平面向量与圆锥曲线的综合问题
高中数学圆锥曲线与向量的交汇(解析版)
圆锥曲线与向量的交汇一、考情分析平面向量与圆锥曲线的交汇是高考命题的一个显著特征,这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条件或结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相应转化.平面向量作为工具可以处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且时常出现在解答题中.二、解题秘籍(一)圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略1.设u 为直线l 的方向向量,若u =1,k ,则l 斜率为k ；若u =m .n (m ≠0),则l 斜率为n m；2.A 、B 、C 是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A 、B 、C 共线:①AB =λAC ;②OC=λOA +μOB 且λ+μ=1;③OC =(OA +λOB)/(1+λ)；④AB ∥AC .3.A 、B 、C 是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C 为线段AB 的中点:①AC =CB ;②OC =12(OA +OB ).4.在四边形ABCD 中,若AB ∙AC =0,则AB ⊥AC ;若∣AB +AD ∣=∣AB -AD ∣,则AB ⊥AD ;若AB∙AC =AD ∙AC,则AC ⊥BD .5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量a=x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 共线⇔x 1y 2-x 2y 1=0转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.6.圆锥曲线中两直线垂直问题,通常转化为两直线的方向向量的数量积为零,这样做可避免讨论直线的斜率是否存在.7.圆锥曲线中涉及数量积问题,通常利用数量积的坐标运算把所给条件转化为关于横(纵)坐标的表达式.【例1】(2023届黑龙江省鸡西市鸡东县高三上学期月考)已知两点M 0,-4 ,N 0,4 ,动点P 在x 轴的投影为Q ,且PM ⋅PN=3PQ 2,记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程.(2)过点F 26,0 的直线与曲线C 在y 轴右侧相交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点H ,试问ABFH是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由.【解析】(1)设P x ,y ,则Q x ,0 ,PM =-x ,-4-y ,PN=-x ,4-y ,PQ =0,-y .因为PM ⋅PN=3PQ 2,所以x 2+y 2-16=3y 2,故C 的方程为x 216-y 28=1.(2)由题可知直线AB 的斜率一定存在,且不为0,不妨设直线AB 的方程为y =k x -26 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .联立方程组y =k (x -26)x 216-y 28=1,消去y 整理得1-2k 2 x 2+86k 2x -48k 2-16=0,则Δ=384k 4+1-2k 2 192k 2+64 >0x 1+x 2=-86k 21-2k 2>0x 1x 2=-48k 2-161-2k 2>0 ,整理得k 2>12.x 1+x 22=-46k 21-2k 2,y 1+y 22=-26k1-2k 2,则线段AB 的垂直平分线的方程为y +26k 1-2k 2=-1k x +46k 21-2k 2,令y =0,得x =-66k 21-2k 2,则H -66k 21-2k 2,0,FH =26+66k 21-2k 2=261+k 2 1-2k 2.AB =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⋅-86k 21-2k 2 2-4⋅-48k 2-161-2k 2=1+k 2⋅384k 41-2k 2 2+192k 2+64 1-2k 21-2k 22=81+k 21-2k 2则AB FH =826=263.故AB FH是定值,该定值为263.(二)把点共线问题转化为向量共线此类问题通常是把点A ,B ,C 共线转化为AB =λBC,或点C 在直线AB 上.【例2】(2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右顶点分別为A 1,A 2,右焦点为F (1,0),且椭圆C 的离心率为12,M ,N 为椭圆C 上任意两点,点P 的坐标为(4,t )(t ≠0),且满足A 1M =λ1MP ,A 2N =λ2NP.(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：M ,F ,N 三点共线.【解析】(1)椭圆C 的右焦点为F (1,0),且离心率为12,∴a =2,c =1,则b 2=a 2-c 2=3,∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)由(1)知,A 1,A 2的坐标分别为(-2,0),(2,0),设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,∴A 1M =(x 1+2,y 1),A 1P =(6,t ),A 2N =(x 2-2,y 2),A 2P=(2,t ),∵A 1M =λ1MP ,A 2N =λ2NP ,∴A 1,M ,P 三点共线,A 2,N ,P 三点共线,即6y 1=t x 1+2 2y 2=t x 2-2 ,整理得3y 1y 2=x 1+2x 2-2,两边平方得9y 21y 22=x 1+2 2x 2-2 2,①又M ,N 在椭圆上,则y 21=3-34x 21y 22=3-34x 22,代入①并化简得2x 1x 2-5x 1+x 2 +8=0,又FM =(x 1-1,y 1),FN=(x 2-1,y 2),∴要证M ,F ,N 三点共线,只需证y 2x 1-1 =y 1x 2-1 ,即y 1y 2=x 1-1x 2-1,只需证x 1+23x 2-2=x 1-1x 2-1,整理得2x 1x 2-5x 1+x 2 +8=0,∴M ,F ,N 三点共线.(三)利用向量共线求双变量的关系式此类问题一般是给出形如b =λa ,d =μc的条件,确定关于λ,μ的等式,求解思路是利用两向量相等横坐标与纵坐标分别相等(注意一般情况下横坐标相等与纵坐标相等,使用一个即可,解题时哪一个简单使用哪一个),把λ,μ用其他变量(若点的横坐标或纵坐标)表示,再利用题中条件消去其他变量.【例3】(2023届甘肃省张掖市高三上学期检测)椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ,过椭圆左焦点F 1且垂直于x 轴的直线在第二象限与椭圆相交于点P ,椭圆的右焦点为F 2,已知tan ∠PF 2F 1=312,椭圆过点A 3,12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 2作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,交y 轴于M 点,若MA =λ1AF 2 ,MB =λ2BF 2,求证：λ1+λ2为定值．【解析】(1)依题可知：PF 1=b 2a ,tan ∠PF 2F 1=b 2a2c =a 2-c 22ac =312,所以12a 2-12c 2=23ac ,即6c a 2+3ca-6=0,解得c a =32又∵椭圆C 过点A 3,12 ,则3a 2+14b2=1联立a 2=b 2+c 2c a =323a 2+14b 2=1可得a =2b =1c =3,椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ,F 3,0 ,由题意可知,直线l 的斜率存在,可设直线l 的方程为y =k x -3 ,联立y =k x -3 x 24+y 2=1,可得4k 2+1 x 2-83k 2x +12k 2-4=0,由于点F 2在椭圆C 的内部,直线l 与椭圆C 必有两个交点,由韦达定理可得x 1+x 2=83k 24k 2+1,x 1⋅x 2=12k 2-44k 2+1,∵MA =λ1AF 2 ,MB =λ2BF 2,M 0,y 0 ,得x 1,y 1-y 0 =λ13-x 1,-y 1 ,x 2,y 2-y 0 =λ23-x 2,-y 2 ,∴λ1=x 13-x 1,λ2=x 23-x 2,∴λ1+λ2=x 13-x 1+x 23-x 2=3x 1+x 2 -2x 1x 23-3x 1+x 2 +x 1x 2=24k 2-212k 2-44k 2+13+12k 2-4 -24k24k 2+1=-8．(四)利用向量加法的几何意义构造平行四边形若点A ,B ,C .D 满足AB +AD =AC,则四边形ABCD 是平行四边形,涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用.【例4】(2023届四川省广安市岳池县高三上学期10月月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点M 3,12,左焦点F 1-3,0 .(1)求椭圆C 的方程；(2)过点D 0,3 作直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,点N 满足ON =OA+OB (O 为原点),求四边形OANB 面积的最大值.【解析】(1)设椭圆的焦距为2c ,则c =3,又因为椭圆经过点M 3,12 ,所以3a 2+14b2=1,又a 2-b 2=3 2∴c 2=3,a 2=4,b 2=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)因为ON =OA+OB ,所以四边形OANB 为平行四边形,当直线l 的斜率不存在时,显然不符合题意；当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =kx +3,l 与椭圆交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,由y =kx +3x 24+y 2=1⇒(1+4k 2)x 2+24kx +32=0.由Δ=242k 2-128(1+4k 2)>0⇒k 2>2.x 1+x 2=-24k 1+4k 2,x 1x 2=321+4k 2,∵S △OAB =12|OD ||x 1-x 2|=32|x 1-x 2|,∴S ▱OANB =2S △OAB =3|x 1-x 2|=3(x 1+x 2)2-4x 1x 2=3-24k 1+4k 2 2-4×321+4k 2=3242k 2-128(1+4k 2)(1+4k 2)2=24k 2-2(1+4k 2)2,令k 2-2=t ,则k 2=t +2(由上式知t >0),∴S ▱OANB =24t (4t +9)2=24172+16t +81t≤241144=2,当且仅当t =94,即k 2=174>2时取等号.∴当k =±172时,平行四边形OANB 的面积最大值为2.(五)把向量的数量积转化为代数式若圆锥曲线问题有用向量数量积给出的条件,通常是利用向量数量积的坐标运算进行转化.【例5】(2023届广东省荔湾区高三上学期10月调研)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F 2,0 ,O 为坐标原点,双曲线C 的两条渐近线的夹角为π3．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点F 作直线l 交C 于P ,Q 两点,在x 轴上是否存在定点M ,使MP ⋅MQ为定值？若存在,求出定点M 的坐标及这个定值；若不存在,说明理由．【解析】(1)双曲线x 2a 2-y 2b2=1的渐近线为y =±ba x ,又a >b >0,0<b a <1,故其渐近线y =b a x 的倾斜角小于π4,而双曲线C 的两条渐近线的夹角为π3,则渐近线的y =b a x 的倾斜角为π6,则b a =33,即a =3b ．又a 2+b 2=2,则a =3,b =1．所以双曲线C 的方程是x 23-y 2=1．(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =ty +2,代入x 23-y 2=1,得(ty +2)2-3y 2=3,即t 2-3 y 2+4ty +1=0．设点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,则y 1+y 2=-4t t 2-3,y 1y 2=1t 2-3．设点M m ,0 ,则MP ⋅MQ=x 1-m x 2-m +y 1y 2=ty 1+2-m ty 2+2-m +y 1y 2=t 2+1 y 1y 2+t 2-m y 1+y 2 +(2-m )2=t 2+1t 2-3-4t 22-m t 2-3+(2-m )2=m 2-3 t 2-3m 2-12m +11 t 2-3令3m 2-12m +11=3m 2-3 ,得m =53,此时MP ⋅MQ =m 2-3=-29．当直线l 与x 轴重合时,则点P ,Q 为双曲线的两顶点,不妨设点P -3,0 ,Q 3,0 ．对于点M 53,0 ,MP ⋅MQ =-3-53,0 ·3-53,0 =-29．所以存在定点M 53,0 ,使MP ⋅MQ =m 2-3=-29为定值．(六)把垂直问题转化为向量的数量积为零求解圆锥曲线中的垂直问题,通常可转化为向量的数量积为零,然后利用向量数量积的坐标运算进行转化,这种转化可避免讨论直线的斜率是否存在.【例6】已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ,椭圆C 上的点到F 的距离的最大值和最小值分别为2+3和2-3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若圆O :x 2+y 2=r 2的切线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,是否存在正数r ,使得OA ⊥OB ？若存在,求出r 的值；若不存在,请说明理由．【解析】(1)由题意可得,a +c =2+3a -c =2-3 ,解得a =2,c =3,则b 2=4-3=1,所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)假设存在正数r ,使得OA ⊥OB ,即使得OA ⋅OB=0,当直线l 的斜率不存在时,设直线l 的方程为x=t ,可得A t ,4-t 22 ,B t ,-4-t 22,因为OA ⋅OB =0,则有t 2-4-t 24=0,解得t =±255,又直线l 为圆O :x 2+y 2=r 2的切线,所以r =255；当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =kx +m (m ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立y =kx +m x 24+y 2=1,可得(1+4k 2)x 2+8km x +4(m 2-1)=0,则Δ=64k 2m 2-16(1+4k 2)(m 2-1)=16(4k 2-m 2+1)>0,所以4k 2-m 2+1>0,且x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4(m 2-1)1+4k 2,所以y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=kx 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2,因为OA ⋅OB =0,则y 1y 2x 1x 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2x 1x 2=-1,所以(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0,整理可得4k 2+4=5m 2,则m 21+k 2=45,所以|m |1+k 2=255,因为直线l 为圆O :x 2+y 2=r 2的切线,故原点(0,0)到y =kx +m 的距离为r =|m |1+k2=255,所以存在正数r =255,使得OA ⊥OB ．