高三数学教案 平面向量与圆锥曲线的综合问题
高三数学教案： 圆锥曲线与平面向量
课时考点12 圆锥曲线与平面向量考纲透析考试大纲：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的概念，向量的坐标运算.圆锥曲线与平面向量的综合.新题型分类例析热点题型1：直线与圆锥曲线的位置关系 （05重庆•文21）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅（其 中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a 由已知得.1,2,2,32222==+==b b a c a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k 即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA k x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ②由①、②得 .1312<<k 故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- [变式新题型1]：解：（I ）由已知，………………4分 ………………5分即所求曲线的方程为………………7分（II ）由消去y 得： 解得：（分别为点M ，N 的横坐标）…………10分由解得：………………12分 所以直线的方程为或………………14分（05湖南理19）已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线 l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. ()()()m x y y x =+=+0222222，，，()()()n x x =-=--，，，02222()()()Θm n y x x ∥，∴--+-=222202x y 2221+=x y y kx 22211+==+⎧⎨⎪⎩⎪()124022++=k x kx x x kk 1220412==-+，x x 12，MN k x x k k k =+-=++=1141242321222k =±1l x y -+=10x y +-=10所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a ea ab e ac λλ=+-=得 即221e a a b e a c e a -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a e a -设M 的坐标是00(,),x y 00(,)(,),a a AM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以 ,1220220=+by a x 即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-ee b a a e a λλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ， 由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-== 得.1122e e e =+- 所以.321,3122=-==e e λ于是 即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x c e y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得 由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2[变式新题型2]设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足=，其中M （0，3），求线段AB 的长.[启思]热点题型2：向量的坐标运算与韦达定理（05全国Ⅰ•理21）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+by a x ，化简得 02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由y y x x +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222c ba c a =+，所以36.32222ab ac b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+ 设),(y x OM =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ①由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ .[启思]。
浙江省鄞州高级中学高三数学复习讲义平面向量与圆锥曲线的综合问题
平面向量与圆锥曲线的综合问题例１ 已知F １、F ２分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是第一象限内该数轴上的一点，1254PF PF •=-，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点M （0，２）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知2a =，1b =，c =∴1(F，2F ．设(,)P x y (0,0)x y >>．则22125(,,)34PF PF x y x y x y ⋅=---=+-=-，又2214x y +=，联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211342x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，P ． （Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩∴1221214x x k =+，1221614k x x k+=-+由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅> 22163(14)0k k -+>，2430k ->，得234k >．１又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>，∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k=+⋅+⋅-+++22212(1)21641414k k k k k +⋅=-+++224(4)014k k -=>+∴2144k -<<．２ 综１２可知2344k <<，∴k 的取值范围是33(2,)(,2)22-- 例２ 已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线22y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB 的内接圆（点C 为圆心）（I ）求圆C 的方程；（II ）设圆M 的方程为22(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF •的最大值和最小值．本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分１４分．（I ）解法一：设A B ，两点坐标分别为2112y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2222y y ⎛⎫⎪⎝⎭，，由题设知 222222222211122212()2222y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 解得221212y y ==，所以(63)A ，，(623)B -，或(63)A -，，(63)B ，． 设圆心C 的坐标为(0)r ，，则2643r =⨯=，所以圆C 的方程为22(4)16x y -+= 解法二：设A B ，两点坐标分别为11()x y ，，22()x y ，，由题设知22221122x y x y +=+．又因为2112y x =，2222y x =，可得22112222x x x x +=+．即1212()(2)0x x x x -++=．由10x >，20x >，可知12x x =，故A B ，两点关于x 轴对称，所以圆心C 在x 轴上．设C 点的坐标为(0)r ，，则A 点坐标为332r ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，于是有23322r ⎫=⨯⎪⎪⎝⎭，解得4r =，所以圆C 的方程为22(4)16x y -+=． （II ）解：设2ECF a ∠=，则2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===-．在Rt PCE △中，4cos ||||x PC PC α==，由圆的几何性质得 ||||17PC MC +=≤18+=，||||1716PC MC -=-=≥，所以12cos 23α≤≤，由此可得1689CE CF --≤≤．则CE CF 的最大值为169-，最小值为8-．例３ 已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ •=•．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．（１）已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值；（２）求MA MB 的最小值．解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP=(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2:4C y x =．（Ⅱ）（１）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，．由，1MA AF λ=2MB BF λ=得：1112y y m λ+=-2222y y m λ+=- 整理得：1121my λ=--2221my λ=--12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424mm =---0=解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ =得：()0FQ PQ PF +=，()()0PQ PF PQ PF ∴-+=220PQ PF ∴-=PQ PF ∴=所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =．（Ⅱ）（１）由已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，得120λλ<． 则：12MA AF MBBFλλ=-．…………１过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则有：11MA AA AFMB BB BF ==．…………２由１２得：12AF AF BFBF λλ-=，即120λλ+=． （Ⅱ）（２）解：由解法一，(2121M M MA MB y y y y =--221212(1)()M Mm y y y y y y =+-++2224(1)44m m m m =+-+⨯+224(1)4m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭22214(2)4216m m m ⎛=+++= ⎪ ⎪⎝⎭≥当且仅当221m m =，即1m =±时等号成立，所以MA MB 最小值为16．同步练习１ 设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=（ B ）Ａ．9Ｂ．6 Ｃ．４Ｄ．３２ 设12F F ，分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF •=，则12PF PF +=（ B ）AＢ．Ｄ． ３已知12F F 、是椭圆的两个焦点．满足1·2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C ）A ．（0，１） Ｂ．（0，21] Ｃ．（0，22） Ｄ．[22，１）４ 已知椭圆12222=+by a x 的左、右焦点分别为F １、F ２，且|F １F ２|=２c ，点A 在椭圆上，211F F AF ⋅=0221c AF AF =⋅，则椭圆的离心率e=（ ）Ａ．33 Ｂ．213- Ｃ．215- Ｄ．22 ５ P 是抛物线)1(212-=y x 上的动点，点A （0,—１），点M 满足2PM MA =，则点M 的轨迹方程是（ A ） A ）)31(612+=y x （B ）)31(612+=x y （C ）)31(312-=y x （D ）)1(312+-=y x6 .已知两点M （—２，0）、N （２，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为 （ B ）A.x y 82= Ｂ．x y 82-= C.x y 42= D.x y42-=7设直线l 过点P （0，３），和椭圆22194x y +=顺次交于A 、B 两点，若AP PB λ= 则的取值范围为______8已知点()()A ,2,B 04o -，，动点()P ,x y 满足2.8PA PB y =-，则动点P 的轨迹方程是_22xy =_____9椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，其离心率32=e , 过点C （—１,0）的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，且满足点C 满足2AC CB =（１）用直线l 的斜率k （ k ≠0 ） 表示△OAB 的面积；（２）当△OAB 的面积最大时，求椭圆E 的方程。
高考数学一轮教案(圆锥曲线的综合问题)
高考数学一轮教案（圆锥曲线的综合问题）§9.8圆锥曲线的综合问题★ 知识分类★1.直线与圆锥曲线c的位置关系：通过将线l的方程代入曲线C的方程，并消除y或X，我们得到了方程AX2+BX+C=0(1)交点个数：① 当a=0或a≠ 0，s=0，曲线和直线之间只有一个交点；② 当≠ 0且s>0时，曲线与直线有两个交点；③ 当s<0时，曲线和直线之间没有交点。
(2)弦长公式：|ab|?1?k2?|x2?x1|?1?k2?(x1?x2)2?4x1?x22.对称问题：曲线上的两点与已知直线对称：① 曲线上两点的直线垂直于已知的直线（获得斜率）；② 曲线上两点的直线和曲线有两个公共点（s>0）；③ 曲线上两点的中点在对称直线上。
3.求出运动点的轨迹方程：①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。
★ 重点难点突破★重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题重点和难点：综合运用方程、函数、不等式和轨迹知识解决相关问题1.体验解题时“设而不求”的简化运算功能①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求.2.体验数学思维方法（主要是方程思维、变换思维、数形结合）在问题解决中的应用x2y2??1的左焦点，点a(1,1)，动点p在椭圆上，则|pa|?|pf问题1：已知点f1为椭圆1|的最小值95为.刻度盘：将F2设置为椭圆的右焦点，使用定义将|Pf1 |转换为|PF2 |并组合图形，|pa|?|pf1|?6?|pa|?|pf2|，当p、a、f2共线时最小，最小值为6-2★ 热门考点问题类型分析★考点1直线与圆锥曲线的位置关系题型1：交点个数问题[示例1]让抛物线y2=8x的准直与点Q处的x轴相交。
(浙江专用)高考数学第八章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题教案(含解析)
第九节圆锥曲线的综合问题1．直线与圆锥曲线的地址关系判断直线l 与圆锥曲线C 的地址关系时，平时将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不一样 时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )获取一个关于变量x (或 变量y )的一元方程．即Ax ＋By ＋C ＝0，消去 y ，得 ax 2＋bx ＋c ＝0.F x ，y＝0(1)当a ≠0时，设一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0的鉴识式为 ，则 ＞0? 直线与圆锥曲线C 订交；＝ 0?直线与圆锥曲线C 相切；＜0?直线与圆锥曲线C 相离．(2) 当a ＝0，b ≠0时，即获取一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 订交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的地址关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的地址关系是平行或重合． 2．弦长公式 设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 订交于A ，B 两点，A (x ，y )，B (x ，y )，则112 2|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝1121＋k 2·|y －y |＝1 y 1＋ y2－412.1＋2· 2kyy[小题体验]x 2 y 21．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆9＋4＝1的地址关系为( )A ．订交B ．相切C ．相离D ．不确立分析：选A 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1) ，又点(1,1) 在椭圆内部，故直线与椭圆订交．2．极点在座标原点，焦点在 x 轴上的抛物线截得直线 ＝2 x ＋1所得的弦 的长为 15，y AB则该抛物线的标准方程为 ____________．分析：设抛物线的方程为y 2＝( ≠0)，( 1， 1)，( 2， 2)．mxm Ax y Bxyy 2＝mx ，可得4 2＋(4－)＋1＝0.由方程组y ＝2x ＋1x mx4－m1所以x 1＋x 2＝－ 4 ，x 1x 2＝ 4.所以|AB |＝ 2 x ＋x2]＋22－4xx1 1 2＝ 51－m 2－1＝15，4解得m ＝12或m ＝－4.所以抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x . 答案：y 2＝12x 或y 2＝－4x1．