第17章 函数及其图象知识点清单
函数及其图形知识点总结
函数及其图形知识点总结引言在数学中，函数是一种描述自变量和因变量之间关系的工具。
它是一种非常重要的数学工具，可以用来描述各种各样的现象，包括物理、化学、经济、生物等领域中的问题。
在本文中，我将总结关于函数及其图形的重要知识点，包括函数的定义、性质、图像、分类以及一些相关的概念。
我将从基本概念开始，逐步深入，希望对读者有所帮助。
一、函数的定义函数是一种映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
通常情况下，我们用f(x)来表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数的定义包括以下几个要点：1. 定义域：函数的自变量的取值范围。
2. 值域：函数的因变量的取值范围。
3. 对应关系：自变量和因变量之间的对应关系。
4. 映射规则：描述自变量和因变量之间的映射关系的规则。
函数可以用各种形式表示，包括公式、图表、表格等。
在实际应用中，函数通常用符号、字母、数字、等式等来表示。
函数的定义对于理解和应用函数非常重要，因为它决定了函数的性质和特点。
二、函数的性质1. 有界性：函数的定义域和值域都可能是有界的或无界的。
有界性是函数性质的重要特点之一，对于函数的图像有着重要的意义。
2. 单调性：函数在定义域内可能是单调递增的、单调递减的或者不单调。
单调性是函数图像的一个关键特征，可以通过函数的导数来进行分析。
3. 周期性：某些函数具有周期性，即在一定的区间内具有重复的规律性。
正弦函数和余弦函数就是典型的周期函数的例子。
4. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数图像关于原点的对称性。
奇函数具有关于原点对称，偶函数具有关于y轴对称。
5. 渐近线：函数图像可能有水平渐近线、垂直渐近线或者斜渐近线。
这些渐近线在分析函数图像的特点时非常有用。
三、函数的图像函数的图像是函数性质与特点的重要体现。
数学中有很多种函数图像，每种函数图像都有其独特的特点。
以下是几种常见的图像：1. 直线的图像：表示成y = kx + b的线性函数具有直线的图像，直线的斜率决定了线的倾斜程度，截距决定了直线与坐标轴的交点位置。
函数图像知识点归纳梳理
函数的图像【知识梳理】 一、函数的图像1、作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。
2、识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面． 二、函数图像的变化1、平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．①()y f x =h左移→()y f x h =+； ②()y f x =h右移→()y f x h =-； ③()y f x =h 上移→()y f x h =+； ④()y f x =h下移→()y f x h =-.2、对称变换：（1）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； （2）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； （3）函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； （4）函数1()y fx -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到．①()y f x =轴x →()y f x =-；②()y f x =轴y →()y f x =-；③()y f x =ax =→直线(2)y f a x =-；④()y f x =原点→()y f x =--.提示：()i 若()(),R f a x f b x x +=-∈恒成立，则()y f x =的图象关于2a bx +=成轴对称图形， 若()(),R f a x f b x x +=--∈，则()y f x =的图象关于点(,0)2a b+成中心对称图形． ()ii 函数()y f a x =+与函数()y f b x =-的图象关于直线1()2x b a =-对称.3、翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4、伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到． ①()y f x =ω⨯→x ()xy f ω=;② ()y f x =ω⨯→y ()y f x ω=.【经典例题】【例1】函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ A ）A .B .C .D .【例2】说明由函数2xy =的图像经过怎样的图像变换得到函数321x y --=+的图像．【解析】：（1）将函数2x y =的图像向右平移3个单位，得到函数32x y -=的图像；（2）作出函数32x y -=的图像关于y 轴对称的图像，得到函数32x y --=的图像；（3）把函数32x y --=的图像向上平移1个单位，得到函数321x y --=+的图像．【例3】（1）试作出函数1y x x=+的图像； （2）对每一个实数x ，三个数2,,1x x x --中最大者记为y ，试判断y 是否是x 的函数？若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？ 【例4】已知函数2()|43|f x x x =-+(1)求函数()f x 的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程()f x a x -=至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 【课堂练习】1、下列每组两个函数的图象中，正确的是（ ）A. B. C. D.2、在下列图象中，二次函数2y ax bx =+与指数函数()xb y a=的图象只可能是（ ）3、已知函数a y x=与2,y ax bx =+则下列图象正确的是（ ）4、函数y =的图象是（ ）5、函数312x y x -=+的图象 （ ）A. 关于点(2,3)-对称B. 关于点(2,3)-对称C. 关于直线2x =-对称D. 关于直线3y =-对称 6、设函数()y f x =定义在实数集上，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =--的图象关于（ ）对称 A.直线0x = B.直线1x = C.点(0,0) D.点(1,0) 7、在以下四个按对应图象关系式画出的略图中，不正确．．．的是（ ） A ．2|log |y x = B. |x|2y = C. 20.5log y x = D. 13||y x-=o yxo yxo y xo yx8、已知函数()y f x =的图象如图，则(1)y f x =-的图象是（ ）11-1o yxA11-1o yxB-21-1oyxC11-1oyxD 11-1o yx9、下列命题中：①函数()y f x =的图象与()x f y =的图象关于直线y x =对称；②若()()f x f x =--,则()f x 的图象关于原点对称；③若()()f x f x =-,则()f x 的图象关于y 轴对称；④()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于y 轴对称，其中真命题是（ ）A 、②③B 、②③④C 、①②③D 、全都是 10、若函数2log |1|y ax =-图象的对称轴是2,x =则非零实数a 的值为 . 11、函数(||)y f x m =-的图象与(||)y f x =的图象关于直线 对称. 12、方程2|23|(2)x x a x +-=-有四个实数根，求实数a 的取值范围. 【课后作业】 1、函数1ln|23|y x =-的图象为( )2、下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数2log y x =的图象重合的函数是( )A ．2xy = B ．12log y x = C ．42x y = D ．21log 1y x =+3、若函数()f x 在(4,)+∞上为减函数，且对任意的,x R ∈有(4)f(4)f x x +=-，则( )A ．(2)f >(3)fB ．(2)f >(5)fC ．(3)f >(5)fD ．(3)f >(6)f4、（2009安徽）设a <,b 函数2()()y x a x b =--的图象可能是( )5、已知下图①的图象对应的函数为(),y f x =则图②的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是( )A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =- 6、函数1()1||f x x =+的图象是( )7、已知函数()f x 的定义域为[,],a b 函数()y f x =的图象如下图所示，则函数(||)f x 的图象大致是( )12、设函数(),()f x g x 的定义域分别为,,F G 且,F G .若对,x F ∀∈都有()(),g x f x =则称()g x 为()f x 在G 上的一个“延拓函数”．已知函数1()()(2xf x x =≤0),若()g x 为()f x 在R 上的一个延拓函数，且()g x 是偶函数，则函数()g x 的解析式为________．8、若对任意,x R ∈不等式||x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－1B ．||a ≤1C ．||a <1D ．a ≥19、()f x 定义域为R ，对任意,x R ∈满足()(4)f x f x =-且当[)2,x ∈+∞时，()f x 为减函数，则( ) A ．(0)f <(1)f <(5)f B ．(1)f <(5)f <(0)f C ．(5)f <(0)f <(1)f D ．(5)f <(1)f <(0)f 10、若函数|1|1()2x y m -=+的图像与x 轴有公共点，则m的取值范围是________．11、若直线y x m =+曲线21y x =-有两个不同的交点，则m 的取值范围是________．【参考答案】【课堂练习】1、 D2、 A3、 C4、 C5、 A6、D7、 C8、 C9、 C10．1/2 11. x=m/2 12.x2+(2+a)x-2a-3=0, 由Δ=0以及-(2+a)/2<1可得a= -6+25,∴-6+25<a<0【课下作业】1、A2、C3、D4、C5、C6、C7、B8、B9、C10、－1≤m<011、1≤m< 212、g(x)＝2|x|。
函数图像知识点总结
函数图像知识点总结基本初等函数的图像：一次函数：图像是直线，根据斜率k的正负，函数可能单调递增或递减。
二次函数：图像是抛物线，其开口方向由a决定，与x轴的交点由判别式b^2-4ac决定，对称轴两边函数的单调性不同。
反比例函数：图像是双曲线，当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。
指数函数：当底数不同时，其图像会有所变换。
对数函数：底数不同时，图像也会发生变换。
对勾函数：对于函数y=x+k/x，当k>0时，是对勾函数，可以通过均值定理找到其最值。
函数图像的基本性质：定义域和值域：函数的定义域是指函数所能接收的自变量的集合，值域是指函数所能取到的因变量的集合。
函数图像应当包含在定义域和值域的笛卡尔积上。
单调性：如果函数在定义域内递增，那么函数图像应当从左向右逐渐上升；如果函数在定义域内递减，那么函数图像应当从左向右逐渐下降。
奇偶性：如果函数是偶函数，那么函数图像在原点处具有对称性；如果函数是奇函数，那么函数图像在原点处具有中心对称性。
周期性：如果函数具有周期性，那么函数图像在一段区间内会重复出现，并且重复的间隔是固定的。
