第三章 整数规划模型08-5

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运筹学-第3章整数规划

运筹学-第3章整数规划

2018/8/17
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生产计划问题

某机器制造厂可生产四种产品,对于三种主要资源(钢, 人力,能源)的单位消耗及单位利润见表。问如何安排 生产,可使总利润最大?
消耗 产品1
1
产品2 产品3
10 6 0 7 3 4 2 8
产品4
0 1 5 4
资源量
5000 3000 3000
资源A(钢)
资源B(人力) 2 资源C(能源) 2 单位利润 1
这里取M=5000
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(2)批量生产

在前例中的基础上, 增加假设:产品4要求批量生 产,批量为不少于500件。 试建立最佳生产计划模型。

定义0-1变量y4
1 , x 4 500 y 4= 0 , x 4=0
500y4 x4 My4 y4 {0,1}
增加约束
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附加条件

项目1和项目3至少采纳一个; y1+y2 ≥1 项目2和项目5不能同时采纳; y2+y5 ≤1 项目1仅在项目2采纳后才可考虑是否采纳; y1≤ y2 项目1仅在项目2和3同时采纳后才可考虑是否采纳; 项目1,2,3不能同时采纳; y1+y2+y3 ≤2 或者选择项目1和2,或者选择项目3; y1= y2, y1+y3 =1; 或者 0.5(y1+y2) +y3 =1.
i 1 j 1 5 4
1, 采用Ai建厂 yi , i 3,4,5 0 ,不采用
s.t. x11 x12 x13 x14 400 x x x x 600 23 24 21 22 x31 x32 x33 x34 200y3 x41 x42 x43 x44 200y4 x x x x 200y 5 51 52 53 54 y3 y 4 y5 1 x11 x21 x31 x41 x51 300 x12 x22 x32 x42 x52 350 x13 x23 x33 x43 x53 400 x x x x x 150 24 34 44 54 14 xij 0, i 1,2,3,4,5, j 1,2,3,4 y3 , y4 , y5 {0,1}

第3章 整数规划

第3章 整数规划

第3章 整数规划3.1 整数规划的数学模型一个规划问题中要求部分或全部决策变量是整数,则这个规划称为整数规划。

当要求全部变量取整数值的,称为纯整数规划(Pure Integer Programming ,IP ),要求一部分变量取整数值的,称为混合整数规划(Mixed Integer Programming ,MIP ),决策变量全部取0或1的规划称为0-1整数规划(Binary Integer Programming ,BIP ),如果模型是线性的,称为整数线性规划(Integer Linear Programming, ILP )。

本章只讨论整数线性规划。

求解整数规划问题时,如果先不能考虑对变量的整数约束,作为一般线性规划问题来求解,当解为非整数时再用舍入凑整方法寻求最优解,这样得到的解有可能不是整数规划的可行解或是可行解而不是最优解。

【例3.1】某人有一背包可以装10公斤重、0.025m 3的物品。

他准备用来装甲、乙两种物品,每件物品的重量、体积和价值如表3-1所示。

问两种物品各装多少件,所装物品的总价值最大。

表3-1【解】设甲、乙两种物品各装x 1、x 2件,则数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=且均取整数,0,255.22108.02.134max 21212121x x x x x x x x Z (3.1)如果不考虑x 1、x 2取整数的约束(称为式(3.1)的松弛问题),线性规划的可行域如图3-1中的阴影部分所示。

