第三章 整数规划模型08-5

则该问题的数学模型是
min Z = 3 x11 + 14 x12 + 10 x13 + 5 x14 + 10 x21 + 4 x22 + 12 x23 + 10 x24 + 9 x31 + 14 x32 + 15 x33 + 13 x34 + 7 x41 + 8 x42 + 11x43 + 9 x44 x11 + x12 + x13 + x14 = 1 x21 + x22 + x23 + x24 = 1 (表示Ai只做一项工作) x31 + x32 + x33 + x34 = 1 x41 + x42 + x43 + x44 = 1 x11 + x21 + x31 + x41 = 1 x12 + x22 + x32 + x42 = 1 (表示Bj工作只有一人去做 ) x13 + x23 + x33 + x43 = 1 x14 + x24 + x34 + x44 = 1 x = 0或1, (i, j = 1,2,3,4) ij
问题(0) x1=2.5, x2=2.5 z=87.5
问题(1) x1=2, x2=2.67 z=83.3
问题(2) x1=3, x2=1.75 z=80
问题(3) x1=2, x2=2 z=70
问题(4) x1=2, x2=3 z=75
问题(5) x1=3.5, x2=1 z=72.5
问题(6) 无可行解
3、求解分枝的松弛问题 — 定界过程
设两个分枝的松弛问题分别为问题 1 和问题 2 ，它们的最优 解有如下情况
表3.3.1 分枝问题解可能出现的情况
序号 1 2 3 4 5 6 7 问题 1 无可行解 无可行解 无可行解 整数解 整数解， 整数解，目标函数 优于问题 2 整数解 非整数解 问题 2 无可行解 整数解 非整数解 整数解 非整数解 说 明 整数规划无可行解 此整数解即最优解 对问题 2 继续分枝 较优的一个为最优解 问题 1 的解即最优解
第三章 整数规划
3.1 整数规划简介
要求所有 xj 的解为整数，称为纯整数规划 要求部分 xj 的解为整数，称为混合整数规划 对应没有整数解要求的线性规划称之为松弛问题 整数规划的解是可数个的，最优解不一定发生在极点 整数规划的最优解不会优于其松弛问题的最优解
n
max(min) f ( x) = ∑c j x j
m Z = 15x1 + 20x2 ax 6x1 + 4x2 ≤ 25 x1 + 3x2 ≤ 10 问题(4) x1 ≤ 2 x ≥ 3 2 x1, x2 ≥ 0
4. 解问题（3）的松弛问题，问题（4）暂时记录下来.
问题（3）的松弛问题最优解为 x1 =2, x2 =2, Z=70 由于解为整数，问题（3）不再分枝，目标函数新的下界为 Z=max{0,70}=70. 5.对记录下来的问题， 依“后进先出”的原则进行求解. 对问题（4）进行求解，最优解为 x1 =1, x2 =3, Z=75 由于解为整数，问题（4）不再分枝，目标函数新的下界为 Z=max{70,75}=75.
m Z = 15x1 +Biblioteka Baidu20x2 ax 6x1 + 4x2 ≤ 25 x1 + 3x2 ≤ 10 问 (1) 题 x1 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0
m Z = 15x1 + 20x2 ax 6x1 + 4x2 ≤ 25 x1 + 3x2 ≤ 10 问 (2) 题 x1 ≥ 3 x1, x2 ≥ 0
3.2 整数规划问题及其数学模型
目标函数为期望收益最大， 目标函数为期望收益最大，可表示为 max Z=10x1+8x2+7x3+6x4+9x5 因此， 因此，此问题的数学模型为
max Z = 10 x1 + 8 x 2 + 7 x3 + 6 x 4 + 9 x5 x1 + x3 + x5 = 1 x + x = 1 4 2 x3 x 4 ≤ 0 6 x + 4 x + 2 x + 4 x + 5 x ≤ 15 2 3 4 5 1 xi皆为0或1, (i = 1,2,3,4,5)
15
3.3.2 分枝定界法举例
问题A x1=16/3 例3.3.2 用分枝定界法求解混合整数规划： x2=3 max Z = 3 x1 + x2 + 3 x3 x3=10/3 z=29 x1 + 2 x2 + x3 ≤ 4
4 x 3 x ≤ 2 3 s.t. 2 x1 3 x2 + 2 x3 ≤ 3 x1 , x2 , x3 ≥ 0, 且x1 , x3为整数
x2 ≤ 1.
