2021年1月普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(八省联考)
2021年1月(八省联考)数学试题
2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知,M N 均为R 的子集，且RM N ⊆，则()M N ⋃=R （ ）A ．∅B ．MC ．ND ．R2．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．233．关于x 的方程20x ax b ++=，有下列四个命题：甲：1x =是该方程的根；乙：3x =是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F 、2F ，上顶点为A ，若123F AF π∠=，则m =（ ）A ．1B C D ．25．已知单位向量,a b 满足0a b ⋅=，若向量72c a b =+，则sin ,a c 〈〉=（ ）A B ．3C D ．96．()()()239111x x x ++++++的展开式中2x 的系数是（ ）A ．60B ．80C ．84D ．1207．已知抛物线22y px =上三点(2,2),,A B C ，直线,AB AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为（ ） A ．210x y ++= B ．3640x y ++= C ．2630x y ++= D ．320x y ++=8．已知5a <且5e 5e ,4a a b =<且44,3b be e c =<且3e 3e c c =，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．a b c <<二、多选题9．已知函数()ln(1)f x x x =+，则（ ） A ．()f x 在(0,)+∞单调递增 B ．()f x 有两个零点C ．曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2-- D ．()f x 是偶函数 10．设123,,z z z 为复数，10z ≠．下列命题中正确的是（ ）A ．若23z z =，则23z z =±B ．若1213z z z z =，则23z z =C ．若23z z =，则1213z z z z =D ．若2121z z z =，则12z z =11．下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）A ．//AE CDB ．//CH BEC ．DG BH ⊥D ．BG DE ⊥12．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减三、填空题13．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______．14．写出一个最小正周期为2的奇函数()f x =________．15．对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差2~0,n N n ε⎛⎫⎪⎝⎭，为使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若()2~,X N μσ，则(||2)0.9545)P X μσ-<=）．四、双空题16．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．五、解答题17．已知各项都为正数的数列{}n a 满足2123n n n a a a ++=+． （1）证明：数列{}1n n a a ++为等比数列； （2）若1213,22a a ==，求{}n a 的通项公式． 18．在四边形ABCD 中，//AB CD ，1AD CD BD ===． （1）若32AB =，求BC ； （2）若2AB BC =，求cos BDC ∠．19．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X ，求X 的分布列及数学期望． 20．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2=，证明：这类多面体的总曲率是常数．21．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF AF ⊥时，||||AF BF =．（1）求C 的离心率；（2）若B 在第一象限，证明：2BFA BAF ∠=∠． 22．已知函数()e sin cos ,()e sin cos x x f x x x g x x x =--=++．（1）证明：当54x π>-时，()0f x ； （2）若()2g x ax +，求a ．参考答案1．B 【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出Venn 图，结合Venn 图即可确定集合的运算结果. 【详解】 解法一：RM N ⊆,RM N ∴⊇，据此可得()RMN M ∴=.故选：B.解法二：如图所示，设矩形ABCD 表示全集R ，矩形区域ABHE 表示集合M ，则矩形区域CDEH 表示集合RM ，矩形区域CDFG 表示集合N ，满足RM N ⊆，结合图形可得：()RM N M =.故选：B.2．C 【分析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值. 【详解】设三位同学分别为,,A B C ，他们的学号分别为1,2,3，用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如()1,3,2表示A 同学拿到1号，B 同学拿到3号，C 同学拿到2号.三人可能拿到的卡片结果为：()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1，共6种，其中满足题意的结果有()()()1,3,2,2,1,3,3,2,1，共3种， 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：3162p ==. 故选：C. 【点睛】 方法点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数． (1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏． (2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 3．A 【分析】对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程20x ax b ++=的两根，进而可得出结论. 【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的一根为3， 由于两根之和为2，则该方程的另一根为1-，两根异号，合乎题意； 若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则1x =是方程20x ax b ++=的一根， 由于两根之和为2，则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的两根为1和3，两根同号，不合乎题意；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的两根为1和3， 两根之和为4，不合乎题意. 综上所述，甲命题为假命题. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断. 4．C【分析】分析出12F AF 为等边三角形，可得出2a c =，进而可得出关于m 的等式，即可解得m 的值. 【详解】在椭圆()2222101x y m m m+=>+中，a =，b m =，1c ==，如下图所示：因为椭圆()2222101x y m m m+=>+的上顶点为点A ，焦点为1F 、2F ，所以12AF AF a ==，123F AF π∠=，12F AF ∴△为等边三角形，则112AF F F =，即22a c ===，因此，m . 故选：C. 5．B 【分析】本题借助cos ,a c a c a c⋅〈〉=⋅将72c a b =+代入化简即可.【详解】因为,a b 是单位向量，所以1a b ==. 因为72c a b =+，所以()2227272723c a b a ba b =+=+=+=.所以()2727277cos ,=3a ab ac a a ba c a ca ca cc⋅+⋅+⋅〈〉====⋅⋅⋅ 所以sin ,13a c ⎛〈〉=-= .故选：B. 6．D 【分析】()()()239111x x x ++++++的展开式中2x 的系数是22222349C C C C ++++，借助组合公式：11m m mnn n C C C -++=，逐一计算即可.【详解】()()()239111x x x ++++++的展开式中2x 的系数是22222349C C C C ++++因为11m m m nn n C C C -++=且2323C C =，所以2232323334C C C C C +=+=，所以222233234445C C C C C C ++=+=，以此类推，2222323234999101098120321C C C C C C C ⨯⨯++++=+===⨯⨯.故选：D. 【点睛】本题关键点在于使用组合公式：11m m m n n n C C C -++=，以达到简化运算的作用.7．B 【分析】先利用点(2,2)A 求抛物线方程，利用相切关系求切线AB ，AC ，再分别联立直线和抛物线求出点,B C ，即求出直线BC 方程. 【详解】(2,2)A 在抛物线22y px =上，故2222p =⨯，即1p =，抛物线方程为22y x =，设过点(2,2)A 与圆22(2)1x y -+=相切的直线的方程为：()22y k x -=-，即220kx y k -+-=，则圆心()2,0到切线的距离1d ==，解得k =如图，直线):22AB y x -=-，直线):22AC y x -=-.联立)2222y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()2314160x x ++-=，故A B x x =，由2A x =得B x =，故B y =联立)2222y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()2314160x x -++=，故163A C x x +=，由2A x =得83C x +=，故63C y -=，故66433B C y y -+=+=-，又由,B C 在抛物线上可知， 直线BC 的斜率为22221114222B C B C BC B C B C B C y y y y k x x y y y y --=====--+-- ，故直线BC的方程为12y x ⎛=- ⎝⎭，即3640x y ++=. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求圆的切线的方程的求法：（1）几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方程；（2）代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程. 8．D 【分析】令(),0xe f x x x=>，利用导数研究其单调性后可得,,a b c 的大小.【详解】 因为5e 5e ,5aa a =<，故0a >，同理0,0bc >>，令(),0xe f x x x =>，则()()21x e x f x x-'=， 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>， 故()f x 在()0,1为减函数，在()1,+∞为增函数，因为5e 5e ,5aa a =<，故5e e 5aa=，即()()5f f a =，而05a <<，故01a <<，同理01b <<，01c <<，()()4f f b =，()()3f f c = 因为()()()543f f f >>，故()()()f a f b f c >>， 所以01a b c <<<<. 故选：D ． 【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键． 9．AC 【分析】根据函数的定义域可判断D ，利用函数的导数的正负可判断A ，利用导数的几何意义可判断C ，根据函数值的情况及零点定义可判断B. 【详解】由()ln(1)f x x x =+知函数的定义域为(1,)-+∞，)ln(1)1(x x f xx =+'++， 当(0,)x ∈+∞时，ln(1)0,01xx x+>>+，()0f x '∴>， 故()f x 在(0,)+∞单调递增，A 正确；由(0)0f =，当10x -<<时，ln(1)0,()ln(1)0x f x x x +<=+>， 当ln(1)0,()0x f x +>>，所以()f x 只有0一个零点，B 错误；令12x =-，1)ln 1ln 2121(2f =-=---'，故曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2--，C 正确；由函数的定义域为(1,)-+∞，不关于原点对称知，()f x 不是偶函数，D 错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题. 10．