运筹学——第3章_线性规划问题的计算机求解
7.2线性规划问题的计算机求解
19
7.2.3 整数规划 在某些实际问题中，有时还会遇到要求解必须为
整数的情况，例如，所求的解为安排上班的人数、 生产机械的台数等，这就是整数规划问题.
在整数规划中，如果所有的变量都为非负整数， 则称之为纯整数规划问题，如果只有一部分变量 为非负整数，则称之为混合整数规划问题.
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• 作业P164习题7.2
• 1、 2、 3.
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例2
求解下面的混合整数规划问题：
max z 2 x1 x2 3x3
x1 x2 2 x3 4 3 x 4 x 2 2 3 x1 2 x2 3 x3 3 约束条件： x2 1 x1 , x2 , x3 0 x1 , x2为整数
注意：以上有关计算机输出的目标函数系数及约束 条件右边常数项的分析称为灵敏度分析.
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以上的分析都是在其他系数值及约束条件右 边常数项不变，只有一个系数及约束条件右 边常数项变化的基础上得出的，而当有两个 或多个系数变化时，灵敏度分析比较复杂， 请查阅相关资料，这里不详述.
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第一步
开始
程序
管理运筹学2.0
30
第二步
整数规划
31
第三步
混合整数规划
32
第四步
新建
输入3个变量，3个约束条 件
确定
MAX
输 入 数 据
33
第五步
解决
34
第六步
分析运行结果
管理运筹学作业 韩伯棠第3版高等教育出版社课后答案
课程：管理运筹学管理运筹学作业第二章线性规划的图解法P23：Q2：（1）－（6）；Q3：(2)Q2：用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有唯一最优解，无穷多最优解，无界解或无可行解。
（1）Min f＝6X1+4X2约束条件：2X1+X2>=1,3X1+4X2>=3X1, X2>=0解题如下：如图1Min f＝3.6X1=0.2, X2=0.6本题具有唯一最优解。
图1（2）Max z＝4X1+8X2约束条件：2X1+2X2<=10-X1+X2>=8X1,X2>=0解题如下：如图2：Max Z 无可行解。
图2（3） Max z ＝X1+X2 约束条件 8X1+6X2>=24 4X1+6X2>=-12 2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图3： Max Z=有无界解。
图3（4） Max Z ＝3X1-2X2 约束条件：X1+X2<=1 2X1+2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图4： Max Z 无可行解。
图4(5)Max Z＝3X1+9X2 约束条件：X1+3X2<=22-X1+X2<=4X2<=62X1-5X2<=0X1,X2>=0解题如下：如图5：Max Z =66；X1=4 X2=6本题有唯一最优解。
图5(6)Max Z=3X1+4X2 约束条件：-X1+2X2<=8X1+2X2<=122X1+X2<=162X1-5X2<=0X1,X2>=0解题如下：如图6Max Z =30.669X1=6.667 X2=2.667本题有唯一最优解。
图6Q3：将线性规划问题转化为标准形式（2）min f＝4X1+6X2约束条件：3X1-2X2>=6X1+2X2>=107X1-6X2=4X1,X2>=0解题如下：1）目标函数求最小值化为求最大值：目标函数等式左边min改为max，等式右边各项均改变正负号。
运筹学 第3章 线性规划问题的计算机求解
• 50
74
• 100
78
• 允许增加量是指该系数在上限范围内的 最大增加量。
• 允许减少量是指该系数在下限范围内的 最大减少量。
c • x1系数的上限为100，故 1的允许增加量为
•
上限-现在值=100-50=50
x c • 而 2的下限为50，故 2的允许减少量为
•
现在值-下限=100-50=50
管理运筹学
朱晓辉 管理科学与工程
第三章 线性规划问题的计算机求解
• 3.1 “管理运筹学软件的操作方法
3.2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
• 相差值提供的数值表示相应的决策变量的目 标系数需要改进的数量，使得该决策变量有可能 取正数值，当决策变量已取正数值时相差值为零。
• 在目标函数系数范围一栏中，所谓的上限与 下限是指目标函数的决策变量的系数在此范围内 变化时，其线性规划的最优解不变。
c • 其中bj的允许增加（减少）百分比的定义同 i
的允许增加（减少）百分比一样，为bj的增加量 （减少量）除以bj的允许增加量（减少量）所得
到的值。
• 在使用百分之一百法则进行灵敏度分析时，要 注意以下三点：
• （1）当允许增加量（减少量）为无穷大时，则 对于任一个增加量（减少量），其允许增加（减 少）百分比都看成零。
• 在常数项数范围一栏中，所谓上限与下限是指 当约束条件中的常数项在此范围内变化时，与其 对应的约束条件的对偶价格不变。
• 以上讨论计算机输出的关于目标函数系 数及约束条件中常数项的灵敏度分析都是 基于这样一个重要假设：当一个系数发生 变化时，其他系数保持不变。
• 两个或更多的系数发生变化时，怎么来 进行灵敏度分析？
第3章%20线性规划问题的计算机求解pdf
第三章思考题、主要概念及内容“管理运筹学”软件的操作方法“管理运筹学”软件的输出信息分析复习题1.见第二章第7题，设x1为产品Ⅰ每天的产量，x2为产品Ⅱ每天的产量，可以建立下面的线性规划模型：max z=500x1+400x2；约束条件：2x1≤300，3x2≤540，2x1+2x2≤440，1.2x1+1.5x2≤300，x1，x2≥0．使用“管理运筹学”软件，得到的计算机解如图1所示图1根据图3-5回答下面的问题：(1) 最优解即最优产品组合是什么?此时最大目标函数值即最大利润为多少?(2) 哪些车间的加工工时数已使用完?哪些车间的加工工时数还没用完?其松弛变量即没用完的加工工时数为多少?(3) 四个车间的加工工时的对偶价格各为多少?请对此对偶价格的含义予以说明．(4) 如果请你在这四个车间中选择一个车间进行加班生产，你会选择哪个车间?为什么?(5) 目标函数中x1的系数c1，即每单位产品Ⅰ的利润值，在什么范围内变化时，最优产品的组合不变?(6) 目标函数中x2的系数c2，即每单位产品Ⅱ的利润值，从400元提高为490元时，最优产品组合变化了没有?