高考三角函数重要题型总结

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三角函数十大题型

三角函数十大题型三角函数是数学中的重要概念，与几何图形和三角形的关系密切相关。

在学习三角函数时，有一些常见的题型是必须要熟练掌握的。

下面将介绍三角函数的十大题型以及解题方法。

1. 求角度的正弦、余弦、正切值对于给定的三角函数值，如正弦值sinα=1/2，我们需要求出对应的角度α。

对于求解这类问题，我们可以通过查表法或使用计算器进行近似计算。

2. 求角度的值域与周期对于三角函数中的角度，不同的函数具有不同的值域和周期。

例如，正弦函数的值域是[-1, 1]，周期是2π。

需要掌握各个三角函数的值域和周期，以便在解题过程中进行合理的计算和判断。

3. 角度的性质和恒等变换三角函数中的角度具有一些特殊的性质和恒等变换，如正弦函数的奇偶性、余弦函数的周期性等。

掌握这些性质和变换可以简化问题的求解过程。

4. 通过图像求解问题三角函数的图像可以帮助我们理解和解决问题。

例如，通过观察正弦函数的图像，我们可以确定其最大值、最小值、零点等信息，从而解决与角度相关的问题。

5. 解三角函数方程三角函数方程是指包含三角函数的方程，需要求解其中的未知量。

解三角函数方程时，我们可以通过恒等变换、化简和换元等方法，将其转化为简化的方程组或方程，从而求解出未知量的值。

6.求三角函数的导数求三角函数的导数是解决曲线变化问题的基础。

通过计算三角函数的导数，我们可以求解与速度、加速度等相关的问题。

7. 三角函数的图像变换通过对三角函数进行平移、伸缩和翻转等图像变换，可以得到新的三角函数图像。

掌握这些图像变换可以帮助我们更好地理解和运用三角函数。

8. 三角函数的复合运算在三角函数的求解过程中，经常会遇到要求解三角函数的复合运算，如sin(2x)、cos(2x)等。

掌握三角函数的复合运算可以帮助我们简化问题，并得到更简洁的解答。

9. 三角函数与三角恒等式的运用三角函数与三角恒等式是数学中的重要工具，可以帮助我们简化问题，并得到更方便的解答。

掌握三角函数与三角恒等式的运用可以提高解题的效率和准确性。

三角函数题型归纳总结及方法

三角函数题型归纳总结及方法
三角函数是数学中的一类非常重要的函数，它们涉及的角度和边长的关系在很多实际问题中都有应用。

以下是对三角函数题型及方法的归纳总结:
1.角度和边长的关系:
在直角三角形中，三个内角和等于180度，并且-个角正弦值的平方等于余弦值的平方和。

这是三角函数的基础，也是解决许多问题的关键。

2.三角函数的定义:
三角函数是以角度为自变量，角度的正弦值、余弦值、正切值等为因变量的函数。

这些函数都可以用级数展开式来表示，而展开式又可以表示成多项式和幂级数的形式。

3.同角三角函数之间的关系:
在一个角度下，正弦值、余弦值和正切值之间有一定的关系，这些关系式可以用于简化问题或推导其他公式。

4.三角函数的恒等式:
恒等式是数学中非常有用的工具，它们可以帮助我们在不改变量的条件下推导出新的关系式。

三角函数也有一系列恒等式，如和差恒等式、积化和差恒等式等。

5.三角函数的图像:
图像是理解函数性质的重要工具。

对于三角函数，图像可以用来研究函数的周期性、最值、对称性等性质。

6.三角函数的应用:
三角函数在很多实际问题中都有应用，如物体运动轨迹的计算、振动问题的研究、电磁波的传播等。

解决三角函数问题的常用方法包括:
1.利用角度和边长的关系推导公式;
2.利用同角三角函数之间的关系简化问题;
3.利用恒等式推导新的关系式;
4.利用图像研究函数性质;
5.利用三角函数解决实际问题。

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三角函数经典题型总结

三角函数的经典题型主要包括以下几个方面：
1. 三角函数的基本性质和公式应用：
-三角函数的基本关系：sin²θ+ cos²θ= 1，tanθ= sinθ/cos θ等。

-诱导公式：sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)等的公式。

-二倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差公式等。

2. 解三角形问题：
-正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

-余弦定理：a²= b²+ c²- 2bc cosA，同理可得其他边和角的关系。

-利用正弦定理和余弦定理解决边角关系问题。

3. 三角函数图像和性质：
-正弦函数、余弦函数、正切函数的图像及其周期性、奇偶性、单调性、对称性等性质。

-利用图像解三角函数方程和不等式。

4. 三角函数的应用问题：
-在物理中的应用，如振动问题、波动问题、光学问题等。

-在地理学中的应用，如地图上的方位角、距离计算等。

-在工程学中的应用，如结构力学、电路分析等。

5. 三角函数的复合与逆运算：
-复合三角函数的运算，如sin(cosx)，cos(sinx)等。

-三角函数的反函数，如arcsin(x)，arccos(x)，arctan(x)等。

6. 三角恒等式的证明：
-利用三角函数的基本关系和公式进行恒等式的变形和证明。

以上就是三角函数的一些经典题型总结，掌握这些题型的解题方法和技巧，可以有效地提高解决三角函数问题的能力。

高考三角函数经典题型总结

P xyAOM T 高考三角函数题型总结⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()220r r x y =+>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；αα22sec tan 1=+;αα22csc cot 1=+()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．(3)1cot tan =∙αα;1sec cos =∙αα;1csc sin =∙αα13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：奇变偶不变，符号看象限．重要公式⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=． ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．公式的变形：()βαβαβαtan tan 1)tan(tan tan ∙±=±，2cos 12cosαα+±=；αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±= 辅助角公式()22sin cos sin αααϕA +B =A +B +，其中tan ϕB=A．万能公式万能公式其实是二倍角公式的另外一种变形：2tan 12tan2sin 2ααα+=，2tan 12tan 1cos 22ααα+-=，2tan 12tan2tan 2ααα-=14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x B ωϕ=A ++，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x = cos y x = tan y x =函数性质图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性2π 2π π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭ 无对称轴。

高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总

高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总高考文科数学题型分类汇总：三角函数篇本文旨在汇总高考文科数学中的三角函数题型，包括定义法求三角函数值、诱导公式的使用、三角函数的定义域或值域、三角函数的单调区间、三角函数的周期性、三角函数的图象变换和三角函数的恒等变换。

题型一：定义法求三角函数值这类题目要求根据三角函数的定义，求出给定角度的正弦、余弦、正切等函数值。

这类题目的难点在于熟练掌握三角函数的定义，以及对角度的准确度量。

题型二：诱导公式的使用诱导公式是指通过对已知的三角函数进行代数变形，得到新的三角函数值的公式。

这类题目需要熟练掌握各种诱导公式，以及灵活应用。

题型三：三角函数的定义域或值域这类题目要求确定三角函数的定义域或值域。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数的定义域和值域的概念和计算方法。

题型四：三角函数的单调区间这类题目要求确定三角函数的单调区间，即函数在哪些区间上单调递增或单调递减。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数单调性的判定方法。

题型五：三角函数的周期性这类题目要求确定三角函数的周期。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数周期的计算方法。

题型六：三角函数的图象变换这类题目要求根据给定的变换规律，确定三角函数图象的变化。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对图象变换的计算方法。

题型七：三角函数的恒等变换这类题目要求根据已知的三角函数恒等式，进行变形和推导。

需要掌握各种三角函数的恒等式，以及灵活应用。

2）已知角α的终边经过一点P，则可利用点P在单位圆上的性质，结合三角函数的定义求解．在求解过程中，需注意对角终边位置进行讨论，避免忽略或重复计算．例2已知sinα=0.8，且α∈[0,π2]，则cosα=．答案】0.6解析】∵sinα=0.8，∴cosα=±√1-sin²α=±0.6XXXα∈[0,π2]，∴cosα>0，故cosα=0.6易错点】忘记对cosα的正负进行讨论思维点拨】在求解三角函数值时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．同时，需根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型二诱导公式的使用例3已知tanα=√3，且α∈(0,π2)，则sin2α=．答案】34解析】∵ta nα=√3，∴α=π/30<α<π/2，∴0<2α<πsin2α=sin(π-2α)=sinπcos2α-cosπsin2α=-sin2α2sin2α=0，∴sin2α=0sin2α=3/4易错点】忘记利用诱导公式将sin2α转化为sin(π-2α)思维点拨】在解决三角函数的复合问题时，可利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三角函数的形式，从而简化计算．同时，需注意根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型三三角函数的定义域或值域例4已知f(x)=2sinx+cosx，则f(x)的值域为．答案】[−√5,√5]解析】∵f(x)=2sinx+cosx=√5(sin(x+α)+sin(α-x))，其中tanα=-121≤sin(x+α)≤1，-1≤sin(α-x)≤15≤f(x)≤√5f(x)的值域为[−√5,√5]易错点】忘记利用三角函数的性质将f(x)转化为含有同一三角函数的形式思维点拨】在确定三角函数的定义域或值域时，可利用三角函数的性质将其转化为含有同一三角函数的形式，从而方便计算．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其定义域或值域．题型四三角函数的单调区间例5已知f(x)=sin2x，则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．答案】[0,π/4]∪[3π/4,π]解析】∵f'(x)=2cos2x=2(2cos²x-1)=4cos²x-2f'(x)>0的充要条件为cosx12f(x)在[0,π/4]∪[3π/4,π]上单调递增易错点】忘记将f'(x)化简为含有同一三角函数的形式，或对于三角函数的单调性判断不熟练思维点拨】在求解三角函数的单调区间时，需先求出其导数，并将其化简为含有同一三角函数的形式．然后，利用三角函数的单调性进行判断，得出函数的单调区间．题型五三角函数的周期性例6已知f(x)=sin(2x+π)，则f(x)的周期为．答案】π解析】∵sin(2x+π)=sin2xcosπ+cos2xsinπ=-sin2xf(x)的周期为π易错点】忘记利用三角函数的周期性质思维点拨】在求解三角函数的周期时，需利用三角函数的周期性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其周期．题型六三角函数的图象变换例7已知f(x)=sinx，g(x)=sin(x-π4)，则g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移了．答案】π4解析】∵g(x)=sin(x-π4)=sinxcosπ4-cosxsinπ4g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移π4易错点】忘记利用三角函数的图象变换公式，或对于三角函数的图象不熟悉思维点拨】在求解三角函数的图象变换时，需利用三角函数的图象变换公式，即y=f(x±a)的图象相对于y=f(x)的图象向左（右）平移a个单位．同时，需对于各种三角函数的图象有一定的了解，以便准确判断图象的变化情况．题型七三角函数的恒等变换例8已知cosα=12，且α∈(0,π2)，则sin2α的值为．答案】34解析】∵cosα=12，∴sinα=√3/2sin2α=2sinαcosα=√3/2×1/2=3/4易错点】忘记利用三角函数的恒等变换公式思维点拨】在求解三角函数的恒等变换时，需熟练掌握三角函数的基本恒等式和常用恒等式，从而简化计算．同时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．已知角α的终边所在的直线方程，可以通过设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义来解决相关问题。

