平面图形面积计算公式

平面图形的周长和面积计算公式

小学数学图形计算公式
一、正方形（a表示边长，C表示周长，S表示面积）
正方形的周长=边长X4
字母表示为：C=4a
正方形的面积=边长＞边长
字母表示为：S=a X a
二、长方形（a表示长，b表示宽，C 表示周长，S表示面积）
长方形的周长=（长+宽）冷
公式：C= （a+b）X
长方形的面积=长＞宽
字母表示为：S=a X b
三、三角形（s面积a底h高）
三角形的面积二底＞高煜
字母表示为：s=a 0吃
三角形的高二面积＞2殒
字母表示为：h = s ＞为
三角形的底二面积＞2嘀
字母表示为：a = s ＞讳
四、平行四边形（a表示底，h表示高，S表示面积）
平行四边形的面积二底為
字母表示为：S= a ＞h
平行四边形的高=面积殒
字母表示为：h= s为
平行四边形的底=面积嚅
字母表示为：a= s讳
五、梯形（s表示面积，a表示上底，b 表示下底，h表示高。

）
梯形的面积=（上底+下底）嘀吃字母表示为：s=（a+b） Xi £
梯形的（上底+下底）=面积X2嘀字母表示为：a+b = s ^2讳
梯形的高=面积^2* （上底+下底）字母表示为：h = s ^2为+b。

小学常用平面图形公式

1、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。
2、两个圆：半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方。
例如：两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9
r = C÷2π
S圆=πr²
r²= S÷π
周长
的一半：
等于圆的周长÷2
计算方法：2πr÷2即πr
环形
S环=π（R²－ｒ²）
S环=πR²－πｒ²
半圆
πr＋2r即5.14 r
S半圆=πr²÷2
圆与
正方形
任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π（圆面积是正方形面积的78.5％）
圆与正方形
一、同一个圆中各量的比：
1、直径与半径：直径比半径=2:1 d:r=2:1，半径比直径=1:2 r:d=1:2。
2、直径与周长：直径比周长=1:πd:c=1:π，周长比直径=π:1
c:d =π:1。
二、两个圆中各量的比1、r1: r2= d1: d2=c1:c22、S1:S2= r12: r22
常用平面图形公式2019、3、15改编
图形
周长
面积
正方形
周长＝边长×4 C=4a
面积=边长×边长S=a×a
长方形
周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)
面积=长×宽S=ab
平行四边形四条边来自和面积=底×高s=ah
梯形
四条边之和
面积=(上底+下底)×高÷2
s=(a+b)×h÷2
三角形

图形公式大全表

图形公式大全表所有图形的公式一、平面图形公式：1、正方形 s=a²或对角线×对角线÷2 c=4a2、平行四边形 s=ah3、三角形s=ah÷24、梯形s=(a b)×h÷25、圆形s=πr2 c=πd6、椭圆s=πr7、扇形 s=lr/2二、立体图形公式：1、长方体的表面积=2×（长×宽长×高宽×高) 用符号表示是：s=2（ab bc ca）2、长方体的体积 =长×宽×高用符号表示是：v=abh 或底面积×高用符号表示是：v=sh3、正方体的表面积=棱长×棱长×6 用符号表示是：s=a²×64、正方体的体积=棱长×棱长×棱长用符号表示是：v=a³5、圆柱的侧面积=底面周长×高用符号表示是：s侧=πd×h6、圆柱的表面积=2×底面积侧面积用符号表示是：s=πr²×2 dπh7、圆柱的体积=底面积×高用符号表示是：v=πr²×h8、圆锥的体积=底面积×高÷3 用符号表示是：v=πr²×h÷39、圆锥侧面积=1/2*母线长*底面周长10、圆台体积=[s s′ √(ss′)]h÷311、球体体积=(1/3*s*h)*(4*pi*r²)/s=4/3*pi*r²三、立体几何图形：1、柱体：包括圆柱和棱柱。

棱柱又可分为直棱柱和斜棱柱，按底面边数的多少又可分为三棱柱、四棱柱、n棱柱；棱柱体积都等于底面面积乘以高，即v=sh;2、锥体：包括圆锥体和棱锥体，棱锥分为三棱锥、四棱锥及n棱锥；棱锥体积为v=sh/3 ;3、旋转体：包括圆柱、圆台、圆锥、球、球冠、弓环、圆环、堤环、扇环、枣核形等。

