浙江省数学学考试卷及答案.docx
2023年1月浙江数学学考卷(含答案)
2023年1月浙江数学学考卷(含答案)一. 选择题1. 一元二次方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$ 的根为（）- [x] $1$ 和 $3$- [ ] $-1$ 和 $-3$- [ ] $1$ 和 $-3$- [ ] $-1$ 和 $3$2. 若 $f(x) = x^2 + bx + 1$ 恰有一个零点，则 $b$ 的取值范围是（）- [ ] $(-\infty, -2)$- [ ] $(0, +\infty)$- [x] $(-2, 0)$- [ ] $(-2, +\infty)$...二. 简答题1. 证明勾股定理。
答：勾股定理是三角形中最基本的定理之一。
证明如下：在直角三角形中，假设直角所对应的三角形边长分别为$a$，$b$，$c$，其中较长的直角边为 $c$。
通过勾股定理可得，$a^2 + b^2 = c^2$。
我们来进行证明。
...三. 计算题1. 求函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x -1$ 的导数。
答：首先，求导数即求导。
对每一项依次求导可得：$$\begin{aligned}f'(x) &= \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(1) \\&= 3x^2 - 4x + 1\end{aligned}$$因此，函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x -1$ 的导数为 $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$。
...四. 解答题1. 解方程 $2x - 1 = \sqrt{3x + 5}$。
答：将方程两边都平方可得：$$\begin{aligned}(2x-1)^2 &= 3x+5 \\4x^2-4x+1 &= 3x+5 \\4x^2-7x-4 &= 0 \\(4x+1)(x-4) &= 0 \\\end{aligned}$$因此，方程的解为 $x_1 = -\frac{1}{4}$ 和 $x_2 = 4$。
浙江学考数学试题及答案
浙江学考数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填入题后的括号内。
）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 若a，b，c为实数，且a + b + c = 1，求下列哪个表达式的值恒为正？A. ab + bc + acB. a^2 + b^2 + c^2C. (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2D. a^3 + b^3 + c^3 - 3abc（以下选择题依此类推，共10题）二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
请将答案直接填写在题后的横线上。
）1. 若函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值为______。
2. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值为______。
（以下填空题依此类推，共5题）三、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分。
请在答题卡上作答，并写出必要的计算步骤。
）1. 解不等式：|x - 1| + |x - 3| ≥ 5。
2. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2 + b^2 =c^2，求证三角形ABC为直角三角形。
3. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 100 + 50x，销售价格为P(x) = 200 - 2x，其中x为生产数量。
求该工厂的最优生产数量，使得利润最大化。
四、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分。
请在答题卡上作答，并写出证明过程。
）1. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1恒成立。
2. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)f(b) < 0，则至少存在一点c ∈ (a, b)，使得f(c) = 0。
（以下为参考答案部分）一、选择题答案：1. C2. C （以下答案依此类推，共10题）二、填空题答案：1. 72. 37 （以下答案依此类推，共5题）三、解答题答案：1. 解：当x ≥ 3时，不等式化为x - 1 + x - 3 ≥ 5，解得x ≥ 5；当1 ≤ x < 3时，不等式化为x - 1 + 3 - x ≥ 5，此时不等式无解；当x < 1时，不等式化为1 - x + 3 - x ≥ 5，解得x ≤ -1/2。
2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题含答案
2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学（答案在最后）本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟．考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上．2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．3．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．选择题部分（共52分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|0B x x =>，则下列结论不正确的是（）A.1A B ∈ B.A B∅⊆ C.{}2A B ⊆ D.{}|0x x A B>= 【答案】D 【解析】【分析】根据交集、并集的定义求出A B ⋂，A B ⋃，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.【详解】因为{}1,0,1,2A =-，{}0B x x =，所以{}1,2⋂=A B ，{}{}|01A B x x ⋃=≥⋃-，所以1A B ∈ ，A B ∅⊆ ，{}2A B ⊆⋂，故A 、B 、C 正确，D 错误；故选：D 2.函数的定义域是（）A.1-2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， B.1-2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，C.12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D.12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【答案】C 【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数、分式的分母不为零列不等式，由此求得函数的定义域.【详解】依题意210x ->，解得12x >，所以()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，.故选：C【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.3.复数()i 2i z =+在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数乘法运算化简，即可求解.【详解】()1i i 22i z =-+=+，故对应的点为()1,2-，位于第二象限，故选：B4.已知平面向量()1,1a =- ，()2,b λ= ，若a b ⊥，则实数λ=（）A.2B.2- C.1D.1-【答案】A 【解析】【分析】依题意可得0a b ⋅=，根据数量积坐标表示计算可得.【详解】因为()1,1a =- ，()2,b λ= 且a b ⊥，所以()1210a b λ⋅=⨯+-⨯=，解得2λ=.故选：A 5.已知πsin cos 6θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan2θ=（）A.3B.C.3D.【答案】B【解析】【分析】利用给定条件得到tan 3θ=，再利用二倍角公式求解即可.【详解】若πsin cos 6θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得1sin cos cos 22θθθ+=，化简得31sin cos 022θθ-=，解得3tan 3θ=，由二倍角公式得232322tan 33tan221tan 3θθθ⨯===-，故B 正确.故选：B6.上、下底面圆的半径分别为r 、2r ，高为3r 的圆台的体积为（）A.37πrB.321πrC.(35πr+D.(35πr+【答案】A 【解析】【分析】根据圆台的体积公式计算可得.【详解】因为圆台的上、下底面圆的半径分别为r 、2r ，高为3r ，所以()23221π227π33V r r r r r ⎡⎤=++⨯=⎣⎦.故选：A7.从集合{}1,2,3,4,5中任取两个数，则这两个数的和不小于5的概率是（）A.35B.710C.45 D.910【答案】C 【解析】【分析】列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.【详解】从集合{}1,2,3,4,5中任取两个数所有可能结果有()1,2、()1,3、()1,4、()1,5、()2,3、()2,4、()2,5、()3,4、()3,5、()4,5共10个，其中满足两个数的和不小于5的有()1,4、()1,5、()2,3、()2,4、()2,5、()3,4、()3,5、()4,5共8个，所以这两个数的和不小于5的概率84105P ==.故选：C8.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m /s ）可以表示为3log 100Ov k =，其中O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．若一条鲑鱼游速为2m /s 时耗氧量的单位数为8100，则游速为1m /s 的鲑鱼耗氧量是静止状态下鲑鱼耗氧量的（）A.3倍 B.6倍C.9倍D.12倍【答案】C 【解析】【分析】利用给定条件得到31log 2100O v =，再算出不同情况的消耗氧气的数量，再作比值求倍数即可.【详解】由题意得381002log 100k =，解得12k =，故31log 2100O v =，当1v =时，有311log 2100O=，解得900O =，当0v =时，有310log 2100O=，解得100O =，故得9009100=倍，故C 正确.故选：C9.不等式()()e e 10xx --<（其中e 为自然对数的底数）的解集是（）A.{01}xx <<∣ B.{|0e}x x << C.{0x x <∣或1}x > D.{0xx <∣或e}x >【答案】B 【解析】【分析】写出不等式的等价不等式组，解得即可.【详解】不等式()()e e 10xx --<等价于e 0e 10x x -<⎧⎨->⎩或e 0e 10x x ->⎧⎨-<⎩，解得0e x <<或x ∈∅，所以不等式的解集为{|0e}x x <<.故选：B10.已知a 为实数，则“0x ∀>，12ax x+≥”是“1a ≥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用分离参数法求出a 的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可.【详解】若10,2,x ax x ∀>+≥则22121(1)1,a x x x≥-+=--+当1x =时，不等式的右边取得最大值1，故1,a ≥充分性成立；若1,a ≥则0x >时,12,ax x+≥≥当且仅当1x a ==时取等，即12ax x +≥恒成立，因此，由 1 a ≥可以推出0,x ">1 2ax x+≥，故必要性成立.综上所述，10,2x ax x∀>+≥是 1 a ≥的充要条件.故选：C.11.若函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是（）A.(]0,2 B.(]0,4 C.(]0,6 D.(]0,8【答案】A 【解析】【分析】利用给定的区间，求出π6x ω+的范围，然后写出正弦函数的单调递增区间，转化为子集问题处理即可.【详解】当ππ[,]126x ∈-时，πππππ[,+]661266x ωωω+∈-，若函数π()sin(0)6f x x ωω=+>在区间ππ[,]126-上单调递增，则πππ2π662πππ2π2612k k ωω⎧+≤+⎪⎪⎨⎪-+≤-⎪⎩，Z k ∈，解得212,824,Z k k k ωω≤+≤-∈，又0ω>，当0k =时,可得02ω<≤.故选：A.12.在正三棱台111ABC A B C -中，2AB =，11AB A B >，侧棱1AA 与底面ABC所成角的余弦值为3．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（）A.2B.2C.4D.4【答案】A 【解析】【分析】取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，根据题意求出侧棱长以及2O P ，1O Q ，再根据切线的性质及等腰梯形11BB C C 和梯形1AA QP 的几何特点列方程组求出半径，再根据面积计算公式即可.【详解】如图，取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，因为123cos 3A AO ∠=，棱台的高为2r ，所以126sin 3A AO ∠=，111122sin 63r AA BB CC A AO =====∠，211333323O P AP AB ==⨯=，同理136O Q x =．因为内切球与平面11BCC B 相切，切点在PQ 上，所以()21326PQ O P O Q x =+=+①，在等腰梯形11BB C C中，)22222x PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭②，由①②得()222226212x x r +-⎛⎫-=⎪⎝⎭．在梯形1AA QP 中，()22233236PQ r x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭③，由②③得2x -=，代入得1x =，则棱台的高23h r ==，所以()2133262PQ O P O Q x =+=+=,所以1sin 2ABC S AB AC A =⋅=△111111111sin 24A B C S A B A C A =⋅= ，()1111124BCB C S BC B C PQ =+=正三棱台三个侧面都是面积相等的等腰梯形，故侧面积为4,所以此棱台的表面积是442S =++=.故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13.下列不等式正确的是（）A.4> B.4< C.24log 3log 5> D.24log 3log 5<【答案】BC 【解析】【分析】根据指数幂的运算及指数函数的性质判断A 、B ，根据对数的运算性质及对于函数的性质判断C 、D.【详解】414142222224⨯==⎭==⎛⎫< ⎪⎝A 错误，B 正确；2421log 5log 5log log 32==<，故C 正确，D 错误.故选：BC14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（）A.11//BC A DB.1//BC 平面11A ADDC.111BC B D ⊥D.1BC ⊥平面11A B CD【答案】BD 【解析】【分析】连接1AD ，1A D ，11B D ，1AB ，1B C ，根据正方体的性质得到11//BC AD ，即可判断A 、B 、C ，证明11BC B C ⊥、1CD BC ⊥，即可判断D.