一次函数与反比例函数综合应用(经典)

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(完整版)反比例函数与一次函数的综合应用

例题讲解：
反比例函数的图象和性质：
（1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限．
（2）若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是（）
A、－1或1; B、小于的任意实数; C、－1; Ｄ、不能确定
（3）下列函数中，当时，随的增大而增大的是（）
A． B． C． D．．
（4）已知反比例函数的图象上有两点A（，），B（，），且，
（1）如图3，在反比例函数（x＜0）的图象上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为M、N，那么四边形的面积为．
（2）反比例函数的图象如图4所示，点M是该函数图象上一点，MN⊥x轴，垂足为N.如果S△MON=2，这个反比例函数的解析式为______________
(3)如图5，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，
（6）已知y与2x－3成反比例，且时，y＝－2，求y与x的函数关系式．
（7）已知函数，其中与成正比例, 与成反比例，且当＝1时，＝1；
＝3时，＝5．求：（1）求关于的函数解析式；（2）当＝2时，的值．
(二)反比例函数的图象和性质：
知识要点：
1、形状：图象是双曲线。
2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时,双曲线分别位于第________象限内。
2.已知正比例函数和反比例函授的图像都经过点（2，1），则、的值分别为（）
A = ， = B =2， = C =2， =2 D = ， =2
3.反比例函数与正比例函数图像的一个交点的横坐标为1，则反比例函数的图像大致为（）
A B C D
4.已知关于x的一次函数y=kx+1和反比例函数y= 的图象都经过点（2，m），则一次函数的解析式是________．

一次函数与反比例函数的综合应用(含答案)

一次函数与反比例函数的综合应用一、选择题1. （2011四川凉山，12，4分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比列函数ay x=与正比列函数y bx =在同一坐标系内的大致图象是（）考点：二次函数的图象；正比例函数的图象；反比例函数的图象．专题：数形结合．分析：由已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口方向可以知道a 的取值范围，对称轴可以确定b 的取值范围，然后就可以确定反比例函数xay =与正比例函数y ＝bx 在同一坐标系内的大致图象．解答：解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口方向向下，∴a ＜0，对称轴在y 轴的左边，∴x ＝－ab2＜0，∴b ＜0， ∴反比例函数xay =的图象在第二四象限，正比例函数y ＝bx 的图象在第二四象限．故选B ．点评：此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a 的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a ＜0；对称轴的位置即可确定b 的值． 2. （2011•青海）一次函数y=﹣2x+1和反比例函数y=的大致图象是（）O xy O yxAO yxBO yxDO yxCA、B、C、D、考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。

分析：根据一次函数的性质，判断出直线经过的象限；再根据反比例函数的性质，判断出反比例函数所在的象限即可．解答：解：根据题意：一次函数y=﹣2x+1的图象过一、二、四象限；反比例函数y=过一、三象限．故选：D．点评：此题主要考查了一次函数的图象及反比例函数的图象，重点是注意y=k1x+b中k1、b及y=中k2的取值．3.（2011山东青岛，8，3分）已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=kx在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜3 B．﹣1＜x＜0或x＞3 C．﹣1＜x＜0 D．x＞3 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。

一次函数与反比例函数的综合运用ppt课件

y
A
D
EO
x
C
B
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小结4：看到求函数的关系式，想到利用待定系数法；看到交点坐标，想到是两个函数关系式组成方程组的解；看到面积，想到三角形面积公式，不规则图形的面积要转化为和它有关的规则图形的面积来求解.
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点 ③k>0时，y随的x增大 ③k>0时，y随的x增大
而_减__小（在每个象限
而_增__大_
内）
k<0时，y随的x增大而增__大_ （在每个
k<0时，y随的x增大而_减__小_
象限内）
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知识考点•对应精练
【知识考点】（1）正比例函数与反比例函数图象交点的对称性（2）一次函数与反比例函数图象的特点（3）一次函数与反比例函数图像交点问题及不等式（4）一次函数、反比例函数的图象与几何综合题
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4．如图所示，函数 y＝－x 与函数 y＝－4x的图象相交于 A，B 两
点，过 A，B 两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C，D.则
四边形 ACBD 的面积为
( D)
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题组二函数图象的共存
【例 2】当 a≠0 时，函数 y＝-ax＋1 与函数 y＝ax在同一坐
标系中的图象可能是图中的
(B )
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一次函数与反比例函数综合应用教案

一次函数与反比例函数综合应用教案一、教学目标1. 让学生掌握一次函数和反比例函数的基本概念和性质。

2. 培养学生运用一次函数和反比例函数解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过合作交流，提高解决问题的策略和思维能力。

二、教学内容1. 一次函数的基本概念和性质。

2. 反比例函数的基本概念和性质。

3. 一次函数和反比例函数的综合应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：一次函数和反比例函数的基本概念、性质和综合应用。

2. 教学难点：一次函数和反比例函数的综合应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究一次函数和反比例函数的性质。

2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题体会一次函数和反比例函数的应用价值。

3. 采用合作交流法，培养学生团队协作和沟通能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过生活实例引入一次函数和反比例函数的概念。

2. 自主学习：让学生自主探究一次函数和反比例函数的性质。

3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用一次函数和反比例函数解决问题。

4. 合作交流：分组讨论，让学生分享解题策略和心得。

5. 总结提升：总结一次函数和反比例函数的性质及应用，提高学生解决问题的能力。

6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学活动设计1. 活动一：引入概念通过展示实际生活中的线性关系图片，如直线轨道上列车的运动，引导学生思考线性关系的表现形式。

引导学生提出一次函数的表达式，并解释其含义。

2. 活动二：探索性质学生通过绘制一次函数图像，观察并总结其在坐标系中的性质。

通过实际例子，让学生理解一次函数的斜率和截距对图像的影响。

3. 活动三：反比例函数的引入引导学生从比例关系出发，思考反比例函数的概念。

通过实际问题，如在固定面积内，距离与面积的关系，引入反比例函数。

七、教学评价设计1. 评价目标：学生能理解并应用一次函数和反比例函数解决实际问题。

通过设计具有挑战性的问题，如购物预算问题，让学生应用所学的函数知识。

一次函数与反比例函数的综合应用训练

一次函数与反比例函数的综合应用训练例1：已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.（1）k为时，它的图象经过原点；（2）k为时，它的图象经过点（0，-2）；（3）k为时，它的图象平行于直线y=-x；（4）k为时，它的图象垂直于直线y=2x+1；（5）k为时，y随x的增大而减小,=+的图象经过M(0，2)，N(1，3)两点．例2：已知一次函数y kx b(l) 求k、b的值；=+的图象与x轴和y轴的交点坐标(2) 求一次函数y kx b=+的图象与坐标轴围成的三角形面积。

(3) 求一次函数y kx b例3：一家小型放映厅的盈利额y元同售票数x之间的关系如图所示，其中保险部门规定：超过150人时，要缴纳公安消防保险费50元，据图回答：（1）当0＜x≤150时，y与x的关系式。

