初三总复习函数及其图像知识点
初三函数全部知识点总结
初三函数全部知识点总结一、函数的概念1. 函数的定义函数是一种对应关系，它把一个自变量的值对应到一个因变量的值上。
一般地，函数f(x)可以表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
2. 自变量与因变量自变量是函数中独立变化的变量，通常用x表示；因变量是根据自变量的取值而定的变量，通常用y表示。
3. 定义域和值域定义域是自变量的所有可能取值的集合；值域是因变量的所有可能取值的集合。
4. 函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的点的集合。
二、函数的表示方法1. 用一个通项公式表示函数函数f(x)有时可以用一个表达式y=f(x)表示。
2. 用函数的图像表示函数函数的图像是函数在平面直角坐标系中的点的集合。
三、常见函数及其性质1. 线性函数线性函数是具有形式y=kx的函数，其中k为常数。
2. 幂函数幂函数是具有形式y=ax^n的函数，其中a和n为常数。
3. 指数函数指数函数是具有形式y=a^x的函数，其中a为正数且不等于1。
4. 对数函数对数函数是指数函数的逆运算。
5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
四、函数的性质1. 奇偶性如果对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
2. 增减性如果函数f(x)在区间(a,b)上有f'(x)>0，那么f(x)在区间(a,b)上是增函数；如果函数f(x)在区间(a,b)上有f'(x)<0，那么f(x)在区间(a,b)上是减函数。
3. 最值和零点函数在定义域内可能有最大值、最小值和零点。
4. 对称性有关函数的图像可能有关于y轴对称、关于x轴对称、或者关于原点对称的性质。
五、函数的运算1. 基本函数的运算加减乘除四则运算和复合运算。
2. 复合函数复合函数是一个函数作为另一个函数的自变量而得到的函数。
3. 函数的反函数函数的反函数是满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的函数。
函数应用中考知识点总结
函数应用中考知识点总结一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。
函数通常用字母表示，例如f(x)，其中x表示输入值，f(x)表示输出值。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系。
其中，定义域是指函数可以接受的输入值的范围，值域是函数输出值的集合，对应关系则描述了输入值与输出值之间的映射关系。
例如，对于函数f(x)=x^2，其定义域为实数集，值域为非负实数集，对应关系为x与x^2的映射关系。
二、函数的性质在中考中，学生需要掌握函数的一些基本性质，包括奇偶性、周期性和单调性等。
其中，奇偶性是指函数图像关于原点对称时称为奇函数，关于y轴对称时称为偶函数；周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性；单调性是指函数在定义域内的增减规律。
这些性质对于理解函数的图像和求解函数的最值等问题具有重要的作用。
三、函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的几何表现，它可以帮助我们直观地理解函数的性质和特点。
在中考中，学生需要学会绘制函数的图像，并理解函数图像与函数性质之间的关系。
例如，对于一元二次函数f(x)=ax^2+bx+c，学生可以通过绘制函数的图像来理解函数的开口方向、顶点坐标和对称轴等特点，从而更好地理解函数的性质和应用。
四、函数的应用函数在实际问题中具有广泛的应用，它可以帮助我们描述和求解各种实际问题。
在中考中，学生需要学会应用函数解答与函数相关的问题，例如函数的定义域、值域和逆函数的求解等。
此外，函数还可以帮助我们求解各种实际问题，如函数模型的建立和函数方程的求解等。
通过学习函数的应用，学生可以更好地理解函数的概念和性质，并将其运用到实际问题中去。
总之，函数是数学和计算机科学中的重要概念，它在解决问题和设计算法时起着至关重要的作用。
在中考中，函数也是一个重要的知识点，学生需要掌握函数的定义、性质和应用等方面的知识。
通过本文的总结，相信学生们可以更好地理解函数的相关知识，从而更好地应对中考中与函数相关的各种问题。
(完整版)最全三角函数的图像与性质知识点总结
i ng si nt he i rb ei n ga re g三角函数的图像与性质一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质二、正切函数的图象与性质函数y ＝sin x y ＝cos x图象定义域RR 值域[－1,1][－1,1]单调性递增区间：2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间：32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z )递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z )最 值x ＝2k π＋(k ∈Z )时，y max ＝1；π2x ＝2k π－(k ∈Z )时，y min ＝－1π2x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1奇偶性奇函数偶函数对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点）对称轴：x ＝k π＋，k ∈Zπ2对称中心：(k π＋，0)(k ∈Z )π2对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴）最小正周期2π2π定义域{|,}2x x k k Z ππ≠+∈值域R单调性递增区间(,)()22k k k Z ππππ-+∈奇偶性奇函数对称性对称中心：（含原点）(,0)()2k k Z π∈最小正周期π三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换1. 