第五章运输问题及解法(ppt文档)
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运筹学运输问题完整可编辑版本精选ppt课件
• 三、沃格尔法（VOGLE）
用最小元素法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90
70 100100 200 100
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250 100
A2
X21
100
销量
X22
X23
150
200
100 450
用西北角法确定例3-2初始调运方案
表3-3 运输问题作业表（运价表）
调 销地 运 量
产地
A1
A2
B1
c11
X11
c21
X21
销量
b1
B2
c12
X12
c22
X22
b2
B3
产量
c13
X13
c23
X23
b3
a1
a2
2
3
ai bj
i1
j1
3、举例
例3-2 甲、乙两个煤矿供应A、B、C 三个城市用煤，各煤矿产量及各城 市需煤量、各煤矿到各城市的运输 距离见表3-4，求使总运输量最少的 调运方案。
第五章 运输与指派问题
运输问题的表示
运输问题模型、运价表
运输问题的求解
表上作业法
指派问题
简述
运输、指派和转运问题，实际上都可以用 L.P. 模型加以描述，所以可以认为它们是 L.P. 的 特例 单列一章的原因在于：应用面极广，实践性 很强，而特有的数学结构使得人们设计出了 特别有效的方法对此类模型进行求解 本章的重点在：掌握表格化方法求解运输
提出问题
用最小元素法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90
70 100100 200 100
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250 100
A2
X21
100
销量
X22
X23
150
200
100 450
用西北角法确定例3-2初始调运方案
表3-3 运输问题作业表（运价表）
调 销地 运 量
产地
A1
A2
B1
c11
X11
c21
X21
销量
b1
B2
c12
X12
c22
X22
b2
B3
产量
c13
X13
c23
X23
b3
a1
a2
2
3
ai bj
i1
j1
3、举例
例3-2 甲、乙两个煤矿供应A、B、C 三个城市用煤，各煤矿产量及各城 市需煤量、各煤矿到各城市的运输 距离见表3-4，求使总运输量最少的 调运方案。
第五章 运输与指派问题
运输问题的表示
运输问题模型、运价表
运输问题的求解
表上作业法
指派问题
简述
运输、指派和转运问题，实际上都可以用 L.P. 模型加以描述，所以可以认为它们是 L.P. 的 特例 单列一章的原因在于：应用面极广，实践性 很强，而特有的数学结构使得人们设计出了 特别有效的方法对此类模型进行求解 本章的重点在：掌握表格化方法求解运输
提出问题
企业运筹学管理--运输问题讲义(ppt 46页)
j1~ n
i1
x
ij
0,i
1
~
m,
j
1
~
n
物资运输问题
求一个初始基本可行解
判断基本可行解是否最优
是 结束
不是
求使目标得到改善的基本可行解
约束方程系数矩阵结构
x 1 x 1 1 2 x 1 n x 2 x 2 1 2 x 2 n x m 1 x m 2 x m
n
产量 200 230
最优性检验：位势法
mn
m
xij ai
i1 j1
i1
nm
n
xij bj
j1 i1
j1
m行
1
1
1
1
1
1
a1
a2
1 1 1 am
n行
1
1
1 1
1
b1
1
b2
1
1
1 bn
u1a1 u2a2 v2b1 v2b2 v3b3 (90u1 v1)x11(70u1 v2)x12(95u1 v3)x13 (80u2 v1)x21(65u2 v2)x22(75u2 v3)x23
最优性检验：位势法
Cu1a1u2a2v2b1v2b2v3b3 (9 0u1v1)x11 (7 0u1v2)x12 (9 5u1v3)x13 (8 0u2v1)x21 (6 5u2v2)x22 (7 5u2v3)x23
闭回路方法 原理是通过寻找闭回路来找到非基变量的检验数。 可以证明，如果对闭回路的方向不加区别，那么以
运输问题(运筹学教学)演示课件.ppt
精选课件
2、求检验数--闭回路法: 例1
销地 产地
B1 3
B2 11
B3 3
B4
ai
10
注: 1)数字格检 验数均为0
A1
④
③
7 2)空格检验数
1
2
A2
③1
9
2
①
8
以某空格为起点，用水平或垂直
4 线往前划，每碰到一个数字格转
1
-1
90。，然后继续前进，直到回到起
7
4
10
5
A3
⑥
③
9 点。根据回路计算该空格对应变
精选课件
用网络优化软件
运费 一区1 一区2 二区 三区1 三区2 供应量
山西盂县 1.65 1.65 1.7 1.75 1.75 4000