（2）当150＜x≤200时，y与x的关系式。

（3）当售票数x为时，不赔不赚；当售票数x为时，赔本；若获得最大利润200元x为。

基础巩固小训练：一、选择题1、一次函数y=（m-2）x+（3-2m ）的图像经过点（-1，-4），则m 的值为（）．A ．-3B ．3C ．1D ．-12、若一次函数y=（2-m ）x+m 的图像经过第一、•二、•四象限，•则m•的取值范围是（）3、一次函数y=kx+b 满足x=0时y=-1；x=1时，y=1，则一次函数的表达式为（）．A ．y=2x+1B ．y=-2x+1C ．y=2x-1D ．y=-2x-14、如图，线段AB 对应的函数表达式为（）A ．y=-32x+2B ．y=-23x-2C ．y=-23x+2（0≤x ≤3）D ．y=-23x+2（0<x<3） 5、已知函数y=x-3，若当x=a 时，y=5；当x=b 时，y=3，a 和b 的大小关系是（）A ．a>bB ．a=bC ．a<bD ．不能确定6、已知正比例函数y ＝kx （k ≠0），y 随x 的增大而减小，则一次函数y ＝x ＋k 的图像大致是（）。

反比例函数与一次函数的综合应用

反比例函数与一次函数的综合应用反比例函数和一次函数是数学中最常用的函数之一，它们常被用于实际工作中，可以用来模拟、分析和解决实际问题。

本文旨在探讨反比例函数和一次函数在实践中的运用。

详细探讨了反比例函数和一次函数的定义、特点、性质及其综合应用。

反比例函数的定义反比例函数是一种可以求解反比例关系的函数，它是以x和y两个变量组成的一对变量。

反比例函数也可以表示为y与x的倒数的乘积，也就是y=k/x，其中k为常数。

这种变量使得反比例函数有其独特的特征，使得反比例函数与其他函数不同。

反比例函数的特点反比例函数具有以下几个明显的特点：（1）反比例函数的图像为抛物线；（2）反比例函数的导数为负数；（3）反比例函数的函数值与变量值的乘积不变，即yx=k；（4）以反比例函数表示的关系为反比例关系。

一次函数的定义一次函数是一种最为普遍的函数，它由x和y两个变量组成。

一次函数的表达式可以以y=ax+b的形式来表示，其中a为常数，b为常数。

一次函数的特点一次函数具有以下几个明显的特点：（1）一次函数的图像为直线；（2）一次函数的导数为一恒定的常数；（3）一次函数的函数值与变量值的差值不变，即y-b=a(x-0)；（4）以一次函数表示的关系为线性关系。

反比例函数与一次函数的综合应用反比例函数和一次函数能够结合起来运用，用于模拟、分析和解决实际问题。

具体应用如下：1.于具有反比例关系的实际现象，可以用反比例函数建立模型，以研究关系性。

例如，用反比例函数可以研究不同工资水平与物价的变化关系；2.于涉及递减的实际现象，可以用一次函数建立模型，以研究关系性。

例如，用一次函数可以研究不同时间段内物价的变化关系；3.于反比例函数和一次函数具有相似关系的实际现象，可以将它们结合起来建立模型，以研究关系性。

例如，用反比例函数和一次函数可以很好地研究不同金额投资与年利润的变化关系。

结论以上，本文概述了反比例函数和一次函数的定义、特点以及综合应用情况，并且将它们在实践中的运用进行总结，提出了综合应用的建议。

一次函数与反比例函数的综合应用

一次函数与反比例函数复习
同步教学知识内容个性化学习问题解决
课时计划
第（）课时共（）课时
一次函数基本性质，反比例函数基本性质
1、一次函数，反比例函数 2 一次函数与反比例函数以及二次函数的综合
教学重点教学难点教学过程
1、一次函数的基本性质及解题思路 2、反比例函数的基本性质及解题思路 3、一次函数与反比例函数的结合解题思路函数综合的解题技巧教师活动
描出三个点，满足 x1 x2 0 x3 观察图像直接得到 y3 y1 y2 选 A 解法三：用特殊值法
1 x1 x2 0 x3 , 令x1 2, x2 1, x3 1 y1 , y 2 1, y3 1, y3 y1 y 2 2
k x
x
6. 已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3）则 m 的值为__________． 1 2m 7. 已知反比例函数 y 的图象上两点 Ax1 , y1 , Bx2 , y2 ，当 x1 0 x2 时，有 y1 y2 ， x 则 m 的取值范围是？
8.已知 y 与 x-1 成反比例，并且 x＝-2 时 y＝7，求： (1)求 y 和 x 之间的函数关系式； (3)y＝-2 时，x 的值。 (2)当 x=8 时，求 y 的值；
2
k 2
的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？
k ，（ k 0 ）即 y kx x
1
【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数 y
（k 0）
又在第二，四象限内，则 k 0 可以求出的值【答案】由反比例函数的定义，得： 1 2k 2 k 2 1 k 1或k 解得 2 k 0 k 0 k 1 2 1 k 1 时函数 y kx2k k 2 为 y x 1 x2 ，y 2 ，【例 2】在反比例函数 y 的图像上有三点 x1 ，若 x1 x2 0 x3 x3 ，y3 。 y1 ， x 则下列各式正确的是（） A． y3 y1 y2 B． y3 y2 y1 C． y1 y2 y3 D． y1 y3 y2

反比例函数与一次函数的综合运用(优质课教案)

反比例函数与一次函数的综合运用蒲岐中学章青海一、教学目标、重点、难点的确定结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下：1．知识与技能：通过本节学习，巩固反比例函数和一次函数的图像和性质，并能用它解决相关问题．2．过程与方法：通过观察简单图象入手，步步引入，逐渐掌握解决本节例题的方法，通过动手操作，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想．3．情感、态度与价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值．教学重点：利用反比例函数和一次函数的图像和性质解决有关问题教学难点：1、综合运用反比例函数和一次函数的图像和性质知识解决创新型问题2、对数形结合思想的理解与深入应用二、教学流程(一) 简单图象导入，温故知新教师：同学们好，请同学们看屏幕．如图，问题1.如图在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2、BC=1，你可以得出哪些结论？设计意图：让学生复习解直角三角形的知识及一般情况三角形会求哪些结论？引出面积为反比例函数的引入作铺垫。

问(2)将Rt△ABC如图放入直角坐标系中；还可以得出什么结论？设计意图：让学生体会当直角坐标系与简单几何图形结合，点线都可以用代数知识来表示，充分理解直角坐标系是数形结合很好的工具。

．借助哪个函数工具可以画出和它面积一样的直角三角形？设计意图：引入反比例函数，复习反比例函数解析式的求法，充分理解掌握k=xy 面积不变性，认识应用的基本图形，为等积法解决原题作铺垫。

问(3) .在平面直角坐标系中找到点D,使得以A 、B 、C 、 D 为顶点的四边形是平行四边形。

设计意图：比较自然的引出（0，-1）；（4，1）又可以得出直线y=21x －1,从数学思想看也复习了分类讨论思想。

问（4）.如图反比例函数y=x 4 与一次函数y=21x －1交于C,D 两点你能提出一个新问题吗?并尝试解决.设计意图：预设3副图解决三类常见问题求交点，求三角形面积及大小比较让学生总结方法技巧问（5）. 直线y=21x-1与x 轴交于点B,过点B 作x 轴的垂线交反比例函数y=x4于点C,连接AC 你能判断三角形ABC 的形状吗?（创新型综合问题）设计意图：还是让学生观察图形特征，总结点规律，为解决原题作基础。