直线与双曲线交于一点时，易误以为直线与双曲线相切，事实上不必定相切，当直 线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线订交于一点．2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相 交于一点．[小题纠偏]1．过点(0,1) 作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条分析：选C结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x ＝0)．2．直线b y ＝ax ＋3与双曲线x 2y 2a 2－b 2＝1的交点个数是()A ．1B ．2C ．1或2D ．0分析：选 A因为直线by ＝ax ＋3与双曲线的渐近线by ＝ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．考点向来线与圆锥曲线的地址关系要点保分型考点——师生共研[典例引领]在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1) 求轨迹C 的方程；(2) 设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)，若直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，务实数k 的取值范围．解：(1)设点M (x ，y )，依题意|MF |＝|x |＋1， ∴x －2＋y 2＝|x |＋1，化简得y 2＝2(|x |＋x )，故轨迹C 的方程为y 2＝4x ，x ≥0， 0，x ＜0.(2) 在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x (x ≥0)，C 2：y ＝0(x ＜0)．依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．y －1＝kx ＋ ， 消去x ， 联立y 2＝4x 可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①1当k ＝0 时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝4.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点 1.，14当k ≠0时，方程①的＝－16(2k 2＋k －1)＝－16(2k －1)(k ＋1)，②设直线l与x 轴的交点为(x 0,0)，则由 y －1＝ ( x ＋2)，令 y ＝0，得＝－ 2k ＋1kxk＜0，1(ⅰ)若x 0＜0，由②③解得k ＜－1或k ＞2.所以当 k ＜－1或 k ＞1时，直线 l 与曲线1 没有公共点，与曲线 2有一个公共点，故此2 CC时直线l与轨迹C 恰好有一个公共点.＝0，2k 2＋k －1＝0，(ⅱ)若即 2k ＋1解集为?.x ≥0，＜0，k1 综上可知，当k ＜－1或k ＞或k ＝0时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．21故实数k 的取值范围为(－∞，－1)∪{0}∪2，＋∞.[由题悟法]1．直线与圆锥曲线地址关系的判断方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可获取一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，依据图象判断公共点个数．2．判断直线与圆锥曲线地址关系的注意点(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意谈论二次项系数能否为零的状况．(2)判断直线与圆锥曲线地址关系时，鉴识式起着要点性的作用，第一：可以限制所给参数的范围；第二：可以弃取某些解省得产生增根．[即时应用]1．直线y＝kx＋2 与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为( )A．1 B．1或3C．0 D．1或0分析：选Dy＝kx＋2，得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，由2＝8，y x若k＝0，则y＝2，吻合题意．若k≠0，则＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，所以直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点时，k＝0或1.x2 y22．已知双曲线a2－b2＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( ) A．(1，5) B．(1，5]C．(5，＋∞)D．[ 5，＋∞)b分析：选C 因为双曲线的一条渐近线方程为y＝a x，b c b2则由题意得a＞2，所以e＝a＝1＋a ＞1＋4＝5.考点二弦长问题要点保分型考点——师生共研[典例引领]x2y2(2018·浙江六校联考)如图，椭圆C1：a2＋b2＝1(a＞b＞0)和圆C2：x2＋y2＝b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三均分，且圆C2的面积为π.椭圆C1的下极点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2订交于点A，B，直线EA，EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P，M.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△EPM面积最大时直线l的方程．解：(1)由题意得：b＝1，则a＝3b，x 22所以椭圆C 1的方程为：9＋y ＝1.(2) 由题意得：直线PE ，ME 的斜率存在且不为0，PE ⊥EM ，不如设直线PE 的斜率为k (k ＞0)，则PE ：y ＝kx －1，y ＝kx －1， 18k ，x ＝ 2x ＝0， 由x 29k ＋1 2 得 2或 9 ＋y ＝19k －1y ＝－1.y ＝9k 2＋1所以P 18k9k 2－1－18k 9－k 22，9k22，2，9k ＋1 ＋1，同理得M k ＋ 9 k ＋9PMk 2－1则k ＝10k，y ＝kx －1，2k k 2－1k 2－1 由x 2＋y 2＝1，得A 1＋k 2 ，1＋k 2 ，所以k AB ＝2k ，1△EPM1k ＋k 3162k ＋k1△EPM162t所以S＝2|PE|·|EM|＝94＋822＋9＝9.设t ＝k ＋，则S＝92＋64＝k k9k 2＋82＋k 2kt16227，当且仅当＝ 1 8127，则直线：k 2－1≤t＋＝时取等号，所以k－ ＝±＝x648k k 3k3ABy2k9t ＋t11＝ 2k －k x ，7所以所求直线l 方程为：y ＝±3x .[由题悟法]弦长的3种常用计算方法(1) 定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题． (2) 点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．(3) 弦长公式法：它表现认识析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系获取的．[提示]直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直的特别状况．[即时应用]x 2 y 21(2018·温州二模)已知椭圆C ：a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，离心率为 2，过右焦点的直线l 与椭圆订交于M ，N 两点，点P 的坐标为(4,3) ，记直线 PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.(1) 求椭圆C 的方程；24(2) 当|MN |＝7时，求直线l 的斜率． 解：(1) ∵2a ＝4，∴a ＝2， 又e ＝ c ＝ 1，∴c ＝1，∴b 2＝3. a 2x 2y 2∴椭圆C 的方程为4＋3＝1.(2) 椭圆右焦点(1,0)，当l 斜率不存在时，|MN |＝3，不合题意；当l斜率k 存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 2 y 2 由4＋3＝1，y ＝kx －，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3) ＝0， ＝144(k 2＋1)＞0建立，∴ x 1＋ x2＝8k22，12＝ k 2－2，3＋4k xx3＋4k∴||＝1＋ k 2 ·x 1＋ 2 2－412MNxxx28k 22k 2－24＝ 1＋k · 3＋4k 2 －4×3＋4k 2＝7， 解得k ＝±1.故直线l 的斜率为±1.考点三定点、定值问题要点保分型考点——师生共研[ 典例引领]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．(1) 求抛物线C 的方程；1(2) 若直线OA ，OB 的斜率之积为－2，求证：直线AB 过x 轴上必定点． 解：(1)因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(1,0)，p所以2＝1，即p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，t 2t 2设A4，t，B4，－t.1因为直线OA ，OB 的斜率之积为－2，t －t 1 2所以t 2·t 2 ＝－2，化简得t ＝32.4 4所以 (8， t )，(8，－ t )，此时直线 的方程为 ＝8.A B AB x ②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，y 2＝4x ，消去x 得ky 2－4y ＋4b ＝0. 联立方程组y ＝kx ＋b ， 由根与系数的关系得AB4byy ＝k ，1因为直线OA ，OB 的斜率之积为－2，y A y B 1AB ＋2 AB ＝0. 所以 ·＝－，即x A x B 2 xx yy22y A y B即4·4＋2y A y B ＝0，解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32.4b 所以y A y B ＝k ＝－32，即b ＝－8k ， 所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)． 综合①②可知，直线AB 过定点(8,0)．[由题悟法]1．圆锥曲线中定点问题的两种解法(1) 引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2) 特别到一般法：依据动点或动线的特别状况探究出定点，再证明该定点与变量没关． 2．定值问题常有的2种求法(1) 从特别下手，求出定值，再证明这个值与变量没关． (2) 引进变量法：其解题流程为[即时应用]1．(2018·宁波模拟)如图，中心在座标原点，焦点分别在 x 轴和y轴上的椭圆T ，T 都过点M (0，－ 2)，且椭圆T 与T 的离心率均为2.12122(1) 求椭圆T 1与椭圆T 2的标准方程；(2) 过点M 引两条斜率分别为k ，k ′的直线分别交T 1，T 2于点P ，Q ，当k ′＝4k 时，问直线P Q 能否过定点？若过定点，求出定点坐标；若但是定点，请说明理 由．解：(1)设椭圆1，2的方程分别为x 2 y 2a ＞＞0)，y 22＋ x 22＝1( ′＞ ′＞0)，2＋ 2＝1(TTa bba ′b ′abc 2222由题意得b ＝ 2，e ＝a ＝2，又a ＝b ＋c ，解得a ＝2.同理可得 a ′＝ 2，′＝1，所以椭圆1和椭圆2的方程分别为 x 2 y 2y 2x 2＋＝1，＋＝1.bTT422(2) 直线MP 的方程为y ＝kx －2，x 2 y 2＋ ＝1，消去y 得(2k 2＋1)x 2－4 2kx ＝0，联立42 y ＝kx －24 2k则点P 的横坐标为2k 2＋1，所以点P 的坐标为42 2k 22k 2－2， 2 .2k ＋1 2k ＋1同理可得点 Q 的坐标为 22k ′2k ′2－22.k ′2＋2， k ′2＋2又 k′＝4 ，则点Q 的坐标为4 2 2k82k 2－2k，8k ＋18k ＋182k 2－222k 2－2所以k PQ ＝8k 2＋1 － 2k 2＋1 ＝－1 ，42k 4 2k2k8k 2＋1－2k 2＋12 2 2－21 4 2k则直线P Q 的方程为y －2k 2＋1＝－2k x －2k 2＋1 ，化简得y － 12＝－2x ，故直线P Q 过定点(0，2)．kx 2 y 22．(2018·嘉兴模拟)如图，椭圆E ：a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，2－1)，且离心率为2.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不一样两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与A Q的斜率之和为定值．c2解：(1) 由题意知a＝，b＝1，2由a2＝b2＋c2，得a＝2，所以椭圆E的方程为x2＋y2＝1.2(2)证明：设直线P Q的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，2x代入＋y＝1，22 2得(1＋2k)x－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由题意知＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x2≠0，4k k－2kk－则x1＋x2＝1＋2k 2，x1x2＝1＋2 2 ，k所以直线AP与A Q的斜率之和y1＋1y2＋1k AP＋k AQ＝x1＋x2kx1＋2－k kx2＋2－k＝＋x2x12k＋(2－k) 1 1＝＋x2 x1x1＋x2＝2k＋(2－k)x1x24k k－＝2k＋(2－k)2k k－＝2k－2(k－1)＝2.故直线AP与A Q的斜率之和为定值2.考点四最值、范围问题要点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·浙江原创猜题卷)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l 交抛物线C于P，Q两点，且|P Q|＝8，线段P Q的中点到y轴的距离为3.(1)求抛物线C的方程；(2)若点 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线C 上相异的两点，满足x 1＋x 2＝2，且AB 的中垂线交 x 轴于点 ，求△的面积的最大值及此时直线的方程．M AMBAB解：(1)设P (x ，y )，Q(x ，y )，PPQQ则P Q 的中点坐标为x P ＋x Q y P ＋y Q.， 22x P ＋x Q由题意知＝3，∴x P ＋x Q ＝6，2又|P Q|＝x P ＋x Q ＋p ＝8，∴p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)当AB 垂直于x 轴时，明显不吻合题意， 所以可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，y ＝kx ＋b ， 消去y 并整理，得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0， 由y 2＝4x ＝ 16(1－kb )＞0，4－2kb 2 ∴由x 1＋x 2＝k 2＝2，得b ＝k －k ，2∴直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋k .2∵AB 中点的横坐标为1，∴AB 中点的坐标为1，k .13 可知AB 的中垂线的方程为y ＝－k x ＋k ， ∴M 点的坐标为(3,0)．∵直线AB 的方程为k 2x －ky ＋2－k 2＝0，22|3k ＋2－k |2k 2＋1∴M 到直线AB 的距离d ＝ 4 ＋k 2 ＝k|k |.k 2x －ky ＋2－k 2＝0，k 2 22由y 2＝4x ，得4y －ky ＋2－k ＝0，＝k 2(k 2－1)＞0，48－4 k 2∴y 1＋y 2＝k ，y 1y 2＝k 2 ，∴||＝1y 1－ y 4 k 2 ＋1k 2－1.1＋ 2|2|＝k 2ABk设△AMB 的面积为S ，1|·＝41＋ 1 1－ 1则＝|kk 2，21设1－k2＝t，则0＜t＜1，2 3 2∴S＝4t(2－t)＝－4t＋8 t，S′＝－12t＋8，6由S′＝0，得t＝3 (负值舍去)，即当k＝±max 16 63时，S ＝9 ，此时直线AB的方程为3x±3y－1＝0.[由题悟法]解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或鉴识式构造不等关系，从而确立参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这种问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其余变量的函数，求其值域，从而确立参数的取值范围．[即时应用]1．如图，设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．解：(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，p由抛物线的定义得2＝1，即p＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1,0)，可设A(t2,2t)，t≠0，t≠±1.y2＝4x，因为AF不垂直于y轴，所以可设直线AF的方程为x＝sy＋1(s≠0)，由消x＝sy＋1去x得y2－4sy－4＝0.1 2故y1y2＝－4，所以B t2，－t.2t又直线AB的斜率为t2－1，t2－1故直线FN的斜率为－2t，t2－1从而得直线FN的方程为y＝－2t(x－1)．2又直线BN的方程为y＝－t，t2＋3 2所以N t2－1，－t.2设M(m,0)，由A，M，N三点共线得2t＝2t＋t2 t 2 ，t－m 2 ＋3t－t2－12t2 2于是m＝t2－1＝1，得m＜0或m＞2.1－t2经检验，m＜0或m＞2满足题意．综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．2．(2018·温州期末)已知椭圆的焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1，0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|P Q|＝3，(1)求椭圆的方程；(2)如图，过F2的直线l与椭圆交于不一样的两点M，N，则△F1MN的内切圆的面积能否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明原由.