2013白蒲中学高二数学教案：极限与导数：导数的概念(苏教版)
高等数学-导数的概念-教案(完整资料).doc
t∆很小时，其平均速度就可以近似地看作时刻的瞬时速度．且
x
x x x x ∆-∆+=→∆sin )sin(lim
0x
x x x x ∆∆⎪
⎭⎫ ⎝⎛
∆+=→∆2sin 2cos 2lim 0 x x x x x x cos 2
2sin 2cos lim 0=∆∆⎪⎭⎫ ⎝
⎛∆+=→∆， 即： x.cos (sin x)'=
类似可得：sin x. - x)'(cos = 定义 如果x x f x x f x ∆∆∆)
()(lim 000-+-
→存在，则称此极限值为f (x ) 在点 x 0 处的左导数，记作 f’(x 0)；同样，如果x x f x x f x ∆∆∆)()(lim 000-++
→存在，则称此极限值为 f (x ) 在点 x 0 处的右导数，记作 f’
+(x 0) .
显然，f (x ) 在 x 0 处可导的充要条件是 f’ -(x 0) 及 f ‘ +(x 0) 存在且相等 . 定义 如果函数 f (x ) 在区间 I 上每一点可导，则称 f (x ) 在区间 I 上可导. 如果 I 是闭区间[a , b ]，则端点处可导是指 f’+(a )、 f’-(b ) 存在 .
六、可导与连续的关系
定理 如果函数 y = f (x ) 在点 x 0 处可导, 则 f (x ) 在点 x 0 处连续，其逆不真.。
D.课堂小结
一、导数的定义
二、导数的几何意义 三、可导与连续的关系。
高二数学理导数的应用苏教版知识精讲
高二数学理导数的应用苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：导数的应用二. 本周教学目标：1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；2. 初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题.三. 本周知识要点：（一）基本知识1. 极大值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点。
2. 极小值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点。
3. 极大值与极小值统称为极值。
4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值。
5. 求可导函数f (x )的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )。
（2）求方程f ′(x )=0的根。
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值。
6. 函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值。
（1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值。
高二数学导数的概念苏教版知识精讲
高二数学导数的概念苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 导数的概念二. 教学目的：1. 理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法.2. 掌握导数的几何意义。
理解导数与瞬时变化率的关系。
教学重点：导数的定义与求导数的方法.教学难点：导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念，三. 内容梳理： 1. 曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点。
作割线PQ ，当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线。
2.确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了。
设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α，即0x ∆→时，0()()f x x f x x +∆-∆＝A yx∆→∆一个常数＝tan α 3. 瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度.4. 确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法：从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度。
瞬时速度00()()0s t t s t t v t+∆-∆→→∆时，。
5. 导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限，即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y=，即/000()()0()f x x f x x f x x+∆-∆→→∆当时，注意：（1）函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。
数学苏教版选修1-1 导数的概念
导数的概念【教学目标】1．理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法． 2．理解掌握开区间内的导数概念，会求一个函数的导数． 3．理解函数在一点处可导，则函数在这点连续． 【教学重点】导数的定义与求导数的方法．【教学难点】导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念，从导数的定义归纳出求导数的方法． 【内容分析】我们物理中学习直线运动的速度时，已经学习了物体的瞬时速度的有关知识，现在我们从数学的角度重新来认识一下瞬时速度． 【教学过程】 一、复习引入： １．曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT ．我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线．2．确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α，即tan α=0lim →∆x =∆∆x y0lim →∆x 0()()f x x f x x+∆-∆．3．瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度．4． 确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法：从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt ． 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0． 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度 瞬时速度tt s t t s v v t t ∆-∆+==→∆→∆)()(limlim 0000．二、讲解新课：1．导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/．注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在．(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0． (3)xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率． (4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度．它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率．因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-．(5)导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关．(6)在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成0000/)()(lim )()(lim)(0x x x f x f x x f x x f x f x x ox --=∆-∆+=→→∆ (7)若极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导．(8)若)(x f 在0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线存在反之不然，若曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线，函数)(x f y =在0x 不一定可导，并且，若函数)(x f y =在0x 不可导，曲线在点（)(,00x f x ）也可能有切线． 2．导函数（导数）：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00．函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f ．所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作)(0/x f注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值．它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值．3．可导：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导．4．可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立．函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件．从f (x )在x 0处可导的定义可以知道，f (x )在x 0处有定义，考察 f (x )在x 0处是否有极限，并且是否等于f (x 0)． 已知f ′(x 0)=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000，令x =x 0+Δx ，当Δx →0时，x →x 0∴0lim →∆x f (x )=0lim →∆x f (x 0+Δx )=0lim →∆x ［f (x 0+Δx )－f (x 0)+f (x 0)］=0lim →∆x ［xx f x x f ∆-∆+)()(00·Δx +f (x 0)］=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00·0lim →∆x Δx +0lim →∆x f (x 0)=f ′(x 0)·0+f (x 0)=f (x 0) ∴f (x )在x 0处连续．连续未必可导可通过反例说明，如y =|x |=⎩⎨⎧<-≥0 0x x x x 在x 0=0处∵-→0lim x y =-→0lim x (－x )=0，+→0lim x y =+→0lim x x =0，∴0lim →x y =0，∴y =|x |在x =0处连续． 0lim→∆x x y∆∆==∆∆=∆-∆→∆→∆x x x x x x ||lim |0|||lim 00⎩⎨⎧<∆->∆010 1x x∴y =|x |在x 0=0处不可导．5． 求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆． （2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(．（3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim ．三、讲解范例：例1求y =x 2在点x =1处的导数．分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy ，再求xy∆∆，最后求0lim→∆x xy ∆∆． 解：Δy =(1+Δx )2－12=2Δx +(Δx )2，xx x x y ∆∆+∆=∆∆2)(2=2+Δx ∴0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x (2+Δx )=2． ∴y ′|x =1=2． 注意：(Δx )2括号别忘了写． 例2已知y =x ，求y ′．分析：求函数在一点的导数，与求函数在一个区间上的导数，方法是一样的，也是三个步骤，只是把x 0换成x ． 解：Δy =x x x -∆+，xxx x x y ∆-∆+=∆∆∴)(lim lim lim000x x x x x x x x x x x x y x x x +∆+∆-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆=xx x x x 211lim=+∆+→∆． 点评：求函数的导数也主要是求极限的值，所以极限是求函数的导数的基础，求极限的一些基本方法不能忘掉．例3 已知y =x 3－2x +1，求y ′，y ′|x =2．解：Δy =(x +Δx )3－2(x +Δx )+1－(x 3－2x +1)=x 3+3x 2Δx +3x (Δx )2+(Δx )3－2x －2Δx +1－x 3+2x －1=(Δx )3+3x (Δx )2+(3x 2－2)Δxx y ∆∆=(Δx )2+3x Δx +3x 2－2，∴y ′=0lim →∆x xy ∆∆=0lim →∆x ［(Δx )2+3x Δx +3x 2－2］=3x 2－2．方法一：∵y ′=3x 2－2，∴y ′|x =2=3×22－2=10．方法二：Δy =(2+Δx )3－2(2+Δx )+1－(23－2·2+1)=(Δx )3+6(Δx )2+10Δxxy ∆∆=(Δx )2+6Δx +10，∴y ′|x =2=0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x ［(Δx )2+6Δx +10］=10．点评：如果题目中要求y ′，那么求y ′|x =2时用方法一简便．如果只要求y ′|x =2，用方法二比较简便． 四、课堂练习：1．求y =2x 2+4x 在点x =3处的导数．解：Δy =2(3+Δx )2+4(3+Δx )－(2×32+4×3)=2(Δx )2+16Δx ，xy∆∆=2Δx +16 ∴0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x (2Δx +16)=16，即y ′|x =3=16 2．已知y =4+x ，求y ′ 解：Δy =44+-+∆+x x x ，xx x x x y ∆+-+∆+=∆∆44∴0lim→∆x x y∆∆=44(lim 44lim 00+++∆+∆∆=∆+-+∆+→∆→∆x x x x x x x x x x x=421441lim+=+++∆+→∆x x x x x ，∴y ′=421+x ． 五、小结 ：这节课主要学习了导数的定义，以及求导数方法的三个步骤．f ′(x 0)=y ′|0x x = =0lim →∆x x y∆∆=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 f ′(x )=y ′=0lim→∆x x y∆∆=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 00三个步骤：①求函数的增量Δy ，②求平均变化率x y ∆∆，③取极限f ′(x 0)= 0lim →∆x xy∆∆，以及函数的连续性是函数的可导性的必要条件而不是充分条件．。
高中数学导数概念课件苏教版选修
导数在解决实际问题中的作用
导数在优化问题中的应用：导数可以用来解决最优化问题，例如求函数的 最大值或最小值。
导数在物理中的应用：导数可以用来描述物理量的变化率，例如速度、加 速度、电流等。
导数在经济学中的应用：导数可以用来分析经济变量的变化趋势和拐点， 例如需求函数、供给函数等。
导数在计算机科学中的应用：导数可以用来描述图像的边缘、纹理等特征， 例如在图像处理和计算机视觉中的应用。
导数与函数图 像：通过导数 可以绘制函数 图像的切线， 从而更直观地 理解函数的变
化规律。
导数与极值： 导数为零的点 可能是函数的 极值点，通过 导数可以判断 函数在某一点 处是否取得极
值。
导数的物理意义
速度的变化率
函数的斜率
单位时间内函数的变 化量
瞬时速度
导数的运算规则
函数和、差的导数
导数的和差运算规则：$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$
导数作为微积分的基础概念，在高等数学中具有重要地位 导数在解决微分方程、积分方程等问题中具有关键作用 导数在研究函数的性质、图像等方面具有广泛应用 导数在解决实际问题中，如最优化问题、经济问题等，具有实际意义
如何学好导数
理解导数的定义
• 导数的定义：导数定义为函数在某一点处的变化率，即函数在该点处的斜率。 • 导数的几何意义：导数在几何上表示函数图像在该点处的切线斜率，即函数在该点处的变化趋势。 • 理解导数的几何意义 • 导数与函数图像的关系：导数可以描述函数图像的形状和变化趋势，例如函数的增减性、极值点和拐点等。 • 导数与切线斜率的关系：导数在几何上表示函数图像在该点处的切线斜率，即函数在该点处的变化趋势。 • 如何学好导数 • 理解导数的定义和几何意义：掌握导数的定义和几何意义是学好导数的基础，需要认真理解并掌握。 • 掌握导数的计算方法：学会计算导数是学好导数的关键，需要掌握各种导数的计算方法，例如基本初等函数的导数、复合函数的导
苏教版高中数学选修2-2 导数的概念与应用 教案