由的图象得到()的图象x y sin =)sin(ϕω+=x A y 0,0A ω>>xy sin =方法一：先平移后伸缩方法二：先伸缩后平移操作向左平移φ个单位横坐标变为原来的倍1ω结果)sin(ϕ+=x y xy ωsin =操作横坐标变为原来的倍1ω向左平移个单位ϕω结果)sin(ϕω+=x y 操作纵坐标变为原来的A 倍结果)sin(ϕω+=x A y 注意：平移变换或伸缩变换都是针对自变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数及其图象 知识点汇总及典例分析
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义3.函数的表示方法； （1） （2） （3） 三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。
5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝， ，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝， ， ，， 3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 。
【例题精讲】 例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的 坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。
函数与图像知识点总结
函数与图像知识点总结函数是数学中的一个重要概念，也是数学与现实世界联系最为密切的一个内容。
在数学中，函数是一种特殊的关系，它描述了一个集合中的每个元素和另一个集合中的一个元素之间的对应关系。
在现实世界中，函数广泛应用于各个领域，如物理、经济学、生物学等等，因此函数的理解和运用对于我们理解现实世界有着重要的作用。
函数的概念是非常常见的，我们在生活中随处可见。
比如，我们去买菜，每斤菜都是以一定的价格卖的，这里的价格和菜的重量就是一个函数关系；我们去买衣服，尺寸和价格也是一个函数关系；我们在学校学习，成绩和学习时间也是一个函数关系。
总的来说，函数就是一个输入和输出之间的对应关系。
函数可以用数学符号表达，通常用f(x)表示。
其中，x是自变量，f(x)是因变量。
函数f(x)表示，当自变量为x时，对应的因变量为f(x)。
比如，f(x)=2x+1就表示一个线性函数，它的自变量是x，因变量是2x+1。
这种函数就是一个简单的对应关系，我们可以根据自变量的不同求得相应的因变量。
函数还可以用图像表示。
在坐标系中，我们可以把函数的自变量和因变量分别作为x轴和y轴，那么函数的图像就是一条曲线。
比如，f(x)=x^2就是一个抛物线函数，它的图像是一个开口朝上的抛物线。
函数的图像可以直观地表示函数的性质，比如函数的增减性、奇偶性等等。
函数的知识点包括函数的定义、函数的性质、函数的图像、函数的运算、函数的应用等等。
接下来，我们将结合具体的知识点来详细介绍函数与图像的内容。
一、函数的定义函数的定义是函数与图像知识点的基础。
函数是一个对应关系，它满足每个自变量对应唯一的因变量。
函数的定义包括以下几个要点：1. 定义域定义域是指自变量的取值范围。
在函数中，自变量通常有一个合理的取值范围，超出这个范围函数就不成立了。
比如，对于函数f(x)=1/x，定义域就是x不等于0，因为分母不能为0。
2. 值域值域是指因变量的取值范围。
在函数中，因变量的取值通常有一个范围，也就是函数的输出。
函数图像变换知识点总结
函数图像变换知识点总结一、基本概念1. 函数图像的平移函数图像的平移是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向平移一定的距离。
平移的方向和距离可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上平移了a个单位，新函数表示为y=f(x-a)。
- 沿纵轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上平移了b个单位，新函数表示为y=f(x)+b。
2. 函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。
伸缩的方向和比例可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=f(kx)。
- 沿纵轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=kf(x)。
3. 函数图像的翻转函数图像的翻转是指对原函数图像进行镜像操作，可以分为关于横轴翻转和关于纵轴翻转两种情况。
- 关于横轴翻转：对于函数y=f(x)，进行横轴翻转后，新函数表示为y=-f(x)。
- 关于纵轴翻转：对于函数y=f(x)，进行纵轴翻转后，新函数表示为y=f(-x)。
二、函数图像变换的特点1. 平移：平移不改变函数的基本形状，只是改变了函数的位置；2. 伸缩：伸缩可以改变函数的斜率和幅度，但不改变函数的形状；3. 翻转：翻转改变了函数的整体形状，使得原函数变为其镜像；4. 组合变换：可以将多种变换进行组合，得到更复杂的函数图像变换。
三、函数图像变换的应用函数图像变换不仅仅是数学中的一种抽象概念，还可以应用到具体的问题中，如物理、经济等领域。
1. 物理问题：在物理学中，函数图像变换可以用来描述物体的运动、变形等。
