递减；故当12x e -=时，函数取得极大值，且12()2e h e -=又1=x e时，()0h x =；当x →+∞时，2ln 10,0x x +>>，故()0h x →；作出函数大致图像，如图所示：又(1)1h =，ln 21ln 2(2)44eh +== 因为存在唯一的整数0(,)x a b ∈，使得y m =与2ln 1()x h x x+=的图象有两个交点，由图可知：(2)(1)h m h ≤<，即ln 214em ≤< 故选：B.【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【举一反三】1．（2020·重庆市第三十七中学校高三（理））已知函数32()32f x x x ax a =-+--，若刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】令32()3,()(2)()()()g x x x h x a x f x g x h x =-+=+∴=-，且2'()36g x x x =-+，因为刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，即()()i i g x h x >，作出(),()g x h x 的图象，如图所示，其中()h x 过定点(2,0)-，直线斜率为a ，由图可知，203a ≤≤时，有且仅有两个点()()1,2,2,4满足条件，即有且仅有121,2x x ==使得()0i f x >. 实数a 的取值范围是20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝，故选：A2（2020济宁市高三模拟）已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( ) A ．(3，4) B ．(4，5)C ．(5，6)D ．(6．7)【答案】C 【解析】由xlnx+（3﹣a ）x+a ＝0，得，令f （x ）（x ＞1），则f′（x ）．令g （x ）＝x ﹣lnx ﹣4，则g′（x ）＝10，∴g（x ）在（1，+∞）上为增函数， ∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g （6）＝2﹣ln6＞0， ∴存在唯一x 0∈（5，6），使得g （x 0）＝0，∴当x∈（1，x 0）时，f′（x ）＜0，当x∈（x 0，+∞）时，f′（x ）＞0．则f （x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C3.（2020蚌埠市高三）定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，故，因，所以即.不等式有解可化为即在有解.令，则，当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；故，所以，故选C.二．分类讨论法分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论. 1.二次型根的分布或不等式解集讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程，可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.【例3】（2020·全国高三专题）函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解.【详解】()()()()22331x xx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e-=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D【举一反三】1．（2020·湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数()f x kx =，ln ()xg x x=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e内有两个实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．211[,)2e eB ．11(,]2e eC ．21(0,)e D ．1(,)e+∞【答案】A【解析】易知当k ≤0时，方程只有一个解，所以k >0．令2()ln h x kx x =-，2121(21)(21)()2kx k x k x h x kx x x x--+=-=='，令()0h x '=得12x k =，12x k=为函数的极小值点，又关于x 的方程()f x =()g x 在区间1[,]e e内有两个实数解，所以()01()01()02112h e h e h k e ek ≥⎧⎪⎪≥⎪⎪⎨<⎪⎪⎪<<⎪⎩，解得211[,)2k e e ∈，故选A.2.（2020扬州中学高三模拟）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】∵，∴．∵函数有两个不同的极值点，，∴，是方程的两个实数根，且，∴，且，解得．由题意得．令，则，∴在上单调递增，∴．又不等式恒成立，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．2．指数对数型解集或根的讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程，可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论. 即可解决.【例4】（2020•泉州模拟）已知函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae ，若存在a ∈（﹣1，1），使得关于x 的不等式f （x ） ﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围为（） A ．（﹣∞，﹣1] B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，0）【答案】A【解析】不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，即k ≤f （x ）恒成立；则问题化为存在a ∈（﹣1，1），函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae 有最小值，又f ′（x ）＝ae x ﹣1，当a ∈（﹣1，0]时，f ′（x ）≤0，f （x ）是单调减函数，不存在最小值；当a ∈（0，1）时，令f ′（x ）＝0，得e x ＝，解得x ＝﹣lna ，即x ＝﹣lna 时，f （x ）有最小值为f （﹣lna ）＝1+lna ﹣ae ；设g （a ）＝1+lna ﹣ae ，其中a ∈（0，1），则g ′（a ）＝﹣e ，令g ′（a ）＝0，解得a ＝，所以a ∈（0，）时，g ′（a ）＞0，g （a ）单调递增；a ∈（，1）时，g ′（a ）＜0，g （a ）单调递减；所以g （a ）的最大值为g （）＝1+ln ﹣•e ＝﹣1；所以存在a ∈（0，1）时，使得关于x 的不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选：A ．【举一反三】1．函数()()211,12x f x x e kx k ⎛⎫⎛⎤=--∈⎪⎥⎝⎦⎝⎭,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =（） A . ()32ln22ln2-- B . 1- C . ()22ln22ln2k -- D . ()31k k e k --【答案】D2．（2020·浙江省杭州第二中学高三期中）已知函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线为():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈（其中I 为函数()f x 的定义域，当0x x ≠时，()()()00f x g x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”，已知函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a 的取值范围是 A ．[]0,e B ．[]1,eC ．[]1,+∞D ．(],e -∞ 【答案】B【解析】由题可得()2xf x e ax =--'，则在()00,x y 点处的切线的斜率()0002xk f x e ax ==--'，0200122x y e ax x =--，所以函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线方程为：00200001(2)(2)()2x x y e ax x e ax x x ---=---，即切线()00200001:=(2)()+22x xl y g x e ax x x e ax x =-----，令()()()h x f x g x =-，则002200011()2(2)()222x x xh x e ax x e ax x x e ax x =-------++，且0()0h x = 0000()2(2)=+x x x x h x e ax e ax e ax e ax =-------'，且0()0h x '=，()x h x e a ='-'，（1）当0a ≤时，()0xh x e a =-'>'，则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（2）当01a <<时， ()0xh x e a =-'>'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=，所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（3）当1a =，()10x h x e =-'≥'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，取00x =，则()10x h x e x =-->'，所以()h x 在区间(]0,1上单调递增，0()()0h x h x >=，当00x x ≠=时，0()()0h x x x ->恒成立，故00x =为函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上的一个“转折点”，满足题意。