要求层次 重难点导数及其应用导数概念及其几何意义导数的概念 A 了解导数概念的实际背景； 理解导数的几何意义．导数的几何意义C导数的运算根据导数定义求函数y c =，y x =，2y x =，3y x =，1y x=，y x =的导数 C能根据导数定义，求函数23y c y x y x y x ====，，，，1y y x x==，（c 为常数）的导数．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的复合函数）的导数． 导数的四则运算C 简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +）的导数） B 导数公式表C 导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次） C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）． 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）． 会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）C利用导数解决某些实际问题 B板块一：导数的概念与几何意义知识内容1．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-， 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率．注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．高考要求例题精讲导数的概念与应用2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．3．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．4．导数的几何意义：设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即000()()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率． 由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．典例分析： 极限与导数【题1】 设()f x 在0x 可导，则()()0003limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆等于（ ）A ．()02f x 'B ．()0f x 'C ．()03f x 'D ．()04f x '【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无【解析】 ()()0003lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆()()00000()()3limx f x x f x f x f x x x∆→+∆-+--∆∆= ()()000000()()3=lim lim 33x x f x x f x f x f x x x x∆→∆→+∆---∆+⋅∆∆ ()()000000()3()=lim 3lim3x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-+⋅∆-∆000()3()4()f x f x f x '''=+=．【答案】D【题2】 设(3)4f '=，则0(3)(3)lim2h f h f h →--=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．1【考点】极限与导数 【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 00(3)(3)(3)(3)11limlim (3)2222h h f h f f h f f h h →→----⎛⎫'=⋅-=-=- ⎪-⎝⎭． 【答案】B【题3】 如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去．设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n n S →∞=（ ）r OA ．22πrB ．28π3r C ．24πr D ．26πr【考点】极限与导数 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】2010，湖北，高考7【解析】 设第n 个圆的面积为n a ，则21πa r =，134n n a a -=，于是23π14314n n r S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-，从而2lim 4πnn S r →∞= 【答案】C【题4】 如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．【考点】极限与导数【难度】1星【题型】填空【关键词】2008，北京，高考【解析】 ((0))(4)2f f f ==；04(1)220f -'==--． 【答案】22-，【题5】 若函数2()f x x=，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无【解析】 22(1)(1)(2)11xf x f x x ∆-+∆--=--=-+∆∆-， 00(1)(1)2lim lim 21x x f x f x x ∆→∆→-+∆--==-∆∆-． 【答案】D【题6】 已知物体的运动方程是23s t t=+，则物体在时刻4t =时的速度v =____，加速度a = ．【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】无【解析】 232v s t t '==-，362a v t '==+，4t =时，312581616v =-=，66726432a =+=． 【答案】12567,1632．【题7】 一质点做直线运动，由始点起经过t s 后的距离为43214164s t t t =-+，则速度为零的时刻是（ ）A ．4s 末B ．8s 末C ．0s 与8s 末D ．0s ，4s ，8s 末【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 321232v s t t t '==-+，令0v =得0t =，4或8． 【答案】D导数的几何意义【题8】 已知曲线1y x x =+上一点522A ⎛⎫⎪⎝⎭，，用斜率定义求： ⑴ 过点A 的切线的斜率；⑵ 过点A 的切线方程．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】 分析：求曲线在A 处的斜率A k ，即求0(2)(2)lim x f x f x ∆→+∆-∆，其中1()f x x x=+．⑴ 记1()f x x x=+，(2)(2)y f x f ∆=+∆-1122222(2)x x x x x -∆⎛⎫=+∆+-+=+∆ ⎪+∆+∆⎝⎭， 00(1)lim lim 2(2)x x y x x f x x x x ∆→∆→⎡⎤∆-∆∆'==+⎢⎥∆∆+∆∆⎣⎦013lim 12(2)4x x ∆→⎡⎤-=+=⎢⎥+∆⎣⎦；⑵ 切线方程为53(2)24y x -=-，即3440x y -+=．注：也可先求1y x x=+的导函数，200()()11limlim 11(0)()x x f x x f x y x x x x x x ∆→∆→⎛⎫+∆--'==+=-≠ ⎪∆+∆⎝⎭， 再计算13(2)144y '=-=．【答案】⑴34，⑵3440x y -+=【题9】 函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 设23x x ==，时曲线上的点为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，∵(3)(2)f f -(3)(2)32AB f f k -==-，∵(3)BQ f k '=，(2)AT f k '=，如图所示，切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角BQ AB AT k k k <<． 【答案】B【题10】 曲线321y x x =+-在点(11)P --，处的切线方程是（ ）A ．1y x =-B ．2y x =-C ．y x =D ．1y x =+ 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 232y x x '=+，(1)1y '-=，P 在曲线上，故切线方程为11y x y x +=+⇒=． 【答案】C【题11】 若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）AB． C ．23 D ．23或0【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 曲线21y x =-在0x x =处的切线斜率为00()2y x x '=；曲线31y x =-在0x x =处的切线的斜率为200()3y x x '=-，由题意有：2002(3)1x x ⋅-=-，解得0x =． 【答案】A【题12】 设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2008，辽宁，高考【解析】 设00()P x y ，，22y x '=+，点P 处的切线的斜率的取值范围为πtan 0tan [01]4⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，， 故00221x +≤≤，解得0112x --≤≤．【答案】A【题13】 已知点P 在曲线4e 1x y =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．π04⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B ．ππ42⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C ．π3π24⎛⎤ ⎥⎝⎦， D ．3ππ4⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【考点】导数的几何意义 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】2010，辽宁，高考10【解析】 2441(1)2x x x x e y e e e--'==+++，124x x e e ++≥，故[1,0)y '∈-，从而tan [1,0)α∈-,3ππ4α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 【答案】D【题14】 若存在过点(10)，的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于（ ）A ．1-或2564-B ．1-或214C ．74-或2564-D ．74-或7【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2009，江西，高考【解析】 设过(10)，的直线与3y x =相切于点300()x x ，，所以切线方程为320003()y x x x x -=-，即230032y x x x =-，又(10)，在切线上，则00x =或032x =，当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564a =-，当032x =时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-．【答案】A【题15】 ⑴曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是____．⑵曲线32242y x x x =--+过点(13)-，的切线方程是_________． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】 【解析】 ⑴2()344y x x x '=--，(1)5y '=-，故所求的切线方程为35(1)y x +=--．⑵点(13)-，在曲线上，若切点为(13)-，，则切线方程为520x y +-=；若切点不是(13)-，，设切点为00()x y ，，则有2000033441y x x x +=---，又320000242y x x x =--+，解得01x =或012x =． 当012x =时，斜率为21121344224⎛⎫⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭，故直线方程为21490x y +-=．故过点(13)-，的切线方程为520x y +-=或21490x y +-=．注意过一点的切线与在一点的切线的区别．【答案】⑴520x y +-=；⑵520x y +-=或21490x y +-=．【题16】 已知函数()f x 在R 上满足()()22288f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程是（ ）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2009，安徽，高考 【解析】 由()()22288f x f x x x =--+-，得2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =，()2f x x '=，∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，选A ．【答案】A【题17】 设函数1()()f x ax a b x b=+∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为3y =． ⑴求()y f x =的解析式；⑵证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；⑶证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2008，海南宁夏，高考【解析】 ⑴21()()f x a x b '=-+，由题设知(2)0(2)3f f '=⎧⎨=⎩， 于是2123210(2)a b a b ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=⎪+⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩或9483a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．因a b ∈Z ，，故1()1f x x x =+-． ⑵证明：已知函数1y x =，21y x=都是奇函数．所以函数1()g x x x =+也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而1()111f x x x =-++-．可知，函数()g x 的图象按向量(11)=，a 平移，即得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的图象是以点(11)，为中心的中心对称图形．（可以直接验证：若(,)x y 在()y f x =的图象上，则(2,2)x y --也在函数()y f x =的图象上）⑶证明：在曲线上任取一点00011x x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，． 由0201()1(1)f x x '=--知，过此点的切线方程为2000200111()1(1)x x y x x x x ⎡⎤-+-=--⎢⎥--⎣⎦． 令1x =得0011x y x +=-，切线与直线1x =交点为00111x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，． 令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(2121)x x --，．直线1x =与直线y x =的交点为(11)，． 从而所围三角形的面积为00000111212112222121x x x x x +---=-=--．所以，所围三角形的面积为定值2．【答案】⑴1()1f x x x =+-；⑵(11)，；⑶2【题18】 已知曲线1C ：2y x =与2C ：2(2)y x =--，直线l 与12C C ，都相切，求直线l 的方程． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 分别对两条曲线的方程求导得：2y x '=与2(2)y x '=--，设直线l 与曲线1C 相切于点200()x x ，，则直线l 的方程为20002()y x x x x -=-，令02(2)2x x --=解得02x x =-，代入直线l 的方程得20043y x x =-，故直线l 与曲线2C 交于点2000(243)x x x --，，由此点在曲线2C 上得2200043(22)x x x -=---， 解得00x =或02x =，于是直线l 的方程为0y =或44y x =-．【答案】0y =或44y x =-．板块二：导数的运算知识内容1注：ln e a =．注意()x x e e '=．2．导数的四则运算法则：⑴函数和（或差）的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则(()())()()f x g x f x g x '''±=±，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）． ⑵函数积的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()Cf x Cf x ''=，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数． ⑶函数的商的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，()0g x ≠，则2()()()()()()()f x g x f x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦． 