面积计算公式大全

面积计算公式大全面积是物体或图形所占据的平面的大小，通常用来衡量物体或图形的大小或面积。

在几何学中，我们可以根据不同的物体或图形的特征使用不同的公式来计算其面积。

以下是一些常见的面积计算公式。

一、平行四边形的面积计算公式：平行四边形是一种具有两对平行边的四边形。

其面积可以通过底边与高之积来计算。

公式为：面积=底边×高二、矩形的面积计算公式：矩形是一种特殊的平行四边形，其所有角都是直角。

其面积可以通过宽度与长度之积来计算。

公式为：面积=宽度×长度三、三角形的面积计算公式：三角形是一种具有三个边和三个角的多边形。

根据不同的已知条件，可以使用以下几种公式来计算三角形的面积：1.根据底边和高计算：面积=1/2×底边×高2. 根据两边和夹角计算：面积= 1/2 × 边1 × 边2 × sin(夹角)3.根据三条边的长度计算（海伦公式）：面积=√[s(s-边1)(s-边2)(s-边3)]，其中s为半周长四、梯形的面积计算公式：梯形是一种具有两条平行边的四边形。

其面积可以通过上底和下底之和的一半乘以高来计算。

公式为：面积=1/2×(上底+下底)×高五、圆的面积计算公式：圆是具有相同半径的一组点的集合，其中半径是从圆心到圆周上的任何点的距离。

圆的面积可以通过半径的平方乘以π来计算。

公式为：面积=半径²×π六、正方形的面积计算公式：正方形是一种具有相等边长和直角的矩形，也是一种具有四个直角的等边矩形。

其面积可以通过边长的平方来计算。

公式为：面积=边长²七、菱形的面积计算公式：菱形是一种具有相等对角线和直角的平行四边形。

其面积可以通过对角线之积除以2来计算。

公式为：面积=(对角线1×对角线2)/2八、五边形的面积计算公式：没有通用的五边形面积计算公式，因为五边形的形状和属性各不相同。

可以通过将五边形划分为更小的图形，然后使用各个图形的面积公式进行计算。

面积的计算方法

面积的计算方法面积是研究几何学的一个重要概念，用于测量平面图形或物体的大小。

不同形状的物体有不同的面积计算方法。

本文将介绍几种常见的面积计算方法。

一、矩形的面积计算方法矩形是最简单的平面图形，其面积计算公式为：面积 = 长 ×宽。

可以通过测量矩形的长度和宽度，将两个数值相乘得到矩形的面积。

例如，如果一个矩形的长为5米，宽为3米，那么它的面积可以通过计算 5 × 3 = 15 平方米得到。

二、三角形的面积计算方法三角形也是常见的平面图形，其面积计算公式为：面积 = 底边长度×高 ÷ 2。

三角形的底边为任意一边的长度，高为从底边到与之平行的另一边的垂直距离。

例如，如果一个三角形的底边长度为6米，高为4米，那么它的面积可以通过计算 6 × 4 ÷ 2 = 12 平方米得到。

三、圆的面积计算方法圆是一个连续曲线所围成的一个闭合图形，其面积计算公式为：面积= π × 半径的平方。

其中，π是一个无理数，约等于3.14159。

例如，如果一个圆的半径为2米，那么它的面积可以通过计算3.14159 × 2 × 2 = 12.56636 平方米得到。

在实际应用中，我们通常会直接使用已知形状的面积计算公式，不需要进行详细的推导计算。

四、复杂图形的面积计算方法对于由多个简单图形组合形成的复杂图形，可以通过将其划分为简单的部分，计算各个部分的面积，然后将它们相加得到整个图形的面积。

例如，如果一个房间的形状是一个矩形底部加上一个三角形的屋顶，我们可以先计算矩形的面积，然后计算三角形的面积，最后将它们相加得到整个房间的面积。

总结面积是用来描述平面图形或物体大小的一个重要指标。

不同形状的物体有不同的面积计算方法，如矩形的面积等于长乘以宽，三角形的面积等于底边长度乘以高除以2，圆的面积等于π乘以半径的平方。

对于复杂图形，可以通过划分为简单部分，然后逐个计算各个部分的面积，再相加得到整个图形的面积。

面积的测量与计算

面积的测量与计算面积是指平面图形所占据的空间大小，是一个重要的数学概念。

在日常生活和各个领域中，我们经常需要测量和计算面积。

本文将介绍常见平面图形的测量和计算方法，并提供一些实际应用的例子。

一、正方形的面积测量与计算正方形是一种边长相等的四边形，它的面积计算公式为：面积 = 边长 ×边长。

例如，假设一块正方形地板的边长为5米，我们可以通过将地板划分为1米乘1米的小方块，然后将这些小方块的数量相加，来测量地板的面积。

在这种情况下，地板的面积为5米 × 5米 = 25平方米。

二、长方形的面积测量与计算长方形是一种两对边分别相等的四边形，它的面积计算公式为：面积 = 长 ×宽。

例如，假设一块长方形花坛的长度为6米，宽度为3米，我们可以直接将长度和宽度相乘，来计算花坛的面积。

在这种情况下，花坛的面积为6米 × 3米 = 18平方米。

三、三角形的面积测量与计算三角形是一种有三个边和三个角的多边形，它的面积计算公式为：面积 = 底边长度 ×高 ÷ 2。

例如，假设一个三角形的底边长度为8米，高为4米，我们可以将底边长度和高相乘，再除以2，来计算三角形的面积。

在这种情况下，三角形的面积为（8米 × 4米）÷ 2 = 16平方米。

四、圆的面积测量与计算圆是由一条闭合曲线围成的平面图形，它的面积计算公式为：面积= π × 半径 ×半径（其中π的近似值为3.14）。

例如，假设一个圆的半径为5米，我们可以将半径的平方乘以π，来计算圆的面积。

在这种情况下，圆的面积为3.14 × 5米 × 5米 = 78.5平方米（近似值）。

五、实际应用例子面积的测量和计算在各个领域都有广泛的应用。

以下是一些实际应用例子：1. 建筑业：在房屋建设中，建筑师需要测量房间的面积，以确定合适的家具和装饰品。