反比例函数与一次函数的综合应用(含答案)

①k1<k2；②当 x<－1 时，y1<y2；③当 y1>y2 时，x>1；④当 x<0 时，y2 随 x 的增大而减
小．其中正确的有( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
-1-
4．已知函数 y1＝x(x≥0)，y2＝4x(x>0)的图象如图所示，则以下结论： ①两函数图象的交点 A 的坐标为(2，2)； ②当 x>2 时，y1>y2； ③当 x＝1 时，BC＝2； ④两函数图象构成的图形是轴对称图形； ⑤当 x 逐渐增大时，y1 随着 x 的增大而增大，y2 随着 x 的增大而减小．其中正确结论的序号是____________．
反比例函数与一次函数的有关计算类型1 利用点的坐标求面积 5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝2x＋n 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，与双曲线 y＝4x在第一象限内交于点 C(1，m)． (1)求 m 和 n 的值； (2)过 x 轴上的点 D(3，0)作平行于 y 轴的直线 l，分别与直线 AB 和双曲线 y＝4x交于点 P， Q，求△ APQ 的面积．
2．一次函数 y＝kx＋b 与反比例函数 y＝kx(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则 k，b 的取值范围是( )
A．k>0，b>0
B．k<0，b>0
C．k<0，b<0
D．k>0，b<0
(第 2 题)
(第 3 题)
(第 4 题)
反比例函数与一次函数的图象与性质
3．(中考·仙桃】如图，正比例函数 y1＝k1x 和反比例函数 y2＝kx2的图象交于 A(1，2)，B 两点，给出下列结论：

中考数学专题复习《一次函数与反比例函数的综合》经典题型讲解

中考数学专题复习《一次函数与反比例函数的综合》经典题型讲解【经典母题】如图Z6－1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A的纵坐标为80，另一端点B的坐标为B(80，10)．求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围．【解析】利用待定系数法设出反比例函数的表达式后，代入点B的坐标即可求得反比例函数的表达式．解：设反比例函数的表达式为y＝k x ，∵一个端点B的坐标为(80，10)，∴k＝80×10＝800，∴反比例函数的表达式为y＝800x.∵端点A的纵坐标为80，∴80＝800x，x＝10，∴点A的横坐标为10，∴自变量的取值范围为10≤x≤80.【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法，设y＝kx，把已知一点代入函数表达式求出k的值即可．【中考变形】1．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝bx的图象有一个公共点A(1，2)．(1)求这两个函数的表达式；图Z6－1(2)在图Z6－2中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．图Z6－2中考变形1答图解：(1)把A (1，2)代入y ＝ax ，得2＝a ，即y ＝2x ；把A (1，2)代入y ＝b x ，得b ＝2，即y ＝2x ； (2)画草图如答图所示．由图象可知，当x ＞1或－1＜x ＜0时，正比例函数值大于反比例函数值． 2．如图Z6－3，已知一次函数y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x 的图象交于第一象限内P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，Q (4，m )两点，与x 轴交于A 点．(1)分别求出这两个函数的表达式； (2)写出点P 关于原点的对称点P ′的坐标； (3)求∠P ′AO 的正弦值．图Z6－3【解析】①将P 点坐标代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式；将Q 点代入反比例函数关系式，即可求出m 的值；将P ，Q 两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可求出一次函数的表达式．②根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出点P ′的坐标；③过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D ，可构造出′AD ，又∵点A 在一次函数的图象上，∴可求出点A 坐标，得到OA 长度，利用P ′ 点坐标，可以求出P ′D ，P ′A ，即可得到∠P ′AO 的正弦值．解：(1)∵点P 在反比例函数的图象上，∴把点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8代入y ＝k 2x ，得k 2＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ，∴Q 点坐标为(4，1)．把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，Q (4，1)分别代入y ＝k 1x ＋b 中，得⎩⎨⎧8＝12k 1＋b ，1＝4k 1＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－2，b ＝9.∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋9； (2)P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－8；(3)如答图，过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D . ∵P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－8，中考变形2答图∴OD ＝12，P ′D ＝8.∵点A 在y ＝－2x ＋9的图象上，∴点A 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0，即OA ＝92，∴DA ＝5，∴P ′A ＝P ′D 2＋DA 2＝89. ∴sin ∠P ′AD ＝P ′D P ′A ＝889＝88989.∴sin ∠P ′AO ＝88989.3．[2017·成都]如图Z6－4，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y ＝12x与反比例函数y ＝kx 的图象交于A (a ，－2)，B 两点． (1)求反比例函数表达式和点B 的坐标；(2)P 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连结PO ，若△POC 的面积为3，求点P 的坐标．图Z6－4 中考变形3答图解：(1)∵点A (a ，－2)在正比例函数y ＝12x 图象上， ∴－2＝12a ，∴a ＝－4， ∴点A 坐标为(－4，－2)．又∵点A 在反比例函数y ＝kx 的图象上， ∴k ＝xy ＝－4×(－2)＝8， ∴反比例函数的表达式为y ＝8x .∵A ，B 既在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上， ∴A ，B 两点关于原点O 中心对称， ∴点B 的坐标为(4，2)；(2)如答图，设点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，8a (a ＞0)，∵PC ∥y 轴，点C 在直线y ＝12x 上，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12a ，∴PC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12a －8a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－162a ， ∴S △POC ＝12PC ·a ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－162a ·a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－164＝3，当a 2－164＝3时，解得a ＝28＝27， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫27，477. 当a 2－164＝－3时，解得a ＝2，∴P (2，4)．综上所述，符合条件的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫27，477，(2，4)． 4．如图Z6－5，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝mx 的图象交于A (1，4)，B (4，n )两点．(1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式；(3)P 是x 轴上的一个动点，试确定点P 并求出它的坐标，使得P A ＋PB 最小．图Z6－5解：(1)∵点A (1，4)在函数y ＝mx 上， ∴m ＝xy ＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ； (2)把B (4，n )代入y ＝4x ，4＝xy ＝4n ，得n ＝1， ∴B (4，1)，∵直线y ＝kx ＋b 经过A ，B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝k ＋b ，1＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝5， ∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋5； (3)点B 关于x 轴的对称点为B ′(4，－1)，设直线AB ′的表达式为y ＝ax ＋q ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a ＋q ，－1＝4a ＋q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－53，q ＝173，∴直线AB ′的表达式为y ＝－53x ＋173，令y ＝0，解得x ＝175，∴当点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫175，0时，P A ＋PB 最小．5．[2017·广安]如图Z6－6，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限交于点A (4，2)，与y 轴的负半轴交于点B ，图Z6－6且OB ＝6.(1)求函数y ＝mx 和y ＝kx ＋b 的表达式．(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C .在第一象限内，求反比例函数y ＝mx 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.解：(1)∵点A (4，2)在反比例函数y ＝mx 的图象上， ∴m ＝4×2＝8，∴反比例函数的表达式为y ＝8x . ∵点B 在y 轴的负半轴上，且OB ＝6， ∴点B 的坐标为(0，－6)，把点A (4，2)和点B (0，－6)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝2，b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6. ∴一次函数的表达式为y ＝2x －6； (2)设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，8n (n ＞0)．在直线y ＝2x －6上，当y ＝0时，x ＝3， ∴点C 的坐标为(3，0)，即OC ＝3， ∴S △POC ＝12×3×8n ＝9，解得n ＝43. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，6.6．[2017·黄冈]如图Z6－7，一次函数y ＝－2x ＋1与反比例函数y ＝kx 的图象有两个交点A (－1，m )和B ，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ；过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，且点D 的坐标为(0，－2)，连结DE . (1)求k 的值；(2)求四边形AEDB 的面积．图Z6－7 中考变形6答图解：(1)将点A (－1，m )代入一次函数y ＝－2x ＋1，得－2×(－1)＋1＝m ，解得m ＝3.∴A 点的坐标为(－1，3)．将A (－1，3)代入y ＝kx ，得k ＝(－1)×3＝－3；(2)如答图，设直线AB 与y 轴相交于点M ，则点M 的坐标为(0，1)， ∵D (0，－2)，则点B 的纵坐标为－2，代入反比例函数，得DB ＝32， ∴MD ＝3.又∵A (－1，3)，AE ∥y 轴， ∴E (－1，0)，AE ＝3. ∴AE ∥MD ，AE ＝MD .∴四边形AEDM 为平行四边形． ∴S 四边形AEDB ＝S ▱AEDM ＋S △MDB ＝3×1＋12×32×3＝214.7．[2016·金华]如图Z6－8，直线y ＝33x －3与x ，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象交于点C ，D ，过点A 作x 轴的垂线交该反比例函数图象于点E . (1)求点A 的坐标；(2)若AE ＝AC ，①求k 的值；②试判断点E 与点D 是否关于原点O 成中心对称？并说明理由．图Z6－8中考变形7答图解：(1)当y ＝0时，得0＝33x －3，解得x ＝3. ∴点A 的坐标为(3，0)；(2)①如答图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F .设AE ＝AC ＝t ，点E 的坐标是(3，t )，则反比例函数y ＝k x 可表示为y ＝3tx . ∵直线y ＝33x －3交y 轴于点B ， ∴B (0，－3)．在Rt △AOB 中，tan ∠OAB ＝OB OA ＝33， ∴∠OAB ＝30°.在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°， ∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝32t ，∴点C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3＋32t ，12t .∴⎝⎛⎭⎪⎫3＋32t ×12t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝2 3. ∴k ＝3t ＝6 3.②点E 的坐标为()3，23，设点D 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，33x －3，∴x ⎝ ⎛⎭⎪⎫33x －3＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3， ∴点D 的坐标是()－3，－23， ∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称．【中考预测】如图Z6－9，一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数y ＝nx (n 为常数且n ≠0)的图象在第二象限交于点C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OB ＝2OA ＝3OD ＝6. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求两函数图象的另一个交点的坐标；(3)直接写出不等式kx ＋b ≤nx 的解集．图Z6－9解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OB ＝6，OA ＝3，OD ＝2， ∵CD ⊥DA ，∴DC ∥OB ， ∴OB DC ＝AO AD ，∴6DC ＝35， ∴DC ＝10，∴C (－2，10)，B (0，6)，A (3，0)，代入一次函数y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，3k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝6， ∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋6. ∵反比例函数y ＝nx 经过点C (－2，10)， ∴n ＝－20，∴反比例函数的表达式为y ＝－20x ；(2)由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋6，y ＝－20x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4， ∴另一个交点坐标为(5，－4)；(3)由图象可知kx ＋b ≤nx 的解集为－2≤x ＜0或x ≥5.。