极值：函数在定义域内的最大值和最小值分别称为函数的最大值和最小值，对应的自变量称为函数的极大值和极小值。
函数图像在极值处存在驻点，即切线斜率为零。
函数图像在数学中的应用：函数图像可以直观地表示函数的性质与特征，例如单调性、极值点、零点等。
通过观察函数图像，我们可以更好地理解函数的表现特征和性质。
函数图像不仅在数学中有应用，还涉及其他相关领域，如经济学、生物学、人文社科等。
函数图像可以帮助解释实验现象，描述物理现象的变化规律，并帮助人们理解和解释实验结果。
这些知识点对于理解和分析函数图像非常重要，通过熟练掌握和应用这些知识点，可以更好地理解函数的性质，解决实际问题。
八年级第十七章《函数及其图象》知识点
.精品文档.八年级第十七章《函数及其图象》知识点八年级第十七《函数及其图象》知识点（2）一、一次函数（一）一次函数的概念：形如y=kx+b （其中k工0）,两个特征：①k工0，②x的次数为1正比例函数的概念：当b=0时的一次函数成为正比例函数，此时称y与x成正比例【注意】两个变量成正比例，即y=kx.例题1、若函数y=（-1）x|| 是一次函数，则=.2、若y-1与x+3成正比例，且当x=1时，y=2，求y与x 的函数关系式.（二）一次函数的图象及其性质：y=kx+b （" 0）1、一次函数的图象是一条直线，故使用待定系数法求直线解析式时一般需要两个点.特殊直线：直线y=x或直线y= -x上的点到两坐标轴距离相等.2、一次函数的性质（与系数k、b相关）① k决定着函数的增减性当k > 0时，y随x的增大而增大（增函数），必过第一三象限当k v 0时，y随x的增大而减小（减函数），必过第二四象限② b决定着直线与y轴交点的位置：在原点的基础上“上加下减”当b=0时，必过原点；当b>0时，沿y轴向上平移；当b v 0时，沿y轴向下平移.补充口诀：上加下减改变b, y=kx+b —y=kx+b+左加右减改变x, y=kx+b —y=k（x+）+b③斜率k的性质：平移k不变；|k|越大，直线的倾斜程度越大；k=【可用于待定系数法求解析式中的k 1④截距b的性质：与y轴交点（0, b）,与x轴交点（, 0）⑤四种特殊位置关系的直线：两直线平行k相等；两直线相互垂直--> k1 • k2= -1 ；两直线关于x轴对称--> k与b均互为相反数；两直线关于y轴对称k互为相反数，b相等.⑥点（x0, y0）到直线ax+by+=0的距离d公式：d=（三）一次函数的应用1、解题关键：点的坐标，尤其是交点的坐标三种交点：①与x轴交点，y坐标为0,即（x, 0）②与y轴交点，x坐标为0,即（0, y）③两个图象的交点：联立解析式，方程组的解即为交点的x坐标和y坐标2、解题思路：①与三角形全等、直角三角形、面积、周长、线段有关的问题均转化为点的坐标【数形结合很重要，注意运用“全等（含对称）、勾股定理、等面积法（含同底等高）”等知识】②求函数解析式（含求函数值或自变量的值）均用待定系数法，其中k、b注意利用性质求得.【待定系数法思路：几个未知系数，就用几个条件构造方程】③比较大小的三种方法：【含两种方案的比较问题】代入计算法（对函数解析式已知的题目适用）增减性分析法（对k的符号已知的适用）图象分析法（对能画出大致图形的适用，借助交点和坐标轴分析）④最值问题（如最大利润）：先求出自变量的取值范围（常以“有几种方案”的问题出现，需根据题意列不等式组求出）；再列出关于利润的函数表达式（要化简整理成y=kx+b 的形式），最后根据增减性结合具体方案（自变量取值范围），找出最值.⑤行程问题（常以两车同向或相向为背景）图象交点的意义：两车相遇(或追上)两车的距离即为：s=y1-y2例题1、已知直线y=(k+2)x+k2-4 的图象经过原点，贝U k=.2、若一次函数y=(k+2)x-2k+3的图象不经过第四象限，则k的取值范围是.3、已知直线平行于直线y=2x，且与y轴交点到原点的距离为2,则该直线的解析式是.4、把直线y=-x+3向上平移个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则的取值范围是.5、函数y=ax-2与y=bx+3的图象交于x轴上的一点，则=.6、一次函数y=(3a-7)x+a-2 的图象与y轴交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，求a的取值范围.7、正比例函数y=-kx的图象经过第一三象限，在函数y=(k-2)x 的图象上有三个点(x1 , y1 )、(x2, y2)、(x3, y3), 且x1 >x2 > x3时，贝» y1、y2、y3的大小关系为.&若直线y=kx+b交坐标轴于(-2,0) 、(0,3)两点，则不等式kx+b > 0的解集是.9、函数y= -x+3，当图象在第一象限时，x的取值范围是；当-1 < x < 3时，函数的最小值是.10、直线AB过点A (0,6 )、B (-3,0 ),直线D与直线AB相互垂直，且过点（0,1 ）.（1）求两直线的解析式；（2）求直线D与x轴的交点D 的坐标；（3）求直线AB上到y轴距离等于4的点的坐标；（4）求两直线的交点P的坐标；（5）求厶PAD的面积；（6）在y 轴上的是否存在点，使得S A PA=S^ PAD.11、点A为直线y=-2x+2上的点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标为.12、把Rt △ AB放在平面直角坐标系中，点A （1,0 ）、点B（ 4,0 ）, / AB=90°, B=5.将厶AB沿x轴向右平移，当点落在直线y=2x-6上时，求线段B扫过的面积.13、某工厂投入生产一种机器，当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x （单位：台）102030y （单位：万元/台）605550（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的50取值范围；(2)市场调查发现，这种机器每月销售量z (台)与售价a (万元/台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润. (注：利润=售价-成本)14、现从A, B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A, B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A地到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B地到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨.(1) 设从A地往甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：运往甲地(单位：吨)运往乙地(单位：吨)AxB(2) 设总运费为元，请写出与x的函数关系式；(3) 共有多少种运送方案？哪种方案运费最少？15、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1 (k),出租车离甲地的距离为y2 ( k),客车行驶时间为x ( h), y1 , y2 与x 的函数关系图象如图所示：(1)根据图象，求出y1 , y2关于x的函数关系式。
初中数学重点梳理：函数及其图像
函数及其图像知识定位函数是初中数学的重要内容，由于它题材丰富，又易成为多种数学思想方法的载体，因此，深受各级各类竞赛命题者的亲睐，成为近几年各地竞赛的热点问题之一．另外，函数中尤其以二次函数最为重要，综合性最强，对学生思维要求更高。
本文拟对函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括，仅供大家参考．知识梳理知识梳理1：正反比例函数及一次函数反比例函数和一次函数在竞赛中的考查通常会把函数图像和性质跟整数解问题、图形面积问题、动点构成的等腰三角形、直角三角形相结合，往往综合性较强，难度较大。
需要我们对函数图像，常见典型问题进行总结，对它们有比较深的认识，才能游刃有余地解决各类问题。
知识梳理2：二次函数1、二次函数的系数a 、b 、c 及相关代数式的取值问题抛物线y=ax 2+bx+c 中二次项系数a 描述抛物线的开口，a>0向上，a<0向下；常数项c 描述抛物线与y 轴的交点(0，c)，c>0时交点处x 轴上方，c<0时交点处x 轴的下方，c=0时时处原点；由对称轴公式x=－ab2知b 与a 一起来描述抛物线的对称轴；b 2－4ac 大于0，等于0或小于0，决定抛物线和x 轴交点的个数，等等．上面性质反之亦成立．我们还可以通过考察如x=±1时y 的值的情况，来确定a±b+c 等的符号问题．2、二次函数与整数问题二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数a 、b 、c 为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．3、二次函数的最值问题定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值)．如果顶点横坐标在区间内，则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值；如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值．定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值．4、二次函数的图象与面积问题求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积，关键是用含系数a、b、c的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a、b、c建立联系．5、二次函数及其图像的应用．有些方程及不等式等有关问题，直接求解十分困难，若能构造二次函数关系，借助函数图像使之形象化，直观化，以形助数，会简化求解过程．例题精讲【试题来源】【题目】已知一次函数y= kx + b，kb＜0，则这样的一次函数的图像必经过的公共象限有_____ 个，即第________象限。
函数与图像知识点总结
函数与图像知识点总结函数是数学中的一个重要概念，也是数学与现实世界联系最为密切的一个内容。
在数学中，函数是一种特殊的关系，它描述了一个集合中的每个元素和另一个集合中的一个元素之间的对应关系。
在现实世界中，函数广泛应用于各个领域，如物理、经济学、生物学等等，因此函数的理解和运用对于我们理解现实世界有着重要的作用。
函数的概念是非常常见的，我们在生活中随处可见。
比如，我们去买菜，每斤菜都是以一定的价格卖的，这里的价格和菜的重量就是一个函数关系；我们去买衣服，尺寸和价格也是一个函数关系；我们在学校学习，成绩和学习时间也是一个函数关系。
总的来说，函数就是一个输入和输出之间的对应关系。
函数可以用数学符号表达，通常用f(x)表示。
其中，x是自变量，f(x)是因变量。
函数f(x)表示，当自变量为x时，对应的因变量为f(x)。
比如，f(x)=2x+1就表示一个线性函数，它的自变量是x，因变量是2x+1。
这种函数就是一个简单的对应关系，我们可以根据自变量的不同求得相应的因变量。
函数还可以用图像表示。
在坐标系中，我们可以把函数的自变量和因变量分别作为x轴和y轴，那么函数的图像就是一条曲线。
比如，f(x)=x^2就是一个抛物线函数，它的图像是一个开口朝上的抛物线。
函数的图像可以直观地表示函数的性质，比如函数的增减性、奇偶性等等。
函数的知识点包括函数的定义、函数的性质、函数的图像、函数的运算、函数的应用等等。
接下来，我们将结合具体的知识点来详细介绍函数与图像的内容。
一、函数的定义函数的定义是函数与图像知识点的基础。
函数是一个对应关系，它满足每个自变量对应唯一的因变量。
函数的定义包括以下几个要点：1. 定义域定义域是指自变量的取值范围。
在函数中，自变量通常有一个合理的取值范围，超出这个范围函数就不成立了。
比如，对于函数f(x)=1/x，定义域就是x不等于0，因为分母不能为0。
