最优化模型

解附加问题（3）：求使最优解不变的c的变化范围。
max z (72 f)x1 64x2
x1 x2 50
s.t
12x1 8x2 3x1 100
480
x1, x2 , x 0
(5)
由f=0时的最终表:
1 12 3 72
1 8 0 64
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
50
480 100
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解附加问题（2）：在每位临时工人的工资不超过每小时2元 的条件下，可以聘用临时工人以增加劳动时间。
设小时工资为s（0=<s<=2）元，其他条件不变的条件下，再 增加x小时，则有相应生产计划：
max z 72x1 64x2 s(480 x)
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要
点
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爱因斯坦的一句名言： 想象力比知识更重要！因为
知识是有限的，而想象力包括世 界的一切，是知识的源泉。
最优优化模型
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得到： p* q a 2 2b
最优价格一部分是成本的一半，另一部分与“绝对需求” 成正比，与市场需求对价格的敏感系数成反比。
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一、简单优化问题
最大利润： U ( p*) b( a q )2 2b 2
边界收入： dI a 2bp* bq dp
0<s<2时，
f=[-72 -64 s]';a=[1 1 0;12 8 -1;3 0 0];b=[50,480,100]'; [x,z]=linprog(f,a,b,[],[],[0;0;0],[]) x = 33.3333，16.6667，53.3333
z = -3.4133e+003。收入：3466.7
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二、数学规划模型
影子价格y，它由模型（1）的对偶问题决定：
min s bT y ATy c
s.t. y 0
L (2)
其中， y [y1, y2, y3]T 分别为出租（出售）单位资源 b1, b2 , b3 的附加值.
x1 x2 50 s.t132x1x1180x02 480 x
x1, x2 , x 0
(4)
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f=[-72 -64 0]';a=[1 1 0;12 8 -1;3 0 0];b=[50,480,100]'; [x,z]=linprog(f,a,b,[],[],[0;0;0],[]) x = 33.3333，16.6667，104.3896 z = -3.4667e+003。收入：s=0时，3466.7
价格p, 即 x f ( p) ，f 称为需求函数；
（3）每件产品成本为q，产量x与成本q无关。
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一、简单优化问题
2、模型建立
总收入：I(p)=px 总支出：C(p)=qx 利 润：U= I(p)- C(p)= (p- q)x=(p-q)f(p)
决策变量的非负性 x1, x2 0
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二、数学规划模型
综上可得： max z 72x1 64x2
x1 x2 50 s.t132x1x1180x02 480
x1, x2 0
max z cT x
s.t.
Ax b x LB
3、生产的产品全能售出。
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二、数学规划模型
四、模型的建立
目标：设每天收入z元。则 z 24 3x1 16 4x2
约束条件：
原料限制
x1 x2 50
劳动时间限制
12 x1 8x2 480
设备能力限制
3x1 100
二、模型分析 对本案例来讲，决策变量取为A1、A2、B1、B2每天的销售 量讨论更方便！ 当技术参数、价值系数为常数时，此为线性规划模型。 三、模型的假设 1、每天销售产品A1、A2、B1、B2分别为 x1、x2、x3、x4
公斤，且用 x5 公斤A1加工B1，用 x6 公斤A2加工B2 。
2、劳动时间、设备能力、利润均为与产量无关常数。 即技术参数、价值系数为常数
二、数学规划模型
（1） 若用35元可以买到1桶牛奶，是否应作这项投资？若 投资，每天最多购买多少桶牛奶？
（2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工 人的工资最多是每小时几元？
（3） 由于市场需求变化，每千克A1产品的获利增加到30 元，是否应改变生产计划？
二、模型分析
生产计划就是每天生产多少A1和多少A2，获利润最大。或 者是每天用多少桶牛奶生产A1和用多少桶牛奶生产A2，获 利润最大。
1
1
劳动时间（h）
12
8
设备甲能力（kg）
3
0
设备乙能力(kg)
0
4
资源
50 480 100 inf
根据市场需求，生产的A1,A2产品全部能售出，且每千克A1 产品获利24元，每千克A2产品获利16元。试为该厂订一个 生产计划，使每天获利最大。并进一步讨论以下问题：
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(1)
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二、数学规划模型
五、模型求解及结果分析
[X,z]=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB) 用于解：
min f'*x subject to: A*x <= b
Aeq*x = beq. LB <= X <= UB. f=[-72;-64];A=[1 1;12 8;3 0];b=[50;480;100]; [x,z]=linprog(f,A,b,[],[],[0;0],[])