一次函数与反比例函数的综合应用

难 1. 用割补法求三角形的面积；点 2. 分区域讨论两函数值的大小关系，求自变量的取值范围.
教具准备
PPT , 投影仪.
一次函数与反比例函数综合应用
板
书
1、求函数解析式、交点坐标（待定系数法）
y
设
2、求三角形的面积.
计
(割补法)
3、比较两函数值大小，求自变量的取值范围.
（分类讨论）
A
O
C
x
DB
教师活动
学生活动设计意图
一、知识梳理.
【知识点 1】求函数解析式、交点坐标.
例 1：如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函学生思考 ,
数 y m 的图象交于 A(-2,1)、B(1,n)两点． x
（1）则反比例函数的关系式为_________;
讲解解题从函数表
思路.
达式求点
比例函数相交于 A（1，3），B（3，1）.
观察图象，比较当 x>0 时，两函数值的大小关系．
教
学
过
程
三、感受中考
(2015·安徽,21,12 分)已知反比例函数
y k1 x
与一次函数 y k2x b 的图象交于 A(1,8),B(-4,m).
(1)求 k1、k2、b 的值;
(2)求△AOB 的面积;
变式 1：
的梯度设
如图，一次函数 y=-x-1 的图象与反比例函数
置，对一次
y 2 的图象交于 A(-2,1)、B(1,-2)两点． x
y
函数和反比例函数在坐标轴
（3）求△AOB 的面积． A
O
C
中围成的学生思考，常见三角 x 得出不同形面积情

反比例函数与一次函数综合应用教案

反比例函数与一次函数的综合应用一、学情分析1. 学生：学生已经学过了反比例函数和一次函数，有了一定的了解，但是综合性有待提高；2. 教材：这是初三复习内容；3. 课程：本课程针对中考反比例函数与一次函数结合的题目进行复习练习。

二、教学目标：1、知识目标：（1）一次函数、正比例函数、反比例函数的概念。

（2）一次函数、正比例函数、反比例函数的图象及性质。

2、能力目标：（1）用待定系数法求一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式。

（2）会用作出一次函数、正比例函数、反比例函数的图象。

（3）能够应用一次函数与反比例函数的图象与性质分析解决一次函数与反比例函数的综合题。

3、情感态度与价值观：通过解题进一步理解数形结合的数学思想在函数中的应用。

三、教学重点：1．一次函数、正比例函数、反比例函数的图象及性质。

2．用待定系数法求一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式。

3．熟练应用一次函数与反比例函数的图象与性质进行解题。

四、教学难点：1．灵活运用一次函数、正比例函数、反比例函数的有关知识解综合题。

2．进一步利用数形结合的思想方法进行解题。

五、教学方法：讲练结合六、学情分析：学生已经基本掌握反比例函数和一次函数的概念、图象和性质，但我校学生计算能力、试图能力和分析能力都有待提高，因此我选择了稍微简单的综合题，意在让学生提高能力的同时增强学习数学的自信心。

