微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第九章习题详解

第9章

习题9-1

1． 判定下列级数的收敛性：

(1) 11

5n n a ∞

=⋅∑（a ＞0）； (2) ∑∞

=-+1

)1(n n n ;

(3) ∑∞

=+1

31

n n ; (4) ∑∞

=-+12)1(2n n

n ; (5) ∑∞

=+11ln n n n ; (6) ∑∞

=-12)1(n n

;

(7) ∑∞

=+1

1

n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞

=-⋅+∑．

解：（1）该级数为等比级数，公比为1a ,且0a >,故当1

||1a

<,即1a >时，级数收敛，当1

|

|1a

≥即01a <≤时，级数发散. （2

）

(1n S n =++

++

1=

lim n n S →∞

=∞

∴

1

n ∞

=∑发散.

（3）113

n n ∞

=+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11

n n ∞

=∑发散，故原

级数

11

3

n n ∞

=+∑发散. （4）

1112(1)1(1)22

2n n n

n n n n ∞

∞-==⎛⎫

+--=+ ⎪⎝⎭∑∑ 而1112

n n ∞

-=∑,1(1)2m n

n ∞

=-∑是公比分别为1

2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质

知111(1)2

2n n n n ∞

-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑收敛，即原级数收敛. （5）

ln

ln ln(1)1

n

n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+

ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+

故lim n n S →∞

=-∞,所以级数

1

ln

1

n n

n ∞

=+∑发散. （6）

2210,2n n S S +==-

∴ lim n n S →∞

不存在，从而级数

1

(1)

2n

n ∞

=-∑发散.

（7）

1

lim lim

10n n n n U n

→∞

→∞+==≠

∴ 级数

1

1

n n n ∞

=+∑发散. （8） (1)(1)1

, lim 21212

n n n n n n U n n →∞--==++

∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1

(1)21n n n

n ∞

=-+∑发散.

2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：

(1) ∑∞

=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13121n n n ； (2) ※

∑∞

=++1)2)(1(1n n n n ;

(3) ∑∞

=⋅1

2sin n n n π

; (4) 0πcos 2n n ∞

=∑．

解：（1）1111, 23n n n n ∞

∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112

3n n n ∞

=⎛⎫

+ ⎪⎝⎭∑收敛，且

其和为1+

12=3

2

. （2）

11121(1)(2)212n n n n n n ⎛⎫

=-+ ⎪++++⎝⎭

∴121112111211121122322342345212n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=

-++-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

11112212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭

1lim 4n n S →∞

=

故级数收敛，且其和为14

. （3）πsin 2n U n n =,而π

sin

ππ2lim lim 0π222n n n U n

→∞→∞=⋅=≠，故级数1

πsin

2n n n ∞

=⋅∑发散. （4）π

cos 2

n n U =,而4lim limcos2π1k k k U k →∞→∞==,42lim limcos(21)π1k k k U k +→∞→∞=+=-

故lim n n U →∞

不存在，所以级数

π

cos

2

n n ∞

=∑发散. 3※

． 设

1n

n U

∞

=∑ (U n ＞0)加括号后收敛，证明

1

n

n U

∞

=∑亦收敛．

证：设

1

(0)n

n n U

U ∞

=>∑加括号后级数1

n n A ∞

=∑收敛，其和为S.考虑原级数1

n n U ∞

=∑的部分和

1

n k k S U ∞

==∑，并注意到0(1,2,)k U k >=，故存在0n ,使

1

1

n n k t k t S U A s ∞===<<∑∑

又显然1n n S S +<对一切n 成立，于是，{}n S 是单调递增且有上界的数列，因此，极限

lim n n S →∞

存在，即原级数1

n n U ∞

=∑亦收敛.

习题9-2

1． 判定下列正项级数的收敛性：

(1) ∑∞

=++1n n n )2)(1(1; (2) ∑∞

=+1

n n n

1;

(3) ∑∞

=++1n n n n )2(2; (4) ∑∞=+1n n n )

5(1

2；