2. 农业：农民需要测量农田的面积，以确定种植作物的数量和施肥的比例。

平面图形的周长和面积计算公式及其变形

----平面图形的周长和面积计算公式及其变形长方形已知长和宽，求周长。

周长＝（长＋宽)×2 已知周长和长，求宽。

宽=周长÷2-长已知周长和宽，求长。

长＝周长÷2-宽。

已知长和宽，求面积。

面积=长×宽。

已知面积和长，求宽。

宽=面积÷长。

正方形已知边长，求周长。

周长=边长×4。

已知周长，求边长。

边长=周长÷4。

已知边长，求面积。

面积=边长×边长。

三角形已知三角形的底和这条底上高,求面积。

面积=底×高÷2。

已知三角形的面积和底，求高。

高＝面积×2÷底。

已知三角形的面积和高,求底。

底＝面积×2÷高。

特别地，在直角三角形中：直角三角形的面积=两条直角边的积÷２ (在直角三角形中,两条比较短的边就是直角边）平行四边形已知平行四边形的底和这条底上高,求面积。

面积=底×高。

已知平行四边形的面积和底，求这条边上的高。

高＝面积÷底。

已知平行四边形的面积和高，求这条边上的底。

底=面积÷高。

关于三角形和平行四边形的有关结论1、如果一个三角形和一个平形四边形等底等高，那么:三角形的面积等于平行四边形面积的一半;平行四边形的面积就等于三角形面积的2倍。

例如：一个三角形和平行四边形等底等高，如果三角形的面积是1０平方分米，则平行四边形的面积就是20平方分米。

2、如果一个三角形和一个平行四边形面积相等,高也相等，那么三角形的底就等于平行四边形底的2倍；平行四边形的底就等于这个三角形的底的一半。

3、如果一个三角形和一个平行四边形面积相等，底也相等,那么三角形的高就是这个平行四边形高的2倍;平行四边形的高就是这个三角形的高的一半。

梯形的面积公式及其变形１、已知梯形的上底、下底和高,求面积。

梯形的面积=(上底+下底）×高÷2。

平面图形和立体图形的计算公式

平面图形和立体图形的计算公式1、正方形C：周长S：面积a：边长周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a=2a 2、正方体V:体积a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a=3a3、长方形C：周长S：面积a：边长周长=长+宽×2 C=2a+b面积=长×宽 S=ab4、长方体V:体积s:面积a:长b: 宽h:高1表面积长×宽+长×高+宽×高×2 S=2ab+ah+bh2体积=长×宽×高 V=abh5、三角形s：面积a：底h：高面积=底×高÷2 s=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高6、平行四边形s：面积a：底h：高面积=底×高 s=ah7、梯形s：面积a：上底b：下底h：高面积=上底+下底×高÷2 s=a+b× h÷28、圆形S：面积C：周长лd=直径r=半径1周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr2面积=半径×半径×л=π2r9、圆柱体v:体积h:高s：底面积r:底面半径c:底面周长1侧面积=底面周长×高=ch2лr或лd 2表面积=侧面积+底面积×2 3体积=底面积×高 4体积＝侧面积÷2×半径10、圆锥体v:体积h:高s：底面积r:底面半径体积=底面积×高÷3。

平面图形和立体图形的计算公式

平面图形和立体图形的计算公式The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020平面图形和立体图形的计算公式1、正方形（C：周长 S：面积 a：边长）周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a=2a2、正方体（V:体积 a:棱长）表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a=3a3、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长）周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)面积=长×宽 S=ab4、长方体（V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高）(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高 V=abh5、三角形（s：面积 a：底 h：高）面积=底×高÷2 s=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高6、平行四边形（s：面积 a：底 h：高）面积=底×高 s=ah7、梯形（s：面积 a：上底 b：下底 h：高）面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷28、圆形（S：面积 C：周长л d=直径 r=半径）(1)周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr(2)面积=半径×半径×л=π2r9、圆柱体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长）(1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径10、圆锥体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径）体积=底面积×高÷3。