BC 【分析】取特殊值法可判断AD 错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC. 【详解】由复数模的概念可知，23z z =不能得到23z z =±，例如23,11i i z z =+=-，A 错误；由1213z z z z =可得123()0z z z -=，因为10z ≠，所以230z z -=，即23z z =，B 正确； 因为2121||||z z z z =，1313||||z z z z =，而23z z =，所以232||||||z z z ==，所以1213z z z z =，C 正确； 取121,1z i z i =+=-，显然满足2121z z z =，但12z z ≠，D 错误.故选：BC11．BCD 【分析】由平面展开图还原为正方体，根据正方体性质即可求解. 【详解】由正方体的平面展开图还原正方体如图，由图形可知，AE CD ⊥，故A 错误；由//,HE H BC E BC =，四边形BCHE 为平行四边形，所以//CH BE ，故B 正确； 因为,DG HC DG BC ⊥⊥,HC BC C =,所以DG ⊥平面BHC ,所以DG BH ⊥，故C正确；因为//BG AH ，而DE AH ⊥,所以BG DE ⊥，故D 正确. 故选：BCD 12．AD 【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误． 【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos xf x x x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故y ≤≤，当y =时，有1cos 4ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max 15y =，故B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确． 当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，1sin 20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数， 故14sin 20x +=在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭有唯一解0x ， 故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用． 13．61π【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的体积公式即可求得其体积. 【详解】圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O ，圆台上底面的圆心为'O ，则圆台的高'3OO ===， 据此可得圆台的体积：()22135544613V ππ=⨯⨯+⨯+=. 故答案为：61π. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆台与球的切接问题，解题的关键在于确定下底面与球的关系，然后利用几何关系确定圆台的高度即可求得其体积. 14．()sin f x x π= 【分析】根据奇函数性质可考虑正弦型函数()sin f x A x ω=，()0A ≠，再利用周期计算ω，选择一个作答即可. 【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数()sin f x A x ω=，()0A ≠， 满足()sin ()f x x f x ω-=-=-，即是奇函数； 根据最小正周期22T πω==，可得ωπ=.故函数可以是()sin f x A x π=()0A ≠中任一个，可取()sin f x x π=. 故答案为：()sin f x x π=. 15．32 【分析】因为2~0,n N n ε⎛⎫ ⎪⎝⎭，得到0μ=，σ=要使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545， 则()()2,20.5,0.5μσμσ-+⊂-，得到不等式计算即可. 【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545，则()()2,20.5,0.5μσμσ-+⊂-且0μ=，σ=所以0.532n ≥⇒≥. 故答案为：32. 【点睛】本题是对正态分布的考查，关键点在于能从2~0,n N n ε⎛⎫⎪⎝⎭读出所需信息. 16．133- 【分析】先设对角线所在直线的倾斜角θ，利用斜率定义列关系tan 2θ=，结合正方形性质求得直线OA 与直线OB 的倾斜角，计算正切值求斜率即可. 【详解】正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系，设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 2θ=，由正方形性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OB 的倾斜角为45θ+︒，故()tan tan 45211tan 451tan tan 45123OA k θθθ-︒-=-︒===+︒+，()tan tan 4521tan 4531tan tan 4512OB k θθθ+︒+=+︒===--︒-.故答案为：13；3-.【点睛】 方法点睛： 求直线斜率的方法：（1）定义式：倾斜角为θ，对应斜率为tan θk；（2）两点式：已知两点坐标()()1122,,,A x y B x y ，则过两点的直线的斜率2121AB y y k x x -=-.17．（1）证明见解析；（2）132n n a -=（n +∈N ）【分析】（1）两边同时加上1n a +即可得到数列{}1n n a a ++为等比数列；（2）利用待定系数法构造()21133n n n n a a k a a +++-=-，通过整理解出1k =-，进而得到()21133n n n n a a a a +++-=--，所以{}n a 是以112a =为首项，3为公比的等比数列，即可得到答案. 【详解】（1）由2123n n n a a a ++=+可得：()2111333n n n n n n a a a a a a +++++=+=+ 因为各项都为正数，所以120a a +>，所以{}1n n a a ++是公比为3的等比数列.（2）构造()21133n n n n a a k a a +++-=-，整理得：()2133n n n a k a ka ++=+- 所以1k =-，即()21133n n n n a a a a +++-=-- 所以11303n n n n a a a a ++-=⇒=，所以{}n a 是以112a =为首项，3为公比的等比数列. 所以132n n a -=（n +∈N ）【点睛】本题关键点在于第（2）问中的待定构造，能够根据特征，构造出()21133n n n n a a k a a +++-=-是关键.18．（1）BC ；（2）cos 1BDC ∠=.【分析】（1）利用余弦定理计算得出cos ABD ∠，进而可得出cos BDC ∠，然后在BCD △中，利用余弦定理可计算出BC ；（2）设BC x =，利用余弦定理结合BDC ABD ∠=∠可得出关于x 的方程，进而可解得x 的值，即可求得cos BDC ∠. 【详解】（1）在ABD △中，由余弦定理可得2223cos 24AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，//CD AB ，BDC ABD ∴∠=∠，在BCD △中，由余弦定理可得22212cos 2BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=，BC =； （2）设BC x =，则2AB x =，在ABD △中，22224cos 24AB BD AD x ABD x AB BD x +-∠===⋅，在BCD △中，22222cos 22BD CD BC x BDC BD CD +--∠==⋅， 由（1）可知，BDC ABD ∠=∠，所以，cos cos BDC ABD ∠=∠，即222x x -=，整理可得2220x x +-=，因为0x >，解得1x =，因此，cos cos 1BDC ABD x ∠=∠==. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 19．(1)0.28；(2)分布列见解析，()0.6E X =. 【分析】(1)由题意利用对立事件概率公式即可求得满足题意的概率值；(2)首先确定X 可能的取值，然后分别求解其概率值，最后确定其分布列并求解数学期望即可. 【详解】(1)设部件1需要调整为事件A ，部件2需要调整为事件B ，部件3需要调整为事件C ， 由题意可知：()()()0.1,0.2,0.3P A P B P C ===. 部件1，2中至少有1个需要调整的概率为：()()11110.90.810.720.28P A P B ⎡⎤⎡⎤---=-⨯=-=⎣⎦⎣⎦.(2)由题意可知X 的取值为0，1,2,3.且：()()()()0111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==---⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()10.110.210.3=-⨯-⨯-0.504=，()()()()111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤==--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦0.10.80.7=⨯⨯0.90.20.7+⨯⨯0.90.80.3+⨯⨯ 0.398=，()()()()21P X P A P B P C ⎡⎤==-⎣⎦()()()1P A P B P C ⎡⎤+-⎣⎦()()()1P A P C P B ⎡⎤+-⎣⎦0.10.20.7=⨯⨯0.10.80.3+⨯⨯0.90.20.3+⨯⨯ 0.092=.()()()()30.10.20.30.006P X P A P B P C ===⨯⨯=，故X 的分布列为：其数学期望：()0.50400.39810.09220.00630.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 思路点晴：求离散型随机变量X 的数学期望的一般步骤：（1）先分析X 的可取值，根据可取值求解出对应的概率； （2）根据（1）中概率值，得到X 的分布列；（3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出X 的数学期望. 20．（1）4π；（2）证明见解析. 【分析】（1）四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，写出多边形表面的所有内角即可.（2）设顶点数、棱数、面数分别为n 、l 、m ，设第i 个面的棱数为i x ，所以122m x x x l +++=，按照公式计算总曲率即可. 【详解】（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形. 所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成， 则其总曲率为：()25424ππππ⨯-+=.（2）设顶点数、棱数、面数分别为n 、l 、m ，所以有2n l m -+= 设第i 个面的棱数为i x ，所以122m x x x l +++=所以总曲率为：()()()122222m n x x x ππ--+-++-⎡⎤⎣⎦()222n l m ππ=-- ()24n l m ππ=-+=所以这类多面体的总曲率是常数. 【点睛】本题考查立体几何的新定义问题，能够正确读懂“曲率”的概率是解决问题的关键． 21．（1）2；（2）见解析. 【分析】（1）根据已知条件可得2b a c a=+，据此可求离心率.（2）设()00,B x y ，则00tan y BFA x c∠=--，00tan y BAF x a ∠=+，再计算tan 2BAF ∠，利用点在双曲线上化简后可得tan 2tan BAF BFA ∠=∠，从而可得结论成立. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c ，则(),0F c ，2,b B c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，因为||||AF BF =，故2b ac a=+，故2220c ac a --=，即220e e --=，故2e =.（2）设()00,B x y ，其中00,0x a y >>. 