应力-应变曲线

应力-应变曲线MA 02139，剑桥麻省理工学院材料科学与工程系David Roylance2001年8月23日引言应力-应变曲线是描述材料力学性能的极其重要的图形。

所有学习材料力学的学生将经常接触这些曲线。

这些曲线也有某些细微的差别，特别对试验时会产生显著的几何变形的塑性材料。

在本模块中，将对表明应力-应变曲线特征的几个点作简略讨论，使读者对材料力学性能的某些方面有初步的总体了解。

本模块中不准备纵述“现代工程材料的应力-应变曲线”这一广阔的领域，相关内容可参阅参考文献中列出的博依（Boyer ）编的图集。

这里提到的几个专题——特别是屈服和断裂——将在随后的模块中更详尽地叙述。

“工程”应力-应变曲线在确定材料力学响应的各种试验中，最重要的恐怕就是拉伸试验1了。

进行拉伸试验时，杆状或线状试样的一端被加载装置夹紧，另一端的位移δ是可以控制的，参见图1。

传感器与试样相串联，能显示与位移对应的载荷)(δP 的电子读数。

若采用现代的伺服控制试验机，则允许选择载荷而不是位移为控制变量，此时位移)(P δ是作为载荷的函数而被监控的。

图1 拉伸试验在本模块中，应力和应变的工程测量值分别记作e σ和e ε，它们由测得的载荷和位移值，及试样的原始横截面面积和原始长度按下式确定0A 0L1 应力-应变试验及材料力学中几乎所有的试验方法都由制定标准的组织，特别是美国试验和材料学会(ASTM)作详尽的规定。

金属材料的拉伸试验由ASTM 试验E8规定；塑料的拉伸试验由ASTM D638规定；复合材料的拉伸试验由ASTM D3039规定。

当以应变e ε为自变量、应力e σ为函数绘制图形时，就得到如图2所示的工程应力-应变曲线。

图2 退火的多晶体铜在小应变区的工程应力-应变曲线（在许多塑性金属中，这一曲线具有典型性）在应力-应变曲线的初始部分（小应变阶段），作为合理的近似，许多材料都服从胡克定律。

于是应力与应变成正比，比例常数即弹性模量或杨氏模量，记作E :随着应变的增大，许多材料的应力与应变最终都偏离了线性的比例关系，该偏离点称为比例极限。

这种非线性通常与试样中由应力引起的“塑性”流动有关。

在此阶段，材料内部的分子或微观结构重新排列或调整，原子移动到新的平衡位置。

材料呈现塑性的机理是分子的活动性，对晶体材料，分子的活动性可由位错运动引起（在随后的模块中将深入讨论）。

若材料内部的分子缺少这种活动性，例如其内部微观结构会阻碍位错运动，则这种材料通常是脆性而不是塑性的。

脆性材料的应力-应变曲线，在其整个变形范围内都近似为直线，最后试验因断裂而终止，没有明显的塑性流动现象。

在图2中可见，塑性材料的应变超过比例极限后，要使应变再增加，所需的应力必须在超出比例极限后继续增加，这一现象称为应变硬化。

这些与塑性流动相关的微观结构重新调整通常在卸载后并不能逆转，因此比例极限往往就是材料的弹性极限，或者至少两者很接近。

弹性是指在卸除载荷后、材料完全并立即从强制的变形状态恢复原形的性能，弹性极限是指这样的应力值：当材料达到此应力值后，卸载后仍将保留永久的残余变形。

要确定由给定应力引起的残余变形，可从该应力在应力-应变曲线上达到的最高点，向应变轴画一条卸载直线，此直线的斜率与初始弹性加载直线的斜率相同，直线与应变轴的交点对应的应变值即残余应变值。