例如，对于速度-时间图像，进行平移可表示物体的起始位置不同；进行伸缩则可以描述加速度的变化；进行翻转可以描述反向运动等情况。
2. 经济问题：在经济学中，函数图像变换可以用来描述经济模型的变化。
例如，对于需求-价格图像，进行平移可以表示需求量或价格的变化；进行伸缩可以描述需求的弹性；进行翻转可以描述替代品或补充品的关系等情况。
初等函数图像知识点总结
初等函数图像知识点总结在学习初等函数的过程中，图像是一个非常重要的概念。
初等函数的图像可以帮助我们更直观地理解函数的性质和特点。
在本文中，我们将总结初等函数图像的相关知识点，包括函数图像的基本形状、对称性质、特殊点以及常见的初等函数图像等内容。
一、函数图像的基本形状1. 直线函数的图像直线函数的图像是一条直线，其一般方程为y = kx + b，其中k和b分别代表斜率和截距。
斜率k决定了直线的倾斜方向和程度，当k>0时，直线向右上方倾斜；当k<0时，直线向右下方倾斜。
截距b决定了直线与y轴的交点，当b>0时，直线与y轴的交点在y轴上方；当b<0时，直线与y轴的交点在y轴下方。
2. 平方函数的图像平方函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，其一般方程为y = ax^2 + bx + c，其中a决定了抛物线的开口方向和程度。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c)，可以通过顶点坐标确定抛物线的位置。
3. 绝对值函数的图像绝对值函数的图像是一条V形的折线，其一般方程为y = |x|，表示x的绝对值。
函数图像在原点处有一个拐点，称为折点，折点是函数图像的特殊点之一。
4. 根号函数的图像根号函数的图像是一条从原点开始的曲线，其一般方程为y = √x，函数图像在x轴的正半轴上。
根号函数的图像是一个开口向右的半圆形曲线。
5. 指数函数的图像指数函数的图像是一条增长或衰减的曲线，其一般方程为y = a^x，其中a>0且a≠1。
指数函数的图像在坐标轴之间没有交点，增长函数的图像是向上的曲线，衰减函数的图像是向下的曲线。
6. 对数函数的图像对数函数的图像是一条先增后减的曲线，其一般方程为y = log_ax，其中a>0且a≠1。
对数函数的图像在x轴的正半轴上，对数函数的图像与指数函数的图像是关于y=x对称的。
二、函数图像的对称性质1. 奇偶性奇函数的图像关于原点对称，即f(-x)=-f(x)，即图像关于原点对称。
函数及其图像知识点总结
函数及其图像知识点总结
导数、函数的图像、微分的概念是微积分的重要知识点，下面对函数及其图像知识点进行总结。
导数
在微积分中，导数是用来描述函数变化率的概念。
如果一个函数y=f(x)在x=x0处有导数f'(x0)，那么f'(x0)表示了函数f(x)在x=x0处的变化率。
导数也可以解释为函数在某一点的切线的斜率。
对于一个函数y=f(x)，其导数可以用极限的方式来定义：
\[ f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]
函数的图像
函数的图像是描述函数y=f(x)在坐标系中的关系的一种形象化表示。
函数的图像通常以曲线的形式呈现，曲线上的每个点(x,y)表示函数在自变量x取值为x时对应的函数值y。
函数的图像可以用各种方式来描述，比如使用表格、方程、图表等。
函数的图像是帮助我们直观理解函数性质的重要工具。
微分
微分是导数的一个重要应用，它用来描述函数的局部线性近似。
如果一个函数y=f(x)在
x=x0处可微，则存在一个线性函数y=l(x)和一个小量ε，使得当x足够接近x0时有
\[ f(x)=l(x)+ε \]
其中l(x)即为函数y=f(x)在x=x0处的切线方程，而ε则表示了函数f(x)和切线l(x)之间的误差。
微分的概念可以帮助我们更好地理解函数在某一点的性质。
综上所述，导数、函数的图像、微分是微积分中关于函数及其图像的重要知识点。
它们帮助我们理解函数的变化率、形状以及局部线性近似等性质，对于理解函数的行为和性质都起着至关重要的作用。
初中数学函数图像知识点汇总
初中数学函数图像知识点汇总函数是数学中的重要概念，而函数图像则是理解函数性质的重要工具之一。
在初中数学中，学习函数图像有助于学生理解函数的变化规律、性质和应用。
下面将对初中数学函数图像的知识点进行详细总结。
1. 基本函数图像：(1) 常数函数 f(x)=a : 这是一条平行于x轴的直线，横坐标不变，纵坐标为常数a。
(2) 一次函数 f(x)=kx+b : 这是一条斜率为k的直线，纵截距为b。
(3) 平方函数 f(x)=x^2 : 这是一条开口向上的抛物线，对称轴是y轴。
(4) 绝对值函数 f(x)=|x| : 这是一条以原点为顶点的V字形折线。
2. 函数的变换：(1) 平移：将函数图像沿x轴或y轴平行地移动。
当函数图像向右平移h单位时，函数表示形式为f(x-h)；当函数图像向上平移k单位时，函数表示形式为f(x)+k。
(2) 翻折：将函数图像沿x轴或y轴翻转。
当函数图像关于x轴对称时，函数表示形式为-f(x)；当函数图像关于y轴对称时，函数表示形式为f(-x)。
(3) 压缩与拉伸：将函数图像沿x轴或y轴进行扩大或缩小。
当函数图像水平方向压缩为原来的1/a倍，纵轴方向拉伸为原来的a倍时，函数表示形式为f(ax)；当函数图像水平方向拉伸为原来的a倍，纵轴方向压缩为原来的1/a倍时，函数表示形式为f(x/a)。
3. 常见函数图像特征：(1) 斜率：一次函数的斜率代表了函数图像的倾斜程度。
斜率越大，函数图像越陡峭。
(2) 零点：函数图像与x轴相交的点称为零点。
零点对应于函数的解，即f(x)=0。
(3) 最值：函数图像的最高点称为最大值，最低点称为最小值。
(4) 对称中心：若函数图像关于某一点对称，则该点为对称中心。
常见对称中心有原点和y轴。
(5) 单调性：函数图像在某一区间上递增或递减称为函数的单调性。
4. 常用函数图像的特点：(1) 常数函数 f(x)=a : 函数图像平行于x轴，斜率为0，没有零点，单调性为常数。