因为2e =，故2c a =，b =，故渐近线方程为：y =，所以0,3BAF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，20,3BFA π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭， 当00,2x a x a >≠时， 又0000t n 2a y y BFA x c x a ∠=-=---，00tan y BAF x a∠=+， 所以()()()()000002222220000020222tan 121y y x a y x a x a BAF x x a y y x a b a x a +++∠===⎛⎫+-⎛⎫+--- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭()()()()()()()0000022222200000022223331y x a y x a y x a x a x x a x a x a a a ++===+--⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭02tan y BFA x a=-=∠-，因为故220,3BAF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭， 故BFA ∠2BAF =∠.当02x a =，由（1）可得,24BFA FAB ππ∠=∠=，故BFA ∠2BAF =∠.综上，BFA ∠2BAF =∠. 【点睛】方法点睛：（1）圆锥曲线中离心率的计算，关键是找到,,a b c 一组等量关系（齐次式）. （2）圆锥曲线中与有角有关的计算，注意通过动点的坐标来刻画角的大小，还要注意结合点在曲线上满足的方程化简目标代数式. 22．(1)证明见解析；(2)2a =. 【分析】(1)由题意分类讨论当45,4x ππ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，[)0,x ∈+∞，几种情况即可证得题中的结论.(2)观察(1)中的结论，首先讨论54x π>-时a 的取值，然后验证当54x π-时不等式成立即可求得实数a 的值. 【详解】 (1)分类讨论：①.当45,4x ππ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，()04x f x e x π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭；②.当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()cos sin ,00x f x e x x f ''=-+=， ()sin cos 04x x f x e x x e x π⎛⎫''=++=++> ⎪⎝⎭，则函数()f x '在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调增，则()()00f x f ''<=， 则函数()f x 在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调减，则()()00f x f >=； ③.当0x =时，由函数的解析式可知()01010f =--=，当[)0,x ∈+∞时，令()()sin 0H x x x x =-+≥，则()'cos 10H x x =-+≥， 故函数()H x 在区间[)0,+∞上单调递增，从而：()()00H x H ≥=， 即sin 0,sin x x x x -+≥-≥-，从而函数()sin cos 1xxf x e x x e x =--≥--，令1x y e x =--，则：1xy e '=-，当0x ≥时，0y '≥，故1xy e x =--在[)0,+∞单调递增，故函数的最小值为0min 010y e =--=，从而：10x e x --≥.从而函数()sin cos 10xxf x e x x e x =--≥--≥；综上可得，题中的结论成立. (2) 当54x π>-时， 令()()2sin cos 2xh x g x ax e x x ax =--=++--﹐则()cos sin xh x e x x a '=+--， ()()0h x f x ''=>，故()h x '单调递增，当 2a >时，()020h a '=-<，()()()ln 22ln 204h a a π⎡⎤'+=+->⎢⎥⎣⎦，()()10,ln 2x a ∃∈+使得()10h x '=，当10x x <<时，()()0,h x h x '<单调递减，()()00h x h <=不符合题意; 当2a <时，()00h '>， 若在5,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭上，总有()0h x '≥（不恒为零）， 则()h x 在5,4π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，但()00h =， 故当5,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x <，不合题意． 故在5,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭上，()0h x '<有解， 故25,04x π⎛∃∈⎫-⎪⎝⎭，使得()20h x '=， 且当20x x <<时，()()0,h x h x '>单调递增， 故当()2,0x x ∈时，()(0)0h x h <=，不符合题意;故2a <不符合题意，当a =2时，()cos sin 2xh x e x x '=+--，由于()h x '单调递增，()00h '=，故：504x π-<<时，()()0,h x h x '<单调递减; 0x >时，()()0,h x h x '>单调递增，此时()()00h x h ≥=﹔当54x π-时，()5sin cos 220202xh x e x x x π=++--≥->， 综上可得，a =2. 【点睛】对于利用导数研究不等式问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求岀最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.。
2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(八省联考)数学试题考后仿真系列卷八(解析版)
2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题考后仿真系列卷八注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|ln(1)}M x y x ==+.{}|xN y y e ==，则MN =（ ）A. (1,0)-B. (1,)-+∞C. (0,)+∞D. R【答案】C【解析】{|ln(1)}(1,)M x y x ==+=-+∞，{}|(0,)xN y y e ===+∞，(0,)MN ∴=+∞,故选：C.【点睛】本题考查了集合的运算，涉及到函数的定义域与值域，属于基础题. 2.已知是i 虚数单位，z 是z 的共轭复数，若1i(1i)1i z -+=+，则z 的虚部为（ ） A.12B. 12-C. 1i 2D. 1i 2-【答案】A【解析】由题意可得：()2111111222221ii z i i i i --===-=--+， 则1122z i =-+，据此可得，z 的虚部为12.故选：A.【点睛】本题考查了复数的概念及其运算，属于基础题.3.已知0.42x =，2lg 5y =，0.425z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A .x y z << B. y z x << C. z y x << D. z x y <<【答案】B【解析】0.4221x =>=，2lg lg105y =<=，0.421525z ⎛⎫<= ⎪⎝⎫⎭⎭⎛=⎪⎝，又0z >，即01z <<.因此，y z x <<, 故选：B.【点睛】本题考查了利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值法来比较，属于基础题.4.设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，若21a =，1016a =，且66a b =，则11S =（ ） A. 20 B. 30C. 44D. 88【答案】C 【解析】{}n a 为等比数列，2621016a a a ∴=⋅=又4620aa q =⋅>，∴664b a ==，又{}n b 为等差数列， ∴1111161111442a a S a +=⨯==.故选：C. 【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，属于基础题.5.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（ ） A. 0.05 B. 0.1C. 0.15D. 0.2【答案】B【解析】1(80120)(80)(120)0.12P X P X P X -<<≤=≥== ,故选:B.【点睛】本题考查了正态分布,属于基础题. 6.矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，则AE EC ⋅=（ ）A.1225B.2425 C. 125D.45【答案】D【解析】建立如图所示直角坐标系：则(0,1),(0,0),(2,0),(2,1)A B C D ，设(,)E x y 所以()(,1),(,),2,1AE x y BE x y BD =-==AE BD ⊥且//BE BD21020x y x y +-=⎧∴⎨-=⎩，解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,481(,),,5212(,),55555AE EC E ⎛⎫=-=-∴⎪⎝⎭， 8414+552555AE EC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⨯⎭⎝⎭.故选：D【点睛】本题考查了向量平行、垂直以及向量数量积的坐标表示，对于规则图形的向量运算可以通过建系进行坐标运算比较简便，属于基础题. 7.已知()1f x +是偶函数且在[)0,+∞上是单调递增，且满足()20f =，则不等式()210f x -≥的解集是（ ）A. (][),01,-∞⋃+∞B. 13,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】B【解析】由()1y f x =+向右平移1个单位得()y f x =，则由已知可得：()y f x =关于直线1x =对称，且在[)1,+∞上递增，在(),1-∞上递减. 所以()()020f f ==当211x -≥时()()2102f x f -≥=，212x ∴-≥，由此可得32x ≥； 当211x -<时()()2100f x f -≥=，210x ∴-≤，由此可得12x ≤.综上：x 的取值范围是13,,22x ⎛⎤⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故选：B 【点睛】本题考查了抽象函数不等式，要根据区间单调性不同分情况求解，考查了分类讨论思想，属于中档题.8.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C ABCD 外接球表面积为（ ）A.6B.6C. 7πD. 19π【答案】C【解析】根据题意可知三棱锥B ACD -的三条侧棱,BD AD DC DA ⊥⊥，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面BDC ∆，1,BD CD BC ===,120BDC ︒∴∠=，BDC ∴∆的外接圆的半径为112sin120︒⨯=，由题意可得：球心到底面的距离为2.∴球的半径为r ==外接球的表面积为：274474S r πππ==⋅=. 故选：C. 【点晴】本题考查了考查空间几何体外接球的表面积,考查了空间想象能力与运算能力,属于中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（ ）A ．“p q ∧”是真命题是“p q ∨”为真命题的必要不充分条件B ．命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”C ．若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真D ．在ABC 中，cos cos B A >是A B >的充要条件 【答案】BCD【解析】对于A ，由“p q ∧”是真命题，则“p q ∨”一定为真命题，“p q ∨”是真命题，则“p q ∧”不一定为真命题，所以不正确；对于B ，由命题“x ∀∈R ，cos 1≤x ”的否定是“0x ∃∈R ，0cos 1x >”，所以正确； 对于C ，由一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，同真假，所以正确；对于D ，因为(),0,πA B ∈，函数cos y x =在()0,πx ∈时单调递减，所以cos cos B A B A >⇔<，所以正确，故选:BCD 。
八省联考数学2021高清真题试卷及答案