特别是当()1f x ≡时，有21()()()g x g x g x ''⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．典例分析：【题1】 已知函数()ln f x x =，则()ef e '的值等于（ ）A ．1B ．eC ．1eD ．2e【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】选择【关键词】【解析】 1()f x x '=，()1eef e e'==．【答案】A【题2】 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．3(1)3(1)x x -+-B ．22(1)x -C ．2(1)x -D ．1x -【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】选择【关键词】 【解析】 【答案】A【题3】 已知函数2()f x ax c =+，且(1)2f '=，则a 的值为（ ） A ．1 BC ．1-D ．0【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】【解析】 ()2f x ax '=，于是221a a =⇒=．【答案】A【题4】 已知函数()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =----，则(1)f '=（ ）A ．99!-B ．100!-C ．98!-D ．0【考点】导数的运算 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 设()(2)(3)(4)(100)g x x x x x =----，则()(1)()f x x g x =-，且()g x 可导，有()()(1)()f x g x x g x ''=+-，令1x =得，99(1)(1)0(0)(1)(1)99!99!f g g g ''=+⨯==-=-．【题5】 已知函数2()(1)f x x x =-，若00()f x x '=，则0x =_______．【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】填空【关键词】 【解析】 2()32f x x x '=-，从而20032x x x -=⇒00x =或01x =． 【答案】0或1【题6】 已知函数xe y x=在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，求0x 的值．【考点】导数的运算 【难度】1星 【题型】解答【关键词】【解析】 由于x e y x =，所以000()x e f x x =，又2(1)x e x y x ⋅-'=，00020(1)()x e x f x x -'∴=依题意得00()()0f x f x '+=，即000200(1)0x x e x e x x -+=，0210x ∴-=，得012x =． 【答案】12【题7】 设()ln x f x a e b x =⋅+，且1(1),(1)f e f e ''=-=，求实数,a b 的值． 【考点】导数的运算 【难度】1星【题型】解答【关键词】【解析】 ()x b f x ae x '=+，(1)f ae b e '=+=，1(1)a f b e e'-=-=，解得1,0a b ==． 【答案】1,0a b ==．板块三：导数的应用知识内容1．利用导数判断函数的单调性的方法：如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '>，则()f x 在这个区间上是增函数；如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '<，则()f x 在这个区间上是减函数． 2．利用导数研究函数的极值：已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大．并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点． 如果在0x 附近都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小．并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点． 3．求函数()y f x =的极值的方法： 第1步 求导数()f x '；第2步 求方程()0f x '=的所有实数根；第3步 考察在每个根0x 附近，从左到右，导函数()f x '的符号如何变化．如果()f x '的符号由正变负，则0()f x 是极大值；如果由负变正，则0()f x 是极小值．如果在()0f x '=的根0x x =的左右侧，()f x '的符号不变，则0()f x 不是极值．4．函数()f x 的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值． 求函数最大（小）值的方法：第1步 求()f x 在指定区间内所有使()0f x '=的点；第2步 计算函数()f x 在区间内使()0f x '=的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值．典例分析：原函数与导函数的图象【题1】 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象可能为（ ）D.C.B.A.【考点】原函数与导函数的图象 【难度】2星 【题型】选择【关键词】【解析】 函数()f x 的顶点为2424b c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，故有204b b c <<，，()2f x x b '=+，斜率为正，排除B ，D ；纵截距为负，排除C ．（即图象不过第四象限）【答案】A【题2】 设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A.【考点】原函数与导函数的图象 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 由导函数的图象知()y f x =在(0)-∞，与(2)+∞，上单调递增，在(02)，上单调递减． 【答案】B【题3】 已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）D.C.B.A.【考点】原函数与导函数的图象【难度】2星【题型】选择【关键词】2005，江西，高考【解析】由图象知，(1)(1)0f f''=-=，结合图象知1x=±是函数()f x的极值点，又因为在(10)-，上，()0f x'<，在(01)，上，()0f x'<，因此在(11)-，上，()f x单调递减，故选C．要注意，若00()P x y，是函数()y f x=的极值点，则有()0f x'=，但是若()0f x'=，则是00()P x y，不一定是函数()y f x=极值点，所以要判断一个点是否为极值点，还要检验点P的两侧的单调性是否不同．【答案】C【题4】设()f x'是函数()f x的导函数，将()y f x=和()y f x'=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）【考点】原函数与导函数的图象【难度】2星【题型】选择【关键词】2007，浙江，高考【解析】选项A中的直线为导函数图象；B中递减的曲线为导函数图象；C中上面的曲线为导函数图象，都没有矛盾．D中不论哪条曲线是导函数的图象，原函数都为单调的函数，故不可能．【答案】D函数的单调性【题5】函数214y xx=+的单调增区间为（）A．(0)+∞，B．12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，C．(1)-∞-，D．12⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，【考点】函数的单调性【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】令2221(21)(421)80x x xy xx x-++'=-=>，得12x>．【答案】B【题6】三次函数3()1y f x ax==-在()-∞+∞，内是减函数，则（）A．1a=B．2a=C．0a≤D．0a<【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 23y ax '=，要()f x 在R 上为减函数，当且仅当0a <． 【答案】D【题7】 若21()ln(2)2f x x b x =-++在(1)-+∞，上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A ．[1)-+∞，B ．(1)-+∞，C ．(1]-∞-，D ．(1)-∞-，【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2008，湖北，高考，题7【解析】 22()22b x x bf x x x x --+'=-+=++，当1x >-时，有()0f x ≤，又此时20x +>， 故220x x b --+≤，故222(1)1b x x x +=+-≤对一切(1)x ∈-+∞，成立，故1b -≤．【答案】C【题8】 若函数()221xf x x =-+，则()f x （ ） A ．在()-∞+∞，单调增加 B ．在()-∞+∞，单调减少C ．在(11)-，单调减少，在(1)-∞-，与(1)+∞，上单调增加D ．在(11)-，单调增加，在(1)-∞-，与(1)+∞，上单调减少【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 222222(1)222(1)(1)()(1)(1)x x x x x f x x x +-⋅+-'=-=++． 【答案】C【题9】 已知函数321()53f x x x ax =++-，若()f x 在[1)+∞，上是单调增函数，则a 的取值范围是 ．【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】 函数在[1)+∞，上是单调增函数[){}1()0x f x '⇔+∞⊆，≥ ()*， 2()244f x x x a a '=++∆=-，，分类讨论：①当0∆≤，即440a -≤，即1a ≥时，()*条件成立；②当011130(1)0a a f ∆>⎧<⎧⎪-<⇔⎨⎨+⎩⎪'⎩≥≥，即31a -<≤时，()*条件成立；综上，当3a -≥时，()*条件成立，3a -≥为所求．【答案】[3)-+∞，【题10】 )(x f 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤，对任意正数,a b ，若a b <，则必有（ ）A ．()()af a bf b ≤B ．()()bf b af a ≤C ．()()af b bf a ≤D ．()()bf a af b ≤【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】 (())()()0xf x xf x f x ''=+≤，故函数()xf x 在区间(,)a b 上是非增函数，有()()af a bf b ≥【答案】B【题11】 已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++()a b ∈R ，．若函数()f x 在区间(11)-，上不单调．．．，求a 的取值范围． 【考点】函数的单调性【难度】2星 【题型】解答【关键词】2009，浙江，高考【解析】 由()0f x '=，得1x a =，223a x +=-． 函数()f x 在区间(11)-，不单调，等价于()0f x '=在区间(11)-，上有实数解，且无重根．即1123a a a -<<⎧⎪+⎨-⎪⎩≠或211323a a a +⎧-<-<⎪⎪⎨+⎪-⎪⎩≠，解得1112a a -<<⎧⎪⎨-⎪⎩≠或5112a a -<<⎧⎪⎨-⎪⎩≠．所以a 的取值范围是115122⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．【答案】115122⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【题12】 已知函数()ln xf x x=． ⑴判断函数()f x 的单调性；⑵若()1y xf x x=+的图像总在直线y a =的上方，求实数a 的取值范围； ⑶若函数()f x 与()1263m g x x x =-+的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m 的值．【考点】函数的单调性 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2010，宣武，二模，理，题19【解析】 ⑴可得21ln ()xf x x-'=． 当0x e <<时，()0f x '>，()f x 为增函数；当x e >时，()0f x '<，()f x 为减函数．⑵依题意，转化为不等式1ln a x x<+对于0x >恒成立．令1()ln g x x x=+，则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭．当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()g x 是()1.+∞上的增函数，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 是()0,1上的减函数， 所以 ()g x 的最小值是(1)1g =， 从而a 的取值范围是(),1-∞．⑶转化为212ln 63x x x m =+-，ln y x =与21263y x x m =+-在公共点()00,x y 处的切线相同由题意知20000012ln 6311233x x x m x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴解得：01x =，或03x =-（舍去），代入第一式，即有56m =．【答案】⑴()f x 的单调增区间为(0,)e ，单调减区间为(,)e +∞；⑵(),1a ∈-∞；⑶56m =．【题13】 设a ∈R ，函数()()()()2121ln 1f x x a x =--+-+．⑴若函数()f x 在点()()00f ，处的切线方程为41y x =-，求a 的值； ⑵当1a <时，讨论函数()f x 的单调性．【考点】函数的单调性 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2009，西城，一模，题18【解析】 ⑴函数()f x 的定义域为()1-+∞，，()22221a f x x x -'=-+++2221x ax -+=+．因为()04f '=，所以2a =． ⑵当0a <时，因为10x +>，2220x a -+<，所以()0f x '<，故()f x 在()1-+∞，上是减函数；当0a =时，当()10x ∈-，时，()2201x f x x -'=<+，故()f x 在()10-，上是减函数，当()0x ∈+∞，时，()2201x f x x -'=<+，故()f x 在()0+∞，上是减函数，因为函数()f x 在()1-+∞，上连续，所以()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，由()22201x af x x -+'==+，得x =x =x 变化时，()f x '，()f x 的变化如情况下表：所以()f x 在1-，上为减函数、在+∞上为减函数；()f x 在上为增函数．综上，当0a ≤时，()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，()f x 在(1-，上为减函数、在)+∞上为减函数；()f x 在(上为增函数．【答案】⑴2a =；⑵当0a ≤时，()f x 在()1-+∞，上是减函数；当01a <<时，()f x 在(1-，上为减函数、在)+∞上为减函数；()f x 在(上为增函数．函数的极值【题14】 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【考点】函数的极值 【难度】2星【题型】填空【关键词】2005，全国，高考【解析】 2()323f x x ax '=++，又()f x 在3x =-取得极值，∴(3)0f '-=，即23(3)6305a a ⨯--+=⇒=．【答案】D【题15】 设a ∈R ，若函数x y e ax x =+∈R ，有大于零的极值点，则（ ） A ．1a <- B ．10a -<< C ．10a e -<< D ．ea 1-<【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2008，广东，高考，题9【解析】 x y e a '=+，由题意知0y '=有正根，故0a <，且ln()01a a ->⇒<-．【答案】A【题16】 函数3()4f x ax bx =++在12x =-有极大值283，在22x =有极小值是43-，则a = ；b = ．【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】 2()3f x ax b '=+，(2)(2)120f f a b ''-==+=，又28(2)8243f a b -=--+=，4(2)8243f a b =++=-．解得13a =，4b =-． 【答案】13a =，4b =-．【题17】 求函数22()(0100)1a b f x x a b x x=+<<>>-，，的单调区间与极小值．【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】【解析】 2222222222(1)()(1)(1)a b b x a x f x x x x x --'=-+=--22()[()](1)a a b x b a x a a b x x ⎛⎫+--+ ⎪+⎝⎭=-． 当0x =时，()0b a x a a -+=>；当1x =时，()0b a x a b -+=>，∴01x <<时，恒有()0b a x a -+>，令()0f x '=，解得ax a b=+(01)∈，．