电磁场与电磁波课后习题及答案七章习题解答
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故
而
该媒质在f=3GHz时可视为弱导电媒质，故衰减常数为
由 得
（2）对于弱导电媒质，本征阻抗为
而相位常数
故波长和相速分别为
（3）在x=0处，
故
则
故
7.12有一线极化的均匀平面波在海水( )中沿+y方向传播，其磁场强度在y=0处为
（1）求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出H的振幅为0.01A/m时的位置；（3）写出E(y,t)和H(y,t)的表示式。
解（1）
可见，在角频率 时，海水为一般有损耗媒质，故
（2）由 即 得
（3）
其复数形式为
故电场的复数表示式为
则
7.13在自由空间（z<0）内沿+z方向传播的均匀平面波，垂直入射到z=0处的导体平面上。导体的电导率 ， 。自由空间E波的频率f=1.5MHz，振幅为1V/m；在分界面(z=0)处，E由下式给出
《电磁场与电磁波》习题解答 第七章 正弦电磁波
7.1求证在无界理想介质内沿任意方向en（en为单位矢量）传播的平面波可写成 。
解Em为常矢量。在直角坐标中
故
则
而
故
可见，已知的 满足波动方程
故E表示沿en方向传播的平面波。
7.2试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。
解表征沿+z方向传播的椭圆极化波的电场可表示为
而
故
7.7海水的电导率 ，相对介电常数 。求频率为10kHz、100kHz、1MHz、10MHz、100MHz、1GHz的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。
解先判定海水在各频率下的属性
可见，当 时，满足 ，海水可视为良导体。此时
f=10kHz时
f=100kHz时
f=1MHz时
f=10MHz时
当f=100MHz以上时， 不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时，
题7.16图
解天线罩示意图如题7.16图所示。介质板的本征阻抗为 ，其左、右两侧媒质的本征阻抗分别为 和 。设均匀平面波从左侧垂直入射到介质板，此问题就成了均匀平面波对多层媒质的垂直入射问题。
设媒质1中的入射波电场只有x分量，则在题7.16图所示坐标下，入射波电场可表示为
而媒质1中的反射波电场为
与之相伴的磁场为
解以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式
与之相伴的电场为
由 得波长 和频率 分别为
则磁场和电场分别为
7.5一个在空气中沿 方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为
（1）求 和在 时， 的位置；（2）写出E的瞬时表示式。
解（1）
在t=3ms时，欲使Hz=0，则要求
若取n=0，解得y=899992.m。
解自由空间的相位常数
，故
在理想电介质中，相位常数 ，故
电介质中的波速则为
7.10在自由空间中，某均匀平面波的波长为12cm；当该平面波进入到某无损耗媒质时，波长变为8cm，且已知此时的 ， 。求该均匀平面波的频率以及无损耗媒质的 、 。
解自由空间中，波的相速 ，故波的频率为
在无损耗媒质中，波的相速为
式中
都是实数，故 也是实数。
反射波的电场为
可见，反射波的电场的两个分量的振幅仍相等，相位关系与入射波相比没有变化，故反射波仍然是圆极化波。但波的传播方向变为-z方向，故反射波也变为右旋圆极化波。而入射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。
透射波的电场为
式中， 是媒质2中的相位常数。可见，透射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。
故
（1）
无损耗媒质中的波阻抗为
（2）
联解式（1）和式（2），得
7.11一个频率为f=3GHz，ey方向极化的均匀平面波在 ，损耗正切 的非磁性媒质中沿 方向传播。求：（1）波的振幅衰减一半时，传播的距离；（2）媒质的本征阻抗，波的波长和相速；（3）设在x=0处的 ，写出H(x,t)的表示式。
解（1）
式中取
显然，E1和E2分别表示沿+z方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。
7.3在自由空间中，已知电场 ，试求磁场强度 。
解以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式