高考中三角函数和解三角形的真题（常见的题型）汇总

三角函数类型一：角度的概念、弧长和三角函数的概念1已知角q 的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若),4(y P 是角q 终边上的一点，且552sin -=q ，则y的值的值2已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所对的弧长是 3若0cos sin <q q ，则角q 在第在第___________________________象限角。

象限角。

4 4 已知已知q 为第二象限角；则2q可能为第可能为第_____________________象限角。

象限角。

5已知q 为第二象限角；则24a p +所在的象限是所在的象限是_____________________。

6已知角a 的终边过点)60cos 6,8(--m P ，且54cos -=a ，则m 的值为的值为7在平面直角坐标系中，若角a 的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终点经过点)4,3(a a P -)0(<a ，则a a cos sin +的值为的值为8 8 已知角已知角a 的终边经过点)3,4(-，则a cos 等于等于答案：1 -8-8；；21sin 2；3 二或四；4 一或三；5 一或三；6 21；7 51；8 54-。

类型二：同角三角函数的求值与化解（a a a a a cos tan sin ,1cos sin 22×==+）1求300sin =_______=_______。

2已知3cos sin cos sin =-+xx x x ，则x tan 的值是的值是________________________。

3若点)9,(a 在函数xy 3=的图像上，则6tanpa 的值为的值为 4已知a 是第二象限角，135sin =a ，则a cos 的值的值5已知51)25sin(=+a p ，那么a cos 的值的值6已知21tan -=a ，则1cos 22sin 2--a a 等于等于7)1410tan(-的值的值8 8 记记cos(80)k -°=,那么tan100°= 9已知11-tan tan -=a a，则2cos sin sin 2++a a a = 10 已知角)2,0(p Îx ，21cos 22££-x 的解集是_____。

高考三角函数题型归纳总结

高考三角函数题型归纳总结
高考解三角函数题型归纳总结
一、函数值的计算
1.由某个函数的定义求指定的函数值
2.由表达式求某个函数的值
3.由一切三角函数的基本等式求某个函数的值
二、函数的延长
1.函数的延长：对某个函数的符号或值作一定重新定义，以推广原函数的定义域，使原值可以成为新函数的值
2.求函数值时把原函数的值替换新定义的函数的值
三、函数的平移
1.对某个函数作一定的平移变换，使其实轴、值轴都做出一定的平移
2.函数按照平移变换规则，将原函数的值按比例地经过初始点再离开
四、函数的综合运用
1.记住一些常见的组合等式，如：sinα±cosα=sincosα、sin α-cosα=-2sinsinα/2
2.按延长或平移变换，用组合等式解决具体问题
3.用其他三角函数的关系转换，把一种函数转换成另一种，如tanα=sinα/cosα。

- 1 -。

高考数学三角函数公式常考题型汇总

2.
若
sin
，则
cos
=
A. 7 9
B. 1 3
C. 1 3
D. 7 9
3.
（2012
江苏）设
为锐角，若 cos
6
4 5
，则
sin
2
12
的值为
．
4. 已知 , (, ) ，且 tan( ) ， tan ，则 _______.
题型三：二倍角及降幂公式 1. 化简： sin __________.
D.
9.
（2014
全国Ⅰ）设
(,
)
，
(,
)
，且
tan
sin cos
，则
A.
B.
C.
D.
10. 若 f (x) sin(x ) 为奇函数，则 _________;若 f (x) sin(x ) 为偶函数，则 _________.
3. （2018 全国Ⅲ）函数 f（x）＝
的最小正周期为（）
A．
B．
C．π
D．2π
4. (2018 全国卷Ⅰ)已知角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两
点
A(1, a)
， B(2,b) ，且 cos 2
2 3
，则
ab
A． 1 5
B． 5 5
C． 2 5 5
D． 1
5. （2019 江苏）已知
sin(x x ) ___________.
题型五：万能公式
1.
（2010 全国）若 cos
，
是第三象限的角，则
tan tan
A.
B.
C.

