结构力学之平面体系的几何组成分析
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ΙΙ
C
A
B
例三、 分析图示体系的几何构造：
C
D
解法一：
1、找刚片：
视ABCD为刚片I，基础为刚片II。
A B
２、拉关系：
刚片I和刚片II用既不全平行，也 不全交于一点的三根链杆相联。 ３、用规则，下结论： 根据二刚片规则，该体系是几何 不变体系，且无多余约束。
ΙΙ
解法二：
1、找刚片：
C
D
视ABCD为刚片I，基础为刚片II。 ２、拉关系：
任意取消一个约束，体系就变成了 几何可变体系。
（二）有多余联系的几何不变体系称为超静 定结构。
特点： 某些约束撤除以后，剩余体系仍
为几何不变体系。
二、静力特性： （一）静定结构： 在荷载作用下，可以依据 三个静力平衡条件确定全 部支座反力和内力，且解 答唯一。
（二）超静定结构：在荷载作用下，只靠静力
F
ΙΙΙ
G
刚片II 和刚片III用两根链杆，相当于虚铰D相联。 ３、用规则，下结论： 根据三刚片规则，该体系是几
何不变体系，且无多余约束。
二、二刚片规则： 两个刚片用既不全平行也不全交于一点的 三根链杆相联，所组成的体系是几何不变 体系，且无多余约束。
O
ΙΙ
ΙΙΙ
推论：
两个刚片由一个铰和一根轴线不通过该铰的 链杆相联，所组成的体系是几何不变体系， 且无多余约束。
及其推论时，可先撤去基础，分析剩 余部分。
例五、
B
D
A
C
E
ΙΙ
技巧四: 与外界只有两个铰相联结的刚片 可视为链杆。
例六、 O
B C D
O'
ΙΙ
F G I J
A
E
H
K
ΙΙΙ
无多余约束的几何不变体系。
§4
静定结构和超静定结构
一、几何构造特性： （一）无多余联系的几何不变体系称为静定 结构。
静定结构几何组成的特点是：
同时联结两个刚片的两根链杆相当于 从约束的角度讲，一个单铰相当于两根 链杆的作用。 一个单铰的作用。
瞬铰 实铰 虚铰
实交
延长线相交
平行
例二、 试对图示体系作几何组成分析：
B
C
A
ΙΙ
D
解： 1、找刚片：
E
视ABC为刚片I，CDEF为
H
刚片II，基础为刚片III。 ２、拉关系： 刚片I和刚片II用C铰相联， 刚片I和刚片III用A铰相联，
解法一： 1、找刚片： 视AB为刚片I，基础为刚片II。
B
A
２、拉关系：
ΙΙ
刚片I和刚片II用全交于一点的 三根链杆相联。
３、用规则，下结论：
根据二刚片规则，该体系是几何
可变体系。
解法二：
1、找刚片： 视AB为刚片I，基础为刚片II。
A
B
C
２、拉关系：
刚片I和刚片II用铰A和一根轴线 通过铰A的链杆BC相联。 ３、用规则，下结论：
A
B
ΙΙ
E
刚片I和刚片II用铰A和一根轴线 不通过铰A的链杆BE相联。 ３、用规则，下结论： 根据二刚片规则的推论，该体系 是几何不变体系，且无多余约束。
体系与基础的联结满足两 刚片规则或其推论的结构 叫简支结构。
C
A
B
ΙΙ
C
F
简支刚架
B E
A
D
简支梁
简支刚架
例四、 分析图示体系的几何构造：
平衡条件不能求出全部支 座反力或内力。
形状也会发生改变的体系。
只有几何不变体系才能作为结构而被采用。
二、刚片和链杆的概念： （一）刚片： 刚体在平面上的投影就是刚片。 任何一个几何不变部分都可以看作是 一个刚片。 比如：
一根梁，
基础
（二）链杆：
两端仅用铰与其它部分相联的单个构件，
用
表示。
几何不变部分
刚片
三、自由度：
确定体系位置所需要的独立坐标数目。
ΙΙ
O
２、三根链杆延长线 交于一点；
O
ΙΙ
(a )
(b )
常变体系
瞬变体系