为什么?(7) 请解释约束条件中的常数项的上限与下限．(8) 第1车间的加工工时数从300增加到400时，总利润能增加多少?这时最优产品的组合变化了没有?(9) 第3车间的加工工时数从440增加到480时，从图3-5中我们能否求得总利润增加的数量?为什么?(10) 当每单位产品Ⅰ的利润从500元降至475元，而每单位产品Ⅱ的利润从400元升至450元时，其最优产品组合(即最优解)是否发生变化?请用百分之一百法则进行判断．(11) 当第1车间的加工工时数从300增加到350，而第3车间的加工工时数从440降到380时，用百分之一百法则能否判断原来的对偶价格是否发生变化?如不发生变化，请求出其最大利润．2. 见第二章第8题(2)，仍设xA为购买基金A的数量，xB为购买基金B的数量，建立的线性规划模型如下：max z=5xA+4xB；约束条件：50xA+100xB≤1 200 000，100xB≥300 000，xA，xB≥0．使用“管理运筹学”软件，求得计算机解如图2所示．图2根据图2，回答下列问题：(1) 在这个最优解中，购买基金A和基金B的数量各为多少?这时获得的最大利润是多少?这时总的投资风险指数为多少?(2) 图3-7中的松弛/剩余变量的含义是什么?(3) 请对图3-7中的两个对偶价格的含义给予解释．(4) 请对图3-7中的目标函数范围中的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息．(5) 请对图3-7中的常数项范围的上、下限的含义给予具体说明，并阐述如何使用这些信息．(6) 当投资总金额从1 200 000元下降到600 000元，而在基金B上至少投资的金额从300 000元增加到600 000元时，其对偶价格是否发生变化?为什么?3. 考虑下面的线性规划问题：min z=16x1+16x2+17x3；约束条件：x1+x3≤30， -x2+6x3≥15，05x13x1+4x2-x3≥20，x1，x2，x3≥0．其计算机求解结果如图3所示．图3根据图3，回答下列问题：(1) 第二个约束方程的对偶价格是一个负数(为-3622) ，它的含义是什么? ，它的含义是什么?(2) x2的相差值为0703(3) 当目标函数中x1的系数从16降为15，而x2的系数从16升为18时，最优解是否发生变化?(4) 当第一个约束条件的常数项从30减少到15，而第二个约束条件的常数项从15增加到80时，你能断定其对偶价格是否发生变化吗?为什么?。
《管理运筹学》第四版课后习题解析上
《管理运筹学》第四版课后习题解析（上）第2章 线性规划的图解法1．解：（1）可行域为OABC 。
（2）等值线为图中虚线部分。
（3）由图2-1可知，最优解为B 点，最优解1x =127，2157x =；最优目标函数值697。
图2-1 2．解：（1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解120.20.6x x =⎧⎨=⎩，函数值为3.6。
图2-2（2）无可行解。
（3）无界解。
（4）无可行解。
（5）无穷多解。
（6）有唯一解 1220383x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，函数值为923。
3．解： （1）标准形式12123max 32000f x x s s s =++++1211221231212392303213229,,,,0x x s x x s x x s x x s s s ++=++=++=≥（2）标准形式1212min 4600f x x s s =+++12112212121236210764,,,0x x s x x s x x x x s s --=++=-=≥（3）标准形式12212min 2200f x x x s s ''''=-+++1221122122212212355702555032230,,,,0x x x s x x x x x x s x x x s s '''-+-+=''''-+=''''+--=''''≥4．解： 标准形式1212max 10500z x x s s =+++1211221212349528,,,0x x s x x s x x s s ++=++=≥ 松弛变量（0，0） 最优解为 1x =1，x 2=3/2。
5．解： 标准形式12123min 118000f x x s s s =++++121122123121231022033184936,,,,0x x s x x s x x s x x s s s +-=+-=+-=≥剩余变量（0, 0, 13） 最优解为 x 1=1，x 2=5。
线性规划问题的计算机求解 心得体会
线性规划问题的计算机求解心得体会
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料。
二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源。
线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的叫做可行域，在可行域中目标函数值最大（或最小）的可行解叫做最优解，最优解的全体称为最优解集合。
决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三大共同点。
线性规划步骤（1）列出约束条件及目标函数（2）画出约束条件所表示的可行域（3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值。
在线性规划中有两大模型，一般形式和标准形式。
为了讨论问题的方便，我们经常将线性规划问题约定为某一标准形式。
运筹学复习资料
试题结构：1、判断题（10×2`）2、单选题（10×2`）3、多选题（5 ×2`）4、计算题（5×10`）（第三、五、七、十一、十三章有计算题）第一张：绪论1.定义：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为管理者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
2.研究内容：线性规划、整数线性规划、目标规划、图与网络模型、存储论、排队论、对策论、排序与统筹方法、决策分析、动态规划、预测3.运用运筹学解决问题的一般过程（课件答案）（课本答案）规定目标和明确问题认清问题收集数据和建立模型找出一些可供选择的方案求解模型和优化方案确定目标或评估方案的标准检验模型和评价方案评估各个方案方案实施和不断改进选出一个最优的方案执行此方案进行最后评估：问题是否得到圆满解决第二章：线性规划的图解方法1.怎样辨别一个模型是线性模型？其特征是：（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。