高三三角函数的性质归纳总结

三角函数的图像与性质一、题型全归纳题型一三角函数的定义域和值域【题型要点】1．三角函数定义域的求法（1）形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c ，可通过引入辅助角φ⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，将其转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c .（2）形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；令t ＝sin x 或t ＝cos x ，进而将三角函数转化为关于t 的函数．形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ，可设t ＝sin x ，将其转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (t ∈[－1,1])；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c ，可设t ＝sin x ±cos x ，则t 2＝1±2sin x cosx ，即sin x cos x ＝±12(t 2－1)，将其转化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c (t ∈[－2，2])．1.(2017·成都调研)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A.2－ 3 B.0 C.－1D.－1－32.函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎡⎭⎫76π，136π的值域是( )A.[－3，1] B.[－2，1] C.(－3，1] D.(－2，1] 3.(2016·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( )A.4 B.5C.6D.74.(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.155.函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.．6.已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最7．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6的值域是________．.8当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的值域为________.9. .已知函数f (x )=3cos (2x -π4)在[0,π2]上的最大值为M ,最小值为m ,则M+m 等于( ).A.0B.3+3√22C.3-3√22D.3210. 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1 D.⎣⎡⎦⎤12，1 11. 设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. 12.当函数取得最大值时，的值是.13. 已知，则函数的值域是_________________ 14．(2020·长沙质检)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________． 15.．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域．题型二三角函数的单调性类型一求三角函数的单调区间【题型要点已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx ＋φ看成一个整体，再结合图象利用y ＝sin x 的单调性求解；(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．1.函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的递减区间是 2函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的递减区间为 . 3.函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的递增区间是 . 4．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[0，π]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π5.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________.()R x x x y ∈-=sin 3cos 2x tan _______x R ∈sin cos sin cos y x x x x =++6.2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ上单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos2x |B ．f (x )＝|sin2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |7.．已知π3为函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πϕ的零点，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-122,1252ππππ B.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1272,122ππππ C.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππ D.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππ 类型二根据单调性求参数【题型要点】已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；(3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．【易错提醒】要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．1.若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B ．π2 C.3π4D ．π2.若f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π2，2π3]上是增函数，则ω的取值范围是________．3.已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．4.. 已知ω＞0，函数f (x )＝12cos ωx －32sin(π－ωx )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2上单调递增，则ω的取值范围是( )A.[2，6]B.(2，6)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103 5.．（2012新课标）已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A ．]45,21[B ．]43,21[C ．]21,0(D ．]2,0(6.若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ上单调递减，则ω的取值范围是________类型一三角函数的周期性【题型要点】(1)公式法：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|；(2)图象法：利用三角函数图象的特征求周期． (3)函数y ＝|sin x |，y ＝|cos x |，y ＝|tan x |的周期为π，函数y ＝sin|x |，不是周期函数，y ＝tan |x |不是周期函数．2．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．1.(2020·南开区模拟)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4 B.π2 C ．π D ．2π2.(2020·云南保山模拟)在函数：①y ＝cos|2x |，①y ＝|cos x |，①y ＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ，①y ＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-42πx 中，最小正周期为π的所有函数的序号为( )A ．①①①B ．①①①C ．①①D ．①①3.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4π B.2π C.πD.π24．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( )A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 6．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝____.类型二三角函数的奇偶性1.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．2.函数具有奇偶性的充要条件函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ①R )是奇函数①φ＝k π(k ①Z )；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ①R )是偶函数①φ＝k π＋π2(k ①Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ①R )是奇函数①φ＝k π＋π2(k ①Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ①R )是偶函数①φ＝k π(k ①Z )．【例3】已知函数f (x )＝3sin(2x －π3＋φ)，φ①(0，π)．1若f (x )为偶函数，则φ＝________； (2)若f (x )为奇函数，则φ＝________. 2．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2为偶函数，则φ＝__________. 3．若函数f (x )同时具有以下两个性质：①f (x )是偶函数；②对任意实数x ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，则f (x )的解析式可以是()A ．f (x )＝cos x B ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2 D ．f (x )＝cos6x4.设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为 .5设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝()A.－π6 B.π6C.－π3 D.π36(2020·北京中关村中学月考)下列函数中，对任意的x ①R ，同时满足条件f (x )＝f (－x )和f (x －π)＝f (x )的函数是( )A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝sin x cos x C ．f (x )＝cos x D ．f (x )＝cos 2x －sin 2x7.若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________类型三三角函数的对称性【题型要点】(1)对于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0，0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．(2)函数图象的对称性与周期T 之间有如下结论：①若函数图象相邻的两条对称轴分别为x ＝a 与x ＝b ，则最小正周期T ＝2|b －a |；①若函数图象相邻的两个对称中心分别为(a ，0)，(b ，0)，则最小正周期T ＝2|b －a |；①若函数图象相邻的对称中心与对称轴分别为(a ，0)与x ＝b ，则最小正周期T ＝4|b －a |.1.已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称 D.关于直线x ＝π6对称2.若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是()A.2 B.4 C.6D.83..如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 4函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________． 5．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫5π3，0对称C ．关于直线x ＝π3对称 D ．关于直线x ＝5π3对称 6. 若函数y ＝cos(ωx ＋π6)(ω∈N *)的图象的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( )A.1 B ．2C.4D ．87.(2020·广东七校联考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,6π对称 B ．关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,3π对称C ．关于直线x ＝π6对称 D ．关于直线x ＝π3对称 8.(2020·辽宁辽阳一模)已知偶函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6⎝⎛⎭⎫ω>0，π2<φ<π的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，则⎪⎭⎫⎝⎛83πf ＝( )A.22 B ．－ 2 C ．－ 3 D.2三角函数中ω值的求法已知函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛+3πωx (ω>0)的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π，则ω有( ) A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1【例4】已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．【例5】已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf ，且f (x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛3,6ππ内有最小值无最大值，则ω＝________．练习题3．(2020·河北衡水第十三中学质检(四))同时满足f (x ＋π)＝f (x )与⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f 4π＝⎪⎭⎫⎝⎛-x f 4π的函数f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝cos 2xB ．f (x )＝tan xC ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝sin 2x4．(2020·河南六市联考)已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+6πωx (ω>0)的图象与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎪⎭⎫ ⎝⎛<2πϕ的图象的对称中心完全相同，则φ为( )A.π6 B ．－π6C.π3D ．－π35．(2020·河南中原名校联盟联考)已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)(ω>0)．在同一周期内，当x ＝π6时取最大值，当x ＝－π3时取最小值，则φ的值可能为( )A.π12B ．π3C.13π6 D ．7π66.已知函数f (x )＝tan2x ，则下列说法不正确的是( )A ．y ＝f (x )的最小正周期是πB ．y ＝f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,4ππ上单调递增 C ．y ＝f (x )是奇函数D ．y ＝f (x )的对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛0,4πk (k ①Z ) 7．(2020·福建六校联考)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有⎪⎭⎫⎝⎛+x f 3π＝f (－x )，则⎪⎭⎫⎝⎛6πf ＝( ) A ．2或0 B ．0C ．－2或0D ．－2或25. 已知函数f (x )＝cos(x ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<20πϕ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f 4π是奇函数，则( )A ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,4上单调递减 B ．f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π上单调递减C ．f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,4上单调递增D ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛4,0π上单调递增 9．(2020·衡水联考)函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx －13在区间(0，π)内的所有零点之和为( )A.π6 B.π3 C.7π6 D.4π3 10.函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+-32πx 的单调递减区间为________． 11．已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ①R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω①(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为________．12．已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πωx 的图象的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,3π，其中ω为常数，且ω①(1，3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是________．13.已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f (π6)＋f (π2)＝0，且f (x )在区间(π6，π2)上递减，则ω＝________.14．(2020·江赣十四校第二次联考)如果圆x 2＋(y －1)2＝m 2至少覆盖函数f (x )＝2sin 2⎪⎭⎫⎝⎛+125ππx m－ 3 cos⎪⎭⎫⎝⎛+32ππx m(m >0)的一个最大值点和一个最小值点，则m 的取值范围是________． 15.(2020·赣州摸底)已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πωx ＋12，ω>0，x ①R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则⎪⎭⎫⎝⎛43πf ＝________，函数f (x )的单调递增区间为________．三、解答题 1.已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ①⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,4ππ时，求函数f (x )的最大值和最小值． 2．已知函数f (x )＝4sin(x －π3)cos x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在[0，π2]上有两个不同的零点x 1，x 2，求实数m 的取值范围，并计算tan(x 1＋x 2)的值．3.已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-4πωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的单调性． 4．已知函数f (x )＝2sin 2⎪⎭⎫⎝⎛+x 4π－3cos2x －1，x ①R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π对称，且t ①(0，π)，求t 的值； (3)当x ①⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ时，不等式|f (x )－m |<3恒成立，求实数m 的取值范围．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)18．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念19用五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，精髄是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为T4.20．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的两种方法联系：两种变换方法都是针对x 而言的，即x 本身加减多少，而不是ωx 加减多少．区别：先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移)，平移的量是⎪⎪⎪⎪φω个单位题型一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【题型要点】(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标． (2)由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)的变换：向左平移φω(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．[记结论]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．题型一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1.(2021·全国乙卷)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，则f (x )等于( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2－7π12B ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 D ．sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12 2.(2022·天津二中模拟)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎫0≤φ<π2个单位长度后，得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，则φ等于( )A.π12B.π6C.π3D.5π33．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度4(2022·开封模拟)设ω>0，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为( )A ．3 B ．6 C ．9 D ．125.将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为 A ．B ．C ．0D ． 6.将函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )的图象关于原点对称，则φ的一个取值为________．(答案不唯一)7.设ω>0,函数y=s in(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是8.若将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是若将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得图象关于原点轴对称，则ϕ的最小值是()sin 2y x ϕ=+x 8πϕ34π4π4π-若将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得图象关于原函数图像重合，则ϕ的最小值是题型二求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【题型要点】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .“）即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二零点”⎪⎭⎫⎝⎛-0，ωϕπ(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是在下降区间)或把图象的最高点或最低点代入；①五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(第一零点”），（0-ωϕ即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(⎪⎭⎫⎝⎛-0，ωϕπ即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.【例1】如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，|φ|<π2)的图象过点(0，3)，则f (x )的函数解析式为( )A ．f (x )＝2sin(2x －π3)B ．f (x )＝2sin(2x ＋π3)C ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)B ． D ．f (x )＝2sin(2x －π6)【例2】函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f (－π3)＝________.3.知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 4.设函数)52sin(2)(ππ+=x x f ，若对任意x ∈R ，都有，f (x 1 )≤f (x )≤f (x 2 )成立，则|x 1—x 2|的最小值为 ( )5.已知函数)sin(2θω+=x y 为偶函数0(＜θ＜π)，其图象与直线y ＝2的某两个交点横坐标为1x ，2x ，||12x x -的最小值为π，则（） A.2=ω,2π=θ B.21=ω,2π=θ C.21=ω,4π=θ D.2=ω,4π=θ 6.已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是7.已知函数)0(tan >=w wx y 的图像与直线1y =的交点间的最小距离是3π，则w =______。

三角函数题型分类总结(18篇)

三角函数题型分类总结第1篇sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]三角函数题型分类总结第2篇诱导公式sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(—a)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtanA=sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA。

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 三角函数题型分类总结第3篇倒数关系：tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式sin^2(α)+cos^2(α)=1tan α _cot α=1一个特殊公式(sina+sinθ)_(sina-sinθ)=sin(a+θ)_sin(a-θ)证明：(sina+sinθ)_(sina-sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] _2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin(a+θ)_sin(a-θ)坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度(也叫坡比), 用字母i表示, 即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式,如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角),那么 i=h/l=tan a.锐角三角函数公式正弦： sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式sin2A=2sinA·cosA(a)-Sin^2(a)(a)(a)-1即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A))三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ积化和差sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2公式一：设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)= sinαcos(2kπ+α)= cosαtan(2kπ+α)= tanαcot(2kπ+α)= cotα公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)= -sinαcos(π+α)= -cosαtan(π+α)= tanαcot(π+α)= cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanαcot(-α)= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)= sinαcos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanαcot(π-α)= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαtan(2π-α)= -tanαcot(2π-α)= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)= cosαcos(π/2+α)= -sinαtan(π/2+α)= -cotαcot(π/2+α)= -tanαsin(π/2-α)= cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)= cotαcot(π/2-α)= tanαsin(3π/2+α)= -cosαcos(3π/2+α)= sinαtan(3π/2+α)= -cotαcot(3π/2+α)= -tanαsin(3π/2-α)= -cosαcos(3π/2-α)= -sinαtan(3π/2-α)= cotαcot(3π/2-α)= tanα(以上k∈Z)三角函数题型分类总结第4篇下文《雅思听力考试题型》由出国雅思频道为您整理，供您参考，了解更多考试信息，请收藏本章。

三角函数题型总结

三角函数题型总结三角函数是数学基础中的重要内容之一，是解决许多数学问题的必备工具。

三角函数题型繁多，各有不同的特点和解法。

在学习三角函数时，需要掌握不同类型的题目，以便更好地应用和理解概念。

本文将对一些常见的三角函数题型进行总结。

1. 求已知角度的正弦、余弦、正切值等这种题型主要考察学生对于三角函数定义的掌握，以及对于三角函数在坐标轴上的表示方法。

根据定义，正弦值、余弦值、正切值等只与角度有关，与角度所在的坐标轴上的点无关。

例如，已知角A的度数为30度，求sin A和cos A的值。

根据三角函数的定义，sin A=1/2，cos A=$\sqrt{3}$/2。

2. 求已知三角函数值的角度这种题型主要考察学生对于三角函数和角度的运算法则的掌握。

根据三角函数的和差公式，可以求得角度之和或差的三角函数值。

例如，已知sin A=1/2，cos B=$\sqrt{3}$/2，A和B都在第一象限，求sin(A-B)的值。

根据正弦的三角函数和差公式，sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=1/2*$\sqrt{3}$/2-$\sqrt{3}$/2*1/2=$\sqrt{3}$/4。