图3-1用图解法求得点B 为最优解:X =(3.57,7.14),Z =35.7。

由于x 1,x 2必须取整数值,整数规划问题的可行解集只是图中可行域内的那些整数点。

用凑整法求解时需要比较四种组合,但(4,7)、(4,8)(3,8)都不是可行解,(3,7)虽属可行解,代入目标函数得Z =33,并非最优。

实际上问题的最优解是(5,5),Z =35。

即两种物品各装5件,总价值35元。

整数规划建模方法及应用

整数规划建模方法及应用

整数规划建模方法及应用
整数规划是一种数学优化方法,其任务是找到满足特定限制条
件的整数决策变量的最优值。

整数规划被广泛应用于制造、物流、
金融、计算机科学、工程和其他领域。

以下是整数规划建模方法及
其应用。

整数规划建模方法:
1. 确定决策变量:将需要做出的决策表示为一个整数变量,如
产品数量、员工数量等。

2. 给出目标函数:目标函数表示要最大化或最小化的优化目标,如利润、销售额等。

3. 设置限制条件:限制条件是指需要遵守的约束条件,如生产
能力、市场需求等。

4. 决策变量的整数要求:由于整数规划的特殊性质,需要规定
决策变量为整数。

应用:
1. 生产问题:整数规划可以优化生产计划,包括最佳的生产数量、产品组合和生产时间。

例如,在制造业中,整数规划可以帮助
确定要生产的产品数量,以最大化收益和最小化成本。

2. 库存问题:整数规划可以应用于零售商和批发商的库存管理,以确保及时补货和避免库存过量。

例如,在食品行业中,整数规划
可以帮助决定购买多少食材以达到最大利润。

3. 作业调度问题:整数规划可以帮助确定作业完成的时间,并确保资源分配最有效。

例如,在工厂中可以使用整数规划分配机器的使用时间以达到最大的生产效率。

4. 资源分配问题:整数规划可以帮助分配资源,如资金、人力资源和物资,以最大化效益。

例如,在政府基金分配方面,整数规划可以帮助确定资金分配的最佳方式,以支持社区发展、教育等。

总之,整数规划是一种非常有用的数学工具,可以帮助优化决策和资源分配的过程,应用广泛。

整数规划模型

整数规划模型
决策变量全部取 0 或1的规划称为0-1 整数规划
王秋萍:整数规划模型
为(非负)整数
仅一部分变 量为整数
4
有些问题用线性规划数学模型无法描述,可以 通过设置逻辑变量建立整数规划的数学模型。
王秋萍:整数规划模型
5
逻辑变量在建立数学模型中的作用
m个约束条件中只有k个起作用
设m个约束条件可表为
∑a x
ij j =1
n
j
≤ bi
i = 1, 2, " , m
定义 又M为任意大的正数,则
n ⎧ ⎪ ∑ aij x j ≤ bi + Myi j =1 ⎨ ⎪ y + y +" + y = m − k 2 m ⎩ 1
王秋萍:整数规划模型
6
逻辑变量在建立数学模型中的作用
约束条件的右端项可能是r个值 ( b1 , b2 ," , br ) 中的一个,即 n
( i = 1," , m; j = 1," , m ) 则分配问题的数学模型为 min z = ∑∑ a x
m m i =1 j =1 ij
ij
⎧ m xij = 1 ( i = 1,", m ) ⎪ ∑ j =1 ⎪ m ⎪ ( j = 1,", m ) ⎨ ∑ xij = 1 ⎪ i =1 ⎪ xij = 0或1 ( i = 1," , m; j = 1," , m ) ⎪ ⎩
j = 1, 2, 3 ⎧ x j − My j ≤ 0 ⎪ x + x + x ≥ 4000 ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪ x1 ≤ 1500, x2 ≤ 2000 ⎪ ⎩ x j ≥ 0, y j = 1或0, j = 1, 2, 3

数学建模 -整数规划

数学建模 -整数规划
z1 3
松弛问题 L0: max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 x1 0, x 2 0
z 2 130 剪枝 ( IP)的最优解:x 3,x 2 1 2
最优值:Z * 130
4x1+x2=16.5
3 L3:xx21 2 z 3 130 关闭
11 L4 x1 4 ,x2 3 28543;3x2=14.5
L5 x1 2,x2 7
剪枝 z 130 5
2
L6 剪枝
无可行解
· · · · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7

19:01
分枝定界法

分枝定界法

(1)分枝:通常,把全部可行解空间反复地分割为越 来越小的子集,称为分枝; (2)定界:并且对每个子集内的解集计算一个目标下 界(对于最小值问题),这称为定界。 (3)剪枝:在每次分枝后,凡是界限超出已知可行解 集目标值的那些子集不再进一步分枝,这样,许多子 集可不予考虑,这称剪枝。 求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、 背包问题及分配问题。
对( IP) max z 30x1 20x 2 2 x1 3x 2 14.5 4 x1 x 2 16.5 s.t x 0, x 2 0 1 x1 , x 2为整数
父问题
松弛问题 ( L0 ): max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 最优解: x1 3.5, x1 0, x 2 0
x 2 2 .5
子问题
( L1 ) max z 30x1 20x 2 ( L ) max z 30x 20x 2 1 2 2 x1 3 x 2 14.5 2 x1 3x2 14.5 4 x1 x 2 16.5 4 x1 x2 16.5 s.t s.t x1 3 x1 4 x1 0, x 2 0 x1 0, x2 0