2. 值域值域是指因变量的取值范围。
在函数中，因变量的取值通常有一个范围，也就是函数的输出。
《函数及其图像》知识点归纳
华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。
2．自变量的取值范围：（1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。
（2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。
（3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。
②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。
③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。
3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。
这里有三种类型的问题：（1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。
（2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。
（3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。
二．平面直角坐标系：1．各象限内点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0.（2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0.（3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0（4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0.2 ．坐标轴上的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0（2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征：（1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）.（2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.（3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：（1）点p （x,y ）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.（2）点p （x,y ）在第二，四象限夹角平分在线→x+y=05．与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：（1）位于平行于x 轴的直线上的所有点的纵坐标相同。
函数及其图像知识点
《函数及其图像》知识点一、函数的概念、变量〔自变量、因变量〕、常量的概念。
①变量：在某一函数变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。
②自变量：在某一函数变化过程中，主动变化的量的叫做自变量。
③因变量：在某一函数变化过程中，因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。
此时，我们也称因变量是自变量的函数④常量：在某一函数变化中，始终保持不变的量，叫做常量。
练习：在函数r cπ2=中，自变量是 ，因变量是 ，常量是 ， 叫做的函数。
二、函数的三种表示方法：①解析法：②列表法：三、函数自变量的取值范围：平面直角坐标系。
水平的数轴叫做横轴〔x 轴〕，取向右为正方向；铅直的数轴叫做纵轴〔y 轴〕，取向上为正方向；两条数轴的交点O 叫做坐标原点。
x 轴和y 轴将坐标平面分成四个象限〔如图〕:五、平面内点的坐标：〔横坐标，纵坐标〕如图：过点P 作x 轴的垂线段，垂足在x 轴上表示的数是2，因此点P 的横坐标为 2 过点P 作y 轴的垂线段，垂足在y 轴上表示的数是3，因此点P 的纵坐标为 3 所以点P 的坐标为〔2 , 3〕 六、平面内特殊位置的点的坐标情况：〔连线〕第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x 轴上 y 轴上 〔- ，-〕 〔- ，+〕 〔+ ，+〕 〔+ ，-〕 〔0 ，a 〕 (b , 0) 七、点的表示〔横坐标，纵坐标〕注意： ①不要丢了括号和中间的逗号；②表示的意思：当___x =时，___y =如点A 〔2，1〕 表示：当2x =时，1y =③注意x 轴上点的特征：(___,0)即纵坐标等于0;y 轴上点的特征：(0,___)即：横坐标等于0。
概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。
八、对称点的坐标关系：⑴关于x 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
y xO 第四象限第三象限第二象限第一象限⑵关于y 轴对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
⑶关于原点对称的点：横坐标 ，纵坐标 。
第17章函数及其图像知识点复习
第十七章 《函数及其图像》知识点一、函数的概念、变量（自变量、因变量）、常量的概念。
①变量：在某一函数变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。
②自变量：在某一函数变化过程中，主动变化的量的叫做自变量。
③因变量：在某一函数变化过程中，因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。
此时，我们也称因变量是自变量的函数④常量：在某一函数变化中，始终保持不变的量，叫做常量。
数关系式是2r sπ=例如：小强每分钟走100米，下表是小强走的路程同时间关系的列表： 例如：s 600500400300200100t654321★三、函数的定义域和值域：①函数的定义域是指自变量的取值范围。
②函数的值域是指因变量的取值范围函数解析式类型自变量取值满足的条件应用举例整式全体实数54+-=xy（x为任意实数）分式分母不为零二次（偶次）根式被开方数非负负指数幂和零指数幂底数不为02、[2019·重庆]根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是－2，若输入x的值是－8，则输出y的值是()A．5 B．10 C．19 D．213、如图，点P是长方形ABCD的AB边上一动点，连结CP.已知AB＝10 cm，AD＝4 cm，AP＝x cm，梯形APCD的面积为y cm2，那么以x为自变量时．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当AP＝5 cm时，梯形APCD的面积是多少？4．[2018·无锡]函数y＝2x4－x中自变量x的取值范围是()A．x≠－4 B．x≠4 C．x≤－4 D．x≤45．已知函数y＝3x－1，当x＝3时，y的值是()A．6 B．7 C．8 D．96、汽车由A地驶往相距120 km的B地，它的平均速度是30 km/h，则汽车距B地路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式及自变量t的取值范围是()A．s＝120－30t(0≤t≤4) B．s＝120－30t(t＞0) C．s＝30t(0≤t≤40) D．s＝30t(t＜4) 7．[2019春·洪江期末]若等腰三角形的周长为60 cm，底边长为x cm，一腰长为y cm，则y 与x的函数关系式及自变量x的取值范围是()A．y＝60－2x(0＜x＜60)B．y＝60－2x(0＜x＜30)C．y＝12(60－x)(0＜x＜60)D．y＝12(60－x)(0＜x＜30)8．[2018·黄冈]函数y＝x＋1x－1中自变量x的取值范围是()()2232≠--=xxxy()263≥-=xxy)1)101≠-≠++=-xxxxy且（（A ．x ≥－1且x ≠1B ．x ≥－1C ．x ≠1D ．－1≤x ＜1四、平面直角坐标系：在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系。
第17章 函数及其图象
知识点 函数的表示方法
棱长为a的小正方体,按照如图所示的方法一直
摆放下去,自上而下分别叫第1层,第2层,…,第n(n>0)层,第n层的小正方体 的个数记为S,则第n个图中第n层小正方体的个数S可用下表来表示:
知识点 函数的表示方法
第1个图有1层,共1个小正方体; 第2个图有2层,第2层共有小正方体的个数为1+2=3; 第3个图有3层,第3层小正方体的个数为1+2+3=6,…, 以此类推,第n个图有n层,第n层小正方体的个数为S=1+2+3+4+…+n=
知识点 一次函数的性质
(1)当k>0时,y随x的增大而增大,这时函数的图象从左向右呈现上升趋势.
知识点 一次函数的性质
(2)当k<0时,y随x的增大而减小,这时函数的图象从左向右呈现下降趋势.
知识点 一次函数的性质
由k,b的符号可以确定一次函数y=kx+b(k≠0)图象所经过的象限;反过来, 由一次函数y=kx+b(k≠0)图象所经过的象限也可以确定k,b的符号.
k
知识点 反比例函数y= x (k≠0)的图象和性质
双曲线教堂 伦敦著名的建筑事务所steynstudio,最近在南非,美丽的乡村庄园中完成 了一个惊艳世界的作品——双曲线建筑的教堂,建筑师通过双曲线的设 计元素赋予了这座教堂轻盈、极简和雕塑般的气质.
k
知识点 反比例函数y= x (k≠0)的图象和性质
知识点 平面直角坐标系内点的坐标特征
(2)平面直角坐标系中对称点的坐标特征:
知识点 函数的图象及其画法
“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:兔子和乌龟同时起跑后,领先的兔子看着慢慢 爬行的乌龟骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙 追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点……下面表示的是乌龟和兔子所行 的路程s与时间t的函数图象,你觉得这个图象与故事情节相吻合关概念
八年级数学下册 第章 函数及其图象 . 一次函数 一次函数的图像与坐标轴的交点
硬背．
第十一页，共十七页。
17.3.2 2 第 课时(kèshí) 一次函数的图象与坐标轴的交点
知识点二 实际(shíjì)问题中一次函数的图象
一次函数的图象可能是一条直线、一条线段，还可能是一条射 线、一条折线或一些离散的点，这全部取决于自变量的 ___取_值__范_围__(f_àn_wé_i)，因此在解题时应具体问题具体分析．
第十七页，共十七页。
第17 函数 及其图象 章
(hánshù)
17.3.2 第2课时
一次函数的图象(tú xiànɡ)与坐标轴的交点
第一页，共十七页。
第17章 函数(hánshù)及其图象
17.3.2 第2课时 一次函数 的图象 与坐标轴的交点 (tú xiànɡ)
知识目标 目标突破 总结反思
第二页，共十七页。
17.3.2 第2课时 一次函数的图象(tú xiànɡ)与坐标轴的交点
总结(zǒngjié)反思
知识点一 一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象与坐标轴的交点(jiāodiǎn)坐标的求法
1．由于 x 轴上的点的纵坐标为零，y 轴上的点的横坐标为零， 因此在求直线 y＝kx＋b 与 y 轴或 x 轴的交点坐标时，只需令 _x_＝__0或__y_＝_0__，即可分别求出直线 y＝kx＋b(k≠0)与 y 轴交点的纵 坐标或与 x 轴交点的横坐标．
1 ∴S△ABO＝2×2×4＝4.