解：(1)设椭圆方程为x2 y2＞＞0)，2＋2＝1(a b a b由焦点坐标可得c＝1，2b2由|P Q|＝3，可得a＝3，2 2解得＝2，＝3，故椭圆的方程为x＋y ＝1.a b 4 3(2)设M(x ，y)，N(x ，y )，△FMN的内切圆的半径为R，1 12 2 11 R＝4R，则△FMN的周长为4a＝8，S△FMN＝2(|MN|＋|FM|＋|FN|)1 1 1 1所以S△FMN最大，R就最大，S△FMN＝ 2 |FF|(y－y)＝y －y .1 1 1 12 1 2 1 2由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝＋1，myx ＝my ＋1，由x 2 y 22 2得(3m ＋4)y ＋6my －9＝0， 4＋3＝12－2－3m ＋6m ＋13m －6m ＋1解得y 1＝2，y 2＝2，3m ＋43m ＋4212m ＋1则S △F 1MN ＝y 1－y 2＝2.3m ＋4令t ＝ 2m ＋1，则t ≥1,12t 12所以S △F 1MN ＝3t 2＋1＝t ＋ 1，3 t令 f()＝3 t1f1＋，则′( )＝3－2，tttt当t ≥1时，f (t )在[1，＋∞)上单调递加，有112f (t )≥f (1)＝4，S △FMN ≤4＝3，即当t ＝1，m ＝0时，取等号， 又S △F 1MN ＝4R ， 39所以R ＝4，故所求内切圆面积的最大值为16π.max所以直线l 的方程为 x ＝1时，△1的内切圆面积获得最大值FMN916π.一保高考，全练题型做到高考达标x 2 y 21．(2019·台州模拟)已知双曲线12－4＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是( )A.－3，3B ．[－3，3]33C.－3，3D ．(－3，3)33分析：选A易知该双曲线的渐近线方程为y ＝± 33x ，当过右焦点的两条直线分别与两条渐近线平行，即两条直线的斜率分别为3和－3时，这两条直线与双曲线右支分别只3 3有一个交点，所以此直线的斜率的取值范围是33 .－3，32．(2018·宁波调研)已知但是原点O 的直线交抛物线 y 2＝2px 于A ，B 两点，若OA ，AB的斜率分别为 k ＝2，k ＝6，则OB 的斜率为()OAABA ．3B ．2C ．－2D ．－3分析：选 D 由题意可知，直线 OA 的方程为 y ＝2x ，与抛物线方程 y 2＝2px 联立得y ＝2 ，x ＝0，ppy 2＝2px ，解得y ＝0或2所以A 2，p ，则直线AB 的方程为 y －p ＝y ＝p ，p y ＝6x －2p ，x ＝2p，296x －2，即y ＝6x －2p ，与抛物线方程y ＝2px联立得y 2＝2px ，解得 2py ＝－3p2pxp－＝，2232或所以BpOB2p ＝－3.y ＝p ， 9，－3，所以直线OB 的斜率k＝9πx 2 y 23．(2018·杭州二模)倾斜角为4 的直线经过椭圆 a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于 ， 两点，且 ＝2 ，则该椭圆的离心率为 ( )ABAFFBA. 3B.22323 C.2D.3x 2 y 2分析：选B由题可知，直线的方程为 y ＝x －c ，与椭圆方程联立得a 2＋b 2＝1，∴y ＝x －c ，y 1 ＋y 2－2b 2c＝2 2，(2＋2) y 2＋2 2 － b 4＝0，且＞0.设( 1， 1)，( 2， 2)，则 a ＋b 又－b 4abbcyAx y Bx y y ya1 2 2 2－22AF ＝2FB ，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，∴－y 1＝2y 2，即－y 2＝a 2＋b 2，1 －2 2－b 4 2，∴2＝2＝ 2ya ＋b4c 22a 2＋b 2，∴e ＝3，应选B.2 24．(2018·温州十校联考)已知点P 是双曲线：x2－y2＝1(＞0，＞0)右支上一点，C a bab1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线正是线段1的中垂线，则该双曲线的离心率FPF是()A.2B. 3 C ．2D.52分析：选 D1ab－ a ， ab设直线PF ：y ＝b (x ＋c )，则与渐近线y ＝－a x 的交点为Mcc .因1P －2a 2＋ ， 2ab，因为点P 在双曲线上，所以为M 是PF 的中点，利用中点坐标公式，得c cc b 2－a 224a 2b 2422满足a 2c 2－c 2b 2＝1，整理得c＝5ac ，解得e ＝5.5．(2019·丽水五校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0) 的焦点为F ，准线为l ，过点F且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，AM ⊥l ，BN ⊥l ，M ，N 为垂足，点Q 为MN 的中点， |Q F |＝2，则p ＝________.分析：如图，由抛物线的几何性质可得，以AB 为直径的圆与准线相切，且切点为Q ，△MFN 是以∠MFN 为直角的直角三角形，∴ |MN |＝2|Q F ||BD | °＝ 4 ＝ 8 3sin603 3 .设A (x ，12y 2＝2px ，12 2p2 2 125 p ，∴|AB |＝x13x －y ＝ 2 ，35 883＋ x 2＋p ＝3p ＋p ＝3p ＝3，∴p ＝3.答案：322y6．已知双曲线x －＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物 线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．分析：设( 1， 1)，( 2， 2)， 的中点 ( 0， 0)，MxyNxyMNPxy22y 1x 1 －3＝1，则22y 2x 2 －3＝1，1两式相减，得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝3(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，y －y 1 y ＋y 1 MN y 0 明显x 1≠x 2.∴ 2· 2＝3，即k ·x 2 －x 1 x 2 ＋x 1 x ＝3，0 ∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1，m 3m∴ y 0＝－3x 0.又∵y 0＝x 0＋m ，∴P －4，4，92 m代入抛物线方程得16m ＝18×－4 ，解得m ＝0或－8，经检验都吻合． 答案：0或－87．(2019·湖州六校联考)设抛物线： y 2＝4 x 的焦点为，过点(－1,0)作直线l 与CFP抛物线C 交于 ， B 两点，若△ABF＝2，且||＜||，则|AF |＝________.ASAF BF|BF |分析：设直线 l 的方程为x ＝my －1，将直线方程代入抛物线C ：y 2＝4x 的方程，得y 2－4my ＋4＝0，＝ 2＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，|y 1|＜|y 2|，所以y 1＋y 2＝4m ，16(m －1) y 1·y 2＝4，又S △122＝|y 2－y 1|＝22＝＝2，所以1＋m ·|y －y |·22，所以y ＋yABF2m ＋122105y 1|AF | |x ＋1| |my －1＋1| y 11110，所以12 ＝＝，从而＝，即＝1 ＝ 1＝＝.y 2＋ y 21·y 242＋ 2－y22 |BF | |x 1| |my 11| 21答案：2x 221 C 所截8．(2019·衢州模拟)已知椭圆C ：＋y ＝1，若一组斜率为的平行直线被椭圆24线段的中点均在直线 l 上，则l 的斜率为________．分析：设弦的中点坐标为( ， y )，设直线 ＝1＋与椭圆订交于( 1， 1)，( 2，Mxy 4xmAxyBxy ＝ 1 ＋，4x m2222y 2)两点，由2消去y ，得9x ＋8mx ＋16m －16＝0，＝64m －4×9×(16mx 22＋y＝1232 32128m 1216m －16－16)＞0，解得－4＜m ＜4，x ＋x ＝－9，xx ＝9，∵M (x ，y )为弦AB 的中点，124m∴x ＋x ＝2x ，解得x ＝－9，3 2 3 22 2∵m ∈－4，4，∴x ∈－3，3，1y ＝4x ＋m ，由消去m ，得y ＝－2x ，4mx ＝－922则直线l 的方程为y ＝－2x ，x ∈－3，3， ∴直线l 的斜率为－2. 答案：－2x 22 9．(2018·东阳适应)已知椭圆a 2＋y ＝1(a ＞1)．(1)若A (0,1)到焦点的距离为 3，求椭圆的离心率．(2)Rt △以(0,1) 为直角极点，边，与椭圆交于两点，.若△ 面积的最ABCAAB AC BC ABC27大值为8，求a 的值．c 6解：(1) 由题可得a ＝ 3，所以c ＝ 2，所以e ＝a ＝3.(2)不如设AB 斜率k ＞0，1则AB ：y ＝kx ＋1,AC ：y ＝－kx ＋1，y ＝kx ＋1，由x 22a 2＋y ＝1得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，2a 2k2a 2k解得x B ＝－1＋a 2k 2，同理x C ＝k 2＋a 2，14k 1＋k 2S ＝2|AB || AC |＝ 2a ·a 2k 4＋a 4k 2＋k 2＋a 2114k ＋k＝2 4k ＋k，＝2a ·a 2a ·12 242k ＋ 2 ＋ 22ak＋2＋a＋1ak a －1k1设t ＝k ＋k ，则t ≥2，4t2a 4a 3a 2－1S ＝2a ·2 2 ＋ a 2－2＝2 －2≤2－1，当且仅当t ＝a≥2，即a ≥1＋ata 2t ＋ a ta2时取等号，a 3273＋297由a 2－1＝8，解得a ＝3，a ＝ 16(舍)，若a ＜1＋ 2，明显无解．∴a ＝3.x 2 y 2310．(2019·嘉兴模拟)已知椭圆C ：a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，过 F 2的直线l 与C 订交于A ，B 两点，△F 1AB 的周长为43.(1) 求椭圆C 的方程；(2)若椭圆 C 上存在点 ，使四边形 为平行四边形，求此时直线 l 的方程．POAPB3 c 3解：(1)∵椭圆的离心率为3，∴a ＝3，∴a ＝3c ，又△F 1AB 的周长为4 3，∴4a ＝4 3，解得a ＝3，∴c ＝1，b ＝2，x 2y 2∴椭圆C 的标准方程为3＋2＝1.(2) 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，∵当直线l 的斜率不存在时，这样的直线不满足题意， ∴设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 将直线l 的方程代入椭圆方程，整理得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，6k 2 ∴x 1＋x 2＝2＋3k 2，6k 3－4k故y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝2＋3k 2－2k ＝2＋3k 2.∵四边形OAPB 为平行四边形，∴ OP ＝OA ＋ OB ，6k 2－4 k从而x 0＝x 1＋x 2＝2＋3k 2，y 0＝y 1＋y 2＝2＋3k 2，6k 2 2－4k 22＋3 22＋3 k 2又P (x ，y )在椭圆上，∴k＋＝1，23化简得3k 4－4k 2－4＝0，解得k ＝±2，故所求直线l 的方程为y ＝±2(x －1)． 二登台阶，自主选做志在冲刺名校221．(2018·湖州质检)已知椭圆： x 2＋y2＝1(a ＞＞0)，不经过原点 O 的直线 l ：＝E a b b ykx＋m (k ＞0)与椭圆E 订交于不一样的两点 A ，B ，直线 OA ，AB ，OB 的斜率挨次构成等比数列．(1) 求a ，b ，k 的关系式；1＋1(2)若离心率e ＝2且|AB |＝7mm ，当m 为什么值时，椭圆的焦距获得最小值？解：(1) 设( 1， y 1)，( 2， 2)，AxBx y 2y 1y 2由题意得k ＝k OA ·k OB ＝.x 1x 222x 2 y 2222222222联立a ＋b ＝1，消去y ，整理得(b＋ak )x ＋2akmx ＋am －ab ＝0，y ＝kx ＋m222222 222＞0，故＝(2akm )－4(b ＋ak )(am －ab )222 2即b －m ＋ak ＞0，2222 22akmam －ab且x 1＋x 2＝－b 2＋a 2k 2，x 1·x 2＝b 2＋a 2k 2，y 1y2＋kmx 1＋x 2222kx 1x 2＋m所以k ＝＝xx，xx221 12 22 22akm2即km (x 1＋x 2)＋m ＝0，－b 2＋a 2k 2＋m ＝0.又直线不经过原点，所以m ≠0，所以b 2＝a 2k 2，即b ＝ak .(2)因为 1 ＝2 ，＝ 3 ， ＝ 3＝，则 ，2 22 2 23 所以x 1＋x 2＝－b 2＋a 2k 2＝－3，x 1·x 2＝22 2 2222am －abb 2＋a 2k 2＝3m －2c ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝7x 1＋x 22－4x 1·x 2＝27 2 322 222·－ 3m－43m －2c721＝4m2m ＋ ，2 ·－3＋8c ＝7 m214 32＝ 4m＞0恒建立),化简得2c＋2＋2≥＋2(3m3214当且仅当 4m，即 ＝±12时，焦距最小．＝23mm2412综上，当m ＝±2时，椭圆的焦距获得最小值．2．(2018·学军适考)已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点P (0，m )(m ＞ 0) 的动直线l 与C 订交于A ，B 两点，抛物线C 在点A 和点B 处的切线 订交于点Q ，直线A Q ，B Q 与x 轴分别订交于点E ，F .(1) 写出抛物线C 的焦点坐标和准线方程； (2) 求证：点Q 在直线y ＝－m 上；(3) 判断能否存在点P ，使得四边形PE Q F 为矩形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明原由．解：(1)焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1.(2) 证明：由题意知直线l 的斜率存在，故设l 的方程为y ＝kx ＋m .y ＝kx ＋m ， 得x 2－4kx －4m ＝0，由方程组2＝4，xy由题意，得＝16k 2＋16m ＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，121所以抛物线在点A 处的切线方程为y －4x 1＝2x 1(x －x 1)，1 12 化简，得y ＝2x 1x －4x 1，①同理，抛物线在点 B 处的切线方程为11 2 .②2 2112 11 211 22即2(x －x )x ＝4(x － x )(x ＋x )，因为x ≠x ，所以x ＝2 (x ＋x ),代入①，得y ＝4xx21 12 1 1 2121211 21 1x1＋x2＝－m，所以点Q，－m，即Q(2k，－m)．2所以点Q在直线y＝－m上.(3)假设存在点P，使得四边形PE Q F为矩形，由四边形PE Q F为矩形，得E Q⊥F Q，即A Q⊥B Q，11所以k AQ·k BQ＝－1，即2x1·2x2＝－1.1 1由(2)，得4x1x2＝4(－4m)＝－1，解得m＝1.所以P(0,1)．以下只要考据此时的四边形PE Q F为平行四边形即可．1在①中，令y＝0，得E2x1，0.1同理得F2x2，0.所以直线EP的斜率为k＝1－0 －2 ，EP0－2x1直线Q的斜率k 0－－＝－2F 1x2－x＋x2 x1 12 2EP FQ所以k＝k，即EP∥F Q.同理∥Q.PF E所以四边形PE Q F为平行四边形．综上所述，存在点P(0,1)，使得四边形PE Q F为矩形．命题点一椭圆x2y21．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左极点，点P 在过A且斜率为 3 的直线上，△12为等腰三角形，∠12＝120°，则C6 PFF FFP的离心率为( )2 1A.3B.21 1C. D.3 4分析：选D如图，作PB ⊥x 轴于点 B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠FFP ＝120°，可得|PB |＝3，|BF |＝1，故|AB |＝a ＋1＋122|PB |33c 1 1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝||＝a ＋2＝ 6，解得a ＝4，所以e ＝＝ 4.ABa2x 2．(2018·浙江高考)已知点P (0,1)，椭圆＋y ＝m (m ＞1)上两点A ，―→―→B 满足AP ＝2PB ，则当m ＝________时，点B 橫坐标的绝对值最大．―→―→分析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP ＝2PB ，－ x 1＝2x 2， 得 y 2－ ， 即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.1－y 1＝24x 2－2y24＋2＝m ，因为点 ， 在椭圆上，所以2ABx 224＋y 2＝m ，13221 25 912＋4≤4，＝m －(3－2y)＝－＝－222所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大． 答案：52x 3．(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：＋y ＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 的方程；AM (2)设O 为坐标原点，证明：∠ OMA ＝∠OMB .解：(1)由已知得(1,0) ， l 的方程为 x ＝1.F则点 A 的坐标为2 或2 .1，21，－2又M (2,0)，所以直线AM 的方程为y ＝－2 x ＋2或y ＝2 2 x －2，2即 x ＋2－2＝0或x －2－2＝0.yy(2) 证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直均分线， 所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为 y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＜2，x 2＜2，直线MA ，MB 的斜率之和为y 1y 2k MA ＋k MB ＝x 1－2＋x 2－2. 由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k ，2 1 x 2 －3x 1＋ 2＋4kkxkx得k ＋k ＝.MAMBx 1－x 2－2将y ＝k (x －1)代入x＋y 2＝1，2得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，4k 22k 2－2所以x 1＋x 2＝2k 2＋1，x 1x 2＝2k 2＋1. 