产生残余变形的原因是：材料卸载后弹性变形虽然消失，但已没有外力强迫分子结构恢复其初始位置。

与应力-应变曲线密切相关的术语是屈服应力，在这些模块中记作Y σ。

屈服应力是试样产生塑性变形所需的应力。

因为往往很难精确确定开始产生塑性变形时的应力值，故通常取产生特定量的永久应变时（通常为0.2%）的应力为屈服应力。

求“条件屈服应力”的作图过程如图2所示：从应变轴=e ε0.2%处作斜率为E 的直线，这就是会引起特定的永久变形的卸载线。

此直线与应力-应变曲线交点处的应力即条件屈服应力。

图3所示为铜的工程应力-应变曲线，已按比例放大，该图显示了变形从零开始直至试样断裂的全过程。

由图可见，在到达标为UTS （即拉伸强度极限，在这些模块中记为f σ）的点之前，应变硬化率2逐渐减少。

过了此点后，材料出现应变软化，对新加的应变的每一增量只需较小的应力。

图3 退火的多晶体铜完整的工程应力-应变曲线然而，材料从应变硬化到应变软化这一明显的改变，如同在应力-应变曲线的UTS 点看到的应力极值一样，毕竟是人为的作图过程的产物。

材料在屈服点以后，分子的流动使试样的横截面面积显著减小,因此材料实际承受的应力A A P t /=σ要大于按原始的横截面面积计算的工程应力(0/A P e =σ)。

所加载荷应等于真实应力与实际面积的乘积（A P t σ=），只要应变硬化引起的t σ的增大足以弥补横截面面积的减小，则载荷及相应的工程应力将继续随着应变的增大而上升。

但最终，由流动造成的横截面面积的减小要超过由应变硬化导致的真实应力的增大，于是载荷开始下跌。

这是一种几何效应，如果试验时画出的是真实应力、而不是工程应力的话，应力-应变曲线中将不出现最大值。

A 在拉伸强度极限处，载荷P 的微分为零，由此可给出在颈缩时真实应力与横截面面积之间的解析关系式：最后的式子表明：当横截面面积的缩减率等于真实应力的增加率时，载荷及相应的工程应力作为应变的函数，都将达到最大值。

