苏教版初二数学反比例函数讲义

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初二数学反比例函数讲义

一、本节课知识点梳理 1、反比例函数的概念

2、反比例函数的图像及其性质

3、反比例系数k 的意义及其实际应用 二、重难点点拨

教学重点:反比例函数图像及其性质 教学难点:反比例函数k 的几何意义 三、典型例题与分析 知识点一:反比例函数概念

一般地,如果两个变量x 、y 之间关系可以表示成y=x

k

,(k 为常数,k ≠0)的形式,那么称y 是x 的反比例函数。反比例函数形式还可以写成:xy=k ,y=kx -1(k ≠0的常数)

1、在下列函数中,反比例函数是( )

A 11+=

x y B xy=0 C x

k y = D x y 21

-=

2、如果函数12-=m x y 为反比例函数,则m 的值是 ( )

A 、1-

B 、0

C 、2

1 D 、1

知识点二:反比例函数的图象与性质

注意1:双曲线的两个分支是断开的,研究函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论。

(1)已知y=x

k

(k <0)的图象上有两点A (x 1,y 1)、B(x 2,y 2)

①若x 1<x 2<0,则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0<x 1<x 2,则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2

②若x 1<0<x 2,则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2

③若x 1<x 2,则y 1 与y 2大小关系是 。

(2)已知y=x

k

(k > 0)的图象上有两点A (x 1,y 1)、B(x 2,y 2)

①若x 1<x 2<0,则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0<x 1<x 2,则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2

②若x 1<0<x 2,则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ③若x 1<x 2,则y 1 与y 2大小关系是 。

注意2:反比例函数图象是以原点为对称中心的中心对称图形,是以直线y=x 和y=x -为对称轴的轴对称图形。

【例1】在反比例函数x

y 1-=的图像上有三点(1x ,)1y ,(2x ,)2y ,(3x ,)3y 。若3210x x x >>>则下列各式正确的是( )

A .213y y y >>

B .123y y y >>

C .321y y y >>

D .231y y y >> 练习:

1.下列函数中,y 随x 增大而增大的是_______

A y=-x+1

B y=x 43-

C y=x

21

D y=2x-1 2.反比例函数y=x

k

图象在第二四象限,则一次函数y=kx-5的图象不经过_____象限。

3.在同直角坐标系中,函数y=kx-k 与y=x

k

(k ≠0)的图象大致是___________。

4.已知反比例函数3y x

=,

①若x <-3,则y 的取值范围 ②若y >-1,则x 的取值范围

知识点三:反比例函数y=x

k 比例系数k 的意义

1.

如图过双曲线上任一点p (x 、y )作x 轴、y 轴垂

线段PM 、PN 所得矩形PMON 的面积S=PM ·PN=|y|·|x|=|xy|

∵y=x

k ∴xy=k

∴s=|k|,即反比例函数y=x

k (k ≠0)中的比例系数k 的绝对值表示过双曲线上任意一点,作X 轴,Y 轴的垂线所得的矩形的面积。

2.

如图过双曲线上一点Q 向X 轴或Y 轴引垂线,

则S △AOQ =k 2

1

【例2】如图,Rt ΔABO 的顶点A 是双曲线k y x

=与直线y x m =-+

•在第二象限的交点,AB 垂直x 轴于B ,且S △ABO =32

则反比例函数的解析式 .

【例3】如图,正比例函数(0)y kx k =>与反比例函数2y x

=的图象相交于A 、C 两点,

过点A 作AB ⊥x 轴于点B ,连结BC .则ΔABC 的面积等于( ) A .1 B .2 C .4 D .随k 的取值改变而改变.

练习:

1、老师在同一个直角坐标系中画了一个反比例函数(0)k

y k x

=

≠的图象以及正比例函数2y x =-的图象,请同学观察有什么特点。甲同学说:双曲线与直线

2y x =-有两个交点;乙同学说:双曲线上任意一点到两坐标轴的距离的积都是

5.请你根据甲、乙两位同学的说法,写出这个反比例函数的解析式 .

2、 如图A ,B 是函数x

y 1

=的图象上关于原点O AC 平行与y 轴,BC 平行于x 轴,△ABC 的面积为S 。则( ) A 、S=1 B 、1<S <2 C 、S=2 D 、S >2

3、如图,在平面直角坐标系中,直线2k y x =+与双曲线k y x

=在第一象限交于点A ,

与x 轴交于点C ,AB ⊥x 轴,垂足为B ,且AOB S Λ=1.求: (1)求两个函数解析式; (2)求△ABC 的面积.

知识点四:待定系数法

【例4】已知正比例函数kx y =与反比例函数3y x

=的图象都过A (m ,1),正比例函数的解析式为_________________.

O

A B

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