4. 求解三角形中的角度和边长例如，在一个直角三角形中，已知一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4，求斜边长和另一个锐角的角度。

根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}$=5。

另一个锐角的正弦值为3/5，因此这个角的角度为sin^-1(3/5)=36.87度。

5. 求最值和周期例如，已知函数y=sinx+2，求y的最大值和周期。

由于正弦函数的最大值为1，因此y 的最大值为3。

而正弦函数的周期为2$\pi$，因此y的周期也为2$\pi$。

总结起来，三角函数题型种类繁多，需要掌握基本的概念和定义，熟练运用各种公式和方法，才能解决各种不同类型的题目。

在学习过程中，关键是理解和掌握要点，加强对于概念和图像的理解和记忆，反复练习各种类型的题目，这样才能有效提升解题能力。

三角函数中的常考题型及其解法

三角函数中的常考题型及其解法三角函数中常考题型及解法：一、求解三角函数值1、求正弦函数值解法：使用正弦定理进行求解，总结如下：（1）正弦定理（用于直角三角形）：a/sinA=b/sinB=c/sinC；（2）正弦表：常记正弦值，如15°的正弦值是0.2588；（3）半角公式：sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]；（4）倍角公式：sin2x=2sinxcosex。

2、求余弦函数值解法：使用余弦定理进行求解，总结如下：（1）余弦定理（用于直角三角形）：a²=b²+c²-2bc·cosA；（2）余弦表：常记余弦值，如45°的余弦值是0.7071；（3）化简余弦值：常用公式或知识点化简余弦值，如极限化简，勾股定理等；（4）半角公式：cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]；（5）倍角公式：cos2x=cos²x-sin²x。

三、求解三角函数表达式1、求正弦函数表达式解法：（1）可用图像法求解，如求函数y=2sin(x+π/6)的图形，可将之前已知的普通正弦图形向右移动π/6，并放大2倍；（2）也可用公式求解，如求函数y=2sin(x+π/6)，用单位正弦函数表示法，则有y=2sin(x)·cos(π/6)+2cos(x)·sin(π/6)。

2、求余弦函数表达式解法：（1）可用图像法求解，如求函数y=2cos(x+π/6)的图形，可先求出正弦函数的图像，再进行垂直翻转；（2）也可用公式求解，如求函数y=2cos(x+π/6)，用单位余弦函数表示法，则有y=2cos(x)·cos(π/6)-2sin(x)·sin(π/6)。

高考题历年三角函数题型总结

高考题历年三角函数题型总结(总20页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-高考题历年三角函数题型总结⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；αα22sec tan 1=+;αα22csc cot 1=+()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．(3)1cot tan =•αα;1sec cos =•αα;1csc sin =•αα 13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：奇变偶不变，符号看象限．重要公式⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）．⑶22tan tan 21tan ααα=-．公式的变形：()βαβαβαtan tan 1)tan(tan tan •±=±，2cos 12cosαα+±=；αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=辅助角公式()22sin cos αααϕA +B =A +B +，其中tan ϕB=A．万能公式万能公式其实是二倍角公式的另外一种变形：2tan 12tan2sin 2ααα+=，2tan 12tan 1cos 22ααα+-=，2tan 12tan2tan 2ααα-=14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x B ωϕ=A ++，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T =-<．15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2π π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴三角函数题型分类总结函数性质一．求值1、sin330︒= tan690° = o 585sin =2、（1）α是第四象限角，12cos 13α=，则sin α= （2）若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= .（3）已知△ABC 中，12cot 5A =-，则cos A = .(4) α是第三象限角，21)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ+=3、(1) 已知sin α=则44sin cos αα-= .(2)设(0,)2πα∈，若3sin 5α=)4πα+= .（3）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+=4下列各式中，值为23的是( ) （A ）2sin15cos15︒︒ （B ）︒-︒15sin 15cos 22（C ）115sin 22-︒（D ）︒+︒15cos 15sin 22 5. (1) sin15cos75cos15sin105+=(2)cos 43cos77sin 43cos167o o o o += 。

三角函数的图像与性质题型归纳总结

三角函数的图像与性质题型归纳总结题型归纳及思路提示题型1 函数解析式确定函数性质【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。

一、函数的奇偶性例1 f (x )＝sin ()x ϕ+〔0≤ϕ<π〕是R 上的偶函数，那么ϕ等于〔〕A.0 B ．4π C ．2πD ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()();y A x k k Z ϕϕπ=+=∈(1)若是奇函数，则sin()+();2y A x k k Z πϕϕπ=+=∈(2)若是偶函数，则cos()();2y A x k k Z πϕϕπ=+=+∈(3)若是奇函数，则 cos()();y A x k k Z ϕϕπ=+=∈(4)若是偶函数，则tan()().2k y A x k Z πϕϕ=+=∈(5)若是奇函数，则.()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（）A.0 B ．1 C ．1- D ．1±2.0()cos()()R f x x x R ϕϕϕ∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（）A 充分不必要条件B ．必要不充分条C ．充要条件D ．无关条件3.()sin()0()f x x f x ωϕω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（）A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0f =2.()sin(2)()()2f x x x R f x π=-∈例设，则是( )A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π最小正周期为的奇函数 D ．2π最小正周期为的偶函数2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( )A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数2.(0,)2ππ变式下列函数中，既在递增，又是以为周期的偶函数的是( )A.cos 2y x = B ．|sin 2|y x = C ．|cos 2|y x = D ．|sin |y x =二、函数的周期性3.sin(2)cos(2)66y x x ππ=++例函数的最小正周期为( )A.2π B ．4πC ．2πD ．π【评注】关于三角函数周期的几个重要结论：sin()b,cos()b,tan()b22,,.||||||y A x y A x y A x ωϕωϕωϕπππωωω=++=++=++(1)函数的周期分别为|sin()|,|cos()|,|tan()|.||y A x y A x y A x πωϕωϕωϕω=+=+=+(2)函数的周期均为2|sin()b |(b 0),|cos()b |(b 0).||y A x y A x πωϕωϕω=++≠=++≠(3)函数的周期均为1.sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++变式函数的最小正周期和最大值分别为( )A.,1π B．π C ．2,1π D．2π()sin (sin cos ),()f x x x x f x =-变式2.若则的最小正周期是________.()sin 3|sin 3|()f x x x f x =+变式3.若则是( )A.3π最小正周期为的周期函数 B ．23π最小正周期为的周期函数 C ．π最小正周期为2的周期函数 D ．非周期函数三、函数的单调性.sin(2)([0,])6y x x ππ=-∈例4函数的递增区间是( )A.[0,]3π B ．7[,]1212ππ C ．5[,]36ππD ．5[,]6ππ【评注】求三角函数的单调区间：sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>若函数则22()22322()22(3)sin()0,0sin()sin()(4)cos()tan()k x k k Z k x k k Z y A x A y A x y A x y A x y A x πππωϕππππωϕπωϕωωϕωϕωϕωϕ-≤+≤+∈+≤+≤+∈=+><=---=--=+=+(1)函数的递增区间由决定；(2)函数的递减区间由决定；若函数中，可将函数变为则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间；对于函数和单调性的讨论同上。