三、跟踪检测1.(2023届重庆市第八中学校高三上学期月考)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)一个顶点为A -2,0 ,直线l 过点Q 3,0 交双曲线右支于M ,N 两点,记△AMN ,△AOM ,△AON 的面积分别为S ,S 1,S 2.当l 与x 轴垂直时,S 1的值为152.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若l 交y 轴于点P ,PM =λMQ ,PN=μNQ ,求证：λ+μ为定值；(3)在(2)的条件下,若1625S =μS 1+mS 2,当5<λ≤8时,求实数m 的取值范围.【解析】(1)由题意得a =2,OA =2,则当l 与x 轴垂直时,不妨设M 3,y 1 ,由S 1=12OA ⋅y 1 =152,得y 1 =152,将M 3,y 1 代入方程x 24-y 2b 2=1,得94-154b2=1,解得b 2=3,所以双曲线E 的方程为x 24-y 23=1．(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,P 0,y 0 ,由PM=λMQ 与Q 3,0 ,得x 1,y 1-y 0 =λ3-x 1,-y 1 ,即x 1=3λ1+λ,y 1=y 01+λ,将M 3λ1+λ,y 01+λ代入E 的方程得：3λ1+λ 24-y 01+λ 23=1,整理得：15λ2-24λ-4y 20-12=0①,同理由PN =μNQ 可得15μ2-24μ-4y 20-12=0②．由①②知,λ,μ是方程15x 2-24x -4y 20-12=0的两个不等实根．由韦达定理知λ+μ=2415=85,所以λ+μ为定值．(3)又1625S =μS 1+mS 2,即1625⋅12⋅AQ ⋅y 1-y 2 =μ12⋅2⋅y 1 +m ⋅12⋅2⋅y 2 ,整理得：85y 1-y 2 =μy 1 +m y 2 ,又y 1y 2<0,不妨设y 2<0<y 1,则85y 1-y 2 =μy 1-my 2,整理得m =85-85-μ y 1y 2,又λ+μ=85,故m =85-λy 1y 2,而由(2)知y 1=y 01+λ,y 2=y 01+μ,故y 1y 2=1+μ1+λ,代入m =85-λ⋅1+μ1+λ=85-λ135-λ 1+λ,令1+λ=t t ∈6,9 ,得m =85-t -1 185-t t =-3+t +185t,由双勾函数y =t +185t 在6,9 上单调递增,得m =-3+t +185t ∈185,325 ,所以m 的取值范围为185,325．2.(2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考)已知椭圆中有两顶点为A -1,0 ,B 1,0 ,一个焦点为F 0,1 .(1)若直线l 过点F 且与椭圆交于C ,D 两点,当CD =322时,求直线l 的方程；(2)若直线l 过点T 0,t t ≠0 且与椭圆交于C ,D 两点,并与x 轴交于点P ,直线AD 与直线BC 交于点Q ,当点P 异A ,B 两点时,试问OP ⋅OQ是否是定值？若是,请求出此定值,若不是,请说明理由.【解析】(1)∵椭圆的焦点在y 轴上,设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0),由已知得b =1,c =1,所以a =2,椭圆的方程为y 22+x 2=1,当直线l 与x 轴垂直时与题意不符,设直线l 的方程为y =kx +1,C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ,将直线l 的方程代入椭圆的方程化简得k 2+2 x 2+2kx -1=0,则x 1+x 2=-2k k 2+2,x 1⋅x 2=-1k 2+2,∴CD =1+k 2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2⋅-2k k 2+2 2+4⋅1k 2+2=22(k 2+1)k 2+2=322,解得k =±2.∴直线l 的方程为y =±2x +1；(2)当l ⊥x 轴时,AC ⎳BD ,不符合题意,当l 与x 轴不垂直时,设l ：y =kx +t ,则P -tk,0 ,设C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ,联立方程组y =kx +tx 2+y 22=1得2+k 2 x 2+2ktx +t 2-2=0,∴x 1+x 2=-2kt 2+k 2,x 1x 2=t 2-22+k 2,又直线AD ：y =y 2x 2+1(x +1),直线BC ：y =y 1x 1-1(x -1),由y =y 2x 2+1(x +1)y =y 1x 1-1(x -1)可得y 2x 2+1(x +1)=y 1x 1-1(x -1),即kx 2+t x 2+1(x +1)=kx 1+t x 1-1(x -1),kx 2+t x 1-1 (x +1)=kx 1+t x 2+1 (x -1),kx 1x 2-kx 2+tx 1-t x +1 =kx 1x 2+kx 1+tx 2+t x -1 ,k x 1+x 2 +t x 2-x 1 +2t x =2kx 1x 2-k x 2-x 1 +t x 1+x 2 ,k ⋅-2kt 2+k 2+t x 2-x 1 +2t x =2k ⋅t 2-22+k 2-k x 2-x 1 +t ⋅-2kt 2+k 2,4t 2+k 2+t x 2-x 1 x =-4k 2+k2-k x 2-x 1 ,即t 42+k 2+x 2-x 1 x =-k 42+k 2+x 2-x 1 ,得x =-kt,∴Q 点坐标为Q -kt,y Q ,∴OP ⋅OQ =-t k ,0 ⋅-k t ,y Q =-t k-kt +0⋅y Q =1,所以OP ⋅OQ=1为定值.3.(2023届四川省成都市郫都区高三上学期检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32,短轴长为4．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点P 0,1 的直线交椭圆C 于A ,B 两点,求OA ⋅OB的取值范围．【解析】(1)∵e =c a =32,2b =4,∴b =2,又a 2=b 2+c 2,即a 2=4+34a 2,解得：a =4,c =23,∴椭圆的标准方程为x 216+y 24=1；(2)当直线AB 的斜率不存在时,AB :x =0,不妨设A 0,2 ,B 0,-2 ,则OA ⋅OB=-4当直线AB 的斜率存在时,设AB ：y =kx +1,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由x 216+y 24=1y =kx +1得4k 2+1 x 2+8kx -12=0,Δ=64k 2+484k 2+1 >0恒成立,故x 1+x 2=-8k 4k 2+1,x 1x 2=-124k 2+1,∴OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+1 kx 2+1=k 2+1 x 1x 2+k x 1+x 2 +1=k 2+1 -124k 2+1 -8k 24k 2+1+1=-12k 2-12-8k 2+4k 2+14k 2+1=-16k 2-114k 2+1=-4-74k 2+1∈-11,-4 ,综上：OA ⋅OB ∈-11,-4 ,故OA ⋅OB的取值范围为-11,-4 ．4.(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期9月诊断测试)已知点B 、A 分别是椭圆Γ:x 24+y 23=1的左、右顶点,过Γ的右焦点F 作直线l 交Γ于M ,N 两点,(1)设直线AM ,AN ,BM 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,求k 1k 2和k2k 3的值；(2)若直线AM ,AN 分别交椭圆Γ的右准线于P ,Q 两点,证明：以PQ 为直径的圆经过定点.【解析】(1)由已知F (1,0),A (2,0),B (-2,0),直线l 的斜率不存在时,方程为x =1,不妨设M 1,32 ,N 1,-32,k 1=321-2=-32,同理k 2=32,k 3=321-(-2)=12,k 1k 2=-94,k2k 3=3,直线l 斜率存在时,设直线方程为y =k (x -1),设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由x 24+y 23=1y =k (x -1),得(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0,x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2,k 1=y 1x 1-2,k 2=y 2x 2-2,k 3=y 1x 1+2,k 1k 2=y 1y 2(x 1-2)(x 2-2)=k 2(x 1-1)(x 2-1)(x 1-2)(x 2-2)=k 2(x 1x 2-x 1-x 2+1)x 1x 2-2(x 1+x 2)+4=k 24k 2-123+4k 2-8k 23+4k 2+1 4k 2-123+4k 2-16k 23+4k 2+4=k 2(4k 2-12-8k 2+3+4k 2)4k 2-12-16k 2+12+16k 2=-94,k 2k 3=y 2(x 1+2)y 1(x 2-2)=k (x 2-1)(x 1+2)k (x 1-1)(x 2-2)=x 1x 2-x 1+2x 2-2x 1x 2-2x 1-x 2+2因为2x 1x 2-5(x 1+x 2)+8=2(4k 2-12)3+4k 2-40k 23+4k 2+8=0,所以x 1x 2-x 1+2x 2-2=3(x 1x 2-2x 1-x 2+2),所以k2k 3=3,综上,k 1k 2=-94,k2k 3=3；(2)由已知a =2,b =3,c =1,右准线方程为x =a 2c=4,由(1)知直线AM 方程为y =y 1x 1-2(x -2),令x =4得y P =2y 1x 1-2=2k 1,同理y Q =2y 2x 2-2=2k 2,由椭圆的对称性知,以PQ 为直径的圆有一个圆心x 轴上方的圆,则必定也有一个与之关于x 轴对称的圆,这两个圆的交点在x 轴上,以PQ 为直径的圆经过定点,这个定点必在x 轴上,设定点为G (t ,0),则GP ⋅GQ =0,由(1)得GP ⋅GQ=(4-t ,2k 1)⋅(4-t ,2k 2)=(4-t )2+4k 1k 2=(4-t )2-9=0,t =7或t =1,所以以PQ 为直径的圆经过定点(1,0),(7,0)．5.(2023届湖南省部分校高三上学期9月月考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为62,点A 6,4 在C 上.(1)求双曲线C 的方程.(2)设过点B 1,0 的直线l 与双曲线C 交于D ,E 两点,问在x 轴上是否存在定点P ,使得PD ⋅PE为常数？若存在,求出点P 的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为双曲线C 的离心率为62,所以62 2=1+b 2a2,化简得a 2=2b 2.将点A 6,4 的坐标代入x 22b 2-y 2b 2=1,可得18b 2-16b2=1,解得b 2=2,所以C 的方程为x 24-y 22=1.(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =k (x -1),联立方程组y =k x -1 ,x 24-y 22=1,消去y 得(1-2k 2)x 2+4k 2x -2k 2-4=0,由题可知1-2k 2≠0且Δ>0,即k 2<23且k 2≠12,所以x 1+x 2=-4k 21-2k 2,x 1x 2=-2k 2+41-2k 2.设存在符合条件的定点P t ,0 ,则PD =x 1-t ,y 1 ,PE=x 2-t ,y 2 ,所以PD ⋅PE=x 2-t x 1-t +y 1y 2=k 2+1 x 1x 2-t +k 2 x 1+x 2 +t 2+k 2.所以PD ⋅PE =k 2+1 -2k 2-4 +4k 2t +k 2 +t 2+k 2 1-2k 2 1-2k 2,化简得PD ⋅PE =k 2-2t 2+4t -5 +t 2-4-2k 2+1.因为PD ⋅PE 为常数,所以-2t 2+4t -5-2=t 2-41,解得t =134.此时该常数的值为t 2-4=10516,所以,在x 轴上存在点P 134,0 ,使得PD ⋅PE 为常数,该常数为10516.6.(2023届广东省茂名市高三上学期9月联考)如图,平面直角坐标系xOy 中,点Q 为x 轴上的一个动点,动点P 满足PO =PQ =32,又点E 满足PE =12EQ .(1)求动点E 的轨迹Γ的方程；(2)过曲线Γ上的点A x 0,y 0 (x 0y 0≠0)的直线l 与x ,y 轴的交点分别为M 和N ,且NA =2AM,过原点O 的直线与l 平行,且与曲线Γ交于B 、D 两点,求△ABD 面积的最大值.【解析】(1)由题意,设E x ,y ,P 12x ,y,由PO =PQ =32得Q x,0 ,且x 24+y 2=94,由PE =12EQ 得E 23x ,23y ,则x =23x y =23y ,得x =32x y =32y,代入x 24+y 2=94整理得x 24+y 2=1,故动点E 的轨迹Γ的方程为x 24+y 2=1.(2)如图,设A x 0,y 0 (x 0y 0≠0),又直线l 的斜率存在且k ≠0,∴设直线l 为：y -y 0=k x -x 0 ,可得：M x 0-y 0k,0 ,N 0,y 0-kx 0 ,由NA =2AM ,则x 0,kx 0 =2-y 0k ,-y 0 ,故x 0=-2y 0k,kx 0=-2y 0,联立x 204+y 20=1x 0=-2y 0k,可得：y 20=k 21+k 2,即y 0 =k 1+k 2,又BD ⎳l ,故直线BD 的方程为y =kx ,联立x 24+y 2=1y =kx,得：x 2=41+4k 2,即B 、D 的横坐标为±21+4k 2,∴BD =1+k 2x B -x D =41+k 21+4k 2,∵点A 到直线BD 的距离d =kx 0-y 0 1+k 2=3y 01+k 2=3k 1+k 2,∴S △ABD =12BD ⋅d =6k 1+4k 21+k 2=61+k 2 1+4k 2k 2=64k 2+1k2+5≤624k 2×1k2+5=2,当且仅当4k 2=1k2,即k =±22时等号成立,∴△ABD 面积的最大值为2.7.(2023届福建师范大学附属中学高三上学期月考)在平面直角坐标系xOy 中, 设点P -13,0 ,Q 13,0 ,点G 与P ,Q 两点的距离之和为43,N 为一动点, 点N 满足向量关系式：GN +GP +GQ =0 ．(1)求点N 的轨迹方程C ；(2)设C 与x 轴交于点A ,B (A 在B 的左侧), 点M 为C 上一动点(且不与A ,B 重合)．设直线AM ,x 轴与直线x =4分别交于点R ,S ,取E (1,0),连接ER ,证明：ER 为∠MES 的角平分线．【解析】(1)设点N (x ,y ),G (x ,y ),则由点G 与P ，Q 两点的距离之和为43>|PQ |=23,可得点G 的轨迹是以P ，Q 为焦点且长轴长为43的椭圆,其轨迹方程为94x 2+3y 2=1,由GN +GP +GQ =0 ,可得x =x 3，y =y 3,代入点G 的轨迹方程,可得：94x 3 2+3y 32=1,所以点N 的轨迹方程C ：x 24+y 23=1；(2)设点M (x 0，y 0),则ME :y =y 0x 0-1(x -1),即y 0x -(x 0-1)y -y 0=0,MA :y =y 0x 0+2(x +2),令x =4,得y =6y 0x 0+2,∴R 4，6y 0x 0+2,则点R 到直线ME 的距离为：d =4y 0-6y 0(x 0-1)x 0+2-y 0y 20+(x 0-1)2=|3y 0(4-x 0)|(x 0+2)y 20+(x 0-1)2=(12-3x 0)|y 0|(x 0+2)y 20+(x 0-1)2,要证ER 为∠MES 的角平分线,只需证d =|RS |,又|RS |=|y R |=6|y 0|x 0+2,∵y 0≠0,所以d =|RS |,当且仅当4-x 0y 20+(x 0-1)2=2,即(4-x 0)2=4[y 20+(x 0-1)2]时,又(x 0，y 0)在C 上,则x 204+y 203=1,即4y 20=12-3x 20,代入上式可得16-8x 0+x 20=12-3x 20+4x 20-8x 0+4恒成立,∴ER 为∠MES 的角平分线．