则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k 4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k ＝2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB 建立．x 2 y 24．(2018·天津高考)设椭圆a 2 ＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上极点为B .已知椭圆的离心率为5A 的坐标为(b, 0)，且||·||＝62.，点3FBAB(1) 求椭圆的方程．(2)设直线l ：y ＝kx (k ＞0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ，若|A Q|5 2|Q|＝4 sin ∠AO Q(O 为原点)，求k 的值．P解：(1)设椭圆的焦距为2c ，c 2 5222＝3 .①由已知有2＝，又由a ＝b ＋c ，可得2ba9a由已知可得|FB |＝a ，|AB | ＝ 2b ，又|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6.② 联立①②解得a ＝3，b ＝2.x 2y 2所以椭圆的方程为＋＝1.94(2) 设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)．由已知有y 1＞y 2＞0，故|P Q|sin ∠AO Q ＝y 1－y 2.又因为|y 2A Q|＝，而∠sin ∠OABOAB ＝π，4所以|A Q|＝2y 2. |A Q|52由|P Q|＝4sin ∠AO Q ，可得5y 1＝9y 2.y ＝kx ，由方程组 x 2 y 2消去x ，可得y 1＝6k.29＋4＝19k ＋4易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，y ＝kx ，2x ＋y －2＝02k由方程组 消去x ，可得y ＝k ＋1.由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方，整理得256k －50k ＋11＝0，解得 1 k ＝2或11k ＝28.所以k 的值为 1 或 211 28.x 2y 25．(2018·全国卷Ⅲ )已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆C ：4＋3＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m ＞0)．1(1) 证明：k ＜－2；(2) 设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且 ―→―→―→―→―→FP ＋FA ＋FB ＝0. 证明：|FA |，|FP |，―→|FB |成等差数列，并求该数列的公差．解：(1)证明:设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，222 2x 1y 1x 2 y 2则4＋3＝1，4＋3＝1.y 1－y 2 ＝k 得 x 1＋x 2 y 1＋y 2·k ＝0.两式相减，并由x 1－x 2 4 ＋ 3 由题设知 x 1＋x 2 y 1＋y 23 ＝1， 2 ＝m ，于是k ＝－ .①24 m 由题设得 3 k 10＜＜，故 ＜－.m 2 2(2) 由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1， y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0.又点P 在C 上，所以m ＝3，4从而P 1，－ 3，| ―→ 32 FP |＝，2―→21222x 1于是|111－FA |＝x －＋y ＝x －＋34x 1＝2－.2―→x 2同理|FB | ＝2－2.―→―→1所以| FA | ＋|FB |＝4－2(x 1＋x 2)＝3.故 ―→ ＝ ―→ ―→2| FP | | FA | ＋|FB |，即―→ ―→ ―→ |成等差数列． |FA |，| FP |，| FB 设该数列的公差为 d ，则2|d |＝| ―→―→1|x －x |212＝1x 1＋x 22－412.②2xx3将m ＝4代入①得k ＝－1，7 所以l 的方程为y ＝－x ＋4，21代入C 的方程，并整理得7x －14x ＋＝0.故x 1＋x 2 ＝2，x 1x 2 13 21 ＝ ，代入②解得|d |＝.28283 21 3 21 所以该数列的公差为 28或－28.命题点二双曲线x 2y 21．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为 ()A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ． ＝±2 D ．＝±3 y2xy2xca 2＋b 2分析：选A ∵e ＝a ＝a ＝3， ∴ a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为 y ＝± 2.xx 2 y 22．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2 是双曲线 C ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过 2作 C 的一条渐近线的垂线， 垂足为 .若| 1|＝ 6||，则 C 的离心率为FPPFOP( )A. 5 B ．2C.3D.2b 分析：选C法一：不如设一条渐近线的方程为y ＝a x ，则F 2到y ＝ bx 的距离d ＝|bc |＝b .aa 2＋b 2在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝ 6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，依据余弦定理得1a 2＋c 2－6a2 2a cos ∠POF ＝2ac＝－cos ∠POF ＝－c ，22222c即3a ＋c － (6a )＝0，得3a ＝c ，所以e ＝a ＝3.法二：如图，过点F 向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连1接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ，所以|OP |＝a .又|PF 1 |＝ 6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2 a ，所以|F 2P |＝ 2a ＝b ，所以c ＝ a 2＋b 2＝3a ，所以e ＝ c＝3.a223．(2018·天津高考)已知双曲线x 2－y2＝1(a＞0，＞0)的离心率为2，过右焦点且垂a bb直于x 轴的直线与双曲线交于 A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d 和d ，且d ＋d ＝6，则双曲线的方程为 ( )121 2x 2 y 2x 2 y 2A.4－12＝1B. 12－4＝1x 2 y 2x 2 y 2C.3－9＝1D.9－3＝1分析：选C法一：如图，不如设A 在B 的上方，则b 2，Ac ，aB c ，－ b 2 .a又双曲线的一条渐近线为 bx －ay ＝0，则 d 1＋ bc －b 2＋bc ＋b 22bc2＝a 2＋b 2＝＝2dcb＝6，所以b ＝3.c222又由e ＝a ＝2，知a ＋b ＝4a ，所以a ＝3.所以双曲线的方程为x 2 y 2－ ＝1.3 9x 2法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线a 2－y 2c a 2＋b 2 a 2＋92b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以a ＝2，所以a 2＝4，所以 a 2＝4，解得a ＝3，x 2y 2所以双曲线的方程为3－9＝1.x 224．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：3－y ＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝()3A.2 B ．3 C ．23D ．4分析：选B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝113±3x .设两条渐近线的夹角为 2α，则有tan α＝3＝3，所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，因为双曲线拥有对称性，不如设MN ⊥ON ，以下列图．在 Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝3.在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan2α＝3·tan60°＝3.x 223法二：因为双曲线 3－y ＝1的渐近线方程为 y ＝± 3x ，所以∠MON ＝60°.不如设过点F 的直线与直线 3x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不如设∠OMN ＝90°，则∠MFOy ＝ 3 ＝60°，又直线过点 (2,0) ，所以直线 的方程为 y ＝－ 3( x －2)，MNFMNy ＝－ 3x － ，x ＝ 3 ，2由3得3y ＝3 x ，y ＝2 ，333232所以M 2，2，所以|OM |＝2 ＋2 ＝ 3，所以|MN |＝ 3|OM |＝3.x 2 y 25．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右3焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为2c ，则其离心率的值为________．分析：∵双曲线的渐近线方程为± ＝0，bx ay|bc ±0|∴焦点F (c,0)到渐近线的距离 d ＝b 2＋a2＝b ，∴＝3，∴＝c 2－ 2＝1，b2cab 2cc∴e ＝a ＝2. 答案：26．(2018·北京高考)已知椭圆x 2 y 2a ＞＞0) ，双曲线x 2 y 2：2＋2＝1(：2－2＝1.若双曲线M a b bN m n N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的极点，则椭圆 M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为________．n分析：法一：如图，∵双曲线N 的渐近线方程为y ＝±mx ，n3，∴＝tan60°＝m∴双曲线N 的离心率e2 n 2满足e ＝1＋＝4，∴e ＝2.11m1y ＝ 3x ， 2 a 2b 22.由x2y2得x ＝ 2a 2＋b 2＝1，3a ＋b设D 点的横坐标为 x ，由正六边形的性质得 ||＝2 x ＝ ，∴42＝2.EDcx c4a 2b 2224224∴3a 2＋b 2＝a －b ，得 3a －6ab －b ＝0，。
高考数学一轮复习 8.10 圆锥曲线的综合问题精品教学案(学生版) 新人教版
【考纲解读】1．了解圆锥曲线的简单应用，理解数形结合的思想．2．领会转化的数学思想，提高综合解题能力.【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.圆锥曲线中的最值问题2.圆锥曲线中的面积问题3.圆锥曲线中的定点或定值问题【例题精析】考点一 圆锥曲线中的最值与面积问题例1. (2012年高考重庆卷文科21)（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，线段12,OF OF 的中点分别为12,B B ，且△12AB B 是面积为4的直角三角形。
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过1B作直线交椭圆于,P Q ，22PB QB ⊥，求△2PB Q 的面积【变式训练】1.（2012年高考安徽卷文科20）（本小题满分13分）如图，21F F 分别是椭圆C ：22a x +22by =1（0>>b a ）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求,a b 的值.考点二 定点（定值）问题例2.(2012年高考福建卷文科21)（本小题满分12分）如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2=2py （p ＞0）上。
高三数学 第十二章 圆锥曲线的综合问题 复习教案
第十一节 圆锥曲线的综合问题————热点考点题型探析一、复习目标：掌握圆锥曲线中有关定点、定值问题的解法；能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值；掌握对称问题的求法。
二、重难点：重点：掌握圆锥曲线中有关定点、定值问题的解法；能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值。
难点：圆锥曲线的有关范围与最值问题。
三、教学方法：讲练结合，探析归纳 四、教学过程（一）、热点考点题型探析 考点1.对称问题[例1]若直线l 过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M 交椭圆49:22y x C +于A 、B 两点，若A 、B 关于点M 对称，求直线L 的方程．[解析] )1,2(-M ，设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=+-=+y y x x又1492121=+y x ，1492222=+y x ，两式相减得：04922122212=-+-y y x x ，化简得0))((9))((421212121=-++-+y y y y x x x x ，把2,42121=+-=+y y x x 代入得982112=--=x x y y k AB故所求的直线方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x 所以直线l 的方程为 ：8x-9y+25=0.【反思归纳】要抓住对称包含的三个条件：(1)中点在对称轴上(2)两个对称点的连线与轴垂直(3)两点连线与曲线有两个交点(0>∆),通过该不等式求范围 考点2. 圆锥曲线中的范围、最值问题 题型：求某些变量的范围或最值[例2]已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与直线10x y +-=相交于两点A B 、．当椭圆的离心率e满足2e ≤≤，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围．【解题思路】通过“韦达定理”沟通a 与e 的关系[解析]由22222210b x a y a b x y ⎧+=⎨+-=⎩，得222222()2(1)0a b x a x a b +-+-= 由22222(1)0a b a b =+->，得221a b +> 此时222121222222(1),a a b x x x x a b a b -+==++ 由0OA OB ⋅=，得12120x x y y +=，∴12122()10x x x x -++=即222220a b a b +-=，故22221a b a =- 由222222c a b e a a -==，得2222b a a e =-∴221211a e =+-由2e ≤≤得25342a ≤≤2a ≤≤【反思归纳】求范围和最值的方法：几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值． 考点3 定点，定值的问题题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量[例3] 已知P 、Q 是椭圆C ：12422=+y x 上的两个动点，)26,1(M 是椭圆上一定点，F 是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。
高三数学教案： 圆锥曲线的综合问题
第八节 圆锥曲线的综合应用一、基本知识概要：1知识精讲：圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题，主要沿着两条主线，即圆锥曲线科内综合与代数间的科间综合，灵活运用解析几何的常用方法，解决圆锥曲线的综合问题；通过问题的解决，进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.2重点难点：正确熟练地运用解析几何的方法解决圆锥曲线的综合问题，从中进一步体会分类讨论、等价转化等数学思想的运用.3思维方式：数形结合的思想，等价转化，分类讨论，函数与方程思想等.4特别注意：要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整。
二、例题：例1. A ，B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点）求证：（1）A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别是定植；（2）直线AB 经过一个定点证明：（1）设0,,2,2),,(),,(21212221212211=+∴⊥==y y x x OB OA px y px y y x B y x A Θ则 两式相乘得2212214,4px x p y y =-= )0,2),0,2),2(2).(2,2,),(2)2(212112112121212221p x x p p x y y p y x x y y p y y AB y y p k x x x x p y y AB 时，显然也过点（当过定点（化简得的方程所以直线当=-+=-+=-+=≠-=- 所以直线AB 过定点(2p,0)例2、（2005年春季北京，18）如图，O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b )0,0(≠>b a ，且交抛物线）（），（于22112,N ,M )0(2y x y x p px y >=两点。
（1） 写出直线l 的截距式方程（2） 证明：by y 11121=+ （3） 当p a 2=时，求MON ∠的大小。
高中数学圆锥曲线教案
高中数学圆锥曲线教案
一、教学目标
1.了解圆锥曲线的定义和基本性质。
2.能够掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
3.能够解决与圆锥曲线相关的问题。
二、教学重点和难点
重点：掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
难点：理解圆锥曲线的定义及性质。
三、教学内容
1.圆锥曲线的定义和基本性质。
2.圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
3.圆锥曲线的相关问题解决方法。
四、教学过程
1.导入新知识：通过引入一个问题或实际应用场景引起学生的兴趣。
2.讲解圆锥曲线的定义和基本性质，包括椭圆、双曲线和抛物线。