x2 ≥ 2，分枝为两个子问题，它们的松弛问题如下
：
m Z = 15x1 + 20x2 ax 6x1 + 4x2 ≤ 25 x1 + 3x2 ≤ 10 问题(5)x1 ≥ 3 x ≤1 2 x1, x2 ≥ 0
m Z = 15x1 + 20x2 ax 6x1 + 4x2 ≤ 25 x1 + 3x2 ≤ 10 问题(6) x1 ≥ 3 x ≥ 2 2 x1, x2 ≥ 0
非整数解， 非整数解， 目标 问题 1 停止分枝(剪枝)，其整数 停止分枝(剪枝) 解为界， 函数优于问题 1 解为界，对问题 2 继续分枝 非整数解 对目标函数较优的一个继续分枝
对该分枝， 情况 2, 4, 5 :对该分枝，找到最优解 对该分枝 情况 3,7 :在缩减的域上继续分枝定界法 在缩减的域上继续分枝定界法 情况 6 :问题 1 的整数解作为界被保留，用于以后与 问题 的整数解作为界被保留， 的后续分枝所得到的解进行比较， 问题 2 的后续分枝所得到的解进行比较，结论如情 况4或5
14
7.对问题（5）进行求解，最优解为 x1 =3.5, x2 =1, Z=72.5 7. 由于Z=72.5 <Z=75, 问题（5）不再分枝. 8.对问题（6）进行求解.无可行解，问题（6）不再分枝. 由下图可知，所有分枝已查清. 原整数规划问题的最优解为 x1 =1, x2 =3, Z=75.
问题(0) x1=2.5, x2=2.5 z=87.5 X1<=2 问题(1) x1=2, x2=2.67 z=83.3 X3<=2 问题(3) x1=2, x2=2 z=70 X3>=3 问题(4) x1=2, x2=3 z=75 X1>=3 问题(2) x1=3, x2=1.75 z=80
13
6.对问题（2）进行求解，最优解为 x1 =3, x2 =1.75, Z=80.由于 解x2不为整数，并且Z=80> Z=75.对问题（2）进行分枝,增加新的约束条件 且
j=1
n i = 1,2, m , ∑aij x j ≤ (=, ≥)bi , s.t. j=1 x j ≥ 0 且 整 , j = 1,2, n 为 数 ,
3.2 整数规划问题及其数学模型
1、生产计划问题 某工厂生产A 两种产品，产品分别由B 例3.2.1 某工厂生产A1、A2两种产品，产品分别由B1、B2两种部件组装 而成。 而成。每件产品所用部件数量和部件的产量限额以及产品利润如下表 所示，应如何安排A 的产量，该厂才能获得最大利润？ 所示，应如何安排A1、A2的产量，该厂才能获得最大利润？ 部件 产品 A1 A2 最大产量 B1 6 4 25 B2 1 3 10 利润（百元） 利润（百元） 15 20
3.3.2 分枝定界法举例
例3.3.1
m Z = 15x1 + 20x2 ax 6x1 + 4x2 ≤ 25 x1 + 3x2 ≤ 10 x , x ≥ 0 且 整 为 数 1 2
解 1. 松弛问题的最优解为 x1=2.5, x2=2.5, Z=87.5 为上 界，令下界为Z=0 2.由 于x1=2.5不为整数，分别增加新的约束条件x1 ≤ 2和 x1 ≥ 3 得到两个分枝，它们的松弛问题如下：
此问题的所有决策变量只限取0或1，因此，称为0-1规划 0 对实际问题建立数学模型，常可借助0-1变量，使含“非此即彼”的、相 互排斥的决策变量和约束条件寓于同一模型之中。
3.2 整数规划问题及其数学模型