当0a x a b <<+时，()0f x '<，当1ax a b<<+时，()0f x '>．∴函数()f x 在0a a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，上单调递减，在1a a b ⎛⎫⎪+⎝⎭，上单调递增，故()f x 在a x a b =+处取得极小值为2()a f a b a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭．【答案】()f x 在0a a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，上单调递减，在1a a b ⎛⎫⎪+⎝⎭，上单调递增； 极小值为2()a f a b a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭．【题18】 已知函数()()2223x f x x ax a a e =+-+（x ∈R ），其中a ∈R ．⑴当0a =时，求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率；⑵当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】 ⑴ 当0a =时，()2x f x x e =，()()22x f x x x e '=+，故()13f e '=．所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率为3e ．⑵ ()()22224xf x x a x a a e '⎡⎤=++-+⋅⎣⎦．令()0f x '=，解得2x a =-，或2x a =-．由23a ≠知，22a a -≠-． 以下分两种情况讨论．① 若23a >，则22a a -<-．当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()2a -∞-，，()2a -+∞，内是增函数，在()22a a --，内是减函数函数()f x 在2x a =-处取得极大值()2f a -，且()223a f a ae --=．函数()f x 在2x a =-处取得极小值()2f a -，且()()2243a f a a a --=-． ② 若2a >，则22a a ->-，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()2a -∞-，，()2a -+∞，内是增函数，在()22a a --，内是减函数． 函数()f x 在2x a =-处取得极大值()2f a -，且()()2243a f a a e --=-． 函数()f x 在2x a =-处取得极小值()2f a -，且()223a f a ae --=．【答案】⑴3e ；⑵见解析．【题19】 已知函数()6ln (0)f x x x =>和2()8g x ax x =+（a 为常数）的图象在3x =处有平行切线．⑴求a 的值；⑵求函数()()()F x f x g x =-的极大值和极小值．【考点】函数的极值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】 ⑴ 6()f x x'=，()28g x ax '=+，根据题意，得(3)(3)f g ''=，解得1a =-．⑵ 2()()()6ln 8F x f x g x x x x =-=+-，令6()280F x x x'=+-=，得13x =，∵01x <<时，()0F x '>，()F x 单调递增；13x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；3x >时，()0F x '>，()F x 单调递增．∴()F x 的极大值为(1)7F =-，()F x 的极小值为(3)6ln315F =-．【答案】⑴1a =-；⑵()F x 的极大值为(1)7F =-，()F x 的极小值为(3)6ln315F =-．【题20】 设()323()1312f x x a x ax =-+++． ⑴若函数()f x 在区间()1,4内单调递减，求a 的取值范围；⑵若函数()f x 在x a =处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间()1,4内函数()f x 的单调性．【考点】函数的极值 【难度】2星【题型】解答【关键词】2010，丰台，一模，题18【解析】 ()()()()2331331f x x a x a x x a '=--+=--⑴∵函数()f x 在区间()1,4内单调递减， ∵(4)0f '≤，∴[)4,a ∈+∞．⑵∵函数()f x 在x a =处有极值是1，∴()1f a =．即()3223231313111222a a a a a a -+++=++=． ∴2(3)0a a -=，解得0a =或3． 当0a =时，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()0f 为极大值， 这与函数()f x 在x a =处取得极小值是1矛盾，所以0a ≠．当3a =时，()f x 在()1,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增，所以()3f 为极小值， 所以3a =满足．故3a =，()f x 在()1,3内单调递减，在[)3,4内单调递增．【答案】⑴[)4,a ∈+∞；⑵3a =，()f x 在()1,3内单调递减，在[)3,4内单调递增．【题21】 设函数322()31(,)f x ax bx a x a b =+-+∈R 在1x x =，2x x =处取得极值，且122x x -=．⑴若1a =，求b 的值，并求()f x 的单调区间；⑵若0a >，求b 的取值范围．【考点】函数的极值 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2008，辽宁，高考，题22【解析】 22()323f x ax bx a '=+-．①⑴当1a =时，2()323f x x bx '=+-；由题意知12x x ，为方程23230x bx +-=的两根，所以12x x -=．由122x x -=，得0b =．从而2()31f x x x =-+，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-．当()11x ∈-，时，()0f x '<；当()()11x ∈-∞-+∞，，时，()0f x '>．故()f x 在()11-，单调递减，在()1-∞-，，()1+∞，单调递增．⑵由①式及题意知12x x ，为方程223230x bx a +-=的两根，所以12x x -=．从而221229(1)x x b a a -=⇔=-， 由上式及题设知01a <≤．考虑23()99g a a a =-，22()1827273g a a a a a ⎛⎫'=-=-- ⎪⎝⎭．故()g a 在203⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，在213⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，从而()g a 在(]01，的极大值为2433g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．又()g a 在(]01，上只有一个极值，所以2433g ⎛⎫= ⎪⎝⎭为()g a 在(]01，上的最大值，且最小值为(1)0g =．所以2403b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，即b的取值范围为⎡⎢⎣⎦． 【答案】⑴0b =，()f x 在()11-，单调递减，在()1-∞-，，()1+∞，单调递增． ⑵b的取值范围为⎡⎢⎣⎦．【题22】 设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．⑴求证：当0ab >时，函数()f x 没有极值点； ⑵当12a b ==-，时，求()f x 的极值．⑶求证：当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．【考点】函数的极值 【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】 ⑴因为2()ln 0f x ax b x ab =+≠，，所以()f x 的定义域为(0)+∞，．22222()2b a x b ax b a f x ax x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'=+==． 当0ab >时，02b a>，202bx a +>，()0f x '=无解， 所以当0ab >时，函数()f x 没有极值点．⑵2()2ln f x x x =-，22(1)(1)()2x x f x x x x+-'=-=， 又函数()f x 的定义域为(0)+∞，，故()f x '在(01)，上为负，在(1)+∞，上为正，故()f x 存在唯一的极小值点1x =，它有极小值(1)1f =．⑶当0ab <时，2()a x x f x x⎛- ⎝⎭⎝⎭'=， 令()0f x '=，得1(0)x =+∞，（舍去），2(0)x +∞，，当00a b ><，时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b f a⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 当00a b <>，时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 综上所述，当0ab <时，当00a b ><，时，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．当00a b <>，时，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【答案】⑴见解析；⑵()f x 存在唯一的极小值点1x =，它有极小值(1)1f =．⑶当00a b ><，时，()f x 有极小值1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；当00a b <>，时，()f x 有极大值1ln 22b b a⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．函数的最值【题23】 已知32()26f x x x a =-+（a 是常数）在[22]-，上有最大值3，那么在[22]-，上的最小值是（ ） A ．5- B ．11- C ．29- D ．37- 【考点】函数的最值 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】 2()6126(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '>，解得2x >或0x <；当02x <<时，()0f x '<；于是()f x 在(20)-，上单调增，在(02)，上单调减；于是()f x 在[22]-，上的最大值为(0)3f a ==．故32(2)2(2)6(2)337f -=⨯--⨯-+=-；32(2)226235f =⨯-⨯+=-，故()f x 在[22]-，的最小值为37-．【答案】D【题24】 设a ∈R ，函数32()3f x ax x =-．⑴若2x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值；⑵若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，在0x =处取得最大值，求a 的取值范围． ⑶若函数()()()g x f x f x '=+在[02]x ∈，时的最大值为1，求a 的值．【考点】函数的最值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2008，全国Ⅱ，高考，题21 【解析】 ⑴2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =． 经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．⑵由题设，3222()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+． 当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时，(0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得65a ≤．反之，当65a ≤时，对任意[02]x ∈，，26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤23(210)5x x x =+-3(25)(2)5xx x =+-0≤，而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ．综上，a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．⑶∵(0)01g =<，故()g x 不在0x =时取到最大值，故65a >． 此时，2()36(1)60g x ax a x '=+--=有两个相异的实根，记为12x x ，（120x x <<）， ∵0a >，故()g x 在2(0)x ，（12()x x ⊆，）上单调递减，在2()x +∞，上单调递增． 又()g x 在[02]，上的最大值不在0x =时取到，故必有22x <，且()g x 在最大值在2x =时取到，即5(2)1812(1)124g a a a ==+--⇒=．【答案】⑴1a =；⑵a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．⑶54a =．【题25】 设0a >，函数2()|ln 1|f x x a x =+-．⑴ 当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；⑵ 当3a =时，求函数()f x 的单调性； ⑶ 当4a =，[1)x ∈+∞，时，求函数()f x 的最小值．【考点】函数的最值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】 ⑴ 当1a =时，2()|ln 1|f x x x =+-．令1x =，易得(1)2f =，(1)1f '=，所以切点为(12)，，切线的斜率为1，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：10x y -+=．⑵ 当3a =时，223ln 3(0)()3ln 3()x x x e f x x x x e ⎧-+<⎪=⎨+-⎪⎩≤≥．当0x e <≤时，2323()2x f x x x x-'=-=，()f x 在0⎛ ⎝⎭内单调递减，]e ⎝内单调递增； 当x e ≥时，3()20f x x x'=+>恒成立，故()f x 在[)e +∞，内单调递增；综上，()f x 在0⎛ ⎝⎭内单调递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增． ⑶ ①当x e ≥时，2()4ln 4f x x x =+-，4()2f x x x'=+∴()0f x '>恒成立，()f x 在[)e +∞，上为增函数．故当x e =时，2min y e =．②当1x e <≤时，2()4ln 1f x x x =-+，42()2(f x x x x x x'=-=()f x 在[1上为减函数，在]e 上为增函数，因此当x min 242ln 22y =+=-．【答案】⑴10x y -+=；⑵()f x 在0⎛ ⎝⎭内单调递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增．⑶min 2ln 22y =-．【题26】 已知函数()()1ln 1af x x ax a x-=-+-∈R ． ⑴ 当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；⑵ 设()224g x x bx =-+．当14a =时，若对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥，求实数b 取值范围．【考点】函数的最值 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】2010，山东，高考22【解析】 ⑴ 因为()1ln 1af x x ax x-=-+-，所以()()222111'0a ax x af x a x x x x --+-=-+=-∈+∞，，令()21h x ax x a =-+-，()0x ∈+∞，，（ⅰ）当0a =时，()1h x x =-+，()0x ∈+∞，，所以当()01x ∈，时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递； 当()1x ∈+∞，时，()0h x <，此时()'0f x >，函数()f x 单调递增． （ⅱ）当0a ≠时，()0f x '=， 即210ax x a -+-=，解得11x =，211x a=-． ①当12a =时，12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()'0f x ≤，函数()f x 在()0+∞，上单调递减； ②当102a <<时，1110a->>，()01x ∈，时，()0h x >此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； 111x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增； 11x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； ③当0a <时，由于110a-<，()01x ∈，时，()0h x >，此时()'0f x <，函数()f x 单调递减； ()1x ∈+∞，时，()0h x <，此时()'0f x >，函数()f x 单调递增．