数学建模第三版习题答案

数学建模第三版习题答案

数学建模第三版习题答案数学建模是一门应用数学的学科,通过建立数学模型来解决实际问题。

《数学建模第三版》是一本经典的教材,其中的习题对于学生来说是非常重要的练习材料。

在这篇文章中,我将为大家提供《数学建模第三版》习题的答案,希望能够帮助大家更好地理解和应用数学建模的知识。

第一章:数学建模的基础知识1. 数学建模的定义:数学建模是指将实际问题转化为数学问题,并通过建立数学模型来解决问题的过程。

2. 数学建模的基本步骤:问题的分析与理解、建立数学模型、求解数学模型、模型的验证与应用。

3. 数学建模的分类:确定性建模和随机建模。

4. 数学建模的特点:抽象性、理想化、简化性和应用性。

第二章:线性规划模型1. 线性规划模型的基本形式:目标函数和约束条件都是线性的。

2. 线性规划模型的求解方法:图形法、单纯形法和对偶理论。

3. 线性规划模型的应用:生产计划、资源分配、运输问题等。

第三章:整数规划模型1. 整数规划模型的基本形式:目标函数是线性的,约束条件中包含整数变量。

2. 整数规划模型的求解方法:分枝定界法、割平面法、动态规划法等。

3. 整数规划模型的应用:项目选择、装配线平衡问题、旅行商问题等。

第四章:动态规划模型1. 动态规划模型的基本思想:将一个大问题分解为若干个子问题,通过求解子问题的最优解来求解整个问题的最优解。

2. 动态规划模型的求解方法:递推法、备忘录法和自底向上法。

3. 动态规划模型的应用:背包问题、最短路径问题、最长公共子序列问题等。

第五章:非线性规划模型1. 非线性规划模型的基本形式:目标函数和约束条件中包含非线性函数。

2. 非线性规划模型的求解方法:牛顿法、拟牛顿法、全局优化法等。

3. 非线性规划模型的应用:经济增长模型、生态系统模型、医学诊断模型等。

第六章:图论模型1. 图论模型的基本概念:顶点、边、路径、回路等。

2. 图论模型的求解方法:深度优先搜索、广度优先搜索、最短路径算法等。

整数规划及分支定界法

整数规划及分支定界法
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➢先放弃变量的整数性要求,解一 个线性规划问题,然后用“四舍五 入”法取整数解,这种方法,只有 在变量的取值很大时,才有成功的 可能性,而当变量的取值较小时, 特别是0-1规划时,往往不能成功。
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例3-3 求下列问题: Max Z=3x1+13x2 s.t.2x1+9x2 40
11x1-8x2 82 x1,x2 0,且取整数值
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解法概述
当人们开始接触整数规划问题时, 常会有如下两种初始想法:
➢因为可行方案数目有限,因此经过 一一比较后,总能求出最好方案, 例如,背包问题充其量有2n-1种方式; 连线问题充其量有n!种方式;实际 上这种方法是不可行。
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设想计算机每秒能比较 1000000个方式,那么要比 较完20!(大于2*1018)种 方式,大约需要800年。比 较完260种方式,大约需要 360世纪。
以上描述了目前解整数规划问题的 两种基本途径。
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分枝定界解法 (Branch and Bound Method) 原问题的松驰问题:任何整数规划 (IP),凡放弃某些约束条件(如整数 要求)后,所得到的问题(P) 都称为 (IP)的松驰问题。
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最通常的松驰问题是放弃变量 的整数性要求后,(P)为线性规 划问题。
+8x5 +4x6 +10x7
s.t. 5x1 + 5x2 +2x3 +6x4 +12x5 +2x6 +4x7 25
xi=1或xi=0 i=1,2,….7
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例3-2 背包问题( Knapsack Problem)
一个旅行者,为了准备旅行的必须用品,要 在背包内装一些最有用的东西,但有个数限 制,最多只能装b公斤的物品,而每件物品只 能整个携带,这样旅行者给每件物品规定了 一个“价值”以表示其有用的程度,如果共 有n件物品,第j件物品aj公斤,其价值为cj.问 题变成:在携带的物品总重量不超过b公斤 条件下,携带哪些物品,可使总价值最大?

(完整word版)整数规划的数学模型及解的特点

(完整word版)整数规划的数学模型及解的特点

整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP (integer programming ):在许多规划问题中,如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。

例如,所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等,这样的规划问题称为整数规划,简记IP 。

松弛问题(slack problem):不考虑整数条件,由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。

若松弛问题是一个线性规化问题,则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。

一、整数线性规划数学模型的一般形式∑==nj jj x c Z 1min)max(或中部分或全部取整数n j nj i jij x x x mj ni x b xa ts ,...,,...2,1,...,2,10),(.211==≥=≥≤∑=整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划(pure integer linear programming ):指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。

有时,也称为全整数规划.2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming):指决策变量中有一部分必须取整数值,另一部分可以不取整数值的整数线性规划。

3、0—1型整数线性规划(zero —one integer liner programming ):指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。