8.(2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月诊断)如图,椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1((a >b >0),|A 1B 1|=7,F 1是椭圆C 的左焦点,A 1是椭圆C 的左顶点,B 1是椭圆C 的上顶点,且A 1F 1 =F 1O,点P (n ,0)(n ≠0)是长轴上的任一定点,过P 点的任一直线l 交椭圆C 于A ,B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在定点Q (x 0,0),使得QA ⋅QB为定值,若存在,试求出定点Q 的坐标,并求出此定值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知知a 2+b 2=7a -c =c a 2=b 2+c 2 ,解得a =2b =3c =1,所以椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)假设存在Q (x 0,0)满足题意,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),QA =(x 1-x 0,y 1),QB=(x 2-x 0,y 2),①当直线l 与x 轴不垂直时,设l ：y =k (x -n ),代入x 24+y 23=1并整理得(4k 2+3)x 2-8k 2nx +4k 2n 2-12=0∴x 1+x 2=8k 2n 4k 2+3,x 1x 2=4k 2n 2-124k 2+3QA ⋅QB=(x 1-x 0)(x 2-x 0)+y 1y 2=(x 1-x 0)(x 2-x 0)+k 2(x 1-n )(x 2-n )=(k 2+1)x 1x 2-(k 2n +x 5)(x 1+x 2)-x 20+k 2n 2=k 2+1 4k 2n 2-124k 2+3-k 2n +x 0 8k 2n 4k 2+3-x 20+k 2v 2=7n 2-8nx 0+4x 20-12 k 2+3x 20-124k 2+3 (*)(*)式是与k 无关的常数,则3(7n 2-8nx 0+4x 20-12)=4(3x 20-12)解得x 0=12n +7n 8,此时QA ⋅QB =x 20-4=12n +7n 82-4为定值；②当直线l 与x 垂直时,l :x =n ,A n ,31-n 24 ,B n ,-31-n 24,QA ⋅QB =(n -x 0)2-31-n 24 =x 20-4=12n +7n 82-4也成立,所以存在定点Q 12n +7n 8,0 ,使得QA ⋅QB =12n +7n 82-4为定值．9.(2023届北京市第四中学高三上学期开学测试)已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 过点1,32,离心率为32,点A 为其右顶点.过点B 1,0 作直线l 与椭圆C 相交于E 、F 两点,直线AE 、AF 与直线x =3分别交于点M 、N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求EM ⋅FN的取值范围.【解析】(1)由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),由题意,得1a 2+34b 2=1c a =32a 2=b 2+c 2,解得a 2=4,b 2=1,即椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)得A (2,0),设l :x =ty +1,E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),联立x =ty +1x 2+4y 2-4=0,得(ty +1)2+4y 2-4=0,即(t 2+4)y 2+2ty -3=0,则y 1+y 2=-2t t 2+4,y 1y 2=-3t 2+4,直线AE ,AF 的方程分别为y =y 1x 1-2(x -2),y =y 2x 2-2(x -2),令x =3,则M 3,y 1x 1-2 ,N 3,y 2x 2-2,则EM =3-x 1,y 13-x 1 x 1-2 =2-ty 1,y 12-ty 1 ty 1-1,FN =3-x 2,y 23-x 2 x 2-2 =2-ty 2,y 22-ty 2 ty 2-1,所以EM ⋅FN =2-ty 1 2-ty 1 +y 1y 22-ty 1 2-ty 2 ty 1-1 ty 2-1 =t 2y 1y 2-2t y 1+y 2 +4 1+y 1y 2t 2y 1y 2-t y 1+y 2 +1=-3t 2t 2+4+4t 2t 2+4+4 1+-3t 2+4-3t 2t 2+4+2t 2t 2+4+1 =5t 2+164(t 2+4)=5(t 2+4)-44(t 2+4)=54-1t 2+4因为t 2+4≥4,所以0<1t 2+4≤14,1≤54-1t 2+4<54,即EM ⋅FN 的取值范围为1,54 .10.(2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试)已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线,且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知D (2,0),E ,F 是双曲线C 上不同于D 的两点,且DE ⋅DF=0,DG ⊥EF 于G ,证明：存在定点H ,使|GH |为定值.【解析】(1)因为双曲线C 与已知双曲线有相同的渐近线,设双曲线C 的标准方程为x 2-4y 2=λ代入点A 坐标,解得λ=4所以双曲线C 的标准方程为x 24-y 2=1(2)(i )当直线EF 斜率存在时,设EF :y =kx +m ,设E x 1,y 1 F x 2,y 2 ,联立y =kx +m 与双曲线x 24-y 2=1,化简得4k 2-1 x 2+8km x +4m 2+1 =0,Δ=(8km )2-44m 2+4 4k 2-1 >0,即4k 2-m 2-1<0,则有x 1+x 2=-8km4k 2-1x 1x 2=4m 2+44k 2-1,又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2,因为DE ⋅DF=x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0,所以k 2+1 ⋅x 1x 2+km -2 ⋅x 1+x 2 +m 2+4=0,所以k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+km -2 ⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0,化简,得3m 2+16km +20k 2=0,即3m +10k m +2k =0,所以m 1=-2k ,m 2=-103k ,且均满足4k 2-m 2-1<0,当m 1=-2k 时,直线l 的方程为y =k x -2 ,直线过定点2,0 ,与已知矛盾,当m 2=-103k 时,直线l 的方程为y =k x -103,过定点103,0 (ii )当直线EF 斜率不存在时,由对称性不妨设直线DE ：y =x -2,与双曲线C 方程联立解得x E =x F =103,此时EF 也过点M 103,0 ,综上,直线EF 过定点M 103,0 .由于DG ⊥EF ,所以点G 在以DM 为直径的圆上,H 为该圆圆心,GH 为该圆半径,所以存在定点H 83,0,使GH 为定值23.11.(2023届四川省达州市开江县高三上学期考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，F 1、F 2为椭圆C 的左、右焦点,过点F 1的任意直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,且△ABF 2的周长为8,椭圆C 的离心率为12.(1)椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的任一点,PM 、PN 为过焦点F 1、F 2的弦,且PF 1 =λ1F 1M ，PF 2 =λ2F 2N,求λ1+λ2的值.【解析】(1)由题意可知, △ABF 2的周长为AF 1+AF 2+BF 1+BF 2=4a =8.所以a =2,又c a =12,所以c =1,则b =3,所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)不妨令P x 0，y 0 ，M x 1，y 1 ，N x 2，y 2 .所以x 204+y 203=1,即3x 20+4y 20=12.当y 0≠0时,不妨设直线PM 为x =m 1y -1,其中m 1=x 0+1y 0.直线PN 为x =m 2y +1,其中m 2=x 0-1y 0.联立方程3x 2+4y 2=12x =m 1y -1 ,得3m 21+4 y 2-6m 1y -9=0.所以y 0y 1=-93m 21+4,即1y 1=3m 21+4 y 0-9.同理可得：1y 2=3m 22+4 y 0-9.又PF 1 =λ1F 1M ，PF 2 =λ2F 2M .所以λ1y 1+y 0=0λ2y 2+y 0=0.则λ1+λ2=-y 01y 1+1y 2=y 2093m 21+m 22 +8 =y 203m 21+m 22 +8y 209=13m 1y 0 2+m 2y 0 2+8y 209=13x 0+1 2+x 0-1 2+8y 209=293x 20+4y 20 +23=103,综上所述,λ1+λ2=103.12.(2022届上海市普陀区高三一模)已知点M x ,y 与定点F 1,0 的距离是点M 到直线x -2=0距离的22倍,设点M 的轨迹为曲线Γ,直线l :x +my +1=0m ∈R 与Γ交于A 、B 两点,点C 是线段AB 的中点,P 、Q 是Γ上关于原点O 对称的两点,且PO =λOCλ>0 .(1)求曲线Γ的方程；(2)当λ=3时,求直线l 的方程；(3)当四边形PAQB 的面积S =6时,求λ的值.【解析】(1)由题意可得x -12+y 2x -2=22,化简可得x 22+y 2=1,因此,曲线Γ的方程为x 22+y 2=1.(2)设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ,联立x +my +1=0x 22+y 2=1,可得m 2+2 y 2+2my -1=0,Δ=4m 2+4m 2+2 =8m 2+1 >0,由韦达定理可得y 1+y 2=-2m m 2+2,y 1y 2=-1m 2+2,则y 1+y 22=-m m 2+2,x 1+x 22=-m ⋅y 1+y 22-1=-2m 2+2,所以点C 的坐标为-2m 2+2,-mm 2+2,因为PO =3OC =-23m 2+2,-3m m 2+2,可得点P 23m 2+2,3m m 2+2 ,将点P 的坐标代入曲线Γ的方程得6+3m 2m 2+22=3m 2+2=1,解得m =±1,因此,直线l 的方程为x ±y +1=0.(3)由(2)可得PO =λOC =-2λm 2+2,-λm m 2+2 ,则点P 2λm 2+2,λmm 2+2,则点Q -2λm 2+2,-λmm 2+2,因为点P 在曲线Γ上,则2λ2+λ2m 2m 2+22=1,可得λ2=m 2+2,因为λ>0,则λ=m 2+2≥2,点P 到直线l 的距离为d 1=2λ+λm 2m 2+2+1m 2+1=λ+1m 2+1,点Q 到直线l 的距离为d 2=-2λ+λm 2m 2+2+1m 2+1=λ-1m 2+1,AB =1+m 2⋅y 1+y 2 2-4y 1y 2=1+m 2⋅-2m m 2+2 2+4m 2+2=22m 2+1 m 2+2,所以,S =12AB ⋅d 1+d 2 =12×22m 2+1 m 2+2×2λm 2+1=22⋅λ2-1λ=6,因为λ>0,解得λ=2.13.(2022届内蒙古赤峰市高三上学期11月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦点恰为椭圆D :x 24+y 23=1长轴的端点,且C 的短轴长为2(1)求椭圆C 的方程．(2)若直线l 与直线y =2x -1平行,且l 与C 交于A ,B 两点,M 1,0 ,求MA ⋅MB的最小值．【解析】(1)由椭圆D :x 24+y 23=1,可得其长轴的端点分别为(-2,0),(2,0),根据题意,可得a 2-b 2=42b =2 ,解得a 2=5,b 2=1,故C 的方程为x 25+y 2=1．(2)设直线l 的方程为y =2x +m m ≠-1 ,联立方程组x 25+y 2=1y =2x +m,整理得21x 2+20mx +5m 2-5=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 1+x 2=-20m 21,x 1x 2=5m 2-521,且Δ=400m 2-845m 2-5 =2021-m 2 >0,解得m 2<21且m ≠-1所以MA ⋅MB=x 1-1 x 2-1 +y 1y 2=x 1x 2-x 1+x 2 +1+2x 1+m 2x 2+m=5x 1x 2+(2m -1)x 1+x 2 +m 2+1=25m 2-25-40m 2+20m +21m 2+2121=6m 2+20m -421因为6m 2+20m -4=6m +53 2-623,其中m 2<21且m ≠-1,所以当m =-53时,6m 2+20m -4取得最小值,且最小值为-623,故MA ⋅MB 的最小值为-6263．14.(2022届辽宁省大连市高三上学期期中)在平面直角坐标系xOy 中,点D ,E 的坐标分别为-2,0 ,2,0 ,P 是动点,且直线DP 与EP 的斜率之积等于-14.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知直线y =kx +m 与椭圆：x 24+y 2=1相交于A ,B 两点,与y 轴交于点M ,若存在m 使得OA +3OB =4OM,求m 的取值范围.【解析】(1)设P x ,y ,则k EP ⋅k DP =y x -2⋅y x +2=-14x ≠±2 ,所以可得动点P 的轨迹C 的方程为x24+y 2=1x ≠±2 .(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又M 0,m ,由OA +3OB =4OM得x 1+3x 2,y 1+3y 2 =0,4m ,x 1=-3x 2联立y =kx +m x 24+y 2=1可得4k 2+1 x 2+8km x +4m 2-4=0∵Δ=(8km )2-4×(4k 2+1)×(4m 2-4)>0,即64k 2-16m 2+16>0∴4k 2-m 2+1>0,且x 1+x 2=-8km4k 2+1x 1x 2=4m 2-44k 2+1, 又x 1=-3x 2∴x 2=4km 4k 2+1,则x 1⋅x 2=-3x 22=4km 4k 2+1 2=4m 2-44k 2+1,∴16k 2m 2-4k 2+m 2-1=0,∴k 2=m 2-14-16m 2代入4k 2-m 2+1>0得m 2-11-4m 2+1-m 2>0,14<m 2<1,解得m ∈-1,-12 ∪12,1 .∴m 的取值范围是-1,-12 ∪12,1 15.(2022届河北省邢台市“五岳联盟”部分重点学校高三上学期12月联考)已知点F 1,F 2是已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点,点P 在椭圆上,当∠PF 1F 2=π3时,△PF 1F 2面积达到最大,且最大值为3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过F 2的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,且两点与左右顶点不重合,若F 1M =F 1A +F 1B,求四边形AMBF 1面积的取值范围.