河北临城 1.6 1.6 1.65 1.7
1.7 1500
假想地点 M
0
M
M
0
500
6000 需求量 2700 300 1000 1500 500
6000
精选课件
运输问题的表格表示
需求地
1
供应地
16
28
35
合计 13
2
7 4 9 21
3
5 2 10 9
4
3 7 6 7
合计
25 10 15
精选课件
运输问题线性规划模型
min z = 6x11 + 7x12 + 5x13 + 3x14 + 8x21 + 4x22 + 2x23 + 7x24 + 5x31 + 9x32 +10x33 + 6x34
2、求检验数--闭回路法: 例1
销地 产地
B1 3
B2 11
B3 3
B4
ai
10
注: 1)数字格检 验数均为0
A1
④
③
7 2)空格检验数
1
2
A2
③1
9
2
①
8
以某空格为起点，用水平或垂直
4 线往前划，每碰到一个数字格转
1
-1
90。，然后继续前进，直到回到起
7
4
10
5
A3
⑥
③
9 点。根据回路计算该空格对应变
精选课件
用网络优化软件
运费 一区1 一区2 二区 三区1 三区2 供应量
山西盂县 1.65 1.65 1.7 1.75 1.75 4000
河北临城 1.6 1.6 1.65 1.7
1.7 1500
假想地点 M
0
M
M
0
500
6000 需求量 2700 300 1000 1500 500
6000
精选课件
运输问题的表格表示
需求地
1
供应地
16
28
35
合计 13
2
7 4 9 21
3
5 2 10 9
4
3 7 6 7
合计
25 10 15
精选课件
运输问题线性规划模型
min z = 6x11 + 7x12 + 5x13 + 3x14 + 8x21 + 4x22 + 2x23 + 7x24 + 5x31 + 9x32 +10x33 + 6x34
第五章 有机物的运输(共61张PPT)
1. 装载途径
碳水化合物从叶肉细胞转运进入韧皮部有两种
装载途径:
一种是共质体装载，是指光合细胞输出的蔗糖通过胞
间连丝顺蔗糖梯度进入伴胞，最后进入筛管的过 程。
另一种是质外体装载，是指叶肉细胞中蔗糖先卸出 到质外体，再通过蔗糖-H＋共运输进入韧皮部。
蔗糖/质子共转运:
位于筛管分子质膜上的
Ｈ＋-ATP酶分解ATP
续地溢泌出来，这说明筛管内存在着很大的正压力；
※筛管接近源、库的两端存在着浓度梯度差。用蚜虫吻针法可测定 到筛管具有正压力，源、库间具有压力差。
※生长素，只有当糖被运输时，这些物质才能被运输，如果没有糖 的浓度梯度存在，生长素也不能外运，这说明筛管内物质运输是 集体流动，只有在被运输物质的总浓度存在梯度时，物质的运输 才能发生。
实践 有机物运输分配是决定产量高低和品质
好坏的一个重要的生理因素。
在研究有机物各器官的运输、分配和积累的关系中，提 出了“代谢源”(源，Source)与“代谢库”(库,Sink)的概 念。
源是指制造、输出有机物的部位或器官。
库是指消耗或贮藏有机物的部位或器官。
源--库理论 实质上就是用有效的人工干预，促使有机
环割试验
20世纪初期以来用放射性元素饲喂、植物手术、 化学分析，放射自显影技术等进一步证实有机物 质通过韧皮部进行运输。其中筛管是有机物运输 的主要通道。
筛管的细胞质中含有P—蛋白(又称韧皮蛋白)和胼胝 质。
P——蛋白是筛管中一种粘液状的韧皮部特有蛋白，它 是筛管高度进化的结果，有管状、纤丝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和球状，它 使筛孔进一步扩大，其功能与物质运输有关。
（一）基本内容
1．有机物质运输的途径、方向、速度、 形式和机理
5-运输问题(运筹学)
运输问题的表格表示
需求地
1
供应地
16
28
35
合计 13
2
7 4 9 21
3
5 2 10 9
4
3 7 6 7
合计
25 10 15
01:08
运输问题线性规划模型
min z = 6x11 + 7x12 + 5x13 + 3x14 + 8x21 + 4x22 + 2x23 + 7x24 + 5x31 + 9x32 +10x33 + 6x34
运费 山西盂县 河北临城 需求量
01:08
一区
1.65 1.6 27003000
二区 1.7 1.65
1000
三区
1.75 1.7 15002000
供应量 4000 1500
运输方案
运量 运费
山西盂县
一区 1.65
河北临城 1.6
需求量
27003000
二区 1.7 Байду номын сангаас.65 1000
三区
供应量
1.75
X13
300
A2
X21
X22
X23
300
销量
150
150
200
x11 x12 x13 300 , x21 x22 x23 300 x11 x21 150 , x12 x22 150 , x13 x23 200
min cij xij
i, j
01:08
x11 x12
x13
x14
x21
x22
x23
