小学奥数：格点型面积(毕克定理)资料讲解
小学数学五年级思维奥数寒假讲义-第2讲 格点与面积(学生版)
第2讲 格点与面积【知识梳理】一. 正方形格点面积公式（1）定义：在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。
（2）公式：右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．下面就看一下其面积的计算。
用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，我们能发现如下规律：12L S N =+-．这个规律就是毕克定理。
二、三角形格点问题（1）定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。
（2）公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2。
【典例精讲】【例1】图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？【训练1】图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别为多少平方厘米？【例2】图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么阴影图形的面积分别为多少平方厘米？平方厘米？【例3】如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，求阴影部分的面积。
【训练3】如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，求阴影部分的面积。
米？【训练4】图中每个最小正方形的面积都是4平方厘米，那么阴影图形的面积为多少平方厘米？【能力提升】图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么阴影图形的面积为多少平方厘米？【课后巩固】1.图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么阴影图形的面积是__________平方厘米。
2.图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么阴影图形的面积是___________平方厘米。
毕克定理三角形格点面积公式
1.毕克定理三角形格点面积公式是什么？
答：三角形毕克定理的公式：S=a+b÷2－1。
皮克定理是指一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形落在格点边界上的点数，S表示多边形的面积。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
几何图形六年级
几何图形题型一：格点图形的面积计算（毕克定理） 1、正方形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，正方形格点面积可以表示为：S ＝N ＋12L －1。
2、三角形格点多边形及其面积计算公式每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。
三角形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，三角形格点面积可以表示为：S ＝(N ＋12L －1)×2。
注意：1．毕克定理对任何格点图形都适用。
要区分面积是几个单位。
2．在数格点时要细心。
3．严格区分正方形格点多边形和三角形格点多边形。
正方形格点图形的面积[模型例题1．]如图是用橡皮筋在钉板上围成的一个三角形，计算它的面积是多少。
(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)分析 直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。
解：5＋3÷2－1＝5.5 答：三角形的面积为5.5。
[模型例题2．]如图所示，在边长为1厘米的正方形格点中，图形“”的面积是多少平方厘米？分析直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。
解：6＋10÷2－1＝10(平方厘米)答：图形“”的面积是10平方厘米。
三角形格点图形的面积[模型例题3．]下图中有28个点，其中每相邻的三点“∵”或“∴”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算△ABC的面积。
分析直接套用三角形格点多边形面积公式“三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2”即可解答。
格点面积公式
面积计算公式：皮克公式:格点多边形面积=多边形一周的格点数÷2+多边形内部格点数-1。
设格点多边形的面积为s，它各边上格点的个数和为x。
格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出s与x之间的关系式。
相关信息：
1、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。
2、格点关于格点的对称点为格点。
3、格点多边形面积公式：设某格点多边形内部有格点a个，格点多边形的边上有格点b个，该格点多边形面积为S，则根据皮克公式有S=a+b/2-1。
4、格点正多边形只能是正方形。
5、格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心。
格点面积公式毕克定理
格点面积公式毕克定理嘿，同学们！今天咱们来聊聊一个挺有趣的数学知识——格点面积公式毕克定理。
先来讲讲我之前遇到的一件小事儿。
有一次我去公园散步，看到地上铺着那种一格一格的地砖，就像咱们数学里的格点图。
我突然就想到了毕克定理，感觉数学知识真是无处不在。
那什么是毕克定理呢？简单来说，就是计算格点多边形面积的一个好办法。
假设一个格点多边形内部有 N 个格点，边上有 L 个格点，那这个多边形的面积就等于 N + L/2 - 1 。
咱们来通过几个例子感受感受。
比如说一个简单的正方形格点图，边长是 3 个格子。
内部没有格点，边上有 4 个格点。
按照毕克定理，面积就是 0 + 4/2 - 1 = 1 ，正好就是这个正方形的面积。