综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在()01，和()1+∞，上单调递减； 当12a =时，函数()f x 在()0+∞，上单调递减； 当102a <<时，函数()f x 在()01，和11a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，在111a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增； ⑵因为102a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，由⑴知，11x =，()2302x =∉，，当()01x ∈，时，()0f x '<．函数()f x 单调递减；当()12x ∈，时，()0f x '>，函数()f x 在单调递增，所以()f x 在()02，上的最小值为()112f =-．由于“对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥”等价于“()g x 在[]12，上的最小值不大于()f x 在()02，上的最小值12-”．又()()224g x x b b =-+-，[]12x ∈，，所以①当1b <时，因为()()min 1520g x g b ==->⎡⎤⎣⎦，此时与()*矛盾；②当[]12b ∈，时，因为()2min 40g x b =-⎡⎤⎣⎦≥，同样与()*矛盾；③当()2b ∈+∞，时，()()min 284g x g b ==-⎡⎤⎣⎦．解不等式1842b --≤，可得178b ≥．综上，b 的取值范围是178⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 【答案】⑴当0a ≤时，函数()f x 在()01，和()1+∞，上单调递减； 当12a =时，函数()f x 在()0+∞，上单调递减； 当102a <<时，函数()f x 在()01，和11a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，在111a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增； ⑵b 的取值范围是178⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．【题27】 已知函数()1e x a f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0a >．⑴求函数()f x 的零点；⑵讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2010，西城，一模，题19 【解析】 ⑴令()0f x =，得x a =-，所以函数()f x 的零点为a -．⑵函数()f x 在区域(,0)-∞上有意义，22()e xx ax a f x x +-'=⋅，令()0f x '=得12x x ==， 因为0a >，所以120,0x x <>，当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下：所以()f x 在区间,⎛-∞ ⎝⎭上是增函数，在区间0⎫⎪⎪⎝⎭上是减函数． ⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上()f x 存在最小值2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，证明：由⑴知a -是函数()f x 的零点，因为10a x a --=-=>， 所以10x a <-<．由()1e x a f x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭知，当x a <-时，()0f x >．又函数在1(,0)x 上是减函数，且102ax a <-<-<．所以函数在区间1,2a x ⎛⎤- ⎥⎝⎦上的最小值为2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且02a f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭．所以函数在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上的最小值为2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 计算得2e 2aa f -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．。
2013苏教版选修(1-1)3.1《导数的概念》word教案
3.1导数的概念教学目标：理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一．导入新课本章主要内容是导数的概念，求导数的方法，以及导数的应用.本章的导数是微积分的重要组成部分.微积分是从生产技术与自然科学的需要中产生的;同时,又促进了生产技术和自然科学的发展.微积分不但在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日益显示出重要的功能.导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的一门科学.它为有效地解决一些传统的初等数学问题提供了一般性的方法,如求曲线的切线方程、函数的单调区间、不等式的证明、函数的最值及有关实际问题。
运用求导的方法不仅简便易行，而且形象直观，有助于对函数性质的深刻理解和认识。
二．讲授新课 1.曲线的切线设曲线C 是函数)(x f y =的图象，在曲线C 上取一点),(00y x P 及邻近的一点),(00y y x x Q ∆+∆+，过P ，Q 两点作割线，并分别过P ，Q 两点作x 轴与y 轴的平行线MP ，MQ ，又设割线PQ 的倾斜角为β，那么x MP ∆=，y MQ ∆=，βtan =∆∆x y ，xy ∆∆就是割线的斜率.当点),(00y y x x Q ∆+∆+沿着曲线无限接近于点),(00y x P ，即0→∆x 时，割线PQ 的极限位置PT 叫做曲线在点P 处的切线，设切线PT 的倾斜角为α，当0→∆x 时，割线PQ 的斜率的极限，是曲线在点P 处的切线的斜率，即0000()()tan limlim x x f x x f x yx xα∆→∆→+∆-∆==∆∆.2.瞬时速度物体作直线运动的位移公式是函数)(t s s =，从0t 到t t ∆+0（t ∆称为时间增量）这段时间内，物体的位移（即位移增量）是)()(00t s t t s s -∆+=∆，这段时间内物体的平均速度tt s t t s t s ∆-∆+=∆∆=)()(00υ,当0→∆t 时平均速度v 的极限，即 000()()lim lim t t s t t s t sv t t∆→∆→+∆-∆==∆∆,叫做物体在时刻t 的瞬时速度v . 3．边际成本设C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为C ＝C （q ），当产量为0q 时，产量变化q ∆对成本的影响可用增量比qq C q q C q C ∆-∆+=∆∆)()(00刻划. 如果q ∆无限趋近于0时，qC∆∆无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际成本. 它表明当产量为0q 时，增加单位产量需付出成本A （这是实际付出成本的一个近似值）.瞬时速度、切线的斜率和边际成本，虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限.4.导数的概念对于函数)(x f y =，自变量x 在0x 处有增量x ∆，函数y 相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，比值xy∆∆就叫做函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率，即x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00.如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f 在0x 处的导数（或变化率），记作)(0x f '或0x x y ='，即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆. 简言之，导数是函数值的差与相应自变量的差的商的极限. 注：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在.(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0. (3)xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率.(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
2013白蒲中学高二数学教案极限与导数极限的概念苏教版
极 限 的 概 念（4月27日）教学目的：理解数列与函数极限的概念；教学重点：会推断一些简洁数列与函数的极限； 教学难点：数列与函数极限的理解 教学过程： 一、实例引入：例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进展下去。
（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析改变趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析改变趋势。
视察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。
n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以随意地靠近A ，盼望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能到达我们所盼望的那么近。
”即“动点n a 到A 的间隔 A a n -可以随意小。
二、新课讲授1、数列极限的定义：一般地，假如当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近．．．．于．某个常数A （即A a n -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。
“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。
A a n n =∞→lim 有时也记作当n →∞时，n a →A②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________③思索：是否全部的无穷数列都有极限？例1：推断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1，21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1+n n，…； （3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n )1.0(-，…；（5）－1,1，－1，…，n )1(-，…；注：几个重要极限： （1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1<q ）的极限是0，即 ：)1(0lim <=∞→q q n n 2、当∞→x 时函数的极限（1） 画出函数xy 1=的图像，视察当自变量x 取正值且无限增大时，函数值的改变状况：函数值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于正无穷大时，函数xy 1=的极限是0，记作：01lim=+∞→x x一般地，当自变量x 取正值且无限增大时，假如函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =+∞→)(lim也可以记作，当x +∞→时，A x f →)(（2）从图中还可以看出，当自变量x 取负值而x 无限增大时，函数xy 1=的值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于负无穷大时，函数x y 1=的极限是0，记作：01lim =-∞→x x一般地，当自变量x 取负值而x 无限增大时，假如函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =-∞→)(lim也可以记作，当x -∞→时，A x f →)(（3）从上面的探讨可以知道，当自变量x 的肯定值无限增大时，函数xy 1=的值都无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于无穷大时，函数xy 1=的极限是0，记作01lim=∞→xx 一般地，当自变量x 的肯定值无限增大时，假如函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =∞→)(lim也可以记作，当x ∞→时，A x f →)(特例：对于函数C x f =)(（C 是常数），当自变量x 的肯定值无限增大时，函数C x f =)(的值保持不变，所以当x 趋向于无穷大时，函数C x f =)(的极限就是C ，即 例2：推断下列函数的极限：（1）x x )21(lim +∞→ （2）x x 10lim -∞→ （3）21lim x x ∞→ （4）4lim ∞→x三、课堂小结 1、数列的极限2、当x ∞→时函数的极限 四、练习与作业1、推断下列数列是否有极限，若有，写出极限 （1）1，41，91，…，21n ，… ；（2）7，7，7，…，7，…； （3） ,2)1(,,81,41,21n n---；（4）2，4，6，8，…，2n ，…； （5）0.1，0.01，0.001，…，n101，…； （6）0，,32,21--…，11-n ，…；（7）,41,31,21-…，11)1(1+-+n n ，…；PMNA BC（8）,51,59,54…，52n ，…；（9）－2, 0，－2，…，1)1(--n ,…， 2、推断下列函数的极限：（1）x x 4.0lim +∞→ （2）x x 2.1lim -∞→（3）)1lim(-∞→x （4）41limxx ∞→ （5）x x )101(lim +∞→ （6）x x )45(lim -∞→（7）11lim 2+∞→x x （8）5lim ∞→x补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。
2013年江苏省白蒲中学高二数学(苏教版)《函数》教案24
第二十四教时教材： 对数函数的定义、图象、性质目的：要求学生了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系，会求对数函数的定义域。
过程：一、复习： 指数函数的定义、图象、性质 二、 从实例导入：回忆学习指数函数时用的实例。
细胞分裂问题：细胞的个数是分裂次数的指数函数 xy 2= 反之，细胞分裂的次数是细胞个数的函数由对数定义：y x 2log = 即：次数y 是个数x 的函数 x y 2log =定义：函数 x y a log = )10(≠>a a 且叫做对数函数；它是指数函数xa y = )10(≠>a a 且的反函数。
对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞。
例一、（P87 例一）略例二、 求函数251-⎪⎭⎫⎝⎛=xy 和函数22112+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x y )0(<x 的反函数。
解：1︒ 251+=⎪⎭⎫⎝⎛y x∴)2(log )(511+=-x x f )2(->x2︒ 22112-=⎪⎭⎫⎝⎛+y x ∴)2(log )(211--=-x x f )252(<<x 三、 对数函数的图象由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于x y =的对称图形，即可获得。
同样：也分1>a 与10<<a 两种情况归纳 以x y 2log =与x y 21log =为例例三、作出下列对数函数的图象： 1．x y 2log =2．)2(log 21-=x y四、 对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质。
见P87 表 （从略） 定义域：),0(+∞ 值域：R 过点 (1,0) 即当1=x 时0=y 当1>a 时 单调递增 当10<<a 时 单调递减由图：1>a 时 )1,0(∈x 时 0<y ),1(+∞∈x 时 0>y 10<<a 时 )1,0(∈x 时 0>y ),1(+∞∈x 时0<y 例四、例五（见P88 例二、例三） 五、 小结：对数函数定义、图象、性质六、 作业： P89练习 2、3 习题2．8 1、2、32x=x 21log。
苏教版高二数学导数的概念
取极限， 从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
（a, b) 函数 y f ( x )在区间（ a, b)有定义，x0
如果自变量 x在 x0处有增量 x， 那么函数y相应地有 y 增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 比 值 就 叫 做 函 数 x y f ( x)在x0到x0 x之间的平均变化率 , 即
即
f (x0)与f (x)之间的关系： 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于 函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
f (x 0)f (x)
． x x0 ．
如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 X0处连续.