第24讲三角函数概念及定义5种题型总结

第24讲三角函数概念及定义5种题型总结【考点分析】考点一：角的概念①任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角(逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）和零角（不旋转）．②所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360．③象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，叫做轴线角．④象限角的集合表示方法：考点二：弧度制的概念①定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．②角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒,rad 1801π=︒,π︒=180rad 1．③扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．考点三：任意角的三角函数①定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα．考点四：任意角三角函数的性质如下：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号αsin R ＋＋－－αcos R＋－－＋αtan }2|{Z k k ∈+≠，ππαα＋－＋－【题型目录】题型一：与角α终边相同的角的集合的表示题型二：判断等分角的象限问题题型三：扇形的弧长、面积公式的计算题型四：任意角三角函数的定义题型五：三角函数值的正负判断【典例例题】题型一：与角α终边相同的角的集合的表示【例1】将－1485°化成()202,k k απαπ+≤<∈Z 的形式是（）A ．π8π4-B ．784π-πC ．104π-πD ．7104π-π【例2】与2022︒终边相同的角是（）A ．488-︒B ．148-︒C ．142︒D ．222︒【例3】与角94π的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A ．245k π+ ，k Z ∈B ．93604k π⋅+，k Z ∈C ．360315k ⋅- ，k Z∈D ．54k ππ+，k Z ∈【例4】已知角2022α= ，则角α的终边落在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例5】终边落在直线y =上的角α的集合为（）A ．{}18030,Z k k αα=⋅︒+︒∈B ．{}18060,Z k k αα=⋅︒+︒∈C ．{}36030,k k αα=⋅︒+︒∈Z D ．{}36060,Z k k αα=⋅︒+︒∈【例6】（多选题）如果角α与角45γ+︒的终边相同，角β与45γ-︒的终边相同，那么αβ-的可能值为（）A ．90︒B ．360︒C ．450︒D ．2330︒【例7】下列说法中正确的是（）A ．第二象限角大于第一象限角B ．若()360360180k k k α⋅︒<<⋅︒+︒∈Z ，则α为第一或第二象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．三角形的内角是第一或第二象限角【例8】已知{}4536090360k k ααα∈︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒，则角α的终边落在的阴影部分是（）A ．B ．C ．D ．【题型专练】1.把375-︒表示成2πk θ+，k Z ∈的形式，则θ的值可以是（）A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-2.下列各角中，与1840︒角终边相同的角是（）A ．40︒B ．220︒C ．320︒D ．400-︒3.与2022︒终边相同的角可以为___________.（填写一个符合题意的角即可）4.若角α的终边在直线y x =-上，则角α的取值集合为（）A ．2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z B ．32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D ．,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z 5.如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.6．5π3-的角化为角度制的结果为_______．7.（多选题）下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（）A ．90αβ+=︒B ．180αβ+=︒C ．()36090k k αβ+=⋅︒+︒∈Z D ．()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 8．如果角α与角x ＋45°具有相同的终边，角β与角x －45°具有相同的终边，那么α与β之间的关系是（）A ．0αβ+=︒B ．90αβ-=︒C ．()360k k αβ+=⋅︒∈Z D ．()36090k k αβ-=⋅︒+︒∈Z 9．若360k αθ=⋅︒+，()360,m k m βθ=⋅︒-∈Z ，则角α与角β的终边一定（）A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称10．集合|,4k k k Z παπαπ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭中的角所表示的范围(阴影部分)是（）A ．B ．C ．D ．题型二：判断等分角的象限问题【例1】若18045,k k Z α=⋅+∈ ，则α的终边在（）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限【例2】（多选）若α是第二象限角，则（）A ．πα-是第一象限角B ．2α是第一或第三象限角C ．32πα+是第二象限角D ．α-是第三或第四象限角【题型专练】1.角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（）A ．sin2θB ．cos2θC ．sin 2θD ．cos 2θ3.已知角α第二象限角，且cos cos 22αα=-，则角2α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角题型三：扇形的弧长、面积公式的计算【例1】已知扇形OAB 的圆心角为2，弦长2AB =，则扇形的弧长等于（）A ．1sin1B ．2sin1C ．1cos1D ．2cos1【例2】如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122l l =，则12S S =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】已知扇形的周长为4cm ，当它的半径为________cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm 2.【例4】《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．【例5】（多选题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S ，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S的比值为12时，扇面为“美观扇面”2.236≈）（）A ．122S S θπθ=-B ．若1212SS =，扇形的半径3R=，则12S π=C ．若扇面为“美观扇面”，则138θ≈D ．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径20R =，则此时的扇形面积为()20035-【题型专练】1．已知扇形的圆心角为135︒，扇形的弧长为3π，则该扇形所在圆的半径为___________.2.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（）A ．1B ．4C ．2D ．33.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（）A ．11332-B ．11432-C ．9332-D ．9432-4．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁面尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（）A ．2160cm B ．23200cm C ．23350cm D ．24800cm 5.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为r 的圆面中剪下扇形OAB ，使剪下扇形OAB 后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为512-，再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB 的面积比值为512-.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（）A ．512-B ．514-C ．352-6.“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为O ，墙壁截面ABCD 为矩形，且1AD =，则扇形OAD 的面积是__________.7.炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .题型四：任意角三角函数的定义【例1】已知函数()log 23a y x =++的图象恒过定点A ，若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且点A 在角α的终边上，则sin α的值为（）A ．BCD ．【例2】已知角α的终边与单位圆交于点1,22P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为（）A ．B ．12-C ．2D ．12【例3】已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =（）A ．12B ．1C ．2D ．52【题型专练】1.已知()2,P y -是角θ终边上一点，且sin θ=y 的值是（）A ．5-B ．5C ．17-D ．172.已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin α=（）AB C ．12-D ．－23.（多选）已知函数())log 201a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是（）A ．2B ．3C ．14D4.已知角α的终边上有一点()P m ，且sin 4m α=，则m 的值为______．5.已知角α的终边与单位圆的交点为P 1(,)2y -，则sin tan αα＝______．题型五：三角函数值的正负判断【例1】若θ满足sin 0,tan 0θθ<>，则θ的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例2】若角θ是第四象限角，则sin cos tan sin cos tan y θθθθθθ=++=______．【例3】已知角θ在第二象限，且sin sin 22θθ=-，则角2θ在（）A ．第一象限或第三象限B ．第二象限或第四象限C ．第三象限D ．第四象限【例4】（多选）下列三角函数值中符号为负的是（）A ．sin100︒B ．()cos 220-︒C ．()tan 10-D ．cos π【例5】若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例6】我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点()cos ,tan P αα在第三象限，则角α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【题型专练】1.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点()1,P m -()0m ≠，则下列各式的值一定为负的是（）A ．cos αB ．sin cos αα-C ．sin cos ααD ．sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭2.已知点()tan ,sin P αα在第三象限，则角α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B （）A ．在第一象限B ．在第二象限C ．在第三象限D ．在第四象限4.“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.如果cos 0θ<，且tan 0θ<，则sin cos cos θθθ-+的化简为_____.6.已知R θ∈，则“cos 0θ>”是“角θ为第一或第四象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要。

高考数学三角函数常考题型及解答方法总结

（3）如果是奇函数，则 =(答：－2)；
（4）求值： ________(答：32)
13、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数和余弦函数图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
14、正弦函数、余弦函数的性质：
如（1）已知角的终边经过点P(5，－12)，则的值为＿＿。（答：）；（2）设是第三、四象限角，，则的取值范围是_______（答：（－1，）；
7.特殊角的三角函数值：
30°
45°
60°
0°
90°
180°
270°
15°
75°
0
1
0
－1
1
0
－1
0
1
0
0
2-
2+
1
0
0
2+
2-
8.同角三角函数的基本关系式：
如（1）函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？（答：向上平移1个单位得的图象，再向左平移个单位得的图象，横坐标扩大到原来的2倍得的图象，最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象）；
(2)要得到函数的图象，只需把函数的图象向___平移____个单位（答：左；）；
（3）将函数图像，按向量平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量）；
（1）定义域：都是R。
（2）值域：都是，对，当时，取最大值1；当时，取最小值－1；对，当时，取最大值1，当时，取最小值－1。
如（1）若函数的最大值为，最小值为，则 __，＿（答：或）；

三角函数的图象与性质6大题型

三角函数的图象与性质6大题型三角函数的图象与性质是高考的热点，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换以及三角函数的周期性、对称性、单调性之间逻辑关系则是重心。

