1.数与式教案
四年级数学教案 数与式
四年级数学教案数与式四年级数学教案数与式教学目标：1. 了解和掌握整数的加法和减法的概念；2. 能够正确运用数与式的基本概念，计算简单的数与式。
教学重点：1. 整数的加法和减法；2. 数与式的基本概念。
教学难点：1. 运用数与式解决实际问题；2. 熟练掌握整数的加法和减法。
教学准备：教师：教科书、黑板、粉笔、计数棒等教具。
学生：教科书、练习册。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师可以引入一个有关加法和减法的问题，激发学生的兴趣。
二、新知呈现（10分钟）1. 教师可以通过教科书上的例题，为学生讲解整数的概念，并提醒学生注意正数和负数的表示方法。
2. 引导学生思考数与式的概念，并告诉学生数与式是用来表示运算的。
三、数与式的基本运算（15分钟）1. 教师可以以加法为例，讲解数与式的基本运算方法，并通过一些例题帮助学生理解。
2. 教师可以进一步讲解减法的运算方法，并再次通过例题加深学生的理解。
四、解决实际问题（15分钟）1. 教师可以提供一些实际问题，引导学生运用数与式解决问题。
2. 学生可以分小组合作解答问题，并展示自己的答案。
五、巩固练习（15分钟）1. 学生可以独立完成教科书上相关的练习题，巩固所学知识。
六、拓展延伸（10分钟）1. 教师可以在黑板上提出一些较为复杂的数与式问题，让学生动手解决，并讨论解题思路。
七、总结归纳（5分钟）1. 教师可以让学生回答一些问题，对今天所学的内容进行总结归纳。
八、课堂作业（5分钟）1. 布置适当数量的课堂作业，要求学生回顾和巩固今天所学的知识。
扩展活动：1. 学生可以自行编写一些数与式问题，并交给同学解答，增加学生的思考和创造力。
2. 学生可以使用计算器进行一些有关数与式的计算练习，提高计算能力。
板书设计：整数的加法和减法数与式的基本概念解决实际问题教学反思：本节课通过讲解整数的加法和减法，以及数与式的基本概念，帮助学生掌握了数与式的基本运算方法，培养了学生解决实际问题的能力。
中考总复习《数与式》教案
中考总复习教案第一章 数与式第一课时 实数教学目的1．理解有理数的意义，了解无理数等概念．2．能用数轴上的点表示有理数，掌握相反数的性质，会求实数的绝对值．3．会用科学记数法表示数．4．会比较实数的大小，会利用绝对值知识解决简单化简问题．5．掌握有理数的运算法则，并能灵活的运用．教学重点与难点重点：数轴、绝对值等概念及其运用，有理数的运算．难点：利用绝对值知识解决简单化简问题，实数的大小比较．教学方法：用例习题串知识（复习时要注意知识综合性的复习）．教学过程（一）知识梳理1．⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧比较大小念平方根、算术平方根概绝对值相反数数轴实数的分类实数 2．⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧科学记数法运算律乘方、开方乘、除法加、减法法则实数的运算 （二）例习题讲解与练习例1 在3.14，1-5，0，2π，cos30°，722，38-，0.2020020002…（数字2后面“0”的个数逐次多一个）这八个数中，哪些是有理数？哪些是无理数？（考查的知识点：有理数、实数等概念． 考查层次：易）（最基本的知识，由学生口答，师生共同归纳、小结）【归纳】：（1）整数与分数统称为有理数（强调数字0的特点）；无限不循环小数是无理数．注意：常见的无理数有三类①π，… ②3，5，… ， （38-不是无理数） ③0.1010010001…（数字1后面“0”的个数逐次多一个）．（2）一个无理数加、减、乘、除一个有理数（0除外）仍是无理数（2π是无理数）． 注：此题可以以其它形式出现，如练习题中2或12题等例2 （1）已知a -2与2a+1互为相反数，求a 的值；（2）若x 、y 是实数，且满足(x -2)2+3y x +-=0，求(x+y)2的值．（考查的知识点：相反数的性质、二次根式的性质、非负数等概念． 考查层次：易） （这是基础知识，由学生解答，老师总结）【总结】：（1）对于一个具体的数，要会求它的相反数（倒数、绝对值、平方根与算术平方根），对于一个代数式，也要会求它的相反数．解答是要注意从概念中蕴涵的数学关系入手：a 、b 互为相反数⇔a+b=0；a 、b 互为倒数⇔a ·b=1．（2）非负数概念：例3 （1）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为-3，则A 与B 两点间的距离可表示为________________．（2）实数a 、b 在数轴上分别对应的点的位置如图所示，请比较a ，-b ，a-b ，a+b 的大小（用“<”号连接）___________________．（3）①化简=-π5_________；②347-=__________； ③估计215-与0.5的大小关系是215- 0.5（填“ > ”、“=”、“<”） ． （答案：（1）3x +；（2）a+b<a<-b<a-b ；（3）①7-π；②347-；③ >）（考查的知识点：数轴、绝对值、比较大小等概念，无理数的估算、有理数的运算法则等． 考查层次：中）（这是一组较为基础的题，（1）与（2）题注意数形结合，（3）题注意讲解无理数与有理数大小比较的方法，由学生探讨，老师适当的点拨、总结、归纳，）【归纳】：（1）问题（1）若数轴上的点A 表示的数为x 1，点B 表示的数为x 2，则A 与B 两点间的距离可表示为AB=12x x -，要会由数轴上两点间的距离，上升到坐标平面内两点间的距离（例如练习第10题）——数形结合．（2）问题（2）应先由数轴判断字母所表示的数的符号及绝对值的大小关系，再紧扣实数运算法则进行解答．（3）绝对值的意义：（4）估算一个无理数的方法：平方法、被开方数法．（5）比较大小的方法：数轴图示法、作差法、平方法，其中第（2）小题还可以采用赋值法． 练习一：1．21的相反数是_____；-3的倒数是_____；-5的绝对值是_____；9的算术平方根是____；-8的立方根是____． 2．有四张不透明的卡片如图，它们除正面的数不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为 ．3．下列各式中正确的是（ ）A ．2)2(2-=-B ．2121-=-C ．()()22--=-+D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2121 6．比较大小（用“＞”、“＝”或“＜”号填空）：（1）-97 -54；（2）7 25． 8．实数a b ，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）A ．a b >B ．a b >-C ．-a > bD ．a b -<-9．如图，梯形ABCD 的面积是_________．102(1)0n +=，则m n +的值为 ． 11．已知|x|＝3，|y|＝2，且xy ＜0，则x ＋y 的值等于（ ）A ．1或－1B ．5或－5C ．5或1D ．－5或－112．在等式3× -2× =15的两个方格内分别填入一个数，使这两个数互为相反数且使等式仍然成立，则第一个方格内的数为_____．2题图9题图14．如图，有四张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其他均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录数字后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，记录数字．试用列表或画树状图的方法，求出的两张卡片上的数字都是正数的概率．（答案：1．略 2．21 3．D 4．(1)略 （2）0 5．C 6．（1）> （2）< 7．B 8．C 9．9 10．2 11．A 12．313．C 14．41） 例4 （1）用科学记数法表示2009000=_________，将其数字精确到万位的近似数为_________；（2）用科学记数法表示0.000396 =________，将其数字保留两位有效数字的近似数为_________． （考查的知识点：近似数和有效数字概念，用科学记数法表示数． 考查层次：易）（帮着学生回忆科学记数法等概念，这是基础知识，由学生口答，师生共同归纳、小结）【归纳】：（1）科学记数法：（2）保留有效数字时取近似数的方法：例5 计算下列各题：（1）685.3685.1431616148⨯+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+---； （答案：-13） （2）)3(31)3(3322-⨯÷-++-； （答案：-87） （3）345tan 12312110-︒-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--． （答案：352+）（考查的知识点：实数的运算法则、运算律等． 考查层次：易）（这是基础题，让学生独立完成——要保证计算的准确率，由学生归纳、小结）【说明】：（1）巧用运算律：第一小题前面可用分配律，后面可逆用分配律；（2）第二小题注意运算顺序及-32和(-3)2的区别；（3）第一小题注意0指数与负指数的特性；（4）注意每一步运算时，应先确定符号，后计算绝对值；（5）强调书写的运算步骤.※ 例6 （找数字规律的题）根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空．【答案】【说明】：探究数式、图表规律是近几年中考的热门题型，解题时应注意观察，通过对数字之间关系的分析，探索数字的规律．练习二：（供选用）1．一天早晨的气温是7-℃，中午的气温比早晨上升了11℃，中午的气温是（ ）A ．11℃B ．4℃C ．18℃D ．11-℃2．下列四个运算中，结果最小的是（ ）A ．1+ (-2)B ．1- (-2)C ．1×(-2)D ．1 ÷(-2)3．下列等式正确的是（ ） 12 3 3 4 15 5 6 35 8背面正面530-3A ．3(1)1--=B ．()2222-=- C ．236(2)(2)2-⨯-= D ．0(4)1-= 4．下列运算的结果中，是正数的是（ ）A ．()12007--B ．()20071-C ．()()12007-⨯-D ．()20072007-÷5．（1）我国淡水面积大约为66 000千米2，用科学记数法表示数字66 000= ．（2）蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，蜂房的巢壁厚约0.000073米，用科学记数法表示数字0.000073=___________．