（三）联结三个刚片的三个铰在同一直线上：
ΙΙ
ΙΙΙ
在这一瞬时
瞬变体系
瞬变体系能否作为结构而被采用？
P
A
C
C
P
B
N
N
ℓ
ຫໍສະໝຸດ Baidu
ℓ
C
由 Y 0 ,
即， N sin P 0 , 2
1、由于内力太大，杆 件被破坏。 2、杆件变形很大，虽 不破坏，但受力情 况很恶劣。 ∴
例二、
A
D
F
ΙΙ
B
C
E
凡上部体系与基础的 联结满足两刚片规则 时，可先不考虑基础， 分析剩余部分。
解： 1、找刚片： 视AB为刚片I，CE为刚片II 。 ２、拉关系： 刚片I和刚片II通过四根既不全平行， 也不全交于一点的链杆相联，组成一 个有一个多余约束的几何不变体系。 上述几何不变体系与基础按照 ３、 用规则，下结论： 二刚片规则组成新的几何不变 体系。 ∴ 该体系是有一个多余约束的几何不变体系。
三、示例：分析图示各体系的几何构造： 例一、
I
C
解：
1、找刚片：
D
F
视ABCD为刚片I，DEFG为刚 片II ，基础为刚片III。 ２、拉关系：
ΙΙ
E
刚片I和刚片II通过D铰相联， 刚片I和刚片III通过A铰相联， 刚片II和刚片III通过虚铰G 相联。 ３、用规则，下结论：
B
A
G
H
ΙΙΙ
根据三刚片规则，该体系是无多余约束 的几何不变体系。
y
一个单铰相当于2个约束。
从约束的角度讲：
x
o
一个单铰相当于两根
链杆的作用。
五、多余约束： 增加约束不能减少自由度，
这种约束叫多余约束。
A
在几何不变体系中，如果撤除某些约束 后，体系仍为几何不变的，则称可以撤 除的约束是多余约束。
§2
几何不变体系的基本组成规则
一、三刚片规则：
三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两 两相联，所组成的体系是几何不变体系， 且无多余约束。
平面体系的几何组成分析
§1 几个基本概念 一、几何不变体系和几何可变体系： 本章不考虑材料的弹性变形！
P P
(a )
(b )
几何不变体系：是在荷载作用下，在不考虑 材料的弹性变形的前提下，位置和几何形状 保持不变的体系。 几何可变体系： 是在荷载作用下，即使在不
考虑材料的弹性变形的前提下，位置和几何
例三、
解：
B
D
E
ΙΙ
F
A
C
1、找刚片： 基本铰结三角形ABC，增加二元B-D-C 后仍为几何不变体系，AD是多余约束；因此，ABCD 是有一个多余约束的几何不变体系，视为刚片I；EF 视为刚片II 。 ２、拉关系：刚片I和刚片II用两根链杆相联。 ３、 用规则，下结论：根据二刚片规则，上部体系是 有一个多余约束的几何可变体系；与基础相联后， 仍是有一个多余约束的几何可变体系。
ΙΙ
根据二刚片规则的推论，该体系
是几何可变体系。
三、二元体规则： （一）什么是二元体？ 二元体：两根不共线的链杆联结一个新结点
的设置。
C
A
B
书写：二元体A-C-B。
（二）二元体规则： 增加或去掉二元体不改变原体系的几何 组成性质。
C
A
B
例五、 分析图示体系的几何构造：
解：
A D E
基本铰结三角形ABC符合 三刚片规则，是无多余约
点：
y
平面内点的自由度为
A(x, y)
2
y
o
2
x
x
刚片：
平面内刚片的自由度为
3
y
y
(x, y)
A
3
o
x
x
四、约束（联系）： 减少自由度的装置。
一根链杆把一个刚片和基础相连，这时
刚片的自由度为多少？
y
2
3-2= 1
A
o
x
一根链杆相当于一个约束。
单铰： 仅联结两个刚片的铰叫单铰。
3-1= 2
四、几种情况： （一）两刚片用三根全平行的链杆相联； １、三根链杆等长； ２、三根链杆不等长；
ΙΙ ΙΙ
(a )