平面图形面积计算公式

平面图形面积计算公式数列公式是数学中常考的内容，下面本店铺高中本店铺跟大家分享一些关于平面图形面积计算公式，希望能为同学们提供这方面知识的良好指导。

平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C=4aS=a2长方形a和b-边长C=2(a+b)S=ab三角形a,b,c-三边长h-a边上的高s-周长的一半A,B,C-内角其中s=(a+b+c)/2S=ah/2=ab/2·sinC=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2=a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D-对角线长α-对角线夹角S=dD/2·sinα平行四边形a,b-边长h-a边的高α-两边夹角S=ah=absinα菱形a-边长α-夹角D-长对角线长d-短对角线长S=Dd/2=a2sinα梯形a和b-上、下底长h-高m-中位线长S=(a+b)h/2=mh圆r-半径d-直径C=πd=2πrS=πr2=πd2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C=2r+2πrX(a/360)S=πr2X(a/360)弓形l-弧长b-弦长h-矢高r-半径α-圆心角的度数S=r2/2·(πα/180-sinα)=r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 =παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2=r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环R-外圆半径r-内圆半径D-外圆直径d-内圆直径S=π(R2-r2)=π(D2-d2)/4椭圆D-长轴d-短轴S=πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a-边长S=6a2V=a3长方体a-长b-宽c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc棱柱S-底面积h-高V=Sh棱锥S-底面积h-高V=Sh/3棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体S1-上底面积S2-下底面积S0-中截面积h-高V=h(S1+S2+4S0)/6圆柱r-底半径h-高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C=2πrS底=πr2S侧=ChS表=Ch+2S底V=S底h=πr2h空心圆柱R-外圆半径r-内圆半径h-高V=πh(R2-r2)直圆锥r-底半径h-高V=πr2h/3圆台r-上底半径R-下底半径h-高V=πh(R2+Rr+r2)/3球r-半径d-直径V=4/3πr3=πd2/6球缺h-球缺高r-球半径a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3a2=h(2r-h)球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/4桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)生活中出处充满数学的趣味，在这里本店铺整理了平面图形面积计算公式，希望同学们能在学习快乐中了解数学，学习进步。

建筑工程计算公式

建筑工程计算公式
1.面积计算公式：
-平面图形面积计算公式：
-矩形面积计算公式：面积=长度×宽度
-正方形面积计算公式：面积=边长×边长
-圆形面积计算公式：面积=π×半径×半径
-三角形面积计算公式：
-海伦公式：面积=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s是半周长，a、b、c是三角形的三条边长
2.体积计算公式：
-立方体体积计算公式：体积=长度×宽度×高度
-圆柱体体积计算公式：体积=π×半径×半径×高度
-圆锥体体积计算公式：体积=(1/3)×π×半径×半径×高度
3.周长和周界计算公式：
-矩形周长计算公式：周长=(长度+宽度)×2
-圆形周长计算公式：周长=2×π×半径
-多边形周长计算公式：周长=边1+边2+...+边n
4.强度和应力计算公式：
-拉伸应力计算公式：应力=F/A，其中F是受力，A是受力面积
-抗弯应力计算公式：应力=(M×y)/I，其中M是弯矩，y是受力点到中性轴的距离，I是惯性矩
-压强计算公式：压强=F/A，其中F是受力，A是受力面积
5.设备功率和能耗计算公式：
-电功率计算公式：功率=电流×电压
-机械功率计算公式：功率=功/时间，其中功是做功的能量，时间是所需的时间
-能耗计算公式：能耗=功率×时间
这些公式是建筑工程中常见的计算公式，工程师可以根据具体的需求和条件选择合适的公式进行计算。