【详解】连接1AD ，1A D ，11B D ，1AB ，1B C ，对于A ：在正方体中11//AB D C 且11AB D C =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//BC AD ，又11A D AD ⊥，所以11BC A D ⊥，所以A 错误；对于B ，因为11//BC AD ，1AD ⊂平面11A ADD ，1BC ⊄平面11A ADD ，所以1//BC 平面11A ADD ，所以B 正确；对于C ：因为11AB D 为等边三角形，所以1160AD B ∠=︒，又11//BC AD ，所以11AD B ∠为异面直线1BC 与11B D 所成的角，即直线1BC 与11B D 所成的角为60︒，则1BC 与11B D 不垂直，所以C 错误；对于D ：在正方体中，11BC B C ⊥，CD ⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以1CD BC ⊥，又1CD B C C ⋂=，1,CD B C ⊂平面11A B CD ，所以1BC ⊥平面11A B CD ，所以D 正确．故选：BD ．15.已知函数()2sin cos2f x x x =+，则（）A.()f x 的最小值是3-B.()f x 5C.()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在零点 D.()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在零点【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角恒等变换将函数化为二次函数，求解最值判断A ，B ，利用换元法求解零点，再判断范围求解C ，D 即可.【详解】易得2213()2sin cos 22sin 12sin 2(sin )22f x x x x x x =+=+-=--+，故函数()f x 在1sin 2x =时，取得的最大值为32，当sin 1x =-时，函数取得的最小值为3-，故A 正确，B 错误，令[]sin 1,1x t =∈-，故2()212f t t t =+-，令()0f t =，解得11322t =+或21322t =-，当113122t =+>时，排除，无法解出x ，当21322t =-时，可得13sin 22x =-，而sin y x =在π(,0)6-上单调递增，故当π(,0)6x ∈-，1sin ,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且1130222-<-<，则()f x 在区间π,06⎛⎫-⎪⎝⎭内存在零点，故C 正确，而当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0y x =>，1022y =-<，显然sin y x =和122y =-无交点，则()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在零点，故D 正确.故选：ACD.16.在ABC 中，3AB =，1AC =，π3BAC ∠=，点D ，M 分别满足3AB AD = ，2BC MC = ，AM 与CD 相交于点F ，则（）A.1233CD AB AC=- B.12AF AM=C.132AM =D.13cos 13DFM ∠=【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则判断A ，设AF AM λ=，用AD 、AC 表示AF ，根据共线定理的推论得到方程求出λ，即可判断B ，由1122AM AB AC =+及数量积的运算判断C ，求出cos ,CD AM ，即可判断D.【详解】对于A ，13CD AD AC AB AC =-=-，故A 错误；对于B ，设AF AM λ=，又1122AM AB AC =+ ，∴1132222AF AB AC AD AC λλλλ=+=+，又F ，D ，C 三点共线，∴3122λλ+=，12λ∴=，∴12AF AM = ，故B 正确；对于C ，1122AM AB AC =+，∴()()222211244AM AB ACAB AB AC AC =+=+⋅+111391231424⎛⎫=⨯++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，2AM ∴= ，故C 正确；对于D ， 111322CD AM AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222211111111331163263222AB AB AC AC =-⋅-=⨯-⨯⨯⨯-⨯= ，又222211212191311393932CD AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=-=-⋅+=⨯+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，∴1CD =，又2AM =，12cos cos ,13132CD AM DFM CD AM CD AM⋅∴∠===⋅ ，故D 正确．故选：BCD．非选择题部分（共48分）三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17.已知A ，B 是相互独立事件，()23P A =，()12P B =，则()P AB =_____________．【答案】13【解析】【分析】根据相互独立事件的概率公式计算即可.【详解】因为A ，B 是相互独立事件，所以()()()211323P AB P A P B ==⨯=.故答案为：1318.函数2()log f x x =的反函数为_______.【答案】2xy =【解析】【分析】设2log y x =，由指对数式的互化得到2y x =，再将,x y 位置互换即可得出答案.【详解】解：设2log y x =，则2y x =，所以函数2()log f x x =的反函数为2x y =.故答案为：2x y =.19.已知()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()24f x f x +-=，则()2023f =_____________．【答案】2【解析】【分析】利用给定条件，得到函数的周期性，将所求函数值化为已知函数值，代入求解即可.【详解】由题意得()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()24f x f x +-=，故()()()224f x f x f x -=-=-，可得()()442()f x f x f x -=--=，故得函数的周期4T =，而令1x =，可得()214f =，解得()12f =，则()()()()()2023450533211f f f f f =⨯+==-==.故答案为：220.已知,,a b c 是同一平面上的3个向量，满足3a =，b = ，6a b ⋅=- ，则向量a 与b 的夹角为_____________，若向量c a - 与c b - 的夹角为π4，则c r 的最大值为_____________．【答案】①.3π4##135︒②.【解析】【分析】由cos ,a b a b a b⋅=⋅ 求出向量a 与b 的夹角，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，即可得到,,,O A B C 四点共圆，利用正弦定理求出AOB 外接圆的直径，即可求出c的最大值.【详解】因为3a =，b = ，6a b ⋅=- ，所以cos ,2a b a b a b ⋅===-⋅ ，又[],0,πa b ∈ ，所以3π,4a b = ，因为3a =，b = ，3π,4a b = ，如图，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，则c a OC OA AC -=-= ，c b OC OB BC -=-= ，又向量c a - 与c b - 的夹角为π4，则π4ACB ∠=，又3π4AOB ∠=，所以,,,O A B C 四点共圆，又AB b a =- ，所以AB == 设AOB 外接圆的半径为R ，由正弦定理23πsin 42AB R ===c故答案为：3π4四、解答题（本大题共3小题，共33分）21.人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了[)55,65，[)65,75，[)75,85，[)85,95，[]95,105（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．（1）求图中a 的值并且估计该用户红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）；（2）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．【答案】（1）0.035a =，估计该用户红灯等待时间的第60百分位数约为82.1（2）7次【解析】【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解，先确认频率分布直方图中频率为0.6的位置，再结合百分位数定义求解即可.（2）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解.【小问1详解】因为各组频率之和为1，组距为10，所以()100.010.0250.020.011a ⨯++++=，解得0.035a =.因为()100.010.0250.350.6⨯+=<，()100.010.0250.0350.70.6⨯++=>，所以中位数位于第三组[)75,85中，设中位数为x ，则()0.10.250.035750.6x ++-=，解得0.257582.10.035x =+≈，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为82.1.【小问2详解】由题红灯等待时间低于85秒的频率为0.10.250.350.7++=，故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为100.77⨯=次.22.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1PA AC ==，BC =（1）求三棱锥-P ABC 的体积；（2）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（3）设点D 在棱PB 上，AD CD =，求二面角D AC B --的正弦值．【答案】（1）6（2）证明见解析（3）3【解析】【分析】（1）先求出底面积，再利用体积公式求解体积即可.（2）先利用线面垂直判定定理得到BC ⊥平面PAC ，再利用面面垂直定理判定面面垂直即可.（3）合理作图，找到二面角的平面角，利用三角函数的定义求解即可.【小问1详解】因为,1,AC BC AC BC ⊥==，所以111222ABC S AC BC =⋅=⨯= ，因为PA ⊥平面ABC ,所以三棱锥-P ABC 的体积11326V =⨯⨯=.【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面PBC ,所以PA BC ⊥,又,,AC BC PA AC A ⊥⋂=,PA AC ⊂平面PAC ,所以BC ⊥平面PAC ,因为BC ⊂平面PBC ,所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问3详解】过点D 作DE AB ⊥于E ,取AC 的中点F ,连接,EF 因为PA ⊥平面,ABC PA ⊂平面,PAB 所以平面PAB ⊥平面ABC ,又平面PAB ⋂平面,ABC AB DE =⊂平面,PAB 所以DE ⊥平面,ABC DE ∥PA ，因为,AD CD =且F 是AC 的中点,所以,,,DF AC AC DE DF DE D AC ⊥⊥⋂=⊥平面DEF ,,EF AC ⊥所以DFE ∠是二面角——D AC B 的平面角,因为,,EF AC AC BC F ⊥⊥是AC 的中点，所以E 是AB 的中点，又DE //PA ，所以D 是PB 的中点,在Rt DEF △中,32DF ===，所以12sin 332DE DFE DF ∠==即二面角——D AC B的正弦值为3.23.已知函数()2π2sin 2f x x x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R a ∈．（1）若1a =，求()f x 在区间[]0,1上的最大值；（2）若关于x 的方程()10f x a ++=有且只有三个实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<．证明：（ⅰ）1322x x x +=；（ⅱ）()()311217818f x f x x +-+≤．【答案】（1）0（2）（ⅰ）证明见解析.（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分析法得到函数的单调性，再求解最值即可.（2）（ⅰ）合理构造新函数，求出一个零点，再结合对称性求解即可.（ⅱ）将目标式合理表示为函数，利用不等式的性质证明即可.【小问1详解】由已知得1a =,则2π()(1)sin()12f x x x =---，易知2(1)y x =-，πsin()2y x =-在区间[0,1]上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上单调递减,所以max ()(0)0.f x f ==【小问2详解】（ⅰ）若2π()(1)sin()1,2f x x a x =---且()10,f x a ++=即2π(1)(sin()1)02x a x ---=有且只有三个实数根，所以0,a <令2π()(1)(sin()1),2g x x a x =---且(1)0g =，则()g x 的图象关于直线1x =对称，所以1322 2.x x x +==（ⅱ）由题意可知，令3πsin 2t x =，则有1()10,f x a ++=()310f x a ++=()()()()2311333217841cos π8271f x f x x x a x x a +-+=--+-++()()233342cos π1571x x a x a =--+++2233ππ4(sin 1)722(12sin )(242)1822a x a a a a x a t t =--++--=+++，因为0,a <所以2(242)1818a t t +++≤，即311(21)7()818f x f x x +-+≤得证.【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是合理表示出目标式，然后结合不等式的性质，得到所要求的不等关系即可．。
浙江省数学学考试题及答案
2
2
3
3
A.3b.
3
C.2d.
2
7.设实数x,
y满足
x y 0nt
，则X
2x y 3 0
y
的最大值为（）
A.1B.
2
C.3D.4
8.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B
45O,C 30o,c 1,
则b()
¥丰c.血dV3
A.2B.2D.
9.已知直线l,m和平面，m，则“1 m”是“1
6
OE平分
A.3B.
2
C.3
D.3
15.三棱柱各面所在平面将空间分为（
A.14部分
B.18部分
C.21部分
16.函数f(x)
C的正切值为（
1(a b0)的右顶
）
D.24部分
（其中e为自然对数的底数）的图象如图所示，则（
(Xn)2
eF
A.
B.
C.
D.
17.数列｛an｝是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项和•若对任意的n N，有SnS3,
D.
与m无关，但与n有关
12.在如图所示的几何体中，正方形DCEF与梯形
ABCD
BC2，则该几何体的正视图为（）
13.在第12题的几何体中，二面角E AB
A.3
B.