【解析】(1)由题可知,当点P 在短轴端点时,△PF 1F 2的面积最大,且为正三角形,∴bc =3,b =3c ,又a 2=b 2+c 2,由bc =3b =3c a 2=b 2+c 2,解得a =2b =3c =1,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,AB :x =my +1,则由x =my +1x 24+y 23=1,可得3(my +1)2+4y 2=12,即3m 2+4 y 2+6my -9=0,Δ=36m 2+363m 2+4 =144m 2+1 >0,又因为F 1M =F 1A +F 1B,所以四边形AMBF 1是平行四边形,设平面四边形AMBF 1的面积为S ,则S =2S △ABF 1=2×12F 1F 2 ×y 1-y 2 =2×12F 1F 2 ×y 1+y 22-4y 1y 2=2×144m 2+13m 2+4=24×m 2+13m 2+4.设t =m 2+1,则m 2=t 2-1(t ≥1),所以S =24×t 3t 2+1=24×13t +1t 因为t ≥1,而对勾函数y =3t +1t 在[1,+∞)上单调递增,所以3t +1t≥4,所以S ∈(0,6].所以四边形AMBF 1面积的取值范围为(0,6].16.(2022届四川省成都市高三上学期期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ,右焦点为F ,过点A 作斜率为33的直线与C 相交于A ,B ,且以AO 为直径的圆过点B ,其中O 为坐标原点.(1)求椭圆的离心率e ；(2)若b =1,过点F 作与直线AB 平行的直线l ,l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点.①求k OP ⋅k OQ 的值；②点M 满足2OM =OP ,直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ,求NMNQ的值.【解析】(1)依题意,如图,△ABO ,∠ABO =π2,OA =a ,∠BAO =π6,OB =a 2,则B -a 4,3a4,而点B 在椭圆C 上,于是得：a 216a 2+3a 216b 2=1,整理得a 2=5b 2,即a =5b ,c =a 2-b 2=2b ,所以椭圆的离心率e =c a =255.(2)①由(1)及b =1得,a =5,椭圆C 的方程为x 25+y 2=1,而直线l 与直线AB 平行,则直线l 的方程为x =3y +2,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,由x =3y +2x 2+5y 2=5消去x 得：8y 2+43y -1=0,显然�>0于是得y 1+y 2=-32,y 1y 2=-18,x 1x 2=(3y 1+2)(3y 2+2)=3y 1y 2+23(y 1+y 2)+4=58,所以k OP ⋅k OQ =y 1y 2x 1x 2=-15.②因2OM =OP ,由①得M x 12,y 12 ,设N x 3,y3 ,NM NQ=λ(0<λ<1),则NM =λNQ ,NM =x 12-x 3,y 12-y 3 ,NQ =x 2-x 3,y 2-y 3 ,x 12-x 3=λx 2-x 3 y 12-y 3=λy 2-y 3 ,即x 1-2λx 2=2(1-λ)x 3y 1-2λy 2=2(1-λ)y 3 ,解得x 3=12(1-λ)x 1-2λx 2 y 3=12(1-λ)y 1-2λy 2,而P ,Q ,N 都在椭圆上,即x 21+5y 21=5,x 22+5y 22=5,x 23+5y 23=5,x 1-2λx 2 24(1-λ)2+5⋅y 1-2λy 2 24(1-λ)2=5,整理得：x 21+5y 21+4λ2x 22+5y 22 -4λx 1x 2+5y 1y 2 =20(1-λ)2,由①可知x 1x 2+5y 1y 2=0,则有1+4λ2=4(1-λ)2,解得λ=38,所以NM NQ 的值是38.17.(2022届广东省江门市高三上学期10月月考)设i ,j分别是平面直角坐标系中x ,y 轴正方向上的单位向量,若向量a =(x +2)i +yj ,b =(x -2)i +yj ,且a+b =8,其中x ,y ∈R .(1)求动点M (x ,y )的轨迹E 的方程；(2)过点(3,0)作直线l 与轨迹E 交于A ,B 两点,设OP =OA+OB ,是否存在直线l ,使得四边形OAPB 是矩形？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,试说明理由.【解析】(1)由题意得a=(x +2,y ),b =(x -2,y ),∴a+b =8,∴(x +2)2+y 2+(x -2)2+y 2=8,设F 1(-2,0),F 2(2,0),则动点M 满足MF 1 +MF 2 =8>F 1F 2 =4,由椭圆的定义可知动点M 的轨迹是以F 1(-2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆,设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则2a =8,2c =4,∴a =4,c =2,b 2=42-22=12,故轨迹E 的方程为x 216+y 212=1(2)存在满足条件的直线l .设直线l 的方程为x =ky +3,由方程组x =ky +3x 216+y 212=1,消去x ,整理得：(3k 2+4)y 2+18ky -21=0则Δ=(18k )2+84(3k 2+4)>0恒成立,即直线l 与椭圆E 恒有两个不同的交点,设交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=-18k 3k 2+4①,y 1⋅y 2=-213k 2+4②由OP =OA +OB 得OP -OA=OB ,即AP =OB ,∴四边形OAPB 为平行四边形若存在直线l 使四边形OAPB 为矩形,则OA ⊥OB ,OA⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=0即(ky 1+3)(ky 2+3)+y 1y 2=(k 2+1)y 1y 2+3k (y 1+y 2)+9=0③将①､②代入③式得：-18k (k 2+1)3k 2+4-54k 23k 2+4+9=0,解得k =±54,所以直线l 的方程为x =±54y +3,此时四边形OAPB 为矩形.18.过双曲线Γ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F 1的动直线l 与Γ的左支交于A ,B 两点,设Γ的右焦点为F 2.(1)若△ABF 2是边长为4的正三角形,求此时Γ的标准方程；(2)若存在直线l ,使得AF 2⊥BF 2,求Γ的离心率的取值范围.【解析】(1)依题意,结合双曲线的对称性得AF 1 =2,AF 2 =4,F 1F 2 =23,所以2a =|AF 2|-|AF 1|=2,a =1,2c =F 1F 2 =23,c =3,b 2=c 2-a 2=2,此时Γ的标准方程为x 2-y 22=1.(2)依题意知直线l 的斜率不为0,设l 的方程为x =my -c ,联立x =my -c x 2a 2-y 2b2=1,消去x ,得(b 2m 2-a 2)y 2-2b 2cm y +b 4=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=2b 2cm b 2m 2-a 2,y 1y 2=b 4b 2m 2-a 2, 由AF 2⊥BF 2得AF 2 ⋅BF 2=0,故(x 1-c )(x 2-c )+y 1y 2=0,即(my 1-2c )(my 2-2c )+y 1y 2=0,整理得m 2+1 y 1y 2-2cm y 1+y 2 +4c 2=0,即(m 2+1)b 4-4m 2c 2b 2+4c 2(b 2m 2-a 2)=0,则(m 2+1)b 4=4a 2c 2,所以m 2+1=4a 2c 2b4≥1,故4a 2c 2≥(c 2-a 2)2,所以c 4+a 4-6a 2c 2≤0,两边除以a 4,得e 4-6e 2+1≤0,解得3-22≤e 2≤3+22,又因为e >1,所以1≤e 2≤1+2 2,故1≤e ≤1+2,又A ,B 在左支且l 过F 1,所以y 1y 2<0,即b 4b 2m 2-a 2<0,故m 2<a 2b2,所以m 2+1=4a 2c 2b 4<a2b2+1,所以4a 2c 2<a 2b 2+b 4=b 2a 2+b 2 =b 2c 2,即4a 2<b 2=c 2-a 2,则5a 2<c 2,故e 2>5,即e >5,综上：5<e ≤1+2,即e ∈5,1+2 .。
专题四 平面向量与圆锥曲线综合应用
专题四 平面向量与圆 曲线 鬻 锥 曲线 冀 嚣
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！
⑤了解圆锥曲线的初步应用．
３ 矗鸯命 题规 律 ： ．
（ ） 面向量 常 以选 择题 、 １平 填空 题 及 与三 角 函 数 、 解析 几 何 、 体 几 何 等单 元 综 合 成 解答 题 的 ｉ 立 形式 出现． 主要 考 查平 面 向量 的概 念 、 质 、 何 意义 、 面 向量 的数 量积 、 面 向量 的坐 标 运算 和 性 几 平 平 几何 运算 等 ， 出向量 自身性 质 的考查 和 向量 工具 性 的考查 ． 突
ｉ
； 垂直的问题 ， 向量垂直的条件． 掌握
ｔ Βιβλιοθήκη 移公式． ⑦掌握正弦定理 、 余弦定理 ， 并能初步运用它们解斜三角形．
；
：
（） ２ 直线 ： ①理解直线的倾斜角和斜率的概念 ， 掌握过两点的直线的斜率公式． 掌握直线方程 的点斜式、
两点式 、 一般 式 ， 能根 据条 件熟 练地求 出直线 方程． 并
个向 ” 解成“ 个向 量分 两 量：
Ａ 外心 ．
麓
Ｂ ．内心
Ｃ 重心 ．
Ｄ 垂心 ．
（） １ 解法 一 （ 特例 法 ） ：
之和” ‘ 向量之： 或把‘ 两个 和 写 一 量” ” 成“ 个向 ． ：
（） ２ 掌握共线 （ 平行 ） ：
设 ＡＡ Ｃ是一个 直 角三 角形 ， ０为 斜 边 中点 ， Ｂ 则 日点 为 直 角顶 点 ， 这 时有 明 ＝Ｏ Ａ＋Ｏ Ｂ＋Ｏ ．ｍ：１ Ｃ，． ’ ． 解 法二 （ 接推 导 ） 直 ：
的数量积． 平面两点间的距离． 平移． ｉ 直线的倾斜角和斜率． 直线方程的点斜式和两点式． 直线方程的一般式． ｉ 两 条直 线平 行与 垂直 的条件 ． 两条 直线 的交 角． 点到 直线 的距离 ． ｉ 用二元一次不等式表示平面区域． 简单 的线性规划问题． ’
圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)
圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =， 即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠， 由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分） （III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分 由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。
直线圆锥曲线及向量的综合问题
直线圆锥曲线与向量的综合问题高考考什么知识要点：1．直线与圆锥曲线的公共点的情况00),(02=++⇒⎩⎨⎧==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线：直线：)0'''(2=++C y B y A 或 （1）没有公共点 → 方程组无解 （2）一个公共点 → 0,0)0)=∆≠→=→A ii A i 相切相交（3）两个公共点 → 0,0>∆≠A2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：1212AB x y y =-=- 3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4.几何与向量综合时可能出现的向量内容（1） 给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即 （7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。
（8）给出,等于已知是的平分线。
（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过的内心；（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在中，给出,等于已知是中边的中线;高考怎么考主要题型：1．三点共线问题；2．公共点个数问题；3．弦长问题；4．中点问题；5．定比分点问题；6．对称问题；7．平行与垂直问题；8．角的问题。
浙江省鄞州高级中学高三数学复习讲义平面向量与圆锥曲线的综合问题
平面向量与圆锥曲线的综合问题例１ 已知F １、F ２分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是第一象限内该数轴上的一点，1254PF PF •=-，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点M （0，２）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知2a =，1b =，c =∴1(F，2F ．设(,)P x y (0,0)x y >>．则22125(,,)34PF PF x y x y x y ⋅=---=+-=-，又2214x y +=，联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211342x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，P ． （Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩∴1221214x x k =+，1221614k x x k+=-+由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅> 22163(14)0k k -+>，2430k ->，得234k >．１又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>，∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k=+⋅+⋅-+++22212(1)21641414k k k k k +⋅=-+++224(4)014k k -=>+∴2144k -<<．２ 综１２可知2344k <<，∴k 的取值范围是33(2,)(,2)22-- 例２ 已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB 的内接圆（点C 为圆心）（I ）求圆C 的方程；（II ）设圆M 的方程为22(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF •的最大值和最小值．本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分１４分．（I ）解法一：设A B ，两点坐标分别为2112y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2222y y ⎛⎫⎪⎝⎭，，由题设知 222222222211122212()2222y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 解得221212y y ==，所以(63)A ，，(623)B -，或(63)A -，，(63)B ，． 设圆心C 的坐标为(0)r ，，则2643r =⨯=，所以圆C 的方程为22(4)16x y -+= 解法二：设A B ，两点坐标分别为11()x y ，，22()x y ，，由题设知22221122x y x y +=+．