第五页，共十七页。
17.3.2 第2课时(kèshí) 一次函数的图象与坐标轴的交点
【归纳总结】
直线y＝kx＋
与x轴的交点坐标为－bk，0；
b（k≠0）与坐标与y轴的交点坐标为（0，b）；
八年级第十七章《函数及其图象》知识点(1)
八年级第十七章《函数及其图象》知识点（1）八年级第十七《函数及其图象》知识点（1）一、变量与函数（一）函数的有关概念记忆性考点：1、函数的三种表达方式及其优劣性解析法（优点：简明规范，便于理解性质；缺点：求对应值需计算，不易看出变化情况）列表法（优点：对应关系清晰；缺点：不能列出所有对应值，不易看出规律）图像法（优点：形象直观，体现规律，方便研究；缺点：图象近似、局部）2、变量：自变量和因变量3、函数的概念特征：一个自变量只得一个因变量（反之，不一定成立）4、常量：包含符号和数字，注意有些表示数字的字母也是常量、函数的值和自变量的值例题1、在圆周长公式=2πR中，常量是，自变量是，因变量是2、下列关系中，不是x的函数的是（）A、=2x；B、= ；、||=x；D、=x2。
3、把x= 改写成是x的函数的形式是4、若函数=3x-2与=3-2x有相同的函数值，则自变量x的值是（二）函数表达式和自变量的取值范围1、函数的表达式：形如=-2x+3的形式（因变量单独在左边）注意两点：1、实际问题，一般要附加自变量的取值范围2、分段函数，一定要附加自变量的取值范围【分段函数，分段考虑】2、自变量的取值范围：根据表达式右边的五种形式分析①整式：取全体实数，②分式：分母不为零，③偶次根式：被开方数≥0，④a0：a≠0，⑤实际问题：具体分析（考虑要完整）例题1、一列火车以0千米/时的速度从甲地驶向距离100千米的乙地，它距离乙地的路程s（千米）是所用时间t（时）的函数，这个函数关系式可表示为．2、等腰三角形周长20，腰长x，底边长，则与x的函数关系式为，自变量x的取值范围是3、用3米长的篱笆围成一个长方形绿地，其中一边靠墙，墙长18米，若篱笆平行墙的一边长为米，垂直墙的一边长为x米，则与x之间的函数关系式是，自变量的取值范围是4、如图，用三角形摆图案：第1层图需要1个三角形，第2层图需要3个三角形，第3层图需要7个三角形，4层图需要13个三角形……第100层图需要个三角形．作业宝、函数= 中自变量的取值范围是6、如图是某长途汽车站旅客携带行李费用示意图,试说明收费方法,并写出行李(元)与行李重量(千克)之间的函数关系式第6题第7题第8题7、如图，在矩形ABD中，AB=4，B=7，P是B边上与B点不重合的动点，过点P的直线交D的延长线于R，交AD于Q（Q与D不重合），且∠RP=4°，设BP=x，梯形ABPQ的面积为，求与x之间的函数关系，并求自变量x的取值范围．8、如图，等腰直角△AB的直角边长与正方形NPQ的边长均为10 ，A与N在同一直线上，开始时A点与点重合，让△AB向右运动，最后点与N点重合试写出重叠部分面积2与A长度x 之间的函数关系式二、函数的图象（一）平面直角坐标系理解性考点（可借用画图分析）：点的坐标、各个象限中点的符号、坐标轴上点的特点、点到坐标轴的距离、平移点、坐标系中点的对称关系记忆性考点（理解的基础上记忆）：1、中点公式（, ）2、两点间线段的长度（公式AB= ）3、到两坐标轴距离相等的点：在第一三象限夹角平分线（即直线=x）上或在第二四象限夹角的平分线上4、两句“一一对应”：数轴上的点和全体实数一一对应；平面直角坐标系中的点和有序实数对一一对应例题：1、若点P(x，x+3)在第二象限，则的取值范围是2、点P（3+1，4-）在轴上，则=3、第四象限的点P（3+1，4-）到x轴的距离等于2，则=4、已知点A（，a-1），B（b+3,2）在第一三象限的角平分线上，则点A向上平移个单位后的点的坐标是，点A关于x轴的对称点的坐标是，点B关于原点的对称点的坐标是，线段AB的中点坐标是，线段AB的长度是、平面直角坐标系中，四边形ABD顶点的坐标分别为A（0，0）、B （9，0）、（7，）、D（2，7）．求四边形ABD的面积．6、坐标系中点A（1,0）、B（0，-1），点在坐标轴上，且△AB是等腰三角形，求满足条的点的坐标【等腰三角形已知两顶点，求第三个顶点：①两个顶点有一个是顶角顶点，则以顶点为圆心，腰长为半径画圆，圆上满足其他条的点即为所求；②两个顶点都是底角顶点，则作底边线段的垂直平分线，垂直平分线上满足其他条的点即为所求】7、如图放置的△AB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，点A在x轴上，点，B1，B2，B3，…都在直线l上，则点A201的坐标是__(2017，201 )__．（二）画函数图象：记住步骤（如非画图题，一般画简图，即直接画图）步骤：列表（注意自变量的取值范围，如在全体实数，一般在“正、0负”要均匀分布）描点（注意别弄错象限）连线（先用铅笔勾线，最后描黑，注意延伸方向）注意：如果自变量有限定范围的一般把整条线画出（方便研究）；画一次函数图象（直线、线段、射线）只需取两个点（一般取在坐标轴上点）三种图象：一次函数（含正比例函数）图象是一条直线反比例函数图象是双曲线二次函数图象是一条抛物线（三）从函数图象中获取信息关键：根据特征点坐标，结合实际意义理解、进行有关计算、根据关系写出函数表达式（含自变量取值范围）例题1、一段笔直的公路A长20千米，如图所示是甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发跑到点。
九年级数学函数和图像知识点
九年级数学函数和图像知识点数学作为一门基础学科，对于九年级的学生来说，其中的数学函数和图像知识点显得尤为重要。
掌握这些知识点对学生未来的学习和应用都具有重要意义。
本文将深入探讨数学函数和图像的相关概念和应用，以帮助学生更好地理解和应用。
一、函数的定义和性质函数是数学中常见的一个概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。
在数学中，一个函数通常表示为 y = f(x)，其中 x 和 y 分别代表自变量和因变量，f 表示对应的关系。
函数有许多性质，最基本的包括单调性、奇偶性、周期性和零点等。
1.1 单调性函数的单调性描述了函数图像随着自变量的增大或者减小的趋势。
当函数图像随着自变量的增大而增大，或者随着自变量的减小而减小时，我们称该函数为单调递增函数；当函数图像随着自变量的增大而减小，或者随着自变量的减小而增大时，我们称该函数为单调递减函数。
1.2 奇偶性函数的奇偶性描述了函数图像关于坐标轴的对称性。
当函数图像关于 y 轴对称时，我们称该函数为偶函数；当函数图像关于原点对称时，我们称该函数为奇函数。
1.3 周期性周期性是函数的另一个重要性质，它描述了函数图像在一定的变换下重复出现的规律性。
常见的周期函数有正弦函数、余弦函数等。
周期函数的图像在一定的区间内重复变化，这个区间称为周期。
1.4 零点函数的零点是指因变量 y 等于零时的自变量值 x。
求解函数的零点可以帮助我们找到函数的交点、解方程等问题。
二、函数的图像及其性质了解函数的图像及其性质对于理解函数的变化规律非常重要。
2.1 一次函数一次函数的图像是一条直线，具有形如 y = kx + b 的表达式。
其中 k 代表斜率，b 代表截距。
斜率决定了函数图像的倾斜程度，正斜率对应上升的直线，负斜率对应下降的直线。
2.2 二次函数二次函数的图像是一个抛物线，具有形如 y = ax^2 + bx + c 的表达式。
其中 a 决定了抛物线的开口方向，正数表示开口向上，负数表示开口向下。
八年级第十七章《函数及其图象》知识点
.精品文档.八年级第十七章《函数及其图象》知识点八年级第十七《函数及其图象》知识点（2）一、一次函数（一）一次函数的概念：形如y=kx+b （其中k工0）,两个特征：①k工0，②x的次数为1正比例函数的概念：当b=0时的一次函数成为正比例函数，此时称y与x成正比例【注意】两个变量成正比例，即y=kx.例题1、若函数y=（-1）x|| 是一次函数，则=.2、若y-1与x+3成正比例，且当x=1时，y=2，求y与x 的函数关系式.（二）一次函数的图象及其性质：y=kx+b （" 0）1、一次函数的图象是一条直线，故使用待定系数法求直线解析式时一般需要两个点.特殊直线：直线y=x或直线y= -x上的点到两坐标轴距离相等.2、一次函数的性质（与系数k、b相关）① k决定着函数的增减性当k > 0时，y随x的增大而增大（增函数），必过第一三象限当k v 0时，y随x的增大而减小（减函数），必过第二四象限② b决定着直线与y轴交点的位置：在原点的基础上“上加下减”当b=0时，必过原点；当b>0时，沿y轴向上平移；当b v 0时，沿y轴向下平移.补充口诀：上加下减改变b, y=kx+b —y=kx+b+左加右减改变x, y=kx+b —y=k（x+）+b③斜率k的性质：平移k不变；|k|越大，直线的倾斜程度越大；k=【可用于待定系数法求解析式中的k 1④截距b的性质：与y轴交点（0, b）,与x轴交点（, 0）⑤四种特殊位置关系的直线：两直线平行k相等；两直线相互垂直--> k1 • k2= -1 ；两直线关于x轴对称--> k与b均互为相反数；两直线关于y轴对称k互为相反数，b相等.⑥点（x0, y0）到直线ax+by+=0的距离d公式：d=（三）一次函数的应用1、解题关键：点的坐标，尤其是交点的坐标三种交点：①与x轴交点，y坐标为0,即（x, 0）②与y轴交点，x坐标为0,即（0, y）③两个图象的交点：联立解析式，方程组的解即为交点的x坐标和y坐标2、解题思路：①与三角形全等、直角三角形、面积、周长、线段有关的问题均转化为点的坐标【数形结合很重要，注意运用“全等（含对称）、勾股定理、等面积法（含同底等高）”等知识】②求函数解析式（含求函数值或自变量的值）均用待定系数法，其中k、b注意利用性质求得.【待定系数法思路：几个未知系数，就用几个条件构造方程】③比较大小的三种方法：【含两种方案的比较问题】代入计算法（对函数解析式已知的题目适用）增减性分析法（对k的符号已知的适用）图象分析法（对能画出大致图形的适用，借助交点和坐标轴分析）④最值问题（如最大利润）：先求出自变量的取值范围（常以“有几种方案”的问题出现，需根据题意列不等式组求出）；再列出关于利润的函数表达式（要化简整理成y=kx+b 的形式），最后根据增减性结合具体方案（自变量取值范围），找出最值.⑤行程问题（常以两车同向或相向为背景）图象交点的意义：两车相遇(或追上)两车的距离即为：s=y1-y2例题1、已知直线y=(k+2)x+k2-4 的图象经过原点，贝U k=.2、若一次函数y=(k+2)x-2k+3的图象不经过第四象限，则k的取值范围是.3、已知直线平行于直线y=2x，且与y轴交点到原点的距离为2,则该直线的解析式是.4、把直线y=-x+3向上平移个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则的取值范围是.5、函数y=ax-2与y=bx+3的图象交于x轴上的一点，则=.6、一次函数y=(3a-7)x+a-2 的图象与y轴交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，求a的取值范围.7、正比例函数y=-kx的图象经过第一三象限，在函数y=(k-2)x 的图象上有三个点(x1 , y1 )、(x2, y2)、(x3, y3), 且x1 >x2 > x3时，贝» y1、y2、y3的大小关系为.