（3）某市在今年2月份突遇大风雪灾害性天气，造成直接经济损失5000万元.数字5000用科学记数法表示为（ ） A ．5000 B ．5⨯102 C ．5⨯103 D ．5⨯1046．通过四舍五入得到的近似值3.56万精确到（ ）A ．百分位B ．百位C ．千位D ．万位7．我国宇航员杨利伟乘“神州五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，其半径约为6.71×103千米，总航程约为 (π取3.14，保留3个有效数字) ( )A ．5.90 ×105千米B ．5.90 ×106千米C ．5.89 ×105千米D ．5.89×106千米8．根据如图所示的程序计算，若输入x 的值为 1，则输出y 的值为 ．9当输入数据为6时，输出数据是 ．10．计算：(1)()10212008312-⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+； (2)()104145cos 2018-⎪⎭⎫ ⎝⎛+︒---π； （3）224)4(163343263221-⨯-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷--； （答案：1．B 2．C 3．D4．C 5．（1）6.6⨯104 （2）7.3⨯10-5 （3）C 6．B 7．A 8．4 9．7296 10．（1）133+；（2）322+；（3）-6； ）自我检测题：（供选用）1．在实数sin 30︒，2,0,0.101001000133π-- （每两个1之间依次多1个0）这六个数中，无理数是____________________________________．2．16的平方根是（ ）A ．4B ．±4C ．-4D．±83．实数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，-a ，1 的大小关系正确的是（ ）A ．-a < a <1B ． a < -a <1C ． 1< -a < aD ． a < 1 < -a4．下列各等式正确的是（ ） 3题图A ．33=--B ．()2233-=- C ．39±= D ．3273-=- 5．如图，数轴上点A 表示的数可能是（ ）A ．22B ．5C ．10D ．156．如图，点A B ，在数轴上对应的实数分别为m n ，，则A B ，两点间的距离是 ．（用含m n ，的式子表示）7．（1）用科学记数法表示0.0032为（ ） A ．32102.⨯- B ．32103.⨯- C ．32104⨯- D ．032102.⨯- （2）下列用科学记数法表示2009 (保留两个有效数字)，正确的是（ ）A ．2.0×103B ．2.01×103C ．2.0×104D ．0.20×1048．2ab -与1b +互为相反数，则()2b a +的值是________． 92倍）：则第6行中的最后一个数为（ ）A ．31B ．49C ．63D ．127 10．计算：（1）︒--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-----60cos 2)3(21301π；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-81923)23(878． （答案：1．3π、-0.1010010001… 2．B 3．D 4．D 5．C 6．n -m 或：|m -n| 7．（1）B（2）A8．9 10．（1）-5；（2）414 ）第二课时 整式与因式分解教学目的1．能用幂的性质解决简单问题，会进行简单的整式乘法与加法的混合运算．2．能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算．3．了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，会用提公因式法和公式法进行因式分解．4．能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形，并通过代数式的适当变形求代数式的值．5．会列代数式表示简单的数量关系；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，会求代数式的值，并能根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律．教学重点与难点重点：整式运算（幂的性质和乘法公式）、因式分解．难点：列代数式及代数式的变形．0 n 6题图5题图教学方法：讲练结合、适时点拨，注意归纳和总结．教学过程（一）知识梳理1．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理式分式多项式单项式整式有理式代数式 2．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧乘法公式幂的运算乘除去括号、合并同类项—加减运算多项式单项式概念整式 3．整式乘法−−−−→←互为逆运算因式分解⎩⎨⎧公式法提公因式法 （二）例习题讲解与练习例1 （1）在下列所给的运算中，正确的都是（写序号）______________________________．① a 3+a 3= a 6 ② a+2a=3a ③ a 4•a 3 = a 7 ④a •a 3= a 3 ⑤a 3÷a 3= a 3 ⑥ (a 3)2= a 6 ⑦ (2a)3=2a 3 ⑧ (-ab 3)2 = a 3b 6（2）计算：① 3a (2a 2-4a+3 ) - (6a 2 +4a )÷2a ； （6a 3-12a 2+6a-2）② (x -2)2 -[3 (2x+1) (2x -1) - (x+2) (x -1)] ； （-10x 2-3x+5）③已知a 与b-1互为相反数，求多项式4 -[ 5 (a -2b) -3 (a+b) +15b ]的值．（提示：先化简多项式，再由已知得a+b=1后整体代入，计算结果值为2）（考查的知识点：整式运算——合并同类项、幂的性质和乘法公式等． 考查层次：易）（这是一组基础题，目的是帮着学生回忆合并同类项法则、幂的性质和乘法公式，可由学生独立完成，学生归纳、小结）【说明】：（1）合并同类项、幂的性质和乘法公式是考点，要求学生熟练掌握；（2）整数指数幂的运算性质是整式运算的基础，容易混淆，特别注意几个易混的知识点；（3）其中（2）题中的③依据条件a 与b 的值是不可求的，所以应利用整体代入法求值，迅速简便． 练习一：1．观察下列单项式：x ，-2x 2，4x 3，-8x 4，16x 5，…，按此规律写出第8个单项式是_________．2．若单项式22m x y 与313n x y -是同类项，则m n +的值是 ．3．下列运算正确的是（ ）A ．226()x x x -⋅=B ．32()x x x -÷=C ．236(2)8x x =D ．2224(2)2x x x -=4．若0a >且2x a =，3y a =，则x y a -的值为（ ） A ．23 B ．32C ．1D ．1- 5．下列运算中正确的是（ ） A ．1055x 2x x =+ B ．(12 x – 3y) (– 12 x +3y ) = 14x 2 – 9y 2 C ．(– 2x 2y) 3·4x – 3 = – 24x 3y 3 D ．- (-x )3 · (-x )5 = -x 86．化简a (a -2b) - (a -b)2 =_______________．7．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a>b ）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A ．(a+b)2 = a 2+2ab+b 2B ．(a -b)2 = a 2-2ab+b 2C ．a 2-b 2 = (a+b) (a -b)2D ．(a+2b) (a -b) = a 2+ab -2b 28．已知240x -=，求代数式22(1)()7x x x x x x +-+--的值．9．先化简，再求值： 221[(2)(2)2(2)](),10,.25xy xy x y xy x y +---÷==-其中 （答案：1．-128x 8 2．D 3．5 4．C 5．A 6．D 7．-b 2 8．B 9． 10．C 11．-3 12．52 )例2 分解因式：（1）x 3 -9x ； （2）a 2b 2 +10ab 3 -25b 4 ； ； （3）x 4 -81．（10年中考）分解因式：m 2-4m =（3）．（08中考）分解因式：32a ab -= ．（4）（09年中考）. 把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是A.()()x x y x y +-B.()222x x xy y -+C.()2x x y +D.()2x x y - （考查的知识点：因式分解． 考查层次：易）（这是一组基础题，要让学生必须掌握分解因式的方法，可由学生独立完成，教师引导学生归纳、小结）【说明】：（1）因式分解的步骤（先要提取公因式，然后考虑用公式）；（2）应该注意的几个问题：①如果多项式首项系数为负，一般要提出负号，使括号内的第一项系数为正；②要分解到每一个因式都再也不能分解为止； ③如果有多项式乘方时，应注意规律：(b -a)2k = (a -b)2k ；(b -a)2 k+1 = (a -b)2 k+1．（k 为整数）练习二：1．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）A ．ay ax )y x (a +=+B ．4)4x (x 4x 4x 2+-=+-C ．)1x 2(x 5x 5x 102-=-D ．x 3)4x )(4x (x 316x 2+-+=+-2．一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（ ）A ．x 3－x ＝x (x 2－1)B ．x 2－2xy ＋y 2 ＝(x －y)2C ．x 2y －xy 2 ＝xy (x －y)D ．x 2－y 2 ＝ (x －y) (x ＋y)3．分解因式：（1）–3a 2 +12b 2=________________；（2）. ax 2-4ax+4a= ；（3）2322a b b ab +-= ；（4）(x 2 +2x+1)-y 2 =__________________；。
初二年级数学教案 数与式
初二年级数学教案数与式初二年级数学教案：数与式引言：数与式是初中数学的重要内容之一。
它涉及到数的运算、表达和关系的建立。