y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) . x x
y 我们就说函数 y f ( x)在点x0 处 可导， 并把A( 的极限) x 叫做函数 y f ( x )在点 x0 处的 导数 , 记为y x x0
y y A( 的 极 限), 如果当 x 0 时， x x
从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
回顾
2、物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度. （即t=t0时速度相对时间的瞬时变化率）
a
t t0
v lim t t o
lim
t 0
f (t 0 t ) f (t 0 ) 。 t
以平均加速度代替瞬时加速度，然x , 求y
x x x , x x x x
'
y x
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苏教版高二数学选修221.1导数概念教案
《导数的观点》教课设计教课内容解析1．导数的地位、作用导数是微积分的中心观点之一，它是一种特别的极限，反应了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单一性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起侧重要作用．导数观点是我们此后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有宽泛的应用，是展开科学研究必不行少的工具.2．本课内容解析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限观点的．教材这样办理的原由，一方面是由于极限观点高度抽象，不合适在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生经过学习导数这个特别的极限去领会极限的思想，这为此后学习极限供给了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学观点，而导数是研究函数的有力工具，所以，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．鉴于学生已经在高一年级的物理课程中学习了刹时速度，所以，先经过求物体在某一时辰的均匀速度的极限去得出刹时速度，再由此抽象出函数在某点的均匀变化率的极限就是刹时变化率的的模型，并将刹时变化率定义为导数，这是切合学生认知规律的．进行导数观点教课时还应当看到，经过若干个特别时辰的刹时速度过渡到随意时辰的刹时速度；从物体运动的均匀速度的极限是刹时速度过渡到函数的均匀变化率的极限是刹时变化率，我们能够向学生浸透从特别到一般的研究问题基本思想．教课目标1．使学生认识到：当时间间隔愈来愈小时，运动物体在某一时辰邻近的均匀速度趋势于一个常数，而且这个常数就是物体在这一时辰的刹时速度；2．使学生经过运动物体刹时速度的探究，领会函数在某点邻近的均匀变化率的极限就是函数在该点的刹时变化率，并由此建构导数的观点；3．掌握利用求函数在某点的均匀变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．经过导数观点的建立，使学生领会极限思想，为未来学习极限观点累积学习经验；5．经过导数观点的教课教程，使学生领会到从特别到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．教课要点经过运动物体在某一时辰的刹时速度的探究，抽象归纳出函数导数的观点．教课难点使学生领会运动物体在某一时辰的均匀速度的极限意义，由此得出函数在某点均匀变化率的极限就是函数在该点的刹时变化率，并由此得出导数的观点．教课准备1．查找实质测速中丈量刹时速度的方法；2．为学生每人准备一台Ti－nspireCAS图形计算器，并对学生进行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教课流程框图教课流程设计充足尊敬学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数观点的表象，再经过表象抽象出导数观点，并经过运用导数观点解决实质问题使学生进一步领会导数的本质．教课的主要过程设计以下：复习准理解均匀速度与刹时速度备的差别与联系．领会模感觉当△t→0时，均匀速型度迫近于某个常数．提炼模从形式上达成从均匀速度型向刹时速度的过渡．教课过程设计估计时教课内容教师活动学生活动教课评论间（分）（1）发问：请说出函数从 x 1到 x 2的均匀变化率公式．（2）发问：假如用x 1与增量△x（ 表示均匀变化率的公式是如何的？（ 3）高台跳水的例子中，在时间段[0,65]里的均匀速度是零，而实质49上运动员其实不是静止的．这说明均匀1．复习准备 速度不可以正确反应他在这段时间里运动状态.设计企图： （4）发问：用一个什么样的量来让学生理解 反应物体在某一时辰的运动状态？ 均匀速度与 （5）发问：我们如何获取物体在刹时速度的 某一时辰的刹时速度？比如，要求物 5分钟 差别与联 体在2S 的刹时速度，应当怎么解决？系，感觉到 （6）我们一同来看物理中测即时均匀速度在 速度（刹时速度）的视频：时间间隔很小时能够近 似地表示瞬时速度．（ 7）发问：这里所测得的真的是刹时速度吗？（ 8）发问：如何使均匀速度更好的表示刹时速度？9）在学生回答的基础上叙述：真实的刹时速度根本没法经过仪回答以下问题后理解： （1）f(x 2)f(x 1)．x 2 x 1（2）f(x 1x)f(x 1)．x（ 3）学生在教师的叙述中思虑用什么量来反应运动员的运动状态．（（ （ （（ 4）让学生领会并明确刹时速度的作用．（ 5）学生思虑． （ （ （ （（ 6）学生观看视频并思虑． （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （（ 7）希望或指引答出“是均匀速度”．8）学生回答，得出“时间间隔越小越1）复习过程应使学生明确函数的均匀变化率表示．（2）应使学生明确均匀速度与刹时速度的关系，为下一阶段实验活动作铺垫．器测定，我们将均匀速度作为刹时速好！”度的近似值；（9）学生领会教师所为了使均匀速度更好的表示刹时讲结论．速度，应当让时间间隔尽量小．2．领会模型设计意图：让学生在信息技术平台上，经过定分量解析钟感觉平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度迫近的过程．1）向学生提出数学实验任务：已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数h(t)=－4.9t2+6.5t+10，请你用计算器达成以下表格中t0=2秒邻近的均匀速度的计算并填补好表格，察看均匀速度的变化趋势．数学实验记录单（1）x＞0时，在内，x＜0时，在内，vh(2x)h(2)vh(2)h(2x)x xXvxv0.1－0.10.01－0.010.001－0.0010.0001－0.00010.00001－0.000010.000001－0.000001你以为运动员在t0=2秒处的刹时速度为m/s．（2）发问：x、g(x)的含义各是什么？（3）发问：察看你自己的实验记录单，你能发现均匀速度有什么变化趋势吗？先展现一个同学的实验结果，并让他谈谈他的发现，再将计算器的结果投影，指引同学们一起察看．（4）将学生疏四个组，让他们分别达成1）学生在TI－nspireCAS上达成以下操作：（1）应使学生在技术平台上（2）学生操作得出以下经过多结果，达成数学实验记次实验录单（1）的填写：感觉到均匀速度在t→0时趋近于一个常数，并理解这个常数的意义．（3）让学生讲他所发现（2）应的规律．使学生从感性上获取求刹时（4）学生疏4个组再次速度的实验，分别达成本组的方法．数学实验记录单（2）的填写，并察看均匀速度的变化趋势，回答教师的发问．t0=1.6、1.7、1.8、1.9时的实验记录单（2）的填写，说出他们察看的结果，并将4个结果写列在黑板上．t0=1.6 t0=1.7 t0=1.8 t0=1.9 t0=2v→－9.18 v→－10.16 v→－11.14 v→－12.12 v→－13.1在学生实验与察看的基础上指出：当t趋近于0时，均匀速度都趋近于一个确立的常数，这个常数就是刹时速度．（1）发问：你以为经过实验所得结果（常数）就（1）学生思是刹时速度吗？这个数据究竟是精准值仍是近似值？考，也能够讨应使学论．生经过（2）让学生动笔化简t0=2对应的平（2）学生化简着手计均速度的表达式．（化简结果为4.9t13.1）t0=2处对应的算，得均匀速度的表到均匀（3）指引学生从化简的表达式中发现当△t0时，达式，察看当速度在4.9t13.1－13.1．△t0时均匀t→0 3．提炼模型（4）让学生着手化简t0=1.6对应的均匀速度的表设计企图：使4.9t9.18达式．（化简结果为）学生认识到均匀速度当t0启迪学生归纳出结论：△时，均匀速度所趋时间间隔趋近的这个常数是能够获取的，它不是近似值，是一个精10向于零时的t没关，只与时辰t0相关．确值，它与变量△极限就是瞬t0=1.6、1.7、1.8、1.9（5）发问：我们获取了时速度，为给时的刹时速度，但这还不足以代表全部时辰的刹时速出导数观点t0时的刹时速度？度，能不可以用相同的方法，获取提炼出一个启迪学生化简均匀速度的表达式，并与学生一同详细的极限总结出：模型．fh(t0t)h(t0)t t9.8t04.9t 6.59.8t0 6.5(t0)．（6）教师解说：用lim ht0t ht0表示v所t0tht0tht09.8t06.5．今趋近的常数，即limtt0后把这个常数叫做在t t0处，当t趋近于0时，均匀速度表达式的时趋近变化趋势．于一个（3）学生化简常数，t0=1.6处对应而且这的均匀速度的个常数表达式，察看就是瞬当△t 0时平时速均速度表达式度．使的变化趋势．学生理解极限3）学生化简符号表随意时辰t0处示的意对应的均匀速义．度的表达式，察看当△t0时均匀速度表达式的变化趋势．4）学生依据教师的解说理速度v的极限．比方，－13.1是在t2处，当△t趋解均匀速度的h2t h2的极限．极限的意义．近于0时t（1）给出以下图示：4．形成观点（2）针对上述图示，教师在启迪后发问：设计意经过前方的学习，我们知道均匀速度就是函数h(t)的均匀变图：完化率．刹时速度就是函数h(t)的刹时变化率．同时，我们已经知成从运道：均匀速度在△t→0时的极限就是刹时速度．那么，你可否说动物体说，一般状况下，函数的均匀变化率与刹时变化率是一个什么关的刹时系？速度到5函数瞬（3）在学生理解了函数的均匀变化率与刹时变化率的关系时变化后发问：函数f(x)在x=x0处的刹时变化率如何表示？率的过教师介绍以下的的表示方法：渡，形函数f(x)在x=x0处的刹时变化率可表示为成导数lim f lim f(x0x)f(x0)．的观点x0x x0x并给出（4）教师给出导数的定义：定义．函数f(x)在x x0处的刹时变化率lim f(x0x)f(x0)lim fx0x x0x称为y f(x)在x x0处的导数，记作f(x0)或lim y f(x x)f(x) xx，即x0x f(x0)lim f(x0x)f(x0)．x0x （1）在应使学教师的生从“平启迪下均速度思虑函的极限数的平是刹时均变化速度”这率与瞬个详细时变化的模型率之间中抽象的关系．出导数的观点，（2）回并能理答教师解导数的发问．是一个极限，明（3）理确导数解函数的表示．导数的5．应用观点设计企图：让学生进一步5理解导数观点，领会导数的应用价值，熟习求导数的步骤．（1）发问：你能谈谈求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤吗？教师在学生说的基础上要总结出步骤．（2）解说例1：将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各样不一样产品，需要对原油进行冷却和加热．假如第x(h)时，原油的温度（单位:C）为:f(x)=x2-7x+15(0x≤8).计算第2（h)和第6（h）时，原油温度的刹时变化率，并说明它们的意义．重申：第2小时的刹时变化率为－3，说明在第2小时邻近，原油大概以3C/h的速度降落．．．．．（3）提出练习：计算3h时原油温度的刹时变化率，表述你所得结果的意义．观点与1）学生思导考数（的1）检查学并沟通求函数表示生方能否清楚在x0处的法导．求导数的步数的步骤．骤．（2）检查学（2）在教师讲生可否正确解完后达成教地求出函数师提出的练在某点的导习．数．（3）应使学（3）求出生能利用计f(3)后，回算结果解说导数（即刹时答f(3)的意变化率）的意义．义．（1）让学生小结并沟通．思虑本节课所（2）教师总结：学内容，能够本节课学习了导数的观点，在这个过程中我相互之间沟通6．小结作业们看到：数学使不行能的事情变为现实；自己的小结，设计企图：让导数的观点表示：当自变量的增量趋势于零回答教师提学生经过总时，函数在某点的均匀变化率的无穷地趋势于函问.结，进一步体数在该点的刹时变化率，这是特别重要的极限思1）使学生不单能从知识的角度看所学过的内容，还可以领会到寓于知识中的数学思会导数的意想．56义及极限的思想，训练学生的归纳能力．经过部署作业，稳固所学内容．求导数的步骤大概分为以下三步：第一步，求函数增量；第二步，求均匀变化率并化简；第三步，求均匀变化率的极限，即导数．A作业：B层：P10/2，3，4．C层：A层+增补．想与方法．2）分层次供给作业，是为了知足不一样层次学生的需求．（增补）已知y=x3．求：（1）y x0；（2）y x1．。