C.1
2方
D.3
14.如图,
B分别为椭圆
2 2
x
C :-
a
点和上顶点， 上的射影，若
O为坐标原点，E为线段AB的中点，H为O在AB
HOA，则该椭圆的离心率为（
22.已知动点P在直线l :2x y2上，过点P作互相垂直的直线PA，PB分别交x轴、
浙江省普通高校招生学考数学试卷解析版
普通高校招生学考数学试卷一、选择题（本大题共18小题，共54.0分）1.函数y=log3（x-2）的定义域为（）A. {x|x＞2}B. {x|x＞0}C. {x|x＜2}D. R2.直线y=-2x+6的斜率为（）A. 2B. -2C.D.3.下列点中，在不等式3x+2y-6＞0表示的平面区域内的是（）A. （0，0）B. （1，0）C. （1，1）D. （1，2）4.设{a n}为等差数列，若a2=2，a3=3，则a5=（）A. 4B. 5C. 6D. 75.若α为锐角，，则cosα=（）A. B. C. D.6.椭圆右焦点的坐标为（）A. （1，0）B. （，0）C. （，0）D. （2，0）7.已知函数f（x）=-x3，则（）A. f（x）是偶函数，且在（-∞，+∞）上是增函数B. f（x）是偶函数，且在（-∞，+∞）上是减函数C. f（x）是奇函数，且在（-∞，+∞）上是增函数D. f（x）是奇函数，且在（-∞，+∞）上是减函数8.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且PD=DB．若M为线段PB的中点，则直线DM与平面ABCD所成的角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9.若向量=（x，4）与=（2，1）垂直，则实数x的值为（）A. 2B. -2C. 8D. -810.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=1，A=30°，B=45°，则b的值为（）A. B. C. D. 211.已知m，n是空间两条直线，α是一个平面，则“m⊥α，n⊥α”是“m∥n”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12.若双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为（）A. B. 1 C. D. 213.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B. 2πC.D.14.已知函数f（x）=，若f（x）=4，则x的值为（）A. 2或-2B. 2或3C. 3D. 515.设{a n}为等比数列，给出四个数列：①{2a n}；②{a n2}；③；④{log2|a n|}，其中一定为等比数列的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④16.函数f（x）=（3ax-b）2的图象如图所示，则（）A. a＞0且b＞1B. a＞0且0＜b＜1C. a＜0且b＞1D. a＜0且0＜b＜117.已知a，b，c，d是四个互不相等的正实数，满足a+b＞c+d，且|a-b|＜|c-d|，则下列选项正确的是（）A. a2+b2 ＞c2 +d2B. |a2-b2|＜|c2-d2|C. +＜+D. |-|＜|-|18.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，空间一动点P满足A1P⊥AB1，且∠APB1=∠ADB1，则点P的轨迹为（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 抛物线二、填空题（本大题共4小题，共15.0分）19.已知集合A={1，2}，集合B={2，3}，则A∩B=______；A∪B=______．20.已知实数x，y满足x2+4y2=2，则xy的最大值为______．21.已知A，B为圆C上两点，若AB=2，则的值为______．22.正项数列{a n}的前n项和S n满足S n=．若对于任意的n∈N*，都有a n＞k成立，则整数k的最大值为______．三、解答题（本大题共3小题，共31.0分）23.已知函数f（x）=2sin x sin（x+）（x∈R）．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若y=f（x+φ）（0＜φ＜）为偶函数，求φ的值．24.如图，不垂直于坐标轴的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）有且只有一个公共点M．（Ⅰ）当M的坐标为（2，2）时，求p的值及直线l的方程；（Ⅱ）若直线l与圆x2+y2=1相切于点N，求|MN|的最小值．25.如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0，且x≥0}．（Ⅰ）若a=-1，b=2，求f（x）的定义域；（Ⅱ）当a=1时，若f（x）为“同域函数”，求实数b的值；（Ⅲ）若存在实数a＜0且a≠-1，使得f（x）为“同域函数”，求实数b的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：要使函数有意义，则需x-2＞0，解得：x＞2，即函数的定义域为：，故选：A．由函数定义域的求法得：要使函数有意义，则需x-2＞0，解得：x＞2，得解本题考查了函数定义域的求法及解一元一次不等式，属简单题2.【答案】B【解析】解：根据题意，直线的方程为y=-2x+6，则其斜率为-2；故选：B．根据题意，由直线的斜截式方程直接分析可得答案．本题考查直线的斜截式方程的应用，涉及直线的斜率，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：当x=1，y=2时，3+4-6=1＞0，即点D（1，2）位于不等式对应的平面区域内，故选：D．将点的坐标代入不等式进行验证即可．本题主要考查点与平面区域的关系，利用代入法是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的项的计算，属基础题．【解答】解：{a n}为等差数列，因为所以d=1，a3-a2=1，所以a5=a3+2d=5，故选B．5.【答案】D【解析】解：∵α为锐角，且，∴cosα=．故选：D．直接利用同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵椭圆，∴a2=2，b2=1∴c2=a2-b2=1，∴c=1∴椭圆的右焦点坐标为（1，0）故选：A．利用椭圆的标准方程确定几何量，即可得到双曲线的右焦点的坐标．本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f（x）=-x3，有f（-x）=-（-x）3=x3=-f（x），则函数f（x）为奇函数；又由f′（x）=-3x2，则f′（x）≤0在R上恒成立，则f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，故选：D．根据题意，由函数的解析式分析可得f（-x）=-f（x），即可得函数f（x）为奇函数，求出其导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得f（x）的单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数单调性的判断方法，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：取BD的中点N，连接MN，∵M，N分别是PB，BD的中点，∴MN∥PD，∵PD⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，∴∠MDB为直线DM与平面ABCD所成的角，∵tan∠MDB====1，∴∠MDB=45°．故选：B．取BD的中点N，连接MN，可证MN⊥平面ABCD，在Rt△MND中计算tan∠MDB即可得出结论．本题考查了直线与平面所成的角的计算，作出线面角是关键．9.【答案】B【解析】解：∵；∴；∴x=-2．故选：B．根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．10.【答案】C【解析】解：∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，A=30°，B=45°，∴由正弦定理：，得：b===，故选：C．由sin A，sin B，以及a的值，利用正弦定理即可求出b的长．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：m，n是空间两条直线，α是一个平面，则“m⊥α，n⊥α”则能推出“m∥n，但是由m∥n不能m⊥α，n⊥α，也可能m∥α，n∥α，故“m⊥α，n⊥α”是“m∥n”的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．12.【答案】C【解析】解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，由两条渐近线互相垂直，可得-•=-1，可得a=b，即有c==a，可得离心率e==．故选：C．求出双曲线的渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得a=b，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】A【解析】解：由三视图得到几何体是半个球与倒放圆锥的组合体，其中球的半径为1，圆锥的高为2，所以体积为××π×13+×12π×2=；故选：A．由三视图得到几何体是半个球与倒放的圆锥的组合体．本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体．14.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f（x）=，当|x|≤1时，f（x）=x2=4，解可得x=±2，不符合题意，当|x|＞1时，f（x）=x+1=4，解可得x=3，符合题意，故x=3；故选：C．根据题意，由函数的解析式分2种情况讨论：当|x|≤1时，f（x）=x2=4，当|x|＞1时，f （x）=x+1=4，求出x的值，验证是否符合题意，综合即可得答案．本题考查分段函数的应用以及函数值的计算，注意分析函数解析式的形式，属于基础题．15.【答案】A【解析】解：{a n}为等比数列，设其公比为q，则通项为，所以对于①，2a n是以2a1为首项，以q为公比的等比数列，对于②，为常数，又因为≠0，故②为等比数列，对于③，=，不一定为常数，对于④，=，不一定为常数，故选：A．根据等比数列的通项公式，分别验证即可．本题查了等比数列的判断，属于基础题．16.【答案】C【解析】解：当a=1时，b=2时，f（x）=（3x-2）2，当x=log32时，f（x）=0，故A不符合，当a=1时，b=-0.5时，f（x）=（3x-0.5）2，当x→+∞时，f（x）→+∞，故B不符合，当a=-1时，b=2时，f（x）=（（）x-2）2，当x=-log32时，f（x）=0，此时符合，当a=-1时，b=0.5时，f（x）=（（）x-0.5）2，当x=log32时，f（x）=0，此时不符合，故选：C．分别取特殊值，根据函数的零点和函数值的变化趋势即可判断本题考查了函数图象的识别，考查了指数对数函数和指数函数的性质，属于基础题17.【答案】D【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，排除法，属基础题．取特值排除．【解答】解：取a=6，b=5，c=2，d=8可排除A，C；取a=7，b=4，c=2．d=6可排除B；故选：D．18.【答案】B【解析】解：正方体ABCD-A1B1C1D1，空间一动点P满足A1P⊥AB1，则点P在对角面A1BCD1内，∵∠APB1=∠ADB1，则点P的轨迹为以PB1为母线，AB1所在直线为高对圆锥对底面圆上．因此点P的轨迹为圆．故选：B．正方体ABCD-A1B1C1D1，空间一动点P满足A1P⊥AB1，可得点P在对角面A1BCD1内，根据∠APB1=∠ADB1，可得点P的轨迹为以PB1为母线，AB1所在直线为高对圆锥对底面圆上．本题考查了空间位置关系、圆锥与圆的定义、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】{2} {1，2，3}【解析】解：∵集合A={1，2}，集合B={2，3}，∴A∩B={2}，A∪B={1，2，3}．故答案为：{2}，{1，2，3}．利用交集、并集定义直接求解．本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】【解析】解：实数x，y满足x2+4y2=2，则2=x2+4y2≥4|xy|，当且仅当|x|=2|y|时取等号即|xy|≤，∴-≤xy≤故xy的最大值为，故答案为：利用基本不等式即可求出结果．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．21.【答案】2【解析】解：如图所示：在直角三角形ACD中，cos∠CAD==，而•=AB×AC×cos∠CAD=2×AC×=2．故答案为：2由圆的性质得出cos∠CAD==，由数量积的定义可得答案．本题考查数量积的求解，涉及圆的知识和数量积的定义，属基础题．22.【答案】1【解析】解：当n=1时，，解得，当n≥2且n∈N*时，由得：，即，整理得：⇒，即=，∴a n=S n-S n-1===，因为满足，∴，则，∴===，∵，∴，即，∴a n+1-a n＜0，即数列{a n}为递减数列，又==1，∴a n＞1，则整数k的最大值为1．故答案为：1．根据可求得，进而得到a n的通项公式，根据通项公式可证得数列{a n}为递减数列，可求得，由此得到k的最大值为1．本题考查数列综合应用问题，关键是能够利用S n求得a n的通项公式，进一步证明得到数列为递减数列，从而通过极限求得结果，难点是对于数列是递减数列的证明上，对计算能力要求较高．23.【答案】解：（Ⅰ）由，得f（0）=2sin0sin；（Ⅱ）∵=2sin x cosx=sin2x，∴f（x）的最小正周期为π；（Ⅲ）∵y=f（x+φ）=sin（2x+2φ）为偶函数，∴对任意x∈R都有sin（-2x+2φ）=sin（2x+2φ），即-sin2x cos2φ+cos2x si n2φ=sin2x cos2φ+cos2x sin2φ，即sin2x cos2φ=0，∴cos2φ=0，∵0＜φ＜，∴φ=．【解析】（Ⅰ）直接在函数解析式中取x=0求解；（Ⅱ）利用诱导公式及倍角公式变形，再由周期公式求周期；（Ⅲ）由y=f（x+φ）=sin（2x+2φ）为偶函数，可得对任意实数x都有sin2x cos2φ=0，即cos2φ=0，再结合φ的范围求解．本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=A sin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是中档题．24.【答案】解：（1）点M（2，2）在抛物线y2=2px（p＞0）上，故有22=4p，所以p=1，从而抛物线的方程为y2=2x，设直线l的方程为x=m（y-2）+2，代入y2=2x，得y2-2my+4m-4=0．由l与抛物线相切可知，△=4m2-4（4m-4）=0，解得m=2，所以直线l的方程为x=2（y-2）+2，即y=．（2）设直线l的方程为x=my+t（m≠0），代入y2=2px得y2-2pmy-2pt=0．由直线l与抛物线相切可知△=y2-2pmy+8pt=0，所以t=-①又因为直线l与圆x2+y2=1相切，所以，即t=1+m2②将①式代入②式得，所以．设M的坐标为（x0，y0），则y0=pm，从而x0=my0+t=．所以|MN|2=|OM|2-|ON|2===1+-1=≥8，因此当|m|=时．|MN|的长度有最小值，最小值为2．【解析】（1）将M点坐标代入抛物线方程，可得到p的值已以及抛物线的方程，设出直线方程，根据直线与抛物线相切，联立直线和抛物线的方程，消去x，令△=0可得直线方程．（2）设出直线方程，根据直线和抛物线相切，直线与圆相切，将参数减少的一个，再根据|MN|2=|OM|2-|ON|2将|MN|表示成参数的函数，求最值即可．本题考查了直线与抛物线，直线与圆的位置关系，综合性较强，属于难题．25.【答案】解：（Ⅰ）当a=-1，b=2时，由题意知，解得0≤x≤2，所以f（x）的定义域为[0，2]．（Ⅱ）当a=1时，，（i）当，即b≥0时，f（x）定义域为[0，+∞），值域为[，+∞），所以b≥0时，f（x）不是“同域函数”；（ii）当时，即b＜0，当且仅当△=b2-8=0时，f（x）为“同域函数”，所以，综上可知，b的值为．（Ⅲ）设f（x）定义域为A，值域为B；（i）当a＜-1时，a+1＜0，此时0∉A，0∈B，从而A≠B，所以f（x）不是“同域函数”；（ii）当-1＜a＜0时，a+1＞0，设，则f（x）定义域为[0，x0]，①当时，即b≤0时，f（x）值域为B=[0，]，若f（x）为“同域函数”，则x0 =，从而，又因为-1＜a＜0，所以b的取值范围为（-1，0）．当时，即b＞0，f（x）值域为B=．若f（x）为“同域函数”，则，从而，．（*）此时，由可知（*）式不能成立；综上可知，b的取值范围为（-1，0）．【解析】（Ⅰ）建立不等式组求解即可；（Ⅱ）对分类讨论，结合新定义进行分析、求解；（Ⅲ）对a分两种情况讨论，紧扣“同域函数”的概念，建立方程进行求解．本题主要考查函数的定义域与值域，掌握新概念的本质是解题的关键，属于中档题目．。
2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(含详细答案)