九年级数学函数常考知识点
九年级数学函数常考知识点在九年级数学学习中，函数是一个常见且重要的概念。
理解函数的性质、性质和应用是九年级数学学习的关键之一。
本文将介绍九年级数学中常考的函数知识点，帮助同学们更好地掌握这一知识。
一、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一个或多个数域上的元素之间的对应关系，每个自变量对应唯一的一个函数值。
2. 定义域和值域：函数的定义域是所有可能的自变量的取值范围，值域是函数所有可能函数值的集合。
3. 函数的图象：函数的图象是在直角坐标系上表示函数各个自变量和函数值之间对应关系的图形。
4. 奇偶性：如果对于函数中任意一个自变量x，有f(-x) = f(x)，则该函数是偶函数；如果对于函数中任意一个自变量x，有f(-x) = -f(x)，则该函数是奇函数。
5. 单调性：函数的单调性指的是函数值随自变量增大或减小而增大或减小的趋势。
二、函数的表示和运算1. 函数的表示：函数可以通过函数解析式或函数关系式来表示。
- 函数解析式是用代数表达式表示的函数形式，常见的有一次函数y = kx + b和二次函数y = ax^2 + bx +c。
- 函数关系式是通过函数的定义关系来表示的，常见的有反比例函数y = k/x和平方根函数y = √x。
2. 函数的运算：函数之间可以进行四则运算，包括函数的加、减、乘和除。
- 函数的加法： (f + g)(x) = f(x) + g(x)，即将两个函数在同一个自变量x上的函数值相加。
- 函数的减法： (f - g)(x) = f(x) - g(x)，即将两个函数在同一个自变量x上的函数值相减。
- 函数的乘法： (f × g)(x) = f(x) × g(x)，即将两个函数在同一个自变量x上的函数值相乘。
- 函数的除法： (f ÷ g)(x) = f(x) ÷ g(x)，即将两个函数在同一个自变量x上的函数值相除，其中除数的函数值不能为零。
初三数学重要知识点
初三数学重要知识点一览初三数学重要知识点一、反比例函数1、形如y=k/x(k≠0)或y=kx^—1的函数叫做反比例函数，k叫做反比例系数。
它的图像是双曲线。
^—1表示负一次。
2、在函数y=k/x(k≠0)，当k>0时，表达式中的想x、y符号相同，点(x，y)在第一、三象限，所以函数y=k/x(k≠0)的图像位于第一、三象限;当k<0时，表达式中的想x、y符号相反，点(x，y)在第二、四象限，所以函数y=k/x(k≠0)的图像位于第二、四象限。
3、在y=k/x(k≠0)中，当k>0时，在第一象限内，y随着x的增大而减小;若y 的值随着x的值的增大而增大，则k的取值范围是k<0。
4、设P(a，b)是反比例函数y=k/x(k≠0)上任意一点，则ab的值等于k。
经过反比例函数上的任意一点P，分别向x轴、y轴作垂线段，则所成的矩形面积为k;过P点向x轴或y轴作垂线段，连接OP，则所成的三角形面积为k/2。
二、二次函数1、形如y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)。
的函数叫做二次函数，它的图像是一条抛物线。
2、二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(—b/2a，4ac—b^2/4a)，对称轴是直线x=—b/2a。
3、对于二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)，当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
图像与y轴的交点的坐标是(0，c)。
4、一元一次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的解，可以看成函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标。
当b^2—4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。
当b^2—4ac=0时，函数图像与x轴有一个交点。
当b^2—4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。
5、当a>0，且x=—b/2a时，函数y=ax^2+bx+c(a≠0)取得最小值，这个值等于4ac—b^2/4a;当a<0，且x=—b/2a时，函数y=ax^2+bx+c(a≠0)取得值，这个值等于4ac—b^2/4a。
九年级各种函数知识点
九年级各种函数知识点一、一次函数一次函数也称为线性函数，是数学中最简单的一种函数。
它的图像为一条直线，表达式通常为y = kx + b，其中k和b都是常数。
1. 定义一次函数的定义可以表述为：对于任意实数x，函数f(x)的取值等于k乘以x再加上常数b，即f(x) = kx + b。
2. 斜率一次函数的斜率k表示了直线的倾斜程度。
当k为正数时，直线上升；当k为负数时，直线下降；当k为零时，直线为水平线。
3. 截距一次函数的截距b表示了直线与y轴的交点在y轴上的纵坐标。
当x为0时，f(x)的值为b。
4. 图像性质一次函数的图像是一条直线，具有以下特点：- 当斜率k为正数时，直线向右上方倾斜；- 当斜率k为负数时，直线向右下方倾斜；- 当斜率k为零时，直线为水平线；- 直线的截距决定了直线与y轴的交点位置；- 不同的斜率和截距会使得直线的位置和角度不同。
二、二次函数二次函数是一种具有抛物线图像的函数，形式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c都是常数，a不等于零。
1. 定义二次函数的定义可以表述为：对于任意实数x，函数f(x)的取值等于a乘以x的平方再加上b乘以x再加上常数c，即f(x) = ax²+ bx + c。