再比如一个稍微复杂点的三角形格点图，内部有 3 个格点，边上有6 个格点。
那它的面积就是 3 + 6/2 - 1 = 5 。
有些同学可能会问了，这毕克定理有啥用呢？用处可大啦！比如说在一些数学竞赛中，如果遇到求格点图形面积的题目，用毕克定理就能快速又准确地得出答案。
而且呀，毕克定理还能帮助我们更好地理解图形和数量之间的关系。
通过计算格点图形的面积，我们能更深入地感受数学的奇妙和规律。
在实际生活中，也能看到毕克定理的影子呢。
比如设计师在设计一些图案的时候，可能就会用到格点和毕克定理来计算面积和比例，确保设计的美观和合理。
同学们，数学的世界就像一个大宝藏，毕克定理只是其中的一颗小宝石。
只要咱们用心去探索，就能发现更多有趣又实用的知识。
就像我在公园里看到的那些地砖格点，它让我在平常的生活中也能想到数学。
咱们学习数学，不只是为了考试，更是为了能在生活中发现它的美，用它来解决问题，让生活变得更有趣、更有条理。
希望大家以后看到格点图形的时候，都能想起毕克定理，用它来算出面积，感受数学的魅力！。
格点法求面积的公式
面积计算公式：皮克公式:格点多边形面积=多边形一周的格点数÷2+多边形内部格点数-1
设格点多边形的面积为s，它各边上格点的个数和为x。
格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出s与x之间的关系式。
格点的起源
格点问题起源于以下两个问题的研究：
1、狄利克雷除数问题，即求x>1时D2（x）=区域{1≤u≤x，1≤v≤x，uv≤x}上的格点数。
1849年，狄利克雷证明了D2（x）=xlnx+（2ν一1）x+△（x），这里ν为欧拉常数，△（x）=O（x0.5）。
这一问题的目的是要求出使余项估计△（x）=O（x）成立的又的下确界θ0。
2、圆内格点问题，设x>1，A2（x）=圆内μ+ν≤x上的格点数。
高斯证明了A2（x）=πx+R（x），这里R（x）=O（x^1/2）,求使余项估计R（x）=O（x）成立的λ的下确界α的问题，称之为圆内格点问题或高斯圆问题。
小学思维数学讲义：格点型面积-带详解
格点型面积模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N=+-．这个规律就是毕克定理．【例1】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【考点】格点型面积【难度】2星【题型】判断【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【答案】⑴是格点多边形【例2】如图，计算各个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)；图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)；图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为12LS N=+-．例题精讲如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【答案】图⑴16；图⑵15；图⑶10；图⑷15；图⑸12；图⑹18．【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b )，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【答案】10【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛 【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF V ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )．【答案】4【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．【巩固】 求下列各个格点多边形的面积．（1） （2） （3） （4）【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)；⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)；⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【答案】⑴15；⑵ 20；⑶14；⑷17【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182LS N =+-=(单位面积)． 【答案】18【例 7】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．H GFED C BA【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 箭形ABCDEFGH 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)． 【答案】46【例 8】 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【解析】①的面积为：1112111313222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，②的面积也为3223⨯÷=。
小学初级奥数第22讲-格点面积
I
II
III
(a)
(b)
(c)
例三 分别计算图中两个格点多边形的面积。
练一练 求下列各个格点多边形的面积。
（1）
（2）
（3）
（4）
例三
如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所 形成的三角形都是等边三角形。计算三角形ABC 的面积。
练一练
如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1 的等边三角形，计算三角形ABC的面积。
正方形格点问题
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行 线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的 每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多 边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．
