高中数学竞赛_直线 圆锥曲线 平面向量

专题五 直线 圆锥曲线 平面向量

一 能力培养

1,函数与方程思想 2,数形结合思想 3,分类讨论思想 4,转化能力 5,运算能力

二 问题探讨

问题1设坐标原点为O,抛物线2

2y x =与过焦点的直线交于A,B 两点,求OA OB ? 的值.

问题2已知直线L 与椭圆22

221x y a b

+=交于P,Q 不同两点,记OP,OQ 的斜率分别为 OP k ,OQ k ,如果22OP OQ

b k k a

?=-,求PQ 连线的中点M 的轨迹方程.

问题3给定抛物线C:24y x =,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点. (I)设l 的斜率为1,求OA 与OB 夹角的大小;

(II)设FB AF λ= ,若[4,9]λ∈,求l 在y 轴上截距的变化范围.

问题4求同时满足下列三个条件的曲线C 的方程:

①是椭圆或双曲线; ②原点O 和直线1x =分别为焦点及相应准线;

③被直线0x y +=垂直平分的弦AB 的长为

三 习题探

选择题

1已知椭圆2215x y k

+=的离心率e =,则实数k 的值为

A,3 B,3或

253 3 2一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切,则动圆圆心的轨迹为

A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线

3已知双曲线的顶点为(2,1)-与(2,5),它的一条渐近线与直线340x y -=平行,则双曲 线的准线方程是 A,925y =±

B,925x =± C,1225y =± D,1225x =± 4抛物线22y x =上的点P 到直线4y x =+有最短的距离,则P 的坐标是

A,(0,0) B,1(1,)2 C,1(,1)2 D,11(,)22 5已知点F 1

(,0)4,直线l :14

x =-,点B 是l 上的动点.若过B 垂直于y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点M,则点M 的轨迹是

A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线 填空题

6椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离 为103

,则此椭圆的方程为 . 7与方程3x y =的图形关于y x =-对称的图形的方程是 .

8设P 是抛物线2

440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 . 9设椭圆与双曲线有共同的焦点12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍, 则椭圆与双曲线的交点轨迹是 .

解答题

10已知点H (3,0)-,点P 在y 轴上,点Q 在x 轴的正半轴上,点M 在直线PQ 上,

且满足0HP PM ?= ,32

PM MQ =- .