2. 抛物线二次函数的图像为抛物线，具有以下特点：- 当a大于零时，抛物线开口向上；- 当a小于零时，抛物线开口向下；- 抛物线的顶点是最高点（或最低点），在坐标系中为(x₀, y₀)；- 抛物线在顶点处对称分布，左右两侧的形状相同。
3. 判别式二次函数的判别式Δ（delta）用于判断抛物线与x轴的交点情况。
当Δ大于零时，抛物线与x轴有两个交点；当Δ等于零时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ小于零时，抛物线与x轴没有交点。
三、指数函数指数函数是以一个正常数为底的自然指数幂函数，形式为y =aⁿ，其中a为底数，n为指数。
1. 定义指数函数的定义可以表述为：对于任意正实数x，函数f(x)的取值等于以底数a为底、指数为x的次幂，即f(x) = aⁿ。
人教版九年级数学第三单元《函数》中考知识点梳理
第三单元《函数》中考知识点梳理第9讲平面直角坐标系与函数知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．点的坐标先读横坐标(x轴)，再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：点P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．（5）点M（x,y）平移的坐标特征：M（x,y）M1(x+a,y)M2(x+a,y+b)（1）坐标轴上的点不属于任何象限.（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|．平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函数4.函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=35xx+-中自变量的取值范围是x≥-3且x≠5.5.函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图xy第四象限(＋，－)第三象限(－，－)第二象限(－，＋)第一象限(＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123O（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围. 象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段.第10讲一次函数知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K＞0，b＞0K＞0，b＜0K＞0，b=0 k<0，b>0k<0，b<0k<0，b＝0（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是()－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.（2）一次函数y=-3x+12中，当x＞4时，y的值为负数．7.一次函数与方程组二元一次方程组的解 两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标.8.一次函数与不等式（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集知识点四：一次函数的实际应用9.一般步骤（1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围；（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；（6）做答. 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.10.常见题型（1）求一次函数的解析式.（2）利用一次函数的性质解决方案问题.第11讲反比例函数的图象和性质知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.y=k2x+by=k1x+b3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质第13讲二次函数的应用五、知识清单梳理。
初中数学函数知识点总结(定义、性质和图像)
函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+） 第二象限：（-，+） 第三象限：（-，-） 第四象限：（+，-）3、坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点，y 为零；y 轴上的点，x 为零；原点的坐标为（0 , 0）。
4、点的对称特征：已知点P(m,n),关于x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。
6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
7、点P （x,y ）的几何意义：点P （x,y ）到x 轴的距离为 |y|，点P （x,y ）到y 轴的距离为 |x|。
点P （x,y ）到坐标原点的距离为22y x +8、两点之间的距离：X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x |AB|||12x x -= Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y |CD|||12y y -=已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|=212212)()(y y x x -+-9、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点,则：M=(212x x + , 212y y +) 10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）； 将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）； 将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）； 将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。