2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题卷（时间80分钟，总分100分）选择题部分一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合{}0,1,2A =，{}1,2,3,4B =，则A B =（）A.∅B.{}1 C.{}2 D.{}1,2【答案】D【解析】∵{}0,1,2A =，{}1,2,3,4B =，∴{}1,2A B = .2.复数2i -（i 为虚数单位）的实部是（）A.1B.1-C.2D.2-【答案】C【解析】显然复数2i -的实部是2.3.函数()f x =的定义域是（）A.(),1-∞ B.[)1,+∞ C.(),1-∞- D.[)1,-+∞【答案】D【解析】∵10x +≥，∴1x ≥-，即函数()f x =的定义域为[)1,-+∞.4.已知tan 1α=，ππ,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭α，则α=（）A.4π B.π4-C.π3D.π3-【答案】A【解析】∵tan 1α=，∴ππ4k α=+，又ππ,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭α，∴π4α=.5.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到黄球的概率是（）A.15B.25C.35D.45【答案】C【解析】5个大小质地完全相同的球，黄球有3个，则随机摸出1个球，有5种方法，摸到黄球有3种方法，所以摸到黄球的概率为35.6.已知平面向量()2,4a =r ，(),6b x = .若//a b r r，则实数x =（）A.3-B.3C.12-D.12【答案】B【解析】由a b ∥，可得2640x ⨯-=，解得3x =.7.已知球的半径是2，则该球的表面积是（）A.2π B.4π C.8π D.16π【答案】D【解析】224π4π216πS R ==⨯=，8.设0a >，下列选项中正确的是（）A.313a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.2233a a-= C.2332a a a= D.2332a a a÷=【答案】A【解析】对于A ，311333a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，2223023331a aa a--===，故B 错误；对于C ，23213332362a a aa ==，故C 错误；对于D ，221133332a a a a a a-÷===，故D 错误.9.中国茶文化博大精深，茶水口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水的温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.已知在25℃的室温下，函数()600.9227250ty t =⨯+≥近似刻画了茶水温度y （单位：℃）随时间t （单位：min ）的变化规律.为达到最佳饮用口感，刚泡好的茶水大约需要放置（参考数据： 6.70.92270.5833≈，8.70.92270.4966≈）（）A.5min B.7min C.9min D.11min 【答案】B【解析】由题可知，函数()600.9227250ty t =⨯+≥，当 6.7t =，59.998y ≈，已经接近60，又函数()600.9227250ty t =⨯+≥在()0,∞+上单调递减，则大约在7min 时口感最佳.故A ，C ，D 错误.10.设a ，b 是实数，则“a b >”是“a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】对于a b >，比如3a ==-，显然13a b =<=，不能推出a b >；反之，如果a b >，则必有0,a a a b b >∴=>≥；所以“a b >”是“a b >”的必要不充分条件；11.在ABC 中，设2AD DB = ，2BE EC =，CF FA λ= ，其中R λ∈.若DEF 和ABC 的重心重合，则λ=（）A.12B.1C.32D.2【答案】D【解析】设O 为DEF 和ABC 的重心，连接DO 延长交EF 与N ，连接AO 延长交BC 与M ，所以N 是EF 的中点，M 是BC 的中点，所以()2211133233AO AM AB AC AB AC==+=+，2111133333DO DA AO AB AB AC AB AC=+=-++=-+，()()22113323DO DN DE DF DB BE DA AF==+=+++()112211121333313331AB BC AB AC AB AC AB AC λλ=+-+=-+-+++11213331AB AC λ=-+++，可得21131λ=++，解得2λ=.12.如图，棱长均相等的三棱锥-P ABC 中，点D 是棱PC 上的动点（不含端点），设CD x =，锐二面角A BD C --的大小为θ.当x 增大时，（）A.θ增大 B.θ先增大后减小 C.θ减小 D.θ先减小后增大【答案】C【解析】由题意，三棱锥-P ABC 是正四面体，以PBC 的重心为原点，BC 边的中线PG 为x 轴，OA 为z 轴，过O 点平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图：设三棱锥P -ABC的棱长为，则有：22221228OA AP PO =-=-=，()(()()1,,0,0,,1,,2,0,0B A C P --，3231,,022x D x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(1,,1,,22x AB AD x ⎛-=--=-- ⎝ ，设(),,m t y z = 是平面ABD 的一个法向量，则有·0·0m AB m AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即01022t x x t y ⎧--=⎪⎛⎫⎛⎫⎨--+-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，令y =，解得(,,,t x z m x =-=-=-，显然()0,0,1n =是平面PBC 的一个法向量，cos m nm n θ∴===；显然当x =x 的取值范围是0x <<），πcos 0,2θθ==最大，当x >或x <时，cos θ都变大，即θ变小；二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13.图象经过第三象限的函数是（）A.2y x= B.3y x= C.23y x= D.1y x -=【答案】BD【解析】由幂函数的图象可知，A 中，2y x =过第一、二象限；B 中，3y x =过第一、三象限；C 中，320y x ==≥且定义域为R ，过第一、二象限；D 中，1y x -=过第一、三象限.14.下列命题正确的是（）A.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直B.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行C .过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线垂直D.过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线平行【答案】AC【解析】对于A ，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，有且仅有一条，故A 正确；对于B ，过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行，在这个平行平面内的经过已知点作直线，它就和已经平面平行，故过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故B 不正确；对于C ，由直线与平面垂直的性质知：过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直，故C 正确；对于D ，过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故D 不正确．15.在锐角ABC 中，有（）A.sin sin sin A B C +> B.222sin sin sin A B C +>C.cos cos sin A B C +> D.222cos cos sin A B C +>【答案】ABC【解析】对于A ，根据正弦定理，因为a b c +>可得sin sin sin A B C +>，故A 正确；对于B ，因为222cos 02a b c C ab+-=>可得222a b c +>，再由正弦定理可得222sin sin sin A B C +>，故B 正确；对于C ，因为π0,2A B <<中，所以0sin ,sin 1A B <<，所以()cos cos cos sin cos sin sin sin A B A B B A A B C +>+=+=，故C 正确；对于D ，当222π13cos cos sin 324A B C A B C ===⇒+=<=，故D 错误16.已知a ∈R ，设()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2y x a =-与1sin y x =-图象的两个公共点，记()12f a x x =-.则（）A.函数()f a 是周期函数，最小正周期是πB.函数()f a 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.函数()f a 的图象是轴对称图形D.函数()f a 的图象是中心对称图形【答案】BC【解析】分别作出()2y x a =-与1sin y x =-（周期为2π）的图象（如图）.对于B ，由图可知，当3ππ,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递增；当ππ,22a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递减，故B 正确；对于C 、D ，对于任意a ∈R ，此时作()2y x a =-关于2x π=-的对称函数()2πy x a =---⎡⎤⎣⎦，且1sin y x =-也关于2x π=-对称，故()()πf a f a --=，即()f a 关于2x π=-对称，即()f a 关于2x π=-对称，故C 正确，D 错误.错误.对于A ，由于当3ππ,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递增；当ππ,22a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递减，()f a 关于π2x =-对称，由于1sin y x =-是最小正周期为2π的函数，其图象呈周期性变换，而()2y x a =-在平移过程中大小与形状不变，所以()12f a x x =-呈周期性变换，根据函数的对称性作出()f a 的大致图像（如图），可知其为周期函数，且最小正周期为2πT =，故A错误；非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每空分3分，共15分）17.已知函数()25,1,log ,1,x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩则()1f -=______，()1f f -=⎡⎤⎣⎦______.【答案】①.4②.2【解析】()1154f -=-+=；()()214log 42f f f ⎡⎤-===⎣⎦.故答案为：4；2.18.某广场设置了一些石凳供大家休息，每个石凳都是由正方体截去八个一样的四面体得到的（如图，从棱的中点截）.如果被截正方体的棱长是4（单位：dm ），那么一个石凳的体积是______（单位：3dm ）.【答案】1603【解析】正方体的体积为3464=，正方体截去的八个四面体是全等的正三棱锥，截去的一个正三棱锥的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=，则石凳的体积为416064833-⨯=.19.已知实数0x >，0y >，则2x yx y x++的最小值是______.【答案】1-【解析】211x y x y xx y x x y x ++=+-≥-++，当且仅当2x y xx y x+==+.20.已知平面向量a ，b 是非零向量.若a 在b上的投影向量的模为1，21a b -= ，则()4a b b -⋅ 的取值范围是______.【答案】[]3,4【解析】解：由题意，令(),0b b = ，()1,a y =±，则()()2221221a b b y -=⇒±-+= ，所以[]240,1y ∈，由21a b -= ，得22441a a b b -⋅+= ，所以()2441a b b a -⋅=- .()[]222411433,4y y ⎡⎤=±+-=+∈⎣⎦.四、解答题（本大题共3小题，共33分）21.在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组[)40,50，第二组[)50,60，L ，第六组[]90,100，画出频率分布直方图如图所示.（1）求第三组[)60,70的频率；（2）估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数.解：（1）由频率分布直方图知，第三组的频率为0.020100.2⨯=.（2）平均值450.00410550.01210650.02010750.03010850.02410x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯950.0101073.8+⨯⨯=，因为()0.0040.012100.16+⨯=，()0.0040.0120.020100.36++⨯=，所以第25百分位数为0.250.16601064.50.2-+⨯=.22.已知函数()222cos f x x x =+.（1）求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期；（3）当[],2x t t ∈（[][],20,2πt t ⊆）时，()1f x ≤恒成立，求实数t 的最大值.解：（1）22πππππ22cos 2cos 144424f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）()2π22cos 2cos 212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（3）当[],2x t t ∈，()1f x ≤恒成立，即π2sin 2116x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，所以π1sin 206x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，因为[],2x t t ∈，[][],20,2πt t ⊆，所以πππ242π66t t ≤+<+≤，解得5π11π1224t ≤≤，即实数t 的最大值为11π24.综上，π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小正周期为π，实数t 的最大值为11π24.23.已知函数()()20xa f x a x x x=+->，其中1a >.（1）若()24f ≤，求实数a 的取值范围；（2）证明：函数()f x 存在唯一零点；（3）设()00f x =，证明：()22021222a a f x a a -+<+<-+.解：（1）因为()()20xaf x a x x x=+->，由()2224f a a =+-≤，可得220a a --≤，所以()()210a a -+≤，即12a -≤≤，又1a >，所以12a <≤；（2）证明：因为函数()()20xaf x a x x x=->，其中1a >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，且()11210f a a a =+-=-<，()221722024f a a a ⎛⎫=+-=-+> ⎪⎝⎭，所以由零点存在定理，得()f x 在()1,2内有唯一零点，即函数()f x 存在唯一零点；（3）证明：若()00f x =，则()()001,212,3x x ∈⇒+∈，所以()()20221f a a f x =+-<+，又()000020xa f x a x x =+-=，0002x a a x x =-，所以()()()021000000022211111x a a af x ax ax x x x x ++=++-=-++-++()200002211a x a x x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，令()()22000002222212211g a a a f x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+-++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，又0220x ->，所以()g a 的图象开口向上，对称轴()()200020000000221104141222x x x x x x a x x x x ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭=-=-=--+⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，所以()g a 在()1,+∞上单调递增，所以()()20000002222121211111g a g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫>=-⋅+-+⋅+-=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()()22000000000000002122120111x x x x x x x x x x x x x x +-+++-+-===>+++，即()201222f x a a +<-+，所以()22021222a a f x a a -+<+<-+.。
2022年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(学生版+解析版)
数学试题
一、选择题（本大题共18小题， 每小题3分， 共54分， 每小题列出的四个备选项中只有一个
是符合题目要求的， 不选、多选、错选均不得分）
I.己知｜集合P={O, I. 2}, Q={ I. 2, 3｝， 则PnQ= ( )
A (O}
B. {0, 3}
c. { 1, 2}
A.2
B.2.Ji百
c. 8
D. 4M
15.如阁，正方体 ABCD-A,B1C1D1 中，N是梭 DDI 的中点，则直线 CN 与平而 DBB1 D1 所成角的正强健 等于（ ）
D,
A,.
N 人 ·· L
／ D
B,
－ － a
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p
t
A hL ，， B
A.
_!_ 2
Jw B.一一一
c. 一Ji一s一
D. '!:JJi
D. (-1, -2)
冯； · (x+1)2 +(y-2) 2 =4 的圆心坐标为（ - l
故；i在：A.