那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两 者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！源自AC B例四
图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ， 求阴影四边形CEPQ的面积。
例五 正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米。M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点。问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？
课后作业
<作业1> 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______
①
②
课后作业
<作业2> 横竖每相邻两点之间的距离为1cm，“乡村小屋”的面积是多少？
课后作业
<作业3> 如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是 多少平方厘米？
课后作业
小学数学五年级思维奥数寒假讲义-第2讲格点与面积(教师版)
第2讲 格点与面积【知识梳理】一. 正方形格点面积公式（1）定义：在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。
（2）公式：右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．下面就看一下其面积的计算。
用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，我们能发现如下规律：12L S N =+-．这个规律就是毕克定理。
二、三角形格点问题（1）定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。
（2）公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2。
【典例精讲】【例1】图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？【答案】4平方厘米；4平方厘米；12平方厘米【解析】左起第一个阴影图形可以分割成4个小正方形，面积为4平方厘米；左起第二个阴影图形可以分割成上、下两个三角形，上面三角形的面积为2×2÷2=2平方厘米，下面三角形的面积是2×2÷2=2平方厘米，则阴影部分的面积为2+2=4平方厘米；左起第三个阴影部分图形可以分割成上面一个三角形、下面一个梯形，上面三角形的面积为5×2÷2=5平方厘米，下面梯形的面积为（2+5）×2÷2=7平方厘米，则阴影部分的面积为5+7=12平方厘米。
【训练1】图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别为多少平方厘米？【答案】8平方厘米；8平方厘米【解析】左起第一个阴影部分可以分割成8个小正方形，面积为8平方厘米；左起第二个阴影部分可以分割成上、下两个三角形，上面三角形的面积是4×2÷2=4平方厘米，下面三角形的面积为4×2÷2=4平方厘米，则阴影部分的面积为4+4=8平方厘米。
小学奥数：格点型面积(毕克定理)
小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等（通常规定是1个单位），这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点•在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形.那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数.我们能发现如下规律：S = N - -1 •这个规律就是毕克定理.2毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为s=N +丄一1 •2【例1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵（如右图）•如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【例3】判断下列图形哪些是格点多边形?【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？（教师总结：面积数值均扩大4倍.）【例【例2】如图，4 4的方格纸上放了 __________ 个.【例【例6】（“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题）右图是一个方格网，计算阴影部分的面积. 【例7】分别计算图中两个格点多边形的面积.【巩固】求下列各个格点多边形的面积.【例8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少?⑷【例9】右图是一个8 12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.H【例11】 （“小学数学奥林匹克”竞赛试题）5 5的方格纸，小方格的面积是 1平方厘米，小方格的顶点称为格点.请你在图上选 7个格点，要求其中任意 3个格点都不在一条直线上，并且使这 7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大•那么，所围图形的面积是__________ 平方厘米.【例12】 （“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题 ）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在 7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是 1 ,那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例13】 （第六届“从小爱数学”邀请赛试题）两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格.