材料力学笔记

材料力学笔记

第一章绪论

材料应满足的基本要求:强度要求（抵抗破坏的能量），刚度要求（抵抗变形的能力），稳定性要求（保持原有平衡形态的能力）。

基本假设：连续性假设,均匀性假设、各向同性假设

内力：物体内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用.

垂直于截面的应用分量称为正应力sigma（σ），切于截面的应力称为切应力tau(τ）；

应变epsilon ε：研究对象某点沿某个方向的伸长或缩短值;切应变γ:研究对象在某个平面内角度的变化；

材料变形的基本形式：拉伸或压缩；剪切；扭转

第二章拉伸、压缩与剪切

截面应力：σ=F N

A ；斜截面正应力:σα=σcos2α;斜截面切应力:τα=1

2

σsin2α

低碳钢材料力学性能:弹性阶段，屈服阶段,强化阶段，局部变形阶段。相关概念有比例极限σp，弹性极限σe，屈服极限σs，强度极限σb

断裂和塑性变形统称为失效。许用应力，对塑性材料[σ]=σs

n s ; 对于脆性材料：[σ]=σb

n b

应力应变关系胡克定律：σ=Eε,Δl=Fl

EA

,EA为杆件的抗拉或抗压刚度

抽象拉伸或压缩的应变能,应变能密度：vε=σ2

2E

（J/m3）

剪切面切应力：τ=F s

A ≤[τ]；挤压应力：σbs=F N

A bs

≤[σbs ]

第三章扭矩

计算外力偶矩｛M e}=9549P

n

，P为功率，n为转速。

切应力互等定理:在相互垂直的两个平面上,切应力必然成对存在，且数值相等。

切应变：γ=rφ

l

φ表示圆柱两端截面的相对转角，称为扭转角

剪切胡克定律:切应变γ与切应力τ成正比τ=Gγ、

剪切应变能密度：vε=τ2

2G

（J/m3）

圆柱扭转时最大切应力：τmax=T

W ，T内力系对圆心的力矩T=∫ρτρdA

A

， W=I p

R

I p=∫ρ2dA

A

为极惯性矩（截面二次矩）;W为抗扭截面系数

扭转角φ=Tl

GI p

，其中GI p为圆轴的抗扭刚度

第四章弯曲内力

受弯杆件的简化：简支梁，外伸梁，悬臂梁统称为静定梁 剪力和弯矩相关推论：

（1） 在梁的某段内，若无载荷作用,q (x )=0,

dFs(x)dx

=q (x )=0，剪切图平行于x 轴的直线，

M(x)是x 的一次函数，弯矩图是斜直线。

（2） 若作用的是均匀载荷，q (x )=常数，M （x ）是x 的二次函数，剪切图斜率为q (x )的

斜线；弯矩图是抛物线,若q (x )<0, 弯矩图向上凸，否则向下凸。

（3） 若某截面上F s (x)=0，则弯矩的极值发生于剪力为0的截面上；在集中力作用的左右

两侧 ，弯矩图的斜率也发生突然变化

（4） 在两个截面上剪力之差等于两截面载荷图的面积；两个截面的弯矩之差，等于两截

面间剪力图的面积。实质上反映了载荷、剪力与弯矩之间的积分关系.

第五章 弯曲应力

纯弯曲的正应力σ=Eε=E y

ρ

，其中y 为距中性层的距离，ρ为中性层的曲率半径

1ρ

=M EI z

， θ=

Ml EI z

，EI z 为梁的抗弯曲刚度，1

ρ

为梁轴线变形后的曲率

σ=My I z

，I z =∫y 2dA 为横截面对中性轴的惯性矩。

σ=M max y max

I z

=M

W ， W =I z

y

max

，W 称为抗弯截面系数

矩形截面梁弯曲切应力τ=

F s S z

∗I z b

,S z ∗=∫y1dA A1，横截面的部分面积A1对中性轴的静矩。

因为弯曲时梁截面上的点离中性轴越远,正应力越大，为充分利用材料，应尽量把

材料放到离中性轴较远处（竹子为什么空心），所以一般将实心圆截面改成空心圆截面，相应的矩形截面则将中心轴附近的材料移到上下边缘处（工字钢）；

第六章 弯曲变形

挠度 w =f(x)的坐标为x 的横截面形心沿y 方向的位移； 截面转角：梁的横截面对其原来位置转过的角度 tagθ=dw dx

挠曲线的近似微分方程：

d 2w dx 2

=

M EI

积分法求弯曲变形得到转角方程为： θ=

dw dx

=∫M

EI dx+C

w =∫∫M

EI d x+C x +D

叠加法求弯曲变形：在弯曲变形很小且材料服从胡克定律的情况下,挠曲线的微分方程式线性的，则两种载荷M F 和M q 的共同作用时弯矩M=M F +M q ，通过d 2w

dx 2=M

EI 可以推导出 EI

d 2w F dx 2

=M F ，EI

d 2w q dx 2

=M q ， M= EI

d 2(w F +w q )

dx 2

第七章 应力和应变分析,强度理论

在单元体中三个相互垂直的面上都无切应力，这种切应力为0的面称为主平面，主平面上的正应力称为住应力

二向应力状态分析的解析法主要步骤: 1） 用式 02tan 2xy

x y

τασσ=

-确定主平面

2）用下两式分别确定最大（小）正应力与切应力

max min 2x y

σσσσ+⎫=⎬⎭，

max min ττ⎫

=⎬⎭最大和最小切应力所在平面与主平面夹角为450 ,及102

π

αα=+

二向应力状态分析图解法主要步骤： 1） 通过x σ、xy τ确定AD 点 2） 通过y σ、yx τ确定BD'点

3） 连接AD,BD’点交于C 点（圆心），以CD 为半径，C 为圆心作圆确定应力圆

其中D 点代表以x 为法线的面上的应力, D’代表代表以y 为法线的面上的应力.

三向应力状态

22

2223

23

1213()(

)()()22n n l σσσσστσσσσ+--+=+--

222231

31

2321()(

)()()2

2

n n m σσσσστσσσσ+--+=+-- 222221

12

3131()(

)()()2

2

n n n σσσσστσσσσ+--

+=+--

正应力与切应力的正值， 13

max 1min 3min ,,2

σσσσσστ-===

广义胡克定律： 1

[()]x x y z E

εσμσσ=

-+ 1

[()]y y y z E

εσμσσ=-+ 1

[()]z z x y E εσμσσ=

-+

,,xy yz zx xy yz zx G

G

G

ττττττ=

=

=