3、指派问题 现有A1 A2、A3、A4四人 每人都能完成工作B1 B2、B3、B4四项中 A1、 四人， B1、 例3.2.3 现有A1、A2、A3、A4四人，每人都能完成工作B1、B2、B3、B4四项中 的一项。下表列出了他们完成各项工作所需的时间。 的一项。下表列出了他们完成各项工作所需的时间。如果每项工作需安排 且仅需安排一人完成。 且仅需安排一人完成。问如何安排四人可使完成四项任务所花费的总时间 最少？ 最少？ 工作 人 A1 A2 A3 A4 B1 3 10 9 7 B2 14 4 14 8 B3 10 12 15 11 B4 5 10 13 9
项目 A B C D E
所需投资额（万元） 所需投资额（万元） 6.0 4.0 2.0 4.0 5.0
期望收益（万元） 期望收益（万元） 10.0 8.0 7.0 6.0 9.0
3.2 整数规划问题及其数学模型
解：考虑到有的项目有可能被选中，也有可能不被选中，设决策变量 考虑到有的项目有可能被选中，也有可能不被选中， (i=1,2,3,4,5)分别表示项目 分别表示项目A xi(i=1,2,3,4,5)分别表示项目A、B、C、D、E，且定义
解：设x1、x2分别表示产品A1、A2的产量，则该问题的数学模型为
max Z = 15 x1 + 20 x2
6 x1 + 4 x2 ≤ 25 x1 + 3x2 ≤ 10 x ≥ 0, x ≥ 0, 且皆为整数 2 1
3.2 整数规划问题及其数学模型
2、投资项目选择问题 某单位有5个拟选择的投资项目， 例3.2.2 某单位有5个拟选择的投资项目，其所需投资额与期望收益如下表所 由于各项目之间有一定联系， 之间必须选择一项， 示。由于各项目之间有一定联系，A、C、E之间必须选择一项，且仅需选择 一项； 之间需选择且仅需选择一项； 的实施必须以D 一项；B 和D之间需选择且仅需选择一项；C 的实施必须以D的实施为前提条 该单位共筹集资金15万元，应选择哪些项目投资，使期望收益最大？ 15万元 件。该单位共筹集资金15万元，应选择哪些项目投资，使期望收益最大？
3. 解问题（1）的松弛问题，问题（2）暂时记录下来. 问题（1）的松弛问题最优解为 x1=2, x2=2.67, Z=83.3 由于x2不为整数，对问题（1）分别增加新的约束条件x2 ≤ 2. x2 ≥ 3，分枝为两个子问题，它们的松弛问题如下：
m Z = 15x1 + 20x2 ax 6x1 + 4x2 ≤ 25 x1 + 3x2 ≤ 10 问题(3)x1 ≤ 2 x ≤2 2 x1, x2 ≥ 0 12
3.2 整数规划问题及其数学模型
表示Ai Ai去 解：由于每项工作需安排一人且仅需一人去完成，所以，设xij表示Ai去 由于每项工作需安排一人且仅需一人去完成，所以， Bj工作 i,j=1,2,3,4）， 工作（ ），且 做Bj工作（i,j=1,2,3,4），且
1 当Ai被安排做Bj工作 xij = 0 当Ai不被安排做Bj工作
3.3 分枝定界法
3.3.1 思路与解题步骤 只解松弛问题, 通过分枝， 逐步缩小目标函数的上下 界之差
1、在全部可行性域上解松弛问题
若松弛问题最优解为整数解，则其也是整数规划的最优解
2、分枝过程
若松弛问题最优解中某个 xk=bk 不是整数，令 bk 为 bk 的整 数部分 构造两个新的约束条件 xk≤ bk 和 xk≥ bk +1，分别加于原 松弛问题，形成两个新的整数规划
0 项目 i不被选中 xi = (i = 1, 2,3, 4,5) 项目 i被选中 1
由于A、C、E之间必须且仅需选择一项，故有 x1+x3+x5=1 与此类似，B、D之间有关系式 x2+x4=1 由C的实施必须以D的实施为前提，因此，若x4=0(即D不实施)，则x3=0(即C一定 不实施）；若x4=1(即D实施），则x3=0或1(即C可实施，也可不实施），因此有 x3≤x4,即 x3-x4≤0 对所有项目投资总额的限制条件为 6x1+4x2+2x3+4x4+5x5≤15