初三数学总复习函数及其图象相关定理
初三数学总复习函数及其图象相关定理初三数学总复习教案(五)函数及其图象相关定理1. 一一对应:①数轴上的点与实数一一对应.②坐标平面上的与有序实数对一一对应.2．特殊位置的点的坐标特征:①横坐标上的点纵坐标为零.②纵坐标上的点横坐标为零.③平行于_轴的直线上的点纵坐标相等.④平行于y轴的直线上的点横坐标相等.⑤第一.三象限角平分线上的点横.纵坐标相等[设A点的坐标为(_,y)有_=y].⑥第二.四象限角平分线上的点横.纵坐标互为相反数[设A点的坐标为(_,y)有_= - y].2. 每一象限内点的坐标特征:设A(_,y)有①第一象限内的点_＞0,y＞0.②第二象限内的点_＜0,y＞0.③第三象限内的点_＜0, y＜0.④第四象限内的点_＞0, y＜0.3. 设平面上点A(_,y),点B(_,y):①AB在_轴上或平行于_轴AB=｜_- _｜.②AB在y轴上或平行于y轴AB=｜y- y｜.③点A到原点的距离OA=.④平面上任意两点AB的距离AB=.4. 对称的点的坐标特征:①点P(a,b)关于_轴的对称点的坐标P(a,-b).即:点P.P关于_轴对称横坐标相同.纵坐标互为相反数.②点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标P(-a,b).即:点P.P关于_轴对称纵坐标相同.横坐标互为相反数.③点P(a,b)关于原点对称的点的坐标P(-a,-b).即:点P.P关于原点对称横.纵坐标均互为相反数.5. 函数:设在一个变化过程中有两个变量_.y,对于_ 的每一个值,y都有唯一的值与它相对应,则y叫做_的函数.其中_是自变量.6. 函数的表示方法:解析法.图像法.列表法.7. 一次函数一条直线y=k_+b(k,b是常数,k≠0).8. 正比例函数直线过原点y=k_(k是常数,k≠0).9. 反比例函数双曲线y=(k是常数,k≠0) y=k_(k是常数,k≠0) _y=k(k是常数,k≠0)10. 二次函数抛物线y=a_+b_+c(a.b.c是常数,且a≠0).11. 一次函数y=k_+b(k,b是常数,k≠0)的性质:①一次函数与y轴的交点为(0,b),与_轴的交点为(-,0).②k＞0时y随_的增大而增大,减小而减小.从左到右在上坡.③k＜0时y随_的增大而减小,减小而增大.从左到右在下坡.④b＞0时直线与y轴的交点在原点的上方.⑤b＜0时直线与y轴的交点在原点的下方.⑥b=0时直线经过原点.⑦直线m∥nk=k⑧直线m.n交于_轴上同一点(,0)12. 一次函数y=k_+b(k,b是常数,k≠0)的图像:① y②y__k＞0, b＞0图像过一.二.三象限. k＞0, b=0图像过一.三象限.③ y④y__k＞0, b＜0图像过一.三.四象限.k＜0, b＞0图像过一.二.四象限.⑤y⑥y__k＜0, b=0图像过二.四象限.k＜0, b＜0图像过二.三.四象限.13. 自变量的取值范围:①自变量所在的式子为整式时,自变量取全体实数.②自变量所在的式子含有分式时,则要求分母不为零.③自变量所在的式子含有二根式(偶次方根)时,则要求二次根式(偶次方根)的被开方数为非负数.④自变量所在的式子含有奇次方根时,则奇次方根的被开方数自变量取全体实数.14. 反比例函数的性质:①k＞0图象在第一.三象限内,在每一个象限内,y随_的增大而减小.②k＜0图象在第二.四象限内,在每一个象限内,y随_的增大而增大.③反比例函数图像的两个分支关于原点成中心对称.15. 二次函数y=a_+b_+c(a.b.c是常数,且a≠0)的性质,设抛物线与_轴的交点为A(_,0).B(_,0);与y轴的交点C(0,c)有:①a＞0抛物线的开口方向向上.②a＜0抛物线的开口方向向下.③｜a｜越大抛物线的开口越小; ｜a｜越小抛物线的开口越大.④c＞0抛物线与y轴的交点在原点的上方.⑤c＜0抛物线与y轴的交点在原点的下方.⑥c=0抛物线过原点.⑦ a.b共同确定对称轴的位置的情况:(1)a.b同号,对称轴在y轴的左边;(2)a.b异号,对称轴在y轴的右边.简记:同号左,异号右.⑧△＞0抛物线与_轴有两个交点.⑨△=0抛物线与_轴有一个交点.⑩△＜0抛物线与_轴没有交点.__9322; 二次函数y=a_+b_+c=a(_++的顶点坐标为(,),对称轴为_=.__9323; a＞0有:_＞y随_的增大而增大; _＜y随_的增大而减小.y≥有最小值.__9324; a＜0有:_＞y随_的增大而减小; _＜y随_的增大而增大.Y≤有最大值.__9325; AB=｜_－_｜=.__9326; 对称轴过最低点或最高点的直线过顶点的直线(平行于y轴).__9327; 顶点横坐标对称轴所在的直线最值顶点纵坐标.16. 二次函数的三种表示方法:①y=a_+b_+c(a.b.c是常数,且a≠0).②y=a(_－h)+k(a.h.k是常数,且a≠0).③y=a(_ — _)(_ －_)(a是常数,且a≠0).17. 二次函数y=a_+b_+c(a.b.c是常数,且a≠0)的图象,设抛物线与_轴的交点为A(_,0).B(_,0),并设_＜_有:① y②y③yA B _A(B) __④ y⑤⑥ yy A(B)A B _ __①△＞0,a＞0,b＜0,c＜0.y=a_+b_+c＞0_＜_或_＞_; y=a_+b_+c＜0 _＜_＜_.④△＞0,a＜0,b＞0,c＞0.y=a_+b_+c＞0_＜_＜_; y=a_+b_+c＜0 _＜_或_＞_.②△=0, a＞0,b＜0,c＞0.y=a_+b_+c＞0_≠的实数;y=a_+b_+c＜0无实数解.