变更主元法

故只需证明 3(x 2) x 2 ，即证 3(x 2) x 4 x 4 ，即证 2x 2 4 x. 而
这是显然成立的.从而原不等式得证.
本题是 2017 年全国 III 卷文科的压轴题，由于 a 与 x 没有关系，因此可以用 a 当作主元来解决，这相对于标准答案来说，别有一番情趣；这里将 a 转换为 a 的目的是为了方便
去）.
当 x (1, ) 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增。
故当
x
1 时，
f
(x)
取得极小值
f
(1)
a
e1
，令
a
e1
0
，得
a
1
（舍
e
（ii）若 ln(2a) 1，即 a 1 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增，不存在极值. 2e
（iii）若 ln(2a) 1，即 a 1 时， 2e
则 h(x) x 2 ln(x 1) 1 1 ln(x 1) 0 ， (x 1)
x 1
x 1
所以 h(x)min 3ln 2 1，即 t 3ln 2 1 (0, 2) ，∴ t 1
（３） g(x) g(3 x) 3 3 a ln x(3 x)
x(3 x)
令 t x(3 x) (0, 2) ，构造函数 F (t) 3 3 a ln t ，即方程 F (t) 3 3 a ln t 0
而 f (ek1) k(1 ek1) 0 ， f (1) 1 k 0 ，故 f (x) 在 (0, ) 上存在唯一零点，
符合题意；
3
当 k 0 时，由 f (x) 0 ，得 0 x 1 ；又由 f (x) 0 ，得 x 1 ；
k
k
所以

专题25 参变分离法解决导数问题(解析版)