&若直线y=kx+b交坐标轴于(-2,0) 、(0,3)两点，则不等式kx+b > 0的解集是.9、函数y= -x+3，当图象在第一象限时，x的取值范围是；当-1 < x < 3时，函数的最小值是.10、直线AB过点A (0,6 )、B (-3,0 ),直线D与直线AB相互垂直，且过点（0,1 ）.（1）求两直线的解析式；（2）求直线D与x轴的交点D 的坐标；（3）求直线AB上到y轴距离等于4的点的坐标；（4）求两直线的交点P的坐标；（5）求厶PAD的面积；（6）在y 轴上的是否存在点，使得S A PA=S^ PAD.11、点A为直线y=-2x+2上的点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标为.12、把Rt △ AB放在平面直角坐标系中，点A （1,0 ）、点B（ 4,0 ）, / AB=90°, B=5.将厶AB沿x轴向右平移，当点落在直线y=2x-6上时，求线段B扫过的面积.13、某工厂投入生产一种机器，当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x （单位：台）102030y （单位：万元/台）605550（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的50取值范围；(2)市场调查发现，这种机器每月销售量z (台)与售价a (万元/台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润. (注：利润=售价-成本)14、现从A, B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A, B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A地到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B地到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨.(1) 设从A地往甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：运往甲地(单位：吨)运往乙地(单位：吨)AxB(2) 设总运费为元，请写出与x的函数关系式；(3) 共有多少种运送方案？哪种方案运费最少？15、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1 (k),出租车离甲地的距离为y2 ( k),客车行驶时间为x ( h), y1 , y2 与x 的函数关系图象如图所示：(1)根据图象，求出y1 , y2关于x的函数关系式。
函数及其图像总结知识点
函数及其图像总结知识点函数的图像是函数表示的一种形式，它是函数在坐标系中的图形表示。
函数的图像可以帮助我们更直观地理解函数的特点和性质。
在学习函数的过程中，函数的图像是一个非常重要的知识点。
本文将总结函数的相关知识点，以帮助读者更好地掌握这一重要的数学概念。
一、函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系。
如果存在一种依赖关系，使得除了x以外，对每个x都只有唯一的y和y唯一对应某个x，那么就称这种依赖关系为函数。
函数的符号表示通常是f(x)或者y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的输出范围。
二、常见函数1. 线性函数：y=ax+b，其中a和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的斜率，常数b决定了直线的截距。
线性函数是最简单的函数之一，它们在数学建模中有着广泛的应用。
2. 二次函数：y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数且a不等于0。
二次函数的图像是一条抛物线，开口向上或向下取决于a的正负。
二次函数在物理学、工程学等领域有着重要的应用。
3. 指数函数：y=a^x，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的图像是一条逐渐增长或逐渐减小的曲线。
指数函数在自然科学和经济学中有着广泛的应用。
4. 对数函数：y=loga(x)，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像是一条渐进线，对数函数能够将指数函数的性质转化为更容易理解的形式。
5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数在物理学、工程学和天文学中有着重要应用。
以上函数是常见的、在数学教育中重点研究的函数。
这些函数具有各自的特点和性质，通过学习这些函数，我们可以更好地理解数学中的各种问题，并且为进一步学习高等数学课程打下扎实的基础。
三、函数的性质1. 奇函数和偶函数：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
通过奇偶函数的性质，我们可以推导出一系列关于函数图像的对称性质，以及某些函数值的简化表示。
八年级数学下册第17章函数及其图象17.3一次函数3一次函数的性质课件新版华东师大版
You made my day!
(1)当x=-1时，y=0. (2)当y=1时，x=0. (3)当x>-1时，y>0. (4)x取任意实数，y都随x的增大而增大.
【总结提升】函数图象或增减性确定k，b的符号 (1)由函数图象确定k，b的符号： ①确定k的符号：当函数图象过第一、三象限时，k>0；当函 数图象过第二、四象限时，k<0. ②确定b的符号：当函数图象交y轴正半轴时，b>0；当函数图 象交y轴负半轴时，b<0；当函数图象过原点时，b=0.
在图②中我们看到：当一个点在直线上从左向右移动(自变量x 从小到大)时，它的位置在逐步从_高__到_低__变化(函数y的值从 _大__变到_小__)——图象自左向右是_下__降__的，函数值y随自变量x 的增大而_减__小__.
【总结】一次函数y=kx+b(k≠0)的性质： (1)当k>0时，y随x的增大而增__大___，这时函数图象从左到右 __上__升_. (2)当k<0时，y随x的增大而减__小___，这时函数图象从左到右 _下__降__.
【想一想错在哪？】直线y= 1 x +2与x轴、y轴分别交于A，B
2
两点，D是x轴上一点，坐标为(x，0)，△ABD的面积为S． (1)求点A和点B的坐标. (2)当S=12时，求点D的坐标.
提示：忽略了点D在点A左侧的情况而出错.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月23日星期三2022/3/232022/3/232022/3/23 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/232022/3/232022/3/233/23/2022 •3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/232022/3/23March 23, 2022
第17章 函数及其图象
第17章 函数及其图象基础过关知识点一：变量与常量1. 如果直角三角形中的一个锐角的度数为α，那么另一个锐角的度数β与α的关系式是αβ-=090.在这个变化关系中， 是变量， 是常量。
2. 如果某种报纸的单价为a 元，x 表示购买这种报纸的份数，那么购买报纸的总价y (元)与x 之间的关系是ax y =.在这个变化关系中， 是变量， 是常量。
3. 圆的面积公式2r S π=中 是变量， 是常量。
4. 对于圆的周长公式r C π2=，下列说法正确的是( )A ．C 是常量，2是变量，π和r 是变量；B ．C 是常量，2是常量，π和r 是变量； C ．C 和r 是变量，π和2是常量；D ．C 和r 是变量， 2是常量，π是变量；知识点二：函数5. 下列各题中， 是函数关系(填序号)。
①在一定的时间内，匀速运动所走的路程和速度；②在平静的湖面上，投入一粒石子，泛起的波纹的周长与半径；③3+x 与x ； ④三角形的面积一定，它的一边和这边上的高； ⑤正方形的面积和梯形的面积； ⑥水管中水流的速度和水管的长度；⑦圆的面积和它的周长； ⑧底是定长的等腰三角形的周长与底边上的高． 6. 计划花500元购买篮球，所能购买的总数n (个)与单价a (元)的函数关系式为 ，其中 是自变量， 是因变量． 7. 下列说法不正确的是( )A ．在某日的气温变化图中，温度是时间的函数；B ．在银行利率表中，定期存款利率是存期的函数；C ．长方形的长是宽的函数；D ．圆的半径是其面积的函数；8. 下列关系式中，y 不是x 的函数的是( )A ．2x y =B ．x y =2C ．x y =D ．122-=x y9. 下列各式中，y 不是x 的函数的是( )A ．521-=x y B ．x y 2= C ．x y =+53 D ．82+=x y知识点三：列函数关系式10. 电信公司的某种市话收费标准为：前3分钟(不足3分钟按3分钟计)收费0.2元，3分钟后每分钟收0.1元，则一次通话费用y (元)与这次通话时间x (分)(3>x )之间的关系式为 。
函数图像知识点总结
函数图像知识点总结一、基本概念函数图像是指表示函数在平面直角坐标系中的图形。
对于一元函数 f(x)，其图像可以在平面直角坐标系中用曲线表示。
函数图像的形状和特征可以帮助我们更直观地理解函数的性质和行为。
二、函数图像的绘制1. 确定定义域和值域：在绘制函数图像之前，首先要明确函数的定义域和值域，以便确定图像的范围。
2. 描点法：通常利用描点法来绘制函数图像。
具体来说，选择一些横坐标值，计算对应的纵坐标值，并将这些点在平面直角坐标系上连接起来，就得到了函数的图像。
3. 利用导数：对于一些特定的函数，可以通过求导数的方式来画出函数的图像。
导数可以给出函数的斜率的变化情况，进而可以描绘出函数的图像。
三、函数图像的性质1. 奇偶性：若函数 f(x) 满足 f(-x) = f(x)，则称其为偶函数；若满足 f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。