1 解整数规划问题0—1型整数规划0-1型整数规划是整数规划中的特殊情形,它的变量仅可取值0或1,这时的变量xi 称为0-1变量,或称为二进制变量.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+≤-+=且为整数0,5210453233max 2121212121x x x x x x x x x x z0—1型整数规划中0—1变量作为逻辑变量(logical variable ),常被用来表示系统是否处于某一特定状态,或者决策时是否取某个方案。

整数规划模型

整数规划模型

整数规划模型整数规划模型是一种数学模型,用于解决优化问题。

在整数规划中,决策变量必须是整数。

这种模型广泛应用于工程、科学、运筹学和管理等领域。

整数规划模型的一般形式如下:\[\text{maximize} \quad c^Tx\]\[\text{subject to} \quad Ax \leq b\]\[x_j \text{整数} , j = 1,2,...,n\]其中,c是一个n维向量,表示目标函数的系数;x是n维向量,表示决策变量;A是m×n维矩阵,表示约束条件的系数矩阵;b是一个m维向量,表示约束条件的上界。

整数规划模型的目标是找到一个满足约束条件的决策变量向量x,使得目标函数值最大或最小。

由于决策变量必须是整数,所以整数规划模型要比普通的线性规划模型更复杂。

整数规划模型可以应用于许多实际问题。

例如,一个公司要决定生产哪种产品以最大化利润,但每种产品有一定的生产限制,需要整数规划模型来确定生产量;一个配送中心要决定如何分配物流资源以最小化成本,但每个分配决策都必须是整数,需要整数规划模型来求解。

求解整数规划模型可以使用多种算法。

例如,分支定界算法通过将问题分解为一个个子问题,并通过剪枝策略来减少搜索空间,最终找到最优解;约简与延迟约束算法通过线性松弛将整数规划转化为一个松弛线性规划问题,并通过迭代加入约束条件来逼近整数解。

整数规划模型的求解过程需要注意一些问题。

首先,由于整数规划是一个NP难问题,没有通用的多项式时间算法可以解决所有情况。

其次,整数规划模型可能有多个最优解,求解算法可能只能找到其中一个最优解。

最后,整数规划模型的求解过程可能需要大量的计算资源和时间。

总之,整数规划模型是一种重要的数学模型,可以用于解决各种实际优化问题。

但由于其复杂性和求解困难,需要合理选择算法和求解策略来获得满意的结果。

整数规划(数据模型与决策)

整数规划(数据模型与决策)

0-1型整数线性规划:决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
Page 4
例:指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不同岗 位工作,每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成绩 (百分制)如表所示,如何安排他们的工作使总成绩最好。
工作
人员 甲 乙 丙 丁
A 85 95 82 86
1 x ij 0
指派第 i个 人 做 第 j件 事 ( i , j 1,2,..., n) 不指派第 i个 人 做 第 j件 事
分配问题与匈牙利法
指派问题的数学模型为:
Page 8
min Z
c
i 1 j 1
n
n
ij
x ij
n x ij 1 ( i 1.2. .n) j 1 n x ij 1 ( j 1.2. .n) i 1 x ij 取0或1(i , j 1.2. .n)
Page 19
0 13 7 0 6 0 6 9 0 5 3 2 0 1 0 0
0 Ø 6 0 ◎ Ø 0
13 7 ◎ 0 ◎ 0 6 9 5 3 2 1 ◎ 0 Ø 0
独立0元素的个数为4 , 指派问题的最优指 派方案即为甲负责D工作,乙负责B工作, 丙负责A工作,丁负责C工作。这样安排 能使总的工作时间最少,为4+4+9+11 =28。
2)试指派(找独立0元素)
Page 22
2 2 4 4 0
0 4 2 4 5 0 3 0 1 0 1 3 0 3 5 1 2 3 0 5
2 2 4 4 ◎ 0
◎ 0
5 1 0 Ø 2
4 2 4 0 3 ◎ 0 Ø ◎ 0 1 3 3 5 1 3 Ø 0 5