2.线性规划三个要素建模步骤决策变量、目标函数、约束条件3.LP 问题的标准型11max .1,2,,0,1,2,,nj jj nij ji j j Z c x a x b s t i m x j n ===⎧=⎪=⎨⎪≥=⎩∑∑ 特点：(1)目标函数求最大值(2)约束条件都为等式方程，且右端常数项b i 都大于或等于零 (3)决策变量x j 为非负。
一般形式目标函数： max （min ） z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n约束条件： s.t. a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n ≤ （ =, ≥ ）b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n ≤ （ =, ≥ ）b 2…… …… a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n ≤ （ =, ≥ ）b mx 1 ，x 2 ，… ，x n ≥ 0 标准形式目标函数： max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n 约束条件： s.t. a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = b 2 …… …… a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n = b mx 1 ，x 2 ，… ，x n ≥ 0，b i ≥04.线性问题的性质与判断 （1 ）线性规划可行域为凸集（2）最优解在凸集上某一顶点达到（特殊情况下为凸集的某条边）（3 ）可行域有界，则一定有最优解5.图解法与解的状况（1）图解法使用范围：仅有两个决策变量的LP（2）基本步骤：a.建立平面直角坐标系；b.将约束条件图解，求得满足约束条件的解的集合；c.作出目标函数的等值线，并根据优化要求，平移目标函数等值线，求出最优解。
管理运筹学期末复习资料【韩伯棠】
运筹学（Operational Research）复习资料第一章绪论一、名词解释1.运筹学：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
二、选择题1.运筹学的主要分支包括（ABDE ）A图论B线性规划C非线性规划D整数规划E目标规划2. 最早运用运筹学理论的是（ A ）A . 二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署B . 美国最早将运筹学运用到农业和人口规划问题上C . 二次世界大战期间，英国政府将运筹学运用到政府制定计划D . 50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上第二章线性规划的图解法一、选择题/填空题1.线性规划标准式的特点：（1）目标函数最大化（2）约束条件为等式（3 决策变量为非负（4 ) 右端常数项为非负2. 在一定范围内，约束条件右边常数项增加一个单位：（1）如果对偶价格大于0，则其最优目标函数值得到改进，即求最大值时，最优目标函数值变得更大，求最小值时最优目标函数值变得更小。
（2）如果对偶价格小于0，则其最优目标函数值变坏，即求最大值时，最优目标函数值变小了；求最小值时，最优目标函数值变大了。
（3）如果对偶价格等于0，则其最优目标函数值不变。
3.LP模型（线性规划模型）三要素：（1）决策变量（2）约束条件（3）目标函数4. 数学模型中，“s·t”表示约束条件。
5. 将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左端加上松弛变量。
6. 将线性规划模型化成标准形式时，“≥”的约束条件要在不等式左端减去剩余变量。
7．下列图形中阴影部分构成的集合是凸集的是A【解析】：如何判断是凸集？凸集：两点之间连线在图内凹集：两点之间连线在图外8. 线性规划问题有可行解且凸多边形无界，这时CA没有无界解 B 没有可行解 C 有无界解 D 有有限最优解9. 对于线性规划问题，下列说法正确的是（ D ）A. 线性规划问题可能没有可行解B. 在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域C. 线性规划问题如有最优解，则最优解可在可行解区域顶点上到达D. 上述说法都正确第三章线性规划问题的计算机求解一、名词解释1.相差值：相应的决策变量的目标系数需要改进的数量，使得决策变量为正值。
管理运筹学第四版 第三章习题6答案(P35)
《数据、模型和决策》作业一学号：2461604112 姓名：王康兵班级：2016秋MBA2周末班一、第三章线性规划问题的计算机求解习题6 （P35）答：根据图3-10回答问题如下：（1）最优解即最优产品组合是产品Ⅰ每天的产量是150个，产品Ⅱ每天的产量是70个。
此时最大的目标函数即最大利润为103000元。
（2）车间1和车间3的加工工时数已使用完，车间2和车间4的加工工时数还没用完。
车间2的松弛变量即没用完的加工工时数为330工时，车间4的松弛变量即没用完的加工工时数为15工时。
（3）车间1的加工工时的对偶价格为50元，即增加一个工时就可能使总利润增加50元；车间2的加工工时的对偶价格为0元，即增加一个工时不会使总利润有所增加；车间3的加工工时的对偶价格为200元，即增加一个工时就可能使总利润增加200元；车间4的加工工时的对偶价格为0元，即增加一个工时不会使总利润有所增加。
（4）如果要在这四个车间选择一个车间进行加班生产，我会选择车间3。
因为在车间3的加工工时的对偶价格为200元，即每增加一个工时就可能使总利润增加200元，能为公司创造价值。
（5）目标函数中x1的系数c1，即每单位产品Ⅰ的利润值，当c1在400与+∞之间变化时，最优产品组合不变。
（6）目标函数中x2的系数c2，即每单位产品Ⅱ的利润值，当c2从400元提高到490元时，最优产品组合没有变化。
因为当c2=490元时，0《490《500，仍在c2的系数变化范围内，所以其最优产品组合没有变化。
（7）约束条件中的常数项的现在值由图3-10可知，b1=300，b2=540，b3=440，b4=300。
所谓常数项的上限和下限是指当约束条件中的常数项在此范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价格不变。