又因为2112y x =，2222y x =，可得22112222x x x x +=+．即1212()(2)0x x x x -++=．由10x >，20x >，可知12x x =，故A B ，两点关于x 轴对称，所以圆心C 在x 轴上．设C 点的坐标为(0)r ，，则A 点坐标为332r ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，于是有23322r ⎫=⨯⎪⎪⎝⎭，解得4r =，所以圆C 的方程为22(4)16x y -+=． （II ）解：设2ECF a ∠=，则2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===-．在Rt PCE △中，4cos ||||x PC PC α==，由圆的几何性质得 ||||17PC MC +=≤18+=，||||1716PC MC -=-=≥，所以12cos 23α≤≤，由此可得1689CE CF --≤≤．则CE CF 的最大值为169-，最小值为8-．例３ 已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ •=•．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．（１）已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值；（２）求MA MB 的最小值．解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP=(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2:4C y x =．（Ⅱ）（１）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，．由，1MA AF λ=2MB BF λ=得：1112y y m λ+=-2222y y m λ+=- 整理得：1121my λ=--2221my λ=--12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424mm =---0=解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ =得：()0FQ PQ PF +=，()()0PQ PF PQ PF ∴-+=220PQ PF ∴-=PQ PF ∴=所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =．（Ⅱ）（１）由已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，得120λλ<． 则：12MA AF MBBFλλ=-．…………１过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则有：11MA AA AFMB BB BF ==．…………２由１２得：12AF AF BFBF λλ-=，即120λλ+=． （Ⅱ）（２）解：由解法一，(2121M M MA MB y y y y =--221212(1)()M Mm y y y y y y =+-++2224(1)44m m m m =+-+⨯+224(1)4m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭22214(2)4216m m m ⎛=+++= ⎪ ⎪⎝⎭≥当且仅当221m m =，即1m =±时等号成立，所以MA MB 最小值为16．同步练习１ 设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=（ B ）Ａ．9Ｂ．6 Ｃ．４Ｄ．３２ 设12F F ，分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF •=，则12PF PF +=（ B ）AＢ．Ｄ． ３已知12F F 、是椭圆的两个焦点．满足1·2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C ）A ．（0，１） Ｂ．（0，21] Ｃ．（0，22） Ｄ．[22，１）４ 已知椭圆12222=+by a x 的左、右焦点分别为F １、F ２，且|F １F ２|=２c ，点A 在椭圆上，211F F AF ⋅=0221c AF AF =⋅，则椭圆的离心率e=（ ）Ａ．33 Ｂ．213- Ｃ．215- Ｄ．22 ５ P 是抛物线)1(212-=y x 上的动点，点A （0,—１），点M 满足2PM MA =，则点M 的轨迹方程是（ A ） A ）)31(612+=y x （B ）)31(612+=x y （C ）)31(312-=y x （D ）)1(312+-=y x6 .已知两点M （—２，0）、N （２，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为 （ B ）A.x y 82= Ｂ．x y 82-= C.x y 42= D.x y42-=7设直线l 过点P （0，３），和椭圆22194x y +=顺次交于A 、B 两点，若AP PB λ= 则的取值范围为______8已知点()()A ,2,B 04o -，，动点()P ,x y 满足2.8PA PB y =-，则动点P 的轨迹方程是_22xy =_____9椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，其离心率32=e , 过点C （—１,0）的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，且满足点C 满足2AC CB =（１）用直线l 的斜率k （ k ≠0 ） 表示△OAB 的面积；（２）当△OAB 的面积最大时，求椭圆E 的方程。
浅析平面向量在圆锥曲线问题中的应用
轨迹方程的方法 ，及解决动直线过定点 的问题 。体 现了用向量处
ｆ ＋ ：１
理这种关系 的便捷性 。
１，Ａ（ ｌ，Ｙ】），Ｂ（ｘ２，Ｙ２）联立 ：｛４ 。２ （２ｋ ＋１） ＋４ｋｘ一２＝０，
二 、取值 范 围 及最 值 问题
ｌｙ＝ｋｘ＋１
（２０１７·浙 江理 ）如 图，已知抛物线 ｘ２＝ｙ， Ｉ ｙ
关 键 词 ：平 面 向量 ；圆锥 曲线 问 题 ；应 用
圆锥曲线是 解析几何 的重要 内容 ，是整个高 中数学 的重 点和 ｚｌ —
难点 ，在历年 的高考 中都 占有较大的 比例。这部分知识庞杂 、解题 １６— 。
计算量 大 、综合程度高 。掌握 用向量作 为工具 ，可以很便 捷地 解决
（２０１５·四川文）如图，椭圆Ｅ： ＋鼻 ：１
Ｃｒ Ｄ 一
直于 ｏ０的直线 ｆ过 Ｃ的左焦点
（。＞６＞ｏ）的离心率 是 ，点 Ｐ（Ｏ，１）在 短
；
【解析 】（１）设 Ｐ（ｘ，Ｙ），则 Ｍ（ｘ，
ｒ 一
ｙ），将 点 Ｍ代人
Ｃ中得 轴 ｃＤ上，且
．蔚
：１。
（Ｉ）求椭 圆 Ｅ的方程 ；
＝ （一１ －ｎ），－ｏＹ＝（ｍ，ｎ）， ：（一３ ｔ－ｎ）．￣－ｏ－Ｙ· ＝１得
【解析 】（Ｉ）南 · 一 １知 ，（ｂ－１）·（ｂ＋１）＝１，解得 ６＝、／ ，
一 ３ｍ—ｍ２＋ｔｎ—ｎ２＝１，由 （１）有 ｍ ＋ｎ ＝２，贝０有 ３＋３ｍ—ｔｎ＝０，所 以 ， · 又 ‘．·由离心率 是＿＝
【点评 】本题 以抛物线为载体 ，考查了解析几何 中求斜率及最
一 些解 析几何 的问题 。
值的方法 ，在求最大值 的过程 中 ，常规解法是 利用两点 间的距离
圆锥曲线与向量的综合性问题
圆锥曲线与向量的综合性问题一、常见基本题型:在向量与圆锥曲线相结合的题目中，主要是利用向量的相等、平行、垂直去寻找坐标之间的数量关系,往往要和根与系数的关系结合运用。
(1) 问题的条件以向量的形式呈现,间接的考查向量几何性质、运算性质，例1、设(1,0)F ，M 点在x 轴的负半轴上,点P 在y 轴上，且,MP PN PM PF =⊥．当点P 在y 轴上运动时,求点N 的轨迹C 的方程；解：（解法一)MP PN =,故P 为MN 的中点.设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上，则(,0),(0,),(0)2y M x P x -> 又(1,0)F ,(,),(1,)22y y PM x PF ∴=--=- 又PM PF ⊥，204y PM PF x ∴⋅=-+= 所以，点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x =>（解法二）MP PN =，故P 为MN 的中点.设(,)N x y ，由M 点在x 轴的负半轴上,则(,0),(0,),(0)2y M x P x -> - 又由,MP PN PM PF =⊥，故FN FM =，可得22FN FM =由(1,0)F ，则有222(1)(1)x y x -+=--,化简得:24(0)y x x =>所以,点N 的轨迹C 的方程为24(0)y x x => 例2、已知椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合,离心率5e =,过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ,交椭圆 于A 、B 两点.(1）求椭圆的标准方程；（2）设点(1,0)M ,且()MA MB AB +⊥，求直线l 的方程;解：(Ⅰ）设椭圆的右焦点为(,0)c ,因为28y x =的焦点坐标为(2,0),所以2c =因为c e a ==,则25a =，21b =故椭圆方程为:2215x y += (Ⅱ）由(Ｉ）得(2,0)F ，设l 的方程为(2)y k x =-（0k ≠) 代入2215x y +=,得， 设1122(,),(,),A x y B x y 则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++， 12121212(4),()y y k x x y y k x x ∴+=+--=-112212122121(1,)(1,)(2,),(,)MA MB x y x y x x y y AB x x y y ∴+=-+-=+-+=--12212112()0,(2)()()()0MA MB AB x x x x y y y y +⋅=∴+--+-+=2222220420,310,5151k k k k k k ∴--=∴-==++ ﻩ所以直线l的方程为2020x x +-=-=或(2）所求问题以向量的形式呈现例3、已知椭圆Ｅ的长轴的一个端点是抛物线2y =的焦点,（１）求椭圆Ｅ的方程;(2）过点C （—1,0）,斜率为k 的动直线与椭圆E 相交于A 、Ｂ两点,请问x 轴上 是否存在点Ｍ,使MB MA ⋅为常数?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请 说明理由。
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圆锥曲线与向量综合专题1.几何与向量综合时可能出现的向量内容（1）给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知A、B与PQ的中点三点共线;（5）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.（6）给出，等于已知是的定比分点，为定比，即（7）给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。
（8）给出,等于已知是的平分线。
（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过的内心；（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在中，给出,等于已知是中边的中线;题型一题型二题型三APQ FOxy题型四 四心考查1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过C 上一点()22,2的切线l 的方程为2420x y +-=.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点()0,1M 且斜率不为0的直线交椭圆于,A B 两点，试问y 轴上是否存在点P ，使得PA PB PM PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.2.设椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作垂直于AF 的直线交椭圆C 于另外一点P ，交x 轴正半轴于点Q ， 且PQ AP 58=（1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：053=-+y x 相切，求椭圆C 的方程.3、在平面直角坐标系内已知两点(1,0)A -、(1,0)B ，若将动点(,)P x y 的横坐标保持不变，倍后得到点()Q x ，且满足1AQ BQ ⋅=u u u r u u u r.（Ⅰ）求动点P 所在曲线C 的方程；（Ⅱ）过点B 作斜率为的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，且0OM ON OH ++=u u u u r u u u r u u u r r ，又点H 关于原点O 的对称点为点G ，试问M 、G 、N 、H 四点是否共圆？若共 圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由.。
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】圆锥曲线与向量的结合——圆锥曲线题型总结一、AP=λPB解题方法总结如下：设直线AB与圆锥曲线C相交于点A、B，P为直线AB上的任意一点，A（x1，y1），B（x2，y2），则可以得到AP=λPB。
利用这个条件，可以构造两根之和与两根之积，消去x2，然后利用XXX定理求解。
例如，对于题目“设双曲线C：2-x^2/a^2=y^2/b^2（a>b）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．设直线l与y轴的交点为P，且PA=5PB．求a的值．”，可以按照上述方法解题。
首先联立方程组，得到两个交点的坐标。
然后利用构造两根之和与两根之积的方法，消去x2，得到一个关于a的方程。
最后利用XXX定理求解，得到a的值。
二、PR/PQ的取值范围对于题目“已知x-1>0（x>1），设直线y=-2x+m与y轴交于点P，与双曲线C相交于点Q、R，且|PQ|＜3/2|PR|，求PR/PQ的取值范围．”，可以采用向量的方法解题。
设向量PQ 为a，向量PR为b，则PR/PQ=|b|/|a|。
根据向量的定义，可以得到a和b的表达式。
然后根据题目中的条件，可以列出一个关于m的不等式。
最后，通过分析不等式的解集，可以得到PR/PQ的取值范围。
已知直线 $C:x-1=0$（$x\neq 1$ 且 $x\neq -1$），设直线$y=x+m$（$m>0$）与 $y$ 轴交于点 $P$，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q$、$R$，且 $|PQ|<|PR|$，求 $m$ 的取值范围。
解法一：设 $Q(x_1,y_1)$，$R(x_2,y_2)$，联立$\begin{cases} 4x^2-y^2-4=PRx \\ 3x-2mx-m-4=0 \end{cases}$。
则可设 $x_2=-\lambda x_1$（$\lambda>1$），即 $-x_1x_2=\lambda x_2^2$，此时$y_P=x_P+m$，$y_Q=x_Q+m$。
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量结合的三种题型【精品】
