振动和波动_1

振动和波动
学习要求：
1．掌握简谐振动的基本规律（位移、速度和加速度方程，振动曲线），矢量图示法(参考圆)及其应用，熟悉谐振动能量的特点。

2．理解阻尼振动、受迫振动和共振现象。

3. 掌握同方向、同频率简谐振动合振动的求法，掌握简谐波的波动方程，熟悉波动方程的物理意义与应用，波强的概念和计算方法。

4. 理解波的能量及其传播的机理，波动曲线的物理意义。

5. 掌握波的干涉条件
一、简谐振动及其特点
最简单、最基本的振动是简谐振动。

任何复杂的振动都可以近似地看作是许多简谐振动的合振动。

1.简谐振动方程
从运动学的角度看，简谐振动是加速运动，加速度的大小和方向是不断变化的。

简谐振动物体受的合力为：
ks F -=
02
22
=+s dt
s d ω
)cos(ϕω+=t A s
这种用时间的余弦（或正弦）函数来描述的运动，称为简谐振动。

2.简谐振动的特征量
对一定的简谐振动来说，A 、ω、和ϕ为常量，它们是决定一具体简谐振动的特征量。

ω、ν和T 三者的关系为 ,/1T =ν T /22ππνω==
求解简谐振动的关键是要知道简谐振动的三要素A 、ω、和ϕ，ω是由系统本身性质决定的，A 和ϕ则由初始条件决定。

3.简谐振动的能量
从功能的角度看，物体作简谐振动的过程中，只有弹性力做功，系统的动能和势能都随时间作周期性变化。

振动系统的总机械能在振动过程中守恒。

2
2
2
2
121kA
A
m E E E p k =
=
+=ω
4．简谐振动的合成
（1）两个同方向、同频率简谐振动的合成
利用矢量合成法按几何关系，可以求得合振动的振幅A 和初相位ϕ分别为 )
cos(212212
22
1ϕϕ-++=
A A A A A
2
2112211cos cos sin sin ϕϕϕϕϕA A A A arctg
++=
合振动的振幅和初相位都与两个分振动的振幅和初相位有关。

对于k =0，1，2，…，得：
①若相位差πϕϕk 212±=-时，21A A A += ，合振幅最大。

②若相位差πϕϕ)12(12+±=-k 时，A 2
1A A -=，合振幅最小。

③当相位差取其他值时，<<-A A A 2
121A A + 。

（2）同方向、不同频率的简谐振动的合成
在矢量图中两个旋转矢量间的夹角或相位差将随时间变化，因而合矢量的长度和转动角速度都将随时间而变化，合矢量的投影不再是简谐振动。

但仍然是周期性振动，而且合振动的频率与分振动中的最低频率相等。

注意两个同方向、频率相差很小的简谐振动的合成时，合振动的振幅有时加强、有时减弱的“拍”现象。

二、机械波
1．波动方程
[]ϕω+-=)(cos u x
t A s
上式表示位移s 是时间t 和质点位置x 的函数，称为平面简谐波的波动方程。

由ω、ν、T 、λ、和u 诸量之间的关系，上式可写成其他形式 []ϕ
λ
π+-=)(
2cos x
T t A s []ϕ
λ
νπ+-
=)(2cos x
t A
[]ϕω+-=)(cos kx t A
波动方程的微分形式
2
2
2
22
x
s u
t
s ∂∂=∂∂
注意：①波动方程),(t x f s =，位移是位置与时间二者的函数；振动方程)(t f s =质点位移只是时间的函数。

②波形的传播速度C 与质点的振动速度v 不同，f C λ=沿X 轴行进，即振动状态传播速度；质点振动速度t s v ∂∂=/
2．波的强度 波的强度与振幅的平方、频率的平方成正比。

2
22
1ωρuA I =
3．波的衰减
机械波在介质中传播时，它的强度将随着传播距离的增加而减弱，振幅也随之减小，这种现象称为波的衰减。

导致波衰减的主要原因有：①由于波面的扩大造成单位截面积通过的波的能量减少，称为扩散衰减。

②由于散射使沿原方向传播的波的强度减弱，称为散射衰减。

③由于介质的粘滞性（内摩檫）等原因，波的能量随传播距离的增加逐渐转化为其他形式的能量，这种现象称为介质对波的吸收。

吸收衰减的规律。

x
e
I I μ-=0
上式表明平面波的强度在传播过程中按指数规律衰减。

4．惠更斯原理
惠更斯原理表述为：介质中波前上的每一点都可以看作新波源，向各个方向发射子波；在其后的任一时刻，这些子波的包迹就是该时刻的新波前。

5．波的叠加
若两个相干波在P 点所引起的两个分振动的相位差 λ
π
ϕϕϕ1
2122r r ---=∆
是一个常量，则合振幅A 也是一个常量。

由合振幅A 的表达式可知
κπ
ϕ2±=∆ ，合振幅最大，A=A 1+A 2，干涉加强。

πκϕ)12(+±=∆，合振幅最小，A=|A 1-A 2|，干涉减弱。

若ϕ1=ϕ2，波程差δ=r 2-r 1 ，则
2
2λ
κ
δ±=， 干涉加强；
2
)
12(λκδ+±= ，干涉减弱。