具体地说，当车间1的加工工时数在200到440的范围内时，其对偶价格都为50元；当车间2的加工工时数在210到+∞范围内时，其对偶价格为零；当车间3的加工工时数在300到460范围内时，其对偶价格都为200元；当车间4的加工工时数在285到+∞范围内时，其对偶价格为零。
《管理运筹学》第三版(韩伯棠 )课后习题答案 高等教育出版社
a、 在满足对职工需求的条件下，在 10 时安排 8 个临时工，12 时新安排 1 个临时工，13 时新安排 1 个临时工，15 时新安排 4 个临时工，17 时新 安排 6 个临时工可使临时工的总成本最小。
50xa + 100xb ≤ 1200000 5xa + 4xb ≥ 60000 100xb ≥ 300000 xa , xb ≥ 0 基金 a,b 分别为 4000，10000。 回报率：60000
b 模型变为： max z = 5xa + 4xb
50xa + 100xb ≤ 1200000 100xb ≥ 300000 xa , xb ≥ 0
xi ≥ 0, yi ≥ 0 i=1,2,…,11
稍微变形后，用管理运筹学软件求解可得：总成本最小为 264 元。 安排如下：y1=8（ 即在此时间段安排 8 个 3 小时的班），y3=1，y5=1，y7=4，x8=6 这样能比第一问节省：320-264=56 元。
x2＋x3＋x4＋x5＋1 ≥ 3 x3＋x4＋x5＋x6＋2 ≥ 3 x4＋x5＋x6＋x7＋1 ≥ 6 x5＋x6＋x7＋x8＋2 ≥ 12 x6＋x7＋x8＋x9＋2 ≥ 12 x7＋x8＋x9＋x10＋1 ≥ 7 x8＋x9＋x10＋x11＋1 ≥ 7 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥ 0 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为：
b、 这时付给临时工的工资总额为 80 元，一共需要安排 20 个临时工的班 次。
约束 -------
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
第三章 线性规划问题的求解07.9
输入部分： 2. 输入部分：
（1）线性规划、整数规划的目标函数和约束的输 线性规划、 入必须按由小到大的序号顺序输入， 入必须按由小到大的序号顺序输入，同时约 束变量必须放在运算符的左侧。 束变量必须放在运算符的左侧。如（x1+x2x3=0，不能输为x2-x3+x1=0；x1-x2+x3=0， ， ； ， 不能输为x1+x3=x2） （2）输入的约束中不包括" ≥ "或"≤"，而是用 输入的约束中不包括 或 ，而是用">“ 代替， 或“<”代替，这不会影响求解。如 对于约束 代替 这不会影响求解。 X1 ≥ 2,则输入 X1>2,而不是 1 ≥ 2。 而不是X 则输入 而不是 。 （3）当所有的约束条件输入完了之后，在下一个 ）当所有的约束条件输入完了之后， 约束条件中输入“ 约围：
当前值——指bj的现在值 指 当前值 上限值和下限值——指bj在此范围内变化时，则与 上限值和下限值 指 在此范围内变化时， 其对应的约束条件的对偶价格不变。 其对应的约束条件的对偶价格不变。
三、百分之一百法则及其应用
1、允许增加量：允许△ = 上限 – 现在值 、允许增加量： 2、允许减少量：允许△ = 现在值 – 下限 、允许减少量： 3、允许增加（减少）百分比： 、允许增加（减少）百分比：
输出部分： 4. 输出部分：
（1）线性规划和整数规划子程序没有把运算结 果存储到文本文件的功能， 果存储到文本文件的功能，其它子程序都 可以实现。 可以实现。 （2）若不通过运行Main.exe进入各子问题，而 若不通过运行Main.exe进入各子问题， Main.exe进入各子问题 是直接运行各子程序，系统会默认当前目 是直接运行各子程序， 录为存储目录。 录为存储目录。
运筹学本科版答案
运筹学本科版答案【篇一：运筹学课后习题答案】xt>1．用xj（j=1.2…5）分别代表5中饲料的采购数，线性规划模型： minz?0.2x1?0.7x2?0.4x3?0.3x4?0.8x5st.3x1?2x2?x3?6x4+18x5?700x1?0.5x2?0.2x3+2x4?x5?300.5x1?x2?0.2x3+2x4?0.8x5?1002.解：设x1x2x3x4x5x6x表示在第i个时期初开始工作的护士人数，z表示所需的总人数，则minz?x1?x2?x3?x4?x5?x6st.x1?x6?60x?x2?701x2?x3?60x3?x4?50x4?x5?20x5?x6?30xj(j?1,2,3,4,5,6)?03．解：设用i=1，2，3分别表示商品a，b，c，j=1，2，3分别代表前，中，后舱，xij表示装于j舱的i种商品的数量，z表示总运费收入则：maxz?1000(x11?x12?x13)?700(x21?x22?x23)?600(x31?x32?x3 3)st.x11?x12?x13?600x21?x22?x23?1000x31?x32?x33?80010x11?5x21?7x31?40010x12?5x22?7x32?540010x13?5x23?7x33?15008x11?6x21?5x31?20008x12?6x22?5x32?30008x13?6x23?5x33?15008x?6x21?5x3111?0.158x12?6x22?5x328x?6x23?5x3313?0.158x12?6x22?5x328x?6x21?5x3111?0.18x13?6x23?5x33xij?0(i?1,2.3.j?1,2,3)xi(i?1,2.3.4.5.6)?05. （1）z = 4（2）maxz?x1?x2st.6x1?10x2?120x1?x2?705?x1?10解：如图：由图可得：x?(10,6)；z*t*3?x2?8?16*即该问题具有唯一最优解x?(10,6)t（3）无可行解(4)maxz?5x1?6x2st.2x1?x2?2?2x1?3x2?2 x1,x2?0如图：由图知，该问题具有无界解。
线性规划问题的计算机求解
• 在对偶价格栏中，约束条件3的对偶价格为1万元，也就是 说如果把加工时数从600小时增加到601小时，则总成本将 得到改进，由800万减少到799万。也可知约束条件1的对偶 条件为-4万元，也就是说如果把购进原料A的下限从125t增 加到126t，那么总成本将加大，由800万增加到804万。当 然如果减少对原料A的下限，那么总成本将得到改进。
管理运筹学
1
§1 “管理运筹学”软件的操作方法
1.软件使用演示：（演示例1） 第一步：点击“开始”->“程序”-> “管理运筹学 2.0”，弹出主窗口。
例1. 目标函数：
Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：
s.t.