(b )
瞬变体系
常变体系
——原为几何可变的，经 微小位移后即成为几何不
变的体系。
请大家思考： 瞬变体系能否作为结构 而被采用？
（二）两刚片用全交于一点的三根链杆相联。 １、三根链杆实交于 一点；
无多余约束的几何不变体系
A
B
F
G
C
IV H
D
E
I
ΙΙ
ΙΙΙ
J
首先分析基础与多跨梁中的哪一段 组成了几何不变体系。
例三、
E
B
D
F
ΙΙ
H
瞬 变 体 系
I
C
G
A
技巧二： 撤二元体，分析剩余部分。
例四、
A
ΙΙ
B C D
E
何无 不多 变余 体约 系束 。的 几
技巧三： 当体系与基础的联结满足两刚片规则
B C F G
束的几何不变体系；依次
在其上增加二元体A-D-C、 C-E-D、C-F-E、E-G-F后， 体系仍为几何不变体，且 无多余约束。
§3
几何组成分析示例
通常，把判断某个体系是否几何可变 的过程，叫做几何构造分析。 一、依据： 几个规则及推论
二、步骤： 1、找刚片：
２、拉关系： ３、用规则，下结论：
3×3 = 9 同一时刻
ΙΙ
C
ΙΙΙ
9-6= 3
3×2 = 6
A
B
例一、 试对图示体系作几何组成分析：
C
解： 1、找刚片：
视ADC为刚片I，BEC为 D E 刚片II，基础为刚片III。 ΙΙ ２、拉关系： 刚片I和刚片II用C铰相 联，刚片I和刚片III用A B A 铰相联，刚片II和刚片 ΙΙΙ III用B铰相连。 ３、用规则，下结论： 根据三刚片规则，该体系是几 何不变体系，且无多余约束。
得：
N
P 2 sin
瞬变体系绝对不能作为结构被采用。
五、几何组成分析中的一些技巧及其示例：
例一、
A
E
B
IV F
C
ΙΙΙ
D
ΙΙ
G
这类体系叫多跨梁。
何无 不多 变余 体约 系束 。的 几
技巧一：每次先考察体系的一部分刚片，在 该部分应用基本规则，把已经组成的几何不变 部分当作刚片。
例二、
C
A
B
例三、 分析图示体系的几何构造：
C
D
解法一：
1、找刚片：
视ABCD为刚片I，基础为刚片II。
A B
２、拉关系：
刚片I和刚片II用既不全平行，也 不全交于一点的三根链杆相联。 ３、用规则，下结论： 根据二刚片规则，该体系是几何 不变体系，且无多余约束。
ΙΙ
解法二：
1、找刚片：
C
D
视ABCD为刚片I，基础为刚片II。 ２、拉关系：
任意取消一个约束，体系就变成了 几何可变体系。
（二）有多余联系的几何不变体系称为超静 定结构。
特点： 某些约束撤除以后，剩余体系仍
为几何不变体系。
二、静力特性： （一）静定结构： 在荷载作用下，可以依据 三个静力平衡条件确定全 部支座反力和内力，且解 答唯一。
（二）超静定结构：在荷载作用下，只靠静力
F
ΙΙΙ
G
刚片II 和刚片III用两根链杆，相当于虚铰D相联。 ３、用规则，下结论： 根据三刚片规则，该体系是几
何不变体系，且无多余约束。
二、二刚片规则： 两个刚片用既不全平行也不全交于一点的 三根链杆相联，所组成的体系是几何不变 体系，且无多余约束。
O
ΙΙ
ΙΙΙ
推论：
两个刚片由一个铰和一根轴线不通过该铰的 链杆相联，所组成的体系是几何不变体系， 且无多余约束。
及其推论时，可先撤去基础，分析剩 余部分。
例五、
B
D
A
C
E
ΙΙ
技巧四: 与外界只有两个铰相联结的刚片 可视为链杆。
例六、 O
B C D
O'
ΙΙ
F G I J
A
E
H
K
ΙΙΙ
无多余约束的几何不变体系。
§4
静定结构和超静定结构
一、几何构造特性： （一）无多余联系的几何不变体系称为静定 结构。
静定结构几何组成的特点是：
同时联结两个刚片的两根链杆相当于 从约束的角度讲，一个单铰相当于两根 链杆的作用。 一个单铰的作用。