七、教学过程（一）源于中考，以点展面（导入）一个函数具有下列性质：①它的图象经过（－1，4）；②在每个象限内，函数y 的值随自变量x 的值增大而增大；请你写出一个符合上述条件的函数关系式： .【设计意图：本题属于开放性试题，答案可以是反比例函数（一般学生）也可以是一次函数（好学生），由此引出本节课的内容，反比例函数与一次函数综合应用】（二）综合应用，提升能力（新授课）1.例题分析若xy 4-=的图象与正比例函数y =kx (k ≠0)的图象在第二象限的交点为A (－1，n )，如图.（1）求正比例函数的解析式；（中等学生回答）（2）确定该函数的图象与正比例函数y ＝kx 的图象另一个交点B 的坐标；（全体学生回答）（3）过点A 、B 向x 轴作垂线，垂足为M 、N ，求S △AOM 、S △BON . （全体学生回答）（4）①若C (2，m ) 为该正比例函数图象上一点，比较m 与n 的大小；（中等学生回答）②若E (－2，m ) 为该正比例函数图象上一点，比较m 与n 的大小；（全体学生回答） ③若反比例函数值大于正比例函数值，确定 x 的取值范围. （中等学生回答）【说明：本题是由4道学生熟悉的小题综合在一起的，难度不大，让学生体验一部分综合题就是由几个有关联的小题放在一起，消除学生抵触心理，为后面难点打基础】2. 方法总结解决函数问题方法总结：（师生共同总结，学生在学案中填写）解决问题求函数解析式确定交点坐标求几何图形面积比较函数值大小 3. 针对练习：回归中考，能力检测4（学生独立完成，大屏幕展示学生解题过程）（三）变式延伸，拓展思维：1. 例题分析若直线()041>+=k kx y 与反比例函数()02≠=m m xm y 为常数，的图象一个交点为A (－3，1)，如图.（1）=1y ；=2y （全体学生）（2）直接写出两函数的另一个交点坐标；（全体学生）（3）当x 取何值时，21y y >；（中等学生）（4）求△OAB 的面积；（较好学生）（5）过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，两线交于点C ．（课外延伸）①若反比例函数()02≠=m m xm y 为常数，的图象与△ABC 有公共点，请直接写出m 的取值范围；②若一次函数y =ax ＋b 的图象平行于直线 AB ，若直线y =ax ＋b 与△ABC 有公共点，求b 的取值范围；【说明：本题是本节课的难点，一次函数与反比例函数的结合，以及割补法求面积，利用多媒体教学的优势，用动画展示割补的过程，从而突破难点】2. 方法总结一次函数与反比例函数综合应用方法总结：（师生共同总结，学生在学案中填写）3. 针对练习：回归中考，能力检测5（学生独立完成，大屏幕展示学生解题过程）（四）课堂小结：本节课讲的解决函数问题以及函数综合题的方法，强调交点的重要性.（五）课堂反馈：回归中考，能力检测6八、板书设计策略方法八、教学反思本节课学生基本掌握反比例函数和一次函数的概念、图象和性质以及掌握利用这些知识解较简单的综合题的方法，但是对于数形结合的思想运用、与几何知识的结合、坐标与线段的转化还不是很熟练，需要进一步练习提高。

《一次函数与反比例函数的综合应用》教学设计

三、教学目标
（一）、知识与技能：
1、理解和掌握一次函数与反比例函数的表达式，图象及其性质。
2、能熟练运用待定系数法求函数的表达式；利用联立方程组思想求交点坐标；数形结合的思想求变量取值范围，转化思想等方法解决函数综合应用题。
（二）、过程与方法：
1、通过对零散知识点运用思维导图进行系统梳理，让学生对一次函数、反比例函数的知识体系结构化。
2、广东省近几年数学中考中一次函数与反比例函数综合题的考查情况表：
年份2012年2013年2014年
题号第17题第10题第23题
1、学生听
1、教师在此活动中，要重点关注的是：
（1）问题的提出是否引起了学生的兴趣；
（2）学生
是否高度重视，有主动积极参与到活动中来，有种跃跃欲试的感觉。
教师对本
节课内容
1、（2011年湖南怀化中考题）正比例函数
y2x与反比例函数y1在同一坐标系中的
x
大致图像是（ B）
2、（2017湖南张家界中考题）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m（m≠0）与ym
x
m≠0）的图象可能是（D）
针对引例题 2 类型的变式训练题：
3、（2011年浙江杭州中考题）函数y1x1和
引例 2：(2011 年贵州贵阳中考题)如图，反
k1
比例函数y1=x和正比例函数y2=k2x的图象
k1
交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若x＞k2x，
则x的取值范围是（C）A、-1＜x＜0
B、-1＜x＜1
C、x＜-1或0＜x＜1D、-1＜x＜0或x＞1
k1
解析：根据题意，若x＞k2x，则只须y1＞y2，
（2）并且无论P怎样移动，△OPA的面积和矩形OAPB的面积都保持不变。

一次函数与反比例函数综合应用(经典)

一次函数与反比例函数—专项提升1. 如图1，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=（0x <）的图象交于A （-3，2），B （n ，4）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）点C （-1，0）是x 轴上一点，求△ABC 的面积．2、如图2，直线y 1=kx +2与反比例函数23y x-=（x <0）相交于点A ，且当x <-1时，y 1>y 2，当-1<x <0时，y 1<y 2．（1）求出y 1的解析式；（2）若直线y =2x +b 与x 轴交于点B （3，0），与y 1交于点C ，求出△AOC 的面积．图1图23、如图，直线132y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .(1)求点A 、B 的坐标 (2)若点P 在直线132y x =+上，且横坐标为-2，求过点P 的反比例函数图象的解析式.4、如图9，在平面直角坐标系中，双曲线y =mx 和直线y =kx +b 交于A ，B 两点，点A 的坐标为（﹣3，2），BC ⊥y 轴于点C ，且OC =6BC ．（1）求双曲线和直线的解析式；（2）直接写出不等式mx＞kx +b 的解集．图9图10xy AOB5、如图10，一次函数y=x+1的图象与反比例函数xky =（k 为常数，且0k ）的图象都经过点A （m ，2）．（1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式；（2）设一次函数y=x+1的图象与x 轴交于点B ，若点P 是x 轴上一点，且满足△ABP 的面积是2，请直接写出点P 的坐标．6、正比例函数y ＝12x 的图象与反比例函数y ＝kx （k ≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知△OAM 的面积为1. （1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小.OMy图11Ax。

专题三函数综合问题(一次函数+反比例函数)-中考二轮专题复习(原卷版)(全国适用)