专题25 参变分离法解决导数问题(解析版)参变分离法解决导数问题导数是微积分的重要概念之一，对于一元函数而言，导数可以帮助我们求得函数在某一点的变化率。

而在解决导数问题时，有时使用常规的求导公式可能较为繁琐，这时可以借助参变分离法来简化计算过程。

本文将详细介绍参变分离法的原理和具体步骤，并通过实例说明其应用方法。

一、参变分离法的原理参变分离法源于微积分中的隐函数求导法则，通过将自变量和因变量同时表示成一个中间变量的函数，从而将求导问题转化为求中间变量的导数。

利用中间变量的导数表达式，再通过代换和消元的方法，最终得到所求导数的表达式。

二、参变分离法的步骤对于使用参变分离法解决导数问题，一般可以遵循以下步骤：1. 确定需要求导的函数及相关变量。

2. 将因变量和自变量表示成一个中间变量的函数，并确定该中间变量的表达式。

3. 分别求中间变量对自变量和中间变量对因变量的导数。

4. 借助中间变量的导数表达式，通过代换和消元的方法得到所求导数的表达式。

三、参变分离法的应用实例为了更好地理解参变分离法的具体应用方法，下面以一个实际问题为例进行说明。

在一条直线上，有两个点A和B，分别对应的横坐标分别为x和x+h。

点A和B到该直线的距离分别为y和y+h。

求点A和点B之间的斜率。

解题步骤如下：1. 确定函数及相关变量：函数：f(x) = √(1+x^2)相关变量：x, h2. 表达因变量和自变量成中间变量的函数：令z = √(1+x^2)，则f(x) = z3. 求中间变量对自变量和中间变量对因变量的导数：dz/dx = (d(√(1+x^2)))/(dx)= (2x)/(2√(1+x^2))= x/√(1+x^2)4. 借助中间变量的导数表达式，通过代换和消元的方法得到所求导数的表达式：斜率 = (f(x+h) - f(x))/h= (z+h - z)/h= (z+z(x+h))/h= (2z+h)/h= (2√(1+x^2) + h)/(h)通过以上步骤，我们得到了点A和点B之间的斜率表达式，将h取极限求得导数。

导数的基本公式及运算法则

导数的基本公式及运算法则在数学的广袤天地中，导数无疑是一颗璀璨的明珠，它在众多领域都发挥着至关重要的作用。

无论是研究函数的性质、解决优化问题，还是探索物理世界中的变化规律，导数都提供了强大的工具。

接下来，让我们一同深入了解导数的基本公式及运算法则。

首先，我们来认识一些常见的基本导数公式。

对于常数函数＄C$ ，其导数为＄0$ ，即＄（C)＇＝ 0$ 。

这很好理解，因为常数函数的值是固定不变的，没有任何变化率。

幂函数＄x^n$ （＄n$ 为实数）的导数为＄nx^｛n 1}＄。

例如，＄x^2$ 的导数是＄2x$ ，＄x^3$ 的导数是＄3x^2$ 。

指数函数＄e^x$ 的导数还是它本身，即＄（e^x)＇＝ e^x$ 。

这是指数函数的一个非常独特且重要的性质。

对数函数＄＼ln x$ 的导数为＄＼frac{1}｛x}＄。

正弦函数＄＼sin x$ 的导数是＄＼cos x$ ，余弦函数＄＼cos x$ 的导数是＄＼sin x$ 。

了解了这些基本公式后，我们再来看看导数的运算法则。

加法法则：若＄f(x)＄和＄g(x)＄的导数都存在，那么＄（f(x) ＋g(x)）＇＝ f'（x) ＋ g'（x)＄。

也就是说，两个函数之和的导数等于它们各自导数的和。

减法法则与加法法则类似，＄（f(x) g(x)）＇＝ f'（x) g'（x)＄。

乘法法则：＄（f(x)g(x)）＇＝ f'（x)g(x) ＋ f(x)g'（x)＄。

这个法则相对复杂一些，但通过一些具体的例子就能很好地理解。

比如，若＄f(x) ＝ x^2$ ，＄g(x) ＝ e^x$ ，那么＄f'（x) ＝ 2x$ ，＄g'（x) ＝e^x$ ，＄（x^2e^x)＇＝ 2xe^x ＋ x^2e^x$ 。

除法法则：＄＼left(＼frac{f(x)｝｛g(x)｝＼right)＇＝＼frac{f'（x)g(x) f(x)g'（x)｝｛（g(x)）＾2}＄，其中＄g(x) ＼neq 0$ 。

高中数学考点与题型归纳：导数与不等式恒成立问题压轴2 参变分离与变更主元 - 解析

恒成立问题方法一：参变分离与变更主元法基础知识：1、参变分离：是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式；然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围。

2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。

3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。

但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。

例如：()21log a x x -<，111axx e x-+>-等（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。