随着新高考改革的推进，更加注重对以周期性为核心的三大性质之间的逻辑关系的考查，要求考生能用几何直观和代数运算来研究三角函数。

高考中的相关试题多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏下。

一、三角函数性质问题相关方法1、周期的计算公式:函数)0()cos(),sin(>+=+=ωϕωϕωx A y x A y 的周期为ωπ2=T ，函数)0()tan(>+=ωϕωx A y 的周期为ωπ=T 求解.2、奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为x A y ωsin =或x A y ωtan =的形式，而偶函数一般可化为b x A y +=ωcos 的形式.3、解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心.方法：整体处理法、代入验证法对于函数)0()cos(),sin(>+=+=ωϕωϕωx A y x A y ，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线0x x =或点)0,(0x 是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验)(0x f 的值进行判断.4、确定函数)0,0()sin(>>+=ωϕωA x A y 单调区间的方法采用“换元”法整体代换，将‘ϕω+x ’看作一个整体，可令“ϕω+=x z ”，即通过求z A y sin =的单调区间而求出函数的单调区间.若0<ω，则可利用诱导公式先将x 的系数转变为正数，再求单调区间.二、三角函数图形变换问题解决三角函数图像变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：1、定函数：一定要看准是将哪个函数的图像变换得到另一个函数的图像.2、变同名：函数的名称要一样.3、选方法：即选择变换方法.要注意：对于函数)0(sin >=ωωx y 的图像，向左平移ϕ个单位长度得到的是函数)(sin ϕω+=x y 的图象，而不是函数)sin(ϕω+=x y 的图像.【题型1【例1】（2023·湖南湘潭·统考二模）函数2cos2()sin xf x x+=的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【变式1-1】（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数()21sin 2f x x x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【变式1-2】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）函数()cos e =xf x 的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【变式1-3】（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）函数()cos ln xf x x xππ+=⋅-在(),ππ-上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【变式1-4】（2022秋·四川遂宁·高三遂宁中学校考阶段练习）函数()(tan sin 2)22x x y x x -=--的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【题型2根据图象求三角函数解析式】【例2】（2023秋·湖南怀化·高三统考期末）已知函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则()0f =（）A ．1B ．1-CD ．【变式2-1】（2022秋·贵州铜仁·高三校考阶段练习）已知A ，B ，C ，D ，E 是函数sin()y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭一个周期内的图像上的五个点，如图，A ,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 为y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD 在x 轴上的投影为12π，则ωφ，的值为（）A ．2ω=，3πϕ=B ．2ω=，6πϕ=C ．12ω=，3πϕ=D ．12ω=，6πϕ=【变式2-2】（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图，BC x ∥轴，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若不等式()sin 2f x m x ≥-恒成立，则m 的取值范围是（）A．⎛-∞ ⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(-∞D ．(],1-∞【变式2-3】（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）已知函数π()sin()0,||2ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭f x x ，若()()1g x f x ⋅=，且函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ等于（）A ．π3-B ．π6-C ．π6D ．π3【变式2-4】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 的图象向右平移()0m m >个单位长度后得到函数()()sin 2g x A x ωϕ=-的图象，则m 的值可以是（）A ．π4B ．π3C ．4π3D ．9π4【题型3三角函数图象变换问题】【例3】（2023秋·江西赣州·高三统考期末）函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0ω>，π2ϕ<）的图象如图所示，为了得到cos y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（）A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度【变式3-1】（2022·四川·高三统考对口高考）为了得到函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点（）A ．向左平移4π个单位B ．向右平移4π个单位C ．向左平移2π个单位D ．向右平移2π个单位【变式3-2】（2022·陕西汉中·统考一模）为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将sin2y x =的图象（）A ．向左平移512π个单位长度B ．向右平移512π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度D ．向右平移23π个单位长度【变式3-3】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数π()3sin (0)6f x x ωω⎛⎫-> ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后与其导函数()y f x '=的图象重合，则()f ϕ的值为（）A ．0B ．32C ．62D ．32【变式3-4】（2022·全国·模拟预测）已知函数()3sin cos f x x x =-的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度后得到()f x 的导函数()f x '的图象，则()f ϕ=（）A ．3-B ．3C ．1D ．1-【变式3-5】（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）将函数()sin 2c 2πos π63f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），然后再将其图象向左平移()0θθ>单位得到图象()g x ，若函数()g x 图象关于y 轴对称，则θ的最小值为（）A ．π3B ．π6C ．π12D ．π24【题型4三角函数的四种性质】【例4】（2023秋·河南南阳·高三统考期末）已知函数()()()sin cos f x x x ϕϕ=+++是偶函数,则3sin 2cos 2sin 3cos ϕϕϕϕ-=+______．【变式4-1】（2023秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）函数9cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为______.【变式4-2】（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）已知函数()tan tan f x x x =+，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心C ．()f x 的值域为[)0,∞+D ．不等式()2f x >的解集为()ππ2,2πZ 42k k k π⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭【变式4-3】（2023·四川内江·统考一模）已知函数()()1sin cos sin (0)2f x x x x ωωωω=-+>，若函数()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω不能取（）A ．23B ．13C ．58D ．14【变式4-4】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）（多选）设函数()()sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，3πϕ<.若1409f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，419f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于52π，则（）A ．14ω=B ．6πϕ=C ．()f x 在()2,3ππ上单调递增D ．()f x 在()0,3π上存在唯一的极值点【变式4-5】（2023·安徽淮南·统考一模）（多选）已知函数()()πsin ,12,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭图像过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且存在12,x x ，当122πx x -=时，()()120f x f x ==，则（）A ．()f x 的周期为4π3B ．()f x 图像的一条对称轴方程为5π9x =-C ．()f x 在区间4π10π,99⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减D ．()f x 在区间()0,5π上有且仅有4个极大值点【变式4-6】（2023秋·湖北·高三统考期末）（多选）已知函数()2sin sin 2f x x x =，则下列说法正确的是（）A ．π是()f x 的一个周期B ．()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 在区间[]0,2π上的零点个数为4D ．()f x 的最大值为8【变式4-7】（2023春·浙江·高三校联考开学考试）（多选）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．()0f =B ．()f x 的最小正周期为π2C ．()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【题型5三角函数的最值问题】【例5】（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）定义运算,,,.a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩※例如，121=※，则函数()sin cos f x x x =※的值域为（）A ．1,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．22⎡-⎢⎣⎦【变式5-1】（2023秋·湖南株洲·已知定义域为R 的函数(),()f x g x 满足()()πf x f x +=-，且()()cos π,g x x f x =++()()sin πf x x g x =-+，则当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()y f x g x =的最小值为（）A ．0B ．2CD ．38【变式5-2】（2022秋·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）如图是函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象，则()f x 在,9045⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π22π上的值域为（）A ．[]1,1-B ．1322⎡⎢⎣⎦C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．32⎡-⎢⎣⎦【变式5-3】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）函数()25cos 4sin 53cos f x x x x -+的最大值为（）.A ．22B ．23C ．5D ．3【变式5-4】（2023秋·北京丰台·高三统考期末）已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭，若ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω=___________．【变式5-4】（2020秋·吉林白城·高三校考阶段练习）已知向量1(cos ,)2a x = ，(3,cos 2),Rb x x x =∈，设函数()f x a b =⋅ ．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在π[0,]2上的最大值和最小值．【题型6三角函数的零点问题】【例6】（2022·四川宜宾·统考模拟预测）若函数()π2sin 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()f x 在区间[]0,2π上零点的个数是_______．【变式6-1】（2023·全国·高三对口高考）已知0ω>，函数()πsin 16f x x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是________．【变式6-2】（2022秋·河南濮阳·高三统考阶段练习）已知函数5π()cos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，则实数ω的取值范围为______.【变式6-3】（2023秋·福建宁德·高三校考阶段练习）若函数()1cos42f x x x m =-+-在π04⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上存在两个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．3522⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．3522⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C．1522⎛⎤+ ⎥⎝⎦，D．1522⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭，【变式6-4】（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）已知函数()()221sin 2π,,3213,,x a x a f x x a x a x a ⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥=⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩.若()f x 在()0,∞+上恰好有5个零点，则a 的取值范围是（）A ．411,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．411717,,3636⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦C ．1167,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．43117,,3263⎛⎤⎛⎤⋃ ⎝⎦⎝⎦【变式6-5】（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）已知定义在R 上的函数()y f x =是偶函数，当0x ≥时，()2sin ,01213,122x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()()20,R f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．34,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．74,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．7734,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪⎝⎭⎝⎭D ．324,1,27⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【变式6-6】（2023秋·山东烟台·高三统考期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足：2f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，且()()8sin ,021,02x x f x f x x ππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩；函数()lg 2g x x π=+，则当[]4,3x ππ∈-时，函数()()y f x g x =-的所有零点之和为（）A ．7π-B ．6π-C ．72π-D ．3π-（建议用时：60分钟）1．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）将函数()π3cos (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移π6ω个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x =在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大值为（）A ．2B ．83C ．103D ．42．（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知函数()()sin f x x ϕ=-且2cos πcos 3ϕϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（）A ．5π6x =B ．7π12x =C ．π3x =D ．π6x =3．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）函数()πcos()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，且()302f =．则下列选项正确的是（）A ．π3ϕ=-B ．π122f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 在区间2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数D ．()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π上单调递增，且2π()3f x f ⎛⎫≥-⎪⎝⎭恒成立，则ω的值为（）A ．2B ．32C ．1D ．125．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论不正确的是（）A ．