x1 + 2 x1 +
x2 ≤ 300 (A) x2 ≤ 400 (B) x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E)
变量为正值，当决策变量已为正数时，相差数为零。
– 松弛/剩余变量的数值表示还有多少资源没有被使用。如果为零，则 表示与之相对应的资源已经全部用上。
– 对偶价格表示其对应的资源每增加一个单位，将增加多少个单位的 最优值。
– 目标函数系数范围表示最优解不变的情况下，目标函数的决策变量 系数的变化范围。当前值是指当前的最优解中的系数取值。
兰州大学运筹学——线性规划问题的计算机求解 课后习题题解
第四章 线性规划问题的计算机求解4.1 有以下线性规划数学问题： max Z=2x l +3 x 2 S.T. x l + x 2≤10 2x l + x 2≥4x l +3 x 2≤24 2x l + x 2≤16x l 、 x 2≥01、 用EXCEL 线性规划求解模板求解该数学模型。
2、 本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？3、 四个约束条件中，哪些约束条件起到了作用？各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少？4、 目标函数中各变量系数在什么范围内变化时，最优解不变？5、 确定各给定条件中的常数项的上限和下限。
解： 1、2、最优解：（3，7），最优值：273、 可变单元格约束对于求最大化的问题，对偶价格=阴影价格松弛量/剩余量对偶价格x l+ x2≤10 0 1.52x l+ x2≥4 9 0x l+3 x2≤24 0 0.52x l+ x2≤16 13 0 因第一、第三个约束条件的松弛量/剩余量为0 ，所以这两个约束条件起到了约束作用。
4、目标函数中各变量系数1≤C1≤32≤C1≤65、常数项8≤b1≤9.2无限≤b2≤1318≤b3≤3013≤b4≤无限4.2 有以下线性规划数学问题：min f=8x l+3 x2S.T. 500x l+100 x2≤12000005x l+4 x2≥60000100x l≥300000x l 、x2≥01、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。
2、本问题的最优解是什么？此时最大目标函数值是多少？3、各约束条件的剩余量或松弛量及对偶价格是多少？分别解释其含义。
4、目标函数中各变量系数在什么范围内变化时，最优解不变？5、确定各给定条件中的常数项的上限和下限。
解：本问题无解。
4.3 有以下线性规划数学问题：max Z=x l+2 x2+3 x3- x4S.T. x l+2 x2+3 x3≤152x l+ x2+5 x3≤20x l+2 x2+ x3+ x4≤10x l 、x2、x3、x4≥01、用EXCEL线性规划求解模板求解该数学模型。
运筹学实验报告(一)线性规划问题的计算机求解
运筹学实验报告实验课程:运筹学实验日期: 2020年4月4日任课教师:杨小康班级：数学1802 姓名：王超学号：2501180224一、实验名称: 简单线性规划模型的求解与Lingo软件的初步使用二、实验目的：了解Lingo软件的基本功能和简单线性规划模型的求解的输入和输出结果。
熟悉Lingo 软件在运筹学模型求解中的作用，增强自身的动手能力，提高实际应用能力三、实验要求:1、熟悉Lingo软件的用户环境，了解Lingo软件的一般命令2、给出Lingo中的输入，能理解Solution Report中输出的四个部分的结果。
4、能给出最优解和最优值；5、能给出实际问题的数学模型，并利用lingo求出最优解四、报告正文（文挡，数据，模型，程序，图形）:1.在Lingo中求解下面的线性规划数学模型;(1)12132412512345 max2543..28,,,,0z x xx xx xs tx x xx x x x x=++=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪≥⎩(2)12121212max2343..28,0z x xxxs tx xx x=+≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩(3)12121212max243..28,0z x xxxs tx xx x=+≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩(4)12121212max324 ..3,0z x xx xs t x xx x=+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩(5)1212121212max102401.530.50,0z x xx xx xs tx xx x=++≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩2、某工厂利用三种原料生产五种产品，其有关数据如下表。
原料可利用数（千克）每万件产品所用材料数（千克）A B C D E甲10 1 2 1 0 1 乙24 1 0 1 3 2 丙21 1 2 2 2 2 每万件产品的利润（万元）8 20 10 20 21 (l)建立该问题的运筹学模型。