瞬铰 实铰 虚铰
实交
延长线相交
平行
例二、 试对图示体系作几何组成分析：
B
C
A
ΙΙ
D
解： 1、找刚片：
E
视ABC为刚片I，CDEF为
H
刚片II，基础为刚片III。 ２、拉关系： 刚片I和刚片II用C铰相联， 刚片I和刚片III用A铰相联，
解法一： 1、找刚片： 视AB为刚片I，基础为刚片II。
B
A
２、拉关系：
ΙΙ
刚片I和刚片II用全交于一点的 三根链杆相联。
３、用规则，下结论：
根据二刚片规则，该体系是几何
可变体系。
解法二：
1、找刚片： 视AB为刚片I，基础为刚片II。
A
B
C
２、拉关系：
刚片I和刚片II用铰A和一根轴线 通过铰A的链杆BC相联。 ３、用规则，下结论：
A
B
ΙΙ
E
刚片I和刚片II用铰A和一根轴线 不通过铰A的链杆BE相联。 ３、用规则，下结论： 根据二刚片规则的推论，该体系 是几何不变体系，且无多余约束。
体系与基础的联结满足两 刚片规则或其推论的结构 叫简支结构。
C
A
B
ΙΙ
C
F
简支刚架
B E
A
D
简支梁
简支刚架
例四、 分析图示体系的几何构造：
平衡条件不能求出全部支 座反力或内力。
形状也会发生改变的体系。
只有几何不变体系才能作为结构而被采用。
二、刚片和链杆的概念： （一）刚片： 刚体在平面上的投影就是刚片。 任何一个几何不变部分都可以看作是 一个刚片。 比如：
一根梁，
基础
（二）链杆：
两端仅用铰与其它部分相联的单个构件，
用
表示。
几何不变部分
刚片
三、自由度：
确定体系位置所需要的独立坐标数目。
ΙΙ
O
２、三根链杆延长线 交于一点；
O
ΙΙ
(a )
(b )
常变体系
瞬变体系
（三）联结三个刚片的三个铰在同一直线上：
ΙΙ
ΙΙΙ
在这一瞬时
瞬变体系
瞬变体系能否作为结构而被采用？
P
A
C
C
P
B
N
N
ℓ
ຫໍສະໝຸດ Baidu
ℓ
C
由 Y 0 ,
即， N sin P 0 , 2
1、由于内力太大，杆 件被破坏。 2、杆件变形很大，虽 不破坏，但受力情 况很恶劣。 ∴
例二、
A
D
F
ΙΙ
B
C
E
凡上部体系与基础的 联结满足两刚片规则 时，可先不考虑基础， 分析剩余部分。
解： 1、找刚片： 视AB为刚片I，CE为刚片II 。 ２、拉关系： 刚片I和刚片II通过四根既不全平行， 也不全交于一点的链杆相联，组成一 个有一个多余约束的几何不变体系。 上述几何不变体系与基础按照 ３、 用规则，下结论： 二刚片规则组成新的几何不变 体系。 ∴ 该体系是有一个多余约束的几何不变体系。
三、示例：分析图示各体系的几何构造： 例一、
I
C
解：
1、找刚片：
D
F
视ABCD为刚片I，DEFG为刚 片II ，基础为刚片III。 ２、拉关系：
ΙΙ
E
刚片I和刚片II通过D铰相联， 刚片I和刚片III通过A铰相联， 刚片II和刚片III通过虚铰G 相联。 ３、用规则，下结论：
B
A
G
H
ΙΙΙ
根据三刚片规则，该体系是无多余约束 的几何不变体系。
y
一个单铰相当于2个约束。
从约束的角度讲：
x
o
一个单铰相当于两根
链杆的作用。
五、多余约束： 增加约束不能减少自由度，
这种约束叫多余约束。
A
在几何不变体系中，如果撤除某些约束 后，体系仍为几何不变的，则称可以撤 除的约束是多余约束。
§2
几何不变体系的基本组成规则
一、三刚片规则：
三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两 两相联，所组成的体系是几何不变体系， 且无多余约束。
平面体系的几何组成分析