⑤△=0, a＜0,b＞0,c＜0.y=a_+b_+c＞0无实数解;y=a_+b_+c＜0_≠的实数.③△＜0,a＞0,b＜0,c＞0.y=a_+b_+c＞0全体实数; y=a_+b_+c＜0无实数解.⑥△＜0,a＜0,b＞0,c＜0.y=a_+b_+c＞0无实数解;y=a_+b_+c＜0全体实数.18. 设f(_)= a_+b_+c,一元二次方程a_+b_+c=0.的根的分布(a＞0):①一根为零过原点c=0.②有一个正根和一个负根f(0)＜0.③有一根大于a,一根小于af(a)＜0.④有两个正根△≥0,＞0, f(0)＞0.⑤有两个负根△≥0,＜0, f(0)＞0.⑥有一个正根和一个负根,并且正根的绝对值大于负根的绝对值△≥0,＞0, f(0)＜0.⑦有一个正根和一个负根,并且正根的绝对值小于负根的绝对值△≥0,＜0, f(0)＜0.⑧两根都大于ｍ△≥0,＞m, f(ｍ)＞0.⑨两根都小于ｍ△≥0,＜m, f(ｍ)＞0.⑩一根在a.b之间,另一根在c.d之间(a_lt;b_lt;c_lt;d)f (a) ＞0,f (b) ＜0,f (c) ＜0,f (d) ＞0.__9322; 两根互为相反数对称轴为_=0b=0.19. 绝对值不等式的解法:①｜_｜＞a(a_gt;0)__lt;－a或_ _gt; a,若a_lt;0则_取全体实数.②｜_｜_lt; a(a_gt;0)－a_lt;__lt;a,若a_lt;0则_无解.20.练习:①抛物线通过(1,1),(－1,3),(2,)三点,求解析式.②抛物线的顶点是(1,3),且抛物线通过点(2,1),求解析式.③抛物线通过(－2,0)与(3,0)两点,并且与y轴的交点的纵坐标为－2,求解析式.④一个一次函数的图象与一个反比例函数的图象相交于点A(1,2),此一次函数的图象还经过点B(3,2).求这两个函数的解析式.⑤已知ｙ＋5与_＋3成正比例,且当_＝1时,y=3.(1)求ｙ与_的函数关系式;(2)作出此函数的图象.⑥已知抛物线y=a_+b_+c与ｙ轴交于点C,与_轴交于点A(_,0),B(_,0)(_＜_,顶点M的纵坐标为－4,若_,_是方程_－2(m－1)_+m－7的两根,且_+_=10. (1)求A.B两点的坐标; (2)求抛物线的解析式及点C的坐标;(3)在抛物线上是否存在点P,使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍?若存在,求出符合条件的点的坐标若不存在,说明理由.⑦已知抛物线y=－_+2_+3与_轴的交点为A,B,与y轴的交点为C,顶点为P.(1) 求经过P,C的直线与_轴交点Q的坐标;(2) 求tan∠PQB的值.⑧已知抛物线y= _+5_+k与_轴两个交点间的距离等于3,与y轴交点为点C.直线y=k_+10与抛物线交A,B两点.求三角形ABC的面积.⑨已知二次函数y=(m+2)_－(2m－1)_+m－3.(1) 求证:无论m取任何实数,此二次函数的图象与_轴都有两个交点.(2) 当m取何值时,二次函数的图象与_轴两个交点之间的距离等于2.(3) 当m取何值时,二次函数的图象与_轴两个交点分布在y轴两侧.⑩已知抛物线y= _－(m+8)_+2 m+12,(1) 这个抛物线与_轴有几个交点?如果没有交点,请说明理由;如果有交点,能否判断交点的位置.(2) 由(1)中若能得出抛物线与_轴有两个交点A,B且与y轴交于点C,如果△ABC的面积=80,能否求出m的值?(3)抛物线顶点为点P,是否存在实数m使△APB为等腰直角三角形?如果不存在,请说明理由.如果存在,请求出.。
函数图像知识点总结
函数图像知识点总结一、基本概念函数图像是指表示函数在平面直角坐标系中的图形。
对于一元函数 f(x)，其图像可以在平面直角坐标系中用曲线表示。
函数图像的形状和特征可以帮助我们更直观地理解函数的性质和行为。
二、函数图像的绘制1. 确定定义域和值域：在绘制函数图像之前，首先要明确函数的定义域和值域，以便确定图像的范围。
2. 描点法：通常利用描点法来绘制函数图像。
具体来说，选择一些横坐标值，计算对应的纵坐标值，并将这些点在平面直角坐标系上连接起来，就得到了函数的图像。
3. 利用导数：对于一些特定的函数，可以通过求导数的方式来画出函数的图像。
导数可以给出函数的斜率的变化情况，进而可以描绘出函数的图像。
三、函数图像的性质1. 奇偶性：若函数 f(x) 满足 f(-x) = f(x)，则称其为偶函数；若满足 f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。
奇偶性可以决定函数图像的对称性。
2. 增减性：函数的增减性可以通过导数的正负性来判断，从而可以描绘出函数图像的涨跌趋势。
3. 极值和拐点：函数图像在极值点处可能出现极大值或极小值，拐点处则可能出现函数图像的拐角。
四、常见函数图像1. 一次函数：y = kx + b，其图像为一条直线，具有斜率和截距的特点。
2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其图像为抛物线，具有顶点和开口方向的特点。
3. 指数函数：y = a^x，其图像为一条逐渐增长或逐渐减小的曲线，具有指数增长的特点。
4. 对数函数：y = log_a(x)，其图像为一条逐渐变缓的曲线，具有对数增长的特点。
五、函数图像的应用1. 函数的性质分析：通过函数图像，可以更加直观地了解函数的奇偶性、增减性、极值点等性质。
2. 优化问题：在数理求解、工程优化等领域，函数图像可以帮助我们找到函数的最大值、最小值等优化问题。
3. 理解函数变化：函数图像可以展示函数曲线的变化趋势，帮助我们更好地理解函数的变化规律。
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第六章：函数及其图像
知识点：
一、平面直角坐标系
1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。