现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分 （块状）面积为5.12cm 2，右下角的阴影部分（线状）面积为7.4cm 2，求大正方形的面积.【例14】 （第六届“华杯赛”试题）图中正六边形 ABCDEF 的面积是54 , AP=2PF , CQ=2BQ ，求阴影四边形CEPQ 的面积.F D【例10】 右图中每个小正方形的面积都是1那么图中这只“狗”所占的面积是多少?板块二三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成•”或“•••”，所形成的三角形都是等边三角形•规定它的面 积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用 S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数， L 表 示图形周界上的格点数，那么有 S=2 N ，L_2，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的 2倍与 周界上格点数的和减去 2.【例15】 如图（a ），有21个点，每相邻三个点成或，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角形ABC 的面积.A EF D CB (b)【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为 1的等边三角形，计算 ABC 的面积.【例18】 如图，如果每一个小三角形的面积是 1平方厘米，那么四边形 ABCD 的面积是多少平方厘米?【例16】 （每相邻三个点•”或成面积为 1的等边三角形）.【例17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网•如果大三角形的面积是 粗线所围成的三角形的面积.128,求图中A(a)C 求下列格点多边形的面积 ⑴ ⑵⑶ ⑷【例19】 把同一个三角形的三条边分别 5等分、7等分（如图1，图2），然后适当连接这些等分点，便得至厅若干个面积相等的小三角形•已知图 1中阴影部分面积是 294平方分米，那么图 2中阴影部分的面积是 ______ 方分米.【例20】 将图中的图形分割成面积相等的三块.【例22】 （第五届“华杯赛”试题）正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米.M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点.问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米？【例23】 如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是 ____ 方厘米.NNE【例21】 如图涂阴影部分的小正六角星形面积是 16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米?2平方厘米•那么，三角形 ABC 的面积是團I 2。
奥数培优 五年级 第3讲 格点与面积
第三讲格点与面积例1、下面是一个格点图，图中有长方形，三角形，平行四边形和梯形各一个，请你利用方格网计算出他们的面积是多少（如图所示阴影部分的校正方形的面积是1平方厘米）.例2、图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少？（单位：厘米）例3、观察下面四个多边形，计算下列各多边形的面积，并统计每个多边形边界上的格点数和图形内的格点数。
比克定理：任何一个正方形格点多边形的面积都等于图形内部的格点数加上图形边界的格点数除以2的和。
例4、下图是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米，求图中阴影部分的面积。
例5、下面是一个正三角形格点图，共有21个点，其中每相邻的3个点“∴”和“∵”构成的都是面积为1平方厘米的等边三角形，请你计算图中三角形的面积。
思考与练习1、求下面个图形的面积（相邻格点距离1厘米）2、求下图中各图形的面积（相邻格点距离1厘米）3、求下图中各图形的面积（相邻格点距离1厘米）4、下面是一个5×5的方格图，每个小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点为格点。
请你在图中选择7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用线段顺次连接后所围城的面积尽可能大，那么，所围图形的面积是多少平方厘米？5、下图中每相邻3个点所形成的三角形面积均为1，试计算多边形ABCDE的面积。
6、下面是一个5×5的方格图，求出图中阴影部分面积的和（每小格的面积是1平方厘米）.7、在下面5×10的方格图中，连接格点，画出4个面积为7的图形，要求每个图形形状都不相同（每个小方格的面积都是1平方厘米）.8、如下图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米。
M是AB的中点，N是CD的中点，P是EF的中点，问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？。
毕克定理三角形格点面积公式
毕克定理三角形格点面积公式毕克定理是一个用于求解三角形格点面积的公式，它是由毕达哥拉斯学派的毕克提出的。
该定理可以用于计算任意三角形的格点面积，即三角形内部恰好有整数个格点的面积。
三角形的格点面积是指平面上以三个顶点为角的三角形内部的正方形格点的个数。
正方形格点是指具有整数坐标的点，也就是格点面积是指三角形内部有整数个格点。
假设我们有一个三角形ABC，其中A、B、C为整点，即它们的坐标都是整数。
那么，我们可以使用毕克定理来计算三角形的格点面积。
首先，我们需要找到三角形内部的所有格点。
一个格点必须是一个整数坐标的点，且必须位于三角形的内部。
为了简化计算过程，我们可以将三角形与网格对齐，使其边与网格线平行或垂直。
然后，我们需要计算三个边界上的格点数目以及三角形内部的顶点格点数目。
边界上的格点数目可以通过计算两个格点之间的距离来获得。
例如，边AB上的格点数目可以通过计算AB的长度来得到。
最后，我们可以使用毕克定理的公式来计算三角形的格点面积：格点面积=三角形内部的格点数目-三个边界上的格点数目+1其中，三角形内部的格点数目可以通过使用射线法或扫描线法来计算。