2021年普通高等学校招生全国统考试模拟演练数学注重事碰，1. 符卷的，考生务0将自己的姓名、考生号,号为号、窿位号填写在答题卡上•2. 回答选择是时，选出每小原符案后，用对笔把答国卡上对底駐日的答案転*5潦 BL M 需改动，用橡皮擦干冷后•可选泠其他答案标0・冋将答蔓与在 啓慝卡上.可在本試馨上无效.3. 考技结熨后.将本IA 卷K 答题卡•并交回•-• iK»K ：本HR8小18・毎小題5分，共40分・在何小赃始出的EI 个迭项中，只 有一項曇符合14目要来的.1.已知M.N 均为R 的子集，JlC B M C A r . «WU(C B X) =A 02.在3我*片上分割写上3位冋学的学号后.再把卡片随机分結这3位同学，毎人1米.IH 恰有I 位学生分到写有13己学号F 片的嘅彳为3.关于x 的方程/♦arM = 0・有卜F 囚个命爲乙：X-3J4A 方检的根;r ：该方《?两娘弁号.如果只。
一个假念题，则该兪题是c.6・•♦(!♦«)*的臟开式中/的系敌是IS 孕试电劣I 页＜A4^)C. ND. RA.B.C. D.甲，x = ltei«方"的根; 丙：■方程两根Z 和为2：C.丙 A.甲 B.乙 4. Iffllfl f-4.4»l(^>0)的無点为写• f .上頂点为若/£?・：, PJ«t» FW ♦ I ••A. IB. 41C.由D. 2 若向J5*,Msin <#•«>«A. 60B. 80C. &D 1207.已-2pr 2). B. C ・ KttAB. AC 6B(r ”•尸・1的做条切线.uoftaac 的方程为A. J ♦ 2y ♦ 1»0 B ・ 3x*6y*4 = 08. 已知北5且aeW.8<4且任、4€七c 〈3flaJJcL >JA. c<b<aB. b<c<a C ・ «<c<& D ・ a<b<c二.»»H.本題共4小晚.毎小鏡5分.ft2O».在每小It 给出的迭顷中，有多项符合題目要求.全部选别的得S 分.部分it 对的得2分，有选II 的偽。
2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(八省联考)数学试题考后仿真系列卷三(解析版)
2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题考后仿真系列卷三注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是（ ）A ．A C φ⋂=B ．AC C = C ．B C B =D ．A B C =【答案】C【解析】由题设，{0,2,4}C =，则B C ⊆，故B C B =，故选:C ．【点睛】本题考查了集合的运算,属于基础题.2.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布2(105,)(0)N σσ>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ） A ．150 B ．200C ．300D ．400【答案】C【解析】∵()()1901205P X P X ≤=≥=，()2390120155P X ≤≤=-=， 所以()39010510P X ≤≤=， 所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为3100030010⨯=．故选:C ． 【点睛】本题考查了正态分布,属于基础题.3.给出关于双曲线的三个命题：①双曲线22194y x -=的渐近线方程是23y x =±； ②若点()2,3在焦距为4的双曲线22221x y a b-=上，则此双曲线的离心率2e =；③若点F 、B 分别是双曲线22221x y a b-=的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段FB 的中点一定不在此双曲线的渐近线上.其中正确的命题的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】对于①：双曲线22194y x -=的渐近线方程是32y x =±，故①错误；对于②：双曲线的焦点为()()2,0,2,0-，22,1a a ===，从而离心率2ce a==，所以②正确； 对于③：()(),0,0,,F c B b FB ±±的中点坐标,22c b ⎛⎫±± ⎪⎝⎭均不满足渐近线方程，所以③正确；故选:C. 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程、离心率，属于基础题.4.记77017(2)(1)(1)x a a x a x -=+++⋯⋯++，则0126a a a a +++⋯⋯+的值为（ ）A. 1B. 2C. 129D. 2188【答案】C【解析】727017(2)(1)(1)x a a x a x -=+++++中，令0x =，得70172128a a a =+++=.∵77(2)[3(1)]x x -=-+展开式中707773(1)1a C =-=-∴0167128129a a a a +++=-=,故选：C .【点睛】本题考查了二项式通项与展开式的应用,利用二项展开式的通项求指定项的系数以及采用赋值法求 项的系数和,属于基础题.5.已知平面向量m ，n 满足||3m =，(4,3)n =-，且m ，n 之间的夹角为60°，则|2|-=m n （ ）A. 109B. 89C. 79D. 139【答案】C【解析】依题意，22115||||cos6034(3)22m n m n ⋅=⋅⋅︒=⨯+-⨯=， 则2215|2|4494100792m n m m n n -=-⋅+=-⨯+=，故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积的应用，属于基础题. 6.函数()sin 2x xy e ex -=-的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】()()sin 2x x y f x e e x -==-其定义域为R()()()()sin 2sin 2x x x x f x e e x e e x f x ---=--=-=-根据奇函数性质()()f x f x -=-可得，()sin 2xxy e ex -=-是奇函数故排除B ，C.当6x π=，66666663sin 2si 326n f e e e e e e πππππππππ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=-=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据指数函数xy e =是单调增函数，可得66e eππ->∴660632f e e πππ-⎛⎫⎛⎫=-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2x π=，2222222sin 2sin 002f e e e e e e πππππππππ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=-=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故只有A 符合题意,故选：A.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象问题，解题关键是掌握函数奇偶性的定义和图象特征，及其特殊值法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.7.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12AA AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外接球体积为（ ）A. 22πB.823C.142D. 42π【答案】B【解析】依题意可知BC ⊥平面11ACC A .设,AC a BC b==，则2224a b AB +==.111111323B A ACC V AC AA BC AC BC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯22114232323AC BC +≤⨯=⨯=，当且仅当2AC BC ==时取得最大值.依题意可知1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B ，故半径221111222OB A B AA AB ==⨯+=.所以外接球的体积为()34π82π23⋅=. 特别说明：由于BC ⊥平面11ACC A ，1111,,A BC A BA A BB ∆∆∆是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B 为定值，即无论阳马11B A ACC -体积是否取得最大值，堑堵111ABC A B C -外接球保持不变，所以可以直接由直径1A B 的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.故选：B【点睛】本题考查了几何体外接球的体积的求法，以及四棱锥体积最大值的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查中国古代数学文化，属于中档题.8.已知函数()2log ,02sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足()()()123f x f x f x ==()4f x =，其中1234x x x x <<<，则1234x x x x 的取值的范围是（ ）A. ()40,64B. ()40,48C. ()20,32D. ()20,36【答案】C【解析】函数()f x 的图象如图所示.设()()()()1234f x f x f x f x t ====，则01t <<.()10,1x ∈，()22122121,2log log 1x x x x x ∈⇒-=⇒=.点()3,x t ，()4,x t ，关于直线6x =对称，所以4312x x =-.而()32,4x ∈，所以()()()2343331236620,32x x x x x =-=--∈，故()12343420,32x x x x x x =∈，故选：C.【点睛】本题考查了分段函数的图象、对数函数、三角函数的性质的应用以及二次函数的性质，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论不正确的是（ ） A ．z 的虚部为i -B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数【答案】ABC【解析】对于选项A ，复数()()()2121111i z i i i i -===-++-， 可得z 的虚部为1-，所以A 错误；对于选项B ，由112z +B 错误；对于选项C ，由共轭复数的概念，可得1z i =+，所以C 错误；对于选项D ，由()2212z i i =-=-，可得2z 为纯虚数，所以D 正确，故选：ABC【点睛】本题考查了复数的基本概念，以及复数的四则运算的应用，考查了推理与计算能力，属于基础题. 10.对于函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ，叙述正确是（ ） A. 图象C 关于直线11π12x =对称 B. 函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数 C. 由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C D. 图象C 关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】AB【解析】对于选项A ，将11π12x =代入函数中得，11113()3sin(2)3sin 3121232f ππππ=⨯-==-，所以直线 11π12x =是图像C 的一条对称轴，故A 正确； 对于选项B ，由22k ππ-+≤π23x -≤22k ππ+，得12k ππ-+≤x ≤512k ππ+()k ∈Z ，所以函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数是,故B 正确的； 对于选项C ，由于()π3sin 23sin 236f x x x π⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像是由3sin 2y x =的图像向右平移π6个单位长度可以得到，故C 错误；对于选项D ，当π3x =时，ππππ3sin 23sin 033332f ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以图像C 不关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故D 错误；故选：AB【点睛】此题考查了正弦函数的图像与性质以及正弦函数的图像平移变换规律，属于基础题. 11.下列说法正确的是（ ）A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍；B. 若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为14； C. 线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； D. 设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率为23. 