（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目） 4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x 为自变量，其范围设为D ，()f x 为函数；a 为参数，()g a 为其表达式）（1）若()f x 的值域为[],m M①()(),x D g a f x ∀∈≤，则只需要()()min g a f x m ≤= ()(),x D g x f x ∀∈<，则只需要()()min g a f x m <= ②()(),x D g a f x ∀∈≥，则只需要()()max =g a f x M ≥ ()(),x D g a f x ∀∈>，则只需要()()max =g a f x M > ③()(),x D g a f x ∃∈≤，则只需要()()max g a f x M ≤= ()(),x D g a f x ∃∈<，则只需要()()max g a f x M <= ④()(),x D g a f x ∃∈≥，则只需要()()min g a f x m ≥= ()(),x D g a f x ∃∈>，则只需要()()min g a f x m >=（2）若()f x 的值域为(),m M① ()(),x D g a f x ∀∈≤，则只需要()g a m ≤()(),x D g a f x ∀∈<，则只需要()g a m ≤（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ()(),x D g a f x ∀∈≥，则只需要()g a M ≥()(),x D g a f x ∀∈>，则只需要()g a M ≥（注意与（1）中对应情况进行对比） ③ ()(),x D g a f x ∃∈≤，则只需要()g a M <（注意与（1）中对应情况进行对比） ()(),x D g a f x ∃∈<，则只需要()g a M <④ ()(),x D g a f x ∃∈≥，则只需要()g a m >（注意与（1）中对应情况进行对比） ()(),x D g a f x ∃∈>，则只需要()g a m >5、多变量（含双参求一参）恒成立问题：先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），哪个是所求的参数；选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。

导数知识点各种题型归纳方法总结

导数的基础知识一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①'0()C C =为常数；②1()'nn x nx -=；11()'()'n n n x nx x---==-；1()'m mn n m x x n -==③(sin )'cos x x =； ④(cos )'sin x x =- ⑤()'x x e e = ⑥()'ln (0,1)x xa a a a a =>≠且；⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x = 题型一、导数定义的理解题型二：导数运算 1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（）319.316.313.310.D C B A 三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，即有()00V f t '=。

利用导数解参数范围的八种策略讲解

导数解参数问题的八种策略策略一：分离变量法所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下结论均为已知x 的范围，求a 的范围：结论一、不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.结论二、不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解⇔[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.案例1、（2009福建卷）若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 分析：)0(12)(>+='x xax x f 依题意方程120ax x +=在()0,+∞内有解，即)0,()0(212-∞∈⇒>-=a x xa 案例2、（2008湖北卷）若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（）A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞- 分析：由题意可知02)(≤++-='x b x x f ，在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即1)1()2(2-+=+≤x x x b 在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-，案例3、（2008广东卷）设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（）A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <- 分析：'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30ax f x ae =+=有正根。

高考压轴题：导数题型及解题方法归纳

高考压轴题：导数题型及解题方法一．切线问题题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。

方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。

题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。

方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。

注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。

例已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、（提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。

将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。

（答案：m 的范围是()2,3--）练习 1. 已知曲线x x y 33-=（1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。

答案：（03=+y x 或027415=--y x ）（2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。

2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1）题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。