这些公式有助于工程师确定建筑结构、材料、能源等方面的参数和尺寸，从而保证建筑工程的效果和安全性。

数学分析10.1平面图形的面积

第十章定积分的应用 1 平面图形的面积公式1：连续曲线y=f(x)(≥0)，以及直线x=a, x=b(a<b)和x 轴所围曲边梯形面积为：A=⎰b a f(x )dx=⎰ba y dx.若f(x)在[a,b]变号，则所围图形的面积为：A=⎰b a |f(x )|dx=⎰ba |y |dx.公式2：上下两条连续曲线y=f 2(x)与y=f 1(x)以及两条直线x=a 与x=b(a<b)所围的平面图形面积为：A=⎰ba 12(x )]-f (x )[f dx.例1：求由抛物线y 2=x 与直线x-2y-3=0所围图形的面积A. 解法一：A 等同于由抛物线y=x 2与直线y=2x+3所围图形的面积. 解方程组：⎩⎨⎧=+= x y 32x y 2，得⎩⎨⎧==9y 3x , ⎩⎨⎧=-=1y 1x . ∴A=⎰-+312)x -3(2x dx=[32-(-1)2]+3[3-(-1)]-3(-1)-333=332. 解法二：如图，图形被x=1分为左右两部分， A 左=⎰--10)]x (x [dx=3⎰10x dx=34. A 右=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-9123-x x dx=312-9233-41-922+21)-(93⨯=328. A= A 左+ A 右=34+328=332.公式3：设曲线C 为参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]，在[α,β]上y(t)连续，x(t)连续且可微且x ’(t)≠0(类似地可讨论y(t)连续可微且y ’(t)≠0的情形). 记a=x(α), b=x(β), (a ≠b)，则由曲线C 及直线x=a, x=b 和x 轴所围的图形，其面积计算公式为：A=⎰'βα(t)x )t (y dt.例2：求由摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (a>0)的一拱与x 轴所围平面图形的面积.解：摆线的一拱可取t ∈[0,2π]，又x ’=a(1-cost)， ∴A=⎰-2π022)t cos 1(a dt=3πa 2.公式4：若参数方程所表示的曲线是封闭的，即有x(α)=x(β), y(α)=y(β)，且在(α,β)内曲线自身不再相交，则由曲线自身所围图形面积为： A=⎰'βα(t)dt x )t (y 或A=⎰'βα(t)dt y )t (x .例3：求椭圆22a x +22by =1所围的面积.解：化为参数方程：x=asint, y=bcost, t ∈[0,2π], 又x ’=acost ， ∴A=⎰2π02tdt abcos =πab.公式5：设曲线C 为极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]，且r(θ)在[α,β]上连续, β-α≤2π.由曲线C 与两条射线θ=α, θ=β所围成的平面图形，通常也称为扇形，此扇形的面积为：A=⎰βα2d θ)θ(r 21. 证：如图，对区间[α,β]作任意分割T ：α=θ0<θ1<…<θn-1<θn =β，射线θ=θi (i=1,2,…,n-1)把扇形分成n 个小扇形.∵r(θ)在[α,β]上连续，∴当T 很小时，在每一个△i =[θi-1, θi ]上r(θ)的值变化也很小，任取ξi ∈△i ，便有r(θ)≈r(ξi ), θ∈△i , i=1,2,…,n.这时，第i 个小扇形的面积△A i ≈21r 2(ξi)△θi , ∴A ≈∑=n1i 21r 2(ξi )△θi .当T →0时，两边取极限，就有A=⎰βα2d θ)θ(r 21.例3：求双纽线r 2=a 2cos2θ所围平面图形的面积. 解：如图，∵r 2≥0，∴θ∈[-4π,4π]∪[43π,45π]，由图形的对称性可得： A=4·⎰4π02θdθ2cos a 21=a 2 sin2θ|4π0=a 2 .习题1、求由抛物线y=x 2与y=2-x 2所围图形的面积.解：求得两曲线交点为(-1,1), (1,1). ∴所围图形的面积为： A=⎰-1122)x -x -(2dx=38.2、求曲线y=|lnx|与直线x=101, x=10, y=0所围图形的面积. 解：所围图形的面积为： A=⎰10101|lnx |dx=-⎰1101lnx dx+⎰101lnx dx =-(xlnx|1101-⎰1101x dlnx)+ xlnx|101+⎰101x dlnx=-(101ln10-109)+10ln10-9=1099ln10-1081.3、抛物线y 2=2x 把圆x 2+y 2=8分成两部分，求这两部分面积之比. 解：问题等同于抛物线y=21x 2把圆x 2+y 2=8分成两部分，求面积比. 它们的交点为(2,2),(-2,2). 记两部分的面积为A 1,A 2，则A 1=⎰--2222)x 21x -8(dx=8⎰-4π4π2θcos d θ-38=2π+34；A 2=8π-A 1=6π-34.∴21A A =34-6π34+2π=2 -9π2 +3π.4、求内摆线x=acos 3t, y=asin 3t (a>0)所围图形的面积. 解：如图，所围图形面积为： A=4⎰'2π033dt |)t t(asin cos a |=12a2⎰2π024tdttsin cos=12a 2⎰2π024tdt tsin cos =83πa 2.5、求心形线r=a(1+cos θ) (a>0)所围图形的面积. 解法一：根据心形线的对称性，得A=2·⎰+π022d θ)θcos 1(a 21=a 2⎰++π02d θ)θcos θcos 21(=23πa 2.解法二：化为参数方程：x=a(1+cos θ)cos θ, y=a(1+cos θ)sin θ, θ∈[0,2π]， A=|⎰'++2π0d θ]θsin )θcos θ[a(1cos )θcos a(1| =a 2|⎰-+2π0234θ)dθθsin cos θcos 2θcos (2|=23πa 2.6、求三叶形曲线r=asin3θ (a>0)所围图形的面积.解：根根三叶形曲线的形态特点，所围图形由相同的三部分组成，即 A=3⎰32π3π223θsin a 21d θ=⎰32π3π223θsin a 21d3θ=4πa 2.7、求曲线a x +by =1 (a,b>0)与坐标轴所围图形的面积. 解：曲线与x 轴的交点为(a,0)，∴所围图形的面积为： A=b ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a0a x a x 21dx=6ab.8、求曲线x=t-t 3, y=1-t 4所围图形的面积.解：当t=-1,1时，x=0,y=0，∴曲线在t ∈[-1,1]围成封闭图形，即 A=|⎰'-11-43)t -)(1t t (dt|=4|⎰-11-46)t t (dt|=3516.9、求二曲线r=sin θ与r=3cos θ所围公共部分的面积. 解法一：化为圆的方程：x 2+(y-21)2=41, (x-23)2+y 2=43. 它们的交点为O(0,0)与P(43,43)，∴所围公共部分的面积为： A=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎭⎫ ⎝⎛-4302223y 4321-y 41dy=⎰-6π2π2t cos 41dt+⎰3π02t cos 43dt -833 =323+12π+3233+8π-833=245π-43. 解法二：由sin θ=3cos θ, 得tan θ=3，∴二曲线相交于θ=3π.A=⎰3π02θsin 21d θ+⎰2π3π2θcos 23d θ=-)1(cos2θ413π0-⎰d θ+⎰+2π3π1)(cos2θ43d θ =-163+12π+8π-1633=245π-43.(参考解法)如图：求得P(43,43) S 阴=S P OO 1扇形+S P OO 2扇形-S P OO 1∆ -S P OO 2∆ =3πOO 12+6πOO 22-21·43·OO 1-21·43·OO 2=12π+8π-163-1633=245π-43.10、求两椭圆22a x +22b y =1与22b x +22ay =1(a>b>0)所围公共部分的面积.解：两椭圆在第一象限的交点为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2222b a abb a ab ，. 根据图形的对称性，可得：A=8⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22baab022x a x 1b dx=4abarcsin 22b a b +-2222b a b 4a +.。