2013年江苏省白蒲中学高二数学(苏教版)《函数》教案16
第十六教时教材： 指数（2） 苏大《教学与测试》第25、26课目的：复习巩固根式与分数指数幂的概念，并能用以解决具体问题。
过程： 一、 根式例一 （苏大P51例一）写出使下列等式成立的x 的取值范围：1︒ 313133-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 2︒ 5)5()25)(5(2+-=--x x x x 解：1︒只须31-x 有意义，即 x ≠ 3 ∴x 的取值范围是(-∞,3)∪(3,+∞) 2︒ ∵55)5()5()25)(5(22+-=+-=--x x x x x x∴5)5(55+-=+-x x x x 成立的充要条件是⎩⎨⎧⎩⎨⎧≤-->-=-=->+=+0555550505x x x x x x x 或即：或∴x 的取值范围是[-5,5] 例二 1︒化简32233--+ 2︒求证：442186224+=+解：1︒原式=33)33(2)13(2)33(23242)33(22-+=--+=--+=6226)3612(2)33)(33()33(22+=+=+-+（注意复习，根式开平方）2︒ 证：∵244424244)2(2182)18()218(+⋅+=+06224262232218218424>+=++=+⨯+=∴由平方根的定义得：442186224+=+例三 画出函数323213312-+-+++=x x x x x y 的图象。
解：∵1)1(13333323-=-=-+-x x x x x⎩⎨⎧-<---≥+=+=++)1(1)1(11122x x x x x x x ∴⎩⎨⎧-<--≥=)1(2)1(2x x x y二、 分数指数幂例四 （苏大书P53例一）计算下列各式：1︒ 3263425.0031)32()32(28)67(5.1--⨯+⨯+-⨯-2︒33323323134)21(428a ab bab a b a a ⨯-÷++- 解： 1︒ 原式=1102742323222)32(131224143=⨯+=-⨯+⨯+）（３１2︒ 原式=a ba b a a a ba abb a a b a a =--=⨯-⨯++-8)8(242)8(313131313231313231例五 先化简，再用计算器求值（结果保留四位有效数字） 1︒ 4.1213.2)54(+-a2︒ )3.8()11(33522=+--+-+m m m m m m 其中解： 1︒ 原式=[]445.3445431931.33.2253.2)25(4.14.1212≈=+-=+-2︒原式=616522221)1)(1(21m m m m m m m m m +⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---++-+ 85.1284979177.123.86.18)22(61656165≈=+=++=m m 例六 已知u a a x x =+-其中a >0, R x ∈将下列各式分别u 用表示出来： 1︒ 22x xaa -+ 2︒ 2323x x aa-+解：1︒222)(22222+=++=+⨯⨯+=+=+-----u a a a a a a aa aa x x x x x x x x x x2︒ ))((22222323x x x xx x x x a aa a aa aa----+⨯-+=+2)1())(1(22+-=+-+=--u u aa a a x x x x三 作业 《教学与测试》余下部分。
高二数学导数的应用问题教案 苏教版 教案
高二数学导数的应用问题教案利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间［a,b］上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点.本节内容主要是指导考生对这种方法的应用.●难点磁场(★★★★★)已知f(x)=x2+c,且f［f(x)］=f(x2+1)(1)设g(x)=f［f(x)］,求g(x)的解析式；(2)设φ(x)=g(x)－λf(x),试问：是否存在实数λ,使φ(x)在(－∞,－1)内为减函数，且在(－1，0)内是增函数.●案例探究［例1］已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=－1.(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.命题意图：利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入.是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解.属★★★★★级题目.知识依托：解题的成功要靠正确思路的选择.本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化.这是解答本题的闪光点.错解分析：本题难点是在求导之后，不会应用f′(±1)=0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍.技巧与方法：考查函数f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点x=±1所确定的相等关系式，运用待定系数法求值.解：(1)f′(x)=3ax2+2bx+c∵x=±1是函数f(x)的极值点，∴x=±1是方程f′(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的两根.由根与系数的关系，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-1332acab又f(1)=－1,∴a+b+c=－1, ③由①②③解得a=23,0,21==cb,(2)f(x)=21x3－23x,∴f′(x)=23x2－23=23(x－1)(x+1)当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0当－1＜x＜1时，f′(x)＜0∴函数f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数.∴当x=－1时，函数取得极大值f(－1)=1,当x=1时，函数取得极小值f(1)=－1.［例2］在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？命题意图：学习的目的，就是要会实际应用，本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.知识依托：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解.错解分析：本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式.技巧与方法：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系.解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km,则∵BD=40,AC=50－x,∴BC=222240+=+xCDBD①②又设总的水管费用为y 元，依题意有： y =30(5a －x )+5a 2240+x (0＜x ＜50) y ′=－3a +22405+x ax ,令y ′=0,解得x =30在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在x =30(km)处取得最小值，此时AC =50－x =20(km) ∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省. 解法二：设∠BCD =Q ,则BC =θsin 40,CD =40cot θ,(0＜θ＜2π),∴AC =50－40cot θ 设总的水管费用为f (θ),依题意，有f (θ)=3a (50－40·cot θ)+5a ·θsin 40=150a +40a ·θθsin cos 35-∴f ′(θ)=40a ·θθθθθθθ22sin cos 5340sin )(sin )cos 35(sin )cos 35(-⋅='⋅--⋅'-a 令f ′(θ)=0,得cos θ=53根据问题的实际意义，当cos θ=53时，函数取得最小值，此时sin θ=54,∴cot θ=43,∴AC =50－40cot θ=20(km),即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省. ●锦囊妙计1.f (x )在某个区间内可导，若f ′(x )＞0,则f (x )是增函数；若f ′(x )＜0,则f (x )是减函数.2.求函数的极值点应先求导，然后令y ′=0得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如：y =x 3,当x =0时，导数是0，但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y ′的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0.3.可导函数的最值可通过(a ,b )内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得，因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较，如y =|x |,在x =0处不可导，但它是最小值点.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f (x )可导，且f ′(0)=0,又xx f x )(lim 0'→=－1,则f (0)( ) A.可能不是f (x )的极值 B.一定是f (x )的极值 C.一定是f (x )的极小值D.等于02.(★★★★)设函数f n (x )=n 2x 2(1－x )n(n 为正整数)，则f n (x )在［0,1］上的最大值为( ) A.0B.1C.nn )221(+-D.1)2(4++n n n 二、填空题3.(★★★★)函数f (x )=log a (3x 2+5x －2)(a ＞0且a ≠1)的单调区间_________.4.(★★★★)在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大. 三、解答题5.(★★★★★)设f (x )=ax 3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间. 6.(★★★★)设x =1与x =2是函数f (x )=a ln x +bx 2+x 的两个极值点. (1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x =1,x =2是函数f (x )的极大值还是极小值，并说明理由.7.(★★★★)已知a 、b 为实数，且b ＞a ＞e ,其中e 为自然对数的底，求证：a b ＞b a. 8.(★★★★)设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β(α＜β),函数f (x )=142+-x ax . (1)求f (α)·f (β)的值；(2)证明f (x )是［α，β］上的增函数；(3)当a 为何值时，f (x )在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？［科普美文］新教材中的思维观点数学科学具有高度的综合性、很强的实践性，不断的发展性，中学数学新教材打破原教材的框架体系，新增添了工具性、实践性很强的知识内容，正是发展的产物.新教材具有更高的综合性和灵活多样性，更具有朝气与活力，因此，把握新教材的脉搏，培养深刻严谨灵活的数学思维，提高数学素质成为燃眉之需.新教材提升与增添的内容包括简易逻辑、平面向量、空间向量、线性规划、概率与统计、导数、研究型课题与实习作业等，这使得新教材中的知识内容立体交叉，联系更加密切，联通的渠道更多，并且富含更高的实用性.因此在高考复习中，要通过总结、编织科学的知识网络，求得对知识的融会贯通，揭示知识间的内在联系.做到以下几点：一、深刻领会数学思想方法，把立足点放在提高数学素质上.数学的思想方法是数学的精髓，只有运用数学思想方法，才能把数学的知识与技能转化为分析问题与解决问题的能力，才能形成数学的素质.知识是能力的载体，领悟并逐步学会运用蕴含在知识发生发展和深化过程中，贯穿在发现问题与解决问题过程中的数学思想方法，是从根本上提高素质，提高数学科能力的必由之路，只有通过对数学思想方法的不断积累，不断总结经验，才能从知识型向能力型转化，不断提高学习能力和学习水平.二、培养用化归（转化）思想处理数学问题的意识.数学问题可看作是一系列的知识形成的一个关系链.处理数学问题的实质，就是实现新问题向旧问题的转化，复杂问题向简单问题的转化，实现未知向已知的转化。