方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。

（)(,22x f x ）；进而求出切线方程。

解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。

例求曲线2x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。

（答案02=--e y x e ）练习 1.求曲线2x y =与曲线2)1(--=x y 的公切线方程。

分离变量法与选主元法

分离变量法与选主元法在导数板块，在处理“不等式恒成立条件下参数范围”问题时，常用的方法有分离变量法和选主元法。

分别体现的数学思想是“化归与转化的数学思想”和“函数与方程的数学思想”。

针对具体的情况，有的是两种方法没有都可行，有的是其中一种方法比另一种方法更便捷。

如何在没有遍试的情况下做出正确的选择？所以我们常说：比方法更深刻的困难是如何选择。

下面的探讨试图对这种“选择”提供参考。

一、两种方法区分度不大1.（2011全国卷21题改编）已知当0x >，且1x ≠时，ln 1ln 11x x kx x x x+>++-，求k 的取值范围. 法一：选主元法令()()()()222ln 11ln 1ln 111x x k x x x k f x x x x x x x +--=+--=+--为了后续计算的方便，考虑将211x -提出，这样ln x 就变成了单独一项，进一步求导就方便了.()()()()()()22222ln 111112ln 11x x k x k x f x x x x x x ⎡⎤+----⎢⎥==+--⎢⎥⎣⎦令()()()2112ln k x g x x x--=+继续研究，最终可得0k ≤ 法二：分离变量法由ln 1ln 11x x k x x x x +>++-可得22ln 11x xk x <-- 令()22ln 11x xh x x =--，求导可解决，但需要用到洛必达法则. 2. 已知函数()()24ln 1f x x mx m =-+∈R ，若对任意[]1,e x ∈，都有()0f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.二、用分离变量法要更好一些3.（2014全国2卷文科21题改编）已知函数()3232f x x x x =-++，证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.分析：此题分离变量和选主元法都能走通，但分离变量法要更好一些.分析可见《高观点第195页》. 解：仅有一个交点与时，当所以图像如图所示仅有一个根点时，当时，单调递减，且，当时，，当上递增；，在时，当上递减；，在时，当递增；且时，，，或，当递减时，当，则令则令则时，令当2-)(1,,)(1∴)∞,∞-(∈)()0∞-(∈ 1)2(≥)()∞0(∪)2,0(∈ ∴)∞0()(,0)(,0)(2 )2,0(),0∞-()(,0)(,0)(2 ∴.0)2(,0)0()(,0)()∞1()0∞-(∈ .)(,0)()1,0(∈∴)1-(66-6)(4-3-2)(.4-3-24-3-2)(.413-)(0≠,413-.04-3-2-)(122322322223kx y x f y k k x g k x g x g x g x x g x g x h x x g x g x h x h h x h x h x x h x h x x x x x x h x x x h x x x x x x g x x x x g x k xx x kx x x x kx x f k ==<=<+=++>′>><′<<=<>′+<′==′===′++==++=++=+<4.已知12a xx >对任意()0,1x ∈成立，求实数a 的取值范围.5.已知函数()()21x f x x e ax =--，若对x R ∀∈，()3x f x e x x +≥+，求a 的取值范围.三、用选主元法要更好一些6.（2013全国1卷21题改编）已知2-≥x 时，2422(1)x x x ke x ++≤+恒成立，求k 的取值范围.分析：如果分离变量，由于2-≥x ，1x +项正负不定需要讨论，故可考虑选主元法.7.（2014全国2卷21题改编）已知函数()f x =2x x e e x ---，设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值.分析：采用分离变量可得22442x xx x e e x b e e x----<--，若将右边构造为函数，研究较为复杂，考虑选主元法.四、两种方法都很困难时往往就需要构造8.已知函数()()()2121ln 12f x x a x a x =-++-，其中a 为实数. 当[]0,1a ∈，[]12,2,3x x ∈，且12x x ≠时，若恒有()()22111ln1x f x f x x λ--<-，试求实数λ的取值范围.9.设函数()1e xf x x x-=-，e 为自然对数的底数. 当120x x <<时，不等式()()()211212m x x f x f x x x -->恒成立，求实数m 的取值范围.10.已知函数()2ln f x x x x =++，正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=，证明：12x x +≥11.已知函数()()21e 2x a f x x x =--，求最大的整数a，使得对任意()12,0,x x ∈∈+∞R ，不等式()()121222f x x f x x x +-->-恒成立.五、小结：不等式恒成立条件下求参数的取值范围，不论是采用分离变量法还是选主元法，原理都是转化为函数的最值问题或值域问题加以求解.由函数最值的求法及极值的定义可知，函数在区间上的最大（最小）值点若不是区间端点就是极大（小）值点.我们似乎可以得到如下启示：1.对于采用分离变量法还是选主元法，其中一个判断方法就是看最值点在区间端点还是在极大（小）值点。

导数基础部参变分离变更主元

导数基础部分离变量：例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，4323()1262x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32()332x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=--（1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <(0)0302(3)09330g m g m <-<⎧⎧⇒⇒>⎨⎨<--<⎩⎩解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2()330g x x mx ∴=--=-<恒成立,当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立等价于233x m x x x->=-的最大值（03x <≤）恒成立，而3()h x x x=-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴>(2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”则等价于当2m ≤时2()30g x x mx =--< 恒成立再等价于2()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）22(2)023011(2)0230F x x x F x x ⎧->--+>⎧⎪⇒⇒⇒-<<⎨⎨>-+>⎪⎩⎩ 2b a ∴-=变更主元法：例2：设函数),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---01a <<令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a ,3a ）令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞）∴当x=a 时，)(x f 极小值=;433b a +- 当x=3a 时，)(x f 极大值=b. 3a a ()f x ' a（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 2243a x ax a a -≤-+≤恒成立① 则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a g x a≤⎧⎨≥-⎩ 22()43g x x ax a =-+的对称轴2x a = 01,a << 12a a a a +>+=（放缩法）即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

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