【答案】BD【解析】对于选项A,设一组数据为X ,则每个数据都乘以同一个非零常数a 后,可得Y aX =， 则()()()2D Y D aX a D X ==，所以方差也变为原来的2a 倍，故A 错误.对于选项B,从中任取3条有4中取法,其中能构成三角形的只有3,5,7一种，故这3条线段能够成三角形的概率为14，故B 正确. 对于选项C, 由1r →，两个变量的线性相关性越强，0r →，两个变量的线性相关性越弱，故C 错误.对于选项D,根据题意可得()()19P A P B ⋅=, ()()()()P A P B P A P B ⋅=⋅ 设()(),P A x P B y ==则()()()()111911x y x y y x ⎧--=⎪⎨⎪-⋅=-⋅⎩，得119x y xy x y ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，即21219x x -+=解得23x =或43（舍）所以事件A 发生的概率为23，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题考查了命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于中档题. 12. 已知0a >，22()x x m x e e --=-，()()sin f x am x x π=-，若()f x 存在唯一零点，下列说法正确的有（ ）A. ()m x 在R 上递增B. ()m x 图象关于点()2,0中心对称C. 任取不相等的实数12,x x R ∈，均有()()121222m x m x x x m ++⎛⎫< ⎪⎝⎭D. 2a π≥【答案】ABD【解析】对于选项A,由22'()0x x m x ee --=+>知()m x 在R 上递增，故A 正确；对于选项B,2222()(4)0x x x x m x m x ee e e ----+-=-+-=，故()m x 图象关于点()2,0中心对称，故B 正确； 对于选项C,由22''()x x m x ee --=-，当2x >时，''()0m x >，'()m x 递增，()m x 图象下凸，此时()()121222m x m x x x m ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，故C 错误﹔对于选项D,()22()sin x x f ex a e x π--=--，注意到()()22f x f x -=-+，故()f x 的图象关于点()2,0中心对称，而()20f =，则()f x 在R 上有唯一零点等价于()f x 在()2,+∞无零点，()22co ')s (x x f a e x x e ππ--=+-，当2a π≥时，因为222x x e e --+≥，则2cos 2'(0)a x f x a πππ-≥-≥≥，于是()f x 在()2,+∞递增，于是当()2,x ∈+∞时，()()20f x f >=，满足题意﹔当2a π<时，()'220f a π=-<，由连续函数的性质可知，一定存在02x >，使得()02,x x ∈时'()0f x <，则()f x 在()02,x 单调递减，于是()02,x x ∈时()()20f x f <=，而2a π<时，2aπ>，24a ππ<，2ln2aπ+>，ln ln 2ln sin 2ln a a e f a e a a ππππππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin ln a a a a ππππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21104a ππππ≥-->-->，由零点存在定理，在区间2,2lna π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上()f x 一定还存在零点，与已知矛盾. 故2a π≥.故B 正确,故选：ABD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断选项D 的真假，需要利用导数分析函数的单调性，再结合零点存在性定理和函数图象的对称性得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________． 【答案】2π【解析】因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，所以圆锥底面圆的半径1r =，母线长2l =，所以圆锥的侧面积为2rl ππ=。
2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考八省名校冲刺大联考-数学试题(含答案)
4, DE_lAB, 垂足为E,F 是DE 中点，则
DB =
()
A.
— 1 2
B.
— 3 2
C.— 23
D.1
8.巳知 函数f(x)
=产 kx2
(
1
-;:-
+lnx),若
函数f
(
x
)
有三个极值
点，则实数K的取值范围为
（
）
数学试题卷 笫1页（共4页）
A.[4e,2e勹UC2e2,+=) C.(4e,2e勹U(2e2, 十=)
O
x
B
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E F G! - #$ +(#. +%#+*$ #+*. +(J *
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2021年1月八省联考高考模拟数学卷试题精编(答案详解)
2021年1月八省联考高考模拟数学卷精编一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知,M N 均为R 子集，且RM N ⊆，则()M N ⋃=R （ ）A. ∅B. MC. ND. R【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出Venn 图，结合Venn 图即可确定集合的运算结果. 【详解】解法一：RM N ⊆,RM N ∴⊇，据此可得()RMN M ∴=.故选：B.解法二：如图所示，设矩形ABCD 表示全集R ，矩形区域ABHE 表示集合M ，则矩形区域CDEH 表示集合RM ，矩形区域CDFG 表示集合N ，满足RM N ⊆，结合图形可得：()RM N M =.故选：B.2. 在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（ ） A.16B.13C.12D.23【答案】C 【解析】的【分析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值. 【详解】设三位同学分别为,,A B C ，他们的学号分别为1,2,3，用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如()1,3,2表示A 同学拿到1号，B 同学拿到3号，C 同学拿到2号. 三人可能拿到的卡片结果为：()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1，共6种， 其中满足题意的结果有()()()1,3,2,2,1,3,3,2,1，共3种， 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：3162p ==. 故选：C.【点睛】方法点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数． (1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏． (2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.3. 关于x 的方程20x ax b ++=，有下列四个命题：甲：1x =是该方程的根；乙：3x =是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A 【解析】 【分析】对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程20x ax b ++=的两根，进而可得出结论. 【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的一根为3， 由于两根之和为2，则该方程的另一根为1-，两根异号，合乎题意； 若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则1x =是方程20x ax b ++=的一根， 由于两根之和为2，则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的两根为1和3，两根同号，不合乎题意； 若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的两根为1和3， 两根之和为4，不合乎题意. 综上所述，甲命题为假命题. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.4. 椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F 、2F ，上顶点为A ，若123F AF π∠=，则m =（ ）A. 1B.C.D. 2【答案】C 【解析】 【分析】分析出12F AF 为等边三角形，可得出2a c =，进而可得出关于m 的等式，即可解得m 的值.【详解】在椭圆()2222101x y m m m+=>+中，a =b m =，1c ==，如下图所示：因为椭圆()2222101x y m m m+=>+的上顶点为点A ，焦点为1F 、2F ，所以12AF AF a ==，123F AF π∠=，12F AF ∴△为等边三角形，则112AF F F =22a c ===，因此，m . 故选：C.5. 已知单位向量,a b 满足0a b ⋅=，若向量72c a b =+，则sin ,a c 〈〉=（ ）A.3B.3 C.D.9【答案】B 【解析】 【分析】本题借助cos ,a c a c a c⋅〈〉=⋅将72c a b =+代入化简即可.【详解】因为,a b 是单位向量，所以1a b ==. 因为72c a b =+，所以()2227272723c a b a ba b =+=+=+=.所以()2727277cos ,=3a ab ac a a ba c a ca ca cc⋅+⋅+⋅〈〉====⋅⋅⋅ 所以sin ,13a c ⎛〈〉=-= .故选：B.6. ()()()239111x x x ++++++的展开式中2x 的系数是（ ）A. 60B. 80C. 84D. 120【答案】D 【解析】 【分析】()()()239111x x x ++++++的展开式中2x 的系数是22222349C C C C ++++，借助组合公式：11m m mn n n C C C -++=，逐一计算即可.【详解】()()()239111x x x ++++++的展开式中2x 的系数是22222349C C C C ++++因为11m m m nn n C C C -++=且2323C C =，所以2232323334C C C C C +=+=，所以222233234445C C C C C C ++=+=，以此类推，2222323234999101098120321C C C C C C C ⨯⨯++++=+===⨯⨯.故选：D.【点睛】本题关键点在于使用组合公式：11m m m nn n C C C -++=，以达到简化运算的作用.7. 已知抛物线22y px =上三点(2,2),,A B C ，直线,AB AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为（ ） A. 210x y ++= B. 3640x y ++= C. 2630x y ++=D. 320x y ++=【答案】B 【解析】 【分析】先利用点(2,2)A 求抛物线方程，利用相切关系求切线AB ，AC ，再分别联立直线和抛物线求出点,B C ，即求出直线BC 方程.【详解】(2,2)A 在抛物线22y px =上，故2222p =⨯，即1p =，抛物线方程为22y x =，设过点(2,2)A 与圆22(2)1x y -+=相切的直线的方程为：()22y k x -=-，即220kx y k -+-=，则圆心()2,0到切线的距离1d ==，解得k =):22AB y x --，直线):22AC y x -=-.联立)2222y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()2314160x x ++-=，故A B x x =，由2A x =得B x =，故B y =联立)2222y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()2314160x x -++=，故163A C x x +=，由2A x =得83C x +=，故63C y -=，故4B C y y +==-，又由,B C 在抛物线上可知，直线BC 的斜率为22221114222B C B C BC B C B C B C y y y y k x x y y y y --=====--+-- ，故直线BC的方程为618323y x ⎛--=-- ⎝⎭，即3640x y ++=. 