（2）利用lingo 软件求出最优解，得出最优生产计划解：（1）设xi（i=1,2...,5）为所用材料生产的件数则数学模型,,,,21 2222242 3102;212010208max543215 43215431532154321≥≤++++≤+++≤+++++++ =xxxxxx xxxxt xxxx xxxxsxxxxxz （2）结果为220.3：现有15米长的钢管若干，生产某产品需4米、5米、7米长的钢管各为100、150、120根，问如何截取才能使原材料最省？（建立线性规划模型并利用lingo软件求解）解：方案4米5米7米剩余量截取长度1 3 0 0 32 2 1 0 23 2 0 1 04 1 2 0 15 0 3 0 06 0 1 1 37 0 0 2 14人力资源分配问题某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如表1所示。
线性规划02-线性问题计算机解法
线性规划问题的计算机求解
选择线性规划后——出现如下界面
单击“新建”按钮
线性规划问题的计算机求解
单击“新建”按钮后——出现如下界面
随光标闪烁位置依次输入各参数
线性规划问题的计算机求解
以P10, 例1为例输入所有参数后——出现如下界面
1、此时可保持此模型 2、如要求解此模型，则点击“解决”按钮
900 1000
8 6
1 2
500 600
800 900
5 6
3 4
线性规划 Linear Programming（LP）
线性规划其他应用例子
线性规划 Linear Programming（LP）
线性规划其他应用例子
例 制造某种机床，需要 A ，B ，C 三种轴件，其规格与数 量如下表，各类轴件都用 5.5 米长的同一种圆钢下料。若计划 生产 100 台机床，最少要用多少根圆钢？
第二章
线性规划问题的 计算机求解
线性规划问题的计算机求解
本章主要介绍如何使用“管理运筹学”2.0 （windows 版）软件包求解线性规划模型：
如何运行软件； 如何输入模型； 如何求解与阅读分析输出结果。
线性规划问题的计算机求解
安装运行软件后——出现如下界面
选择你需求解的问题类型——线性规划
线性规划问题的计算机求解
点击“解决”按钮后——出现如下结果输出界面
线性规划 Linear Programming（LP）
线性规划其他应用例子
线性规划 Linear Programming（LP）
线性规划其他应用例子
例 发电厂有两台锅炉，每台锅炉投入运行时生产的蒸汽量 一定要维持在最高产汽量和最低产汽量之间。每个锅炉的产汽 量范围和生产成本（如表1），锅炉生产的蒸汽可送到两台汽 轮机组发电，每台汽轮机组的蒸汽消耗量也有最低和最高限制， 且运行成本和每吨蒸汽的发电量亦不同（如表2）。 请建立一个线性规划模型使发电厂在满足8000度发电计 划的前提下运行成本最低。
管理运筹学第二版 课后习题答案 (韩伯棠主编) 高教版
第2 章线性规划的图解法1、解：x26A1O01BC36x1a.可行域为 OABC。
b.等值线为图中虚线所示。
c.由图可知，最优解为 B 点，最优解：x1 =1215x2 =，最优目标函数值：7769。
72、解：a x210.60.1O0.10.6x1有唯一解x1 = 0.2x 2 = 0.6函数值为3.6b c d e 无可行解无界解无可行解无穷多解20x1 =923f 有唯一解函数值为83x2 =33、解：a 标准形式：max f = 3x1 + 2 x 2 + 0s1 + 0 s 2 + 0s 39 x1 + 2 x 2 + s1 = 303x1 + 2 x 2 + s 2 = 132 x1 + 2 x 2 + s3 = 9x1 , x 2 , s1 , s 2 , s3 ≥ 0b 标准形式：max f = −4 x1 − 6 x3 − 0s1 − 0s23x1 − x 2 − s1 = 6x1 + 2 x 2 + s 2 = 107 x1 − 6 x 2 = 4x1 , x 2 , s1 , s 2 ≥ 0c 标准形式：max f = − x1' + 2 x2 − 2 x2 − 0s1 − 0s2'''− 3x1 + 5 x 2 − 5 x 2' + s1 = 70''2 x1' − 5 x 2 + 5 x 2' = 50''3x1' + 2 x 2 − 2 x 2' − s 2 = 30''x1' , x 2 , x 2' , s1 , s 2 ≥ 0''4 、解：标准形式：max z = 10 x1 + 5 x 2 + 0 s1 + 0 s 23x1 + 4 x 2 + s1 = 95 x1 + 2 x 2 + s 2 = 8x1 , x 2 , s1 , s 2 ≥ 0s1 = 2, s2 = 0标准形式：min f = 11x1 + 8 x 2 + 0s1 + 0s 2 + 0s310 x1 + 2 x 2 − s1 = 203x1 + 3x 2 − s 2 = 184 x1 + 9 x 2 − s3 = 36x1 , x 2 , s1 , s 2 , s3 ≥ 0 s1 = 0, s2 = 0, s3 = 136 、解：b 1 ≤ c1 ≤ 3c 2 ≤ c2 ≤ 6d x1 = 6x2 = 4x 2 = 16 − 2 x1e x1 ∈[4,8]f 变化。
第3章 管理运筹学线性规划问题的求解
？
若约束条件的
Min f = 2x1 + 3 x2 约束条件：
对偶价格小于 s.t. x1 + x2 ≥ 350 +1
0, 则其最优目
x1
≥ 125
标函数值受到 2 x1 + x2 ≤ 600
影响 (变坏) 。
x1 , x2 ≥ 0
