优化模型的三要素

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图标，便得到以下运行状态窗口：
显示结果如下
•单纯行法迭代两次得到最优解
•最优目 标值
•最优解 各变量 的值
•影子价格：
表示该非基变量增 加一个单位而其他 变量不变时目标函 数减少的量（对 max型问题）
•对偶价格
•单纯行法进 行两次迭代
（1）线性规划（LP）的一般形式
常
目标函数和所有的约束条件都是变量的线性 函数。
用
n
的 min f x ci xi , i 1,2,...,n
优
i 1
化 模 型
n
s.t. i1
ai xi
bi , bi
, bi ,
形 式
xi 0,i 1,2,...,n
（2）二次规划问题
常
目标函数为二次函数，约束条件为线性约束。
自由泳 58”6
53”
59”4
57”2 1’02”4
问题分析：问题要求从5名队员中选出4人组成接
力队，每人一种泳姿，且四人的泳姿各不相同，使
接力队成绩最好。容易想到穷举法，组成接力队的
方案有5！=120中，逐一计算并做比较即可找出最优
方案。显然这不是解决问题的最好方法，随着问题
线
规模的变大，穷举法的计算量是无法接受的。
➢ Lingo9.0软件比以前的版本有了很大的改进，功能大大增强， 性能更加稳定，结果更加可靠；从基本更能上看，与Lindo相比， Lingo软件主要具备以下优点：
① 除具备Lindo饿全部功能外，还可以用于求解非线性规划问题；
4
xij 1
j 1
② 每种泳姿有且只能有1人入选，即对于员 j=1，2，3，4，
5，应该有：
5
xij 1
i 1
综上所述，这个问题的优化模型可以写作：
45
min
cij xij ;
线
j1 i1
性
4
xij 1 ,i 1, 2,3, 4,5;
规
j1
划 模
5
s.t. xij 1 , j 1, 2,3, 4; i1
⑦ Lindo中以“！”开始的是说明语句，说明语句也以“ ;” 结束。
Lingo/Lindo软件介绍 ---Lindo
➢下面我们用一个例子来说明Lindo中三个变量范围限制命令（FREE、SBU、 SLB）的作用和使用方法：
例-4 max 2x 3y 4z S.T. 4x 3y 2z 10
优化模型
优化模型的三要素
（1）决策变量，通常是某一问题需要求解的未知量，
用n维向量x= x1 ,x2 , xn T 表示，当对x赋值后它通常
称为该问题的一个解；
（2）目标函数，通常是某一问题需要优化（最大或 最小）的那个目标的数学表达式，它是决策变量x的 函数，可以 抽象的记作f ( x )；
（3）约束条件，由该问题对决策变量的现实条件给 出，即x允许的取值范围为x ，称为可行域，常
性
可以用0-1变量表示一个队员是否入选接力队， 从而建立这个问题的0-1规划模型.
规
记甲、乙、丙、丁、戊分别为队员 i=1，2，3，4，5；
划
记蝶泳、仰泳、蛙泳、自由泳分别为泳姿 j=1，2，3，
模
4；记队员 i 的第 j 种泳姿的百米成绩为 cij（s），则表 一可以表示成为：
型
表二 ：5名队员4中泳姿百米平均成绩
约束条件：由每天需要的人数确定。由于每人连续
工作五天，所以一周的雇员应该是周四到周一聘用的， 按照需要至少50人，于是
x1 x4 x5 x6 x7 50
类似的，有
x1 x2 x5 x6 x7 50
x1 x2 x3 x6 x7 50
线 性 规
x1 x2 x3 x4 x7 50 x1 x2 x3 x4 x5 80 x2 x3 x4 x5 x6 90
这里opt 最优化的意思，可以是min（求极大， 即minamize的缩写）或max （求极小，即minamize 的缩写）的两者之一；s.t. （即subject to）“受约 束于”之意。
优化模型基本类型
1.决策变量x的所有分量xi均为连续数值
a）f ,hi ,gi都是线性函数，则为线性规划（LP） b）f ,hi ,gi至少有一个是非线性，则为非线性规划（NLP）
➢该软件包功能强大，版本也很多，而我们 使用的只