2013年江苏省白蒲中学高二数学(苏教版)《函数》教案6
第六教时（若时间不够，可将部分内容延至第七教时） 教材： 函数图象；《教学与测试》第19课目的： 要求学生根据函数解析式作出它们的图象，并且能根据图象分析函数的性质；同时了解图象的简单变换（平移变换和对称变换）。
过程：一、复习：函数有哪三种表示方法？ 今天主要研究函数的图象。
二、例一、画出下列函数的图象。
（《教学与测试》P 39）1。
xy )1(-= {}3,2,1,0∈x 2。
x x y --=1解：解：⎩⎨⎧-=--=1211xx x y )1()1(<≥x x注意：由于定义域从而导致函数图象只是若干个孤立点。
3。
xx x y -+=0)21(注意：先写成分段函数再作图。
解：定义域为 ⎪⎩⎪⎨⎧≠--≠021x x x 0<⇒x 且x ≠21-强调：定义域十分重要。
三、例二、根据所给定义域，画出函数222+-=x x y 的图象。
1。
R x ∈ 2。
]2,1(-∈x 3。
]2,1(-∈x 且x ∈Z四、关于分段函数的图象例三、已知⎪⎩⎪⎨⎧--=123)(2πx x f)0()0(=>x x 画出它的图象，并求f (1),f (-2)。
解：f (1)=3×12-2=1 f (-2)=-1五、关于函数图象的变换1．平移变换 研究函数y =f (x )与y =f (x +a )+b 的图象之间的关系例四、函数2)1(+=x y-2和1)21(2+-=x y 的图象分别是由2x y =函数的图象经过如何变化得到的。
）将2x y =的图象沿 x 轴向左平移1个单位再沿y 轴向下平移2个单位得2)1(+=x y -2的图象；2）将2x y =的图象沿x 轴向右平移21个 单位再沿y 轴向上平移1个单位得函数1)21(2+-=x y 的图象。
小结：1。
将函数y =f (x )的图象向左（或向右）平移|k |个单位（k >0向左,k <0向右）得y =f (x +k )图象；2．将函数y =f (x )的图象向上（或向下）平移|k |个单位（k >0向上,k <0向下）得y =f (x ) +k 图象。
2013年江苏省白蒲中学高二数学(苏教版)《函数》教案32
第三十二教时教材：单元复习之三——对数函数（《教学与测试》第32、33课）目的：重点复习对数及对数函数的有关内容，通过复习期望学生对知识有更深的理解 过程：一、 复习：对数概念，对数运算，换底公式，对数函数的概念、图象、性质 二、 例一、已知过原点O 的一条直线与函数x y 8log =的图象交于A 、B 两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为E ，过点B 作y 轴的垂线，交EA 于C ，若C恰好在x y 2log =函数的图象上，试求A 、B 、C 三点的坐标。
解：设A (x 1 , 18log x ) , B (x 2 , 28log x ) , 则C (x 1 ,∵C 在函数的图象上 ∴ 1228log log x x =即：1222log log 31x x = ∴ x 2 = x 13又：FBOF EA OE =即：282181log log x x x x = ∴x ∴1831181log log 3x x x x = 由x 1>1 , ∴log 8x 1≠1 从而有：3x 1=x 13∴33,321==x x∴A 、B 、C 三点的坐标分别为：)3log ,3(),33log ,33(,)3log ,3(288C B A例二、求函数)(log 2x x y a -= (a >0 , a ≠1)的定义域、值域、单调区间。
解：1．定义域：02>-x x 得：10<<x 2．∵4141)21(022≤+--=-<x x x ∴当0<a <1时, 41log )(log 2aa x x ≥- 函数的值域为)∞+⎢⎣⎡,41log a 当a >1时, 41log )(log 2aa x x ≤- 函数的值域为 ⎝⎛⎥⎦⎤∞-41log ,a 3．∵02>-x x 在区间内2x x u -=在]21,0(上递增，在)1,21[上递减。
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导数的概念（5月4日）
教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程：
一、导入新课：
上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。
虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。
由此我们引出下面导数的概念。
二、新授课：
1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x
y
∆∆（也
叫函数的平均变化率）有极限即
x
y ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数
)(x f y =在0x x →处的导数，记作0
/
x x y
=，即
x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)
()(lim
)(000
0/
注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。
2.在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。
3.
x
y ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线
)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率。
4.导数x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)
()(lim
)(000
0/
是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，
它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)
(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/
0x x x f x f y -=-。
5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关。
6.在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因
此，导数的定义式可写成0
0000/
)
()(lim
)
()(lim
)(0
x x x f x f x
x f x x f x f x x o
x --=∆-∆+=→→∆。
7.若极限x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim
000
不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
8.若)(x f 在0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线存在。
反之不然，若曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线，函数)(x f y =在0x 不一定可导，并且，若函数
)(x f y =在0x 不可导，曲线在点（)(,00x f x ）也可能有切线。
一般地，
x b a x =∆+→∆)(lim 0
，其中b a ,为常数。
特别地，a a x =→∆0
lim 。
如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。
称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即
)(/
x f ＝/
y ＝x
x f x x f x
y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)
()(lim
lim
函数)(x f y =在0x 处的导数0
/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导
数)(/x f 在0x 处的函数值，即0
/
x x y =＝)(0/
x f 。
所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作
)(0/
x f 。
注：1.如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间
),(b a 内可导。
2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。
它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/
x f 在点0x 的函数值。
3.求导函数时，只需将求导数式中的0x 换成x 就可，即)(/
x f ＝x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim 0
4.由导数的定义可知，求函数)(x f y =的导数的一般方法是： （1）.求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆。
（2）.求平均变化率
x x f x x f x
y ∆-∆+=
∆∆)
()(。
（3）.取极限，得导数/y ＝x
y x ∆∆→∆0
lim 。
例1.求122-=x y 在x ＝－3处的导数。
例2.已知函数x x y +=2 （1）求/y 。
（2）求函数x x y +=2在x ＝2处的导数。
小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。
练习与作业：
1.求下列函数的导数：
（1）43-=x y ； （2）x y 21-=
(3)x x y 1232
-= (3)3
5x y -=
2.求函数12
+=x y 在－1,0，1处导数。
3.求下列函数在指定点处的导数：
（1）2,02==x x y ； （2）0,3
102
==x x y ；
（3）1,)2(02=-=x x y （4）1,02-=-=x x x y .
4.求下列函数的导数：
（1）;14+=x y （2）210x y -=；
（3）;323
x x y -= （4）722
+=x y 。
5.求函数x x y 22-=在－2,0，2处的导数。