3.介绍圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
4.通过实例分析，让学生熟悉解决与圆锥曲线相关的问题的方法。
5.组织学生进行练习和讨论，巩固所学知识。
6.总结本节课内容，提出问题进行思考，激发学生的学习兴趣。
五、课堂作业
1.完成练习题。
2.思考如何将圆锥曲线应用到实际生活中。
六、教学反思
本节课主要对圆锥曲线的定义和基本性质进行了讲解，并通过实例让学生掌握了圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
同时也引导学生思考如何将所学知识应用到实际生活中。
在教学过程中需要注意引导学生正确理解圆锥曲线的概念，帮助他们建立深刻的认识。
人教A版高中数学高三一轮第八章平面解析几何810圆锥曲线的综合问题【教案】
高三一轮第八章平面解析几何8.10 圆锥曲线的综合问题【教学目标】1.能根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数的范围、最值等2.能利用方程思想、数形结合思想解决圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题．【重点难点】1.教学重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系求参数的范围、最值、定点、定值、存在性问题；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】环节二：较高的要求，尤其对定点、定值、定直线问题的探索是高考的热点，试题难度较大2．必知关系；(1)直线与圆锥曲线相切，是直线与圆锥曲线有公共点时斜率取最值的情形．(2)圆与圆锥曲线相切，是圆心与圆锥曲线上的点的距离取最值的情形.(3)使用点斜式设直线方程时，应考虑直线斜率不存在的情形．(4)涉及直线与圆锥曲线相交问题时，应考虑直线方程与圆锥曲线方程联立后得到的一元二次方程二次项系数不为零及判别式Δ>0两种情形.考点分项突破考点一：圆锥曲线中的证明问题1.(2015·福建高考)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)过点(0，2)，且离心率e＝22.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G⎝⎛⎭⎫－94，0与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【解】法一(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧b＝2，ca＝22，a2＝b2＋c2，解得教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。
－3(m 2＋1)m 2＋2＋52m2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216(m 2＋2)>0，所以cos 〈GA →，GB →〉>0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角．故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0在以AB 为直径的圆外．归纳；两类与圆锥曲线有关的证明问题一类是直接给出证明结论，其思路为将待证问题转化为与点、线、向量等几何元素或斜率、长度等与数量有关的计算问题求解．另一类是先判断后证明，如本例先判断直线与圆相切，再证明． 考点二: 圆锥曲线中的最值问题●命题角度1 数形结合利用几何性质求最值 1．F 是椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点，P 是其上一点，定点B (2，1)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．【解析】 如图，设椭圆的左焦点为F 1(－4,0)，由|PF 1|＋|PF |＝10得|PF |＝10－|PF 1|.所以|PB |＋|PF |＝10＋|PB |－|PF 1|＝10－(|PF 1|－|PB |)≥10－|F 1B |，当且仅当F 1，B ，P 三点共线，即点P 在点P 2位置时取等号．又|F 1B |＝(－4－2)2＋(0－1)2＝37.所以|PB |＋|PF |的最小值为10－37.【答案】 10－37 ●命题角度2 建立目标函数求最值2．若P ，Q 分别为抛物线C ：x 2＝4y 与圆M ：x 2＋(y －3)2＝1上的两个动点，则|PQ |的最小值为________．引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。
高三数学一轮复习 第5讲 向量与圆锥曲线教案
第五讲 向量与圆锥曲线一、考情分析向量的引入，给高中数学教学带来了生机，也为今后学习高等数学奠定了必要的基础．向量作为沟通“数”和“形”的重要工具，是现代数学中的基本概念之一.．向量具有“几何形式”与“代数形式”的双重身份，既有明确的几何意义，又有像数那样的运算，是代数与几何的一个交汇点，是联系中学数学多项内容的媒介．向量方法具有像几何、代数学中所具有的综合法特点，又具有解析法特点，为学生提供一种重要的、有价值的数学工具，同时又创设了能促使学生从一种新角度来进行数学思维的情境，把几何从“思辩数学”化成“算法数学”，将“技巧性解题”化成“算法解题”，从而能更完整、更合理地构建学生数学基本知识、基本技能，是一种具有广阔应用性的通法．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平．二、精典例析例1：过抛物线24x y =的对称轴上的任意一点()()00P m m >，作直线与抛物线交于A B 、两点（点A 在右半平面），点Q 是点P 关于原点的对称点．（1）设点P 分向量AB 所成的比为λ，证明：()QP QA QB λ⊥-；（2）设直线AB 的方程是2120x y -+=，过A B 、两点的圆与抛物线在A 点处有公共的切线，求圆C 的方程；解析：（1）由条件设直线AB 的方程为()()1122y kx m A x y B x y =+，，，，，则：224404y kx mx kx m x y=+⎧⇒--=⎨=⎩， ∴124x x m =-，∵点P 分向量AB 所成的比为λ，∴21201x xx λλλ+=⇔=-+1x ，∵点Q 是点P 关于原点的对称点，∴()()002Q m QP m -=，，，， ∴()()1122QA QB x y m x y m λλ-=+-+，，，()()2211211222212144x x x x QP QA QB m y y m m m x x λλλ⎡⎤⎛⎫⋅-=-+-=+⋅++⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦()()12121222444220x x m m mm x x m x x x x +-+=+⋅=+⋅= 故()QP QA QB λ⊥-．（2）()()2212069444x y A B x y-+=⎧⇒-⎨=⎩，，，， ∵221442x x y y y x '=⇒==， ∴抛物线24x y =在A 点处的切线斜率为：63x y ='=，设圆系方程为()()222x a y b r -+-=，则：()()()()22229132363226944b a a b a b a b -⎧=-⎪-⇒==⎨⎪-+-=++-⎩，，()()222125442r a b =++-=， 故圆C 的方程是22323720x y x y ++-+=．例2：（05年福建卷）已知方向向量为()13v =，的直线l过点(0-，和椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上．（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点()20E -，的直线m 交椭圆C 于点M N 、，满足40OM ON MON ⋅=∠≠（O 为原点）？若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由． 解析：（1）法一：直线l y =-：，过原点垂直l 的直线方程为x y 33-=，322x y y x y ⎧⎧==-⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=-⎩⎪⎩， ∵椭圆中心()0O 0，关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，∴23232a c =⨯=；∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为()0F 2，，∴22262c a b ===，，．故椭圆C 的方程为22162x y += ． 法二：直线323l y x =-：，设原点关于直线l 对称点为()p q ，，则： 32322331q p p q p ⎧=⋅-⎪⎪⇒=⎨⎪⋅=-⎪⎩∵椭圆中心()0O 0，关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，∴23a c=；∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为()0F 2，，∴22262c a b ===，，．故椭圆C 的方程为22162x y += ． （2）法一：设()()1122M x y N x y ，，，，则： ①当直线m 不垂直x 轴时，直线(2)m y k x =+：，则：222222(2)(31)121260162y k x k x k x k x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， ∴0∆>恒成立，且22121222121263131k k x x x x k k -+=-⋅=++，， ∴222222212122221212626(1)||1()41()4313131k k k MN k x x x x kk k k -+=++-=+--⋅=+++， ∵44cos 6cot ||||cos 6033sin MONOM ON MON OM ON MON MON∠⋅=∠⇔⋅∠=≠∠，∴4||||sin 63OM ON MON ⋅∠=，∵点O 到直线MN 的距离21|2|kk d +=，∴246||633OMN S MN d ∆=⇔⋅=，即：2224146||16(31)33k k k k +=+⇒=，∴33k =±．②当直线m 垂直x 轴时，也满足632=∆OMN S ．经检验上述直线均满足0≠⋅ON OM ，故直线m 的方程为32333y x =+或32333y x =--或2x =-． 法二：设()()1122M x y N x y ，，，，则：①当直线m 不垂直x 轴时，直线(2)m y k x =+：，则：222222(2)(31)121260162y k x k x k x k x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， ∴0∆>恒成立，且22121222121263131k k x x x x k k -+=-⋅=++，，∵()20E -，恰是椭圆C 的左焦点，∴()()2212122221226(1)()2()2631316k k MN ME NE a ex a ex e x x a k k +=+=+++=++=⋅-+=++， （以下与解法一相同）．法三：设直线2m x ty =-：，()()1122M x y N x y ，，，，则：22222(3)420162x ty t y ty x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩， ∴0∆>恒成立，且1212224233t y y y y t t -+==++，，.)3(242438)34(4)(||222222212121++=+++=-+=-t t t t t y y y y y y∵44cos 6cot ||||cos 6033sin MON OM ON MON OM ON MON MON∠⋅=∠⇔⋅∠=≠∠，∴4||||sin 63OM ON MON ⋅∠=，∴632=∆OMN S∵2122212424||||2(3)OMN OEM OENt S S S OE y y t ∆∆∆+=+=⋅-=+，2422224242633(3)3t t t t t +==⇒=±+0t =． 经检验上述直线均满足0≠⋅ON OM ，故直线m 的方程为32333y x =+或3333y x =--或2x =-． 例3：（05年湖南卷）已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的左、右焦点为12F F 、，离心率为e ，直线l y ex a =+：与x 轴、y 轴分别交于点A B M 、，是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点1F 关于直线l 的对称点，设AM AB λ=． （Ⅰ）证明：21e λ=-； （Ⅱ）若43=λ，12MF F ∆的周长为6，写出椭圆C 的方程； （Ⅲ）确定λ的值，使得12PF F ∆是等腰三角形．解析：（Ⅰ）法一：()(0)0aA B a e-，，，，2222221y ex a x c b M c x y b a y a b a =+=-⎧⎧⎛⎫⎪⎪⇒⇒-⎨⎨ ⎪+==⎝⎭⎪⎪⎩⎩，，∵AM AB λ=，∴2221aa c ab a e ec a e e a e b aaλλλλ⎧-=⋅⎪⎛⎫⎪⎛⎫-+=⇒⇒=-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩，，．法二：()(0)0aA B a e -，，，，设()00M x y ，，则：∵AM AB λ=，∴ ()0000(1)1a x a a a x y a M a ee e e y a λλλλλ⎧=-⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⇒⇒-⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪=⎩，，，， ∵()1a M a C e λλ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，∴()222222221()(1)111a a e a b e e λλλλ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦+=⇒+=- ∴422222(1)(1)011e e e e λλλλ--+-=⇒=-⇔=-． （Ⅱ）当43=λ时，21=c ， 2a c =，则：∵12MF F ∆的周长为6，∴226a c +=，222213a c b a c ===-=，，． 故椭圆方程为22143x y +=． （Ⅲ）法一：∵1PF l ⊥，∴1212PF F BAF π∠=+∠为钝角，要使12PF F ∆为等腰三角形，必有112112PF F F PF c =⇒=； 设点1F 到l 的距离为d ，则：1221||211d PF e e===++，∵112PF c =， 22221311c e e e e =⇔=⇒=++， 故当2213e λ=-=时，12PF F ∆是等腰三角形． 法二：∵1PF l ⊥，∴1212PF F BAF π∠=+∠为钝角，要使12PF F ∆为等腰三角形，必有112PF F F =； 设点()00P x y ，，则：200202000201312(1)0122y e x c x c e e e a y x c y e a e -⎧⎧-=-=⎪⎪+⎪⎪+⇒⎨⎨-+-⎪⎪==+⎪⎪+⎩⎩， ∵112PF F F =，∴222222222222(3)2(1)(1)141113e c e a e c c e e e e e ⎡⎤⎡⎤---++=⇒=⇒=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦， 故当2213e λ=-=时，12PF F ∆是等腰三角形． 例4：（05年辽宁卷）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是()()1200F c F c -，、，，Q 是椭圆外的动点，满足12FQ a =，点P 是线段1F Q 与该椭圆的交点，点T 在线段2F Q 上，并且满足2200PT TF TF ⋅=≠， ．（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明：1cF P a x a=+； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使12F MF ∆的面积2S b =？若存在，求12F MF ∠的正切值；若不存在，请说明理由．解析：（Ⅰ）法一：设点P 的坐标为()P x y ，，则：222222212()()()b cF P x c y x c b x a x a a=++++-+∵()0c x a a x a c a ≥-⇒+≥+->，∴ 1cF P a x a=+；法二：设点P 的坐标为()P x y ，，记1122F P r F P r ==，，则： 222212()()r x c y r x c y =++=-+，，∵22121224r r a r r cx +=-=，，∴11cF P r a x a==+． 法三：设点P 的坐标为()P x y ，，椭圆的左准线方程为：2a x c=-，由椭圆第二定义，则：2112F Pc c a cF P x a x a a c a a x c⎛⎫=⇒=--=+ ⎪⎝⎭+． （Ⅱ）法一：设点T 的坐标为()T x y ，，则：当0PT =时，点()0a ，和点()0a -，在轨迹上； 当|200PT TF ≠≠且时，∵2200PT TF TF ⋅=≠， ，∴2TF PT ⊥ 又∵2PQ PF =，∴T 为线段2F Q 的中点． 在12QF F ∆中，∵112OT FQ a ==，∴222x y a +=． 综上，点T 的轨迹C 的方程是222x y a +=． 法二：设点T 的坐标为()T x y ，，则：当0PT =时，点()0a ，和点()0a -，在轨迹上； 当|200PT TF ≠≠且时，∵2200PT TF TF ⋅=≠， ，∴2TF PT ⊥ 又∵2PQ PF =，∴T 为线段2F Q 的中点．设点Q 的坐标为()Q x y ''，，则：2222x c x x x c y y y y '+⎧=⎪'=-⎧⎪⇒⎨⎨''=⎩⎪=⎪⎩； ∵22212()4FQ a x c y a ''=⇒++=，∴ 222x y a +=．综上，点T 的轨迹C 的方程是222x y a +=．（Ⅲ）法一：若轨迹C 上存在点()cos sin M a a θθ，，则：22222112sin sin 2a c e S b c a b ac eθθ--=⇔⋅=⇔==，令215112e e e -≤⇔≥， 故当5102e <<时，这样的点M 不存在；当5112e ≤<时，这样的点M 存在．（下同法2）．