0
0 0 0 1 1 0 0 0
6 3 4
3 1 4
2 1 4
48 2
1 0 0 0
40
30
20
3360
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建立此问题的初始单纯性表:
0 0
6
0 1
3
3 1 4
1 0
40
30
4
1 0
2
1
0
4
20
0 0 48 2 f
f=[-72 -64 2]';a=[1 1 0;12 8 -1;3 0 0];b=[50,480,100]'; [x,z]=linprog(f,a,b,[],[],[0;0;0],[])；
x = 21.1790， 28.8210， 4.7160
z = -3.3600e+003
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数学模型为：
max U(p)
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一、简单优化问题
3、模型求解及其结果分析
需求函数是售价的减函数，通常是根据实际销售 情况定出。现在，假设它是线性函数，即
x f ( p) a bp, a,b 0
其中， a--代表这种产品免费供应（p=0）时的社会需求
量，也称为绝对需求量；
b dx 表示价格上涨一个单位时销售量下降的 dp
幅度。它反映市场需求对价格的敏感程度。
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一、简单优化问题
利润U(p)达到最大值的最优价格 p* 满足：
dU dI dC a bq 2bp 0 dp dp dp
[y,s]=linprog(b’,-A’,-c,[],[],[0;0;0],[])
y =[48.0000 2.0000 0.0000]’; s = 3.3600e+003
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二、数学规划模型
解附加问题（1）:由于每桶牛奶的市场价35元低于影子
x = 20.0000, 30.0000; z =-3.3600e+003
即按每天用20桶牛奶生产A1，用30桶牛奶生产A2，获最大 收益：z=3360元。
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二、数学规划模型
附加问题的讨论：
附加问题（1）和（2）是要不要扩大生产？这取决于
价格 y1 48元 ，所以企业应买进牛奶用于扩大生产。设再 增加x桶，其他条件不变，则有相应生产计划：
max z 72x1 64x2 35(50 x)
x1 x2 50 x s.t132x1x1180x02 480
x1, x2, x 0
(3)
x =[0.0000, 60.0000, 10.0000]’; z = -3.4900e+003 收入：3840 。即最多每天再多买进10桶！
对第i种资源的估价——影子价格（
z* b j
）。在完全市
场经济的条件下，当某种资源的市场价低于影子价格时，
企业应买进该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价
高于企业影子价格时，则企业的决策者应把已有资源卖掉。
附加问题（3）是考虑当费用系数c变化时对最优解和最 优值有没有影响?找出使最优解不变的区间。
案例3：奶制品的生产销售计划 一、问题的提出
案例2的A1,A2的生产条件、利润、资源都不变条件下，提高奶制 品深加工技术，增加工厂获利。用2小时和3元加工费，可将1千克A1加 工成0.8千克高级奶制品B1，也可将1千克A2加工成0.75千克高级奶制品 B2，每千克B1可获利44元，每千克B2可获利32元。生产的产品全能售出， 试着为该厂订制一个生产销售计划，使每天获利最大。并进一步讨论以 下问题：
21 f
0 3360 20 f
4
显然，当-48+2f<=0,-2-(1/4)f<=0时，最优解不变！即
c1 72 8,72 24 64,96 时，最优解不变！
现在 c1 30 3 90 ，所以不用改变生产计划！
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最优化模型概述
最大值或最小值 数学规划：线性规划（整数规划、0-1规划、目
标规划等），非线性规划 动态规划
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一、简单优化问题
案例1：产销平衡下的某种产品的最优价格,即使工厂利润最 大的价格。
1、模型假设
（1）售量为x，并与产量相等； （2）每件产品售价为p。在竞争市场的环境中售量x依赖于
当技术参数、价值系数为常数时，此为线性规划模型。
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二、数学规划模型
三、模型的假设
1、每天用 x1 桶牛奶生产A1，x2 桶牛奶生产A2；x1, x2
可以是任意的实数。 2、劳动时间、设备能力、利润均为与产量无关常数。 即技术参数、价值系数为常数
3、生产的产品全能售出。
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四、模型的建立
目标：设每天净利润z元。则 z 24 x1 16 x2 44 x3 32 x4 3x5 3x6
约束条件：
原料限制 劳动时间限制 设备能力限制
（1） 若投资30元可增加供应1桶牛奶，投资3元可增加1小时劳动时间， 是否应作这项投资？若每天投资150元，可赚回多少？
（2） 每千克高级奶制品B1,B2的获利经常有10%的波动，对制订的生 产销售计划有无影响？若每千克B1的获利下降10%，计划是否应作调 整？
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边界支出：
dC bq dp
当边界支出等于边界收入时利润最大---经济学著名定理！
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二、数学规划模型
案例2：奶制品的生产计划 一、问题的提出 一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，参数见表：
A1
A2
原料奶(桶)