平面图形和立体图形的特征及面积、体积计算公式

S=2（ab+ac+bc）
V=abc
正
方
体
有8各顶点，有12条棱,且长度相等，6个面是相等的正方形
S=6 a2
V=a3
圆
柱
r
上下底面是相等的两个圆，侧面展开式一个长方形.(长方形的长等于圆底面周长，长方形的宽等于圆柱的高。）
S=侧面积+两个底面积
=C底面×h+2πr2
V=Sh
=πr2h
圆
锥
底面是圆形，顶点到底面圆心的距离叫做高。
V= Sh
= πr2h
S= （a+b）h
圆
同一个圆内,所有的半径都相等，所有的直径都相等,直径是半径的2倍.
C=πd
或C=2πr
S=πr2
圆环
以同一个圆心画出的两个大小不一样的圆组成的图形。
S=π（R2—r2）
立体图形的特征、表面积和体积公式
名称
图形
特征
计算公式
表面积S
体积V
长
方
体
b
a
有8各顶点，有12条棱，相对的棱长相等，相对的面面积相等。
平面图形的特征、周长和面积公式
名称
图形
特征
计算公式
周长（C）
面积(S）
长
方
形
b
a
对边相等,四个角都是直角。
C=2（a+b）
或C=2a+2b
S=ab
正பைடு நூலகம்
方
形
a
四条边都相等,四个角都是直角.
C=4a
S=a2
平行四边形
a
两组对边分别平行，而且相等。
S=ah
三角形

平面图形和立体图形的计算公式

....----平面图形和立体图形的计算公式1、正方形（C：周长S ：面积a：边长）周长＝边长× 4 C=4a面积 =边长×边长 S=a ×a=a22、正方体（V: 体积 a:棱长）表面积 =棱长×棱长× 6S 表 =a×a×6体积 =棱长×棱长×棱长V=a × a× a=a33、长方形（ C：周长S ：面积a：边长）周长 =( 长 +宽 ) × 2C=2(a+b)面积 =长×宽S=ab4、长方体（V:体积s:面积a:长b:宽h:高）(1)表面积 ( 长×宽 +长×高 +宽×高 ) ×2 S=2(ab+ah+bh)(2)体积 =长×宽×高 V=abh5、三角形（s：面积 a ：底h：高）面积 =底×高÷ 2s=ah÷2三角形高 =面积×2÷底三角形底 =面积× 2÷高6、平行四边形（s：面积 a：底h ：高）面积 =底×高 s=ah7、梯形（s：面积 a ：上底b：下底 h：高）面积 =( 上底 +下底 ) ×高÷ 2s=(a+b) × h ÷ 28、圆形（S：面积 C ：周长л d= 直径r= 半径）(1)周长 =直径×л=2×л×半径 C= лd=2л r(2)面积 =半径×半径×л =πr29、圆柱体（v:体积h:高s：底面积r:底面半径c:底面周长）(1)侧面积 =底面周长×高 =ch(2 лr 或лd) (2) 表面积 =侧面积 +底面积× 2 (3) 体积 =底面积×高（ 4）体积＝侧面积÷2×半径10、圆锥体（v:体积h:高s：底面积r:底面半径）体积 =底面积×高÷3。