6.某几何体的三视图如 l到所示，则这个几何体可能是（
厂＼厂＼
。
A.棱校
B.回校
【答案】C
【j衍析】
【分析】根据几何体的特征可以直接求出结果
【详解】由三视图知， 从正面非II侧面看都是梯形，
C.四台
故地：B
� 12.为了得到函数y
=cosl
\
x
－
3
JI的｜到象
，
可以将函数y = cosx的图象（
）
A向左 移二个单位长度 C时平时个单位长度 【答案】D
－ B 向 右 平 移 3π 个 曲中 恍
2023年7月浙江高中学业水平考试数学试卷试题真题(含答案详解)
2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟.考生注意：1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项〃的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.3. 非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内,作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.选择题部分（共52分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.己知集合，= {-1,0,1,2}, 3 = {x|x 〉0},则下列结论不正确的是（）B. 0^A(^B A.leAC\BC.D.2.函数*的定义域是（）A.-00,——2B.C.D.1■00,—2#3—,+ oo{、 x > 0} - A\JB3.复数z = i （2 + i ）在复平面内对应的点位于)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知平面向量U = （L —1）, 5 = （2,4）,若则实数4 =2A. B. -2 C. D.-115.已知sin[ 0 + -^= cos 。
，贝\\ tan20 =)AMC.2^3丁D.2^36.上、下底面圆的半径分别为尸、2r,高为3尸的圆台的体积为A.771丫3B.217ir3C.（5+27!）兀尹D.（5+7^）*7.从集合｛123,4,5｝中任取两个数，则这两个数的和不小于5的概率是（）3749A.—B.—C.—D.—5105108.大西洋畦鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究畦鱼的科学家发现鲤鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v=klog3盐，其中。
表示畦鱼的耗氧量的单位数.若一条畦鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为8100,则游速为lm/s的畦鱼耗氧量是静止状态下畦鱼耗氧量的（）A.3倍B.6倍C.9倍D.12倍9.不等式（x-e）（e^-l）<0（其中e为自然对数的底数）的解集是（）A.{x|0<x<1}B.(x0<x<e}C.{x|xv0或x>l}D.{x|xvO或x>e}10.已知。
浙江普通高校招生学业水平考试数学试题(解析版)
浙江普通高校招生学业水平考试数学试题一、选择题1．已知集合{3,4,5,6}A =，{}B a =，若{6}A B =I ，则a =（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D.【解析】试题分析：由{6}A B =I 可知6a =，故选D. 【考点】集合的运算.2．直线1y x =-的倾斜角是（ ） A.6π B.4π C.2π D.34π 【答案】B.【解析】试题分析：记直线1y x =-的倾斜角为θ，∴tan 14πθθ=⇒=，故选B.【考点】直线的倾斜角.3．函数()ln(3)f x x =-的定义域为（ ）A.{|3}x x >-B.{|0}x x >C.{|3}x x >D.{|3}x x ≥ 【答案】C.【解析】试题分析：由303x x ->⇒>，故定义域为{|3}x x >，故选C. 【考点】函数的定义域.4．若点(3,4)P -在角α的终边上，则cos α=（ ） A.35-B.35C.45-D.45【答案】A.【解析】试题分析：由任意角的三角函数的定义可知，3cos 5x r α==-，故选A. 【考点】任意角的三角函数定义.5．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 的坐标满足方程22(1)(3)4x y -+-=，则点P 的轨迹经过（ ）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限 【答案】A.【解析】试题分析：由题意得，点P 在以(1,3)为圆心，2为半径的圆上，如下图所示，故可知点P 在第一、二象限，故选A.【考点】圆的标准方程. 6．不等式组36020x y x y -+>⎧⎨-+≤⎩表示的平面区域（阴影部分）是（ ）【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，不等式组表示的区域应为直线360x y -+=的下方以及直线20x y -+=的上方及其边界所围成的区域，故选B. 【考点】二元一次不等式组与平面区域. 7．在空间中，下列命题正确的是（ ） A.经过三个点有且只有一个平面B.经过一个点和一条直线有且只有一个平面C.经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个D.经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个 【答案】D.【解析】试题分析：A ：若三点共线，则平面有无数个，故A 错误；B ：若点在线上，则平面有无数个，故B 错误；C ：若点在线上，则该平面不存在；D 正确，故选D. 【考点】空间中点、线、面的位置关系.8．已知向量a r ，b r ，则“//a b r r”是“||||||a b a b -=-r r r r ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B.【解析】试题分析：设a r ，b r 的夹角为θ，故22()(||||)||||||||||a b a b a b a b a b ⎧-=-⎪-=-⇔⎨≥⎪⎩r r r r r r r r r r||||(1cos )0||0||||a b b a b θ⎧⋅⋅-=⎪⇔⇔=⎨≥⎪⎩r u u rr r r r 或cos 1θ=，故是必要不充分条件，故选B. 【考点】1.共线向量；2.充分必要条件. 9．函数2()12sin 2f x x =-是（ ）A.偶函数且最小正周期为2πB.奇函数且最小正周期为2πC.偶函数且最小正周期为πD.奇函数且最小正周期为π【答案】A.【解析】试题分析：2()12sin 2cos 4f x x x =-=，故是偶函数且最小正周期为242T ππ==，故选A. 【考点】1.二倍角公式；2.三角函数的性质.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，若48a =，4=20S ，则8a =（ ） A.12 B.14 C.16 D.18 【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，144141204201022a a S a a a +=⇒⨯=⇒+=⇒=，∴4123a a d -==， ∴81716a a d =+=，故选C.【考点】等差数列的通项公式.11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A.32cm B.322cm C.32cm D.322cm 【答案】A.【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为一三棱锥，故其体积11221232V =⨯⨯⨯⨯=，故选A.【考点】1.三视图；2.空间几何体的体积.12．设向量(2,2)a x =-r ，(4,)b y =r ，(,)c x y =r ，x ，y R ∈，若a b ⊥r r，则||c r 的最小值是（ ） A.25 B.45C.2D.5 【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，4(2)20240x y x y -+=⇒+-=，故||c r的最小值即为原点到直线240x y +-=的距离：4555d ==，故选B. 【考点】1.平面向量数量积；2.点到直线距离公式.13．如图，设AB 为圆锥PO 的底面直径，PA 为母线，点C 在底面圆周上，若2PA AB ==，AC BC =，则二面角P AC B --大小的正切值是（ ）6677 【答案】B.【解析】试题分析：如图，取AC 中点D ，连结PD ，OD ，由题意得，PD AC ⊥，OD AC ⊥，故PDO ∠即为二面角P AC B --的平面角，在Rt PDO ∆中，3tan622POPDO OD∠===，故选B.【考点】二面角的求解.14．设函数2()()x f x e =，()()3x e g x =，其中e 为自然对数的底数，则（ ） A.对于任意实数x 恒有()()f x g x ≥ B.存在正实数x 使得()()f x g x >C.对于任意实数x 恒有()()f x g x ≤D.存在正实数x 使得()()f x g x < 【答案】D.【解析】试题分析：∵22()6()()f x g x e =，6e <，∴2601e<<，∴当0x >时，()1()()()f x f xg x g x <⇒<， 当0x <时，()1()()()f x f x g x g x >⇒>，当0x =时，()1()()()f x f xg x g x =⇒=，故选D.【考点】函数的性质.15．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12||F F 为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若12||3||F B F A =，则该双曲线的离心率是（ ） A.54 B.43 C.32D.2 【答案】C.【解析】试题分析：如下图所示，连结1AF ，由题意得，1112||||||2F A F B F F c ===，21212||||33cF A F B ==，又∵12||||2F A F B a -=，∴232232c c c a e a -=⇒==，故选C.【考点】双曲线的标准方程及其性质.16．函数()f x 按照下述方法定义：当2x ≤时，2()2f x x x =-+；当2x >时，1()(2)2f x f x =-，方程1()5f x =的所有实数根之和是（ ） A.8 B.13 C.18 D.25【答案】C.【解析】试题分析：如下图所示，画出()f x 的函数图象，根据对称性可知，方程1()5f x =共有6个实数根，其和为261018++=，故选C.【考点】1.函数与方程；2.数形结合的数学思想.【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．17．设实数a ，b ，c 满足：1a b >>，1c >，则下列不等式中不成立．．．的是（ ） A.b a bca ab ac +<<+ B.1a bc b a b ac +<<+C.1a bc c c b ac+<<+ D.a bc ab b acab +<<+ 【答案】D. 【解析】试题分析：令()(1)a bxf x a b b ax+=>>+，∴222()()()b b b ax a a bx b a b a a f x b ax b ax a a ax b +⋅+-+-===++++， ∴22()1()b b a b f c a a a a b -<<+=+，A ：()1b f c a a<<<，故A 成立；B ：1()1b f c b a a <<<<，故B 成立；C ：11()()11=b b ac bc b c a bc c c c b ac b ac c b ac c+⋅+--+=+>+++，()1f c c <<，故C 正确；D ：∵b a b ba ab a b--=，其差的符号未定，故D 不一定成立；故选D.【考点】1.构造函数；2.不等式的性质.【思路点睛】一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，注意放宽条件和加强条件与其结论的关系，以及条件与结论间的相互联系，而有些不等式的问题，由于条件的限制，利用不等式的性质难以解决，此时可以构造相应的函数，从函数的的观点来解决. 18．如图，在四面体ABCD 中，2AB CD ==，3AD BD ==，4AC BC ==，点E ，F ，G ，H 分别在棱AD ，BD ，BC ，AC 上，若直线AB ，CD 都平行于平面EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值是（ ）A.12B.22C.1D.2【答案】C.【解析】试题分析：=()AB CD CB CA CD CB CD CA CD⋅-⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1649164942420242242+-+-=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，∴AB CD GH HE ⊥⇒⊥u u u r u u u r ，设(01)AH k k AC =<<，则1CH k AC=-，由AHE ACD ∆∆:， ∴2HE kCD k==，同理(1)2(1)GH k AB k =-=-，∴4(1)EFGH S HE GH k k =⨯=-214()12k k +-≤⋅=，当且仅当112k k k =-⇒=时，等号成立，故选C. 【考点】1.线面平行的性质；2.立体几何中的最值问题.【方法点睛】立体几何的综合应用问题中常涉及最值问题，处理时常用如下两种方法：1.结合条件与图形恰当分析取得最值的条件；2.直接建系后，表示出最值函数，转化为求最值问题；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.二、填空题19．已知抛物线22y px =过点(1,2)A ，则p =______，准线方程是______. 【答案】2，1x =-.【解析】试题分析：由题意得，422p p =⇒=，∴准线方程是12px =-=-，故填：2，1x =-.【考点】抛物线的标准方程及其性质.20．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，若11a =，121n n a S +=+，则5S =_______. 【答案】121. 【解析】试题分析：由题意得，1111112121313()22n n n n n n n n n a S S S S S S S S ++++=+⇒-=+⇒=+⇒+=+， ∴1{}2n S +是以32为首项，3为公比的等比数列，∴455132433121222S S +=⋅=⇒=，故填：121.【考点】数列的通项公式及其运算.21．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，2AB AC ⋅=u u u r u u u r ，若点P 满足2BP PC =u u u r u u u r，则AP BC ⋅=u u u r u u u r______.【答案】4. 