在初二年级，学生已经掌握了整数、有理数、分数等基本数的概念和运算规则，接下来的学习重点是掌握数与式的基本概念、加法和乘法法则，并能熟练地运用它们解决实际问题。
一、教学目标：1. 理解数与式的概念，能通过具体事例将其区分开来；2. 掌握数与式的加法和乘法法则；3. 运用数与式解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
二、教学重点与难点：1. 数与式的概念理解；2. 数与式的加法和乘法法则的掌握；3. 运用数与式解决实际问题的能力培养。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）教师利用具体例子，如：“小明花了5元钱买了3本书，每本书的价格相同，那么这次购物花了多少钱？”来引出数与式的概念，并引导学生思考，如何将这个问题用数与式来表示。
2. 学习与练习（30分钟）a. 数与式的概念理解学生通过多组例子，如：“小明有5个苹果，小芳有3个苹果，他们一共有多少个苹果？”“一列火车上一共有7节车厢，每节车厢上有25个座位，这列火车上一共有多少个座位？”等，来理解数与式的概念。
并写下相应的数与式表示。
b. 数与式的加法法则教师通过具体例子，如：“5+3=8”“7+2=9”，引出加法法则，并带领学生总结归纳，然后进行练习。
c. 数与式的乘法法则教师通过具体例子，如：“2 × 3 = 6”“4 × 5 = 20”，引出乘法法则，并带领学生总结归纳，然后进行练习。
3. 拓展与应用（15分钟）教师通过实际生活中的问题，如：“小明每天早上骑自行车去学校，每天用时25分钟，一周七天，那么他一周上学用时多少分钟？”引导学生运用数与式解决实际问题，并讨论解决问题的思路和方法。
4. 总结与展示（10分钟）教师与学生一起总结数与式的概念、加法和乘法法则，并邀请学生上台展示他们解决实际问题的方法和答案。
(完整版)第一单元.《数与式》教案
余庆县实验中学九年级（下）数学教案余庆县实验中学九年级（下）数学教案二、【常考题型剖析】（见课件） 类型一 实数的运算（重点）例1 、（’14原创）计算：【思路点拨】根据去绝对值法则和负整数指数幂以及零指数幂的运算法则化简，再由特殊角的锐角三角函数计算即可． 【解题模板】变式题1 （'13湘西州）计算:类型二 实数的大小比较：例2 （'13宜宾）下列各数中,最小的数是 ( ) A. 2 B. -3 C. 1/3 D.0变式题2 （’13钦州）比较大小-1 2（填“＞”或“＜” ）.三、巩固练习：1、《中考总复习讲练册》P4-5《基础过关题》；2、选作题：《中考总复习讲练册》P5《能力提升》；教学反思：1011()(2014)4cos60.3π--+-+--︒11()42sin 30.3-︒--余庆县实验中学九年级（下）数学教案余庆县实验中学九年级（下）数学教案上课时间2014年月日（第周星期）总第课时备课人授课班级九（）班教学内容 1.4.因式分解教学目标1．了解分解因式的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）．2.通过乘法公式22()()a b a b a b+-=-，222()2a b a ab b±=±+的逆向变形，进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力教学重点掌握用提取公因式法、公式法分解因式教学难点根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解，以提高综合解题能力。
教学准备多媒体课件课堂教学程序设计设计意图一、【中考考点清单】考点一：分解因式的概念因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．考点二：分解因式的方法：1.提公因式法2.运用公式法3.十字相乘法4.分组分解法5.求根公式法二次三项式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)因式分解的基本步骤：①对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。
初高中数学衔接 1.数与式教案
第一讲 数与式在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 【公式2】完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+ 【公式3】完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+±【公式4】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++（完全平方公式）证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++=. ∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x解：原式=22]31)2([+-+x x222222432111()()()2(22()33381.339x x x x x x x =++++⨯+⨯⨯=-+-+ 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式5】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+. 【公式6】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)证明：22223333()()[()][()()]()a b a ab b a b a a b b a b a b -++=+---+-=+-=-.【例2】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++解：（1）原式=333644m m +=+.（2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=-.（3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a .（4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=. 说明：在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【例3】已知2310x x -+=，求331x x +的值． 解：2310x x -+= 0≠∴x 31=+∴xx原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x说明：本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦．本题则根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．引申：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++二、指数式当n N ∈时，an na a a a 个⋅⋅⋅=. 当n Q ∈时，⑴零指数01(0)a a =≠， ⑵负指数1(0)n na a a -=≠.⑶分数指数 0,,n maa m n =>为正整数).幂运算法则：(1),(2)(),(3)() (,0,,)mnm nm n mn n n n a a aa a ab a b a b m n Z +⋅===>∈.【例4】求下列各式的值：328，21100-，43)8116(-解: 422)2(8233323232====⨯；101)10(110011002121212===-；8272332)32()8116(3333444343====----．【例5】计算下列各式⑴)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-； ⑵8)(8341-q p ． 解: ⑴a ab bab a b a b a 444)3()6)(2(0653121612132656131212132===-÷--+-+；⑵3232888)()()(83418341q p qp qp q p ===---．三、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2(0)a a =≥||a =0,0)a b =≥≥0,0)a b=>≥ 如果有nx a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n 为大于1的整数．当n a =，当n {,0||,0a a a a a ≥==-<. 【例6】化简下列各式：1)x +≥解：(1) 原式=2|1|211-+=-+=(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明：||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(3) -+解：(1) 原式623==--(2) 原式ab=(3) 原式=+-+说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式()或被开方数有分母()．这时形式() ，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(，其中2+与2-)．四、分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．【例8】化简11xxxxx-+-解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x xx x x x xx x x x xx x x xx xxxx xx xx++=====--⋅+-+-+++--+解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x xx x x xx x x x x xx x xxx xxxx xx++====-⋅-+--+++--⋅说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质A A mB B m⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．【例9】化简233396162279x x x xxx x x++-+-+--解：原式=22339611612(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9)x x x x xx x x x xx x x x x++--+-=--+-+-+-++-22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x xx x x x x+-------===+-+-+.说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．。