在拉伸试验的实验报告中，记录得最多的材料性能可能就是拉伸强度极限。

尽管如此，由于上述几何尺寸的影响，拉伸强度极限并非对材料的直接测量值,应当慎用。

当设计涉及塑性金属时，通常宁愿用屈服应力Y σ，而不用拉伸强度极限。

不过，拉伸强度极限对脆性材料而言还是有效的设计依据，因为脆性材料不会出现因流动而使横截面面积缩减的现象。

2 应变硬化率是应力-应变曲线的斜率，也称为切线模量。

真实应力值在整个试样上并不是完全相同的，试样上总有一些区域（如表面上的划痕或某些其他缺陷）的局部应力最大。

一旦应力达到工程应力-应变曲线上的最大值时，在该部位材料的局部流动无法由进一步的应变硬化来弥补，于是该处的横截面面积进一步缩小。

这使局部应力变得更大，从而进一步加速了材料的流动。

这种局部的不断增加的材料流动很快导致在试样标距内的“颈缩”，如图4所示。

图4 拉伸试样的颈缩直到颈缩形成，整个试样的变形基本上是均匀的，但在颈缩后，所有随后的变形都在颈缩处发生。

颈缩处变得越来越小，局部真实应力不断地增大，直到试样被拉断。

这就是大部分塑性金属的失效模式。

当颈部收缩时，颈部变化的几何形状使该处的单轴应力状态变成复杂的应力状态——除正应力外，还有切应力分量。

试样最终常以锥杯状的断口断裂，如图5所示。

由图可见，材料的外层是剪切破坏，而内部是拉伸破坏。

当试样断裂时，断裂点的工程应变（记作f ε）将把颈缩区和非颈缩区的变形包括在一起。

由于材料在颈缩区的真实应变大于非颈缩区，f ε值将取决于颈缩区的长度与试样标距的比值。

所以，f ε不仅是材料性能的函数，而且是试样几何形状的函数，因而它只是对材料塑性的粗略测量值。

图5 塑性金属的锥杯状断裂图6所示为半晶质的热塑性塑料的工程应力-应变曲线，这种材料的响应与图3所示铜的响应很相似。

在图3中，响应显示了比例极限，随后在曲线的应力最大值处发生颈缩现象。

对塑料，通常称此应力的最大值为屈服应力，虽然塑性流动实际上在达到此应变前就已开始了。

但聚合物和铜的响应也有显著区别：聚合物的颈部不会持续收缩到试样被拉断，而是颈缩区的材料被拉长，直至达到“固有伸长比3”（固有伸长比是温度和试样加工工艺的函数）。

超过固有伸长比后，颈缩处的材料停止伸长，靠近颈缩处的新材料开始颈缩。

于是颈缩区域 不断扩展变长，直至蔓延到试样的整个标距，这一过程称为冷拉。

当拉伸由“六原子小基团”组成的聚乙烯时,不用试验机就可看到这一过程，如图7所示。

3 固有伸长比是冷拉区的长度与同一材料原始长度之比。

——译者注并非所有聚合物都能持续这一冷拉过程。

颈缩过程使材料的微观结构强化，当其破坏载荷大于使颈缩区外围未变形材料发生颈缩所需的载荷时，才会出现冷拉现象。

下文将对此作进一步的讨论。

图6 聚酰胺（尼龙）热塑性塑料的应力-应变曲线图7 聚乙烯材料的颈缩和冷拉“真实”的应力-应变曲线正如上节所述，超过弹性极限后，由于试样的尺寸与其原始值相比已有明显的改变，对这部分的工程应力-应变曲线必须谨慎地加以诠释。

使用真实应力A P t /=σ、而不是工程应力0/A P e =σ，可以更直接地度量材料在塑性流动范围内的响应。

与真实应力相对应的常用的应变度量方法，则是取应变的增量为位移的增量除以当前的长度：dL L通常称此为“真实”应变或“对数”应变。

在屈服及随后的塑性流动期间，材料流动引起的体积改变可忽略不计，因为长度增加的影响被横截面面积的减小抵消了。

在颈缩前，应变沿整个试样长度仍旧是相同的，体积不变的约束条件可写成：比值称为伸长比，记作0/L L λ。

应用这些关系式，容易导出拉应力和拉应变的真实值与工 程测量值之间的关系（见习题2）：在应变达到开始颈缩的值之前，应用这些方程，可从工程应力-应变曲线导出真实的应力-应变曲线。

图8重画了图3，并增添了按上述方程算得的真实的应力-应变曲线，以供对照。

图8 铜的工程应力-应变曲线与真实的应力-应变曲线的比较。

箭头指出了工程曲线上的UTS （拉伸强度极限）在“真实”曲线上的位置。

发生颈缩后，应变在试样的标距内是不均匀的，这时再对更大的工程应变值计算真实的应力-应变曲线就没有多大意义了。

但若在整个拉伸试验过程中，都对颈缩处的横截面面积进行监控，则可画出完整的真实应力-应变曲线。

因为由对数应变可得图9 用幂律表示铜的塑性应力-应变关系对塑性材料，其真实的应力-应变关系常可用简单的幂律关系来描述，如下式所示：根据图8所示的关系，用双对数坐标画出铜的真实应力-应变数据4，如图9所示。

图中，参数=0.474称为应变硬化参数,通常作为材料抗颈缩能力的度量。

塑性材料在室温下的n 值大致为0.02到0.5。

n “康西特莱（Considere ）作图法”利用真实应力-应变曲线的形状来量化不同材料在颈缩和冷拉过程中的差别。

该法以真实应力t σ为纵坐标、伸长比0/L L =λ为横坐标，重新画出拉伸时的应力-应变曲线。

在此λσ−t 曲线上找到真实应力为任意值t σ的点，过此点和坐标原点（原点处0=λ，不是1=λ）作割线，由式（6）可知，与t σ相对应的工程应力e σ即此割线的斜率。

图10 康西特莱作图法：（a ）真实的应力-应变曲线没有过原点的切线 ——无颈缩或冷拉过程；（b ）有一条过原点的切线——有颈缩而无冷拉过程；（c ）有两条过原点的切线——有颈缩和冷拉过程。

在真实的应力-应变曲线假设的许多可能形状中，考虑图10所示的向上凹、向下凹和S 形这三种情况。