一元二次方程根的分布问题(教师版)

一元二次方程实根的分布
学习目的： 掌握一元二次方程的零分布和k 分布)0(≠k .
学习过程： 提出问题
我们在二次函数和不等式的基础上讨论一元二次方程根的分布问题. 结合图象易于理解.
引入新课
知识点1 零分布
设一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为x 1, x 2，且21x x ≤
定理1：01>x ，⇔>02x 000
2121>⋅>+≥∆x x x x 推论：01>x ，⇔>02x
0)0(00<>>≥∆b f a 或 0
00
><<≥∆b c a .
定理2：01<x ，⇔<02x 0
00
2121>⋅<+≥∆x x x x .
推论：01<x ，⇔<02x
0)0(00>>>≥∆b f a 或 0
0)0(0
<<<≥∆b f a .
定理3：0021<⇔
<<a
c
x x . 定理4：01=x ，002=⇔>c x ，且0<a b
（可得证0>∆）. 01<x ，002=⇔=c x ，且
0>a
b
. 知识点2 非零分布—k 分布
所谓非零分布—k 分布，指的是方程的根与k 的关系。

设一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为x 1, x 2，且21x x ≤，k 为实常数。

定理1：⇔≤<21x x k k a
b k af >->≥∆20)(0
.
定理2：⇔<≤k x x 21 k a b k af <->≥∆20)(0
.
定理3：0)(21<⇔<<k af x k x .
证:0]44)2[()(222
<-++=a b ac a b k a k af ,∴0)2(422≥+>-a
b
k ac b ，∴042>-ac b 肯定
有相异实根.
定理4：有且仅有11x k <(或x 2)0)()(212<⇔<k f k f k .
定理5：⇔<<≤<<221211p x p k x k 0
)(0)(0)(0)(02121>>>>>p f p f k f k f a 或 0
)(0)(0)(0)(02121<>><<p f p f k f k f a .
定理6：⇔<≤<2211k x x k 212120)(0
)(0
0k a
b
k k f k f a <-
<>>>≥∆ 或 212120)(0
)(0
0k a
b
k k f k f a <-
<<<<≥∆.
典例解析:
例: 已知方程2(3)0x m x m +-+=, 求m 的取值范围. (1)方程有两个正根; 030{01}.0m m m m ∆≥⎧⎪
->⇒<≤⎨⎪>⎩
(2) 方程有两个负根; 030{9}.0m m m m ∆≥⎧⎪
-<⇒≥⎨⎪>⎩
(3)方程的两根都小于1; 01{9}.2(1)0
b m m a f ∆≥⎧⎪⎪
-<⇒≥⎨⎪⎪>⎩ (4)方程的两根都大于
1
2
; 01
5{1}.22
61()02
b m m a f ⎧
⎪∆≥⎪
⎪-
>⇒<≤⎨⎪⎪>⎪⎩ (5)①方程有两异号根; (0)0{0}.f m m <⇒<
②一个根大于1, 一个根小于1. (1)0{1}.f m m <⇒<
(6)一个正根, 一个负根, 且正根的绝对值较大; (0)0{0}.02f m m b
a
<⎧⎪
⇒<⎨->⎪⎩ (7)一个根小于2, 一个根大于4; (2)04
{}(4)05f m m f <⎧⇒<-⎨
<⎩
.
(8)两根都在(0,2)内;
0022{1}.23(0)0
(2)0b m m a f f ∆≥⎧⎪⎪<-
<⎪⇒<≤⎨
⎪>⎪>⎪⎩
(9)两个根有且只有一个在(0,2)内;
2
(0)(2)0{0}.3
f f m m <⇒<<
(10)①一个根在(2,0)-内, 另一个在(1,3)内; (2)0(0)0.(1)0(3)0
f f m f f ->⎧⎪<⎪
⇒∈∅⎨
<⎪⎪>⎩ ②一个根在(2,0)-内, 另一个在(0,4)内; (2)0
4(0)0{0}.5(4)0
f f m m f ->⎧⎪
<⇒-<<⎨⎪>⎩
动手试试:
1. 若一元二次方程0)12()1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围. 解：（I ）
)1(20
10<+>->-≥∆m m m 或（II ）
)1(20
10>+<-<-≥∆m m m 对应推论而得,由（I ）得φ∉m ，而由（II ）知10<<m ，
∴10<<m .
2. k 取何值时，一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根为负.
解： 0
00
2121>⋅<+≥∆x x x x ⇒ 3005
12
><≥-
≤k k k k 或或 ∴5
12
-≤k 或3>k .
3. k 取何值时，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一正根和一负根. 解：03
<-k
k ，∴30<<k .
4. 已知方程02112=-+-m x x 的两根都大于1，求m 的取值范围.
解： 120)1(0
>->≥∆a b
af ⇒
1241
32
>≤m m ∴4
1
3212≤<m .
5. 若方程0)2(2=-++k x k x 的两实根均在区间1(-, 1)内，求k 的取值范围.
解： 1
2
210)1(0
)1(0<+-<->>-≥∆k f f ∴2
1
324-<<+k .。