法二：轨迹C 上存在点()00M x y ，，使2S b =成立的充要条件是：222200002012||2x y a b y a y c c y b⎧+=⎪⇒≤=⎨⋅=⎪⎩， ， ∴当cb a 2<时，不存在满足条件的点()00M x y ，；当cb a 2≥时，存在点()00M x y ，，使2S b =，此时，()()100200MF c x y MF c x y =---=--，， ，，2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，∵212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=， ∴12tan 2F MF ∠=．法三：轨迹C 上存在点()00M x y ，，使2S b =成立的充要条件是：222200002012||2x y a b y a y c c y b⎧+=⎪⇒≤=⎨⋅=⎪⎩， ， ∴422222()()0b b b x a a a c c c=-=-+≥，∴当cb a 2<时，不存在满足条件的点()00M x y ，；当c b a 2≥时，存在点()00M x y ，，使2S b =，此时，记12001200F M F M y y k k k k x c x c====+-，， ∵1212||22F F a F MF π<⇒∠<，∴12tan 2F MF ∠=．例5：(05年全国卷II) P Q M N 、、、四点都在椭圆2212y x +=上， F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=，求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．解析：如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点()10F ，，且PQ MN ⊥，直线MN 和PQ 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为k ，()()1122P x y Q x y ，，，，PQ 的方程为：1y kx =+，则：()22221221012y kx k x kx y x =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， ∴1212222122k x xx x k k -+==++，， ∴12PQ x =-=；（1）当0k ≠时，MN 的斜率为1k-，同理，得： 2211||12k MN k ⎤⎛⎫+-⎥⎪⎝⎭⎥⎣⎦=⎛⎫+- ⎪⎝⎭； 故四边形面积()()22222222114114(2)12125222k k k k S PQ MN k k k k ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭===⎛⎫++++ ⎪⎝⎭． 令221u k k =+，则：()421215252u S u u +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，∵2212u k k=+≥， ∴当1k =±时，1629u S ==，， ∵S 是以u 为自变量的增函数， ∴1629S ≤<． （2）当0k =时，MN 为椭圆长轴，MN PQ == 122S MN PQ ==． 综上，四边形PMQN 的面积的最小值169，最大值为2． 例6：(05年全国卷Ⅰ)已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A B 、两点，OA OB +与(31)a =-，共线． （1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且()OM OA OB R λμλμ=+∈，，证明22λμ+为定值．解析：设椭圆方程为22221(0)(0)x y a b F c a b+=>>，，，1122()()A x y B x y ，，，，则： 222222222222()201y x c a b x a cx a c a b x y ab =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩， ∴22222121222222a c a c a b x x x x a b a b -+==++，，∵()1212OA OB x x y y +=++，与(31)a =-，共线，∴()()121230y y x x +++=， 又∵1122y x c y x c =-=-，，∴22212121222233(2)()032a c c x x c x x x x a ba b +-++=⇒+==⇒=+，∴3c ==， 故离心率为c e a ==． （II ）证明：∵223b a =，∴椭圆2222222133x y x y b a b+=⇔+=，设()OM x y =，，∵1122()()()OM OA OB x y x y x y λμλμ=+⇔=+，，，，∴1212x x x y y y λμλμ=+=+，， ∵()M x y ，在椭圆上，∴()()222121233x x y y b λμλμ+++=222222211221212(3)(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ⇔+++++=，∵22223122a cbc ==，，∴22222122238a c a b x x c a b -==+， ∵22221212121212123933()()43()33022x x y y x x x c x c x x x x c c c c c +=++--=-++=-+=， 22222211223333x y b x y b +=+=，，故 221λμ+=，即22μλ+为定值，且定值为1．例7：（05年天津卷）抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点()()0000P x y x ≠，作斜率为12k k 、的两条直线分别交抛物线C 于()()1122A x y B x y ，，，两点(P A B 、、三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k ．（Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB 上一点M ，满足MA BM λ=，证明：线段PM 的中点在y 轴上； （Ⅲ）当1λ=时，若点()11P -，，求PAB ∠为钝角时，点A 的纵坐标1y 的取值范围． 解析：（Ⅰ）由抛物线C 的方程()2210y ax a x y a=<⇔=得：12p a =-，焦点坐标为1(0)4a ，，准线方程为ay 41-=． （Ⅱ）证明：设直线PA 的方程为)(010x x k y y -=-，直线PB 的方程为)(020x x k y y -=-．∵点),(00y x P 和点),(11y x A 的坐标是方程组010211002()0y y k x x ax k x k x y y ax-=-⎧⇒-+-=⎨=⎩ 的解， ∴111010k kx x x x a a+=⇔=-； ∵点),(00y x P 和点),(22y x B 的坐标是方程组020222002()0y y k x x ax k x k x y y ax -=-⎧⇒-+-=⎨=⎩ 的解， ∴222020k kx x x x a a+=⇔=-； ∵12k k λ-=，∴012x k ax --=λ；设点M 的坐标为()M M x y ，，则：∵BM MA λ=， ∴λλ++=112x x x M ，∴0001x x x x M -=+--=λλ，即00=+x x M ．∴线段PM 的中点在y 轴上．（Ⅲ）∵点()11P -，在抛物线2ax y =上，∴1-=a ，抛物线方程为2x y -=，此时，211111(1)x k y k =--=-+，； 221221(1)x k y k =-=-+，，∴直线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为()2111121A k k k -----，，()2111121B k k k --+-，，∴()()2111112224AP k k k AB k k =++=，， ，，2111111112(2)4(2)2(2)(21)AP AB k k k k k k k k ⋅=+++=++；∵PAB ∠为钝角且P A B 、、三点互不相同，∴11102(2)(21)0AP AB k k k ⋅<⇔++<，解之，得：()11202k ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭，，，则： 点A 的纵坐标1y 满足2111(1)(1)(1)4y k =-+∈-∞---，，．三、课后反思．。
高三数学复习课教学设计探析——以《平面向量在圆锥曲线中的应用》为例
Ｏ Ｐ＝ ａ ｅ ｌ ＋ ｂ ｅ ２ ＝（ ＋ ２ ６ ， 口一 ６ ） ， 点 Ｐ在双曲线上 ，
．
一Байду номын сангаас
法二 ： 几何法． 从几何角度人手 ， 删 表示 以删 ， 邻边做平 行 四边形 的且共起 点的对角线 ， 表示的是另一 条对角线 ， 则 与 Ⅳ关于原点对称 ， 根据 椭圆是 中 心对称 图形 ， 因此 Ｊ ） 、 ｒ 点在椭 圆上 ， 所 以点的轨迹方
几何 在后． 解 析几何 的核 心 是用 代 数 方法 研 究几 何 问题 ， 平面向量具备代数和几何 的双重属性 ， 这一属
所ｔ ２ ￣ Ｆ Ｑ・ （ Ｐ Ｆ＋ Ｐ Ｑ ） ： ０ ，
得到 点 Ｐ 的轨 迹方 程 ｙ ２ ＝８ ｘ ． 法二 ： 几何 角度 Ｆ 上（ Ｐ ＋Ｐ ） 表示 以Ｐ ， Ｐ 为邻边 做 的平行 四边形 的两条 对角 线 互 相 垂 直 ， 则 此平 行 四边 形 是 菱形， 转 化到 点 Ｐ到直 线 ｆ 和 到定点 Ｆ的距 离相 等 ， 且 点 Ｆ不在直 线 ｌ 上， 满 足抛 物线 的定 义 ， 因此 点 Ｐ 的轨迹方 程 ｙ ２ ＝８ ｘ ． 设计 意 图 ： 以这一道 题作 为 引子 ， 让 学生分 别从
《 数学之友》
２ ０ １ ５ 年第 ４期
高三数学复习课教学设计探析
以《 平 面 向量在 圆锥 曲线 中的应 用》 为例
杨 芳
（ 上海市 比乐 中学 ， ２ ０ ０ ０ ２ １ ）
高三数学复习时间短暂而且紧张， 如何让学生在 转化 ， 难点是 向量作为解决 问题 的一种工具 的应用 紧张的复习中， 从整体上把握高 中数学 的核心 ， 掌握 意识 的培养． 数学知识的脉络及数学思想？复习课则至关重要． 复 ５ 教学过程 习能帮助学生对所学基础知识 、 基本技能进行梳理和 沟通 ， 建立 良好 的认 知结 构 ， 加 深 理解 、 增 强记 忆 ， 并 ５ ． １ 利 用向量 的代数 和几何 的双重属 性 解决 问题 培养学生思维的整体性 ， 使不同程度 的学生各有受 例１ 已知定 点 Ｆ（ ２ ， ｏ ） ， Ｚ ： ＝一２ ， 点 Ｐ为 坐标 益． 但在实 际教学 中， 教师往往感 到 数学 复习课难 上 ， 平 面上 的 动 点 ， 过 点 Ｐ作 直 线 ｚ 的垂 线 ， 垂 足 为 点 仔细想想 ， 复习课之所 以难上关 键 问题是教 师对复 习 Ｑ ， 且Ｆ Ｏ 上（ ＋ Ｐ Ｏ ） ， 求动点 Ｐ的轨迹方程． 课 的选题存 在很 大 的困惑 本 文 以《 平 面向量 在 圆锥 法一 ： 坐标 法 解： 设 点 Ｐ（ ， Ｙ ） ， Ｑ（一 ２ ， ｙ ） ， 曲线中的应用》 为例说明本节复习课的设计
专题53 圆锥曲线的综合问题(教学案)-2019年高考数学(理)一轮复习精品资料(原卷版)
专题53 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．高频考点一 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．【例1】椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，过其右焦点F 与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点P 是直线x ＝1上的动点，直线P A 与椭圆的另一交点为M ，直线PB 与椭圆的另一交点为N .求证：直线MN 经过一定点．探究提高 (1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2)定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．【变式探究】如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .高频考点二 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．【例2】 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C截得的线段长为4105.(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．①设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值； ②求△OMN 面积的最大值．【感悟提升】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．【变式探究】 设点P (x ，y )到直线x ＝2的距离与它到定点(1，0)的距离之比为2，并记点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设M (－2，0)，过点M 的直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，当线段EF 的中点落在由四点C 1(－1，0)，C 2(1，0)，B 1(0，－1)，B 2(0，1)构成的四边形内(包括边界)时，求直线l 斜率的取值范围．高频考点三 圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．【例3】如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.(1) 求该椭圆的标准方程；(2) (2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．探究提高 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．【变式探究】 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →垂直？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．1.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.ARFQ 2.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值 范围.3.【2016高考新课标2理数】已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．144494.【2016年高考北京理数】（本小题14分） 已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为32 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.5.【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T .（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2PTPA PB λ=⋅，并求λ的值.6.【2016高考上海理数】（本题满分14）有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
高三数学教案 平面向量与圆锥曲线的综合问题
平面向量与圆锥曲线的综合问题例1 已知F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是第一象限内该数轴上的一点，，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线的斜率的取值范围.解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知，，∴，．设．则，又，联立，解得，． （Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．联立 ∴，由，，得．①又为锐角，∴又∴2214x y +=1254PF PF •=-l k 2a =1b =c =1(F 2F (,)P x y (0,0)x y >>22125(,,)34PF PF x y x y x y ⋅=---=+-=-2214x y +=22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩221134x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩P 0x =l 2y kx =+11(,)A x y 22(,)B x y 22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩1221214x x k =+1221614kx x k+=-+22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅>22163(14)0k k -+>2430k ->234k >AOB ∠cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>12120OA OB x x y y ⋅=+>212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k=+⋅+⋅-+++∴．② 综①②可知，∴的取值范围是 例2 已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）（I ）求圆的方程；（II ）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．（I ）解法一：设两点坐标分别为，，由题设知． 解得，所以，或，． 设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为 解法二：设两点坐标分别为，，由题设知．又因为，，可得．即．由，，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上．设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为． （II ）解：设，则．