这些方法是在三角形内发射一条射线或扫描线，通过计算射线或扫描线与三角形边界的交点来得到内部格点的数目。
毕克定理可以通过以下步骤来证明：1.首先，我们可以证明一个有界六边形的格点面积公式：六边形的格点面积=六边形内部的格点数目-六个边界上的格点数目+12.然后，我们可以使用对边界共线的有界六边形进行分割的方法来将三角形转化为有界六边形。
3.最后，我们可以将上述两个结果结合起来，即可证明毕克定理。
需要注意的是，毕克定理只适用于顶点为整点的三角形。
对于不满足条件的三角形，我们可以通过平移和缩放操作将其转化为满足条件的三角形，然后使用毕克定理进行计算。
总结起来，毕克定理是一个用于计算三角形格点面积的公式。
它通过计算三角形内部的格点数目、边界上的格点数目和一个常数项来得到最终结果。
小升初奥数几何问题之格点与面积知识点
【导语】马克思曾经说过：“⼀门学科只有成功的应⽤了数学，才能真正达到了完善的地步。
”这句话充分显⽰了数学知识的⼴泛应⽤及学习数学的必要性和重要性。
因此，数学作为认识世界的基础性学科，它可以在思想上⽀持不同学科的深⼊发展。
以下是整理的相关资料，希望对您有所帮助。
【篇⼀】 知识点： (⼀)正⽅形格点图⾯积 在⼀张纸上，先画出⼀些⽔平直线和⼀些竖直直线，并使任意两条相邻的平⾏线的距离都相等(通常规定为1个单位)，这样在纸上就形成了⼀个⽅格，其中的每个交点就叫做⼀个格点。
多边形的所有顶点都在格点上，在⽅格中，像图(a)这样的多边形，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。
多边形的顶点⾄少有⼀个顶点格点上，⽐如A点，像图(b)这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形。
(⼆)三⾓形格点图的⾯积 三⾓形格点多边形是指：每相邻三点成“∴”或“∵”，形成的三⾓形都是等边三⾓形，规定它的⾯积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三⾓形格点多边形。
【篇⼆】 常见解题⽅法： 求格点图⾯积常见的⼏种⽅法：数格⼦法、分割法、扩展法、毕克定理。
（⼀）数格⼦法 对于格点图⾥⾯的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正⽅形⽅格或者三⾓形⽅格的个数得出规则图形的⾯积，或者由图形得出规则图形相应的⾯积公式需要的量，代⼊公式解出⾯积即可! 【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的⾯积运⽤公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就⾏了。
第(1)图是正⽅形，边长是4，所以⾯积是4×4=16(⾯积单位); 第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以⾯积是5×3=15(⾯积单位); 第(3)图是三⾓形，底是5，⾼是4，所以⾯积是5×4÷2=10(⾯积单位); 第(4)图是平⾏四边形，底是5，⾼是3，所以⾯积是5×3=15(⾯积单位); 第(5)图是直⾓梯形，上底是3，下底是5，⾼是3，所以⾯积是(3+5)×3÷2=12(⾯积单位); 第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，⾼是4，所以⾯积是(3+6)×4÷2=18(⾯积单位)。
格点求面积知识点
格点求面积知识点一、格点的概念。
1. 定义。
- 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为格点。
例如，在坐标平面中，点(1,2)、( - 3,5)等都是格点，而像(1.5,3)就不是格点。
二、格点图形。
1. 定义。
- 顶点都是格点的多边形称为格点多边形。
比如一个三角形，它的三个顶点的坐标都是整数，这个三角形就是格点三角形；同样，四边形的四个顶点坐标都是整数时，它就是格点四边形。
三、格点求面积的方法。
1. 皮克定理（Pick's theorem）- 对于一个格点多边形，设其内部格点数为I，边界格点数为B，其面积S 满足公式S = I+(B)/(2)- 1。
- 例如，有一个格点三角形，经观察其内部格点数I = 3，边界格点数 B = 6，根据皮克定理，其面积S=3+(6)/(2)-1=3 + 3-1=5。
2. 分割法。
- 将格点多边形分割成若干个我们熟悉的图形，如三角形、矩形等。
- 比如一个格点五边形，可以通过连接格点将其分割成三个三角形。
分别求出这三个三角形的面积，然后将它们相加就得到了五边形的面积。
假设这三个三角形的面积分别为S_1 = 2，S_2=3，S_3 = 1，那么五边形的面积S = S_1+S_2+S_3=2 +3+1=6。
3. 补形法。
- 把格点多边形补成一个大的规则图形（如矩形），然后用大图形的面积减去补上去的小图形的面积。
- 例如，有一个格点凹四边形，我们可以把它补成一个矩形。
设矩形的面积为S_矩形=10，补上去的三个三角形的面积分别为S_1=1，S_2=2，S_3=1，那么凹四边形的面积S = S_矩形-S_1-S_2-S_3=10 - 1-2 - 1=6。
四年级第19讲-格点与面积(二)-学生版
如图，小正方形的面积为1，下图中格点多边形的面积是多少？
如图，每相邻两格点之间的距离均为1厘米，下图中格点多边形的面积是多少？
格点与面积（二） 例 1
试一试 1 知识纵横 1、毕克定理（正方形格点公式）： 格点多边形单位面积的数量=边上点数÷2+内部点数-1，S =L ÷2+N -1 (用“S ”表示格点多边形单位面积的数量，用“N ”表示格点多边形内部的格点数，用“L ”表示格点多边形边上的格点数) 2、毕克定理(三角形格点公式)： 格点多边形单位面积的数量=(边上点数÷2+内部点数-1)×2，S =(L ÷2+N -1)×2 E D C B A
例2
在下图中，每相邻三点构成一个面积为1平方厘米的等边三角形，下图中格点多边形的面积是多少？
试一试2
在下图中，每相邻三点构成一个面积为2平方厘米的等边三角形，下图中格点多边形的面积是多少？
例3
下图中每个小正方形的面积为 4 平方厘米，计算两个格点多边形的面积？
试一试3
在下图中，每相邻三点构成一个面积为 3 平方厘米的等边三角形，求下列两个图形的面积和是多少？
例4
下图中，已知图 A 的面积是 45 平方厘米，求图 B 的面积是多少？
试一试4
如下图所示，已知图①的面积是 40 平方厘米，则图②的面积是多少平方厘米？。