故选：B.【点睛】方法点睛：求圆的切线的方程的求法：（1）几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方程； （2）代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程. 8. 已知5a <且5e 5e ,4aa b =<且44,3b be e c =<且3e 3e c c =，则（ ）A. c b a <<B. b c a <<C. a c b <<D. a b c <<【答案】D 【解析】 【分析】令(),0xe f x x x=>，利用导数研究其单调性后可得,,a b c 的大小.【详解】因为5e 5e ,5aa a =<，故0a >，同理0,0bc >>，令(),0xe f x x x =>，则()()21x e x f x x-'=， 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>， 故()f x 在()0,1为减函数，在()1,+∞为增函数，因为5e 5e ,5aa a =<，故5e e 5aa=，即()()5f f a =，而05a <<，故01a <<，同理01b <<，01c <<，()()4f f b =，()()3f f c = 因为()()()543f f f >>，故()()()f a f b f c >>， 所以01a b c <<<<. 故选：D ．【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知函数()ln(1)f x x x =+，则（ ） A. ()f x 在(0,)+∞单调递增 B. ()f x 有两个零点C. 曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2-- D. ()f x 是偶函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的定义域可判断D ，利用函数的导数的正负可判断A ，利用导数的几何意义可判断C ，根据函数值的情况及零点定义可判断B.【详解】由()ln(1)f x x x =+知函数的定义域为(1,)-+∞，)ln(1)1(x x f xx =+'++， 当(0,)x ∈+∞时，ln(1)0,01xx x+>>+，()0f x '∴>， 故()f x 在(0,)+∞单调递增，A 正确；由(0)0f =，当10x -<<时，ln(1)0,()ln(1)0x f x x x +<=+>， 当ln(1)0,()0x f x +>>，所以()f x 只有0一个零点，B 错误；令12x =-，1)ln 1ln 2121(2f =-=---'，故曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln2--，C 正确； 由函数定义域为(1,)-+∞，不关于原点对称知，()f x 不是偶函数，D 错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题. 10. 设123,,z z z 为复数，10z ≠．下列命题中正确的是（ ）A. 若23z z =，则23z z =±B. 若1213z z z z =，则23z z = C 若23z z =，则1213z z z z =D. 若2121z z z =，则12z z =【答案】BC 【解析】 【分析】取特殊值法可判断AD 错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC. 【详解】由复数模的概念可知，23z z =不能得到23z z =±，例如23,11i i z z =+=-，A 错误；由1213z z z z =可得123()0z z z -=，因为10z ≠，所以230z z -=，即23z z =，B 正确；因为2121||||z z z z =，1313||||z z z z =，而23z z =，所以232||||||z z z ==，所以1213z z z z =，C 正确； 取121,1z i z i =+=-，显然满足2121z z z =，但12z z ≠，D 错误.故选：BC11. 下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）A. //AE CDB. //CH BEC. DG BH ⊥D. BG DE ⊥【答案】BCD 【解析】 【分析】由平面展开图还原为正方体，根据正方体性质即可求解. 【详解】由正方体的平面展开图还原正方体如图，由图形可知，AE CD ⊥，故A 错误；由//,HE H BC E BC =，四边形BCHE 为平行四边形，所以//CH BE ，故B 正确； 因为,DG HC DG BC ⊥⊥,HCBC C =,所以DG ⊥平面BHC ,所以DG BH ⊥，故C 正确；因为//BG AH ，而DE AH ⊥,所以BG DE ⊥，故D 正确. 故选：BCD 12. 设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A. ()()f x f x π=+B. ()f x 的最大值为12C. ()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D. ()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误．【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos xf x x x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故1515y -≤≤，当15y =时，有1cos ,sin 44ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max y =B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确． 当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，1sin 20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数， 故14sin 20x +=在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭有唯一解0x ， 故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 故选：AD【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______． 【答案】61π 【解析】 【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的体积公式即可求得其体积. 【详解】圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O ，圆台上底面的圆心为'O ，则圆台的高'3OO ===， 据此可得圆台的体积：()22135544613V ππ=⨯⨯+⨯+=. 故答案为：61π.【点睛】关键点点睛：本题考查圆台与球的切接问题，解题的关键在于确定下底面与球的关系，然后利用几何关系确定圆台的高度即可求得其体积.14. 若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____． 【答案】 (1). 13(2). 3- 【解析】 【分析】先设对角线所在直线的倾斜角θ，利用斜率定义列关系tan 2θ=，结合正方形性质求得直线OA 与直线OB 的倾斜角，计算正切值求斜率即可.【详解】正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系，设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 2θ=，由正方形性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OB 的倾斜角为45θ+︒，故()tan tan 45211tan 451tan tan 45123OA k θθθ-︒-=-︒===+︒+，()tan tan 4521tan 4531tan tan 4512OB k θθθ+︒+=+︒===--︒-.故答案为：13；3-.【点睛】方法点睛： 求直线斜率的方法：（1）定义式：倾斜角为θ，对应斜率为tan θk；（2）两点式：已知两点坐标()()1122,,,A x y B x y ，则过两点的直线的斜率2121AB y y k x x -=-.15. 写出一个最小正周期为2的奇函数()f x =________． 【答案】()sin f x x π= 【解析】 【分析】根据奇函数性质可考虑正弦型函数()sin f x A x ω=，()0A ≠，再利用周期计算ω，选择一个作答即可. 【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数()sin f x A x ω=，()0A ≠， 满足()sin ()f x x f x ω-=-=-，即是奇函数； 根据最小正周期22T πω==，可得ωπ=.故函数可以是()sin f x A x π=()0A ≠中任一个，可取()sin f x x π=. 故答案为：()sin f x x π=.16. 对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差2~0,n N nε⎛⎫⎪⎝⎭，为使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若()2~,X N μσ，则(||2)0.9545)P X μσ-<=）．【答案】32 【解析】 【分析】因为2~0,n N n ε⎛⎫ ⎪⎝⎭，得到0μ=，σ=n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545，则()()2,20.5,0.5μσμσ-+⊂-，得到不等式计算即可.【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545， 则()()2,20.5,0.5μσμσ-+⊂-且0μ=，σ=所以0.532n ≥⇒≥. 故答案为：32.【点睛】本题是对正态分布的考查，关键点在于能从2~0,n N n ε⎛⎫⎪⎝⎭读出所需信息. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知各项都为正数数列{}n a 满足2123n n n a a a ++=+．（1）证明：数列{}1n n a a ++为等比数列； （2）若1213,22a a ==，求{}n a 的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）132n n a -=（n +∈N ）【解析】 【分析】（1）两边同时加上1n a +即可得到数列{}1n n a a ++为等比数列；（2）利用待定系数法构造()21133n n n n a a k a a +++-=-，通过整理解出1k =-，进而得到()21133n n n n a a a a +++-=--，所以{}n a 是以112a =为首项，3为公比的等比数列，即可得到答案.【详解】（1）由2123n n n a a a ++=+可得：()2111333n n n n n n a a a a a a +++++=+=+ 因为各项都为正数，所以120a a +>，所以{}1n n a a ++是公比为3的等比数列.（2）构造()21133n n n n a a k a a +++-=-，整理得：()2133n n n a k a ka ++=+- 所以1k =-，即()21133n n n n a a a a +++-=-- 所以11303n n n n a a a a ++-=⇒=，所以{}n a 是以112a =为首项，3为公比的等比数列. 所以132n n a -=（n +∈N ）的【点睛】本题关键点在于第（2）问中的待定构造，能够根据特征，构造出()21133n n n n a a k a a +++-=-是关键. 18. 在四边形ABCD 中，//AB CD ，1AD CD BD ===． （1）若32AB =，求BC ； （2）若2AB BC =，求cos BDC ∠．【答案】（1）BC =；（2）cos 1BDC ∠=.【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算得出cos ABD ∠，进而可得出cos BDC ∠，然后在BCD △中，利用余弦定理可计算出BC ； （2）设BC x =，利用余弦定理结合BDC ABD ∠=∠可得出关于x 的方程，进而可解得x 的值，即可求得cos BDC ∠.【详解】（1）在ABD △中，由余弦定理可得2223cos 24AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，//CD AB ，BDC ABD ∴∠=∠，在BCD △中，由余弦定理可得22212cos 2BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=，BC =；（2）设BC x =，则2AB x =，在ABD △中，22224cos 24AB BD AD x ABD x AB BD x +-∠===⋅，在BCD △中，22222cos 22BD CD BC x BDC BD CD +--∠==⋅， 由（1）可知，BDC ABD ∠=∠，所以，cos cos BDC ABD ∠=∠，即222x x -=，整理可得2220x x +-=，因为0x >，解得1x =，因此，cos cos 1BDC ABD x ∠=∠==.