运筹学第6版参考答案

运筹学第6版参考答案

运筹学第6版参考答案运筹学是一门研究如何有效地利用有限资源来解决实际问题的学科。

它涵盖了数学、统计学、经济学等多个学科的知识,旨在通过建立数学模型和运筹方法来优化决策和规划。

本文将为读者提供《运筹学第6版》的参考答案,帮助他们更好地理解和应用这门学科。

第一章:引论本章主要介绍了运筹学的概念、发展历程以及应用领域。

运筹学的核心思想是通过数学模型和运筹方法来解决实际问题。

它广泛应用于生产、物流、供应链管理、金融等领域,可以帮助企业提高效益、降低成本。

第二章:线性规划线性规划是运筹学中最基础、最常用的方法之一。

它的目标是在给定的约束条件下,最大化或最小化一个线性目标函数。

本章介绍了线性规划的基本概念、模型建立方法以及常用的解法算法,如单纯形法、对偶理论等。

第三章:整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式,它要求决策变量取整数值。

由于整数规划的求解难度较大,本章介绍了常用的整数规划求解方法,如分支定界法、割平面法等,并给出了一些实际问题的案例分析。

第四章:网络优化网络优化是运筹学中的一个重要分支,它研究的是在网络结构中如何选择最优路径、分配资源等问题。

本章介绍了最小生成树、最短路径、最大流等基本概念和算法,并通过实例分析展示了网络优化在交通、通信等领域的应用。

第五章:动态规划动态规划是一种通过递推关系来求解最优化问题的方法。

本章介绍了动态规划的基本思想、模型建立方法以及常见的解法算法,如背包问题、最长公共子序列等。

通过实例分析,读者可以更好地理解动态规划的应用。

第六章:排队论排队论是运筹学中研究排队系统的理论和方法。

本章介绍了排队论的基本概念、模型建立方法以及常用的解法算法,如排队模型、排队规则等。

通过实例分析,读者可以了解如何通过排队论来优化服务质量、提高效率。

第七章:模拟模拟是一种通过构建系统模型进行实验和仿真的方法。

本章介绍了模拟的基本思想、模型建立方法以及常见的模拟技术,如蒙特卡洛方法、离散事件模拟等。

整数规划模型的构建及求解方法

整数规划模型的构建及求解方法

整数规划模型的构建及求解方法整数规划是一种数学优化问题,其目标是在给定的约束条件下,寻找能够使目标函数最大或最小的整数解。

在实际应用中,整数规划模型常被用于决策问题的求解,如生产计划、物流调度、资源分配等。

本文将介绍整数规划模型的构建方法以及常用的求解方法。

一、整数规划模型的构建方法1.确定决策变量:首先需要确定问题中的决策变量,即可用整数来表示的变量。

这些变量一般代表决策问题中的选择或分配方案。

例如,在生产计划问题中,决策变量可以是不同产品的生产数量。

2.定义目标函数:目标函数是整数规划问题中要最大化或最小化的指标。

根据问题的具体要求,可将目标函数设定为各个决策变量的线性组合或非线性函数。

例如,生产计划问题中,目标函数可以是利润的最大化或成本的最小化。

3.确定约束条件:约束条件用于限制决策变量的取值范围,以满足问题的实际限制。

约束条件可以是等式或不等式。

例如,在物流调度问题中,约束条件可以包括产品的需求量、供应量以及运输容量等。

4.完善模型:为了更准确地描述问题,还需要考虑一些特殊约束条件和问题的具体要求。

例如,某些决策变量可能需要满足某种关系或限制条件,或者需要指定某些变量的取值范围。

二、整数规划模型的求解方法1.穷举法:穷举法是最简单直接的求解方法,即将所有可能的整数解都列举出来,并计算对应的目标函数值,最后选取最优解。

然而,穷举法由于计算复杂度高,只适用于问题规模较小的情况。

2.分支定界法:分支定界法是一种逐步缩小解空间的方法。

通过将整数规划问题分解成若干个子问题,并为每个子问题设定上下界,不断迭代求解,最终找到最优解。

这种方法可以高效地搜索整数解空间,但对于规模较大的问题,计算时间可能会很长。

3.割平面法:割平面法是一种逐步划分解空间的方法。