§2 “管理运筹学”软件的输出信息分析
x1 , x2 ≥ 0
6
第三§步1：点“管击理“新运建筹”学按”钮软，输件入的数操据作。方法
2
3
例 1 中 共 有 2 个 变 量 ,3 个约束条件,目标函数 取 MAX. 点 击 “ 确 定 ” 。
例1. 目标函数：
Max z=50 x1+100x2 约束条件：
x1 + x2 ≤ 300 (1)
x2 ≤ 250 (3) x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
14
相差值表示相应的决策变量的目标系数需要改 进的数量，使得决策变量为正值，当决策变量 已为正数时，相差数为零。
15
松弛/剩余变量的数值表示 还有多少资源没有被使用。 如果为零，则表示与之相对 应的资源已经全部用上。
例1. 目标函数：
Max z=50 x1+100x2 约束条件：
常数项范围是指约束条件
Max z=50 x1+100x2 约束条件：
的右端常量。上限值和下 限值是指当约束条件的右 端常量在此范围内变化时， 与其对应的约束条件的对 偶价格不变。当前值是指
x1 + x2 ≤ 300 2x1 + x2 ≤ 400
x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
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变量 下限 当前值 上限
x1
0
50
100
x2
50
100 无上限
从上面可知目标函数中X1的系数的上限为100，故C1
允许增加量为： 上限-现在值=100-50=50；
而X2的下限为50，故C2的允许减少量为： 现在值-下限=100-50=50。
定义Ci 的允许增加(减少)百分比为：Ci 的增加量 (减少量)除以Ci 的允许增加量(允许减少量)的值。
在上题中C1 的允许增加百分比与C2 的允许减 少百分比之和为92％不超过100％，所以当每件产 品Ⅰ利润从50元增加到74元，每件产品Ⅱ利润从 100元减少到78元时，此线性规划最优解仍然为Ⅰ 产品生产50件， Ⅱ产品生产250件(即x1= 50， x2=250)，此时有最大利润为:
74× 50+78× 250=3700＋19500=23200(元)。
为50元，即增加了一个台时数就可使总利润增加50元；
原料A还有50千克没有使用，原料A的对偶价格当然为零，
即增加1千克A原料不会使总利润有所增加；原料B全部使
用完，原料B的对偶价格为50元，即增加一千克原料B就
可使总利润增加50元。
在目标函数系数范围一栏中，所谓的当前值是指在目标函数 中决策变量的当前系数值。如x1的系数值为50，x2的系数值为100。 所谓的上限与下限值是指目标函数的决策变量的系数（其它决策 变量的系数固定在当前值）在此范围内变化时，其线性规划的最 优解不变。例如当c1= 80时，因为0≤80≤100，在x1的系数变化范 围内，所以其最优解不变（此时要固定c2=100)，也即当x1=50， x2=250时，有最大利润。当然由于产品Ⅰ的单位利润由50变为80 了，其最大利润也增加了(最优值变了)，
Байду номын сангаас
喂！相差值是什么意思？
我知道：如果决策变量取正数值，则相差值一般为零。 则此时目标函数的系数无法再改变使目标函数值变得更 好。
如果决策变量取0值，则相差值可能不为0（比如说 相差值为正a，也有可能为0)。则此时目标函数的系数可 以在原来基础上增加a（而当目标函数是求最小值时， 减少a)，则可能才能使此决策变量变为非零（即生产该 种产品），才有可能使目标函数值变得更好。
注意最大利润已变。
同样有约束条件右边常数值的百分之一百法
则：对于所有变化的约束条件右边常数值，当其
所有允许增加百分比和允许减少百分比之和不超
过百分之一百时，则其对偶价格不变。
其中bj 的允许增加(减少) 百分比的定义同Ci 的允许 增加(减少)百分比一样：
并不难
为bj 的增加量(减少量) 除以bj的允许增加量 (减少量)的值。
型。
如何读懂输出结果？
§3.2软件输出信息分析
从上面变量、最优解、相差值一栏中，知道例1的最优解为生 产Ⅰ产品50单位；生产Ⅱ产品250单位。相差值的数值表示相应的 决策变量的目标系数需要改进的数量，使得该决策变量有可能取 正数值，一般地，当决策变量已取正数值时则相差值为零。如果 决策变量取0值，则相差值可能不为0。对例1来说由于x1=50， x2=250，都是正值，所以它们的相差值都为零。如果x1的值为0； x1 的相差值为20；则就知道，只有当产品I 的利润再提高20元，即 达到50+20=70元时（这里的50是表示X1的利润，不是X1的最优 解）， 产品I 才可能生产，即x1才可能大于零。对于目标函数求最 小值的线性规划问题，那么所谓的改进就应该使其对应的决策变 量的系数减少其相差值。这在以后还要说明。
本章的重点放在如何读懂“管理运筹学”软件包的 计算机输出结果——关于线性规划问题的求解和灵敏度 分析的信息，解决工商管理中的实际问题。
§3.1“管理运筹学”软件的操作方法 下面用运筹学软件2.0来解决例1的线性规划问题。
从开始→程序→管理运筹学2.0，这样就打开此软件，如下 图：
然后就 根据需 要选择 运筹学 的各个 分枝
下面把例2输入计算机来分析此线性规划的 计算机输出，例2的数学模型如下：
目标函数：min 2x1+3x2 约束条件：x1+x2≥350， ①