【解析】试题分析：如下图所示，则可知2212()3333AP AB BP AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴22121214182()()433333333AP BC AB AC AC AB AB AC AB AC ⋅=+⋅-=-+-⋅=-+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故填：4.【考点】平面向量数量积及其运算.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果. 22．函数设1()3()2f x x a R ax =+∈+，若其定义域内不存在．．．实数x ，使得()0f x ≤，则a 的取值范围是_____.【答案】2[0,]3.【解析】试题分析：若0a =：1()32f x x =+，符合题意；若0a <：()f x 的定义域为22[3,)(,)a a---+∞U ，故取22121()332()2f t t t a a a at a t a -+=-++=-++-++，其中0t >，显然，当0t +→时，2()f t a -+可取负值，故0a <不合题意；若0a >：①：2233a a -=-⇒=，1()3223f x x x =++，定义域为(3,)-+∞，显然()0f x >恒成立，符合题意；②22303a a -<-⇒<<：()f x 的定义域为[3,)-+∞，此时2320ax a +≥-+>，()0f x >恒成立，符合题意；③：2233a a ->-⇒>：()f x 的定义域为22[3,)(,)a a---+∞U ，取22121()332()2f t t t a a a at a t a--=--+=--+--+，其中203t a <≤-，显然，当0t +→时，2()f t a --可取负值，故23a >不合题意；综上所述，可知实数a 的取值范围是2[0,]3，故填：2[0,]3.【考点】1.恒成立问题；2.函数综合题；3.分类讨论的数学思想.【思路点睛】一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值，另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：1.()a f x >恒成立max ()a f x ⇔>；2.()a f x <恒成立min ()a f x ⇔<；3.()a f x >有解min ()a f x ⇔>；4.()a f x <有解max ()a f x ⇔<.三、解答题23．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 23cos C C =，其中C 为锐角.（1）求角C 的大小；（2）1a =，4b =，求边c 的长. 【答案】（1）3π；（2）13. 【解析】试题分析：（1）根据条件中给出的式子进行三角恒等变形即可求解；（2）利用（1）中求得的C 的大小结合余弦定理即可求解.试题解析：（1）由2sin 23cos C C =得2sin cos 3cos C C C =，又∵C 为锐角，∴cos 0C ≠，从而3sin C =，故3C π=；（2）由1a =，4b =，根据余弦定理得2222cos133c a b ab π=+-=，故边c 的长是13.【考点】1.三角恒等变形；2.解三角形．24．设1F ，2F 为椭圆22143x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(1,)m -，过点2F 的直线与椭圆交于A ，B 两点.（3）求1F ，2F 的坐标；（4）若直线PA ，2PF ，PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值. 【答案】（1）1(1,0)F -，2(1,0)F ；（2）2-，1-，0，1，2.【解析】试题分析：（1）根据条件中给出的椭圆的标准方程即可求解；（2）设出直线AB 的方程，将其与椭圆方程联立后利用韦达定理结合条件斜率之和为0可得到m 的函数表达式，求得其范围后即可求解.试题解析：（1）由椭圆的标准方程是22143x y +=，可知1(1,0)F -，2(1,0)F ；（2）①当直线AB 的斜率不存在时，由对称性可知0m =；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由题意得11x ≠-，21x ≠-，直线PA 的斜率为1111()11y m kx k m x x --+=++，直线2PF 的斜率为2m-， 直线PB的斜率为2222()11y m kx k m x x --+=++，由题意得1212()()0121kx k m kx k m m x x -+-+-+=++，化简整理得1212(4)3()(45)0(*)k m x x m x x k m --+-+=， 将直线AB 方程(1)y k x =-代入椭圆方程，化简整理得222(43)84120k x k x k +-+-=，由韦达定理得2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，代入(*)并化简整理得 216200k m k m ++=，从而220161km k =-+， 当0k =时，0m =； 当0k ≠时，220||5||1612k m k =≤=+，故m 的所有整数值是2-，1-，0，1，2.【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．【思路点睛】对于圆锥曲线的综合问题，①要注意将曲线的定义性质化，找出定义赋予的条件；②要重视利用图形的几何性质解题；③要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙运用“设而不求”、“整体代入”、“点差法”、“对称转换”等方法.25．设函数21()(|1|)f x x a =--的定义域为D ，其中1a <. （1）当3a =-时，写出函数()f x 的单调区间（不要求证明）；（2）若对于任意的[0,2]x D ∈I ，均有2()f x kx ≥成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间是(,1]-∞，单调递减区间是[1,)+∞；（2）当23a <时，214(1)k a ≤-，当213a ≤<时，21k a ≤. 【解析】试题分析：（1）对x 的取值范围分类讨论，去绝对值号后即可求解；（2）分析题意可知，问题等价于min 2()[]f x k x≤，对a 和x 的取值分类讨论，求得函数最值后即可求解.试题解析：（1）当3a =-时：2221(4)1()1(|1|3)(2)x f x x x ⎧⎪-⎪==⎨-+⎪⎪+⎩，∴()f x 单调递增区间是(,1]-∞，单调递减区间是[1,)+∞；（2）当0x =时：不等式2()f x kx ≥成立；当0x ≠时：2()f x kx ≥等价于21[(|1|)]k x x a ≤--，设(1),01()(|1|)[(1)],12x x a x h x x x a x x a x --<≤⎧=--=⎨-+<≤⎩， ∵|1|0x a --≠，∴1x a ≠±，即{|1}D x x a =≠±，若1a <-：(0,2](0,2]D =I ，()h x 在(0,2]上单调递增，∴0()(2)h x h <≤， 即0()2(1)h x a <≤-，故214(1)k a ≤-；若1a =-：(0,2](0,2)D =I ，()h x 在(0,2)上单调递增，∴0()(2)h x h <<，即0()2(1)h x a <<-，故214(1)k a ≤-；若10a -<<：(0,2](0,1)(1,1)(1,2]D a a a a =++--I U U ，()h x 在1(0,]2a-上单调递增，1[,1]2a -上单调递减，[1,1)a -上单调递增，(1,2]a -上单调递增，∴max 1()max{(2),()}2ah x h h -=，而21(1)(1)(7)(2)()220244a a a a h h a ---+-=--=>，∴1(2)()2ah h ->，∴0()(2)h x h <≤，即0()2(1)h x a <≤-，故214(1)k a ≤-； 若0a =：(0,2](0,1)(1,2]D =I U ，()h x 在1(0,]2上单调递增，在1[,1)2上单调递减，在(1,2]上单调递增，∴1(1)()max{(2),()}2h h x h h <≤，而(2)2h =，11()24h =，∴0()2h x <≤，14k ≤； 若01a <<：(0,2](0,1)(1,1)(1,2]D a a a a =--++I U U ，()h x 在1(0,]2a-上单调递增，在1[,1)2aa --上单调递减，(1,1]a -上单调递减，在[1,1)a +上单调递增，在(1,2]a +上单调递增， ∴1(1)()max{(2),()}2ah h x h h -≤≤且()0h x ≠，而21(1)(2)()2224a a h h a ---=--(1)(7)4a a -+=>，∴()22a h x a-≤≤-且()0h x ≠，故当|22|||a a ->-⇒203a <<时， 214(1)k a ≤-；当2|22|||13a a a -≤-⇒≤<，21k a≤； 综上所述，当23a <时，214(1)k a ≤-，当213a ≤<时，21k a ≤. 【考点】1.函数综合题；2.分类讨论的数学思想．【思路点睛】二次函数在区间上的最值或值域问题，通常有两种类型：其一是定函数(解析式确定)，动区间(区间的端点含有参数)；其二是动函数(解析式中含有参数)，定区间(区间是确定的)．无论哪种情况，解题的关键都是抓住“三点一轴”，“三点”即区间两端点与区间中点，“一轴”即为抛物线的对称轴．对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”，只不过讨论要复杂一些而已．。
2023-2024学年浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试数学模拟试题A ．()e ln xf x x =⋅C ．()e ln xf x x=+()0,πα∈A ．．．．．已知函数()e 2x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩的方程()f x a =有两解，．1ea =B ea =D ．如图，在棱长为2的正方体中，E 为棱C D ''的中点，过,,A D BC '''分别交于点A ．存在点H ，使得AE ⊥B ．线段D G '的长度的最大值是C ．当点F 与点C 重合时，多面体D ．点D 到截面AEF 的距离的最大值是19．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为20．已知函数()12e2x f x x x -=+-，则使得四、解答题（本大题共3小题，共21．已知函数()22cos sin 2f x x x ⎛=+ ⎝(1)求AA '的长；(2)若D 为线段AC 的中点，求二面角23．已知函数()(2f x x x =+(1)当0a =时，求()f x 的单调区间；16．BD【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量求解【详解】为原点，DC 为y 轴，DA 为x 轴，DD )()()('2,0,0,0,1,2,0,0,0,0,0,2E D D ()()'2,1,2,,2,2,AE D H p =-=- 点不在线段BC 上，错误；平面//ABCD 平面''''A B C D ，GE AH 、GE ，此时1m =，88,5489x DO ==-+梯形AFEG 的高()22252⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭四棱锥D AFEG -的体积D AFEG V -由②③式可知，当42255m ==⨯时，故选：BD.23．(1)单调递减区间为10,⎛ ⎝(2)(][),31,-∞-⋃+∞【分析】（1）将函数写成分段函数，结合二次函数的性质得到函数的单调区间；（2）不妨令12x x <，则(f。
浙江省强基(培优)联盟2024年高二下学期7月学考联考(期末)数学试题及答案
浙江强基（培优）联盟2024年7月学考联考高二数学试题卷一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有（时间80分钟总分100分）选择题部分一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．函数()f x = ）A ．[)1,+∞B ．[)1,−+∞C ．(],1−∞D ．(],1−∞−2．已知集合{}{}21,2,3,4,20AB x xx ==−−=，则A B = （ ）A ．{}1,1,2,3,4−B ．{}1,2,3,4C ．{}1,0,1,2,3,4−D ．{}2,1,2,3,4−3．在ABC △中，D 为边AB 的中点，则（ ）A ．0AD BD −=B ．0AD DB +=C ．CB CD BD −=D ．2CA CB CD +=4．数据1，2，3，4，5，6，7，7的第25百分位数是（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.55．从第4题所给的数据中随机选择一个数，则这个数平方的个位数是6或9的概率为（ ） A ．14B ．38C ．12D ．586．已知空间中两个不重合的平面α和平面β，直线l ⊂平面α，则“l β∥”是“αβ∥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．不等式1101x +≤−的解集是（ ） A ．[)0,1B ．(]0,1C ．[]1,2D ．(]1,28．近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为181425G L=×，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，G 表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg20.301≈）（ ） A ．16B ．72C ．74D ．909．在ABC △中，已知角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知45,75a B C ==°=°，则b 等于（ ）A ．2B ．CD ．10．已知函数()222x x f x =−，则其图象一定不过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知α为锐角，且22sin cos cos sin 55ππαα=，则sin2α的值为（ ） A ．45 B ．513C ．2425D ．91612．已知正方体1111ABCD A B C D −，点M 在1B C 上运动（不含端点），点N 在11B D 上运动（不含端点），直线MN 与直线AC 所成的角为α，直线MN 与平面1ACB 所成的角为β，则下列关于,αβ的取值可能正确的是（ ） A ．30α=°B ．45α=°C ．60β=°D ．75β=°二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13．民营经济是推进中国式现代化的生力军，是浙江的最大特色、最大资源和最大优势．为了更好地支持民营企业的发展，我省某市决定对部分企业的税收进行适当的减免．