小学奥数知识讲解-格点与面积
第六讲 格点与面积在一张方格图中，每个方格都是一个小正方形，并且大小都相等，我们称为一个面积单位。
例如：右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
典型例题例[1] 下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和三角形。
它们的面积分别是多少？· · · · · · · · · · · · · · · · · · ··· · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·（1） （2） （3） （4）分析 题中所给的几个图形都是规则图形，它们的面积可以运用公式求得。
五年级奥数第一讲_格点面积
格点面积知识要点：毕克定理：格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1（1）正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.正方形格点问题：多边形面积=边÷2＋内－1（2）所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.三角形格点问题：多边形面积=（边÷2＋内－1）×2例题讲解：例 1.右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).例 2.右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).例 3.在一个9 6的长方形内,有一个凸四边形ABCD(如右图).用毕克定理先求出它的面积来。
例4.右图中每个小正方形的面积都是1平方厘米,求图中阴影部分的面积.例5.右图是一个10⨯10的正方形,求正方形内的四边形ABCD的面积.例6.右图是一个8⨯12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.同步练习：1.右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?2.右图是一个5⨯5的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所用图形的面积1是多少平方厘米？3.右中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影部分的面积是多少平方分米?4.右图中每个小平行四边形的面积是1个面积单位,求阴影部分的面积.课后作业：1.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算ABC的面积.2.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形DEFG的面积.3.把等边三角形ABC每边六等分,组成如右图的三角形网.若图中每个小三角形的面积均为12cm,试求图中三角形DEF的面积.。
格点多边形面积公式（Pick定理）的一个形象解释（转）
格点多边形⾯积公式（Pick定理）的⼀个形象解释（转）Pick定理：如果⼀个简单多边形(以下称为“多边形”)的每个顶点都是直⾓坐标平⾯上的格点，则称该多边形为格点多边形．若⼀个⾯积为S的格点多边形，其边界上有a个格点，内部有b个格点，则S＝a/2＋b－1．强迫孩⼦们接受⽆法说出道理的东西，很容易打击孩⼦们的求知欲望和学习兴趣．我经过反复琢磨，找到⼀个⾮常浅显的办法，既能够形象的解释Pick定理的道理，⼜能让看清Pick定理的本质．整个解释只需⽤到⼀个很浅显的预备知识：“多边形外⾓和等于⼀个周⾓”．以下图的格点多边形ABCDE为例，其边界上有a个格点，内部有b个格点．设想在平⾯的每个格点放⼀个铁饼，满⾜：(1)每个铁饼都⼀样⼤的圆（或者说是圆柱），圆⼼是格点；(2)每个铁饼都恰好重1克；(3)每个铁饼的半径都做得尽量⼩——不仅铁饼之间互相不重叠，⽽且还使得多边形ABCDE内部的每个格点上所放的铁饼，都完全落在该多边形的内部；多边形ABCDE外部的每个格点上所放的铁饼，都完全落在该多边形的外部．⾸先，考虑多边形ABCDE的边界以内的铁的总重．这可以分如下两类进⾏计算：第⼀类：其内部格点上放的铁饼．此类总重显然是b克．第⼆类：其边界格点上放的铁饼落在边界以内的铁．假设每个边界格点上放的铁饼，恰有⼀半落在边界以内，则总重为a/2克．但显然在每个顶点处放的铁饼，落在边界以内的铁实际不⾜⼀半，⽐⼀半还少该顶点的⼀个外⾓内所含的铁，所有这种外⾓内所含的铁恰好拼成⼀块完整的铁饼（因为多边形外⾓和等于⼀个周⾓）．所以后⼀类铁的总重是a/2－1克．因⽽，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是a/2＋b－1克．接下来，设想将平⾯上所有铁饼全部熔化，打造成⼀张厚薄均匀的铁板盖在整个平⾯上．这可以看作是：将每个单位正⽅形的四个顶点处的每个90°的扇形铁饼，熔化在这个正⽅形内部，故熔化后每个单位正⽅形内的铁都是1克．进⽽，平⾯上任意图形，其⾯积是多少，其内部就含多少克铁．因⽽，熔化并重新打造后，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是S克．最后，注意到这个熔化并重新打造的过程，可以看成是：每个格点处的铁饼中的铁，按(以该格点为中⼼)放射状的⽅式重新适当改动位置⽽已．这样的改动，不会使格点多边形ABCDE外⾯的铁跑到多边形内部，也不会使内部的铁跑到外部．即熔化并重新打造的前后，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是不变的，所以S＝a/2＋b－1．。
(小学奥数)格点型面积