专题三函数的综合问题专题三函数综合问题（一次函数+反比例函数）一、以一次函数为背景的综合问题例题（2021·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣34x+3分别交x轴，y轴于点A，B．∠OBA的外角平分线交x轴于点D．（1）求点D的坐标；（2）点P是线段BD上的一点（不与B，D重合），过点P作PC⊥BD交x轴于点C．设点P 的横坐标为t，△BCD的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，PC的延长线交y轴于点E，BC的延长线交DE于点F，连AP，若sin∠BAP 10OF的长．练习题1．（2021·吉林双阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，两条直线分别为y＝2x，y＝kx，且点A在直线y＝2x上，点B在直线y＝kx上，AB∥x轴，AD⊥x轴，BC⊥x轴垂足分别为D 和C，若四边形ABCD为正方形时，则k＝（）A ．14B ．12C ．23D ．22．（2021·山东槐荫·二模）如图，点B ，C 分别在直线y ＝2x 和直线y ＝kx 上，A 、D 是x 轴上两点，若四边形ABCD 是长方形，且AB ：AD ＝1：3，则k 的值是（）A ．23B ．25C ．27D ．293．（2021·山东广饶·二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 满足点O 在原点，点A 坐标为（2，0），∠AOC ＝60°，直线y ＝﹣3x ＋b 与菱形OABC 有交点，则b 的取值范围是___．4．（2021·湖北阳新·模拟预测）如图，直线AB 的解析式为y ＝﹣x +b 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为（3，0），过点B 的直线交x 轴负半轴于点C ，且31OB OC =：：，在x 轴上方存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则点D 的坐标为_____．5．（2021·广东深圳·三模）定义：如图1，已知锐角∠AOB 内有定点P ，过点P 任意作一条直线MN ，分别交射线OA ，OB 于点M ，N ．若P 是线段MN 的中点时，则称直线MN 是∠AOB 的中点直线．如图2，射线OQ 的表达式为y ＝2x （x ＞0），射线OQ 与x 轴正半轴的夹角为∠α，P （3，1），若MN 为∠α的中点直线，则直线MN 的表达式为__________________．6．（2021·山东·济宁学院附属中学一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABCO Y 的顶点A ，B 的坐标分别是(6,0)A ，(0,4)B ．直线l 经过坐标原点，并与AB 相交于点D ．(1)直接写出C 点的坐标______．(2)若DOA BOC ∠=∠，试确定点D 的坐标及直线l 的解析式．(3)在（2）的条件下，动点P 在直线l 上运动，以点P 为圆心，PB 的长为半径的P e 随点P 运动，当P e 与ABCO Y 的边相切时，求出P e 的半径．7．（2022·辽宁·东北育才实验学校模拟预测）如图，已知直线l 1：y ＝2833x +与直线l 2：y ＝﹣2x +16相交于点C ，l 1、l 2分别交x 轴于A 、B 两点．矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线l 1、l 2上，顶点F 、G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合．(1)求△ABC 的面积；(2)求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；(3)若矩形DEFG 从原地出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t （0≤t ≤12）秒，矩形DEFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，直接写出S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．8．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学一模）如图，直线483y x =−+分别与x 轴，y 轴相交于点A ，点B ，作矩形ABCD ，其中点C ，点D 在第一象限，且满足AB ∶BC ＝2∶1．连接BD ．（1）求点A ，点B 的坐标．（2）若点E 是线段AB （与端点A 不重合）上的一个动点，过E 作EF ∥AD ，交BD 于点F ，作直线AF ．①过点B 作BG ⊥AF ，垂足为G ，当BE ＝BG 时，求线段AE 的长度．②若点P 是线段AD 上的一个动点，连结PF ，将△DFP 沿PF 所在直线翻折，使得点D 的对应点D ¢落在线段BD 或线段AB 上．直接写出线段AE 长的取值范围．9．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，直线15(0)y kx k =+≠经过点()3,6C ，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．线段CD 平行于x 轴，交直线34y x =于点D ，连接OC ，AD ．（1）填空：k = __________．点A 的坐标是（__________，__________）；（2）求证：四边形OADC 是平行四边形；（3）动点P 从点O 出发，沿对角线OD 以每秒1个单位长度的速度向点D 运动，直到点D 为止；动点Q 同时从点D 出发，沿对角线OD 以每秒1个单位长度的速度向点O 运动，直到点O 为止．设两个点的运动时间均为t 秒． ①当1t =时，CPQ V 的面积是__________．②当点P ，Q 运动至四边形CPAQ 为矩形时，请直接写出此时t 的值．10．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校模拟预测）直线y kx k =+与x 轴交于A ，与y 轴交于C 点，直线BC 的解析式为1y x k k=−+，与x 轴交于B ．（1）如图1，求点A 的横坐标；（2）如图2，D 为BC 延长线上一点，过D 作x 轴垂线于点E ，连接CE ，若CD CA =，设ACE V 的面积为S ，求S 与k 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OD 交AC 于点F ，将CDF V 沿CF 翻折得到△FCG ，直线FG 交CE 于点K ，若345ACE CDO ∠−∠=︒，求点K 的坐标．二、反比例函数的综合问题例题（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，线段AB 在x 轴的正半轴上移动，且AB =1，过点A 、B 作y 轴的平行线分别交函数y 1＝1x （x ＞0）与y 2＝3x（x ＞0）的图象于C 、E 和D 、F ，设点A 的横坐标为m （m ＞0）．(1)D 点坐标；F 点坐标；连接OD 、OF ，则△ODF 面积为；（用含m 的代数式表示）(2)连接CD 、EF ，判断四边形CDFE 能否是平行四边形，并说明理由；(3)如图2，经过点B 和点G （0，6）的直线交直线AC 于点H ，若点H 的纵坐标为正整数，请求出整数m 的值．练习题1．（2021·河北·高阳县教育局教研室模拟预测）如图是反比例函数3y x =和7y x=−在x 轴上方的图象，x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点A ，B ，点P 在x 轴上．则点P 从左到右的运动过程中，△APB 的面积是（）A ．10B ．4C ．5D ．从小变大再变小2．（2021·山东滨州·一模）如图，O 为坐标原点，四边形OACB 是菱形，OB 在x 轴的正半轴上，sin ∠AOB ＝45，反比例函数y ＝48x在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ，则点F 的坐标为（）A ．611，6120）B ．61+1，6120）C ．6146120− D ．61﹣946120− 3．（2021·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的对称中心恰好是原点O ，已知点B 坐标是32,2⎛⎫− ⎪⎝⎭，双曲线y =6x经过点A ，则菱形ABCD 的面积是( )A ．2B ．18C 252D ．254．（2021·广东深圳·三模）如图，在反比例函数y ＝4x （x ＞0）的图象上有动点A ，连接OA ，y ＝k x （x ＞0）的图象经过OA 的中点B ，过点B 作BC ∥x 轴交函数y ＝4x 的图象于点C ，过点C 作CE ∥y 轴交函数y ＝kx的图象于点D ，交x 轴点E ，连接AC ，OC ，BD ，OC 与BD 交于点F ．下列结论：①k ＝1；②S △BOC ＝32；③S △CDF ＝316S △AOC ；④若BD ＝AO ，则∠AOC ＝2∠COE ．其中正确的是（）A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③④5．（2021·江苏扬州·一模）如图，正方形的顶点A ，C 分别在y 轴和x 轴上，边BC 的中点F 在y 轴上，若反比例函数12y x=的图象恰好经过CD 的中点E ，则OA 的长为______．6．（2021·福建·厦门五缘实验学校二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y kx=（k ＞0）的图象与半径为5的⊙O 交于M 、N 两点，△MON 的面积为3.5，若动点P 在x 轴上，则PM +PN 的最小值是______．7．（2021·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数y ＝kx（k ＞0，x ＞0）的图象上，CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知CD ＝2．(1)点A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由； (2)若该反比例函数图象与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标． 8．（2021·山东菏泽·三模）如图，反比例函数()0ky k x=≠的图像过等边BOC V 的顶点B ，2OC =，点A 在反比例函数的图象上，连接AC ，AO ．(1)求反比例函数()0ky k x=≠的表达式； (2)若四边形ACBO 的面积是33A 的坐标．9．（2021·吉林·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（4，2），双曲线ky x=（x ＞0）的图象交BC 于点D ，若BD ＝32．求反比例函数的解析式及点F 的坐标．10．（2022·广东江门·一模）反比例函数y 1＝1k x（k 1＞0）和y 2＝22(0)k k x >在第一象限的图象如图所示，过原点的两条射线分别交两个反比例图象于A ，D 和B ，C(1)求证：AB ∥CD ；(2)若k 1＝2，S △OAB ＝2，S 四边形ABCD ＝3，求反比例函数y 2＝2k x（k 2＞0）的解析式． 11．（2021·湖北恩施·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A ，D 分别是x 轴、y 轴上的一动点，以AD 为边向外作矩形ABCD ，对角线BD ∥x 轴，反比例函数(0)ky k x=>图象经过矩形对角线交点E ．(1)如图1，若点A 、D 坐标分别是(6,0)，(0,2)，求BD 的长；(2)如图2，保持点D 坐标(0,2)不变，点A 向右移移动，当点C 刚好在反比函数图象上时，求点A 坐标及k 的值．12．（2021·广东·汕头市潮南实验学校一模）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标系原点，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，其中4cos 5OBC ∠=，3OC =．已知反比例函数(0)ky x x=>的图象经过BC 边上的中点D ，交AB 于点E ．(1)求k 的值；(2)猜想OCD ∆的面积与OBE ∆的面积之间的关系，请说明理由．