是演示版（试用版），演示版与正式版功能基本上是
类似的，只是能够求解问题的规模受到限制，总变量数 不超过30个，这在我们目前的使用过程中，基本上是 足够。
Lingo/Lindo软件介绍 Lingo/Lindo软件求解的优化模型类型见下图：
优化模型
连续模型
整数模型
ຫໍສະໝຸດ Baidu线性规划
二次规划
Lindo
非线性规划 Lingo
Lingo/Lindo软件介绍
➢Lindo是英文Linear Interactive and Discrete
Optimizer字首的缩写，即“交互式的线性和离散优化 求解器”，可以用来求解线性规划（LP）和二次规划 （QP）；
➢Lingo是英文Linear Interactive and General
3y 5y z 12
x y 5z 8
5x y z 2
0 y 20, z 30
在这个模型中，对变量x没有非负限制，对y有上限限制，对z有下限 限制；分别用FREE、SBU、SLB三个命令可以实现这些功能。具体输入 如下：
图a：例4的 输入模型
图b：例4的 输出结果
Lingo/Lindo软件介绍 ---Lingo
c） f 是二次函数,hi ,gi 都是线性，则为二次规划（QP）
2.决策变量x的的一个或多个分量xi取离散值
a） x的至少一个分量只取整数数值，则为整数规划（IP） b） x的分量限定只取整数0或1，则为0-1规划（ZOP）
3.此外，为了解决实际问题的需要，还可以分为： 单目标规划，多目标规划，动态规划，多层规划等。
Lingo/Lindo软件介绍
《
---Lindo
➢解决一个简单的线性规划（LP）问题
例-3 max z 2x 3y
4x 3y 10 s.t. 3x 5y 12
x, y 0
其Lindo程序为：
Lingo/Lindo软件介绍 ---Lindo
➢我们从这段程序可以看出Lindo模型有以下特点：
用 的
n
1n
min f
x
i 1
ci xi
2
i,
bij
j 1
xi
x
j
优 化 模 型 形 式
n
ai xi bi , bi
, bi .
s
.t
.
i 1
xi
0.
i, j 1,2,...,n.
例-1 某服务部门一周中每天需要不同数目的
雇员：周一到周四每天至少需要50人，周五
需要80人，周六和周日需要90人。现规定应
型
xij
0,1;
这是一个线性0-1 规划模型，它是一个特 殊的线性整数规划。
Lingo/Lindo软件介绍
➢ 这套软件包由美国芝加哥大学的Linus Scharge教
授于1980年前后开发，专门用于求解最优化问题，后 经不断完善和扩充，并成立LINDO公司进行商业化运 作，取得了巨大的成功。全球《财富》杂志500强的企 业中，一半以上使用该公司产品，其中前25强企业中 有23家使用该产品。
用一组关于x的等式hi( x ) 0i 1,2, m和（或）不 等式g j( x ) 0 j 1,2, n来界定，分别称为等式约
束和不等式约束。
于是，优化模型从数学上可以表述为
opt z f ( x )
（1）
s. t. h( x ) 0 i 1,2, ,m
（2）
g( x ) 0 j 1,2, ,n （3）
名称
含义
Status
显示当前求解状态：Optimal表示已经达到 最优解；其他可能的显示：Feasible， Infeasible，Unbounded
Iterations 显示迭代次数
Infeasibility 约束不满足的量；0表示这个解是可行的
Objective 显示当前解的目标函数值
Best IP
聘者需连续工作5天，试确定聘用方案，即周
线
一到周日每天聘用多少人，是5在满足需要的 前况下聘用总人数最少？
性
优化模型
规
决策变量：记周一到周日每天聘用的人数分别为X1，
划
X2，X3，X4，X5，X6 ，X7，这就是问题的决策变量。
模
目标函数：目标函数即是聘用总人数，即
型
z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
显示整数规划当前解的最佳标函数值：N/A 表示无答案或无意义