在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。
2、不同位置点的坐标的特征：
（1）各象限内点的坐标有如下特征：
点P （x, y ）在第一象限⇔x ＞0，y ＞0；
点P （x, y ）在第二象限⇔x ＜0，y ＞0；
点P （x, y ）在第三象限⇔x ＜0，y ＜0；
点P （x, y ）在第四象限⇔x ＞0，y ＜0。
（2）坐标轴上的点有如下特征：
点P （x, y ）在x 轴上⇔y 为0，x 为任意实数。
点P （x ，y ）在y 轴上⇔x 为0，y 为任意实数。
3．点P （x, y ）坐标的几何意义：
（1）点P （x, y ）到x 轴的距离是| y |；
（2）点P （x, y ）到y 袖的距离是| x |；
（3）点P （x, y ）到原点的距离是22y x +
4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：
（1）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(1b a P -；
（2）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(2b a P -；
（3）点P （a, b ）关于原点的对称点是),(3b a P --；
二、函数的概念
1、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。
2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。
（1）自变量取值范围的确是：
①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。
②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分母不为0的实数。
③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是使被开方数非负的实数。
注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义。
（2）函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。
（3）函数的表示方法：①解析法；②列表法；③图像法
（4）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是：①列表；②描点；③连线
三、几种特殊的函数
1、一次函数
直线位置与k ，b 的关系：
（1）k ＞0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为锐角；
（2）k ＜0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为钝角；
（3）b ＞0直线与y 轴交点在x 轴的上方；
（4）b ＝0直线过原点；
（5）b ＜0直线与y 轴交点在x 轴的下方；
2、二次函数
抛物线位置与a ，b ，c 的关系：
（1）a 决定抛物线的开口方向⎩⎨⎧⇔<⇔>开口向下开口向上
00a a
（2）c 决定抛物线与y 轴交点的位置：
c>0⇔图像与y 轴交点在x 轴上方；c=0⇔图像过原点；c<0⇔图像与y 轴交点在x 轴下方；
（3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置：a ，b 同号，对称轴在y 轴左侧；b ＝0，对称轴是y 轴； a ，b 异号。
对称轴在y 轴右侧；
3、反比例函数：
4、正比例函数与反比例函数的对照表：
例题：
例1、正比例函数图象与反比例函数图象都经过点P（m，4），已知点P到x轴的距离是到y轴的距离2倍.
⑴求点P的坐标.；
⑵求正比例函数、反比例函数的解析式。
分析：由点P到x轴的距离是到y轴的距离2倍可知：2|m|=4，易求出点P的坐标，再利用待定系数法可求出这正、反比例函数的解析式。
例2、已知a ，b 是常数，且y+b 与x+a 成正比例.求证：y 是x 的一次函数.
分析：应写出y+b 与x+a 成正比例的表达式，然后判断所得结果是否符合一次函数定义.
例3、填空：如果直线方程ax+by+c=0中，a ＜0，b ＜0且bc ＜0，则此直线经过第________象限.
分析：先把ax+by+c=0化为b c x b a --.因为a ＜0，b ＜0，所以0,0〈-〉b
a b a ，又bc ＜0，即b c ＜0，故－b c ＞0.相当于在一次函数y=kx+l 中，k=－b a ＜0，l=－b
c ＞0，此直线与y 轴的交点(0，－b c )在x 轴上方.且此直线的向上方向与x 轴正方向所成角是钝角，所以此直线过第一、二、四象限.
例4、把反比例函数y=x
k 与二次函数y=kx 2(k ≠0)画在同一个坐标系里，正确的是( ). 答：选(D).这两个函数式中的k 的正、负号应相同(图13－110).
例5、画出二次函数y=x 2-6x+7的图象，根据图象回答下列问题：
（1）当x=-1，1，3时y 的值是多少？
（2）当y=2时，对应的x 值是多少？
（3）当x ＞3时，随x 值的增大y 的值怎样变化？
（4）当x 的值由3增加1时，对应的y 值增加多少？
分析：要画出这个二次函数的图象，首先用配方法把y=x 2-6x+7变形为y=（x-3）2-2，
确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后列表、描点、画图．
例6、拖拉机开始工作时，油箱有油45升，如果每小时耗油6升．
（1）求油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象．
答：（1）Q=45-6t．
（2）图象略．注意：这是实际问题，图象只能由自变量t的取值范围0≤t≤7.5决定是一条线段，而不是直线．。