这是一个沿+z方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为 。与之相伴的磁场为
7.4均匀平面波的磁场强度H的振幅为 ，以相位常数30rad/m在空气中沿 方向传播。当t=0和z=0时，若H的取向为 ，试写出E和H的表示式，并求出波的频率和波长。
f=100MHz时
f=1GHz时
7.8求证：电磁波在导电媒质内传播时场量的衰减约为55dB/λ。
证明在一定频率范围内将该导电媒质视为良导体，此时
故场量的衰减因子为
即场量的振幅经过z=λ的距离后衰减到起始值的0.002。用分贝表示。
7.9在自由空间中，一列平面波的相位常数 ，当该平面波进入到理想电介质后，其相位常数变为 。设 ，求理想电介质的 和波在电介质中的传播速度。
7.15均匀平面波的电场振幅 ，从空气中垂直入射到无损耗的介质平面上（介质的 ），求反射波和透射波的电场振幅。
解
Fra Baidu bibliotek反射系数为
透射系数为
故反射波的电场振幅为
透射波的电场振幅为
7.16最简单的天线罩是单层介质板。若已知介质板的介电常数 ，问介质板的厚度应为多少方可使频率为3GHz的电磁波垂直入射到介质板面时没有反射。当频率分别为3.1GHz及2.9GHz时，反射增大多少？
对于z>0的区域，求 。
解
可见，在f=1.5MHz的频率该导体可视为良导体。故
分界面上的透射系数为
入射波电场的复数表示式可写为
则z>0区域的透射波电场的复数形式为
与之相伴的磁场为
则
7.14一圆极化波垂直入射到一介质板上，入射波电场为
求反射波与透射波的电场，它们的极化情况又如何？
解设媒质1为空气，其本征阻抗为 ；介质板的本征阻抗为 。故分界面上的反射系数和透射系数分别为
故媒质1中的总电场和总磁场分别为
（1）
同样，可写出媒质2中的总电场和总磁场
（2）
媒质3中只有透射波
（3）
在式（1）、（2）、（3）中，通常已知入射波电场振幅 ，而 、 、 和 为待求量。利用两个分界面①和②上的四个边界条件方程即可确定它们。
在分界面②处，即z=0处，应有 。由式（2）和（3）得
考虑到波长 ，故
因此，t=3ms时，Hz=0的位置为
（2）电场的瞬时表示式为
7.6在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m。当该电磁波进入某理想介质后，波长变为0.09m。设 ，试求理想介质的相对介电常数 以及在该介质中的波速。
解在自由空间，波的相速 ，故波的频率为
在理想介质中，波长 ，故波的相速为
而
该媒质在f=3GHz时可视为弱导电媒质，故衰减常数为
由 得
（2）对于弱导电媒质，本征阻抗为
而相位常数
故波长和相速分别为
（3）在x=0处，
故
则
故
7.12有一线极化的均匀平面波在海水( )中沿+y方向传播，其磁场强度在y=0处为
（1）求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出H的振幅为0.01A/m时的位置；（3）写出E(y,t)和H(y,t)的表示式。
解（1）
可见，在角频率 时，海水为一般有损耗媒质，故
（2）由 即 得
（3）
其复数形式为
故电场的复数表示式为
则
7.13在自由空间（z<0）内沿+z方向传播的均匀平面波，垂直入射到z=0处的导体平面上。导体的电导率 ， 。自由空间E波的频率f=1.5MHz，振幅为1V/m；在分界面(z=0)处，E由下式给出
《电磁场与电磁波》习题解答 第七章 正弦电磁波
7.1求证在无界理想介质内沿任意方向en（en为单位矢量）传播的平面波可写成 。
解Em为常矢量。在直角坐标中
故
则
而
故
可见，已知的 满足波动方程
故E表示沿en方向传播的平面波。
7.2试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。
解表征沿+z方向传播的椭圆极化波的电场可表示为
而
故
7.7海水的电导率 ，相对介电常数 。求频率为10kHz、100kHz、1MHz、10MHz、100MHz、1GHz的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。
解先判定海水在各频率下的属性
可见，当 时，满足 ，海水可视为良导体。此时
f=10kHz时
f=100kHz时
f=1MHz时
f=10MHz时
当f=100MHz以上时， 不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时，
题7.16图
解天线罩示意图如题7.16图所示。介质板的本征阻抗为 ，其左、右两侧媒质的本征阻抗分别为 和 。设均匀平面波从左侧垂直入射到介质板，此问题就成了均匀平面波对多层媒质的垂直入射问题。
设媒质1中的入射波电场只有x分量，则在题7.16图所示坐标下，入射波电场可表示为