它通过添加割平面来修正原始线性规划松弛的解,使其成为整数解。

这种方法能够快速收敛到最优解,并且具有较好的计算效率。

4.分枝定界法:分枝定界法是将分支定界法和割平面法相结合的方法。

第三章_整数规划

第三章_整数规划

分枝定界法对可行域恰当地进行系统搜索,基 本上是一种“分而治之”的策略。
通常,它把可行域反复地划分为越来越小的一系 列子域,称之为分枝;子域的一个边界为整数,在 子域上解线性规划,对于最大值问题,线性规划解 的目标函数值是整数规划的上界,整数规划任意可 行点的目标函数值是其下界,这称为定界。在子域 分解的过程中,上界非增,下界非减,经有限多次 分解即可得到整数规划的最优解。
求解思路
1)舍入取整法 即先不考虑整数性约束,而去求解其相应的LP问题, 然后将得到的非整数最优解用“舍入取整”的方法。 解相应的LP问题,得:X1=4.8,X2=0 不是可行解,舍入取整得X1=4,X2=0 是否最优? 优点:可节省求解的人力、物力和财力
2)完全枚举法 此法仅在决策变量很少的情况下才实际有效。
值的上界 z = 87。令最优值的下界 z = 0,则有 z = 0 < z* 87 = z 。我们将这些结果记录在树形图图 3.3.3 中。
2. 因为此时两个变量都不是整数,我们从中选择一个变量
进行分枝。假定选择 x1,在 (P0) 的约束之外,增加两个互相排 斥的约束条件:x1 2 与 x1 3,形成两个子模型 (P1) 和 (P2): (P1):max Z = 15x1 20x2 (P2):max Z = 15x1 20x2
第三章 整数规划
§3.1 整数规划模型 §3.2 0-1型整数规划 §3.3 指派问题 §3.4 软件解法
§3.1 引言
在工程设计和企业管理中,常会遇到要求决策变量取 离散的非负整数值的线性规划问题。例如,最优调度的车 辆数,设置的销售网点数,指派工作的人数等。这类问题 在形式上与线性规划类似,只是比线性规划增加了某些约 束条件,来限制全部或部分决策变量必须取离散的非负整 数值。我们称之为整数线性规划问题,也经常简称为整数 规划问题。

3整数规划模型

3整数规划模型
2)模型建立。
决策变量:用表示按第种模式切割的原料钢管的根 数,显然它们应当是非负整数。
目标函数:以切割后剩余的总余料量最少为目标, 则由表3.1可得
z1=3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7 以切割原料钢管的总根数最少为目标,则有
z2=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7
下面分别在这两种目标下求解。
用Lindo软件求解
例3.2 合理下料问题
某钢管零售商从钢管厂家进货,将钢管按照顾客的要求 切割后售出,从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m.
1)现有一客户需要50根4m、20根6m和15根8m的钢 管,应如何下料最节省?
1)问题的分析。
首先,应当确定哪些切割模式是可行的。所谓一个 切割模式,是指按照客户需要在原料上安排切割的一 种组合。例如:我们可以将19m的钢管切割成3根4m的 钢管,余料为7m;或者将19m的钢管切割成4m、6m 和8m的钢管各1根,余料为1m。显然,可行的切割模 式是很多的。
解 设购买远程、中程、短程客机的数量分别为x1、x2 和x3架,问题的数学模型为 max z 420x1 300x2 230x3, s.t. 6300x1 5000x2 3500x3 75000,
x1 x2 x3 30, 54 3 x1 3 x2 x3 40, x1, x2 , x3 0, x1, x2 , x3均为整数。
3 整数规划模型
在一个数学规划模型中,如果它的某些决策变量或 全部变量要求取整数时,就称这个数学规划模型为整 数规划模型。整数规划模型可分为整数线性规划模型 与整数非线性规划模型。整数规划又分为整数规划、 混合整数规划及0-1规划。