(3)若点(,)P x y 在该反比例函数的图象上运动（不与点D 重合），过点P 作PR y ⊥轴于点R ，作PQ BC ⊥所在直线于点Q ，记四边形CQPR 的面积为S ，求S 关于x 的解析式并写出x 的取值范围．13．（2021·重庆北碚·模拟预测）有这样一个问题：探究函数y ＝bx ax ++2的图象与性质，小童根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行例研究，已知当x ＝2时，y ＝7，0x =时，y ＝﹣3．下面是小童探究的过程，请补充完整：(1)该函数的解析式为，m＝，n＝．根据图中描出的点，画出函数图象．x…﹣4﹣3﹣20234…y…m 3413﹣37n113…；①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心是原点．②该函数既无最大值也无最小值．③在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小．(3)请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式2220x axx b+−−≥+的解集．（保留1位小数，误差不超过0.2）14．（2021·广东·二模）如图1，点P是反比例函数y＝kx（k＞0）在第一象限的点，P A⊥y轴于点A，PB⊥x轴于点B，反比例函数y＝6x的图象分别交线段AP、BP于C、D，连接CD，点G是线段CD上一点．(1)若点P （6，3），求△PCD 的面积；(2)在（1）的条件下，当PG 平分∠CPD 时，求点G 的坐标；(3)如图2，若点G 是OP 与CD 的交点，点M 是线段OP 上的点，连接MC 、MD ．当∠CMD ＝90°时，求证：MG ＝12CD ．15．（2021·广东珠海·一模）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点B 在x 轴正半轴上，四边形OACB 为平行四边形，3cos AOB?(0)k y k x=>的图象在第一象限内过点A ，且经过BC 边的中点F ，连接AF ，OF ．(1)当3OA = (2)在（1）的条件下，求点F 的坐标； (3)证明：ΔΔOAF AFC ∽．三、一次函数与反比例函数的综合问题例题（2021·江苏·苏州市吴中区碧波中学一模）如图，过直线12y kx =+上一点P 作PD x ⊥轴于点D ，线段PD 交函数(0)my x x=>的图象于点C ，点C 为线段PD 的中点，点C 关于直线y x =的对称点C '的坐标为()1,3．（1）直接写出点C 的坐标（____，______），求k 、m 的值：（2）求直线12y kx =+函数(0)m y x x =>图象的交点坐标；（3）直接写出不等式1(0)2m kx x x >+>的解集．练习题1．（2021·四川成都·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y ＝kx 与一次函数y ＝kx ﹣k （k 为常数，且k ≠0）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·湖北荆门·中考真题）在同一直角坐标系中，函数y kx k =−与(0)||ky k x =≠的大致图象是（）A．①②B．②③C．②④D．③④3．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，直线y＝x+8分别交x、y轴于A、B两点，交双曲线kyx =，若CD＝3（AC+BD），则k的值为（）A．﹣6B．﹣7C．﹣8D．﹣94．（2021·广东·深圳市罗湖区翠园初级中学二模）将反比例函数y＝4x的图象绕坐标原点O逆时针旋转30°，得到如图的新曲线A（﹣3，3，B 332，32）的直线相交于点C、D，则△OCD的面积为（）A ．3B ．8C ．3D 3325．（2018·山东青岛·中考模拟）如图，反比例函数y ＝kx （x ＜0）与一次函数y ＝x ＋4的图象交于A 、B 两点的横坐标分别为－3，－1．则关于x 的不等式kx ＜x ＋4（x ＜0）的解集为（）A ．x ＜－3B ．－3＜x ＜－1C ．－1＜x ＜0D ．x ＜－3或－1＜x ＜06．（2021·山东临沂·一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数0y ax b a +≠＝（）与反比例函数ky x=的图象交于点1A m （，）和()2,1B −−，点A 关于x 轴的对称点为点C ．(1)求这两个函数的表达式． (2)直接写出关于x 的不等式kax b x+≤的解．(3)过点B 作y 轴的垂线与直线AC 交于点D ，经过点C 的直线与直线BD 交于点E ，且3045CED ︒≤∠≤︒，直接写出点E 的横坐标t 的取值范围．7．（2021·山东青岛·一模）如图，直线y 1＝k 1x +b 与双曲线y 2＝2k x在第一象限内交于A 、B 两点，已知A （1，m ），B （2，1）．(1)分别求出直线和双曲线的解析式；(2)设点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，E 是y 轴上一点，当△PED 的面积最大时，请直接写出此时P 点的坐标为． 8．（2021·广东清远·二模）如图，一次函数y 1＝k 1x +4与反比例函数22k y x=的图象交于点A (2,m )和B (-6,-2)，与y 轴交于点C ．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP 与线段AD 交于点E ，当S 四边形ODAC :S △ODE ＝4:1时，求点P 的坐标；(3)点M 是y 轴上的一个动点，当△MBC 为直角三角形时，直接写出点M 的坐标．9．（2021·湖南·株洲市芦淞区教育教学研究指导中心模拟预测）如图1，点(08)(2)A B a ，、，在直线2y x b =−+上，反比例函数(ky x x=＞0）的图象经过点B ．(1)求反比例函数解析式；(2)将线段AB 向右平移m 个单位长度（m ＞0），得到对应线段CD ，连接AC 、BD ． ①如图2，当m ＝3时，过D 作DF ⊥x 轴于点F ，交反比例函数图象于点E ，求E 点坐标； ②在线段AB 运动过程中，连接BC ，若△BCD 是以BC 为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m 的值．10．（2021·四川·叙州区双龙镇初级中学校模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝kx +b （k ≠0）与双曲线()0my m x=≠交于点A （a ，4a ）（a ＞0）和点B （﹣4，n ），连接OA ，OB ，其中17OA =(1)求双曲线和直线l 1的表达式； (2)求△AOB 的面积；(3)如图2，将直线l 1：y ＝kx +b 沿着y 轴向下平移得到直线l 2，且直线l 2与双曲线在第三象限内的交点为C ，若△ABC 的面积为20，求直线l 2与y 轴的交点坐标．11．（2021·山东潍坊·二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)ky x x=>的图象与直线2y x =−交于点(4,)A m ．(1)求k ，m 的值；(2)已知点(P n ，)(0)n n >，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线2y x =−于点M ，过点P 作平行于y 轴的直线，交函数ky x=(0)x >的图象于点N ． ①当2n =时，判断线段PM 与PN 的数量关系，并说明理由； ②若PN PM …，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围． 12．（2021·四川南充·一模）如图，直线y ＝kx +b 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与双曲线y ＝ax（x ＜0）交于C （﹣8，1），D （﹣m ，m 2）两点．(1)求直线和双曲线的解析式；(2)比较AC 和BD 的大小，直接填空：AC BD ；(3)写出直线对应函数值大于双曲线对应函数值自变量x 的取值范围，直接填空：． 13．（2021·山东临沂·一模）如图，反比例函数ky x=(0k ≠，x ＞0)的图象与直线y =3x 相交于点C ，过直线上点A (1，3)作AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且AB =3BD ．(1)求k 的值； (2)求点C 的坐标；(3)在y 轴上确定一点M ，使点M 到C ，D 两点距离之和d =MC +MD 最小，求点M 的坐标． 14．（2021·广东·东莞市南开实验学校一模）如图，一次函数y=k 1x +1的图象与反比例函数22(0)k y k x=> 点的图象相交于A 、B 两点，点C 在x 轴正半轴上，点D （1，-2 ），连接OA 、OD 、DC 、AC ，四边形OACD 为菱形．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时，x 的取值范围； (3)设点P 是直线AB 上一动点，且S △OAP =12S 菱形OACD ，求点P 的坐标．15．（2021·山东济南·三模）已知点A （0，4），将点A 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，对应点B 恰好落在反比例函数(0)ky k x=>的图象上．过点B 的直线l 的表达式为y ＝mx +n ，与反比例函数图象的另一个交点为点C ，分别交x 轴、y 轴于点D 、点E ．(1)求反比例函数表达式；(2)若线段BC ＝2CD ，求△BOD 的面积；(3)在（2）的条件下，点P 为反比例函数图象上B 、C 之间的一点（不与B 、C 重合），PM⊥x 轴交直线l 于点M ，PN ⊥y 轴交直线l 于点N ，请分析EM •DN 是否为定值，并说明理由．16．（2021·广东阳江·一模）如图，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）与反比例函数(0,0)m y m x x=≠>交于A （4，12），B （1，2），AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ．(1)根据图象直接回答：在第一象限内，当x 取何值时，一次函数值大于反比例函数值；(2)求一次函数的解析式及m 的值；(3)P 是线段AB 上的一点，连接PC ，PD ，若△BDP ∽△ACP ，求点P 的坐标．17．（2021·广东佛山·二模）如图，一次函数y ＝k 1x +b 与反比例函数y ＝2k x图象交于点B （﹣1，6）、点A ，且点A 的纵坐标为3．(1)填空：k 1＝，b ＝；k 2＝；(2)结合图形，直接写出k 1x +b ＞2k x时x 的取值范围； (3)在梯形ODCA 中，AC ∥OD ，且下底DO 在x 轴上，CD ⊥x 轴于点D ，CD 和反比例函数的图象交于点M ，当梯形ODCA 的面积为12时，求此时点M 坐标．18．（2021·广东梅州·一模）已知一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝m x的图象交于A （﹣3，2）、B （1，n ）两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）△AOB 的面积为；（3）直接写出不等式kx ＋b ＞m x的解；（4）点P 在x 的负半轴上，当△P AO 为等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．19．（2021·江苏南通·中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数1122y x =+的图象的“等值点”．（1）分别判断函数22,y x y x x =+=−的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数3(0),y x y x b x=>=−+的图象的“等值点”分别为点A ，B ，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ．当ABC V 的面积为3时，求b 的值；（3）若函数22()y x x m =−≥的图象记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图象记为2W ．当12,W W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m 的取值范围．。