某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）A ．样本数据落在区间[)300,500内的频率为0.45B ．若规定年收人在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型民营企业能享受到减免税政策C ．若该调查机构调查了100家民营企业，则年收人不少于400万元的有80家D ．估计样本的中位数为480万元14．已知复数12,z z ，则下列结论正确的有（ ） A ．2211z z = B ．1212z z z z +=+ C ．1212z z z z =⋅D ．1212z z z z +=+15．已知平面向量12,e e 的夹角为π3，且121e e == ，若12122,a e e b e e =−=+ ，则下列结论正确的是（ ）A ．a b ⊥B ．a =C ．a b a +=D ．a 在b 上的投影向量为12b −16．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+−为奇函数．此结论与必修一教材上的结论相吻合，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()211x f x x +=−的图象关于点()1,2成中心对称图形 B ．若定义在R 上的函数()f x 对任意的x 都有()()22f x f x ++−=，则函数()f x 图象的对称中心为()2,2C ．若()yf x a =+是偶函数，则()f x 的图象关于直线x a =成轴对称D ．若函数()f x 满足()11y f x =+−为奇函数，且其图象与函数()422x g x =+的图象有2024个交点，记为()(),1,2,,2024i i i A x y i = ，则()202414048ii i xy =+=∑非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17．已知一圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为________；体积为________． 18．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖懦是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角ABC △中，AD 为斜边BC 上的高，3,4AB AC ==，现将ABD △沿AD 翻折成AB D ′△，使得四面体AB CD ′为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为________19．设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()121,,234P A P B P AB ===，则()P A B = ________． 20．若函数()20(1)f x x ax b a =++=>的值域为[)0,+∞，则11a b a ++−的最小值为________． 四、解答题（本大题共3小题，共33分）21．已知函数()πsin2sin 23f x x x=−+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）已知锐角ABC △三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2,3b c ==，若()f A =，求ABC △的面积．22．如图，在三棱台111ABC A B C −中，1111124,AA AC AC BC CC AA =====⊥平面,,ABC AB BC D ⊥为AB 的中点．（1）证明：111A B DC ⊥．（2）过11,,A D C 的平面把三棱台111ABC A B C −分成两部分，体积分别是1V 和()212V V V <，求12V V 的值． （3）求平面1CC D 和平面1ABB 所成锐二面角的正切值．23．已知函数()()21,0,2,0,x x f x g x x x −≥== −< ． （1）若()()f x g x ≤，求x 的取值范围． （2）记{}(),max ,(),a ab a b b a b ≥=< 已知函数()(){}max ,2yf xg x ax −−有k 个不同的零点．（ⅰ）若2k =，求a 的取值范围；（ⅱ）若3k =，且,αβ是其中两个非零的零点，求11αβ+的取值范围．浙江强基（培优）联盟2024年7月学考联考高二数学参考答案一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A D B D B A C A BDC1．解：要使函数有意义，则10x −≥，得1x ≤，所以函数的定义域为(],1−∞．故选C ． 2．解：因为{}{}1,2,3,4,1,2A B ==−，所以{}1,1,2,3,4A B− ．故选A ．3．解：由平行四边形法则可知2CA CB CE CD +==．故选D ．4．解：因为825%2×=，所以第25百分位数为2和3的平均数，即为2.5．故选B ．5．解：样本空间的样本点总数为8，事件A （这个数平方的个位数是6或9）的样本点为4，6，3，7，7，共5个，所以概率58P =．故选D ． 6．解：当l β∥时，α与β可能相交也可能平行，故l β∥不能推出αβ∥；反之，αβ∥可以推出l β∥．故“l β∥”是“αβ∥”的必要不充分条件．故选B ．7．解：不等式可化为1101x +=≤−，等价于()10,10,x x x−≤ −≠ 解得01x ≤<，所以不等式的解集为[)0,1．故选A ．8．解：由题意知，只要解不等式18141255G×≤ ，化简得42lg lg 1855G ≤．因为4lg 05<，所以lg2lg52lg214.118lg4lg53lg21G −−≥=≈−−，所以18 4.173.8G ≥×=．故选C ． 9．解：由三角形内角和定理得60A =°sin 45b =°，解得2b =．故选A ． 10．解：因为1x ≠，取2x =，得()22f =，所以()f x 在第一象限有图象，取12x =，得102f=<，所以()f x 在第四象限有图象，取1x =−，得()21(1)1022f −−−=<−，所以()f x 在第三象限有图象．由排除法知图象不过第二象限．故选B ．11．解：因为α是锐角，所以2π2ππ2π2ππ0cos ,0sin 552552αα<<<<<<， 所以2ππ2πcos sin 525αα=−，化简得5cos sin 4αα+=，平方得251sin216α+=， 所以9sin216α=．故选D ．12．解：由题意可知，四面体11D AB C 为正四面体，设直线AC 与平面11B D C 所成的角为1θ，易知1cos θ=由最小角定理得11,cos cos αθαθ><，故A ，B 错误．再设平面11B D C 与平面1ACB 所成的角为2θ，易知21cos 3θ=，由最大角定理得22,cos cos θβθβ><，代入选项得C 可能正确．故选C ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13141516ABD BC BCD ACD13．解：由()0.0010.00150.0020.000521001a ++++×=，得0.0025a =， 所以数据落在区间[)300,500内的频率为()0.0020.00251000.45+×=，A 正确； 数据落在区间[)200,500内的频率为()0.0010.0020.00251000.55++×=，B 正确；100n =，年收入大于或等于400万元的有四组，其频率和是()1000.00250.00250.00150.7×+++=，所以符合条件的民营企业有0.710070×=家，C 错误； 数据落在区间[)200,400内的频率为0.3，数据落在区间[)200,500内的频率为0.55，估计中位数为0.50.34001004800.25−+×=，D 正确．故选ABD ．14．解：对于A ，若1i z =，则22111,1z z =−=，故A 错误； 对于B，设12i,iz a b z c d =+=+，则()()()()1212i,i i i z z a c b d z z a b c d a c b d +=+−++=−+−=+−+，故B 正确；对于C ，设12i,i z a b z c d =+=+，则()()12i z z ac bd ad bc =−++==，2212z z ⋅=故C 正确；对于D ，若121i,i z z =+=，则121z z +=+，故D 错误．故选BC ．15．解：由题意得22121211,2e e e e ==⋅= ．对于A ，()()2212121122132212022a b e e e e e e e e ⋅=−⋅+=−⋅−=−−=−≠ ，故A 错误； 对于B，a =B 正确； 对于C ，方法同B ，故C 正确；对于D，易得b = a 在b 上的投影向量为31232a bb b b b b⋅⋅=−⋅=−，故D 正确．故选BCD ． 16．解：对于A ，因为()312f x x+−=为奇函数，所以()f x 的图象关于点()1,2成中心对称图形，故A 正确； 对于B，设()()g x f x a b=+−，若()g x 是奇函数，则()()()()0g x g x f x a b f x a b +−=+−+−+−=，所以()()2f x a f x a b ++−+=，因为()()22f x f x ++−=，所以()1f x +−1为奇函数，所以()f x 图象的对称中心为()1,1，故B 错误；对于C ，设()()g x f x a =+，因为()g x 是偶函数，所以()()g x g x =−，则()()f x a f x a +=−+，所以()f x 的图象关于直线x a =成轴对称，故C 正确；对于D ，显然()f x 的图象关于点()1,1成中心对称图形，再考虑()422x g x =+的对称性， ()422x g x =+可化为()()()4,22x a h x g x a b b h x +=+−=−+为奇函数， 则()()()00,11,h h h = −=− 即1140,2244,2222a a ab b −+ − + −=−+ ++即11448222222a a a−++=+++， 令2at =，则2124222t t t +=+++，即220t t −=，解得2t =或0t =（舍去）， 所以22a =，则1,1a b ==，因为()h x 为奇函数，所以()422xg x =+图象的对称中心为()1,1． ()f x 与()g x 有相同的对称中心，所以2024个交点每两个一组关于点()1,1中心对称，()()()2024123202412320241202420244048iii x y xx x x y y y y =+=+++++++++=+=∑ ，故D 正确．故选ACD ．三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17．2π 18．16π19．71220．317．解：由题意得圆锥的高h =，所以21π2π,π3S rl V r h ====侧． 18．解：由题意得AC 的中点是外接球的球心，所以22,4π16πR S R ===． 19．解：由概率的性质得()()()P A P AB AB P =+，所以()()()111244P AB P A P AB =−=−=，所以()()()()1217123412P A B P A P B P AB =+−=+−= ． 20．解：由题意得2Δ40a b =−=，所以()()2221144(2)4114141a a a b a a a a a a a +++++++====−−−−()()()22(1)6191(13)119116634141414a a a a a a a −+−+−+ ⋅=⋅=−++≥+= −−− ，当且仅当4a =时，等号成立，则最小值为3．四、解答题（本大题共3小题，共33分）21．解：（1）()πππsin 2sin 2sin 2sin 2cos cos2sin 333f x x x x x x=−+=−−1πsin 2sin 223x x x==−， 所以2ππ2T ==． （2）因为()πsin 23f x x =−，所以()πsin 23f A A=−=． 因为A 是锐角三角形的内角，所以ππ233A −=或π2π233A −=（舍去）， 所以π3A =．又2,3b c ==， 所以ABC △的面积1π23sin 23S =×××=． 22．（1）证明：如图1，连接1AC，得1AC =1BC ．因为1AA ⊥平面ABC ，所以1AA BC ⊥． 又BC AB ⊥，所以BC ⊥平面11ABB A ， 所以在直角梯形11BCC B中，1111BC B C BB A D====所以1BC =，即1ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，D 是AB 的中点，所以1AB DC ⊥．又11AB A B ∥，所以111A B DC ⊥．（2）解：如图2，取BC 的中点E ，连接1,DE C E ，可得11AC DE ∥． 所以过11,,A C D 的平面把棱台分成斜棱柱111DBE A B C −和几何体11ADECC A 由题意得()111128414233ABCA B C V =××++=棱台，111DBE-1442A B C V =××=棱柱． 因为1128164433ADECA C V =−=>几何体， 所以12164,3V V ==，故12431643V V ==．（3）解：如图3，取11A B 的中点F ，连接1,C F DF ，则DF 是平面1DCC 和平面11ABB A 所成二面角的棱，由于BC ⊥平面11ABB A ，过B 作FD 延长线的垂线，垂足为G ，连接CG ，易证得BGC ∠为所求的角．延长1AA 和1BB 交于点O ，过A 作FD 的垂线，垂足为H （如图4），易得8,AO AD ==，GBAH ==，所以tan BGC ∠==． 即平面1CC D 和平面11ABB A．23．解：（1）由题意得函数()g x 的定义域为[]1,1−．当[]0,1x ∈时，不等式()()f x g x ≤等价于21x −≤当[)1,0x ∈−时，不等式())f x g x ≤等价于2x −≤，即221x ≤，解得0x ≤<． 综上，()()f x g x ≤的解集为， 即当x的取值范围为时，()()f x g x ≤成立． （2）（ⅰ）令()()(){}()(),1max ,,1,f x x h x f x g x g x x −≤< ==≤≤ 原题可转化为()2h x ax =+的实根个数问题（二重根为一个零点）．当1x −≤≤时，即为()2f x ax =+，所以22x ax −=+至多一个实根①；当1x ≤≤时，即为()2g x ax =+，所以2ax =+至多两个实根②．由①知，21,2x a −=∈− + ，所以02a ≤<−，由②知，2ax =+，所以0x =或244a x a =−∈ +，所以2a ≤−或2a ≥+，且0a ≠．当2k =时，若0a =，则有两个零点0和-1，符合题意．当0a <时，①无实根，对于②，只要2414a x a =−≤+，化简得2(2)0a +≥，则20a −≤<，符合题意．当0a >时，若02a <<−，则有三个不等实根，不符合题意．若2a =−，则有两个零点0和，符合题意．若2a >−，则仅有一个零点0，不符合题意．综上所述，当2k =时，a 的取值范围为[]{}2,02−∪−．7分（ⅱ）由（ⅰ）得当3k =时，02a <<−，且三个零点分别为224,,024a a a −−++，显然,0αβ≠，所以()11311,24a a a αβ+=++∈−．9分易得函数3114y a a =++在()2−上单调递减，所以3114y a a =++>所以()11αβ+∈+∞．。