运筹学第三章 整数规划PPT课件

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(一)
问题(1)
X1=2, x2=2.67
Z=83.3
x2≤2
x2≥3
问题(0) X1=2.5, x2=2.5
问题(0)的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=87.5 下界为:Z=0
Z=87.5
x1≤2
x1≥3
(二)
问题(2)的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=80 下界为:Z=75
问题(2)
X1=3, x2=1.75
20
1 11/14 4 2/7 0
检验数zj-cj
0
0
1 11/14 4 2/7 0
15
x1 2
1
0
0
20
x2 2 2/3 0
1
0
0
x5 2 1/3 0
0
1
zj
15
20
0
检验数zj-cj
0
0
0
27.11.2020
问题1求解的单纯形表
《整数规划》
0 1/3
-1 1/3 6 2/3
6 2/3
1 - 1/3 -4 2/3 8 1/3
原问题的松弛问题
max Z 15 x1 20 x 2
6 x1 4 x 2 25
x
1
3x2
10
x 1 0 , x 2 0
注:此松弛问题的最优目标值为原整数规划问题目标值的上界
原问题目标值的上界为Z^=87.5 下界可定为Z=0
27.11.2020
《整数规划》
10
CB 0 0
cj
问题(5)的原问题 的目标函数值 上界为:Z^=72.5 下界为:
问题(6) 无可行解
25
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3.3 分枝定界法
3.3.1 思路与解题步骤 只解松弛问题, 通过分枝, 逐步缩小目标函数的上下 界之差
1、在全部可行性域上解松弛问题
若松弛问题最优解为整数解,则其也是整数规划的最优解
2、分枝过程
若松弛问题最优解中某个 xk=bk 不是整数,令 bk 为 bk 的整 数部分 构造两个新的约束条件 xk≤ bk 和 xk≥ bk +1,分别加于原 松弛问题,形成两个新的整数规划
则该问题的数学模型是
min Z = 3 x11 + 14 x12 + 10 x13 + 5 x14 + 10 x21 + 4 x22 + 12 x23 + 10 x24 + 9 x31 + 14 x32 + 15 x33 + 13 x34 + 7 x41 + 8 x42 + 11x43 + 9 x44 x11 + x12 + x13 + x14 = 1 x21 + x22 + x23 + x24 = 1 (表示Ai只做一项工作) x31 + x32 + x33 + x34 = 1 x41 + x42 + x43 + x44 = 1 x11 + x21 + x31 + x41 = 1 x12 + x22 + x32 + x42 = 1 (表示Bj工作只有一人去做 ) x13 + x23 + x33 + x43 = 1 x14 + x24 + x34 + x44 = 1 x = 0或1, (i, j = 1,2,3,4) ij
问题(0) x1=2.5, x2=2.5 z=87.5 X1<=2 问题(1) x1=2, x2=2.67 z=83.3 X3<=2 问题(3) x1=2, x2=2 z=70 X3>=3 问题(4) x1=2, x2=3 z=75 X1>=3 问题(2) x1=3, x2=1.75 z=80
13
6.对问题(2)进行求解,最优解为 x1 =3, x2 =1.75, Z=80.由于 解x2不为整数,并且Z=80> Z=75.对问题(2)进行分枝,增加新的约束条件 且
3.2 整数规划问题及其数学模型
表示Ai Ai去 解:由于每项工作需安排一人且仅需一人去完成,所以,设xij表示Ai去 由于每项工作需安排一人且仅需一人去完成,所以, Bj工作 i,j=1,2,3,4), 工作( ),且 做Bj工作(i,j=1,2,3,4),且
1 当Ai被安排做Bj工作 xij = 0 当Ai不被安排做Bj工作
x2 ≤ 1.
x2 ≥ 2,分枝为两个子问题,它们的松弛问题如下