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.19. 一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X ，求X 的分布列及数学期望． 【答案】(1)0.28；(2)分布列见解析，()0.6E X =. 【解析】 【分析】(1)由题意利用对立事件概率公式即可求得满足题意的概率值；(2)首先确定X 可能的取值，然后分别求解其概率值，最后确定其分布列并求解数学期望即可. 【详解】(1)设部件1需要调整为事件A ，部件2需要调整为事件B ，部件3需要调整为事件C ， 由题意可知：()()()0.1,0.2,0.3P A P B P C ===. 部件1，2中至少有1个需要调整的概率为：()()11110.90.810.720.28P A P B ⎡⎤⎡⎤---=-⨯=-=⎣⎦⎣⎦.(2)由题意可知X 的取值为0，1,2,3.且：()()()()0111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==---⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()10.110.210.3=-⨯-⨯-0.504=，()()()()111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤==--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦0.10.80.7=⨯⨯0.90.20.7+⨯⨯0.90.80.3+⨯⨯ 0.398=，()()()()21P X P A P B P C ⎡⎤==-⎣⎦()()()1P A P B P C ⎡⎤+-⎣⎦()()()1P A P C P B ⎡⎤+-⎣⎦0.10.20.7=⨯⨯0.10.80.3+⨯⨯0.90.20.3+⨯⨯ 0.092=.的()()()()30.10.20.30.006P X P A P B P C ===⨯⨯=，故X 的分布列为：其数学期望：()0.50400.39810.09220.00630.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点晴：求离散型随机变量X 的数学期望的一般步骤：（1）先分析X 的可取值，根据可取值求解出对应的概率； （2）根据（1）中概率值，得到X 的分布列；（3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出X 的数学期望.20. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2=，证明：这类多面体的总曲率是常数． 【答案】（1）4π；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，写出多边形表面的所有内角即可.（2）设顶点数、棱数、面数分别为n 、l 、m ，设第i 个面的棱数为i x ，所以122m x x x l +++=，按照公式计算总曲率即可.【详解】（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形. 所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成， 则其总曲率为：()25424ππππ⨯-+=.（2）设顶点数、棱数、面数分别为n 、l 、m ，所以有2n l m -+= 设第i 个面的棱数为i x ，所以122m x x x l +++=所以总曲率为：()()()122222m n x x x ππ--+-++-⎡⎤⎣⎦()222n l m ππ=-- ()24n l m ππ=-+=所以这类多面体的总曲率是常数.【点睛】本题考查立体几何的新定义问题，能够正确读懂“曲率”的概率是解决问题的关键．21. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF AF ⊥时，||||AF BF =． （1）求C 的离心率；（2）若B 在第一象限，证明：2BFA BAF ∠=∠． 【答案】（1）2；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得2b ac a=+，据此可求离心率.（2）设()00,B x y ，则00tan y BFA x c∠=--，00tan y BAF x a ∠=+，再计算tan 2BAF ∠，利用点在双曲线上化简后可得tan 2tan BAF BFA ∠=∠，从而可得结论成立.【详解】（1）设双曲线的半焦距为c ，则(),0F c ，2,b B c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，因为||||AF BF =，故2b ac a=+，故2220c ac a --=，即220e e --=，故2e =.（2）设()00,B x y ，其中00,0x a y >>. 因为2e =，故2c a =，b =，故渐近线方程为：y =，所以0,3BAF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，20,3BFA π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭， 当00,2x a x a >≠时， 又0000t n 2a y y BFA x c x a ∠=-=---，00tan y BAF x a∠=+， 所以()()()()000002222220000020222tan 121y y x a y x a x a BAF x x a y y x a b a x a +++∠===⎛⎫+-⎛⎫+--- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭()()()()()()()0000022222200000022223331y x a y x a y x a x a x x a x a x a a a ++===+--⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭02tan y BFA x a=-=∠-，因为故220,3BAF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭， 故BFA ∠2BAF =∠.当02x a =，由（1）可得,24BFA FAB ππ∠=∠=，故BFA ∠2BAF =∠.综上，BFA ∠2BAF =∠.【点睛】方法点睛：（1）圆锥曲线中离心率的计算，关键是找到,,a b c 一组等量关系（齐次式）.（2）圆锥曲线中与有角有关的计算，注意通过动点的坐标来刻画角的大小，还要注意结合点在曲线上满足的方程化简目标代数式.22. 已知函数()e sin cos ,()e sin cos xx f x x x g x x x =--=++．（1）证明：当54x π>-时，()0f x ； （2）若()2g x ax +，求a ． 【答案】(1)证明见解析；(2)2a =. 【解析】 【分析】(1)由题意分类讨论当45,4x ππ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，[)0,x ∈+∞，几种情况即可证得题中的结论. (2)观察(1)中的结论，首先讨论54x π>-时a 的取值，然后验证当54x π-时不等式成立即可求得实数a 的值.【详解】(1)分类讨论：①.当4 5,4x ππ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，()04xf x e x π⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭； ②.当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()cos sin ,00x f x e x x f ''=-+=， ()sin cos 04x x f x e x x e x π⎛⎫''=++=++> ⎪⎝⎭，则函数()f x '在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调增，则()()00f x f ''<=， 则函数()f x 在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调减，则()()00f x f >=； ③.当0x =时，由函数的解析式可知()01010f =--=，当[)0,x ∈+∞时，令()()sin 0H x x x x =-+≥，则()'cos 10H x x =-+≥， 故函数()H x 在区间[)0,+∞上单调递增，从而：()()00H x H ≥=， 即sin 0,sin x x x x -+≥-≥-，从而函数()sin cos 1xxf x e x x e x =--≥--，令1x y e x =--，则：1xy e '=-，当0x ≥时，0y '≥，故1xy e x =--在[)0,+∞单调递增，故函数的最小值为0min 010y e =--=，从而：10x e x --≥.从而函数()sin cos 10xxf x e x x e x =--≥--≥；综上可得，题中的结论成立. (2) 当54x π>-时， 令()()2sin cos 2xh x g x ax e x x ax =--=++--﹐则()cos sin xh x e x x a '=+--， ()()0h x f x ''=>，故()h x '单调递增，当 2a >时，()020h a '=-<，()()()ln 22ln 204h a a π⎡⎤'+=+->⎢⎥⎣⎦，()()10,ln 2x a ∃∈+使得()10h x '=，当10x x <<时，()()0,h x h x '<单调递减，()()00h x h <=不符合题意; 当2a <时，()00h '>， 若在5,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭上，总有()0h x '≥（不恒为零）， 则()h x 在5,4π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，但()00h =， 故当5,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x <，不合题意． 故在5,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭上，()0h x '<有解， 故25,04x π⎛∃∈⎫-⎪⎝⎭，使得()20h x '=， 且当20x x <<时，()()0,h x h x '>单调递增， 故当()2,0x x ∈时，()(0)0h x h <=，不符合题意; 故2a <不符合题意，当a =2时，()cos sin 2xh x e x x '=+--，由于()h x '单调递增，()00h '=，故：504x π-<<时，()()0,h x h x '<单调递减;0x >时，()()0,h x h x '>单调递增，此时()()00h x h ≥=﹔当54x π-时，()5sin cos 220202x h x e x x x π=++--≥->， 综上可得，a =2.【点睛】对于利用导数研究不等式问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求岀最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.。