数与式子的运算关系(大班数学教案)
数与式子的运算关系（大班数学教案）【数与式子的运算关系】教学目标：1. 理解数与式子的基本概念；2. 掌握使用数与式子进行运算的方法；3. 培养学生的逻辑思维和数学想象能力。
教学重点：1. 明确数与式子的概念；2. 掌握数与式子的运算方法；3. 培养学生的数学思维能力。
教学难点：1. 掌握数与式子的运算过程；2. 培养学生的逻辑推理能力。
教学准备：1. 教学课件或黑板、笔；2. 学生练习册或作业本。
教学过程：【导入】教师引入本节课的主题，并与学生共同探讨数与式子的运算关系的意义和重要性。
【呈现】1. 通过具体的实例，让学生感受数与式子之间的关系，激发学生的兴趣；2. 教师以简洁明了的语言解释数与式子的基本概念，确保学生理解。
【讲解】1. 介绍数与式子的运算法则，包括加法、减法、乘法和除法；2. 逐步讲解数与式子运算的步骤，并通过例题进行示范和讲解；3. 强调运算中的注意事项，如运算顺序和运算规则。
【练习】1. 分发练习册或作业本，让学生进行练习；2. 在学生独立完成练习后，教师进行答疑和讲解。
【拓展】1. 鼓励学生尝试更复杂的数与式子运算，提高他们的数学思维能力；2. 给予学生一些有挑战性的问题，培养他们的逻辑推理能力。
【总结】1. 教师对本节课的内容进行总结，并强调数与式子的运算关系的重要性；2. 学生对本节课所学内容进行反思总结，教师引导学生回答相关问题。
【作业】布置一些与数与式子运算相关的作业，帮助学生巩固所学知识，如计算题或应用题。
【课堂延伸】在课后，鼓励学生在日常生活中应用数与式子的运算关系，如购物计算、时间计算等。
结语：通过本节课的学习，学生能够认识到数与式子的运算关系对数学学习的重要性，掌握使用数与式子进行运算的方法，培养学生的逻辑思维和数学想象能力。
同时，通过课堂延伸的活动，将所学知识应用到实际生活中，将数学与实际问题相结合，更好地提高学生的学习兴趣和动力。
初一年级数学教案 数与式
初一年级数学教案数与式初一年级数学教案【教学目标】1. 了解数与式的概念；2. 能够识别和比较不同的数；3. 能够通过加法和减法运算得出数的结果；4. 能够简单地将数的运算过程表达为算式。
【教学准备】1. 教学课件或黑板；2. 数字卡片或实物物体，用于数的比较；3. 练习题，用于巩固学生对数与式的理解。
【教学过程】一、导入（5分钟）1. 教师出示一组数字卡片或实物物体，例如苹果、梨子等，并让学生观察和比较它们的数量。
2. 引导学生思考，如何用数字表示这些物体的个数，并让他们口头回答。
二、概念讲解（10分钟）1. 教师向学生介绍数与式的概念，并通过示意图或实际例子帮助学生理解。
2. 引导学生思考，数是什么，如何表示数，以及数之间的大小关系。
三、数的比较（15分钟）1. 教师出示一组数字卡片或实物物体，并让学生两两比较它们的数量。
2. 让学生使用符号<、>、=来表示两个数之间的大小关系，并口头回答。
3. 教师鼓励学生解释他们的比较结果，并进行讨论。
四、数的运算（20分钟）1. 教师出示一组加法和减法的例子，例如：2+3、5-2等，并让学生计算结果。
2. 引导学生理解加法和减法的概念和运算规则，并通过实际操作进行巩固。
五、算式的表达（15分钟）1. 教师向学生介绍算式的概念，并通过示意图或实际例子帮助学生理解。
2. 让学生将之前做过的加法和减法运算过程，以及比较结果用算式的形式表示出来。
六、练习与巩固（25分钟）1. 教师分发练习题，让学生独立完成。
2. 教师布置小组活动或游戏，让学生应用已学知识，进一步巩固数与式的理解。
七、总结与反思（5分钟）1. 教师与学生一起回顾今天所学的内容，并进行总结概括。
2. 引导学生思考，如果遇到其他的数与式问题应该如何解决。
【教学延伸】1. 鼓励学生在日常生活中进行数的比较和运算，巩固所学的数与式的知识；2. 配置手机应用或在线游戏，让学生在娱乐中学习数与式的概念和运算。
数与式初中教案
数与式初中教案教学目标：1. 理解整数、分数、小数的概念及特点。
2. 掌握有理数的分类及基本性质。
3. 能够运用数与式解决实际问题。
教学重点：1. 整数、分数、小数的概念及特点。
2. 有理数的分类及基本性质。
3. 数与式的应用。
教学难点：1. 有理数的分类及基本性质。
2. 数与式的灵活运用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的数的概念，如自然数、整数、分数等。
2. 提问：同学们还能想到哪些数的概念呢？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解整数的概念及特点，如正整数、负整数、零等。
2. 讲解分数的概念及特点，如正分数、负分数、真分数、假分数等。
3. 讲解小数的概念及特点，如有限小数、无限小数、循环小数等。
4. 讲解有理数的分类，如整数、分数、正有理数、负有理数、零等。
5. 讲解有理数的基本性质，如加法、减法、乘法、除法等。
三、例题讲解（15分钟）1. 讲解例题，让学生理解并掌握数与式的运用。
2. 引导学生思考：如何将实际问题转化为数与式的问题？四、课堂练习（10分钟）1. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
2. 引导学生独立完成练习题，并及时给予解答。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结本节课所学内容，让学生明确数与式的概念及应用。
2. 提问：同学们还能想到哪些数与式的应用场景呢？教学反思：本节课通过讲解整数、分数、小数的概念及特点，让学生掌握了有理数的分类及基本性质。
在例题讲解和课堂练习环节，学生能够灵活运用数与式解决实际问题。
但仍有部分学生在有理数的分类及基本性质方面存在困惑，需要在后续教学中加强巩固。
在下一节课中，可以结合具体例子，让学生更好地理解有理数的运算规律。
同时，注重培养学生的数学思维能力，提高他们解决实际问题的能力。
初中数学数与式教案模板7篇
初中数学数与式教案模板7篇教学目标知识技能：掌握应用方程解决实际问题的方法步骤，提高分析问题、解决问题的能力。
过程与方法：通过探索球积分表中数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型，并且明确用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义。
情感态度：鼓励学生自主探究，合作交流，养成自觉反思的良好习惯。
重点：把实际问题转化为数学问题，不仅会列方程求出问题的解，还会进行推理判断。
难点：把数学问题转化为数学问题。
关键：从积分表中找出等量关系。
教具：投影仪。
教法：探究、讨论、启发式教学。
教学过程一、创设问题情境用投影仪展示几张比赛场面及比分(学习是生活需要，引起学生兴趣)二、引入课题教师用投影仪展示课本106页中篮球联赛积分榜引导学生观察，思考：①用式子表示总积分能与胜、负场数之间的数量关系;②队的胜场总分能等于它的负场总积分么?学生充分思考、合作交流，然后教师引导学生分析。
师：要解决问题①必须求出胜一场积几分，负一场积几分，你能从积分榜中得到负一场积几分么?你选择哪一行最能说明负一场积几分?生：从最下面一行可以发现，负一场积1分。
师：胜一场呢?生：2分(有的用算术法、有的用方程各抒己见)师：若一个队胜a场，负多少场，又怎样积分?生：负(14-a)场，胜场积分2a，负场积分14-a，总积分a+14.师：问题②如何解决?学生通过计算各队胜、负总分得出结论：不等。
师：你能用方程说明上述结论么?生：老师，没有等量关系。
师：欸，就是，已知里没说，是不是不能用方程解决了?谁又没有大胆设想?生：老师，能不能试着让它们相等?师：伟大的发明都是在尝试中进行的，试试?生：如果设一个队胜了x场，则负(14-x)场，让胜场总积分等负场总积分，方程为：2x=14-x解得x=4/3(学生掌声鼓励)师：x表示什么?可以是分数么?由此你的出什么结论?生：x表示胜得场数，应该是一个整数，所以，x=4/3不符合实际意义，因此没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分。
高一数学课程教案数与式的计算与应用
高一数学课程教案数与式的计算与应用高一数学课程教案：数与式的计算与应用导言：数与式是数学中的基础概念和重要工具之一。
通过本节课的教学，旨在加深学生对数与式的理解，培养他们的计算思维和问题解决能力。
本教案将结合实际应用情境，通过数与式的计算与应用，引导学生探索数学的实际应用意义。
一、知识概述1. 数与式的基本概念数是人们用来计数、计量和比较事物多少的概念。
在数学中，我们用数字和符号表示数。
式是数的表示方式之一，它是由数字、运算符号和字母等组成的表达式。
2. 数与式的计算规则（1）数的加法和乘法运算a. 两个数的加法：如a + bb. 两个数的乘法：如a × b（2）式的合并与展开a. 合并式：将同类项合并，如a + b + a = 2a + bb. 展开式：将括号内的式展开，如(a + b) × c = ac + bc （3）运算的顺序a. 先乘除后加减b. 先计算括号内的式子c. 先计算乘方运算二、教学目标1. 知识目标（1）理解数与式的概念及其关系。
（2）掌握数与式的基本计算规则。
2. 能力目标（1）运用数与式的计算规则解决实际问题。
（2）发展学生的逻辑思维和分析问题的能力。
三、教学重点1. 数与式的概念及其关系。
2. 数与式的基本计算规则。
3. 实际问题的数与式的计算与应用。
四、教学内容及方法1. 概念讲解与拓展（1）通过实例引入数与式的概念。
（2）利用教学软件或板书讲解数与式的基本概念，并与学生一起讨论理解。
（3）展示一些实际问题，引导学生思考如何将问题转化为数与式的计算过程。
2. 计算规则的讲解与练习（1）使用彩色笔为学生展示数与式的计算规则。
（2）布置计算练习题，让学生进行练习。
鼓励学生采用不同的计算方法，培养他们的灵活思维。
3. 实际问题的探究与应用（1）引导学生通过实际问题探索数与式的应用。
（2）组织小组合作学习，让学生在小组内自主解决实际问题并进行讨论。
4. 总结与反思（1）让学生总结所学内容，归纳数与式的计算规则和应用方法。
1.数与式教案