x24
【物流管理—第五章航空货物运输】(PPT114页)
2005年判断题 航空主运单的发货人栏和收货人栏列明的是真正 的托运人和收货人。（ ） 答案：错
一票集中托运货物的所有分运单都要装在结实的 信封内附在主货运单后，并在货运单“Nature and Quantity”栏内注明：“Consolidation as per attached manifest”，意为“集中托运货物 的相关信息附在随带的舱单中”，（manifest） 为集中托运货物舱单。
2002年判断题
1．国际航空运输协会是各国航空运输企业之间 的联合组织。（ ）
答案：正确。
2．IATA会员必须是国际民用航空组织的成员国。 （）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ答案：错误。
主要工作 国际航空运输协会的活动主要分为两大类：即行业协会 活动和运价协调活动。 1．运价协调 国际航空运输协会通过召开运输会议确定运价，经有关 国家批准后即可生效。国际航运协会将全球划分为三个 区域，即： 一区——北美洲、中美洲和南美洲； 二区——欧洲、中东地区和非洲； 三区——亚洲、澳大利亚和太平洋地区。 2．代理人事务 3．法律 4．技术
法定时区是各国根据本国具体情况自行规定的适用于本 国的标准时区。法定时区的界限，一般不是依据经线， 而是依据实际的政治疆界和社会经济发展状况来确定的。 根据法定时区确定的标准时，成为法定时。法定时是目 前世界各国实际使用的标准时。
3．飞行时间的计算
（1）从international time calculator中找出 始发站和目的站的标准时间。
2002年判断题 中国是国际民用航空组织的理事国。（ ） 答案：正确。
国际民用航空组织是负责国际航空运输的技术、航行及法规方面 的机构，它所通过的文件具有法律效应，各成员国必须严格遵守。
《运输问题》课件
动态规划模型
动态规划是一种数学方法，用于解决具有重叠子问题和最 优子结构的问题。在运输问题中，动态规划模型通常用于 解决具有时间序列或阶段性的运输问题。
动态规划模型将运输问题分解为一系列的子问题，并逐一 解决这些子问题以找到最优解。
启发式算法
启发式算法是一种基于经验或直观的 算法，用于在可接受的时间内找到近 似最优解。在运输问题中，启发式算 法通常用于解决大规模或复杂的运输 问题。
注意事项：载重优化需要考虑货物的特 点和限制条件，如易碎、易燃、易腐蚀 等货物需要特殊处理，同时需要关注货 物的安全性和稳定性，防止发生意外事
故。
时间优化
总结词
时间优化是运输问题中的关键策略，通过合理安排运输时间，降低运输延迟和提高运输效率。
详细描述
时间优化主要考虑如何将运输时间进行合理的安排和管理，以最小化运输延迟和提高运输效率。这需 要考虑运输需求的时间分布、交通状况、天气等多种因素，以及如何合理安排运输计划和调度。
分类
根据货物的需求量、运输能力、运输方式等因素，运输问题可以分为多种类型 ，如产销平衡运输问题、产销不平衡运输问题、多品种运输问题、多模式运输 问题等。
运输问题的特点
01
优化目标
最小化运输成本。
02
03
04
约束条件
货物的需求量、运输能力、时 间限制等。
决策变量
每个运输路线的运输量。
线性规划
运输问题的目标函数和约束条 件都是线性的，可以使用线性
04
运输问题的优化策略
路径优化
总结词
路径优化是运输问题中常用的策略，通 过合理规划运输路线，降低运输成本和 时间。
VS
详细描述
路径优化主要考虑如何选择最佳的运输路 径，以最小化运输时间和成本。这需要考 虑路况、距离、交通状况等多种因素，以 及如何合理安排车辆和人员，确保运输效 率最大化。
运筹学中的运输问题课件PPT
由于运输量经常以卡车、集装箱等为单 位，如果卡车不能装满的话，就很不经 济了。整数解性质就避免了运输量（运 输方案）为小数的麻烦。
2021/3/10
12
2021/3/10
13
（3）销大于产（供不应求）运输问题
（以满足小的产量为准） i
j=
2021/3/10
14
2 运输问题数学模型和电子表格模型
例2 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供 10，15，25，20台同一规格的柴油机。已知该厂各 季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表所示。 如果生产出来的柴油机当季不交货的，每台每积压 一个季度需储存、维护等费用1500元。要求在完成 合同的情况下，做出使该厂全年生产（包括储存、 维护）费用最小的决策。
各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本
季度 生 产 能 力 （ 台 ） 单位成本（万元）
1 25
10.8
2 35
11.1
3 30
11.0
4 10
11.3
2021/3/10
15
2 运输问题数学模型和电子表格模型