π为函数()f x 的一个周期B ．2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 在区间[],a a -上单调递增，则实数a 的最大值为5π12D ．将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度后，得到一个偶函数的图象6．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）已知()()()π2tan 0,,02f x x f ωϕωϕ⎛⎫=+><= ⎪⎝，周期π3ππ,,446T ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是()f x 的对称中心，则π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．BC D ．3-7．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）（多选）关于函数2()cos 4cos 1f x x x =++，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 在π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6B ．函数()f x 在π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2C ．函数()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减8．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）（多选）设()sin 22cos f x x x =+，x ∈R ，则（）.A ．()f x 在区间[]0,2π上有2个零点B ．()f x 的单调递增区间为π7ππ,π26k k ⎛⎫++⎪⎝⎭，k ∈Z C ．()f x 的图象关于直线ππ3x k =+对称D ．()f x 的值域为0,2⎡⎢⎣⎦9．（2023·湖南长沙·统考一模）已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>,若函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,且关于直线π3x =轴对称,则ω的最小值为______．10．（2022秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知函数()()7ππsin 12f x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭则函数()f x 的对称中心_________11．（2021·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知函数23()sin sin cos (,,0)2f x a x x x a b a b a =-+<，（1）若当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为[]5,1-，求实数,a b 的值；（2）在（1）条件下，求函数()f x 图像的对称中心和单调区间.12．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数()()(0,0f x x ωϕωϕ=+><<sin π的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图像的一条对称轴.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图像向右平移π4个单位，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数记作()y g x =，已知常数R λ∈，*n ∈N ，且函数()()212sin F x x g x λ=-+在()0,πn 内恰有2021个零点，求常数λ与n 的值.参考答案【题型1三角函数的图象辨析】【例1】（2023·湖南湘潭·统考二模）函数2cos2()sin xf x x+=的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()f x 的定义域为{}π,Z x x k k ≠∈，关于原点对称，因为2cos(2)2cos2()()sin()sin x xf x f x x x+-+-==---，所以()f x 为奇函数，故排除C,D ,又π102f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以排除B,故选：A【变式1-1】（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数()21sin 2f x x x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()f x 的定义域为R ，2211()()()sin()sin ()22f x x x x x x x f x -=----=-=，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C ，D 选项；()21ππ02f =>，排除B 选项.所以A 选项正确.故选：A【变式1-2】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）函数()cos e =xf x 的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意得函数定义域为R ，且()()()cos cos ee --===x xf x f x ，∴()f x 为偶函数，故排除选项B ，∵()()cos e2πe xf x f k =≤=，Z k ∈，()0e f =为最大值，∴排除选项D ，∵()()()cos 2πcos 2πee x xf x f x ++===，∴()f x 是2π为周期的周期函数，∴排除选项A.故选：C【变式1-3】（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）函数()cos ln xf x x xππ+=⋅-在(),ππ-上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为()()cos lnxf x x f x xππ--=⋅=-+，所以f （x ）是奇函数，排除A ，D ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，ln0xxπ+>π-，所以()0f x >，排除C ，故选：B ．【变式1-4】（2022秋·四川遂宁·高三遂宁中学校考阶段练习）函数()(tan sin 2)22x x y x x -=--的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题得函数的定义域为π{|π,}2x x k k Z ≠+∈，定义域关于原点对称.设()()(tan sin 2)22x xf x x x -=--，所以()()(tan sin 2)22x x f x x x --=-+-()(tan sin 2)22()x xx x f x -=--=，所以函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项D.又(π)=0f ，所以排除选项B.当π2x →时，tan ,sin 20,x x →+∞→()220x x-->，所以此时()0f x >.故选：A【题型2根据图象求三角函数解析式】【例2】（2023秋·湖南怀化·高三统考期末）已知函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则()0f =（）A ．1B ．1-CD ．【答案】C【解析】观察函数图象得，函数()f x 的周期413()3123T πππ=-=，则22Tπω==，而13212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即13cos 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有132,Z 6k k πϕπ+=∈，因此132Z 6k k πϕπ=-∈，即有13()2cos(22)2cos(2)66f x x k x πππ=+-=-，所以()02cos()6f π=-故选：C【变式2-1】（2022秋·贵州铜仁高三校考阶段练习）已知A ，B ，C ，D ，E 是函数sin()y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭一个周期内的图像上的五个点，如图，A ,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 为y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD在x 轴上的投影为12π，则ωφ，的值为（）A ．2ω=，3πϕ=B ．2ω=，6πϕ=C ．12ω=，3πϕ=D ．12ω=，6πϕ=【答案】A【解析】因B 与D 关于点E 对称，CD 在x 轴上的投影为12π，则B 与图像最高点（最靠近B 点）连线所对应向量在x 轴上的投影为12π，又A ,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则A 与图像最高点(最靠近B 点)连线对应向量在x 轴上的投影为πππ6124+=，故函数最小正周期为24πππ=4ω⨯=，又0ω>，则2ω=.又因函数图像过点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2ππ,Z 3φk k -+=∈，得2ππ,Z 3φk k =+∈，又02πϕ<<，则0k =，得π3ϕ=.综上，有2ω=，π3ϕ=.故选：A【变式2-2】（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图，BC x ∥轴，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若不等式()sin 2f x m x ≥-恒成立，则的取值范围是（）A ．⎛-∞ ⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(-∞D ．(],1-∞【答案】A【解析】因为//BC x 轴，所以()f x 图象的一条对称轴方程为1π2π7π()22312x =+=，所以7πππ41234T =-=，则πT =，所以2π2T ω==，又π2π2π3k ϕ⨯+=+，Z k ∈，且0πϕ<<，所以π3ϕ=，故π()sin(23f x x =+，因为当π[0,]4x ∈时，不等式()sin 2f x m x ≥-恒成立，所以π3π()sin 2sin(2)sin 2sin 2cos 2sin(2)3226m f x x x x x x x ≤+=++=++，令()π26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以π())6g x x +的最小值为2，所以2m ≤，即m ⎛∈-∞ ⎝⎦．故选：A ．【变式2-3】（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）已知函数π()sin()0,||2ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭f x x ，若()()1g x f x ⋅=，且函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ等于（）A ．π3-B ．π6-C ．π6D ．π3【答案】B【解析】由图可知，函数()g x 过点π,13⎛⎫⎪⎝⎭和点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，即π135π16g g⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，又因为()()1g x f x ⋅=，所以π135π16f f ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，结合正弦型函数的性质可知，5ππ263T =-，解得πT =，所以2ππω=，解得2ω=±，因为0ω>，所以2ω=所以()sin(2)f x x ϕ=+，所以πsin(2)13ϕ⨯+=，即2ππ2π32k ϕ+=+，Z k ∈解得π2π6k ϕ=-+，Zk ∈因为π||2ϕ<，所以π6ϕ=-，故选：B.【变式2-4】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 的图象向右平移()0m m >个单位长度后得到函数()()sin 2g x A x ωϕ=-的图象，则m 的值可以是（）A ．π4B ．π3C ．4π3D ．9π4【答案】AD【解析】由图象可知：2A =，最小正周期5ππ4π126T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，2π2T ω∴==，ππ2sin 263f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()ππ2π32k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()π2π6k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，π6ϕ∴=，()π2sin 26f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()π2sin 226f x m x m g x ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭ ，()ππ22π63m k k ∴-+=-+∈Z ，解得：()ππ4m k k =-∈Z ，当0k =时，π4m =；当2k =-时，9π4m =.故选：AD.【题型3三角函数图象变换问题】【例3】（2023秋·江西赣州·高三统考期末）函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0ω>，π2ϕ<）的图象如图所示，为了得到cos y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（）A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度【答案】C【解析】由图象可知，712344Tπππ-==，所以T π=，又因为2T πω=，所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又因为771,sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-∴⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又||2ϕπ<，所以,3πϕ=所以()sin 2cos 2cos 2cos 2332612f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为()cos 2g x x =，所以只需把()y f x =的图象上所有点向左平移π12个单位长度可得()cos 2g x x=的图象.故选：C.【变式3-1】（2022·四川·高三统考对口高考）为了得到函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点（）A ．向左平移4π个单位B ．向右平移4π个单位C ．向左平移2π个单位D ．向右平移2π个单位【答案】A【解析】依题意，sin(2)sin(2)sin[2()]42444y x x x πππππ=+=+-=+-，所以把函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向左平移4π个单位可以得到函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，A 正确.故选：A 【变式3-2】（2022·陕西汉中·统考一模）为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将sin2y x =的图象（）A ．向左平移512π个单位长度B ．向右平移512π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度D ．向右平移23π个单位长度【答案】A【解析】555cos 2cos 2sin 2sin 2362612y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故可由sin2y x =的图象向左平移512π个单位长度得到.故选：A.【变式3-3】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫-> ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后与其导函数()y f x '=的图象重合，则()f ϕ的值为（）A ．0B ．2C ．2D ．32【答案】D【解析】因为π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以()ππcos sin (0)63f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，而函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后得到()()ππsin (0)66f x x x ϕωϕωωϕω⎡⎤⎛⎫++-+-> ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由题意得()()f x f x ϕ+='，所以ππ2π,Z 63k k ωϕ=⎨-=+∈⎪⎩,解得1π2π,Z 2k k ωϕ=⎧⎪⎨=+∈⎪⎩且0ϕ>，所以πππ3()2π2632f k ϕ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，故选：D 【变式3-4】（2022·全国·模拟预测）已知函数()3sin cos f x x x =-的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度后得到()f x 的导函数()f x '的图象，则()f ϕ=（）A ．3-B ．3C ．1D ．1-【答案】B【解析】因为()3sin cos f x x x =-，所以()3cos sin f x x x =+'，而()()()3sin cos 3sin cos 3cos sin cos cos sin sin f x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕ+=+-+=+-+()()3cos sin sin 3sin cos cos x x ϕϕϕϕ=++-⋅，由题意得()()f x f x ϕ+='，所以3cos sin 13sin cos 3ϕϕϕϕ+=⎧⎨-=⎩,解得sin 1cos 0ϕϕ=⎧⎨=⎩，所以()3sin cos 3f ϕϕ=-=，故选：B.另解：因为()3sin cos f x x x =-，所以()3cos sin f x x x =+'，由题意知()()f x f x ϕ+='对一切实数x 恒成立，所以令0x =，得()()03cos 0sin 03f f ϕ'==+=，故选：B.【变式3-5】（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）将函数()sin 2c 2πos π63f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），然后再将其图象向左平移()0θθ>单位得到图象()g x ，若函数()g x 图象关于y 轴对称，则θ的最小值为（）A ．π3B ．π6C ．π12D ．π24【答案】C 【解析】()πsin 2cos 2sin 2co i ππs 22s n26366πππ62f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,由()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）得到π2sin 46⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x ，将其图象向左平移()0θθ>单位得到图象()46π2sin 4g x x θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，而()g x 图象关于y 轴对称，∴4π,Z 6π2πk k θ+=+∈，∵0θ>，∴当0k =时，θ取最小值π12.