（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解。
（2）因式分解的方法：
①提起公因式法：把多项式的各项含有的公因式，提取作为多项式的因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。如：ma+mb+mc=m（a+b+c）；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一个非负数。a≥0 ; √ā≥0 [ 双重非负性 ]
3，二次根式√ā的化简 a(a≥0） √ā=|a|={ -a(a＜0)
4，积的平方根与商的平方根 √ab= （a≥0，b≥0）
= / （a≥0，b>0）
5，最简二次根式条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；
借助因式分解能约分的要先约分
5，求分式的值：先观察，能不能用整体代入的方法求值。分式值为零要同时满足：分母的值不为0，分子的子为0.
归纳：会利用分式的的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加，减，乘，除运算。
四：二次根式：
1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0时，√a表示a的算数平方根,√0=0
1，数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向、单位长度为数轴的三要素。
2，绝对值：实数在数轴上对应的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值。
a（a＞0）
｜a｜＝0（a＝0）
－a（a＜0）
3，相反数：只有符号不同，而绝对值相等的两个数称为相反数。
互为相反数的两个数的和为零。
4，近似数、有效数字：按照某种要求采用四舍五入得到与原来的数接近的数叫做近似数；
公式：a3+b3+c3+3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)。
三年级数学教案 数与式
三年级数学教案数与式三年级数学教案：数与式一、教学目标1. 理解数与式的关系，认识数与式的运算规则。
2. 能够使用加法和减法运算符将数组成算式并计算结果。
3. 掌握简单的代数式的概念，能够利用代数式进行简单的数学运算。
二、教学内容1. 数与式的定义和基本概念。
2. 加法和减法的运算规则。
3. 数组成算式的方法和步骤。
4. 简单的代数式的构造和计算。
三、教学过程1. 导入新知识老师可以通过与学生互动的方式，引导他们思考数和式的关系。
例如，举例说明两个数相加或相减得到的结果可以用式子来表示。
2. 学习数与式的定义和基本概念通过示例和图示，让学生理解数与式的概念，并明确数对应的是实际数值，式子则是由数和运算符组成的算式。
3. 学习加法和减法的运算规则教师可以给出一些具体的加法和减法运算题目，引导学生观察规律，并总结出加法的交换律和结合律，以及减法的规则。
4. 数组成算式的方法和步骤让学生通过实际操作，从生活中的问题中抽象出算式，并将数与运算符合理地组合起来。
例如，先让学生列举一些加法或减法例子，然后引导他们用数字和符号将其转化为算式，并计算结果。
5. 学习代数式的构造和计算介绍代数式的概念后，让学生尝试构造一些简单的代数式，并利用已学的加法和减法运算规则计算结果。
四、示例教案：数与式的关系教学内容：数与式之间的关系及运算教学目标：让学生了解数与式的基本概念，掌握数与式的运算规则。
教学过程：1. 导入通过给出一些实际问题，引导学生思考如何用数学式子来表示。
例如：小明有3本书，小红多了他2本书。
请问小红一共有几本书？2. 引入新知识展示一个简单的式子：“3+2=5”，并解释其中的含义。
让学生理解3和2分别代表了小明和小红的书的数量，加号和等于号的作用。
3. 讨论加法的运算规则让学生观察一些加法的例子，如2+3、4+1等，引导他们总结加法的交换律和结合律。
4. 练习让学生自行列举一些加法题目，并将其写成算式，然后计算结果。
中考总复习数与式教案
中考总复习数与式教案一、教学目标1.理解数与式的关系，熟练运用数与式的基本概念和性质。
2.能够根据实际问题抽象出相应的数与式，并进行简单的计算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1.数与式的基本概念和性质。
2.数与式的运算。
3.数与式在实际问题中的应用。
三、教学重点1.数与式的基本概念和性质。
2.数与式的运算。
四、教学难点1.数与式的应用问题转化。
2.数与式的运算规则。
五、教学过程第一节：数与式的基本概念和性质（30分钟）1.定义数和式的概念，让学生通过实际例子理解并举例说明。
2.引导学生发现数与式的特点和区别。
3.分析并讨论数和式的性质，强调数与式之间的相互关系和运算规则。
第二节：数与式的运算（40分钟）1.讲解数与式的加减运算规则，引导学生通过例题掌握运算方法。
2.讲解数与式的乘法运算规则，引导学生通过例题掌握运算方法。
3.讲解数与式的除法运算规则，引导学生通过例题掌握运算方法。
4.综合练习，巩固运算技巧。
第三节：数与式的应用（50分钟）1.提供一些实际问题，并引导学生抽象成相应的数与式。
2.通过实际问题解答，引导学生运用数与式的知识思考解决办法。
3.学生自主解决实际问题，老师进行讲评。
六、课堂练习1.抽取一些简单的数与式的计算题，让学生进行练习。
2.提供一些应用题目，让学生进行解答和思考。
七、课堂小结通过本节课的学习，学生能够理解数与式的基本概念和性质，掌握数与式的运算方法，并能将数与式应用于实际问题的解答中。
八、作业1.完成课堂练习的题目。
2.准备模拟考试试题，以检测自己对数与式知识的掌握程度。
九、教学反思通过本节课的教学，学生对数与式的基本概念和性质有了初步的了解，运算方法也能够应用到简单的题目中。
但是仍然有部分学生对应用题的解法有困难，需要进一步加强训练与引导，提高学生的解决实际问题的能力。
同时，下一节课可以适当增加一些更复杂的运算题目和应用题目，提高教学的难度和学生的综合素质。
第一章 数与式教案
4、总结评价。
教师引导学生归纳重难点内容，总结规律方法。
1、积极思考，互帮互学加深对知识点的理解；
2、小组合作探究，解决自主学习疑难题目；
3、做相应的笔记；
4、归纳重难点内容，总结规律方法。
解决共性和个性问题
巩固提升
1、针对学生问题进行巩固与应用，教师在黑板上列出题目，学生解答，教师提问学生回答；
年级
九年级
科目
数学
课型
复习课
课题
第一章数与式
教学目标
1、理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。
2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法Biblioteka 知道｜a｜的含义(这里a表示有理数)。
3、理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)。
2、检测面对面课后习题的完成情况；
3、作出相应的评价，给予鼓励。
1、每个组课后集体完成任务1，推选代表回答问题，并展示本组完成的知识清单；
2、学生聆听，对比找差距。
固化学习习惯，培养学习方法，激发学习兴趣。
合作与探究
1、问题整理
呈现教师整理出的学生反馈的疑难重点，错误率较高的题；
2、互助答疑
鼓励同学之间互助解决个别疑点。梳理知识点后，小组合作解决疑难题目，每组各抽一名同学展示一个疑难点
2、学生完成后，评价检测结果，给予奖励；
3、小组合作解决错题，必要时教师点拨，规范；
4、引导学生总结解题规律方法。
学生答题，及时反馈，自我总结
知识内化
总结反思
引导学生归纳梳理知识结构框架，总结题型及解题规律方法
学生归纳，总结本节课所学内容
二年级数学教案 数与式
二年级数学教案数与式二年级数学教案数与式一、教学目标：1. 知识与技能：- 能够正确理解数和式的概念，并分辨它们之间的区别；- 能够辨别不同的数与式的特征，并正确运用它们；- 能够通过实例理解数与式之间的关系。
2. 过程与方法：- 采用启发式教学法，引导学生通过实际操作和观察，深化对数与式的理解；- 通过游戏形式的小组合作，培养学生的思维逻辑和沟通能力；- 鼓励学生在实践操作中发现问题并解决问题，培养学生的自主学习能力。
3. 情感态度和价值观：- 培养学生基础数学思维，提高数学学习的兴趣；- 培养学生认真思考问题的态度，鼓励他们勇于表达自己的看法；- 培养学生合作学习和分享知识的意识，培养团队合作精神。
二、教学内容：数与式1. 什么是数？数是用来计数、表示数量或者具体位置的概念。
数包括整数、小数、分数等。
2. 什么是式？式是由数、符号和运算符号组成的代数表达式。
式可以表示数的关系、属性和计算过程。
3. 数和式的区别数是具体的，可以表示一个具体的数值，而式是抽象的，是由数和运算符号组成的代数表达式，可以表示多个数值。
三、教学过程：1. 导入新知识- 引导学生回忆上节课学过的数的概念，并通过实例进行复习。
2. 引入概念- 提示学生思考数与式的区别和联系，让学生自主发言并记录下他们的答案。
3. 游戏活动- 分组进行游戏活动，让学生合作完成一些数与式的运算问题，激发学生的学习兴趣。
4. 深化理解- 让学生观察一些常见的数与式的例子，通过实例帮助学生深化对数与式的理解。
5. 讨论与总结- 利用小组讨论的形式，引导学生总结数与式的特征和区别。
四、教学反思：在本节课中，我通过启发式教学法引导学生主动参与数与式的学习，激发了他们的学习兴趣和思维能力。
通过游戏活动和实例的引导，学生对数与式的概念有了更深入的理解，并能够正确区分它们之间的区别。
然而，在实际教学过程中，我也发现了一些问题。
有些学生在合作学习中表现得比较被动，缺乏积极性；同时，部分学生对于式的概念理解还不够深入。
[初中数学]数与式教案1-人教版
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[初中数学]数与式教案1-人教版第一章数与式第1课实数复习教学目标：1、理解现实世界中具有相反意义的量的含义，会借助数轴理解实数的相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值，并会比较实数的大小。
2、了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根和立方根。
3、了解无理数与实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应的关系，会用一个有理数估计一个无理数的大致范围，了解近似数与有效数字的概念，会用计算器进行近似计算。