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线与向量的结合一、PB AP λ=【2004全国1理21】设双曲线C ：1x 222=-y a（a ＞0）与直线l ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ．设直线l 与y 轴的交点为P ，且PB PA 125=．求a 的值． 【解析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （0，1）联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=-1x 1x 222y y a 整理得（1-2a ）2x +22a x-22a =0.又因为PB PA 125=，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)1(125)1(125x 2121y y x 构造两根之和与两根之积得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=•=+②x 125①1217x 2221221x x x x 由②①2消去x 2得21221)x x x x +（=60289，再由韦达定理得221a 2a -=60289，解得a=1317.【2014四川理】已知3x 22y -=1（x>1）设直线y=﹣2x+m 与y 轴交于点P ，与C 相交于点Q 、R ，且|PQ|＜|PR|，求PQPR 的取值范围．【解析】设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），联立⎩⎨⎧+-==--m x y y 203x 322整理得 2x +4mx-2m +3=0.因为直线与双曲线的右支相交，所以⎪⎩⎪⎨⎧>•>+>∆00x 02121x x x 解得m>1.又因为x ≠1，所以m ≠2.则可设PQ PR=12x x =12x x =λ（λ>1），则⎩⎨⎧=•+=+②x ①)1(x 2221221λλx x x x ，利用②①2消去x 2得21221)x x x x +（=λλ21）（+，再利用韦达定理得21221)x x x x +（=316m 22+m ；316m 22+m =λλ21）（+，于是316m 22+m ）（），（16,7647644⋃∈，解得1<λ<7或7<λ<7+43，故PQPR 的取值范围是（1,7）⋃（7，7+43）【2012四川文21】 已知C:4x 22y -=1（x ≠1且x ≠-1）设直线(0)y x m m =+>与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求||||PR PQ 的取值范围。
【高考数学二轮复习压轴题微专题】第47讲 圆锥曲线与平面向量的交汇-原卷+解析
第47讲 圆锥曲线与平面向量的交汇平面向量及其运算特点是融数、形于一体,因为它具有代数形式和几何形式的双重身 份,是中学数学知识的一个重要交汇点. 平面向量的运算法则, 特别是坐标运算可将几何 问题转化为代数问题而解析几何的学科特点正是运用代数的方法研究平面图形的性质, 两者是何等的一致！所以两者的结合或者说运用平面向量来解决解析几何问题是一件十 分自然的事情, 可谓是“竹外桃花三两枝,春江水暖鸭先知”了! 平面向量与解析几何的交 叉渗透,水乳交融,使数学问题的情境新颖别致,使解答过程如行云流水、自然流畅、赏心 悦目,使数学之美充分展现,丰富多彩.典型例题【例1】(1) 已知 F 为抛物线 2y x = 的焦点, 点 ,A B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, 2OA OB ⋅= (其中 O 为坐标原点 ), 则 ABO ∆ 与 AFO ∆ 面积之和的最小值是（ ）A. 2B. 3C.D.(2) 如图 331- 所示, 在矩形 ABCD 中, 1,AB AD == 若 AP AB AD λμ=+, 则λμ+ 的最大值为（ ）.A. 3B.C.D.2【例2】 已知一条曲线 C 在 y 轴右边, C 上每一点到点 (1,0)F 的距离减去它到 y 轴距离的 差都是 1. (1) 求曲线 C 的方程,（2）是否存在正数 m , 对于过点(,0)M m 且与曲线 C 有两个交点 ,A B 的任一直线,都有 0FA FB ⋅< 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.【例3】在平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点, 动点 P 与两个定点, (1,0)(40)M N 、的距离之比为 12.(1) 求动点 P 的轨迹 W 的方程;(2) 若直线 :3l y kx =+ 与曲线 W 交于 ,A B 两点, 在曲线 W 上是否存在一点 Q , 使得 OQ OA OB =+ ? 若存在,求出此时直线 l 的斜率;若不存在,说明理由.【例4】 已知曲线 C 上的动点 M 到 y 轴的距离比到点 (1,0)F 的距离小 1 . (1) 求曲线 C 的方程;（2）过 F 作弦 PQ RS 、, 设 ,PQ RS 的中点分别为 ,A B . 若 0PQ RS ⋅=, 求AB 取 最小值时, 弦 PQ RS 、 所在直线的方程;（3) 是否存在一定点 T , 使得 AF TB FT λ=- 若存在,求出 T 的坐标;若不存在, 试说明理由.【例5】 设椭圆 2222:1(0)x y C a b a b +=>> 过点 M , 且左焦点为 1(F. (1) 求椭圆 C 的方程;(2) 当过点 (4,1)P 的动直线 l 与椭圆 C 相交于两不同点 ,A B 时, 在线段 AB 上 取点 Q ,满足 ||||||||AP QB AQ PB ⋅=⋅. 证明: 点 Q 总在某定直线上.强化训练1. 如图 3-33 所示, 设抛物线 2:C y x = 的焦点为 F , 动点 P 在直线 :20l x y --=上运 动, 过 P 作抛物线 C 的两条切线 ,PA PB , 切点分别为 ,A B . 求证:AFP BFP ∠=∠.2. 如图 334- 所示, 在 ABC ∆ 中, 已知 (3,0),(3,0),A B CD AB -⊥ 于点D,ABC ∆ 的垂心, 且 9CD CH =. (1) 求点 H 的轨迹方程;(2) 设 (1,0),(1,0)P Q -, 是否存在这样的 H 点, 使得 111||||||HP PQ QH ⋅⋅成等差数列? 如果存在, 求出H 点坐标,如果不存在,请说明理由;（3）设直线 ,AH BH 与直线 :9l x = 分别交于 M N 、 点,请问 : 以 MN 为直径的圆是否经过点 H 的轨迹外的定点? 并说明理由.第47讲 圆锥曲线与平面向量的交汇平面向量及其运算特点是融数、形于一体,因为它具有代数形式和几何形式的双重身 份,是中学数学知识的一个重要交汇点. 平面向量的运算法则, 特别是坐标运算可将几何 问题转化为代数问题而解析几何的学科特点正是运用代数的方法研究平面图形的性质, 两者是何等的一致！所以两者的结合或者说运用平面向量来解决解析几何问题是一件十 分自然的事情, 可谓是“竹外桃花三两枝,春江水暖鸭先知”了! 平面向量与解析几何的交 叉渗透,水乳交融,使数学问题的情境新颖别致,使解答过程如行云流水、自然流畅、赏心 悦目,使数学之美充分展现,丰富多彩.典型例题【例1】(1) 已知 F 为抛物线 2y x = 的焦点, 点 ,A B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, 2OA OB ⋅= (其中 O 为坐标原点 ), 则 ABO ∆ 与 AFO ∆ 面积之和的最小值是A. 2B. 3C. 1728D.10(2) 如图 331- 所示, 在矩形 ABCD 中, 1,AB AD == 若 AP AB AD λμ=+, 则λμ+ 的最大值为（ ）.A. 3B. 22C.5D.2【分析】 本例两小题是平面向量与解析几何的交汇,在考查直线与抛物线、直线与圆位置关系及最值求法的同时,还考查平面向量的坐标运算、数量积等的应用、不等式知识与三角知识的应用.【解析】(1) 设点 ()()1122,,,A x y B x y (不妨假设 )120,0y y ><, 直线 AB 的方程为 x ty m =+, 与 x 轴的交点为 (,0)M m .由 2,,x ty m y x =+⎧⎨=⎩ 消去 x 得2120,y ty m y y m --=∴=-. 又 ()212122,20OA OB y y y y ⋅=∴+-=, 解得 122y y =- 或 1 .∵ 点 A B 、 在抛物线上且位于 x 轴的两侧, ∴122y y =-, 故 2m =. 又 1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,于是()1211112224ABO AFO S S y y y ∆∆+=⨯⨯-+⨯111192922388y y y y =+⨯=当且仅当 11928y y =, 即 143y = 时取等号. ∴ABO ∆ 与 AFO ∆ 面积之和的最小值是 3 , 故选 B . （2）【解法1】如图3-32所示，建立平面直角坐标系，计算得255r CG ==, 设 (,)P m n , 由 AP AB AD λμ=+, 得(,)(0,1)(2,0)m n λμ=+, ∴2,m n μλ==. 动点 (,)P m n 在圆 C 上, ∴224(22)(1)5μλ-+-=, 由三角換元得5252sin cos 255λμαα+=++=+sin()3αϕ+ （其中255sin ,cos 55ϕϕ⎫==⎪⎪⎭. 故选 A .【解法2】设动点 (,)P x y 点P 的轨迹方程为22 4(2)(1)5x y -+-=由 AP AB AD λμ=+, 得2x z y λμ=+=+, 即直线 220x y z +-= 与圆相交, 故圆心到直线的距离小于等于半径, 即22|222|25512z +-+. ∴13z , 故 3λμ+, 故选 A .【解法3】由解法二将2x y z =-代人224(2)(1),5x y -+-=整理得222520(3)2040840x z x z z -++-+= 方程有解, 由 0∆ 得 2430z z -+, ∴13z , 故 3λμ+, 故选 A .【例2】 已知一条曲线 C 在 y 轴右边, C 上每一点到点 (1,0)F 的距离减去它到 y 轴距离的 差都是 1. (1) 求曲线 C 的方程,（2）是否存在正数 m , 对于过点(,0)M m 且与曲线 C 有两个交点 ,A B 的任一直线,都有 0FA FB ⋅< 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.【分析】 本例是解析几何与向量的综合,是高考命题的又一热点,求解时应注意根据向量式的特征, 征求其几何意义或将向量式转化为坐标式,根据其几何意义或坐标 特征, 征求解题思路, 当题中涉及两直线所成角时可转化为向量, 而本例给出的 0FA FB ⋅< 是否存在的㮠讨,则可利用数量积求解.【解析】 (1) 设 (,)P x y 是曲线 C 上任意一点,那么点 (,)P x y 满足x = 1(0)x >, 化简得 24(0)y x x =>.（2）设过点 (,0)(0)M m m > 的直线 l 与曲线 C 的交点为 ()()1122,,,A x y B x y .设 l 的方程为 x ty m =+, 由 24,x ty m y x =+⎧⎨=⎩ 得 2440y ty m --=,()2160t m ∆=+>, 于是 121244y y ty y m +=⎧⎨=-⎩ ①又()()11221,,1,FA x y FB x y =-=-∵()()()121212*********FA FB x x y y x x x x y y ⋅<⇔--+=-+++<②又 24y x =, 是不等式②等价于 ()222221212121210444416y y y y y y y y ⎛⎫⋅+-++<⇔+ ⎪⎝⎭()212121212104y y y y y y ⎡⎤-+-+<⎣⎦③将①式代入不等式③, 有 22614m m t -+<.④对任意实数 2,4t t 的最小值为 0 ,∴ 不等式(4)对于一切 t 成立等价于 2610m m -+<, 即33m -<<+由此可知,存在正数 m , 对于过点 (,0)M m 且与曲线 C 有两个交点 ,A B 的任一直线,都有 0FA FB ⋅<, 且 m 的取值范围是(3-+.【例3】在平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点, 动点 P 与两个定点, (1,0)(40)M N 、的距离之比为 12.(1) 求动点 P 的轨迹 W 的方程;(2) 若直线 :3l y kx =+ 与曲线 W 交于 ,A B 两点, 在曲线 W 上是否存在一点 Q , 使得 OQ OA OB =+ ? 若存在,求出此时直线 l 的斜率;若不存在,说明理由.【分析】 第（1）问, 由直接法求出动点P 的轨迹 W 的方程，不难得出是一个圆，由于圆具有完美的对称性,在第 (2) 问中, 若存在点 Q 随 OQ OA OB =+, 根据向量的加法以及 ||||OA OB =, 易得四边形 OAQB 为菱形. 对于解析几何问题的解决, 其思维特征 是: 以几何特征寻找代数关系, 以代数关系挖掘几何特征.【解析】(1) 设点 P 的坐标为 (,)x y , 依题意有 ||1||2PM PN =.即=, 化简得 224x y +=. ∴ 动点 P 的轨迹 W 的方程为224x y +=. 【解法1】直线:3l y kx =+与曲线22:4W x y +=相交于A, B $两点,原点到直线 l 的距离2,d k =<∴>或k <.假设存在点 Q , 使得 OQ OA OB =+,∵,A B 在圆上,且 OQ OA OB =+, 由向量加法的平行四边形法则可知四边形 OAQB 为菱形, ∴OQ 与 AB 互相垂直平分,进而得到原点 O 到直线 :3l y kx =+ 的距离为1||12d OQ ==, 即1d ==, 解得28,k k ==±经验证 k 的值满足条件.∴ 存在点 Q , 使得 OQ OA OB =+.【解法2】直线:3l y kx =+与曲线22:4W x y +=相交于$ A, B $两点, 联立223,4,y kx x y =+⎧⎨+=⎩ 消去 y 得()221650k x kx +++= 由()22362010k k ∆=-+>, 得k >或k <. 设 ()()1122,,,A x y B x y , 则 1221226,15,1k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 假设存在点 (,)Q x y ,, 使得 OQ OA OB =+, 则 ()122121226,166.1k x x x k y y y k x x k ⎧=+=-⎪⎪+⎨⎪=+=++=⎪+⎩ ∵ 点 (,)Q x y 在圆 224x y += 上, ∴222266411k k k ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭, 解得k =±.经验证 k 的值满足条件, ∴ 存在点 Q , 使得 OQ OA OB =+.【例4】 已知曲线 C 上的动点 M 到 y 轴的距离比到点 (1,0)F 的距离小 1 . (1) 求曲线 C 的方程;（2）过 F 作弦 PQ RS 、, 设 ,PQ RS 的中点分别为 ,A B . 若 0PQ RS ⋅=, 求AB 取 最小值时, 弦 PQ RS 、 所在直线的方程;（3) 是否存在一定点 T , 使得 AF TB FT λ=- 若存在,求出 T 的坐标;若不存在, 试说明理由.【分析】 第 (1) 问, 䀛得动点 M 到直线 1x =- 的距离与到点 (1,0)F 的距离相 等, 符合抛物线的定义, 由求轨迹方程的定义法, 即得曲线 C 的方程; 第 (2) 问, 以直线PQ 坐标中的 k 用1k -代, 即得 B 点的坐标),从而求得向量 AB 的模, 并运用均值不等式求 ||AB 的最小值, 由等号成立的条件确定 k 的值,弦 PQ RS 、 所在直线的方程; 第 (3) 问,是 探索性问题,首先由条件 AF TB FT λ=-,通过向星变形可确定,, A T B 三点共线，再探求直线 AB 是否过定点. 本例看似难度不高, 但步步紧扣、层层深入, 解析几何常用的方程理论与平面向量的运算融为一体,正所谓“青山缭绕疑无路,忽见千帆隐映来”,解题者在詹题过程中碰到阻隔在所难免,想办法穿越阻隔，前面就是坦途,风景无限好!【解析】(1) 由条件 M 到 (1,0)F 的距离等于到直线 1x =- 的距离, 曲线 C 是以F 为焦点,直 线 1x =- 为准线的抛物线, 其方程为 24y x =.（2）设 PQ:(1)l y k x =-, 代人 24y x = 得:()2222220k x k x k -++=. 