在中，，由圆的几何性质得 22212(1)21641414k k kk k+⋅=-+++224(4)014k k -=>+2144k -<<2344k<<k 33(2,)(,2)22--OAB 22y x =O C OAB C C M 22(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=M P C PE PF ，E F ，CE CF •A B ，2112y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2222y y ⎛⎫⎪⎝⎭，=221212y y ==(6A (6B -，(6A -，(6B C (0)r ，2643r =⨯=C 22(4)16x y -+=A B ，11()x y ，22()x y ，22221122x y x y +=+2112y x =2222y x =22112222x x x x +=+1212()(2)0x x x x -++=10x >20x >12x x =A B ，x C x C (0)r ，A 32r ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2322r ⎫=⨯⎪⎪⎝⎭4r =C 22(4)16x y -+=2ECF a ∠=2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===-Rt PCE △4cos ||||x PC PC α==，，所以，由此可得．则的最大值为，最小值为．例3 已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．（1）已知，，求的值；（2）求的最小值．解法一：（Ⅰ）设点，则，由得： ，化简得．（Ⅱ）（1）设直线的方程为：．设，，又， 联立方程组，消去得：，，由，得： 整理得：解法二：（Ⅰ）由得：，所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：． （Ⅱ）（1）由已知，，得．||||17PC MC +=≤18+=||||1716PC MC -=-=≥12cos 23α≤≤1689CE CF --≤≤CE CF 169-8-(10)F ，:1l x =-P P l Q QP QF FP FQ •=•P C F C A B，l M 1MA AF λ=2MB BF λ=12λλ+MA MB()P x y ，(1)Q y -，QP QF FP FQ =(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，2:4C y x =AB 1(0)x my m =+≠11()A x y ，22()B x y ，21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，x 2440y my --=2(4)120m ∆=-+>121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，．1MA AF λ=2MB BF λ=1112y y m λ+=-2222y y m λ+=-1121my λ=--2221my λ=--12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424mm =---0=QP QF FP FQ =()0FQ PQ PF +=()()0PQ PF PQ PF ∴-+=220PQ PF ∴-=PQ PF ∴=P C C 24y x =1MA AF λ=2MB BF λ=120λλ<P B QMFO A xy则：．…………①过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，则有：．…………②由①②得：，即．（Ⅱ）（2）解：由解法一，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为．同步练习1 设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ B ）A ．9 B ．6C ．4D ．32 设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（ B ）AB ．CD ．3已知是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C ）A ．(0，1) B ．(0，] C ．(0，) D ．[，1)4 已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|=2c ，点A 在椭圆上，=0，则椭圆的离心率e= （ ）A ．B ．C ．D ．5 P 是抛物线上的动点，点A （0,-1），点M 满足，则点M 的轨12MA AF MBBFλλ=-A B ，l 1A 1B 11MA AA AFMB BB BF ==12AFAF BFBF λλ-=120λλ+=(2121M M MA MB y y y y =--221212(1)()M Mm y y y y y y =+-++2224(1)44m m m m =+-+⨯+224(1)4m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222214(2)4216m m m ⎛=+++= ⎪ ⎪⎝⎭≥221m m =1m =±MA MB 16F 24y x =AB C ，，FA FB FC ++=0FA FB FC ++=12F F ，2219y x -=P 120PF PF •=12PF PF +=12F F 、1MF 2MF M 21222212222=+by a x 211F F AF ⋅221c AF AF =⋅33213-215-22)1(212-=y x 2PM MA =迹方程是（ A )A ） （B ） （C ） （D ）6 .已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为 ( B )A. B. C. D.7设直线过点P （0，3），和椭圆顺次交于A 、B 两点，若 则λ的取值范围为______8已知点，动点满足，则动点P 的轨迹方程是______9椭圆E 的中心在原点O ，焦点在轴上，其离心率, 过点C （－1,0）的直线与椭圆E 相交于A 、B 两点，且满足点C 满足（1）用直线的斜率k ( k ≠0 ) 表示△OAB 的面积；（2）当△OAB 的面积最大时，求椭圆E 的方程。
圆锥曲线的综合性问题与应用教案
第10课时圆锥曲线的综合性问题与应用1.归纳圆锥曲线与其他知识点相结合的综合性问题,如:解三角形、函数、数列、平面向量、不等式、方程等,掌握其解题技巧和方法,熟练运用设而不求与点差法.2.熟练掌握轨迹问题、探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等.圆锥曲线的综合问题包括:轨迹问题、探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等,一般试题难度较大.这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体,以参数处理为核心,需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法来进行求解,对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求.问题1:判定直线与圆锥曲线的位置关系时,通常是将直线方程与曲线方程联立,消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程:ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).若a≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有:Δ>0⇔直线与圆锥曲线;Δ=0⇔直线与圆锥曲线;Δ<0⇔直线与圆锥曲线.若a=0且b≠0,则直线与圆锥曲线相交,且有个交点.问题2:圆锥曲线的弦长问题设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=或.问题3:最值问题的代数解法,是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容,其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.其中,自变量的由直线和圆锥曲线的位置关系(即判别式与0的关系)确定.问题4:范围问题,主要是根据条件,建立含有参变量的函数关系式或不等式,然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围,运用求函数的或最值以及一元二次方程实根的分布等知识.1.与椭圆+=1焦点相同,离心率互为倒数的双曲线方程是().A.y2-=1B.-x2=1C.x2-y2=1D.y2-x2=12.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系是().A.相交B.相切C.相离D.不确定3.椭圆的两个焦点为F1、F2,短轴的一个端点为A,且△F1AF2是顶角为120°的等腰三角形,则此椭圆的离心率为.4.已知椭圆C1,抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心和C2的顶点均为原点O,从每条曲线上各取两个点,其坐标分别是(3,-2),(-2,0),(4,-4),(,).求C 1,C2的标准方程.圆锥曲线与三角函数的交汇已知α是三角形的一个内角,且sinα+cosα=,则方程x2tan α-=-1表示.圆锥曲线与数列的交汇已知双曲线a n-1y2-a n x2=a n-1a n的一个焦点为(0,),一条渐近线方程为y=x,其中{a n}是以4为首项的正数数列.(1)求数列{c n}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和S n.圆锥曲线与向量的交汇设F(1,0),点M在x轴上,点P在y轴上,且=2,⊥.(1)当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹C的方程;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),是曲线C上的点,且||,||,||成等差数列,当AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时,求B点坐标.已知椭圆+=1及以下3个函数:①f(x)=x;②f(x)=sin x;③f(x)=cos x.其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数为().A.1B.2C.3D.0设F1是椭圆+y2=1的左焦点,O为坐标原点,点P在椭圆上,则·的最大值为.设点P是圆x2+y2=4上任意一点,由点P向x轴作垂线PP0,垂足为P 0,且=.(1)求点M的轨迹C的方程;(2)设直线l:y=kx+m(m≠0)与(1)中的轨迹C交于不同的两点A,B.①若直线OA,AB,OB的斜率成等比数列,求实数m的取值范围;②若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q,求证:直线l过定点(Q点除外),并求出该定点的坐标.1.已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点.若=8a,则双曲线的离心率的取值范围是().A.(1,2]B.[2,+∞)C.(1,3]D.[3,+∞)2.一个椭圆的长轴的长度,短轴的长度和焦距成等比数列,则该椭圆的离心率为().A.B.C.D.3.已知点A(-,0),点B(,0),且动点P满足|PA|-|PB|=2,则动点P的轨迹与直线y=k(x-2)有两个交点的充要条件为k∈.4.k代表实数,讨论方程:kx2+2y2-8=0所表示的曲线.(2013年·浙江卷)如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是().A.B.C.D.考题变式(我来改编):第10课时圆锥曲线的综合性问题与应用知识体系梳理问题1:相交相切相离一问题2:|x 1-x2||y1-y2|问题3:取值范围问题4:值域基础学习交流1.A设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则得a=1,b=.故双曲线方程为y2-=1.2.A由于直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),而(1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交.3.如图,根据题意可知|AF2|=a,|OF2|=c,∠OAF2=60°,∴e==sin∠OAF2=sin60°=.4.解:设抛物线C2:y2=2px(p≠0),则有=2p(x≠0),据此验证4个点知(3,-2),(4,-4)在抛物线上,易求C 2:y2=4x.设C 1:+=1(a>b>0),把点(-2,0),(,)代入得:解得∴C1方程为+y2=1.重点难点探究探究一:【解析】由sinα+cosα=及sin2α+cos2α=1,且0<α<π,解得sinα=,cosα=-,tanα=-,因此x2tanα-=-1就是-=1,表示焦点在x轴上的双曲线.【答案】焦点在x轴上的双曲线-=1【小结】本题主要考查同角三角函数的基本关系及双曲线方程的识别.解答的关键是求得sinα与cosα的值,以及会根据圆锥曲线方程识别曲线的类型.探究二:【解析】(1)∵双曲线方程-=1的焦点为(0,),∴c n=a n+a n-1,又∵一条渐近线方程为y=x,即=,∴=2,又a 1=4,∴a n=4·2n-1=2n+1,即c n=2n+1+2n=3·2n.(2)∵=n·2n,∴S n=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,①2S n=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,②由①-②得-S n=2+22+…+2n-n·2n+1,∴S n=-+n·2n+1=(n-1)·2n+1+2.【小结】本题主要考查双曲线的几何性质,等比数列的定义和通项公式及错位相减法求和,同时考查转化思想及处理综合试题的能力.本题是一道圆锥曲线与数列相结合的综合题,但难度并不大.解答本题注意两点基本知识及方法的应用:(1)通过双曲线的焦点坐标与渐近线方程建立等式;(2)利用错位相减法求和.探究三:【解析】(1)设N(x,y),则由=2,得P为MN的中点,所以M(-x,0),P(0,).则=(-x,-),=(1,-),则由⊥,得·=0,y2=4x(x≠0).(2)由(1)知F(1,0)为曲线C的焦点,由抛物线定义知,抛物线上任一点P 0(x0,y0)到F的距离等于其到准线的距离,即|P0F|=x0+,所以||=x 1+,||=x2+,||=x3+,根据||,||,||成等差数列,得x1+x3=2x2,直线AD的斜率为==,所以AD中垂线方程为y=-(x-3),又AD的中点(,)在直线上,代入上式得=1,即x 2=1,所以点B的坐标为(1,±2).【小结】本题主要考查向量的坐标运算及垂直的充要条件、轨迹的直接求法、抛物线的定义及中点坐标公式,同时考查方程的思想、转化的思想、整体思想以及逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方法应用能力.本题解答有两个关键:(1)对条件中的向量关系进行转化;(2)抛物线焦半径的应用;(3)确定直线AD的斜率k.思维拓展应用应用一:B要使函数y=f(x)的图像能等分该椭圆的面积,则f(x)的图像应该关于椭圆的中心O对称,即f(x)为奇函数,①和②均满足条件.y0),依题意可得F1(-,0),则应用二:4+2设P(x+1-+x0=+x0+1=(x0+)2.·=++x又-2≤x 0≤2,所以当x0=2时,·取得最大值4+2.应用三:(1)设点M(x,y),P(x0,y0),则由题意知P0(x0,0).由=(x0-x,-y),=(0,-y0),且=,得(x0-x,-y)=(0,-y0).∴∴又+=4,∴x2+y2=4.∴点M的轨迹C的方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).联立得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0.∴Δ=(8mk)2-16(3+4k2)(m2-3)>0,即3+4k2-m2>0.(*)且①依题意,k2=,即k2=·.∴x1x2k2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.∴km(x1+x2)+m2=0,即km(-)+m2=0.∵m≠0,∴k(-)+1=0,解得k2=.将k2=代入(*),得m2<6.∴m的取值范围是(-,0)∪(0,).②证明:曲线+=1与x轴正半轴的交点为Q(2,0).依题意,⊥,即·=0.于是(2-x1,-y1)·(2-x2,-y2)=0.∴x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)·(kx2+m)=0,∴(k2+1)·+(km-2)·(-)+4+m2=0.化简,得7m2+16mk+4k2=0.解得,m=-2k或m=-,且均满足3+4k2-m2>0.当m=-2k时,直线l的方程为y=k(x-2),直线过定点(2,0)(舍去);当m=-时,直线l的方程为y=k(x-),直线过定点(,0).∴直线l过定点(,0).基础智能检测1.C设|PF 2|=y,则(y+2a)2=8ay⇒(y-2a)2=0⇒y=2a≥c-a⇒e=≤3.2.A不妨设椭圆的方程为+=1(a>b>0),则长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,根据题意得(2b)2=2a·2c,即b2=ac,又b2=a2-c2,即a2-c2=ac,即c2+ac-a2=0,两边同除以a2得e2+e-1=0,解得e=,又0<e<1,故e=,故选A.3.(-∞,-1)∪(1,+∞)由已知得动点P的轨迹为一双曲线的右支且2a=2,c=,则b==1,所以P点的轨迹方程为x2-y2=1(x>0),其渐近线方程为y=±x.若P点的轨迹与直线y=k(x-2)有两个交点,则需k∈(-∞,-1)∪(1,+∞).4.解:当k<0时,曲线-=1为焦点在y轴上的双曲线;当k=0时,曲线2y2-8=0为两条平行的垂直于y轴的直线;当0<k<2时,曲线+=1为焦点在x轴上的椭圆;当k=2时,曲线x2+y2=4为一个圆;当k>2时,曲线+=1为焦点在y轴上的椭圆.全新视角拓展D设|AF1|=m,|AF2|=n,则有m+n=4,m2+n2=12,∴12+2mn=16,∴mn=2.设双曲线的方程为-=1,则(m-n)2=(2a)2=(m+n)2-4mn=16-8=8,∴双曲线的a=,c=,则有e==.思维导图构建判别式代数。
高三数学一轮复习圆锥曲线的综合问题
备考例题 3
已知
F1，F2
为椭圆x2＋y2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A a2 b2
是椭圆上位于第一象限内的一点，点
B
也在椭圆上，且满足O→A＋O→B＝
0(O 为坐标原点)，且A→F2·F→1F2＝0，若椭圆的离心率等于 2. 2
(1)求直线 AB 的方程；
(2)若△ABF2 的面积为 4 2，求椭圆的方程；
则 P 到直线 y＝ 2x 的距离为 2
|2
2cosθ－2 6
2sinθ|＝4 3
6|cos(θ＋π)|≤4 43
6＜4，故椭圆上不存在点 M 使△MAB 面积为 8
3.