4、结合具体问题渗透化归思想，分类讨论的数学思想方法。
复习教学过程设计：Ⅰ [唤醒]一、填空：1、-1.5的相反数是、倒数是、绝对值是、1－ 2 的绝对值是。
2、倒数等于本身的数是，绝对值等于本身的数是。
算术平方根等于本身的理数都是无限小数。
（ ）3、232是分数，也是有理数。
（ ）4、3-2没有平方根。
（ ） 5、若3x =x ，则x 的值是0和1。
（ ）6、a 2的算术平方根是a 。
（ ）三、选择：1、和数轴上的点一一对应的数是（ ）A 、整数B 、有理数C 、无理数D 、实数2、已知：xy ＜ 0，且|x|=3 ，|y|=1,则x+y 的值等于（ ）A 、2或－2B 、4或－4C 、4或2D 、4或－4或2或－23、如果一个数的平方根与立方根相同，这个数为（ ）A 、0B 、1C 、0或1D 、0或+1或-1Ⅱ[尝试]例1，已知下列各数：∏，-2.6，22 7 ,0,0.4,-(-3),3(-27) ,(--12)-2,cos300,23.6 ,-10,0.21221222122221……（按此规律，从左至右，在每相邻的两个1之间，每段在原有2的基础上再增加一个2）。
把以上各数分别填入相应的集合。
无理数集合：（…）有理数集合：（…）整数结集合：（…）分数集合：（…）正数集合：（…）（解略）提炼：实数的分类思想方法。
例2，计算下列各题：1、20-(-12)2+2-2-3(-64) 2、(38-724+1118-59)×(-72) 3、(12)-2-23×0.125- 4 +|-1|2、解略（答案：1：5；2：-11；3：2例3，已知实数a、b（1）你会比较实数a、b的大小吗？（2）你会比较|a|与|b|的大小吗？相信你能！a b（3）在什么条件下b a ＞0? b a ＜0? b a=0?并说明此时坐标原点的大致位置。
初三数学数与式教案6篇
初三数学数与式教案6篇初三数学数与式教案篇1了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用.复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其他的运用.重点中心对称图形的有关概念及其它们的运用.难点区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形.一、复习引入1.(老师口问)口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质?(老师口述)：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.关于中心对称的两个图形是全等图形.2.(学生活动)作图题.(1)作出线段ao关于o点的对称图形，如图所示.(2)作出三角形aob关于o点的对称图形，如图所示.延长ao使oc=ao，延长bo使od=bo，连接cd，则△cod即为所求，如图所示.二、探索新知从另一个角度看，上面的(1)题就是将线段ab绕它的中点旋转180°，因为oa=ob，所以，就是线段ab绕它的中点旋转180°后与它本身重合.上面的(2)题，连接ad，bc，则刚才的关于中心o对称的两个图形就成了平行四边形，如图所示.∵ao=oc，bo=od，∠aob=∠cod∴△aob≌△cod∴ab=cd也就是，abcd绕它的两条对角线交点o旋转180°后与它本身重合.因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.(学生活动)例1从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形.老师点评：老师边提问学生边解答的特点.(学生活动)例2请说出中心对称图形具有什么特点?老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳的特点.例3求证：如图，任何具有对称中心的四边形是平行四边形.分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分.证明：如图，o是四边形abcd的对称中心，根据中心对称性质，线段ac，bd点o，且ao=co，bo=do，即四边形abcd的对角线互相平分，因此，四边形abcd是平行四边形.三、课堂小结(学生归纳，老师点评)本节课应掌握：1.中心对称图形的有关概念;2.应用中心对称图形解决有关问题.四、作业布置教材第70页习题8，9，10.初三数学数与式教案篇2一、素质教育目标(一)知识教学点使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实.(二)能力训练点逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.(三)德育渗透点引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.二、教学重点、难点1.重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实.2.难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论.三、教学步骤(一)明确目标1.如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则a、b间距离为多少米?2.长5米的梯子以倾斜角∠cab为30°靠在墙上，则a、b间的距离为多少?3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则a、b间距离为多少?4.若长5米的梯子靠在墙上，使a、b间距为2米，则倾斜角∠cab为多少度?前两个问题学生很容易回答.这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识.但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用.同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来.通过四个例子引出课题.(二)整体感知1.请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值.学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值.程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长.2.请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的.大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗?这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知.(三)重点、难点的学习与目标完成过程1.通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”.但是怎样证明这个命题呢?学生这时的思维很活跃.对于这个问题，部分学生可能能解决它.因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成.2.学生经过研究，也许能解决这个问题.若不能解决，教师可适当引导：若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其顶点a1，a2，a3重合在一起，记作a，并使直角边ac1，ac2，ac3……落在同一条直线上，则斜边ab1，ab2，ab3……落在另一条直线上.这样同学们能解决这个问题吗?引导学生独立证明：易知，b1c1∥b2c2∥b3c3……，∴△ab1c1∽△ab2c2∽△ab3c3∽……，∴形中，∠a的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值.通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透.而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计.这一设计同时起到培养学生思维能力的作用.练习题为作了孕伏同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来.(四)总结与扩展1.引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的.教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识.2.扩展：当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道.今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的.如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了.看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下.通过这种扩展，不仅对正、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣.四、布置作业本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念.五、板书设计初三数学数与式教案篇3理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程.重点求根公式的推导和公式法的应用.难点一元二次方程求根公式的推导.一、复习引入1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x2=4(2)(x-2)2=7提问1这种解法的(理论)依据是什么?提问2这种解法的局限性是什么?(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程.)2.面对这种局限性，怎么办?(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式.)(学生活动)用配方法解方程2x2+3=7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评).