m Z = 15x1 + 20x2 ax 6x1 + 4x2 ≤ 25 x1 + 3x2 ≤ 10 问题(5)x1 ≥ 3 x ≤1 2 x1, x2 ≥ 0
m Z = 15x1 + 20x2 ax 6x1 + 4x2 ≤ 25 x1 + 3x2 ≤ 10 问题(6) x1 ≥ 3 x ≥ 2 2 x1, x2 ≥ 0
问题(0) x1=2.5, x2=2.5 z=87.5
问题(1) x1=2, x2=2.67 z=83.3
问题(2) x1=3, x2=1.75 z=80
问题(3) x1=2, x2=2 z=70
问题(4) x1=2, x2=3 z=75
问题(5) x1=3.5, x2=1 z=72.5
问题(6) 无可行解
第三章 整数规划
3.1 整数规划简介
要求所有 xj 的解为整数,称为纯整数规划 要求部分 xj 的解为整数,称为混合整数规划 对应没有整数解要求的线性规划称之为松弛问题 整数规划的解是可数个的,最优解不一定发生在极点 整数规划的最优解不会优于其松弛问题的最优解
n
max(min) f ( x) = ∑c j x j
非整数解, 非整数解, 目标 问题 1 停止分枝(剪枝),其整数 停止分枝(剪枝) 解为界, 函数优于问题 1 解为界,对问题 2 继续分枝 非整数解 对目标函数较优的一个继续分枝
对该分枝, 情况 2, 4, 5 :对该分枝,找到最优解 对该分枝 情况 3,7 :在缩减的域上继续分枝定界法 在缩减的域上继续分枝定界法 情况 6 :问题 1 的整数解作为界被保留,用于以后与 问题 的整数解作为界被保留, 的后续分枝所得到的解进行比较, 问题 2 的后续分枝所得到的解进行比较,结论如情 况4或5
m Z = 15x1 + 20x2 ax 6x1 + 4x2 ≤ 25 x1 + 3x2 ≤ 10 问题(4) x1 ≤ 2 x ≥ 3 2 x1, x2 ≥ 0
4. 解问题(3)的松弛问题,问题(4)暂时记录下来.
问题(3)的松弛问题最优解为 x1 =2, x2 =2, Z=70 由于解为整数,问题(3)不再分枝,目标函数新的下界为 Z=max{0,70}=70. 5.对记录下来的问题, 依“后进先出”的原则进行求解. 对问题(4)进行求解,最优解为 x1 =1, x2 =3, Z=75 由于解为整数,问题(4)不再分枝,目标函数新的下界为 Z=max{70,75}=75.
14
7.对问题(5)进行求解,最优解为 x1 =3.5, x2 =1, Z=72.5 7. 由于Z=72.5 <Z=75, 问题(5)不再分枝. 8.对问题(6)进行求解.无可行解,问题(6)不再分枝. 由下图可知,所有分枝已查清. 原整数规划问题的最优解为 x1 =1, x2 =3, Z=75.
解:设x1、x2分别表示产品A1、A2的产量,则该问题的数学模型为
max Z = 15 x1 + 20 x2
6 x1 + 4 x2 ≤ 25 x1 + 3x2 ≤ 10 x ≥ 0, x ≥ 0, 且皆为整数 2 1
3.2 整数规划问题及其数学模型
2、投资项目选择问题 某单位有5个拟选择的投资项目, 例3.2.2 某单位有5个拟选择的投资项目,其所需投资额与期望收益如下表所 由于各项目之间有一定联系, 之间必须选择一项, 示。由于各项目之间有一定联系,A、C、E之间必须选择一项,且仅需选择 一项; 之间需选择且仅需选择一项; 的实施必须以D 一项;B 和D之间需选择且仅需选择一项;C 的实施必须以D的实施为前提条 该单位共筹集资金15万元,应选择哪些项目投资,使期望收益最大? 15万元 件。该单位共筹集资金15万元,应选择哪些项目投资,使期望收益最大?
3.3.2 分枝定界法举例
例3.3.1
m Z = 15x1 + 20x2 ax 6x1 + 4x2 ≤ 25 x1 + 3x2 ≤ 10 x , x ≥ 0 且 整 为 数 1 2
解 1. 松弛问题的最优解为 x1=2.5, x2=2.5, Z=87.5 为上 界,令下界为Z=0 2.由 于x1=2.5不为整数,分别增加新的约束条件x1 ≤ 2和 x1 ≥ 3 得到两个分枝,它们的松弛问题如下:
项目 A B C D E
所需投资额(万元) 所需投资额(万元) 6.0 4.0 2.0 4.0 5.0
期望收益(万元) 期望收益(万元) 10.0 8.0 7.0 6.0 9.0
3.2 整数规划问题及其数学模型
解:考虑到有的项目有可能被选中,也有可能不被选中,设决策变量 考虑到有的项目有可能被选中,也有可能不被选中, (i=1,2,3,4,5)分别表示项目 分别表示项目A xi(i=1,2,3,4,5)分别表示项目A、B、C、D、E,且定义
0 项目 i不被选中 xi = (i = 1, 2,3, 4,5) 项目 i被选中 1
由于A、C、E之间必须且仅需选择一项,故有 x1+x3+x5=1 与此类似,B、D之间有关系式 x2+x4=1 由C的实施必须以D的实施为前提,因此,若x4=0(即D不实施),则x3=0(即C一定 不实施);若x4=1(即D实施),则x3=0或1(即C可实施,也可不实施),因此有 x3≤x4,即 x3-x4≤0 对所有项目投资总额的限制条件为 6x1+4x2+2x3+4x4+5x5≤15
j=1
n i = 1,2, m , ∑aij x j ≤ (=, ≥)bi , s.t. j=1 x j ≥ 0 且 整 , j = 1,2, n 为 数 ,
3.2 整数规划问题及其数学模型
1、生产计划问题 某工厂生产A 两种产品,产品分别由B 例3.2.1 某工厂生产A1、A2两种产品,产品分别由B1、B2两种部件组装 而成。 而成。每件产品所用部件数量和部件的产量限额以及产品利润如下表 所示,应如何安排A 的产量,该厂才能获得最大利润? 所示,应如何安排A1、A2的产量,该厂才能获得最大利润? 部件 产品 A1 A2 最大产量 B1 6 4 25 B2 1 3 10 利润(百元) 利润(百元) 15 20
m Z = 15x1 + 20x2 ax 6x1 + 4x2 ≤ 25 x1 + 3x2 ≤ 10 问 (1) 题 x1 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0
m Z = 15x1 + 20x2 ax 6x1 + 4x2 ≤ 25 x1 + 3x2 ≤ 10 问 (2) 题 x1 ≥ 3 x1, x2 ≥ 0
3、求解分枝的松弛问题 — 定界过程
设两个分枝的松弛问题分别为问题 1 和问题 2 ,它们的最优 解有如下情况
表3.3.1 分枝问题解可能出现的情况
序号 1 2 3 4 5 6 7 问题 1 无可行解 无可行解 无可行解 整数解 整数解, 整数解,目标函数 优于问题 2 整数解 非整数解 问题 2 无可行解 整数解 非整数解 整数解 非整数解 说 明 整数规划无可行解 此整数解即最优解 对问题 2 继续分枝 较优的一个为最优解 问题 1 的解即最优解
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