故选：C.【题型4三角函数的四种性质】【例4】（2023秋·河南南阳·高三统考期末）已知函数()()()sin cos f x x x ϕϕ=+++是偶函数,则3sin 2cos 2sin 3cos ϕϕϕϕ-=+______．【答案】15【解析】由题知数()()()sin cos f x x x ϕ=+++是R 上偶函数，所以()()ππ22f f =-,即()()()()ππππsin cos sin cos 2222ϕϕϕϕ+++=-++-+，即cos sin cos sin ϕϕϕϕ-=-+，即cos sin ϕϕ=，tan 1ϕ=,所以3sin 23sin 2cos 321cos 2sin 2sin 3cos 2353cos ϕϕϕϕϕϕϕϕ---===+++.故答案为:15【变式4-1】（2023秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）函数9cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为______.【答案】()π5ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】由9πcos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭＝cos π24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos π24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得2kπ≤2x －4π≤2k π＋π(k ∈Z )，解得kπ＋π8≤x ≤kπ＋58π(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为π5ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ).故答案为：()π5ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.【变式4-2】（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）已知函数()tan tan f x x x =+，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心C ．()f x 的值域为[)0,∞+D ．不等式()2f x >的解集为()ππ2,2πZ 42k k k π⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】()π2tan ,[π,π),Z 2tan tan π0,(π,π),Z 2x x k k k f x x x x k k k ⎧∈+∈⎪⎪=+=⎨⎪∈-+∈⎪⎩，作出()f x的图象，如图，观察图象，()f x 的最小正周期为π，A 错误；()f x 的图象没有对称中心，B 错误；()f x 的值域为[)0,∞+，C 正确；不等式()2f x >，即π[π,π)(Z)2x k k k ∈+∈时，2tan 2x >，得tan 1x >，解得ππππ,Z 42k x k k +<<+∈，所以()2f x >的解集为ππ(π,π)()42Z k k k +∈+，故D 错误.故选：C【变式4-3】（2023·四川内江·统考一模）已知函数()()1sin cos sin (0)2f x x x x ωωωω=-+>，若函数()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω不能取（）A ．23B ．13C ．58D ．14【答案】A【解析】因为()()1sin cos sin 2f x x x x ωωω=-+21sin cos sin 2x x x ωωω=⋅-+11cos 21sin 2222x x ωω-=-+1(sin 2cos 2)2x x ωω=+(sin 2cos 2)222x x ωω=⋅⋅π)4x ω=+由ππ3π2π22π242k x k ω+≤+≤+，Z k ∈，得ππ5ππ88k k x ωωωω+≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递减区间为ππ5ππ,88k k ωωωω⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .又函数()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭⊆ππ5ππ,88k k ωωωω⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ，所以πππ825πππ8k k ωωωω⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，Z k ∈，因为0ω>，所以15248k k ω+≤≤+，Z k ∈，当23ω=时，得1252438k k +≤≤+，得152424k ≤≤，不成立；所以23ω=不可取；当13ω=时，得1152438k k +≤≤+，得712412k -≤≤,因为Z k ∈，所以0k =时，13ω=可取到；当58ω=时，得1552488k k +≤≤+，得3016k ≤≤，因为Z k ∈，所以0k =时，58ω=可取到；当14ω=时，得1152448k k +≤≤+，得308k -≤≤，因为Z k ∈，所以0k =时，14ω=可取到.综上所述：ω不能取23.故选：A【变式4-4】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）（多选）设函数()()sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，3πϕ<.若1409f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，419f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于52π，则（）A ．14ω=B ．6πϕ=C ．()f x 在()2,3ππ上单调递增D ．()f x 在()0,3π上存在唯一的极值点【答案】BC【解析】函数()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期为T ，由1409f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭及419f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得：414(21)()2,N 499T k k πππ*⋅-=--=∈，则8,N 21T k k π*=∈-，而52T π>，即有5822,N 1k k ππ*>∈-，解得21,N 10k k *<∈，即1k =或2k =，当1k =时，18,4T πω==，由419f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得1114,Z 492k k ππϕπ⨯+=+∈，有117,Z 18k k πϕπ=+∈，而3πϕ<，显然不存在整数1k ，使得3πϕ<，当2k =时，83,34T πω==，由419f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得2234,Z 492k k ππϕπ⨯+=+∈，有22,Z 6k k πϕπ=+∈，而3πϕ<，于是得20,6k πϕ==，符合题意，所以83,,346T ππωϕ===，A 不正确，B 正确；3()sin()46f x x π=+，当23x ππ<<时，532934612x πππ<+<，而函数sin y x =在529(,)312ππ上单调递增，所以函数()f x 在()2,3ππ上单调递增，C 正确；当03x π<<时，32964612x πππ<+<，而函数sin y x =在29(,)612ππ上两个极值点，一个极大值点，一个极小值点，所以函数()f x 在()0,3π上有两个极值点，一个极大值点，一个极小值点，D 不正确.故选：BC【变式4-5】（2023·安徽淮南·统考一模）（多选）已知函数()()πsin ,12,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭图像过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且存在12,x x ，当122πx x -=时，()()120f x f x ==，则（）A ．()f x 的周期为4π3B ．()f x 图像的一条对称轴方程为5π9x =-C ．()f x 在区间4π10π,99⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减D ．()f x 在区间()0,5π上有且仅有4个极大值点【答案】ACD【解析】因为()f x 图像过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且π2ϕ<，所以1sin 2ϕ=-，解得π6ϕ=-，因为存在12,x x ，当122πx x -=时，()()120f x f x ==，所以π2π2T k k ω⋅==，即2k ω=，*N k ∈，又因为12ω<<，所以32ω=，所以()3πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，选项A ：()f x 的周期2π4π332T ==，正确；选项B ：()f x 图像的对称轴为3πππ262x k -=+，解得4π2π93kx =+，Z k ∈，令5π4π2π993k-=+，k 无整数解，B 错误；选项C ：当4π10π,99x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3ππ3π,2622x ⎡⎤-∈⎢⎣⎦，所以由正弦函数的图像和性质可得()f x 在区间4π10π,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，C正确；选项D ：当()0,5πx ∈时，3ππ22π,2663x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以由正弦函数的图像和性质可得()f x 在区间()0,5π有4个极大值点，3个极小值点，D 正确；故选：ACD【变式4-6】（2023秋·湖北·高三统考期末）（多选）已知函数()2sin sin 2f x x x =，则下列说法正确的是（）A ．π是()f x 的一个周期B ．()f x 的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 在区间[]0,2π上的零点个数为4D ．()f x 的最大值为8【答案】ABD 【解析】对于A ，因为()2(π)sin (π)sin 2(π)f x x x +=++()22sin sin 2sin sin 2()x x x x f x =-==，所以π是()f x 的一个周期，故A 正确；对于B ，()2π(2)(π)sin (π)sin 2(π)2f x f x x x ⨯-=-=--22sin sin(2)sin sin 2()x x x x f x =-=-=-，所以()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故B 正确；对于C ，由()2sinsin 2f x x x =0=，得πx k =或2πx k =，Z k ∈，得πx k =或π2k x =，Z k ∈，由0π2πk ≤≤及Z k ∈得0k =或1k =或2k =，所以0x =或2πx =或πx =，由π02π2k ≤≤及Z k ∈得0k =或1k =或2k =或3k =或4k =，所以0x =或π2x =或πx =或3π2x =或2πx =，所以()f x 在区间[]0,2π的零点为0x =，π2x =，πx =，3π2x =，2πx =,共5个,故C 错误；对于D ，()2sinsin 2f x x x =2sin 2sin cos x x x =⋅32sin cos x x =，所以()262()4sin cos f x x x =624sin (1sin )x x =-，设2sin [0,1]t x =∈，34(1)y t t =-3444(01)t t t =-≤≤，则23212164(34)y t t t t '=-=-，令0'>y ，得304t <<，令0'<y ，得314t <≤，所以3444(01)y t t t =-≤≤在3[0,)4上为增函数，在3(,1]4上为减函数，所以当3t 4=时，y 取得最大值为333274(1)4464⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，0=t 或1t =时，y 取得最小值为0，所以()2()f x y =27[0,64∈，所以()[f x ∈，所以()f x D 正确；故选：ABD 【变式4-7】（2023春·浙江·高三校联考开学考试）（多选）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．()0f =B ．()f x 的最小正周期为π2C ．()f x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】BD【解析】()ππ0tan tan 66f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭A 错误；函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π2T =，故B 正确；π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,πππ666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误；π,06x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2,π626ππx ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，故()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确．故选：BD ．【题型5三角函数的最值问题】【例5】（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）定义运算,,,.a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩※例如，121=※，则函数()sin cos f x x x =※的值域为（）A．1,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．2⎡-⎢⎣⎦【答案】D【解析】根据题设中的新定义，得()sin ,sin cos cos ,sin cos x x x f x x x x≤⎧=⎨>⎩，由sin cos x x ≤可得sin cos 0x x -≤π04x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，所以π2ππ2π4k x k -≤-≤，Z k ∈，即3ππ2π2π+44k x k -≤≤，Z k ∈，由sin cos x x >可得sin cos 0x x ->π04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以π2π2π+π4k x k <-<，Z k ∈，即π5π2π+2π+44k x k <<，Z k ∈，所以()3ππsin ,2π2π,Z 44π5πcos ,2π2π,Z44x k x k k f x x k x k k ⎧-≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪+<<+∈⎪⎩，当3ππ2π2π+44x k x k ∈-≤≤，Z k ∈，()()()2πsin 2πsin f x x x f x +=+==，当π5π2π+2π+44x k x k ∈<<，Z k ∈时，()()()2πcos 2πcos f x x x f x +=+==，所以函数()f x 为周期函数，周期为2π，作出函数()f x 在一个周期内的图象（实线部分），观察图象，可知函数()f x 的值域为22⎡-⎢⎣⎦，故选:D.【变式5-1】（2023秋·湖南株洲·高三校联考期末）已知定义域为R 的函数(),()f xg x满足()()πf x f x +=-，且()()cos π,g x x f x =++()()sin πf x x g x =-+，则当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()y f x g x =的最小值为（）A ．0B ．2CD 【答案】A【解析】()cos ()=-g x x f x ，()()()()πcos ππcos +=+-+=-+g x x f x x f x ，所以()sin cos ()f x x x f x =+-，得sin cos ()2x x f x +=，cos sin ()2x xg x -=，所以22cos sin 1()()cos 244x x y f x g x x -===，π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0cos 21x ≤≤，10()()4≤≤f x g x ，得()()y f x g x =的最小值为0.故选：A.【变式5-2】（2022秋·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）如图是函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象，则()f x 在,9045⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π22π上的值域为（）A ．[]1,1-B ．122⎡⎢⎣⎦C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【答案】D【解析】由图象知函数的周期13ππ2π230103T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，即2π2π=3ω，即3ω=，由五点对应法得ππ32π+()102k k ϕ⨯+=∈Z ，得π2π+5k ϕ=，则π()cos 35f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π22π,9045x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π3,563x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，所以πcos 31,52x ⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦.故选：D【变式5-3】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）函数()3cos f x x 的最大值为（）.A ．B ．C ．D ．3【答案】D 【解析】2225cos 4sin 59cos 4cos 4sin 5x x x x x -+=--+()()22229cos 4sin 4sin 13cos 2sin 1x x x x x =+-+=+-，所以()3cos f x x ==故()f x 的最大值转化为点()3cos ,2sin P x x 到()0,1A 与()0,2sin B x 的距离之差的最大值，因为1sin 1x -≤≤，22sin 2x -≤-≤，112sin 3x -≤-≤，所以12sin 3PA PB AB x -≤=-≤，当且仅当sin 1x =-时，等号成立，则3PA PB -≤，经检验，此时cos 0x =，()303f x =⨯=，所以()3f x ≤，即()f x 的最大值为3.故选：D.【变式5-4】（2023秋·北京丰台·高三统考期末）已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭，若ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω=___________．【答案】4【解析】由于若ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值无最大值，πππ6223+=，则πππsin 1336f ω⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππ2π,62,Z 362k k k ωω+=-=-∈，又ππππ,62366T ωω=≥-=≤，由于0ω>，所以ω的值为4.故答案为：4。