从“有中生无”到“无中生有”

从“有中生无”到“无中生有”-----浅谈巧作“辅助线”在初中数学解题中的应九江同文中学 张风云[内容摘要]：平面几何是初中教学的一门重要课程，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础，但对于少部分初中学生来说，平面几何也是一门难度较大的学科。

特别碰到一些平面几何题当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。

添辅助线有二种情况： 1、按定义添辅助线。

2、按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们 把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，要学好初中数学,对于一道数学题的分析、思考是解题中寻找钥匙的关键所在,对应用添加辅助线是解题的思路剖析。

[关键词]：辅助线、初中数学、应用一些几何问题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的补形来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原题的本质得到充分显示。

通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。

这种方法我们称之为补形法。

它能培养思维能力和解题技巧。

我们学过的三解形、平行四边形、圆都可以作为补形对象。

在对初中几何进行解题的过程中，除了要对常用的解题方法与规律进行掌握外，还要对辅助线的添加与使用加以关注。

在初中几何题中，当直接解题出现障碍时，添加辅助线是常见的解题技巧，往往会让人产生一种“柳暗花明又一村”的感觉。

对常见技巧进行掌握，能有效提高学生的解题效率。

笔者在巧作辅助线化“散”为“聚”巧；巧作辅助线化“难”为“易”； 巧作辅助线化“静”为“动”； 巧作辅助线化“隐”为“显”四个方面在几何解题技巧进行叙述：一、 巧作辅助线化“散”为“聚”在几何解题过程中“辅助线”有聚汇作用，辅助线可把已知条件聚汇在一起,为证题架通桥梁。

有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

【例题1】：如图所示，AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：延长ED 至M ，使DM=DE ，连接 CM ，MF 。

在△BDE 和△CDM 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()(1)(辅助线的作法对顶角相等中点的定义MD ED CDM CD BD ∴△BDE ≌△CDM （SAS ） A B C DE F M1234又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义）∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF ＝90°∴∠FDM ＝∠EDF ＝90°在△EDF 和△MDF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(公共边已证辅助线的作法DF DF FDM EDF MD ED∴△EDF ≌△MDF （SAS ）∴EF ＝MF （全等三角形对应边相等）∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF （三角形两边之和大于第三边）∴BE ＋CF ＞EF上题也可加倍FD ，证法同上。

（证明略）2、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。

【例题2】：如图所示，AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。

分析：要证AB ＋AC ＞2AD ，由图想到： AB ＋BD ＞AD,AC ＋CD ＞AD ，所以有AB ＋AC＋ BD ＋CD ＞AD ＋AD ＝2AD ，左边比要证结论多BD ＋CD ，故不能直接证出此题，而由2AD 想到要构造2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连接BE ，则AE ＝2AD∵AD 为△ABC 的中线 （已知）∴BD ＝CD （中线定义）在△ACD 和△EBD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(辅助线的作法对顶角相等已证ED AD EDB ADC CD BD∴△ACD ≌△EBD （SAS ） ∴BE ＝CA （全等三角形对应边相等）∵在△ABE 中有：AB ＋BE ＞AE （三角形两边之和大于第三边）∴AB ＋AC ＞2AD 。

（常延长中线加倍，构造全等三角形）当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。

我们在解初中几何题目经常要添加适当的辅助线将题目的条件化“散”为“聚”。

二、 巧作辅助线化“难”为“易”在证明三角形三边关系的题目时，通常利用三角形三边关系定理证明，我们可以把其中三角形的两边之差与和放在同一个三角形证明。

所以我们添加辅助线来构造新的三角形来原问题转化，从而使得题目的难度变得较容易。

【例题3】：已知如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。

求证：AB －AC ＞PB －PC 。

分析：要证：AB －AC ＞PB －PC ，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲A B CD E证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB －AC ，故可在AB 上截取AN 等于AC ，得AB －AC ＝BN ， 再连接PN ，则PC ＝PN ，又在△PNB中，PB －PN ＜BN ，即：AB －AC ＞PB －PC 。

证明（一）：（截长法）在AB 上截取AN ＝AC 连接PN , 在△APN 和△APC 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()(21)(公共边已知辅助线的作法AP AP AC AN ∴△APN ≌△APC （SAS ）∴PC ＝PN （全等三角形对应边相等）∵在△BPN 中，有 PB －PN ＜BN （三角形两边之差小于第三边）∴BP －PC ＜AB －AC证明（二）：（补短法） 延长AC 至M ，使AM ＝AB ，连接PM ， 在△ABP 和△AMP 中∵ ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()(21)(公共边已知辅助线的作法AP AP AM AB ∴△ABP ≌△AMP （SAS ）∴PB ＝PM （全等三角形对应边相等）又∵在△PCM 中有：CM ＞PM －PC(三角形两边之差小于第三边)∴AB －AC ＞PB －PC 。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一个三角形中去。

遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法。

对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。

在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。

我们巧作辅助线可以化“难”为“易”。

三、 巧作辅助线化“静”为“动”新的课程中，通过增加几何变换的内容，一方面几何变换本身就是学生要学习的内容，例如旋转、平移；另一方面，几何变换可以实现图形的变化，把过去对静止的图形的思考，变成动态的。

这样为探索在什么地方添加辅助线提供了一条新思路，新方法。

下面我举一个我在教学中遇到事例来自说明利用旋转添加辅助线 。

【例题4】问题解决：如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN 的值． 方法指导： AB C D N MP 12图（1）A B C D E F M N为了求得AM BN的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 类比归纳：在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若1CE CD n =（n 为整数），则AM BN的值等于 ．（用含n 的式子表示）联系拓广：如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n=>=，，则AM BN 的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，．∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,．∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-． 在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．∴()22221x x =-+．解得54x =，即54BN =． 在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=，222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+．设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+． 图（2） A B C D E F M N 图（1-1） A B CE F M解得14y =，即14AM =． ∴15AM BN =． 方法二：同方法一，54BN =． 如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形．∴NG CD BC ==．同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==． ∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，．在BCE △与NGM △中90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ∵114AM AG MG AM =--=5，=．4 ∴15AM BN =． 类比归纳25（或410）；917； ()2211n n -+ 联系拓广2222211n m n n m -++ 以上例子在图形在静止时，不容易想到；当把其中的一个图形翻折起来，就可以通过观察发现怎样添加辅助线能够解决问题。

所以，旋转或翻折在这里的作用是发现添加辅助线的方法。

从而我们在解初中几何题目经常要添加适当的辅助线将题目的条件化“静”为“动”。

四、 巧作辅助线化“隐”为“显”N 图（1-2）A B C D E F M G在解答初中数学几何题目中，有很多已知条件隐含在题目中，我们一般情况下很难去发现，也很难把题目给出的现有的条件和证明的结论联系在一起，通常需要根据题目实际问题添加适当的辅助线，让隐含在题目中的条件显现出来，比如延长已知边构造三角形，可以给我们解题带来很大的方便。

【例题5】：如图所示，已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ，求证：AD＝BC分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。