奇偶性可以决定函数图像的对称性。
2. 增减性：函数的增减性可以通过导数的正负性来判断，从而可以描绘出函数图像的涨跌趋势。
3. 极值和拐点：函数图像在极值点处可能出现极大值或极小值，拐点处则可能出现函数图像的拐角。
四、常见函数图像1. 一次函数：y = kx + b，其图像为一条直线，具有斜率和截距的特点。
2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其图像为抛物线，具有顶点和开口方向的特点。
3. 指数函数：y = a^x，其图像为一条逐渐增长或逐渐减小的曲线，具有指数增长的特点。
4. 对数函数：y = log_a(x)，其图像为一条逐渐变缓的曲线，具有对数增长的特点。
五、函数图像的应用1. 函数的性质分析：通过函数图像，可以更加直观地了解函数的奇偶性、增减性、极值点等性质。
2. 优化问题：在数理求解、工程优化等领域，函数图像可以帮助我们找到函数的最大值、最小值等优化问题。
3. 理解函数变化：函数图像可以展示函数曲线的变化趋势，帮助我们更好地理解函数的变化规律。
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写在前面从2018年正月十三开始,直到今天,第十七章的部分内容终于呈现在了大家面前.虽是部分内容,但却耗费了我大量的心血,希望你们倍加珍惜,好好利用,细心钻研,以期学好函数.本书力求体现以下特点:一、聚焦知识核心,概括重点和难点.注重知识的形成过程,在探究活动中得出结论.要求学生知其然,还要知其所以然.二、选题精炼,题型新颖.题型多样,覆盖面广.三、能力提高训练,启迪思维.四、思想指导方法,本书注重数学思想的培养,同时提高你们的逻辑思维和逻辑推理能力.在编写本书的过程中,虽力求完美,但由于时间仓促,还是难免出现纰漏.这里要特别感谢我们十班的吴梦、贾环宇两位数学课代表,以及娄琳同学,他们及时发现了书中存在的不足和错误之处,帮助我提高了本书的质量,使得部分内容得以改进.最后,祝我亲爱的同学们发挥自身能力,积极面对各种挑战,成就自己的梦想!2018.3.9第17章 函数及其图象的学习及知识点清单一．本章介绍【本章重点】函数的概念,一次函数和反比例函数的概念、图象和性质.【本章难点】函数的概念,运用函数的图象和性质解决生活、生产中的一些实际问题.【本章考点】一次函数与反比例函数的相关知识是常考内容,尤其是以解答题形式考查用待定系数法求函数的关系式,同时,一次函数与反比例函数也常与其他知识相结合,以压轴题的形式呈现,难度较高.【学法指导】1. 学习本章内容要善于利用数形结合思想,通过平面直角坐标系这座桥梁,寻找点与坐标之间的关系,理解满足表达式的点与函数图象的关系.2. 会用待定系数法求一次函数和反比例函数的表达式,并用其解决一些实际问题.3. 通过探究和实践,深刻理解一次函数与反比例函数的性质.4. 加强前后知识之间的联系,体会函数的统领作用.5. 在解决一些实际问题时,建立一次函数模型,会利用一次函数的性质得出解决问题的最佳方案或方法.【知识点清单】一、变量与常量在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量;取值始终保持不变的量,叫做常量.注意:（1）变量与常量是对“在某一变化过程中”而言的,因而是相对的.同一个量在某一变化过程中是常量,而在另一变化过程中可能是变量,所以变量和常量是由问题的条件决定的.例如,在vt s 中,若v 确定,则t s ,是变量;若t 确定,则v s ,是变量.（2）离开具体的变化过程,讨论一个量是变量还是常量是不可以的,也是毫无意义的.（3）判断变量和常量的方法: 数值是否发生变化是判断一个量是变量还是常量的重要依据.区分变量与常量,就是看在某个变化过程中,该量的值是否可以改变（即是否会取不同的数值）.1. 已知△ABC 的底边BC 的长为a ,BC 边上的高为h ,△ABC 的面积为S ,则有ah S 21=,在以下三种情况下,指出变量与常量: （1）面积S 一定;（2）底边BC 的长a 一定;（3）高h 一定.分析:常量与变量是相对的,并不是一成不变的,在某个变化过程中是常量,而在另一变化过程中可能是变量,所以讨论一个量是常量还是变量不能离开具体的变化过程.解:（1）当面积S 一定时,S ,21是常量,h a ,是变量; （2）当底边BC 的长a 一定时,a ,21是常量,h S ,是变量; （3）当高h 一定时,h ,21是常量,a S ,是变量. 2. 对于圆的周长公式π2=C r ,下列说法中正确的是 【 】（A ）π,r 是变量,2是常量 （B ）r 是变量,π是常量（C ）C 是变量,π,r 是常量 （D ）C,r 是变量,2,π是常量二、函数的概念一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量,例如x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对应,我们就说x 是自变量,y 是因变量,此时也称y 是x 的函数. 注意:（1）自变量与因变量用哪个字母表示都可以,但通常用x 表示自变量,用y 表示因变量.（2）注意函数定义中的关键词“每一个”、“唯一”, “每一个”是指自变量在其取值范围内要能取所有的值, “唯一”表示当自变量x 取值后,y 只有一个值与之对应,不会出现两个或两个以上的值与之对应,另外,也可以出现多个自变量x 的值对应一个因变量y 的值的情况（即一对一或多对一,但不能一对多）.（3）函数是定义在一个变化的过程上的.（4）目前我们学习的函数只有两个变量.（5）每一个x 的值对应一个y 的值,但不同的x 值,y 的值可以相同,即y 不必对应一个x 值.如2x y =,当1=x 时,1=y ;当1-=x 时,1=y .（6）判断一个等式是否为函数关系式时,应满足两个特征:①必须有两个变量,其中一个变量的值随着另一个变量的值的变化而变化;②给定其中一个变量的值,可以相应地确定另一个变量的值.如果给定的是自变量的值,求出的因变量的值必须是唯一的.3. 如图所示的曲线中不能表示y 是x 的函数关系的是 【 】（A ） （B ） （C ） （D ）4. 下列关系中,y 不是x 的函数的是 【 】（A ）x y 23-= （B ）xy 1= （C ）2x y = （D ）x y =5. 下列图象中,表示y 是x 的函数的个数是 【 】（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个三、函数的三种表示方法表示函数关系的方法有三种:（1）解析法 用数学表达式（等式）来表示函数关系的方法.该关系式称为函数关系式,也称函数解析式.（2）列表法 把自变量的值和与之对应的函数值列成表格来表示函数关系的方法.（3）图象法 用图象来表示函数关系的方法.它的优点是能形象、直观地显示出函数的变化规律,为研究函数的性质提供了方便.注意:（1）我们把用来表示函数关系的数学式子叫做函数关系式,也称为函数表达式、函数解析式.（2）函数的三种表示方法各有优点,但也都存在不足,所以在研究函数时通常把三种方法结合起来.在以后的学习中,主要研究函数的图象和性质,求出函数的关系式（解析式）.四、函数自变量的取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围.求自变量的取值范围一般从两个方面考虑:（1）使函数关系式有意义;（2）符合客观实际.确定自变量的取值范围的方法:（1）如果函数关系式的右边是关于自变量的整式,则自变量的取值范围是全体实数.例如函数1-=x y ,自变量x 的取值范围是全体实数.（2）如果函数关系式的右边是分式,则自变量的取值范围是使分母不等于零的所有实数.例如函数12-=x y ,自变量x 的取值范围是1≠x . （3）如果函数关系式的右边包含二次根号,则自变量的取值范围是使被开方数为非负数.例如函数2-=x y ,自变量x 的取值范围是x ≥2.（4）如果函数关系式是有具体问题建立的,则自变量的取值范围不但要使函数关系式有意义,还要符合实际意义.例如函数2x y =,自变量x 的取值范围是全体实数,如果x 表示正方形的边长,y 表示正方形的面积,则自变量x 的取值范围就变成了0>x （边长不能为负数）.（5）有些函数自变量的取值范围是以上情况的综合,需进行多方面的考虑. 例如函数21-=x y ,自变量x 应满足两个条件:一是满足分母不等于零,二是保证被开方数为非负数,所以得到关于自变量的不等式组⎩⎨⎧≥-≠-0202x x ,求得自变量x 的取值范围是2>x .6. 求函数131-+-=x x y 中的自变量x 的取值范围. 分析:本题中,自变量x 的取值范围应同时满足分母()3-x 不等于零和被开方数()1-x 为非负数.解:⎩⎨⎧≥-≠-0103x x 解这个不等式组得:x ≥1且3≠x .∴自变量x 的取值范围是x ≥1且3≠x .7. 函数xx y 2+=的自变量x 的取值范围是__________. 8. 函数413-+-=x x y 中自变量x 的取值范围是__________. 9. 在函数x xy -=1中, 自变量x 的取值范围是__________.10. 下列函数中,自变量的取值范围是2>x 的是 【 】（A ）2-=x y （B ）21-=x y （C ）12-=x y （D ）121-=x y11. 函数21--=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________.12. 下列函数中,自变量的取值范围错误的是 【 】（A ）2-=x y （x ≥2） （B ）11+=x y （1-≠x ） （C ）22x y =（x 取全体实数） （D ）31+=x y （x ≥3-）13. 在函数24-++=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________.14. 已知等腰三角形的周长为20,求底边长y 与腰长x 的函数关系式及自变量的取值范围.分析:本题为易错题,考虑问题不全面导致自变量的取值范围不完整.解决本题要注意两个问题:（1） 边长不能为负数;（2）三角形三边之间的关系.解:由题意得:202=+y x∴y 与x 之间的函数关系式为x y 220-=∵⎪⎩⎪⎨⎧->+>->x x x x x 22002200∴自变量x 的取值范围是105<<x .15. 已知等腰三角形的周长为12 cm,底边长y （cm ）是腰长x （cm ）的函数.（1）写出这个函数关系式;（2）求自变量x 的取值范围.专题 自变量的取值范围受哪些因素的影响求函数自变量的取值范围是学习数学的难点,也是历年来中考的热点,那么,如何确定自变量的取值范围呢?一般情况下,可以遵循以下原则:如果函数解析式是整式,则自变量的取值范围是全体实数（整式型）16. 函数12+=x y 中,自变量x 的取值范围是__________.