IP Bound 显示整数规划的界
Branches
显示分支定界算法已经计算的分支数： N/A 表示无答案或无意义
Elapsed 显示计算所用时间：0：00说明计算太快，
Time
用时还不到0.05S
Update 显示控制和刷新本界面的时间间隔 Time
Optimizer字首的缩写，即“交互式的线性和通用优化 求解器”，它除了具有Lindo的全部功能外，还可以用 来求解非线性规划。
➢Lingo和Lindo的最大特色在于可以允许决策变量是整
数，而且执行速度很快；Lingo实际上还是一种建模语 言，即使对优化方面的专业知识了解不多的用户，也 能方便的进行输入、求解，并能快速的得到复杂优化 问题的高质量的解。
•松弛变量的值 【紧约束】
Lingo/Lindo软件介绍 ---Lindo
➢使用Lindo软件的一些注意事项：
① 变量以字母开头、不区分大小写，变量名可不超过8个字符；
② 变量不能出现在约束条件的右端，右端只能是常数；变量与系 数之间可以有空格，但绝对不能有任何运算符；
③ Lindo中不接受”（）“和逗号 ”，“等任何运算符号（除非 在注释语句中）；
队员
甲
乙
丙
丁
戊
蝶泳 66.8 57.2
78
70
67.4
仰泳 75.6
66
67.8
74.2
71
蛙泳
87
66.4 84.6
69.6
83.8
自由泳 58.6
53
59.4
57.2
62.4
线 性 规
·划
模 型
决策变量：引入0-1变量xij 若选择队员 i 参加泳姿 j
的比赛，记 xij=1，否则记 xij=0.这就是问题的决策变量， 共20个。
目标函数：当队员队员 i 入选泳姿 j 的比赛时，
cij xij表示他的成绩，否则cij xij=0。于是接力队的成绩
可以表示为：
45
f
cij xij
j1 i1
约束条件：根据组成接力队的要求， xij 应该满足下面
两个约束条件：
① 每人最多只能入选4种泳姿之一，即对于员 i=1，2，3，
4，应该有：
④ 模型中的表达式应当经过化，如不能出现 （X+1）2 + 2X2 + 3Y，而应该写成3X2+2X+3Y+1；
⑤ 模型中已假定所有变量非负，可在模型的 ”end“语句后面用命 令”free“取消变量的非负假定，其用法是在”free“后面跟变 量名；
⑥ 在模型的 ”end“语句后面可以用命令”SUB“设定变量的上界， 用命令”SLB“设定变量的下界；
① Lindo程序以“MAX”（ 或“MIN”）表示目标是求最大
化（最小化）问题，后面直接写目标函数的表达式和约 束的表达式条件，目标函数和约束之间以“ST”分开； 程序以“END” （也可以省略）结束；
② 输入格式与数学模型表达式几乎完全一样，连系数之间
的乘号都一样省略了，而且必须省略；
③ 在Lindo模型中的书写是相当灵活的；并且Lindo中已假
定所有变量非负，也不区分大小写；约束条件中的“>=” 及“<=”可分别用“>”“<”代替；输入的多于空格和回车也 会被忽略；
④ 一行中“！”后面的文字将被认为是说明语句，不参与
模型的建立，主要目的是增加程序的可读性。
现在我们用Lindo软件来求解这个模型，单击工具栏中的
Lindo求解器运行状态窗口各项的含义
5名队员4中泳姿的百米平均成绩如下表所示，
线
问应该如何选拔队员组成接力队？
性
规
表一 ：5名队员4中泳姿百米平均成绩
划
队员
甲
乙
丙
丁
戊
模
蝶泳 1’06”8 57”2 1’18” 1’10” 1’07”4
型
仰泳 1’15”6 1’06” 1’07”8 1’14”2 1’11”
蛙泳 1’27” 1’06”4 1’24”6 1’09”6 1’23”8
划
x3 x4 x5 x6 x7 90
模
显然，人数应该是正整数，所以
型
xi 0 i 1, 2, 7
问题归结为在以上约束条件下求解min z的 整数规划模型。由于目标函数和约束条件关于 决策变量都是线性函数，所以这是一个整数向 行规划模型。
例-2 某班准备从5名游泳队员中选择4人组成
接力队，参加学校的4*100混合泳接力比赛。