圆锥曲线空间向量和试题

圆锥曲线与方程同步测试

一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分） 1.准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（ ）

A. 2

2y x =- B. 2

4y x =- C. 2

2y x =- D. 2

4y x =

2.曲线

221(6)106x y m m m +=<--与曲线22

1(59)59x y m m m

+=<<--的( ) A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同

3已知两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ）

A.

221169x y += B.2211612x y += C. 22143x y += D. 22134

x y +=

4．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近线的夹角为3π

，则双曲线的离心率为 （ ）

（A ）3 （B ）3 （C （D ）2

5. 双曲线

221(0)x y mn m n

-=≠的离心率为2, 有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合,则mn 的值为( ) A.

316 B.38 C.163 D.83

6. 设双曲线以椭圆22

1259

x y +=长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ ） A.2± B.43±

C.12±

D.34

± 7. 抛物线2

4y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A.

1716 B. 1516 C. 7

8

D. 0 8.直线y=x+3与曲线9

y 2-4x x ?=1交点的个数为 （ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

9过抛物线2

4y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）

A. 不存在

B. 有无穷多条

C. 有且仅有一条

D. 有且仅有两条

10.离心率为黄金比512的椭圆称为“优美椭圆”.设22

221(0)x y a b a b

+=>>是优美椭圆，

F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个顶点，则FBA ∠等于（ ） A.60 B.75 C.90 D.120

11.M 是2

y x =上的动点，N 是圆2

2

(1)(4)1x y ++-=关于直线x-y+1=0的对称曲线C 上的一点，则|MN|的最小值是（ ） A.

11

12

-101-31 12.点P(-3,1)在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左准线上，过点P 且方向向量为(2,5)

a =-的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A.

33 B.13 C.22 D.1

2

二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13.如果双曲线5x 2042

2

=-y 上的一点P 到双曲线右焦点的距离是3，那么P 点到左准线的距离是 。

14.以曲线y x 82

=上的任意一点为圆心作圆与直线x+2=0相切，则这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是_________.

15.设双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率[2,2]e ∈，则两条渐近线夹角的取值范围

是 .

16.如图，把椭圆22

12516

x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上

半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，

则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= .

三、解答题（本大题共6小题，共74分）

17.求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴且经过点（3，-2），一条渐近线的倾斜角为6

π

的双曲线方程。

18．已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）。 （1）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；

（2）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程。

19．P 为椭圆C ：()222210y x a b a b

+=>>上一点，A 、B 为圆O ：222

x y b +=上的两个不

同的点，直线AB 分别交x 轴，y 轴于M 、N 两点且0PA OA ?=，0PB OB ?=，O 为坐标原点.

（1）若椭圆的准线为25

3y =±，并且22

22

2516||||

a b OM ON +=，求椭圆C 的方程. （2）椭圆C 上是否存在满足0PA PB ?=的点P ？若存在，求出存在时a ,b 满足的条件；若不存在，请说明理由.

20(12分).如图，M 是抛物线2

y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且|MA|=|MB|.(1)若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；(2)若M 为动点，且90EMF ∠=，求EMF ?的重心G

的轨迹方程.

21． 已知双曲线C 的中点在原点，抛物线2

8y x =的焦点是双曲线C 的一个焦点，且双曲

线过点求双曲线C 的方程;(2) 设双曲线C 的左顶点为A ，右焦点为F ，在第一象限内任取双曲线上一点P ，试问是否存在常数(0)λλ>，使得PFA PAF λ∠=∠恒成立？并证明你的结论。 22．已知M(-3,0)﹑N(3,0),P 为坐标平面上的动点，且直线PM 与直线PN 的斜率之积为常数m(m ≥-1,m ≠0).(1)求P 点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？(2)若5

9

m =-, P 点的轨迹为曲线C,过点Q(2,0)斜率为1k 的直线

1与曲线

C 交于不同的两点A ﹑B,AB 中点为R,直线

OR(O 为坐标原点)的斜率为2k ，求证12k k 为定值；（3）在（2）的条件下，设QB AQ λ=，且[2,3]λ∈，求1在

y 轴上的截距的变化范围.

A

A 1

D

C

B B 1

C 1

图

空间向量与立体几何同步测试

说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代

号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝

2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）

A ．60°

B ．90°

C ．105°

D ．75°

2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝

4

1

1B A ，则BE 1

与DF 1所成角的余弦值是（ ）

A ．17

15

B ．

21

C ．

17

8 D ．

2

3 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、

A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）

A ．

10

30

B ．

2

1

C ．15

30

D ．10

15

4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =，则异面直线BD 和SC 之间的距离（ ）

A ．5

15 B ．5

5 C ．5

5

2 D ．

10

5 5．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧

棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ）

A ．a 42

B ．a 8

2图

图