由韦达定理得 ()()22121222212222222,1,121221,,0A A A k x x k x x x y k x k k k k x x A PQ RS k k ⎧+++⎪+=∴===+=-=⎨⎪=⎩⎛⎫∴+⋅= ⎪⎝⎭∴PQ RS ⊥, 只要将 A 点坐标中的 k 换成1k -, 得()212,2B k k +-. 故||14AB ⎡==⎢ (当且仅 当1k =± 时取 "=“ ),||AB ∴ 最小时,弦 PQ RS 、 所在的直线方程为 (1)y x =±-,即 10x y +-= 或 10x y --=.（3) ∴AF TB FT AF FT TB AT TB λλλ=-⇒+=⇒=, 即 ,,A T B 三点共线. ∴ 是否存在一定点 T , 使得 AF TB FT λ=-, 即探求直线 AB 是否过定点.由 (2) 知, 直线 AB 的方程为 ()222222212211k k y k x k k k --+=--⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭.即 ()21(3),k y k x -=-∴ 直线AB 过定点 (3,0).故存在一定点 (3,0)T , 使得 AF TB FT λ=-.【例5】 设椭圆 2222:1(0)x y C a b a b +=>> 过点M , 且左焦点为1(F. (1) 求椭圆 C 的方程;(2) 当过点 (4,1)P 的动直线 l 与椭圆 C 相交于两不同点 ,A B 时, 在线段 AB 上 取点 Q ,满足 ||||||||AP QB AQ PB ⋅=⋅. 证明: 点 Q 总在某定直线上.【分析】 本例是具有射影几何背景的解析几何试题,考查直线、椭圆的方程及其几何性质、线段定比分点公式的应用.第(2)小题的求解是一个难点,下面提供的两种解法都是抓住A,P ,B,Q 四点共线来展开的,这是解决本小题的突破口.【解析】(1) 由题意,得2222222211c a b c a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩解得222224, 2.a b c a b ===-所求椭圆方程为 22142x y +=.（2）证法一、 设 Q A B 、、 的坐标分别为 ()()1122(,),,,,x y x y x y , 由题设知 ||AP 、||||||PB AQ QB 、、 均不为零, 记||||||||AP AQ PB QB λ==, 则 0λ>, 且 1λ≠. 又 ,A P ,,B Q四点共线, 从而,AP PB AQ QBλλ=-=, 于是有121212124,1,,1111x x y y x x y y x y λλλλλλλλ--++====--++从而 22212241x x x λλ-=-,①2221221y y y λλ-=-②又点 ,A B 在椭圆 C 上,即 221124x y +=,③ 222224x y += ④①+② 2⨯ 并结合③④得 424x y +=. 即点 (,)Q x y 总在定直线 220x y +-= 上. 证法二、设点()()1122(,),, ,,Q x y A x y B x y由题设知 |||||||| PA PB AQ QB 、、、 均不为零, 且 ||||||||PA PB AQ QB =, 又 ,,,P A Q B 四点共线, 可设 ,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±.于是1141,11x y x y λλλλ--==--, ①2241,11x y x y λλλλ++==++②由于 ()()1122,,,A x y B x y 在椭圆 C 上, 将①②分别代人 C 的方程 2224x y +=. 整理得 ()222244(22)140x y x y λλ+--+-+=,③()222244(22)140xy x y λλ+-++-+=, ④④ - ③得 8(22)0,0,220x y x y λλ+-=≠∴+-=.即点 (,)Q x y 总在定直线 220x y +-= 上.强化训练1. 如图 3-33 所示, 设抛物线 2:C y x = 的焦点为 F , 动点 P 在直线 :20l x y --= 上运 动, 过 P 作抛物线 C 的两条切线 ,PA PB , 切点分别为 ,A B . 求证:AFP BFP ∠=∠.【解析】【证明】设切点A B 、的坐标分别为()200,x x 和()()21110,x x xx ≠,可得切线AP 的方程为20020x x y x --=,切线BP 的方程为21120x x y x --=.解得点P 的坐标为0101,2P P x x x y x x +==. 则22010********,,,,,4244x x FA x x FP x x FB x x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由于点P 在抛物线外,即0FP ≠,201001001222001112444cos .14x x x x x x x x FP FA AFP FP FAFPFPx x ∠+⎛⎫⎛⎫⋅+--+ ⎪⎪⋅⎝⎭⎝⎭∴===⎛⎫+- ⎪⎝⎭201101101222111112444cos .14x x x x x x x x FP FB BFP FP FBFPFPx x ∠+⎛⎫⎛⎫⋅+--+ ⎪⎪⋅⎝⎭⎝⎭===⎛⎫+- ⎪⎝⎭综上可知AFP BFP ∠∠=.2. 如图 334- 所示, 在 ABC ∆ 中, 已知 (3,0),(3,0),A B CD AB -⊥ 于点D,ABC ∆ 的垂心, 且 9CD CH =. (1) 求点 H 的轨迹方程;(2) 设 (1,0),(1,0)P Q -, 是否存在这样的 H 点, 使得 111||||||HP PQ QH ⋅⋅成等差数列? 如果存在, 求出H 点坐标,如果不存在,请说明理由;（3）设直线 ,AH BH 与直线 :9l x = 分别交于 M N 、 点,请问 : 以 MN 为直径的圆是否经过点 H 的轨迹外的定点? 并说明理由. 【解析】(1)设点(),H x y ,由题意得9,8C x y ⎛⎫⎪⎝⎭,则()93,,3,8AC x y BH x y ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭.由于AC BH ⊥,于是229908AC BH x y ⋅=-+=. 又0y =时,,AC BH 共线,不合题意,故点H 的轨迹方程为()221098x y y +=≠. (2)【解法一】()()1,0,1,0P Q -是点H 的轨迹椭圆()221098x y y +=≠的两个焦点, 6HP QH ∴+=.(1)若111,,HP PQ QH 成等差数列,则1121PH QH PQ+==.(2)由(1)(2)可解得33HP QH ==3HP =3QH =+而24,HP 24,QH故111,,HP PQ QH不能构成等差数列. 【解法二】设()()()3cos ,0,,2H αααπππ∈⋃.则()()3cos 1,22sin ,3cos PH QH αααα=+=-.故21111663213cos 3cos 9cos 84PQPHQHααα+=+=<=<=+--, 111,,HP PQ QH∴不能构成等差数列. (3)【解法一】设()00,H x y ,则()()0000:3,:333y yAH y x BH y x x x =+=-+-, 当9x =时可以求得00001269,,9,33y y M N x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭.以MN 为直径的圆的方程为()()000012699033y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭,即220000126(9)64033y y x y y x x ⎛⎫-+-+-=⎪+-⎝⎭,解得1,0x y =⎧⎨=⎩(舍去)或17,0.x y =⎧⎨=⎩故以MN 为直径的圆必过椭圆外定点()17,0.【解法二】设()()9,,9,M m N n ,则()()3,0,3,0A B -.于是()()12,,3cos AM m AH αα==+,由,,A H M三点共线得()123cos 30cos 1m m αααα⨯-+=⇔=+由,,B H N三点共线得cos 1n αα=-,9,,9,cos 1cos 1M N αααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭又以MN 为直径的圆的方程为:()()990cos 1cos 1x x y y αααα⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪ ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭,即22(9)640cos 1cos 1x y y αααα⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪+-⎝⎭解得1,x y =⎧⎨=⎩(舍去),或(){17,17,0.x MN =故以为直径的圆必过椭圆外定点。
圆锥曲线与向量综合题
圆锥曲线与向量综合题(总18页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆锥曲线与平面向量考纲透析考试大纲：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的概念，向量的坐标运算. 圆锥曲线与平面向量的综合. 新题型分类例析1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅（其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b a c a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k 即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A BA B A y y x x k x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k.332<<k ② 由①、②得 .1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e.直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB . （Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由.所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a e a-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y ea x λλ 因为点M 在椭圆上，所以 ,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e λλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF =设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形.解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得 由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e于是3112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形.3.设R y x ∈,，j i、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a )3( ,)3(-+=++=，且4=+b a.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值.解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由y y x x +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e（II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点. （1）求抛物线的方程；（2）若•=0，求直线PQ 的方程；（3）设=λ（λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λ. .6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且3,3OF FP t OM OP j ⋅==+ .（I ）设4t OF FP θ<<求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-，0MA AP ⋅=.（Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8. 已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅ （Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点， 且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭三点． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
平面向量与圆锥曲线结合的高考题解法
平面向量与圆锥曲线结合的高考题解法胡群海【期刊名称】《数学教学研究》【年(卷),期】2007(000)010【摘要】平面向量是新教材新增内容,体现了现代数学思想.它作为工具性知识兼具代数与几何形式的双重身份,故它是联系多项知识的媒介,成为中学数学知识的一个交汇点.而圆锥曲线对高中数学的许多知识点都有一定的亲合力.在知识网络的交汇点上设计试题是高考命题的主导思想,因此,解析几何与平面向量的融合交汇必将成为新课程高考命题改革的发展方向.本文就近年高考中出现得比较频繁的一种题型,即平面向量与圆锥曲线相耦合的题型进行分析,以便大家能够准确地理解这类问题的特性,掌握解决它的方法和技巧.1与轨迹方程有关的问题图1例1(2006年陕西)如图1,三定点A(2,1),B(0,-1),C(-2,1),三动点D,E,M满足AD=tAB,BE=tBC,DM=tDE,t∈[0,1].(Ⅰ)求动直线DE的斜率的变化范围;(Ⅱ)求动点M 的轨迹方程.命题立意此题旨在考查运动变化的思想,斜率的概念,及求动点轨迹方程的参数法.思路分析(Ⅰ)由AD=tAB,BE=t BC,DM=tDE,可知D是AB线上的动点,E 是CB线段上的动点,M是DE线段上的动点,且t∈[0,1],所以kDE的斜率是随着线段DE由AB按顺时针方向旋转转到AC为止.(Ⅱ)由DM=tDE和...【总页数】4页(P26-29)【作者】胡群海【作者单位】湖北省武穴实验高中,435400【正文语种】中文【中图分类】G63【相关文献】1.高考数学中圆锥曲线试题解法探究 [J], 丁宇韬2.高考中圆锥曲线的最值问题解法探讨 [J], 孙威3.高考数学中圆锥曲线试题解法探究 [J], 吕成荣[1]4.2020年高考圆锥曲线问题解法探索与备考建议 [J], 唐宜钟5.一道高考题的“昨天·今天·明天”——关于常态二次圆锥曲线定点(定向)问题解法的“融合”与应用 [J], 周如俊因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
高三数学一轮复习圆锥曲线的综合问题
备考例题 3
已知
F1，F2
为椭圆x2＋y2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A a2 b2
是椭圆上位于第一象限内的一点，点
B
也在椭圆上，且满足O→A＋O→B＝
0(O 为坐标原点)，且A→F2·F→1F2＝0，若椭圆的离心率等于 2. 2
(1)求直线 AB 的方程；
(2)若△ABF2 的面积为 4 2，求椭圆的方程；
则 P 到直线 y＝ 2x 的距离为 2
|2
2cosθ－2 6
2sinθ|＝4 3
6|cos(θ＋π)|≤4 43
6＜4，故椭圆上不存在点 M 使△MAB 面积为 8
3.