§1 几个基本概念 一、几何不变体系和几何可变体系： 本章不考虑材料的弹性变形！
P P
(a )
(b )
几何不变体系：是在荷载作用下，在不考虑 材料的弹性变形的前提下，位置和几何形状 保持不变的体系。 几何可变体系： 是在荷载作用下，即使在不
考虑材料的弹性变形的前提下，位置和几何
例三、
解：
B
D
E
ΙΙ
F
A
C
1、找刚片： 基本铰结三角形ABC，增加二元B-D-C 后仍为几何不变体系，AD是多余约束；因此，ABCD 是有一个多余约束的几何不变体系，视为刚片I；EF 视为刚片II 。 ２、拉关系：刚片I和刚片II用两根链杆相联。 ３、 用规则，下结论：根据二刚片规则，上部体系是 有一个多余约束的几何可变体系；与基础相联后， 仍是有一个多余约束的几何可变体系。
ΙΙ
根据二刚片规则的推论，该体系
是几何可变体系。
三、二元体规则： （一）什么是二元体？ 二元体：两根不共线的链杆联结一个新结点
的设置。
C
A
B
书写：二元体A-C-B。
（二）二元体规则： 增加或去掉二元体不改变原体系的几何 组成性质。
C
A
B
例五、 分析图示体系的几何构造：
解：
A D E
基本铰结三角形ABC符合 三刚片规则，是无多余约
点：
y
平面内点的自由度为
A(x, y)
2
y
o
2
x
x
刚片：
平面内刚片的自由度为
3
y
y
(x, y)
A
3
o
x
x
四、约束（联系）： 减少自由度的装置。
一根链杆把一个刚片和基础相连，这时
刚片的自由度为多少？
y
2
3-2= 1
A
o
x
一根链杆相当于一个约束。
单铰： 仅联结两个刚片的铰叫单铰。
3-1= 2
四、几种情况： （一）两刚片用三根全平行的链杆相联； １、三根链杆等长； ２、三根链杆不等长；
ΙΙ ΙΙ
(a )
(b )
瞬变体系
常变体系
——原为几何可变的，经 微小位移后即成为几何不
变的体系。
请大家思考： 瞬变体系能否作为结构 而被采用？
（二）两刚片用全交于一点的三根链杆相联。 １、三根链杆实交于 一点；
无多余约束的几何不变体系
A
B
F
G
C
IV H
D
E
I
ΙΙ
ΙΙΙ
J
首先分析基础与多跨梁中的哪一段 组成了几何不变体系。
例三、
E
B
D
F
ΙΙ
H
瞬 变 体 系
I
C
G
A
技巧二： 撤二元体，分析剩余部分。
例四、
A
ΙΙ
B C D
E
何无 不多 变余 体约 系束 。的 几
技巧三： 当体系与基础的联结满足两刚片规则
B C F G
束的几何不变体系；依次
在其上增加二元体A-D-C、 C-E-D、C-F-E、E-G-F后， 体系仍为几何不变体，且 无多余约束。
§3
几何组成分析示例
通常，把判断某个体系是否几何可变 的过程，叫做几何构造分析。 一、依据： 几个规则及推论
二、步骤： 1、找刚片：
２、拉关系： ３、用规则，下结论：
3×3 = 9 同一时刻
ΙΙ
C
ΙΙΙ
9-6= 3
3×2 = 6
A
B
例一、 试对图示体系作几何组成分析：
C
解： 1、找刚片：
视ADC为刚片I，BEC为 D E 刚片II，基础为刚片III。 ΙΙ ２、拉关系： 刚片I和刚片II用C铰相 联，刚片I和刚片III用A B A 铰相联，刚片II和刚片 ΙΙΙ III用B铰相连。 ３、用规则，下结论： 根据三刚片规则，该体系是几 何不变体系，且无多余约束。
得：
N
P 2 sin
瞬变体系绝对不能作为结构被采用。
五、几何组成分析中的一些技巧及其示例：
例一、
A
E
B
IV F
C
ΙΙΙ
D
ΙΙ
G
这类体系叫多跨梁。
何无 不多 变余 体约 系束 。的 几
技巧一：每次先考察体系的一部分刚片，在 该部分应用基本规则，把已经组成的几何不变 部分当作刚片。
例二、