解：这是一个生产与储存（库存）问题，可以转化为 运输问题来做。
由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季交货，
(1)决策变量
设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量(i＝1,2,3;j=1,2,3,4) （2）目标函数
本问题的目标是使得总运输费最小
Min z =3x11 + 11x12 + 3x13 + 10 x14
+ x21 + 9 x22 + 2 x23 + 8 x24
+ 7 x31 + 4 x32 + 10 x33 + 5 x34
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（3）销大于产（供不应求）运输问题
（以满足小的产量为准） i
j=
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2 运输问题数学模型和电子表格模型
例2 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供 10，15，25，20台同一规格的柴油机。已知该厂各 季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表所示。 如果生产出来的柴油机当季不交货的，每台每积压 一个季度需储存、维护等费用1500元。要求在完成 合同的情况下，做出使该厂全年生产（包括储存、 维护）费用最小的决策。
各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本
季度 生 产 能 力 （ 台 ） 单位成本（万元）
1 25
10.8
2 35
11.1
3 30
11.0
4 10
11.3
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2 运输问题数学模型和电子表格模型
解：这是一个生产与储存（库存）问题，可以转化为 运输问题来做。
由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季交货，
(1)决策变量
设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量(i＝1,2,3;j=1,2,3,4) （2）目标函数
本问题的目标是使得总运输费最小
Min z =3x11 + 11x12 + 3x13 + 10 x14
+ x21 + 9 x22 + 2 x23 + 8 x24
+ 7 x31 + 4 x32 + 10 x33 + 5 x34
人教版高中地理必修2第五章第一节交通运输方式和布局(共15张PPT)
和完善我们国内重要通道的交通基础设施，构建通 江达海，连接东西的运输大通道，做好与境外通道
的衔接，我国绘就的“一带一路”蓝图一定会实现。
再见！
2. 对比五种交通运输方式的优缺点。在各种社会经济活动 中如何选取各种交通运输方式？
任务
选择方式理由参与亚投行国Fra bibliotek首脑在 北京开会
中亚石油输入中国
江西瓷器出口到南亚
新疆棉花运入 上海
3. 在选择交运输方式时我们要考虑哪些因素？并举
例说明。
运费
运量
速度 ……
4. 新疆在构建综合交通运输网络方面做了哪些积 极的努力？为什么新疆在“一带一路”构想中成 为对外联系的桥头堡？
第五章 交通运输布局及其影响
第一节 交通运输方式和布局
一 主要交通运输方式和布局
案例1：以一带一路为例，研究主要的交通运输方
式和布局
一带，指的是“丝绸之路经济带”，是在陆地。
它“有一三路个”，走指向的，是从“中2国1世出纪发海：上丝绸之路”，重点方向是两条： 一一是是经从中中亚国、沿俄海罗港斯到口达过欧南洲海到印度洋，延伸至欧洲； ；二二是是从经中中国亚沿、海西港亚口至过波南斯海湾到、南地太中平海洋；。
一是从中国沿海港口过南海到印度洋，延伸至欧洲； 一带，指的是“丝绸之路经济带”，是在陆地。 三是中国到东南亚、南亚、印度洋。 一 主要交通运输方式和布局 二是从中国沿海港口过南海到南太平洋。 对比五种交通运输方式的优缺点。 沪通长江大桥的建设说明现代化交通运输发展方向是什么？
它有三个走向，从中5国.出发与： 新疆对比福建在“一带一路”构想中有哪些交通方面
的优势？ 其中，政策沟通是重要保障，基础设施互联互通是优先领域。
一带，指的是“丝绸之路经济带”，是在陆地。 对比五种交通运输方式的优缺点。 一带，指的是“丝绸之路经济带”，是在陆地。 其中，政策沟通是重要保障，基础设施互联互通是优先领域。 既首先要完成交通等基础设施的建设。 一 主要交通运输方式和布局
的衔接，我国绘就的“一带一路”蓝图一定会实现。
再见！
2. 对比五种交通运输方式的优缺点。在各种社会经济活动 中如何选取各种交通运输方式？
任务
选择方式理由参与亚投行国Fra bibliotek首脑在 北京开会
中亚石油输入中国