而媒质1中的反射波电场为
与之相伴的磁场为
解以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式
与之相伴的电场为
由 得波长 和频率 分别为
则磁场和电场分别为
7.5一个在空气中沿 方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为
（1）求 和在 时， 的位置；（2）写出E的瞬时表示式。
解（1）
在t=3ms时，欲使Hz=0，则要求
若取n=0，解得y=899992.m。
解自由空间的相位常数
，故
在理想电介质中，相位常数 ，故
电介质中的波速则为
7.10在自由空间中，某均匀平面波的波长为12cm；当该平面波进入到某无损耗媒质时，波长变为8cm，且已知此时的 ， 。求该均匀平面波的频率以及无损耗媒质的 、 。
解自由空间中，波的相速 ，故波的频率为
在无损耗媒质中，波的相速为
式中
都是实数，故 也是实数。
反射波的电场为
可见，反射波的电场的两个分量的振幅仍相等，相位关系与入射波相比没有变化，故反射波仍然是圆极化波。但波的传播方向变为-z方向，故反射波也变为右旋圆极化波。而入射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。
透射波的电场为
式中， 是媒质2中的相位常数。可见，透射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。
故
（1）
无损耗媒质中的波阻抗为
（2）
联解式（1）和式（2），得
7.11一个频率为f=3GHz，ey方向极化的均匀平面波在 ，损耗正切 的非磁性媒质中沿 方向传播。求：（1）波的振幅衰减一半时，传播的距离；（2）媒质的本征阻抗，波的波长和相速；（3）设在x=0处的 ，写出H(x,t)的表示式。
解（1）
式中取
显然，E1和E2分别表示沿+z方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。
7.3在自由空间中，已知电场 ，试求磁场强度 。
解以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式
这是一个沿+z方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为 。与之相伴的磁场为
7.4均匀平面波的磁场强度H的振幅为 ，以相位常数30rad/m在空气中沿 方向传播。当t=0和z=0时，若H的取向为 ，试写出E和H的表示式，并求出波的频率和波长。
f=100MHz时
f=1GHz时
7.8求证：电磁波在导电媒质内传播时场量的衰减约为55dB/λ。
证明在一定频率范围内将该导电媒质视为良导体，此时
故场量的衰减因子为
即场量的振幅经过z=λ的距离后衰减到起始值的0.002。用分贝表示。
7.9在自由空间中，一列平面波的相位常数 ，当该平面波进入到理想电介质后，其相位常数变为 。设 ，求理想电介质的 和波在电介质中的传播速度。
7.15均匀平面波的电场振幅 ，从空气中垂直入射到无损耗的介质平面上（介质的 ），求反射波和透射波的电场振幅。
解
Fra Baidu bibliotek反射系数为
透射系数为
故反射波的电场振幅为
透射波的电场振幅为
7.16最简单的天线罩是单层介质板。若已知介质板的介电常数 ，问介质板的厚度应为多少方可使频率为3GHz的电磁波垂直入射到介质板面时没有反射。当频率分别为3.1GHz及2.9GHz时，反射增大多少？
对于z>0的区域，求 。
解
可见，在f=1.5MHz的频率该导体可视为良导体。故
分界面上的透射系数为
入射波电场的复数表示式可写为
则z>0区域的透射波电场的复数形式为
与之相伴的磁场为
则
7.14一圆极化波垂直入射到一介质板上，入射波电场为
求反射波与透射波的电场，它们的极化情况又如何？
解设媒质1为空气，其本征阻抗为 ；介质板的本征阻抗为 。故分界面上的反射系数和透射系数分别为
故媒质1中的总电场和总磁场分别为
（1）
同样，可写出媒质2中的总电场和总磁场
（2）
媒质3中只有透射波
（3）
在式（1）、（2）、（3）中，通常已知入射波电场振幅 ，而 、 、 和 为待求量。利用两个分界面①和②上的四个边界条件方程即可确定它们。
在分界面②处，即z=0处，应有 。由式（2）和（3）得
考虑到波长 ，故
因此，t=3ms时，Hz=0的位置为
（2）电场的瞬时表示式为
7.6在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m。当该电磁波进入某理想介质后，波长变为0.09m。设 ，试求理想介质的相对介电常数 以及在该介质中的波速。
解在自由空间，波的相速 ，故波的频率为
在理想介质中，波长 ，故波的相速为