基本图形的面积计算方法

基本图形的面积计算方法面积是研究几何学中的一个重要概念，它描述了一个物体或图形所占据的平面范围的大小。

在几何学中，面积的计算方法与图形的形状有关，在本文中，我将介绍一些常见基本图形的面积计算方法。

一、三角形的面积计算方法三角形是最简单的平面图形之一，其面积计算公式为：面积 = 底边长度 ×高 / 2其中，底边长度是指三角形的底边的长度，高是指从底边到与之平行的顶点的垂直距离。

二、矩形的面积计算方法矩形是一个拥有四个直角的四边形，其面积计算公式为：面积 = 长 ×宽其中，长代表矩形的长边的长度，宽代表矩形的短边的长度。

三、正方形的面积计算方法正方形是一种特殊的矩形，其四条边相等，且都是直角形成的。

正方形的面积计算公式为：面积 = 边长 ×边长其中，边长指正方形的任意一条边的长度。

四、圆的面积计算方法圆是一个几何学中重要的图形，其面积计算公式为：面积= π × 半径 ×半径其中，π是一个无理数，可以近似取为3.14或22/7，半径代表圆的半径长度。

五、椭圆的面积计算方法椭圆是一个具有两个焦点的几何图形，其面积计算公式为：面积= π × 长半径 ×短半径其中，长半径代表椭圆的长轴的一半长度，短半径代表椭圆的短轴的一半长度。

六、正多边形的面积计算方法正多边形是一个具有相等边长和相等内角的多边形，例如正三角形、正四边形等。

对于正多边形的面积计算，我们可以使用以下公式：面积 = (边长 ×边长) × (边数/ 4 × tan(π / 边数))其中，边长代表正多边形的任意一条边的长度，边数代表正多边形的边的数量。