模組一、正方形格點問題在一張紙上，先畫出一些水準直線和一些豎直直線，並使任意兩條相鄰的平行線的距離都相等(通常規定是1個單位)，這樣在紙上就形成了一個方格網，其中的每個交點就叫做一個格點．在方格網中，以格點為頂點畫出的多邊形叫做格點多邊形，例如，右圖中的鄉村小屋圖形就是一個格點多邊形．那麼，格點多邊形的面積如何計算？它與格點數目有沒有關係？如果有，這兩者之間的關係能否用計算公式來表達？下麵就讓我們一起來探討這些問題吧！用N 表示多邊形內部格點，L 表示多邊形周界上的格點，S 表示多邊形面積，請同學們分析前幾個例題的格點數．我們能發現如下規律：12L S N =+-．這個規律就是畢克定理．【例 1】判斷下列圖形哪些是格點多邊形？⑴⑵⑶⑷畢克定理若一個格點多邊形內部有N 個格點，它的邊界上有L 個格點， 則它的面積為12LS N =+-． 例題精講4-2-7.格點型面積【例 2】如圖，計算各個格點多邊形的面積．【例 3】如圖(a)，計算這個格點多邊形的面積．【例 4】右圖是一個方格網，計算陰影部分的面積．【例 5】分別計算圖中兩個格點多邊形的面積．【巩固】求下列各個格點多邊形的面積．（1）（2）（3）（4）【例 6】“鄉村小屋”的面積是多少？【例 7】右圖是一個812面積單位的圖形．求矩形內的箭形ABCDEFGH的面積．HGFAEDCB______【例 8】比較圖中的兩個陰影部分①和②的面積，它們的大小關係【例 9】右圖中每個小正方形的面積都是1，那麼圖中這只“狗”所占的面積是多少？【巩固】如圖，每一個小方格的面積都是1平方釐米，那麼用粗線圍成的圖形的面積是多少平方釐米？【例 10】第一屆保良局亞洲區城市小學數學邀請賽在7月21日開幕，下麵的圖形中，每一個小方格的面積是1，那麼7、2、1三個數字所占的面積之和是多少？【例 11】55的方格紙，小方格的面積是1平方釐米，小方格的頂點稱為格點．請你在圖上選7個格點，要求其中任意3個格點都不在一條直線上，並且使這7個點用直線連接後所圍成的面積盡可能大．那麼，所圍圖形的面積是平方釐米．【例 12】兩個邊長相等的正方形各被分成25個大小相同的小方格．現將這兩個正方形的一部分重疊起來，若左上角的陰影部分(塊狀)面積為25.12cm，右下角的陰影部分(線狀)面積為27.4cm，求大正方形的面積．【例 13】將邊長為正整數n的正方形平均分成2n個小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點。
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小学奥数：格点型面积（毕克定理）
板块一正方形格点问题
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！
用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．
我们能发现如下规律：1
2
L
S N
=+-．这个规律就是毕克定理．
【例 1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？
【例 2】如图，44
⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．
【例 3】判断下列图形哪些是格点多边形？
⑴⑵⑶
【例 4】如图，计算各个格点多边形的面积．
【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)
毕克定理
若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，
则它的面积为1
2
L
S N
=+-．
【例 5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．
【例 6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．
【例 7】分别计算图中两个格点多边形的面积．
⑴⑵【巩固】求下列各个格点多边形的面积．
⑵
⑴⑷
⑶
【例 8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？
【例 9】右图是一个812
面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．
H
G
F E
D
C
B
A
【例 10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？
【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？
【例 11】(“小学数学奥林匹克”竞赛试题)55
的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．
【例 12】(“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？
【例 13】(第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为2
5.12cm，右下角的阴影部
分(线状)面积为2
7.4cm，求大正方形的面积．
【例 14】(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．
B P
Q
F
E
D
C
B A
板块二 三角形格点问题
所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．
关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．
【例 15】 如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算
三角形ABC 的面积．
A B C
D F E
(b )
(a )
【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算V ABC 的面积．
【例 16】
求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．
⑴
⑵
⑶
⑷
【例 17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中
粗线所围成的三角形的面积．
【例 18】 如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？
【例 19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．
【例 20】将图中的图形分割成面积相等的三块．
【例 21】
如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？
【例 22】(第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？
S
R
Q
A
B
C D
E
F
N
M P
P
M
F
E
D
C
B
A
【例 23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面积是_____平方厘米．。