2
题型四
圆锥曲线与其他知识交汇的问 题
1－ky0－1＋ky0
∴kEF＝yxEE－ －yxFF＝(1－kky
－k 0)2－(1＋ky
0)2
k2
k2
2
＝ k ＝－ 1 (定值)， －4ky0 2y0
k2 所以直线 EF 的斜率为定值.
题型二 最值与范围问题
①正确理解圆锥曲线的定义、标 思维提 准方程；
示 ②联立方程组，对有关参数进行 讨论.
[解] (1)∵F0(c,0)，F1(0， b2－c2)，F2(0，－ b2－c2)，
∴|F0F1|＝ (b2－c2)＋c2＝b＝1，
|F1F2|＝2 b2－c2＝1⇒c2＝3， 4
于是 a＝1 (x≥0) 7
所求“果圆”的方程为 y2＋4x2＝1 (x≤0)
.
m2 m2－1
(2)设 Q(x1，y1)， ∵P(m，y0)，P→F＝λF→Q，
2
1－m＝λ(x1－1)
∴2
，
－y0＝λy1
专题复习(二)平面向量与解析几何的综合.
专题复习（二）：平面向量与解析几何的综合本周教学重、难点： 1. 重点：平面向量的基本知识，圆锥曲线的基本知识。
2. 难点：平面向量与解析几何的内在联系和知识综合，向量作为解决问题的一种工具的应用意识。
【典型例题】[例1] 如图，已知梯形ABCD 中，CD AB 2=，点E 分有向线段所成的比为118，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，求双曲线的离心率.解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则y CD ⊥轴，因为双曲线经过点C 、D 且以AB 为焦点，由对称性知C 、D 关于y 轴对称设A （0,c -）C （hc,2）B （0,c ），AB c 21=，h 为梯形的高∴c c c x E 19711812118-=+⨯+-=h hy E19811811180=+⨯+=设双曲线为12222=-b y a x 则a c e = 由C 、E 在双曲线上 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=-)2(1198197)1(142222222222b h e b h e 由（1）：14222-=e b h （3）将（3）代入（2）：22222198119167-=-e ∴ 297332=e 92=e∴ 3=e[例2] 如图，已知梯形ABCD 中，CD AB 2=，点E 满足λ=，双曲线过C 、D 、E 三点且以A 、B 为焦点，当4332≤≤λ时，求离心率e 的取值范围。
解：以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则y CD ⊥轴。
因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性，知C 、D 关于y 轴对称。
依题意，记A （0,c -）、C （h c,2）、E （00,y x ），其中AB c 21=为双曲线的半焦距，h 是梯形的高。
由λ=，即),2(),(0000y h x cy c x --=+λ得λλλλ+=+-=1,)1(2)2(00hy c x设双曲线的方程为12222=-b y a x ，则离心率a ce = 由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和a ce =代入双曲线的方程，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+-+-=-)2(1)1()12(4)1(1422222222b h e b h e λλλλ由（1）式，得14222-=e b h （3）将（3）式代入（2）式，整理，得λλ21)44(42+=-e故2312+-=e λ，依题设4332≤≤λ，得43231322≤+-≤e解得107≤≤e所以，双曲线的离心率的取值范围为]10,7[[例3] 在以O 为原点的直角坐标系中，点A （3,4-）为OAB ∆的直角顶点，已知OA AB 2=，且点B 的纵坐标大于零，（1）求的坐标；（2）求圆y y x x 2622++-0=关于直线OB 对称的圆的方程。
高三数学-24专题.圆锥曲线与平面向量的综合 精品
解析几何是研究方程与曲线的一门学科，是用代数的方法研究曲线的性质，而平面向量既具有代数形式又具有几何形式，因此平面向量与解析几何的结合是顺理成章的事情，在解决解析几何问题时，平面向量的出现不仅可以很明确地反映了几何特征，而且又方便计算，把解析几何与平面向量综合在一起命制考题，可以有效地考查考生的数形结合思想，解析几何的基本思想以及数学联结能力等数学思想和数学能力。
在 2018年的试卷中,向量与解析几何综合的解答题有：全国卷Ⅰ（文，理），全国卷Ⅱ（理），天津卷（文，理），湖南卷（文，理），江苏卷，辽宁卷等.在 2018年的试卷中,向量与解析几何综合的解答题有：全国卷Ⅰ（文，理）， 全国卷Ⅱ（文，理），天津卷（文，理），福建卷（文，理），重庆卷（文，理）， 湖南卷（文，理），辽宁卷等.这表明在全国2018年的25套试卷中有9套占%36，在2018年的29套试卷中,就有13套,占%45.解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：1. 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=；2. 给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点;3. 给出0=+,等于已知P 是MN 的中点;4. 给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;5. 给出以下情形之一 ①AC AB //,②存在实数,,C A B Aλλ=使③若存在实数B O A O C Oβαβαβα+==+使且,1,,, 等于已知C B A ,,三点共线.6. 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即PB AP λ=7. 给出0=⋅,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m,等于已知AMB∠是锐角,8. 给出=⎫⎛+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线.9. 在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+，等于已知ABCD是菱形;10. 在平行四边形ABCD =+ABCD 是矩形; 11. 在ABC ∆中，给出222==，等于已知O 是ABC ∆的外心； 12. 在ABC ∆中，给出=++，等于已知O 是ABC ∆的重心； 13. 在ABC ∆中，给出⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心； 14. 在ABC ∆中，给出+=+λ)(+∈R λ等于已知通过ABC ∆的内心；15. 在ABC ∆中，给出,0=⋅+⋅+⋅OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC ∆的内心；16. 在ABC ∆中，给出()AC AB AD +=21,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线; 17. 给出AMB m ∠=⋅cot ,等于已知AMB ∆的面积【分析及解】 （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x P F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x ac a F += 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r P F r P F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a ca r F cx r r a r r +===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x aca由椭圆第二定义得a c ca x P F =+||||21，即.||||||21x a c a c a x a c F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x ac a F += （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ， 得2TF ⊥.又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.在△QF 1F 2中，a F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ 解法二：设点T 的坐标为).,(y x当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF 且时，由02=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',）， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y cx x 因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ① 由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得20||.b y c = 所以，当2b a c≥时，存在点M ，使S=2b ； 当c b a 2<时，不存在满足条件的点M.当cb a 2≥时，),(),,(002001y xc MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得20||.b y c = 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x 于是，当c b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当c b a 2<时，不存在满足条件的点M.当c b a 2≥时，记cx y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,， ③ ④③ ④由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，则.2|1|tan 212121=+-=∠k k k k MF F【分析及解】（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为22221x y a b-=，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-y x (Ⅱ)将2+=kx y 代入1422=+y x 得 .0428)41(22=+++kx x k由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k即 .412>k ①0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即 )2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A BA B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA k x x k k x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=k k kk k k k x x k x x k B A B A.0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得 .31151322<>k k 或 ③由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或 故k的取值范围为311313(1,(,)(,)(,1)2215---【分析及解】（I ）设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a . 令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线，得.0)()(32121=+++x x y y.36,36.3,232.23,0)()2(3,,22222222121212211===-=∴==+=+∴=++-+∴-=-=a c e ab ac b a c ba c a cx x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又 （II ）证明：由（I ）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x OM μλ+==由已知得设⎩⎨⎧+=+=∴.,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由（I ）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+))((33.8321212121222222221c x c x x x y y x x c b a b a c a x x --++=+∴=+-=∴ .0329233)(3422222121=+-=++-=c c c c c x x x x 又222222212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ故22μλ+为定值，定值为1.。
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A. B. C. D.
7设直线 过点P（0，3），和椭圆 顺次交于A、B两点，若 则的取值范围为______
8已知点 ，动点 满足 ，则动点P的轨迹方程是_ _____
9椭圆E的中心在原点O，焦点在 轴上，其离心率 ,过点C（－1,0）的直线 与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C满足
平面向量与圆锥曲线的综合问题
例1已知F1、F2分别是椭圆 的左、右焦点.
（Ⅰ）若P是第一象限内该数轴上的一点， ，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线 的斜率 的取值范围.
解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 最小值为 ．
同步练习
1设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点，若 ，则 （B）A．9B．6C．4D．3
2设 分别是双曲线 的左、右焦点．若点 在双曲线上，且 ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ （B）A B． C． D．
3已知 是椭圆的两个焦点．满足 · ＝0的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）A．(0，1) B．(0， ]C．(0， )D．[ ，1)
由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点得：
而S△OAB ⑤
由①③得:x2+1=－ ，代入⑤得：S△OAB=
（2）因S△OAB= ,
当且仅当 S△OAB取得最大值
此时x1+x2=－1,又∵ =－1∴x1=1,x2=－2
将x1,x2及k2= 代入④得3b2= 5∴椭圆方程x2+ 3y2= 5
．则 的最大值为 ，最小值为 ．
例3已知 ，直线 ， 为平面上的动点，过点 作 的垂线，垂足为点 ，且 ．（Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程；（Ⅱ）过点 的直线交轨迹 于 两点，交直线 于点 ．（1）已知 ， ，求 的值；（2）求 的最小值．
解法一：（Ⅰ）设点 ，则 ，由 得：
，化简得 ．
（Ⅱ）（1）设直线 的方程为：
4已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|=2c，点A在椭圆上， =0 ，则椭圆的离心率e=（）
A． B． C． D．
5P是抛物线 上的动点，点A（0,-1），点M满足 ，则点M的轨迹方程是（A )
A） （B） （C） （D）
6.已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足
直线 与椭圆有两个不同的交点 和 等价于 ，
解得 或 ．即 的取值范围为 ．
（Ⅱ）设 ，则 ，
由方程①， ． ②
又 ． ③
而 ．
所以 与 共线等价于 ，
将②③代入上式，解得 ．
由（Ⅰ）知 或 ，故没有符合题意的常数 ．
．设 ， ，又 ，
联立方程组 ，消去 得： ， ，
由， 得：
整理得：
解法二：（Ⅰ）由 得： ，
所以点 的轨迹 是抛物线，由题意，轨迹 的方程为： ．
（Ⅱ）（1）由已知 ， ，得 ．
则： ．…………①过点 分别作准线 的垂线，垂足分别为 ， ，
则有： ．…………②由①②得： ，即 ．
（Ⅱ）（2）解：由解法一，
（1）用直线 的斜率k( k≠0 )表示△OAB的面积；（2）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。
解：（1）设椭圆E的方程为 (a＞b＞0 )，由e=
∴a2=3b2故椭圆方程x2+ 3y2= 3b2
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（－1，0）分向量 的比为2，
∴ 即
由 消去y整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0
（Ⅰ）易知 ， ， ．
∴ ， ．设 ．则
，又 ，
联立 ，解得 ， ．
（Ⅱ）显然 不满足题设条件．可设 的方程为 ，设 ， ．
联立
∴ ， 由
， ，得 ．①又 为锐角 ，∴
又
∴
∴ ．②
综①②可知 ，∴ 的取值范围是
例2已知正三角形 的三个顶点都在抛物线 上，其中 为坐标原点，设圆 是 的内接圆（点 为圆心）
10在平面直角坐标系 中，经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 和 ．（I）求 的取值范围；II）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ，是否存在常数 ，使得向量 与 共线？如果存在，求 值；如果不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）由已知条件，直线 的方程为 ，
代入椭圆方程得 ．
整理得 ①
（I）求圆 的方程；
（II）设圆 的方程为 ，过圆 上任意一点 分别作圆 的两条切线 ，切点为 ，求 的最大值和最小值．
本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．
（I）解法一：设 两点坐标分别为 ， ，由题设知
．
解得 ，所以 ， 或 ， ．
设圆心 的坐标为 ，则 ，所以圆 的方程为
解法二：设 两点坐标分别为 ， ，由题设知
．又因为 ， ，可得 ．即
．由 ， ，可知 ，故 两点关于 轴对称，所以圆心 在 轴上．设 点的坐标为 ，则 点坐标为 ，于是有 ，解得 ，所以圆 的方程为 ．
（II）解：设 ，则 ．
在 中， ，由圆的几何性质得
， ，所以 ，由此可得