(1)先将已知方程化为一般形式;(2)化二次项系数为1;(3)常数项移到右边;(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式;(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±q;如果q二、探索新知用配方法解方程：(1)ax2-7x+3=0(2)ax2+bx+3=0如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题.问题：已知ax2+bx+c=0(a≠0)，试推导它的两个根x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a(这个方程一定有解吗?什么情况下有解?)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去.解：移项，得：ax2+bx=-c二次项系数化为1，得x2+bax=-ca配方，得：x2+bax+(b2a)2=-ca+(b2a)2即(x+b2a)2=b2-4ac4a2∵4a2>0，当b2-4ac≥0时，b2-4ac4a2≥0∴(x+b2a)2=(b2-4ac2a)2直接开平方，得：x+b2a=±b2-4ac2a即x=-b±b2-4ac2a∴x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a，b，c代入式子x=-b±b2-4ac2a就得到方程的根.(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.例1用公式法解下列方程：(1)2x2-x-1=0(2)x2+1.5=-3x(3)x2-2x+12=0(4)4x2-3x+2=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可.补：(5)(x-2)(3x-5)=0三、巩固练习教材第12页练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6).四、课堂小结本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程;(2)公式法的概念;(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0;2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号;3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解;4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果.(4)初步了解一元二次方程根的情况.五、作业布置教材第17页习题4初三数学数与式教案篇4一、内容简介本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。
数与式子的教案
数与式子的教案教案标题：探索数与式子教案目标：1. 学生能够理解数的概念，并能够用不同的方式表示和操作数。
2. 学生能够理解式子的概念，并能够根据给定的问题写出相应的数学式子。
3. 学生能够应用数与式子的知识解决实际问题。
教案步骤：引入活动：1. 引导学生回顾他们对数的概念的理解。
提问他们数的定义和数的分类。
2. 引导学生思考数的表示方法，例如数字、图形、物体等。
探索活动：1. 将学生分成小组，每组提供一些物体（例如小球、积木等）。
2. 引导学生用这些物体进行数数，并记录下结果。
鼓励学生使用不同的表示方法，例如用数字、图形等。
3. 引导学生思考如何将所数的物体表示成数学式子。
提问学生如何表示“用了3个小球”、“用了n个积木”等。
概念讲解：1. 介绍式子的概念，解释式子是由数、变量和运算符组成的表达式。
2. 解释变量的概念，指出变量可以表示任意数值，用字母表示。
3. 举例说明如何根据给定问题写出相应的数学式子。
练习活动：1. 分发练习题，要求学生根据给定问题写出相应的数学式子。
2. 引导学生互相交流并讨论他们的答案，鼓励他们解释自己的思路和答案的合理性。
3. 随堂检查学生的练习情况，提供反馈和指导。
应用活动：1. 提供一些实际问题，要求学生应用数与式子的知识解决问题。
2. 鼓励学生思考问题的解决方法，并将其转化成数学式子。
3. 学生展示他们的解决思路和答案，并进行讨论和评价。
总结活动：1. 总结数与式子的概念和应用。
2. 引导学生思考数与式子在日常生活中的重要性和实际应用。
3. 鼓励学生提出问题和疑惑，并解答他们的疑问。
教案评估：1. 观察学生在探索活动中的参与程度和表现。
2. 检查学生在练习活动和应用活动中的答案和解决思路。
3. 收集学生的反馈和问题，评估他们对数与式子的理解程度。
教案扩展：1. 引导学生进一步探索数与式子的应用领域，例如代数、方程等。
2. 提供更复杂的问题和挑战，鼓励学生运用数与式子的知识解决问题。
1.数与式教案
第一讲 数与式在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容． 一、乘法公式【公式1】平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 【公式2】完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+【公式3】完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+±【公式4】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++（完全平方公式）证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++=.∴等式成立 【例1】计算：22)312(+-x x解：原式=22]31)2([+-+x x说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式5】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+. 【公式6】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)证明：22223333()()[()][()()]()a b a ab b a b a a b b a b a b -++=+---+-=+-=-. 【例2】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+ （2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++解：（1）原式=333644m m +=+.（2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=-. （3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a .（4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+ 63362332)(y y x x y x ++=+=.说明：在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构． 【例3】已知2310x x -+=，求331x x +的值．解：2310x x -+= 0≠∴x 31=+∴xx 原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x说明：本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦．本题则根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．引申：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 二、指数式当n N ∈时，an n a a a a 个⋅⋅⋅=. 当n Q ∈时，⑴零指数01(0)a a =≠， ⑵负指数1(0)n na a a -=≠.⑶分数指数 0,,nma a m n =>为正整数).幂运算法则：(1),(2)(),(3)() (,0,,)m n m n m n mn nn n a a a a a ab a b a b m n Z +⋅===>∈.【例4】求下列各式的值：328，21100-，43)8116(-解:422)2(8233323232====⨯；101)10(110011002121212===-；8272332)32()8116(3333444343====----．【例5】计算下列各式⑴)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-； ⑵8)(8341-q p ． 解: ⑴a ab ba b a b a b a 444)3()6)(2(0653121612132656131212132===-÷--+-+；⑵3232888)()()(83418341q p qp qp qp===---．三、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1)2(0)a a =≥ ||a =0,0)a b =≥≥0,0)a b=>≥如果有n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n 为大于1的整数．当n a =，当n {,0||,0aa a a a ≥==-<.【例6】化简下列各式：1)x +≥ 解：(1) 原式=|2|1|211-+-=-+=(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(3) +解：(1) 原式623==--(2) 原式(3) 原式=-+-. 说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式()或被开方数有分母()．这时可将其化为形式() ，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如化为，其中2+2)．四、分式当分式A B的分子、分母中至少有一个是分式时，A B就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．【例8】化简11xxx x x-+-解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x++=====--⋅+-+-+++--+ 解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+--+++--⋅说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质A A m BB m⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法． 【例9】化简233396162279x x x x x x x x++-+-+-- 解：原式=22339611612(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=--+-+-+-++-22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x +-------===+-+-+.说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．。