江西瓷器出口到南亚
新疆棉花运入 上海
3. 在选择交运输方式时我们要考虑哪些因素？并举
例说明。
运费
运量
速度 ……
4. 新疆在构建综合交通运输网络方面做了哪些积 极的努力？为什么新疆在“一带一路”构想中成 为对外联系的桥头堡？
第五章 交通运输布局及其影响
第一节 交通运输方式和布局
一 主要交通运输方式和布局
案例1：以一带一路为例，研究主要的交通运输方
式和布局
一带，指的是“丝绸之路经济带”，是在陆地。
它“有一三路个”，走指向的，是从“中2国1世出纪发海：上丝绸之路”，重点方向是两条： 一一是是经从中中亚国、沿俄海罗港斯到口达过欧南洲海到印度洋，延伸至欧洲； ；二二是是从经中中国亚沿、海西港亚口至过波南斯海湾到、南地太中平海洋；。
一是从中国沿海港口过南海到印度洋，延伸至欧洲； 一带，指的是“丝绸之路经济带”，是在陆地。 三是中国到东南亚、南亚、印度洋。 一 主要交通运输方式和布局 二是从中国沿海港口过南海到南太平洋。 对比五种交通运输方式的优缺点。 沪通长江大桥的建设说明现代化交通运输发展方向是什么？
它有三个走向，从中5国.出发与： 新疆对比福建在“一带一路”构想中有哪些交通方面
的优势？ 其中，政策沟通是重要保障，基础设施互联互通是优先领域。
一带，指的是“丝绸之路经济带”，是在陆地。 对比五种交通运输方式的优缺点。 一带，指的是“丝绸之路经济带”，是在陆地。 其中，政策沟通是重要保障，基础设施互联互通是优先领域。 既首先要完成交通等基础设施的建设。 一 主要交通运输方式和布局
运筹学 运输问题分解52页PPT
运筹学 运输问题分解
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 1ห้องสมุดไป่ตู้、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 1ห้องสมุดไป่ตู้、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
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供过于求：即产量大于销量时有
这两种情形都可以化为 ai
b
的形式来
j
求解
二.运输问题的模型
产销平衡问题模型
Min Z
cij xij
xij ai
j
(
p)
xij bj
i
xij 0
将约束方程式展开可得
x11
x1n x21
x2n
运输问题仍然是线性规划问题，可以用 线性规划法中的单纯形法来解决。但是：
1.运输问题所涉及的变量多，造成单纯 形表太大；
2.若把技术系数矩阵A中的0迭代成非0， 会使问题更加复杂。
以上两个原因使得我们不得不利用运输 问题的特点设计出它的特殊解法——表 上作业法。
表上作业法，实质上还是单纯形法。其步 骤如下：
x14+x24+x34=6 xij≥0 (i=1,2,3; j=1,2,3,4)
运输问题一般用表上作业
法求解，需建立表格模型：
A3 销量
9 3656
单位运价表
销地
产地
A1 A2 A3
B1 B2 B3 B4
3 11 3 10 19 2 8 7 4 10 5
给出初始调运方案最常用的方法 ——最小元素法
1.确定一个初始可行调运方案。可以通过 最小元素法、Vogel 法来完成；
2.检验当前可行方案是否最优，常用的方 法有闭回路法和位势法，用这两种方法 计算出检验数，从而判别方案是否最优；
3.方案调整，从当前方案出发寻找更好方 案，常采用闭回路法。
（Ⅰ）运输问题的常用解法： 最小元素法（确定初始方案）→闭回路法（检
3 11 3 10 39 4 8 1 2 10 5
销量 3 6 5 6
出现退化时，要在同时被划去的行列中 任选一个空格填0，此格作为有数字格。
2.检验（闭回路法:计算空格的检验数）
①找出任意空格的闭回路—除此空格外，其余顶点均 为有数格。如可找（ A1 B1 ）→ （ A1 B3 ） → （ A2 B3） →
用线性规划法处理此问题。
设由产地i到销地j的运量为xij， 模型为：
产销平衡表
销地
min z= 3x11+11x12+3x13+10x14 产地
B1 B2 B3 B4 产量
+x21 +9x22 +2x23 +8x24
A1
7
+7x31 +4x32+10x33+5x34
A2
4Hale Waihona Puke x11+x12+x13+x14=7 x21+x22+x23+x24=4 x31+x32+x33+x34=9 x11+x21+x31=3 x12+x22+x32=6 x13+x23+x33=5
n行
1
1
1 11
1 1
1
11 1
1
0
1 i行
1
pij
0
1
m
j行
1
1
1
0
0
1 i行
pij
0
1m
，
m
产量分别是 : a1，，am，
n个销售地B1，，Bn，销量分别是: b1，，bn，
m
n
产销平衡,即 ai bj ,由Ai B j的运价为cij。
i 1
j 1
问:应如何调运使总费用最省 ?