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2021年1月普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案（八省联考）一、单选题1．已知,M N 均为R 的子集，且R M N ⊆ð，则()M N ⋃=R ð（）A ．∅B ．MC ．ND ．R2．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．233．关于x 的方程20x ax b ++=，有下列四个命题：甲：1x =是该方程的根；乙：3x =是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F 、2F ，上顶点为A ，若123F AF π∠=，则m =（）A ．1B C D ．25．已知单位向量,a b 满足0a b ⋅= ，若向量c =+，则sin ,a c 〈〉= （）A ．73B ．3C ．79D ．296．()()()239111x x x ++++++ 的展开式中2x 的系数是（）A ．60B ．80C ．84D ．1207．已知抛物线22y px =上三点(2,2),,A B C ，直线,AB AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为（）A ．210x y ++=B ．3640x y ++=C ．2630x y ++=D ．320x y ++=8．已知5a <且5e 5e ,4a a b =<且44,3b be e c =<且3e 3e c c =，则（）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b<<D ．a b c<<二、多选题9．已知函数()ln(1)f x x x =+，则（）A ．()f x 在(0,)+∞单调递增B ．()f x 有两个零点C ．曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln 2--D ．()f x 是偶函数10．设123,,z z z 为复数，10z ≠．下列命题中正确的是（）A ．若23z z =，则23z z =±B ．若1213z z z z =，则23z z =C ．若23z z =，则1213z z z z =D ．若2121z z z =，则12z z =11．下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A ．//AE CDB ．//CH BEC ．DG BH ⊥D ．BG DE⊥12．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减三、填空题13．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______．14．写出一个最小正周期为2的奇函数()f x =________．15．对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差2~0,n N n ε⎛⎫ ⎪⎝⎭，为使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若()2~,X N μσ，则(||2)0.9545)P X μσ-<=）．四、双空题16．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．五、解答题17．已知各项都为正数的数列{}n a 满足2123n n n a a a ++=+．（1）证明：数列{}1n n a a ++为等比数列；（2）若1213,22a a ==，求{}n a 的通项公式．18．在四边形ABCD 中，//AB CD ，1AD CD BD ===．（1）若32AB =，求BC ；（2）若2AB BC =，求cos BDC ∠．19．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X ，求X 的分布列及数学期望．20．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2=，证明：这类多面体的总曲率是常数．21．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF AF ⊥时，||||AF BF =．（1）求C 的离心率；（2）若B 在第一象限，证明：2BFA BAF ∠=∠．22．已知函数()e sin cos ,()e sin cos x x f x x x g x x x =--=++．（1）证明：当54x π>-时，()0f x ；（2）若()2g x ax + ，求a ．数学试题参考答案1-8BCACB DBD 9-12AC BC BCD AD13．61π；14．()sin f x x π=；15．32；16．133-17．（1）由2123n n n a a a ++=+可得：()2111333n n n n n n a a a a a a +++++=+=+因为各项都为正数，所以120a a +>，所以{}1n n a a ++是公比为3的等比数列.（2）构造()21133n n n n a a k a a +++-=-，整理得：()2133n n n a k a ka ++=+-所以1k =-，即()21133n n n n a a a a +++-=--所以11303n n n n a a a a ++-=⇒=，所以{}n a 是以112a =为首项，3为公比的等比数列.所以132n n a -=（n +∈N ）18．（1）在ABD △中，由余弦定理可得2223cos 24AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，//CD AB ，BDC ABD ∴∠=∠，在BCD △中，由余弦定理可得22212cos 2BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=，BC =（2）设BC x =，则2AB x =，在ABD △中，22224cos 24AB BD AD x ABD x AB BD x +-∠===⋅，在BCD △中，22222cos 22BD CD BC x BDC BD CD +--∠==⋅，由（1）可知，BDC ABD ∠=∠，所以，cos cos BDC ABD ∠=∠，即222x x -=，整理可得2220x x +-=，因为0x >，解得1x =，因此，cos cos 1BDC ABD x ∠=∠==.19．(1)设部件1需要调整为事件A ，部件2需要调整为事件B ，部件3需要调整为事件C ，由题意可知：()()()0.1,0.2,0.3P A P B P C ===.部件1，2中至少有1个需要调整的概率为：()()11110.90.810.720.28P A P B ⎡⎤⎡⎤---=-⨯=-=⎣⎦⎣⎦.(2)由题意可知X 的取值为0，1,2,3.且：()()()()0111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==---⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()10.110.210.3=-⨯-⨯-0.504=，()()()()111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤==--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦0.10.80.7=⨯⨯0.90.20.7+⨯⨯0.90.80.3+⨯⨯0.398=，()()()()21P X P A P B P C ⎡⎤==-⎣⎦()()()1P A P B P C ⎡⎤+-⎣⎦()()()1P A P C P B ⎡⎤+-⎣⎦0.10.20.7=⨯⨯0.10.80.3+⨯⨯0.90.20.3+⨯⨯0.092=.()()()()30.10.20.30.006P X P A P B P C ===⨯⨯=，故X 的分布列为：X0123()P X 0.5040.3980.0920.006其数学期望：()0.50400.39810.09220.00630.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.20．（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形.所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，则其总曲率为：()25424ππππ⨯-+=.（2）设顶点数、棱数、面数分别为n 、l 、m ，所以有2n l m -+=设第i 个面的棱数为i x ，所以122m x x x l +++= 所以总曲率为：()()()122222m n x x x ππ--+-++-⎡⎤⎣⎦ ()222n l m ππ=--()24n l m ππ=-+=所以这类多面体的总曲率是常数.21．（1）设双曲线的半焦距为c ，则(),0F c ，2,b B c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，因为||||AF BF =，故2b ac a=+，故2220c ac a --=，即220e e --=，故2e =.（2）设()00,B x y ，其中00,0x a y >>.因为2e =，故2c a =，3b a =，故渐近线方程为：3y x =，所以0,3BAF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，20,3BFA π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，又0000t n 2a y y BFA x c x a ∠=-=---，00tan y BAF x a∠=+，所以()()()()0000002222220000020222tan 121y y x a y x a x a BAF x x a y y x a b a x a +++∠===⎛⎫+-⎛⎫+--- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭()()()()()()()0000022222200000022223331y x a y x a y x a x a x x a x a x a a a ++===+--⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭02tan y BFA x a=-=∠-，因为故220,3BAF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，故BFA ∠2BAF =∠.22．(1)分类讨论：①.当4 5,4x ππ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，()04x f x e x π⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭；②.当,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()cos sin ,00xf x e x x f ''=-+=，()sin cos 04x x f x e x x e x π⎛⎫''=++=++> ⎪⎝⎭，则函数()f x '在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调增，则()()00f x f ''<=，则函数()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调减，则()()00f x f >=；③.当0x =时，由函数的解析式可知()01010f =--=，当[)0,x ∈+∞时，令()()sin 0H x x x x =-+≥，则()'cos 10H x x =-+≥，故函数()H x 在区间[)0,+∞上单调递增，从而：()()00H x H ≥=，即sin 0,sin x x x x -+≥-≥-，从而函数()sin cos 1x xf x e x x e x =--≥--，令1x y e x =--，则：1x y e '=-，当0x ≥时，0y '≥，故1x y e x =--在[)0,+∞单调递增，故函数的最小值为0min 010y e =--=，从而：10x e x --≥.从而函数()sin cos 10x xf x e x x e x =--≥--≥；综上可得，题中的结论成立.(2)当54x π>-时，令()()2sin cos 2xh x g x ax e x x ax =--=++--﹐则()cos sin xh x e x x a '=+--，()()0h x f x ''=>，故()h x '单调递增，当 2a >时，()020h a '=-<，()()()ln 22ln 204h a a π⎡⎤'+=-+->⎢⎣⎦，()()10,ln 2x a ∃∈+使得()10h x '=，当10x x <<时，()()0,h x h x '<单调递减，()()00h x h <=不符合题意;当2a <时，()00h '>，若在5,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上，总有()0h x '≥（不恒为零），则()h x 在5,4π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，但()00h =，故当5,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x <，不合题意．故在5,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭上，()0h x '<有解，故25,04x π⎛∃∈⎫-⎪⎝⎭，使得()20h x '=，且当20x x <<时，()()0,h x h x '>单调递增，故当()2,0x x ∈时，()(0)0h x h <=，不符合题意;故2a <不符合题意，当a =2时，()cos sin 2xh x e x x '=+--，由于()h x '单调递增，()00h '=，故：504x π-<<时，()()0,h x h x '<单调递减;0x >时，()()0,h x h x '>单调递增，此时()()00h x h ≥=﹔当54x π-时，()5sin cos 220202xh x e x x x π=++--≥-->，综上可得，a =2.。