分析:因为函数解析式的右边12+x 是整式,所以自变量x 的取值范围是全体实数.17. 函数122-+=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________.如果函数解析式含有分式,则自变量的取值范围是使分母不等于零的实数（分式型）18. 在函数11-=x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 分析:因为11-x 是分式,所以要求分母不等于零,即01≠-x . 19. 函数52-=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 如果函数解析式中含有二次根式,则自变量的取值范围是使被开方数为非负数的实数20. 函数3-=x y 中自变量x 的取值范围是__________.分析:因为3-x 为被开方式,要求被开方式为非负数,所以3-x ≥0,解得x ≥3.21. 函数1+-=x y 中,自变量x 的取值范围是__________.如果函数解析式中含有零指数幂或负整指数幂,则自变量的取值范围是使底数不等于零的实数（指数型）22. 函数()221+-=-x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 分析:因为函数解析式中含有负整指数幂,所以要求底数02≠-x ,即2≠x . 实际上,()221+-=-x y ,即221+-=x y . 23. 函数()202-++=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 如果函数解析式兼有上述两种或两种以上的结构特点,则先按上述方法分别求出它们的取值范围,再求它们的公共部分（综合型）24. 函数()023---=x x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 25. 函数31--=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 26. 函数24-++=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________.自变量的取值范围必须符合客观实际,必须使实际问题有意义（如边长不能为负、人数不能为小数等）27. 某小汽车的油箱可装汽油30升,原装有油10升,现加x 升汽油,如果油价为5元/升,求油箱内汽油的总价y （元）与x （升）之间的函数关系式,并求出自变量x 的取值范围.分析:本题先求出函数关系式,再由关系式和实际意义确定自变量的取值范围. 解:由题意得:()105+=x y∴505+=x y∵油箱原有油10升,油箱容量为30升∴自变量x 的取值范围是0≤x ≤20.（也可以是x <0≤20）总结 在确定函数关系式时,要写成关系式的左边是因变量,右边是含自变量的代数式的形式.确定函数关系式 在确定实际问题的函数关系式时,首先要分析、理解题意,把实际问题转化为数学问题,建立数学模型,探索函数与自变量之间的关系,用含自变量的代数式表示函数.28. 某台拖拉机油箱中有油60升,工作时每小时耗油6升.（1）求出拖拉机油箱中的剩余油量Q （升）与工作时间t （小时）之间的函数关系式;（2）求出自变量t 的取值范围;（3）当拖拉机工作3小时后,油箱中还剩多少升油?五、函数值对于自变量在取值范围内的每一个确定的值,函数都有唯一的值与之对应,这个对应值就叫做函数值.例如函数12-=x y ,其自变量的取值范围为全体实数,当1=x 时,1=y ,1=y 就是当1=x 时的函数值.注意:（1）若给出的是函数解析式,求函数值就是求含自变量的代数式的值.（2）若给出的是函数解析式,已知函数值,求自变量的值,就是解关于自变量的方程.（3）可以得出,函数值与自变量的值具有对应关系.29. 已知函数342+-=x x y ,求: （1）当1,1-=x 时的函数值;（2）当31,0=y 时,自变量x 的值. 解:（1）当1=x 时,2131412342-=+-⨯=+-=x x y ; 当1-=x 时,3314)1(2342-=+---⨯=+-=x x y ; （2）当0=y 时,0342=+-x x ,解之得2=x ,经检验,2=x 是原分式方程的解; 当31=y 时,31342=+-x x ,解之得3=x ,经检验,3=x 是原分式方程的解. 已知自变量的值求对应的函数值实际上是求相关代数式的值,已知函数值求自变量的值实际上是解关于自变量的方程.30. 已知函数545-+-=x x x y . （1）求自变量x 的取值范围;（2）求当1=x 时的函数值.31. 一般情况下,海拔每上升1 km,温度下降6℃,某时刻,某地面的温度为20℃.设高出地面x（km）处的温度为y（℃）.（1）写出y与x之间的函数关系式;（2）已知某山峰高出地面约500 m,这时山顶的温度大约是多少?（3）此刻,有一飞机飞过该地上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为34-℃,求飞机离地面的高度为多少千米.六、求函数关系式的特殊情况:分段函数对于同一函数关系,当自变量的取值范围不同,函数的关系式也不相同时,这样的函数称为分段函数.注意:（1）分段函数是同一个函数,不是多个函数.（2）求分段函数的关系式时,应在每个关系式的后面注明相应的自变量的取值范围.（3）求分段函数的函数值时,应看自变量的值在哪个取值范围内,然后代入相应的关系式求值.32. 若函数()()⎩⎨⎧<≥+=412xxxxy,则当2=x时,函数y的值是【】（A）5 （B）6 （C）7 （D）8分析:这是关于分段函数的问题.因为2=x在x≥0的范围之内,所以对应的函数值应把2=x 代入函数关系式12+=x y 求得. 解: ∵02>∴当2=x 时,5122=+⨯=y . 故选【 A 】.33. 若函数()()⎩⎨⎧>≤+=22222x x x x y ,则当8=y 时,自变量x 的值是 【 】（A ）6± （B ）4 （C ）6±或4 （D ）4或6- 分析:注意分类讨论以及自变量相应的取值范围.票价问题34. 某风景区集体门票的收费标准是20人以内（含20人）,每人25元;超过20人,超过的部分每人10元.（1）写出应收门票费y （元）与游览人数x （人）之间的函数关系式; （2）利用（1）中的函数关系式,计算某班54名学生去该风景区游览时,购门票共花了多少元.分析:（1）,这是分段函数,分两种情况讨论:x ≤20,20>x ;（2）求出函数关系式后,根据自变量的取值范围把54=x 代入相应的函数关系式求值即可.解:（1）()()()⎩⎨⎧>-+⨯≤=20201020252025x x x x y整理得:()()⎩⎨⎧>+≤=20300102025x x x x y ; （2）∵2054>=x8403005410=+⨯=y （元）.答:购门票共花了840元.出租车计费问题35. 某市出租车的计费标准如下:行驶路程不超过3千米,收费8元;行驶路程超过3千米的部分按每千米1. 6元计算,则该市出租车收费y （元）与行驶路程x （千米）()3x之间的函数关系式为____________;若某人一次乘出租车时,付费14. 4>元,则他这次乘坐了_________千米的路程.分析:本题中,若无条件3x的限制,则y与x之间的函数关系式为___________.>邮资问题36. 小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃,快递时,他了解到这个公司除了收取每次6元包装费外,樱桃不超过1 kg收费22元;超过1 kg,则超出部分按每千克10元加收费用.设该公司从西安到南昌快寄樱桃的费用为y（元）,所寄樱桃为x（kg）.（1）求y与x之间的函数关系式;（2）已知小李给外婆快寄了2. 5 kg樱桃,请你求出这次快寄的费用是多少元.37. 某实验中学组织学生到距学校6 km的光明科技馆去参观,学生王琳因有事没能乘上学校的校车,于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆,出租车的收费标准如下:（1）写出出租车行驶的路程x（km）（x≥3且x为整数）与费用y（元）之间的函数关系式;（2）王琳身上仅有14元,乘出租车到光明科技馆的车费够不够?请说明理由.38. 用火柴棒按如图所示的方式搭成一行三角形.（1）观察图形规律,填写下表:（2）照此规律搭下去,搭n 个三角形时,需火柴棒__________根;（3）若用S 表示火柴棒总数,n 表示三角形个数,则S 关于n 的函数关系式是____________;（n 为大于或等于3的正整数） （4）S 的值可能为24吗?为什么?程序框图39. 如图,根据所示程序计算,若输入3 x ,则输出结果为_________.分析:根据自变量的值,读懂程序图,选择正确的函数关系式进行计算.40. 已知函数()()⎩⎨⎧>-≤+=02012x x x x y ,若10=y ,则=x _________.七、新题型41. 下列函数中,表示同一函数的一组是 【 】 （A ）x y =与()2x y =（B ）x y =与xy 1=（C ）x y =与2x y = （D ）x y 2=与xx y 22=分析:这是函数相等的问题.结论 如果两个函数的解析式相同,且自变量的取值范围也相同,那么这两个函数相等.42. 下列四组函数中,表示同一函数的是 【 】 （A ）x y =与2x y = （B ）x y =与()2x y =（C ）x y =与xx y 2= （D ）x y =与33x y =43. 已知函数13)(2+=x x f ,其中)(a f 表示当a x =时对应的函数值,即13)(2+=a a f ,则=)2(f _________. 分析:直接把2=x 代入函数关系式求值. 解:∵13)(2+=x x f ∴()1123123)2(2=+=+=f . 44. 如果记()x f x x y =+=221,并且()1f 表示当1=x 时y 的值,即()21111122=+=f ,同理51211212122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,……,那么: ()()()()=⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++n f n f f f f f f 13132121 __________.（结果用含n 的代数式表示,n 为正整数）分析:解决此类题目,发现规律是关键:一般是从有限当中去发现无限的规律.本题中,我们可以分别通过计算()⎪⎭⎫⎝⎛+212f f 、()⎪⎭⎫⎝⎛+313f f 等的结果,去发现式子的规律,也可以直接计算()⎪⎭⎫⎝⎛+n f n f 1,得到规律.本题答案:21-n . 45. 