通过以上的介绍，我们可以看到不同基本图形的面积计算方法是不同的，但都可以通过找到合适的公式来求解。

掌握这些方法对于几何学的学习和实际应用都具有重要意义。

最后，需要注意的是，在应用这些面积计算方法时，要确保所使用的长度单位一致，以求得准确的面积值。

数学分析10.1平面图形的面积

第十章定积分的应用 1 平面图形的面积公式1：连续曲线y=f(x)(≥0)，以及直线x=a, x=b(a<b)和x 轴所围曲边梯形面积为：A=⎰b a f(x )dx=⎰ba y dx.若f(x)在[a,b]变号，则所围图形的面积为：A=⎰b a |f(x )|dx=⎰ba |y |dx.公式2：上下两条连续曲线y=f 2(x)与y=f 1(x)以及两条直线x=a 与x=b(a<b)所围的平面图形面积为：A=⎰ba 12(x )]-f (x )[f dx.例1：求由抛物线y 2=x 与直线x-2y-3=0所围图形的面积A. 解法一：A 等同于由抛物线y=x 2与直线y=2x+3所围图形的面积. 解方程组：⎩⎨⎧=+= x y 32x y 2，得⎩⎨⎧==9y 3x , ⎩⎨⎧=-=1y 1x . ∴A=⎰-+312)x -3(2x dx=[32-(-1)2]+3[3-(-1)]-3(-1)-333=332. 解法二：如图，图形被x=1分为左右两部分， A 左=⎰--10)]x (x [dx=3⎰10x dx=34. A 右=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-9123-x x dx=312-9233-41-922+21)-(93⨯=328. A= A 左+ A 右=34+328=332.公式3：设曲线C 为参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]，在[α,β]上y(t)连续，x(t)连续且可微且x ’(t)≠0(类似地可讨论y(t)连续可微且y ’(t)≠0的情形). 记a=x(α), b=x(β), (a ≠b)，则由曲线C 及直线x=a, x=b 和x 轴所围的图形，其面积计算公式为：A=⎰'βα(t)x )t (y dt.例2：求由摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (a>0)的一拱与x 轴所围平面图形的面积.解：摆线的一拱可取t ∈[0,2π]，又x ’=a(1-cost)， ∴A=⎰-2π022)t cos 1(a dt=3πa 2.公式4：若参数方程所表示的曲线是封闭的，即有x(α)=x(β), y(α)=y(β)，且在(α,β)内曲线自身不再相交，则由曲线自身所围图形面积为： A=⎰'βα(t)dt x )t (y 或A=⎰'βα(t)dt y )t (x .例3：求椭圆22a x +22by =1所围的面积.解：化为参数方程：x=asint, y=bcost, t ∈[0,2π], 又x ’=acost ， ∴A=⎰2π02tdt abcos =πab.公式5：设曲线C 为极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]，且r(θ)在[α,β]上连续, β-α≤2π.由曲线C 与两条射线θ=α, θ=β所围成的平面图形，通常也称为扇形，此扇形的面积为：A=⎰βα2d θ)θ(r 21. 证：如图，对区间[α,β]作任意分割T ：α=θ0<θ1<…<θn-1<θn =β，射线θ=θi (i=1,2,…,n-1)把扇形分成n 个小扇形.∵r(θ)在[α,β]上连续，∴当T 很小时，在每一个△i =[θi-1, θi ]上r(θ)的值变化也很小，任取ξi ∈△i ，便有r(θ)≈r(ξi ), θ∈△i , i=1,2,…,n.这时，第i 个小扇形的面积△A i ≈21r 2(ξi)△θi , ∴A ≈∑=n1i 21r 2(ξi )△θi .当T →0时，两边取极限，就有A=⎰βα2d θ)θ(r 21.例3：求双纽线r 2=a 2cos2θ所围平面图形的面积. 解：如图，∵r 2≥0，∴θ∈[-4π,4π]∪[43π,45π]，由图形的对称性可得： A=4·⎰4π02θdθ2cos a 21=a 2 sin2θ|4π0=a 2 .习题1、求由抛物线y=x 2与y=2-x 2所围图形的面积.解：求得两曲线交点为(-1,1), (1,1). ∴所围图形的面积为： A=⎰-1122)x -x -(2dx=38.2、求曲线y=|lnx|与直线x=101, x=10, y=0所围图形的面积. 解：所围图形的面积为： A=⎰10101|lnx |dx=-⎰1101lnx dx+⎰101lnx dx =-(xlnx|1101-⎰1101x dlnx)+ xlnx|101+⎰101x dlnx=-(101ln10-109)+10ln10-9=1099ln10-1081.3、抛物线y 2=2x 把圆x 2+y 2=8分成两部分，求这两部分面积之比. 解：问题等同于抛物线y=21x 2把圆x 2+y 2=8分成两部分，求面积比. 它们的交点为(2,2),(-2,2). 记两部分的面积为A 1,A 2，则A 1=⎰--2222)x 21x -8(dx=8⎰-4π4π2θcos d θ-38=2π+34；A 2=8π-A 1=6π-34.∴21A A =34-6π34+2π=2 -9π2 +3π.4、求内摆线x=acos 3t, y=asin 3t (a>0)所围图形的面积. 解：如图，所围图形面积为： A=4⎰'2π033dt |)t t(asin cos a |=12a2⎰2π024tdttsin cos=12a 2⎰2π024tdt tsin cos =83πa 2.5、求心形线r=a(1+cos θ) (a>0)所围图形的面积. 解法一：根据心形线的对称性，得A=2·⎰+π022d θ)θcos 1(a 21=a 2⎰++π02d θ)θcos θcos 21(=23πa 2.解法二：化为参数方程：x=a(1+cos θ)cos θ, y=a(1+cos θ)sin θ, θ∈[0,2π]， A=|⎰'++2π0d θ]θsin )θcos θ[a(1cos )θcos a(1| =a 2|⎰-+2π0234θ)dθθsin cos θcos 2θcos (2|=23πa 2.6、求三叶形曲线r=asin3θ (a>0)所围图形的面积.解：根根三叶形曲线的形态特点，所围图形由相同的三部分组成，即 A=3⎰32π3π223θsin a 21d θ=⎰32π3π223θsin a 21d3θ=4πa 2.7、求曲线a x +by =1 (a,b>0)与坐标轴所围图形的面积. 解：曲线与x 轴的交点为(a,0)，∴所围图形的面积为： A=b ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a0a x a x 21dx=6ab.8、求曲线x=t-t 3, y=1-t 4所围图形的面积.解：当t=-1,1时，x=0,y=0，∴曲线在t ∈[-1,1]围成封闭图形，即 A=|⎰'-11-43)t -)(1t t (dt|=4|⎰-11-46)t t (dt|=3516.9、求二曲线r=sin θ与r=3cos θ所围公共部分的面积. 解法一：化为圆的方程：x 2+(y-21)2=41, (x-23)2+y 2=43. 它们的交点为O(0,0)与P(43,43)，∴所围公共部分的面积为： A=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎭⎫ ⎝⎛-4302223y 4321-y 41dy=⎰-6π2π2t cos 41dt+⎰3π02t cos 43dt -833 =323+12π+3233+8π-833=245π-43. 解法二：由sin θ=3cos θ, 得tan θ=3，∴二曲线相交于θ=3π.A=⎰3π02θsin 21d θ+⎰2π3π2θcos 23d θ=-)1(cos2θ413π0-⎰d θ+⎰+2π3π1)(cos2θ43d θ =-163+12π+8π-1633=245π-43.(参考解法)如图：求得P(43,43) S 阴=S P OO 1扇形+S P OO 2扇形-S P OO 1∆ -S P OO 2∆ =3πOO 12+6πOO 22-21·43·OO 1-21·43·OO 2=12π+8π-163-1633=245π-43.10、求两椭圆22a x +22b y =1与22b x +22ay =1(a>b>0)所围公共部分的面积.解：两椭圆在第一象限的交点为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2222b a abb a ab ，. 根据图形的对称性，可得：A=8⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22baab022x a x 1b dx=4abarcsin 22b a b +-2222b a b 4a +.。