x1≥125， ② 2x1+x2≤600 ③ x1≥0， x2≥0 上机计算得到如下结果：
从上面结果知道，当购进A原料250吨(X1=250)， B原料100吨(X2=100)时，使得购进成本最低为800万 元。在松弛／剩余栏中，约束条件②的值为125，约 束条件②表示对原料A的最低需求，由于此约束为大 于等于，这样可知原料A的剩余变量值为125（因为 x1=250）。同样可知约束条件①（对所有原料的总需 要量）的剩余变量值为零，约束条件③（加工时数的 限制）的松弛变量值为零。
仍以例1为例来说明如何用约束条件右边常数值的 百分之一百法则进行灵敏度分析。不妨设设备台时 数从300台时增加为315台时，而原料A从400千克减 少到390千克，原料B从250千克减少到240千克，这 样可以得到它们的允许增加(减少)百分比。因为：
约束 下限 当前值 上限
1 250 300 325 2 350 400 无上限
3 200 250
300
设备台时数： (315-300)/(325-300)=15/25=60％，
原料A： (400-390)/(400-350)=10/50=20％，
原料B： (250-240)/(250-200)=10/50=20％。
所以它们的允许增加百分比与允许减少 百分比之和为60％+20％+20％=100％，从 以上约束条件右边常数值的百分之一百法则 可知此线性规划的对偶价格不变。因为设备 台时数从300台时增加为315台时，而原料A 从400千克减少到390千克，原料B从250千 克减少到240千克，所以从对偶价格可知 50×15+0×（-10）+50×（-10）=250(元)， 则最大利润增加了250元，为27750元。
在使用百分之一百的法则进行灵敏度分 析时，要注意以下四点：
1)、当允许增加量(减少量)为无穷大时，则对于任一 个增加量(减少量)，其允许增加(减少)百分比都看成零。 例如，在表3- 4中，约束条件2的常数项变动范围为350 至+∞,
如果原料A从400增加到410，则相当于 （410- 400）/（无穷大- 400)=0. 2)、当允许增加量(减少量)为0时， 则对于任一个增加量(减少量)，其 允许增加(减少)百分比都看成无穷 大（相当于该变量不能增加或减少）。
百分之一百法则：
先以例1为例看一看如何用百分之一百法 则对两个目标函数系数同时变化进行灵敏度 分析。例1中原来每件Ⅰ产品和Ⅱ产品的利润 分别为50元和100元，现在由于市场情况的变 化每件Ⅰ产品和Ⅱ产品的利润分别变为74元 和78元，最优解发生变化吗?
为了解决这个问题我们首先来定义“允许 增加值”和“允许减少值”这两个术语，对 一个目标函数的决策变量系数，所谓允许增 加值是该系数在上限范围内的最大增加量， 所谓的允许减少量是该系数在下限范围内的 最大的减少量。
输入目标函数系数
在这输入约束条件，在输 入约束条件时注意清0，还
要注意不等号的方向。
一般地变量的非负性不必 修改。
输完模型后就可以选择要进行的操作， 如：保存、解决（求解）等。下面是例
1的输入结果。
输完模型后，苦要修 改模型点这里
解决后得到如下结果。
如果选择保存，就弹出保存路 径的对话框。
输入文件名，然后 点保存即可，以后 可以点打开调出模
第三章 线性规划问题的 计算机求解
如何求解？
“管理运筹学”的软件包
本章将介绍如何使用计算机软件包求解线性规划问题。 解决线性规划问题的软件包分两种，一种是大规模 的软件包，它可以用来解决复杂的包含数千个决策变量 和数千个约束条件的大型的线性规划的问题，重点掌握 国内外常用软件：由芝加哥大学LinusE．Schrage开发 的lindo6.1软件，此软件包可解决32000个变量(3200整 型变量）16000个约束方程的运筹学问题。 另一种是用于微机的软件包，它们有很好的界面， 使用方便，由科研机构和小软件公司为解决包含数百个 决策变量的线性规划问题而开发的。本章介绍的是与本 书配套的名为“管理运筹学”2.0软件包就是属于这种 软件，此软件包可解决100个变量50个约束方程的管理 运筹学问题。
这样可以计算出C1的允许增加量百分比为： (74-50)／50=48％；C2 的允许减少百分比为 (100-78)／50=44％，C1允许增加百分比与C2的允许减 少百分比之和为：48％+44％=92％。
目标函数决策变量系数的百分之一百法则： 对于所有变化的目标函数决策变量系数，当其 所有允许增加百分比和允许减少百分比之和不 超过百分之一百时(含百分百），最优解不变。
也可以这样理解：在相差值内,价值系数增加就不会影 响原来的最优基，但当价值系数增加大于等于相差值时, 最优基就会发生变化。
设备 原料A 原料B
满足约束条件：x1+x2≤300，（台时数）
2 x1+x2≤400，（原料A）
x2≤250,
（原料B）
在约束条件、松弛／剩余变量、对偶价格这栏中，可
知设备的台时数全部使用完，每个设备台时的对偶价格
当设备台时数在250→325的范围内，其对偶价格都为50元，说 明增加设备台时数可使目标函数值变大，每增加1个台时数可增加 利润50元。当原料A的公斤数在350到+∞范围内，其对偶价格都为 零；增加原料A对目标函数值无影响。当原料B的千克数在200到 300的范围内，其对偶价格都为50元。例如设备台时数和原料A的 数量不变，即b1=300；b2=400，原料B变为280千克，由于 200≤280≤300，原料B的对偶价格仍为50元，故新的最大利润值应 为： 27500+(280-250)×50=29000元。这里50是对偶价格。