《数与式专题复习教》教案通用
数与式专题复习教学案素质学习目标（一）知识目标（1） 考查正负数和有理数的含义，会用正负数表示实际问题中的数量关系；充分借助数轴这一工具,理解相反数的具体含义，会求一个数的绝对值、倒数、相反数;注意近似数与有效数字的选取方法以及科学计数法的表示方法, 掌握平方根、立方根的概念和性质；会进行有关实数的加、减、乘、除乘方、开方运算.（二）能力目标。
强化基本运算，培养数感,形成理性的思维.． 培养计算策略的选择和能力的提高．加强建立数学模型解题的能力．． 开放探究类问题和有实际背景的应用问题,加强信息分析和判断，培养解题思路的多样化．考点 有理数、实数的概念【知识要点】、实数的分类:有理数,无理数．。
实数和数轴上的点是对应的,每一个实数都可以用数轴上的来表示，反过来，数轴上的点都表示一个。
叫做无理数。
一般说来，凡开方开不尽的数是无理数，但要注意，用根号形式表示的数并不都是无理数(如4),也不是所有的无理数都可以写成根号的形式（如π）。
【典型考题】.把下列各数填入相应的集合内：51.0,25.0,,8,32,138,4,15,5.73 π-有理数集｛ },无理数集{ }正实数集{ }1、在下列实数中共有个无理数271,27,64,12,0,23,43--中, 2、在4,45sin ,32,14.3,3︒--中，无理数的个数是，写出一个无理数，使它与2的积是有理数【复习指导】解这类问题的关键是对有理数和无理数意义的理解.无理数与有理数的根本区别在于能否用既约分数来表示。
考点 数轴、倒数、相反数、绝对值【知识要点】1、若0≠a ，则它的相反数是，它的倒数是。
的相反数是.2、一个正实数的绝对值是；一个负实数的绝对值是；的绝对值是.⎩⎨⎧<≥=)0____()0____(||x x x 3、一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与的距离。
【典型考题】、的倒数是211-；的相反。
2、0|2|)1(2=++-n m ,则n m +的值为3、已知21||,4||==y x ，且0<xy ,则y x 的值等于4、实数c b a ,,在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有①0>+c b②c a b a +>+③ac bc >④ac ab >个 个 个 个5、①数轴上表示和的两点之间的距离是数轴上表示和的两点之间的距离是。
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第一讲 数与式在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 【公式2】完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+ 【公式3】完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+±【公式4】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++（完全平方公式）证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++=. ∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x解：原式=22]31)2([+-+x x222222432111()()()2(22()33381.339x x x x x x x =++++⨯+⨯⨯=-+-+ 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式5】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+. 【公式6】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)证明：22223333()()[()][()()]()a b a ab b a b a a b b a b a b -++=+---+-=+-=-.【例2】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++解：（1）原式=333644m m +=+.（2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=-.（3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a .（4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=. 说明：在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【例3】已知2310x x -+=，求331xx +的值．解：2310x x -+= 0≠∴x 31=+∴xx 原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x说明：本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦．本题则根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．引申：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++二、指数式当n N ∈时，an na a a a 个⋅⋅⋅=. 当n Q ∈时，⑴零指数01(0)a a =≠， ⑵负指数1(0)n n a a a-=≠.⑶分数指数 0,,n maa m n =>为正整数).幂运算法则：(1),(2)(),(3)() (,0,,)mnm nm n mn n n n a a aa a ab a b a b m n Z +⋅===>∈.【例4】求下列各式的值：328，21100-，43)8116(-解: 422)2(8233323232====⨯；101)10(110011002121212===-；8272332)32()8116(3333444343====----． 【例5】计算下列各式⑴)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-； ⑵8)(8341-q p ． 解: ⑴a ab bab a b a b a 444)3()6)(2(0653121612132656131212132===-÷--+-+；⑵3232888)()()(83418341q p qp qp q p ===---．三、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2(0)a a =≥||a =0,0)a b =≥≥0,0)a b =>≥ 如果有nx a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n 为大于1的整数．当n a =，当n {,0||,0a a a a a ≥==-<. 【例6】化简下列各式：1)x +≥解：(1) 原式=2|1|211-+=-+=(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明：||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：解：(1) 原式23(2623-==--(2)原式=(3) 原式=+-+说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式()或被开方数有分母()．这时形式() ，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(，其中2+与2-)．四、分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．【例8】化简11xxxxx-+-解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x xx x x x xx x x x xx x x xx xxxx xx xx++=====--⋅+-+-+++--+解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x xx x x xx x x x x xx x xxx xxxx xx++====-⋅-+--+++--⋅说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质A A mB B m⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．【例9】化简233396162279x x x xxx x x++-+-+--解：原式=22339611612(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9)x x x x xx x x x xx x x x x++--+-=--+-+-+-++-22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x xx x x x x+-------===+-+-+.说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．。