一次函数与反比例函数的综合运用

一次函数与反比例函数的综合运用一次函数和反比例函数是数学中常见的两种函数类型。

它们在生活中有许多实际应用，本文将探讨一次函数和反比例函数的综合运用。

首先，我们来介绍一次函数。

一次函数的一般形式是y = ax + b，其中a和b为常数。

一次函数的图像是一条直线，可以表示许多与线性关系有关的问题。

一次函数的应用之一是在经济学中的成本和收益分析。

假设一个公司的固定成本为2000元，每生产一个单位产品的变动成本为50元。

我们可以用一次函数来表示总成本与生产量之间的关系。

令x表示生产量，y表示总成本，则一次函数的表达式为y=50x+2000。

通过这个函数，我们可以计算出生产不同数量产品时的总成本，并选择最佳的生产数量。

另一个应用一次函数的例子是物理学中的运动学问题。

假设一个物体在t秒内以恒定的速度v移动，我们可以用一次函数来表示物体的位移和时间之间的关系。

令x表示位移，y表示时间，则一次函数的表达式为x= vt。

通过这个函数，我们可以根据已知的速度和时间，计算出物体在不同的时间点上的位移。

接下来，我们来介绍反比例函数。

反比例函数的一般形式是y=k/x，其中k为常数，x和y为变量。

反比例函数的图像是一条双曲线，可以表示许多与反比关系有关的问题。

反比例函数的应用之一是在物理学中的弹簧力和伸长关系问题。

弹簧的力与其伸长的关系通常是反比关系。

假设一个弹簧的弹性常数为k，伸长的长度为x，力为y，则反比例函数的表达式为y=k/x。

通过这个函数，我们可以计算出不同伸长长度下的力，并分析弹簧的弹性特性。

另一个应用反比例函数的例子是电路中的电阻和电流关系问题。

根据欧姆定律，电阻与电流成反比关系。

假设一个电路中的电阻为R，流过的电流为I，则反比例函数的表达式为I=k/R。

通过这个函数，我们可以计算出不同电阻下的电流，并分析电路的特性。

除了以上的例子，一次函数和反比例函数还可以在许多其他领域的问题中得到应用。

例如，在金融学中，可以使用一次函数来分析股票价格的变动趋势；在地理学中，可以使用反比例函数来研究人口密度和土地面积的关系。

反比例函数与一次函数的综合-完整版课件

为学生后续学习更复杂的数学知识和解决实际问题打下基础。
培养学生的数学思维和解决问题的能力，提高学生的数学素养。
课件内容概述
01
02
03
04
反比例函数的基本概念、图像和性质。
一次函数的基本概念、图像和性质。
反比例函数与一次函数的综
通过实例和练习题，加深学生对反比例函数和一次函数的理
下节课预习提示和作业布置
预习提示
下节课将学习反比例函数与二次函数的综合应用，请学生提前预习相关内容，了解基本概念和性质
作业布置
布置与反比例函数与一次函数综合应用相关的练习题和思考题，要求学生认真完成并提交作业
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反比例函数的图像关于原点对称，即满足奇函数的性质 $f(-x) = -f(x)$。
反比例函数在其定义域内具有单调性：在第一、三象限内单调递减，在第二、四象限内单调递增。
反比例函数在其定义域内没有极值点，也没有拐点。
CHAPTER 03
一次函数基本概念与性质
一次函数定义及表达式
一次函数定义
可导性
一次函数的导数为常数 $k$，即其斜率。
对称性
一次函数图像关于点 $(h, k)$ 中心对称，其中 $h = b/2a$，$k = f(h)$。
线性变换性质
一次函数具有线性变换性质，即 $f(ax+b) = k(ax+b) + b
= akx + (ab+b)$。
CHAPTER 04
反比例函数与一次函数综合应用
一次函数是形如 $y = kx + b$（其中 $k neq 0$）的函数，它描述了两个变量之间的线性关系。

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