浙江数学学考卷
浙江数学学考卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列选项中，不是实数的是（）。
A. 0B. √9C. √1D. 3.142. 已知等差数列{an}中，a1=1，a3=3，则公差d等于（）。
A. 1B. 2C. 3D. 43. 下列函数中，奇函数是（）。
A. y = x²B. y = |x|C. y = x³D. y = x⁴4. 不等式x² 2x 3 < 0的解集为（）。
A. x < 1 或 x > 3B. 1 < x < 3C. x < 3 或 x > 1D. x > 1 且 x < 35. 若向量a=(2,3)，向量b=(1,2)，则向量a与向量b的夹角为（）。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 在三角形ABC中，若a=3, b=4, sinB=3/5，则三角形ABC的面积S为（）。
A. 3.6B. 4.8C. 6D. 8.47. 已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x²2x，则f[g(x)]的值为（）。
A. x² 3x 1B. x² + x 1C. 2x² 3x + 1D. 2x² + x 18. 下列命题中，正确的是（）。
A. 若a|b，则b|aB. 若a|b，b|c，则a|cC. 若a|b，b|c，则a|c或c|aD. 若a|b，b|a，则a=b9. 设集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x²2x3=0}，则A∩B的结果为（）。
A. {1, 3}B. {2}C. {1, 2, 3}D. ∅10. 下列函数中，单调递减的是（）。
A. y = 2x + 1B. y = x²C. y = x²D. y = x³二、填空题（每题4分，共40分）1. 已知等差数列{an}的通项公式为an = 3n 4，则第10项的值为______。
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2018 年 6 月浙江省数学学考试卷及答案一 选择题1. 已知集合 A {1,2} ， B{2,3} ，则 A I B（ ）A. {1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3}答案： B由集合 A {1,2} ，集合 B {2,3} ，得 A I B {2} .2.函数 y log 2 ( x 1) 的定义域是（）A.( 1, )B.[ 1, )C.(0, )D.[0, )答案： A∵ ylog 2 (x 1) ，∴ x 1 0 ， x 1 ，∴函数 y log 2 ( x 1) 的定义域是 ( 1,) .3.设R ，则 sin() （）2A.sin B.sinC.cos D.cos答案： C根据诱导公式可以得出sin() cos .24. 将一个球的半径扩大到原来的2 倍，则它的体积扩大到原来的（）A.2 倍 B. 4 倍C. 6倍D. 8倍答案： D设球原来的半径为r ，则扩大后的半径为2r ，球原来的体积为 4 r 3 ，球后来的体积为34 (2 r )3 32 r 332 r 3，球后来的体积与球原来的体积之比为3 8 .3 3 r 3435.双曲线 x2y 2 1 的焦点坐标是（）169A.(5,0) ， (5,0)B.(0,5) ， (0,5)C. (7,0)， (7,0) D.(0,7)， (0,7)答案： A因为 a 4 ， b 3 ，所以 c 5 ，所以焦点坐标为(5,0) ， (5,0) .6.r r(2,r r已知向量 a( x,1) ， b3) ，若 a //b ，则实数 x 的值是（）A.22333 B.3 C.2 D.2答案： Ar r(2,r r2 0 ，所以解得x2Q a( x,1) ，b3) ，利用 a / /b 的坐标运算公式得到3x.37.设实数 x ，y满足x y0，则 x y 的最大值为（）2x y30A.1B.2C.3D. 4答案： B作出可行域，如图：当 z x y 经过点A(1,1)时，有z max x y 2 .8.在ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为a，b ，c，已知B45o，C30o，c 1 ，则 b（）A.23C.2D.3 2B.2答案： Cb c c sin B 1 sin 452由正弦定理22 .可得 bsin C sin 301sin B sin C29.已知直线 l ，m和平面， m，则“ l m ”是“ l”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案： B因为“直线和平面垂直，垂直与平面上所有直线” ，但是“直线垂直于平面上一条直线不能判断垂直于整个平面”所以是必要不充分条件。
10.要得到函数 f ( x)sin(2 x) 的图象，只需将函数g(x) sin 2x 的图象（）4A.向右平移个单位B.向左平移个单位88C.向右平移个单位D.向左平移个单位44答案： A因为 f ( x) sin(2 x)sin 2( x) ，所以要得到 f ( x)sin(2 x) 的图象只需将484g( x) sin 2x 的图象向右平移个单位 .811. 若关于x的不等式2x m n 的解集为( ,) ，则的值（）A.与 m 有关，且与n 有关B.与 m 有关，但与n无关C.与m 无关，且与n 无关D.与 m 无关，但与n有关答案： D∵ 2x m nn 2x m nm nm n2x2∴m nm n2n ，与 m 无关，但与 n 有关 .212. 在如图所示的几何体中，正方形DCEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，N ，AB 6， AD DC 2 ， BC 2 3 ，则该几何体的正视图为（）AB C D答案： C画三视图要注意：可见轮廓线要用实线，不可见轮廓线要用虚线，所以选C.13. 在第 12 题的几何体中，二面角E AB C 的正切值为（）A.3 3C. 12 33B.2D.3答案： D过点 C 作 CMAB 连接 EM , 因为平面 DCEF 与平面 ABCD 垂直且 ECDC，所以EC平面 ABCD , 所以 EC AB ,所以AB 平面 EMC EMC即是两平面的二面，所以角. 过C 作CN / / AD，所以四边形ADCN为平行四边形，所以CN2， CB=2 3， BN 4 , 所以 CMEC2 33 , tan EMC3CM14. 如图， A ， B 分别为椭圆 C :x 2y 2 1(a b 0) 的右顶点和上顶点， O 为坐标原ab点， E 为线段 AB 的中点， H 为 O 在 AB 上的射影，若 OE 平分 HOA ，则该椭圆的离心率为（）1326A.3 B. 3C.3 D.3答案： D法一：设 EOA，HOA 2 ，则 tanBO b 1 a OAa ， tan 2，结合正切的二kABba2b c 6 倍角公式知a ，化简得 a 2 3b 2b b 2，故 e a.31 a 2法二：ABa 2b 2 ， EAa 2b 2 ， HA OA cosHAO aa b 2a 2 ，2a 2 a 2b 2HE HA EAa 2b 2OA OBab .2 a 2b 2 ， OHa 2ABb 2由内角平分线定理，OA EA，代入化简得 a 2 3b 2 ，故 ec 6 .OHEHa 315.三棱柱各面所在平面将空间分为（）A.部分B. 18C. 21D. 2414部分部分部分答案： C想象一个没有上下底的三棱柱（上下两边无限延伸），将三棱柱的侧面延伸出来，俯视图如图所示，分成 7 个区域.拿两个水平的平面去截（其实就是三棱柱上下底面所在平面），分成上中下三个大块，每个大块 7 个区域，共 21 个区域.( x n)216.函数 f ( x) e m（其中e为自然对数的底数）的图象如图所示，则（A. m 0，0 n 1B.m 0 ，C. m 0 ， 0 n 1D.m 0 ，答案： Cx2y e m为偶函数，向右移n 个单位为 f ( x) ，由图可知0n 1，当x故m 0 .17.数列 { a n } 是公差不为0的等差数列， S n为其前 n 项和.若对任意的 n则a6的值不可能为（）a5435A.B.2C.D. 233）1 n01 n0时， y0，N ，有 S n S3，答案： A由 S n S 3 可知公差 d 0 ， a 3 0 ， a 4 0 .法一：如图，在数轴上标出数列{ a n } ，不妨设原点 O 到 a 4 的距离为 m(0 m 1) ，公差 d1 .则 a 6 m 211 [ 3, 2] . a 5 m 1m 1 2法二：a 6a 5 d 1d ，由上图可知， d是 a 4a 5 占 Oa 5 的比值，这个比值与 m 的大小有 a 5a 5 a 5 a 5关， m 越大，这个比值越小，所以d 1,1] ，a 6 [3a 5[a 5,2] .2218. 已知 x ， y 是正实数，则下列式子中能使 xy 恒成立的是（）A.2 y 1 x1 y1xx2 y xyB.x2 y1 x1 y1yx2 y xC.D.答案： B对于 A ，取 xy ，该不等式成立，但不满足x y ；对于 C ，该不等式等价于 1 y20 ，y1，该不等式成立， 但不满足 x y ；x，取 xxy对于 D ，该不等式等价于 1 y10 ，y 1，该不等式成立， 但不满足 x y ；x，取 xx2 y下面证明 B法一：该不等式等价于 1 y11 1 1x，而 xxyy.x2y 2 yy函数 f ( x) x1 ) 上单增，故 x y .在 (0,x法二：若 xy ，则11 ，故 x 1 y1 ，矛盾 .2 yx 2yx二 填空题19. 圆 ( x 3)2y 2 1的圆心坐标是 _______，半径长为 _______.答案： (3,0) ； 1.因为圆 ( x 3)2y 2 1，所以圆心坐标为 (3,0) ，半径 r1.20. 如图，设边长为 4的正方形为第1得到第 2个个正方形，将其各边相邻的中点相连，正方形，再将第2 个正方形各边相邻的中点相连，得到第3 个正方形，依此类推，则第 6 个正方形的面积为 ______.答案： 1.2第 1 个正方形边长为4，面积S 1 16 , 第二个正方形边长为2 228, 以此类推得，面积 S161到 Snn 1S 62 ，所以221. 已知 lg a lg b lg( a b) ，则实数 a 的取值范围是 _______.答案： [4,) .易得aa b ，故 a b b2 b 11 2 . b11 b 1b1bb 0由 a b 0 得b2，故b1，所以 a 2 2 4 .b122.已知动点 P 在直线l : 2 x y 2 上，过点P作互相垂直的直线PA ， PB 分别交x轴、uuuur uuury 轴于 A 、B 两点，M 为线段 AB 的中点， O 为坐标原点，则OM OP 的最小值为_______.答案：2 . 5设P(t,22t )，:(22)，，，lPA m y t x t2t2m( x t )A(2 mt2m t ,0) l PB : yB(0, mt2t 2) ，故 M (mt m t , mt t1).22uuuur uuurt )t )( mtt22(1 t )2 5 t2 2 .OM OP t (m(t1)2(1t1)4t222225三解答题23. 已知函数13f ( x)sin x cos x ，x R. 22（Ⅰ）求 f () 的值；（Ⅱ）求函数 f ( x) 的最大值，并求出取到最大值时x 的集合.6答案：（Ⅰ）1；（Ⅱ） f ( x)max1， { x | x2k, k Z} .6解答：（Ⅰ） f ( )1sin63cos131622644.（Ⅱ）因为 f (x) cos sin x sin cos x sin( x) ，所以，函数 f ( x) 的最大值为1，333当 xk，即x 2k (k Z ) 时， f (x) 取到最大值，所以，取到最大值时632x 的集合为 { x | x 2k, k Z} .624.如图，直线 l 不与坐标轴垂直，且与抛物线C : y 2x 有且只有一个公共点 P .（Ⅰ）当点 P 的坐标为 (1,1)时，求直线 l 的方程；（Ⅱ）设直线 l 与 y 轴的交点为 R ，过点 R 且与直线 l 垂直的直线 m 交抛物线 C 于 A ，B 两点. 当RA RB2RP 时，求点 P 的坐标 .答案：（Ⅰ） x 2y 10 ；（Ⅱ） ( 1 , 1 ) .4 2解答：（Ⅰ）设直线l 的斜率为 k(k 0) ，则 l 的方程为 y1 k( x 1) ，联立方程组y 1 k( x 1)y 1k 0 ，由已知可得1 4k (1 k)0 ，解得y2x，消去 x ，得 ky 21 ，故，所求直线 l 的方程为 x2 y 10 .k2（Ⅱ）设点 P 的坐标为 (t 2 ,t ) ，直线 l 的斜率为 k (k0) ，则 l 的方程为 ytk ( x t 2 ) ，联立方程组y tk( x t 2 ) ，消去 x ，得 ky 2y t kt 20 ，由已知可得y 2 x1 4k(tkt 2)0 ，得 k1(t 0) ，所以，点 R 的纵坐标 t kt 2t ，从而，点 R 的2t2纵坐标为 (0, t) ，由 m l 可知，直线 m 的斜率为2t ，所以，直线 m 的方程为 y2tx t .22设 A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ，将直线 m 的方程代入 y 2 x ，得 4t 2 x 2 (2 t 2 1)xt 2 0 ，4所以(2t 2 1)2 4t 44t 2 1 0 ， x 1x 21 ，又 RA 14t 2 x 1 ，16RB1 4t 2x 2 2t 4 1t 2，由 RA RB24t 2 ) x 1 x 2 t41 t2 ， ， RPRP ，得 (144即1(1 4t 2 ) t 4 1 t 2 ，解得 t 1 ，所以，点 P 的坐标为 ( 1 , 1 ) . 16 424 225. 设函数 f ( x)3 ax(x a)2 ，其中 a R .（Ⅰ）当 a1 时，求函数 f (x) 的值域；（Ⅱ）若对任意 x [ a,a 1] ，恒有 f ( x)1，求实数 a 的取值范围 .21答案：（Ⅰ） ( ,] ；（Ⅱ） [ 1,0] .4解答：（Ⅰ）当 a1 时， f ( x)x 2 5x 1, x0 x 2 x 1, x，（ⅰ）当 x0 时， f ( x)( x 5 )221 ，此时 f ( x)24（ⅱ）当 x0 时， f ( x)( x 1 )2 3 ，此时 f (x)2 4由（ⅰ）（ⅱ），得 f (x) 的值域为 (,21] .4（Ⅱ）因为对任意x [ a, a 1] ，恒有 f (x) 1 ，所以3a 2 4a 2 1，解得 1 a 0 .3 a(a1)(2a 1)21( ,21 ] ；4(,3] ，4f ( a) 1，即f ( a 1)1下面证明，当 a [ 1,0] ，对任意 x [ a, a 1] ，恒有 f ( x)1 ，（ⅰ）当 a x0时， f ( x)x2ax a2， f ( a) f (0)a2 1 ，故f ( x) min{ f (a), f (0)}1成立；（ⅱ）当 0x a1时，f( x)x25ax a2， f (a 1) 1 ， f (0) 1 ，故f ( x) min{ f (a1), f (0)} 1 成立.由此，对任意 x[ a, a 1] ，恒有 f ( x)1.所以，实数 a 的取值范围为[ 1,0] .。