即求Ai B j的运量xij，使运费可达极小化。
2.产销不平衡问题
此时分为两种情形来考虑： 供不应求：即产量小于销量时有
销量 3 6 5 6
③计算出此空格的检验数σij,若σij≥０，则该方案为最
优方案，否则转３；
注：检验数的经济意义，以σ11为例，空格表示原方案中X11=0,
j行
0
0
0
ei
1
i行
0
0
pij ei em j
2.m+n个约束中有一个是多余的（因为其间含
有一个平衡关系式
ai bj ）
所以R(A)=m+n-1，即解的mn个变量中基变量
为m+n-1个。
三.运输问题的解法
闭回路:从方案中某一始格出发，沿同行或同 列前进，当遇到一个数字格时可以可转90度 或继续前进，按此方法进行，直到回到始点 的一个封闭曲线。同行或同列最多有两个点。
最小元素法中的退化情况
销地
销地
产地
B1 B2 B3 B4 产量
产地
B1 B2 B3 B4
A1
5 2 7 A1
A2
44
A2
A3
36
09
A3
第五章 运输问题
一.运输问题的一般提法 在经济建设中，经常碰到物资调拨中
的运输问题。 例如 煤、钢材、粮食、木材等物资，在全 国都有若干生产基地，分别将这些物资调 到各消费基地去，应如何制定A调1，， 运方案， 使总的运输费用最少？
运输问题的一般提法是：
1.产销平衡问题
已知:m个产地A1，，A
销地
销地
产地
B1 B2 B3 B4 产量
产地
B1 B2 B3 B4
A1
4 37
A1
A2
3
1
4
A2
A3
6
39
A3
3 11 3 10 19 2 8 7 4 10 5
销量 3 6 5 6
初始方案运费 Z0=3×1+6×4+4×3+1×2+3×10+3×5=86(元)
表上作业法要求，调运方案的数字格必须 为m+n-1个，且所有数字格不构成闭回路。一 般，用最小元素法给出的方案符合这一要求。
x11
x21
xm1 xm1
xmn
x12
x22
xm2
x1n
x2n
xmn
a1 a2
am b1 b2
bn
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
x11x12 x1n x21x22 x2n xm1xm2 xmn
1 1
m行
（ A2 B1 ）；
②计算出空格的检验数—等于闭回路上由此空格起奇
数顶点运价与偶数顶点运价的代数和。如σ11＝c11
-c13+c23-c21=1
销地
销地
产地
B1 B2 B3 B4 产量
产地
B1 B2 B3 B4
A1
4 37
A1
A2
3
1
4
A2
A3
6
39
A3
3 11 3 10 19 2 8 7 4 10 5
验当前方案）→闭回路法（方案调整） 以下面例题说明这种方法的具体步骤：
例12：某食品公司下设3个加工厂A1， A2，A3， 和4个门市部B1， B2，B3，B4。各加工厂每天的 产量、各门市部每天的销售量以及从各加工厂 到各门市部的运价如下表所示。 问：该公司应如何调运，在满足各门市部销 售需要的情况下，使得运费支出为最少？