2
题型四
圆锥曲线与其他知识交汇的问 题
1－ky0－1＋ky0
∴kEF＝yxEE－ －yxFF＝(1－kky
－k 0)2－(1＋ky
0)2
k2
k2
2
＝ k ＝－ 1 (定值)， －4ky0 2y0
k2 所以直线 EF 的斜率为定值.
题型二 最值与范围问题
①正确理解圆锥曲线的定义、标 思维提 准方程；
示 ②联立方程组，对有关参数进行 讨论.
[解] (1)∵F0(c,0)，F1(0， b2－c2)，F2(0，－ b2－c2)，
∴|F0F1|＝ (b2－c2)＋c2＝b＝1，
|F1F2|＝2 b2－c2＝1⇒c2＝3， 4
于是 a＝1 (x≥0) 7
所求“果圆”的方程为 y2＋4x2＝1 (x≤0)
.
m2 m2－1
(2)设 Q(x1，y1)， ∵P(m，y0)，P→F＝λF→Q，
2
1－m＝λ(x1－1)
∴2
，
－y0＝λy1
高三数学的教案平面向量与解析几何交汇的综合问题
高三数学的教案:平面向量与解析几何交汇的综合问题设计立意及思路向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是新课程高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。
而学生普遍感到不适应，因此，我们在解析几何复习时应适时融合平面向量的基础，渗透平面向量的'基本方法。
本专题就以下两方面对平面向量与圆锥曲线交汇综合的问题进行复习;1、以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点，综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。
2、以向量作为工具考查圆锥曲线的标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线位置关系，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
高考考点回顾近三年来平面向量与圆锥曲线交汇命题可以说经历了三个阶段：2002年天津卷21道只是数学符号上的混合;2003年江苏卷20道用平面向量的语言描述解析几何元素的关系，可谓是知识点层面上整合;2004年有6份卷(分别是全国卷理科(必修+选修I)21道;全国卷理科(选修Ⅱ)21道;辽宁19道;湖南文21道;江苏卷21道;天津卷22道)涉及平面向量与圆锥曲线交汇综合，可以说是应用层面上综合。
就应用层面上又有两个层次。
第一层次：考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标表示、数量积等基本概念、运算的掌握情况. 第二层次：考查学生对平面向量知识的简单运用，如平面向量共线定理、定比分点、加减运算几何意义(这三点已有所涉及)、数量积几何意义、射影定理(这两点挖掘不够，本专题着重讲述见例1变式)。
考查学生把向量作为工具的运用能力.这一层次的问题有一定的难度，而且是未来几年平面向量高考题的一个走向.基础知识梳理1.向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法;2. 实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算;3. 平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分点人坐标公式和向量的平衡移公式;4. 椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用;5.曲线方程(含指定圆锥曲线方程及轨迹方程);6. 直线与圆锥曲线的位置关系问题(交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题)确定参数的取值范围;7. 平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。
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平面向量与圆锥曲线的综合问题例1 已知F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是第一象限内该数轴上的一点，，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线的斜率的取值范围.解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知，，∴，．设．则，又，联立，解得，． （Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．联立 ∴，由，，得．①又为锐角，∴又∴2214x y +=1254PF PF •=-l k 2a =1b =c =1(F 2F (,)P x y (0,0)x y >>22125(,,)34PF PF x y x y x y ⋅=---=+-=-2214x y +=22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩221134x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩P 0x =l 2y kx =+11(,)A x y 22(,)B x y 22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩1221214x x k =+1221614kx x k+=-+22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅>22163(14)0k k -+>2430k ->234k >AOB ∠cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>12120OA OB x x y y ⋅=+>212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k=+⋅+⋅-+++∴．② 综①②可知，∴的取值范围是 例2 已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）（I ）求圆的方程；（II ）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．（I ）解法一：设两点坐标分别为，，由题设知． 解得，所以，或，． 设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为 解法二：设两点坐标分别为，，由题设知．又因为，，可得．即．由，，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上．设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为． （II ）解：设，则．在中，，由圆的几何性质得 22212(1)21641414k k kk k+⋅=-+++224(4)014k k -=>+2144k -<<2344k<<k 33(2,)(,2)22--OAB 22y x =O C OAB C C M 22(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=M P C PE PF ，E F ，CE CF •A B ，2112y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2222y y ⎛⎫⎪⎝⎭，=221212y y ==(6A (6B -，(6A -，(6B C (0)r ，2643r =⨯=C 22(4)16x y -+=A B ，11()x y ，22()x y ，22221122x y x y +=+2112y x =2222y x =22112222x x x x +=+1212()(2)0x x x x -++=10x >20x >12x x =A B ，x C x C (0)r ，A 32r ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2322r ⎫=⨯⎪⎪⎝⎭4r =C 22(4)16x y -+=2ECF a ∠=2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===-Rt PCE △4cos ||||x PC PC α==，，所以，由此可得．则的最大值为，最小值为．例3 已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．（1）已知，，求的值；（2）求的最小值．解法一：（Ⅰ）设点，则，由得： ，化简得．（Ⅱ）（1）设直线的方程为：．设，，又， 联立方程组，消去得：，，由，得： 整理得：解法二：（Ⅰ）由得：，所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：． （Ⅱ）（1）由已知，，得．||||17PC MC +=≤18+=||||1716PC MC -=-=≥12cos 23α≤≤1689CE CF --≤≤CE CF 169-8-(10)F ，:1l x =-P P l Q QP QF FP FQ •=•P C F C A B，l M 1MA AF λ=2MB BF λ=12λλ+MA MB()P x y ，(1)Q y -，QP QF FP FQ =(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，2:4C y x =AB 1(0)x my m =+≠11()A x y ，22()B x y ，21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，x 2440y my --=2(4)120m ∆=-+>121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，．1MA AF λ=2MB BF λ=1112y y m λ+=-2222y y m λ+=-1121my λ=--2221my λ=--12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424mm =---0=QP QF FP FQ =()0FQ PQ PF +=()()0PQ PF PQ PF ∴-+=220PQ PF ∴-=PQ PF ∴=P C C 24y x =1MA AF λ=2MB BF λ=120λλ<P B QMFO A xy则：．…………①过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，则有：．…………②由①②得：，即．（Ⅱ）（2）解：由解法一，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为．同步练习1 设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ B ）A ．9 B ．6C ．4D ．32 设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（ B ）AB ．CD ．3已知是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C ）A ．(0，1) B ．(0，] C ．(0，) D ．[，1)4 已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|=2c ，点A 在椭圆上，=0，则椭圆的离心率e= （ ）A ．B ．C ．D ．5 P 是抛物线上的动点，点A （0,-1），点M 满足，则点M 的轨12MA AF MBBFλλ=-A B ，l 1A 1B 11MA AA AFMB BB BF ==12AFAF BFBF λλ-=120λλ+=(2121M M MA MB y y y y =--221212(1)()M Mm y y y y y y =+-++2224(1)44m m m m =+-+⨯+224(1)4m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222214(2)4216m m m ⎛=+++= ⎪ ⎪⎝⎭≥221m m =1m =±MA MB 16F 24y x =AB C ，，FA FB FC ++=0FA FB FC ++=12F F ，2219y x -=P 120PF PF •=12PF PF +=12F F 、1MF 2MF M 21222212222=+by a x 211F F AF ⋅221c AF AF =⋅33213-215-22)1(212-=y x 2PM MA =迹方程是（ A )A ） （B ） （C ） （D ）6 .已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为 ( B )A. B. C. D.7设直线过点P （0，3），和椭圆顺次交于A 、B 两点，若 则λ的取值范围为______8已知点，动点满足，则动点P 的轨迹方程是______9椭圆E 的中心在原点O ，焦点在轴上，其离心率, 过点C （－1,0）的直线与椭圆E 相交于A 、B 两点，且满足点C 满足（1）用直线的斜率k ( k ≠0 ) 表示△OAB 的面积；（2）当△OAB 的面积最大时，求椭圆E 的方程。
解：（1）设椭圆E 的方程为( a ＞b ＞0 )，由e =∴a 2=3b 2故椭圆方程x 2+ 3y 2= 3b 2设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),由于点C （－1，0）分向量的比为2，∴ 即由消去y 整理并化简得 (3k 2+1)x 2+6k 2x +3k 2－3b 2=0 由直线l 与椭圆E 相交于A （x 1,y 1）, B (x 2,y 2)两点得：)31(612+=y x )31(612+=x y )31(312-=y x )1(312+-=y x ||||MN MP MN NP ⋅+⋅x y 82=x y 82-=x y 42=x y42-=l 22194x y +=AP PB λ=()()A ,2,B 04o -，()P ,x y 2.8PA PB y =-22x y =x 32=e l 2AC CB =l 12222=+by a x 32=a c AB ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+0321322121y y x x ⎩⎨⎧-=+-=+21212)1(21y y x x ⎩⎨⎧+==+)1(33222x k y b y x ① ②而S △OAB ⑤ 由①③得:x 2+1=－，代入⑤得：S △OAB =（2）因S △OAB =,当且仅当S △OAB 取得最大值 此时 x 1 + x 2 =－1, 又∵=－1 ∴x 1=1,x 2 =－2 将x 1,x 2及k 2=代入④得3b 2 = 5 ∴椭圆方程x 2 + 3y 2= 5 10在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．（I ）求的取值范围；II ）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为代入椭圆方程得． 整理得 ①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>∆13331360222212221k b k x x k k x x AB C 的内分点）是恒成立（点|1|||23|)1(|23||23|2|21||212222221+=+==--=-=x k x k y y y y y 1322+k )0(13||32≠+k k k 23323||1||3313||32=≤+=+k k k k ,33±=k 3221x x +31xOy (0k l 2212x y +=P Q k x y A B ，k OP OQ +AB k l y kx =22(12x kx +=221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭l P Q 2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭③ ④解得或．即的取值范围为． （Ⅱ）设，则， 由方程①，． ②又． ③而． 所以与共线等价于， 将②③代入上式，解得． 由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．2k <-2k >k 222⎛⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞1122()()P x y Q x y ，，，1212()OP OQ x x y y +=++，12212x x k +=-+1212()y y k x x +=++(01)(A B AB =-，，OP OQ +AB 1212)x x y y +=+k =k <k >k。