阅读下面的材料,再回答问题:一般地,如果函数()x f y =对于自变量取值范围内的任意x ,都有()()x f x f -=-,那么()x f y =就叫做奇函数;如果函数()x f y =对于自变量取值范围内的任意x ,都有()()x f x f =-,那么()x f y =就叫做偶函数. 例如函数()x x x f +=3,当x 取任意实数时,()()()()x x x x x x x f +-=--=-+-=-333即()()x f x f -=-所以()x x x f +=3为奇函数. 又如函数()x x f =,当x 取任意实数时,()()x f x x x f ==-=- 即()()x f x f =- 所以()x x f =是偶函数. 问题（1）:下列函数中: ①4x y =; ②12+=x y ; ③31xy =; ④1+=x y ; ⑤x x y 1+=; 所有的奇函数是_________,所有的偶函数是_________.（只填序号） 问题（2）:请你再分别写出一个奇函数和一个偶函数.八、平面直角坐标系温故知新规定了_________、_________和_________的直线叫做数轴.在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴,这就建立了平面直角坐标系.把水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右的方向为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上的方向为正方向.两条数轴的交点O叫做坐标原点.如下图（1）所示.轴横轴或x 轴图（1）平面直角坐标系九、坐标在平面直角坐标系中,任何一点都可以用一对有序实数对来表示,叫做点的坐标.点与有序实数对是一一对应的.如下页图（3）所示,点P的坐标是这样确定的:通过点P向x轴作垂线,垂足在x轴上对应的数就是点P的横坐标;通过点P向y轴作垂线,垂足在y轴上对应的-,其横数就是点P的纵坐标.规定:横坐标在前,纵坐标在后,所以点P的坐标为()3,2坐标为2-,纵坐标为3.注意:（1）在求点的坐标时,x轴上对应的数是横坐标,y轴上对应的数是纵坐标. （2）求点的坐标时,横坐标要写在前面,纵坐标写在后面,中间用逗号隔开,再把它们用小括号括起来.（3）如果点在x 轴（横轴）上,其纵坐标为0;如果点在y 轴（纵轴）上,其横坐标为0;如果点在原点,其横坐标、纵坐标均为0,坐标为()0,0.x 轴上到原点的距离为a （0>a ）的点的坐标为()0,a 或()0,a -;y 轴上到原点的距离为b （0>b ）的点的坐标为()b ,0或()b -,0.（4）知道一个点的坐标,可以在平面直角坐标系中描出点（即确定点的位置）;知道一个点在平面直角坐标系中的位置,可以求出点的坐标.（5）点的位置与点的坐标之间的转换关系是数形结合思想的一个重要应用.结论1 已知点P 的坐标为()n m ,,若点P 在x 轴上,则0=n ;若点P 在y 轴上,则0=m ;若点P 在原点,则0,0==n m .（点在坐标轴上的特征）图（3）坐标的确定方法46. 如图（2）所示,在平面直角坐标系中: （1）点A 的坐标是_________; （2）点B 的坐标是_________; （3）点C 的坐标是_________; （4）点D 的坐标是_________; （5）点E 的坐标是_________; （6）点F 的坐标是_________;（7）点G 的坐标是_________.47. 如图（4）所示,在平面直角坐标系中: （1）点A 的坐标是_________; （2）点B 的坐标是_________; （3）点C 的坐标是_________; （4）点D 的坐标是_________; （5）点E 的坐标是_________.图（4）图（5）提示 把平面直角坐标系放在正方形网格中研究点的坐标非常方便,同时根据坐标也很容易描出一些点.以后,在研究一次函数、反比例函数的图象和性质时,也可以借助于正方形网格.48. 如图（5）所示,在平面直角坐标系中描出以下各点:()1,2A ,()2,1B ,()3-,0C ,()0,3D .分析:x 轴上对应的数是横坐标,y 轴上对应的数是纵坐标,在书写坐标时,横坐标在前,纵坐标在后,因此,点()1,2A 与点()2,1B 表示的不是同一个点. 横坐标为0的点在y 轴上,纵坐标为0的点在x 轴上,反过来亦成立. 49. 若点()1,3++m m A 在x 轴上,则点A 的坐标是 【 】 （A ）()2,0- （B ）()0,2 （C ）()0,4 （D ）()4,0- 50. 若点()2,3-a M 在y 轴上,则a 的值是_________.图（7）51. 若点()3,2-+b a P 在原点,则=a _________,=b _________. 52. 已知,如图（6）（1）写出图中A , B , C , D 各点的坐标;（2）已知点()()()2,1,2,0,2,2---M F E ,在直角坐标系中描出这些点.图（6）分析:在确定点的坐标和确定点的位置时,如果脱离了正方形网格,那么作图、看图一定要认真.53. 探究题: 关于x 轴对称的两个点,它们的坐标之间有什么关系? 如图（7）所示,在平面直角坐标系中: （1）点A 的坐标是_________; （2）点B 的坐标是_________; （3）点C 的坐标是_________; （4）点D 的坐标是_________. （2）在图中分别作出点A , B , C , D 关 于x 轴对称的点',',','D C B A ;（3）点'A 的坐标是_________;点'B 的坐标是_________; 点'C 的坐标是_________; 点'D 的坐标是_________. （4）观察这些对称点的坐标之间的关系,你能得出什么结论?（从横坐标、纵坐图（8）图（9）标两个角度观察）在图中再找一对对称点验证一下你得出的结论.结论2 两个点关于x 轴对称,横坐标相等,纵坐标互为相反数.54. 探究题: 关于y 轴对称的两个点,它们的坐标之间有什么关系? 如图（8）所示,在平面直角坐标系中: （1）点A 的坐标是_________; （2）点B 的坐标是_________; （3）点C 的坐标是_________; （4）点D 的坐标是_________. （2）在图中分别作出点A , B , C , D 关 于y 轴对称的点',',','D C B A ;（3）（3）点'A 的坐标是_________;点'B 的坐标是_________; 点'C 的坐标是_________; 点'D 的坐标是_________. （4）观察这些对称点的坐标之间的关系,你能得出什么结论?（从横坐标、纵坐标两个角度观察）在图中再找一对对称点验证一下你得出的结论.结论3 两个点关于y 轴对称,横坐标互为相反数,纵坐标相等.55. 探究题: 关于原点O 成中心对称的两个点,它们的坐标之间有什么关系? 如图（9）所示,在平面直角坐标系中: （1）点A 的坐标是_________; （2）点B 的坐标是_________; （3）点C 的坐标是_________; （4）点D 的坐标是_________; （5）点E 的坐标是_________; （6）点F 的坐标是_________.（2）在图中分别作出点A , B , C , D , E , F 关于原点成中心对称的点',',',',','F E D C B A ;（3）点'A 的坐标是_________; 点'B 的坐标是_________; 点'C 的坐标是_________; 点'D 的坐标是_________; 点'E 的坐标是_________; 点'F 的坐标是_________.（4）观察这些对称点的坐标之间的关系,你能得出什么结论?（从横坐标、纵坐标两个角度观察）在图中再找一对对称点验证一下你得出的结论.结论4 两个点关于原点成中心对称,横坐标、纵坐标均互为相反数. 总结 两个点对称的坐标特征:（1）两个点关于x 轴对称,横坐标相等,纵坐标互为相反数. （2）两个点关于y 轴对称,横坐标互为相反数,纵坐标相等. （3）两个点关于原点对称,横坐标、纵坐标均互为相反数.注意：（1）两个点对称时,横坐标、纵坐标的符号可能改变,但横坐标、纵坐标的顺序不会发生改变.（2）找到结论的规律,发现适合记忆的方法.56. 在平面直角坐标系中,与点()2,1关于y 轴对称的点的坐标是 【 】 （A ）()2,1- （B ）()2,1- （C ）()2,1-- （D ）()1,2--57. 若点()2015,a A 与点()b B ,2016关于y 轴对称,则b a +的值为 【 】 （A ）1- （B ）1 （C ）2 （D ）3 58. 平面直角坐标系中,点()3,2-+b a P : （1）若点P 在x 轴上,则=b _________; （2）若点P 在y 轴上,则=a _________;59. 平面直角坐标系内有两点()y x P ,,()n m Q ,,若0,0=-=+n y m x ,则点P 与点Q 的位置关系是 【 】 （A ）关于x 轴对称 （B ）无对称关系 （C ）关于原点对称 （D ）关于y 轴对称 60. 若点()2,3-a M ,()a b N ,关于原点对称,则=+b a _________.61. 平面直角坐标系中,点()3,2-P 关于x 轴对称的点的坐标是 【 】（A ）()3,2-- （B ）()3,2- （C ）()2,3- （D ）()2,3- 62. 点()0,3-P 关于原点对称的点的坐标是_________.结论5 点平移的坐标特征在平面直角坐标系中,将点上下平移、左右平移后坐标的变化规律:点上下平移前后,横坐标相等（不变）,纵坐标上加下减,加上或减去平移的单位;点左右平移前后,横坐标左减右加,纵坐标相等（不变）,加上或减去平移的单位.63. 将点()1,2-M 向上平移2个单位得到的点的坐标是 【 】 （A ）()0,2 （B ）()1,2 （C ）()2,2 （D ）()3,2-结论6 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征: 直线平行于x 轴,直线上的点的纵坐标相等; 直线平行于y 轴,直线上的点的横坐标相等.64. 如图（10）所示,在平面直角坐标系中,直线x m //轴,直线y n //轴.（1）点A 的坐标是_________,点B 的坐标是_________,点C 的坐标是_________; 发现A , B , C 三个点的_________坐标相等.（2）点D 的坐标是_________,点E 的坐标是_________,点F 的坐标是_________; 发现D , E , F 三个点的_________坐标相等. （3）图中点G 是直线n m ,的交点,其坐标为_________.图（10）65. 已知点()2,-m A ,()1,3-m B ,且直线x AB //轴,则m 的值是_________.。