计量经济学笔记(总)

计量经济学三、课程大致安排 1、内容框架2、参考书目：初、中级教程：计量经济学 王维国 东北财经大学出版社计量经济学/Basic Econometrics （印度）古扎拉蒂 中国人民大学 计量经济学 赵国庆 中国人民大学出版社 计量经济学 李子奈 潘文卿 高等教育出版社 高级教程：计量经济模型与经济预测 平耿克 钱小军译 机械工业出版社 《经济计量分析》( Econometric Analysis )3、安装eview ，数据（演算一下）OLS 法（缺少数据）4、安装pdf第二部分 数学预备知识概率论第一章随机变量及其分布一、随机变量的定义设随机试验Ed样本空间为{}π=，如果对两个？？？，都有唯一w的实数()x w与之对应，并且对任意实数X，？？是随机事件，则称事件，则称定义在π上的实单值函数()x w为随机变量。

通俗的说，在实验结果能取得不同数值的量，称为随机变量它的数值是随机试验结果而它由于试验的结果是随机的，所以它的值也是随机的。

二、分类（连续型和离散型）例子：在一个箱子里放着t个数字球，-2，1，1，3，3，3，3从中取一个球，取到球上面的数字是随着试验结果不同而变化。

又如：考四、六级，考过记为1，不过记为0。

再如：抛硬币，正面记为1，反面记为0。

引入话题：举一些现实中的例子，如考试，在公交场等车随机变量-事件-概率-频率-分布率-分布函数-连续随机变量上面我们讲的是一种事件有很多种不同的结果，但在现实中这些出现的结果的可能性并不是相同的。

例子：考六级出现的结果不同，大多数分数集中在50-60和60-70之间，也就是说出现2和3的可能性更大。

=0（0-50），1（50-60），2（60-70），3（70-80），4（80-100）问题：用什么衡量可能性呢？（概率）我们用的概率都是古典概型，即用事件发生概率来表示概率。

频率的定义：一随机事件的n个结果互斥且两个结果等可能发生，并且事件A会有m个基本结果，则事件A发生的概率即是()p A，就是() p A= mn=事件发生的总数/结果总数两点需要注意：1、试验结果互斥；2、等可能性相当。

假设1000人去参加6级考试，或1个人参加1000次难度相同的考试。

① 等可能②结果互斥01)2500.252)5000.53ε (0,60) 50 0.05⎧⎪ [60,70 ⎪=⎨[70,80 ⎪⎪ [80,100] 200 0.2⎩例题：5只球，编号1、2、3、4、5。

在取3只，以x 表示表示取出3只球中最大号码，写出随机变量x 的分布率。

解：最大值只能3、4、5。

X=3 p(x=3)= 2235110c c =X=4 p(x=4)= 2335310c c = ⇒ p(x=k)= 2135k c c -(k=3、4、5)X=5 p(x=5)= 243535c c =第四章 随机变量分布律实质是对第三章的重新表述，只是一种表述方法而已）分布律表,更一般的形式：两个性质：()0i p x ε=>，且1i p =∑。

把所有可能全部展现出来了，一目了然！第五章 概率分布函数为了进一步研究的需要，引入分布函数定义：对任何实数x ，随机变量ε的分布函数，为()()F x p x ε=≤ 例题： 1、ε的分布率2、根据()F x 的定义()F x ()p x ε≡< ①3x <时，()()()F x p x p ε=≤=∅=0②34x ≤≤时，()()(2)1/10F x p x p εε=≤==-= ③45x ≤≤时，()()(22)4/10F x p x p εεε=≤==-⋃==④5x ≥时，()()()1(2)(2)(5)1F x p x p p p p επεεε=≤====-+=+== 综上所述，得分布函数：思考一下为什么要引入这分布律函数（也就是累积和概念） 等一下讲到联系随机变量时就可以明白为什么？ 分布函数()F x 的性质：()F x =()i ix xp xε≤=∑①lim ()0x F x →∞= ②lim ()1x F x →∞= ③00lim ()()x x F x F x +→=右连续第六章 连续型随机变量()()()xF x p x f x dx ε-∞=≤=⎰如果随机变量ε的分布函数恰好是某个非负可积数()F x 在（-∞，x ）的积分，即。

称ε为连续型随机变量并称()F x 为ε的概率密度（密度函数）。

例如：证明200()111x F x x x x <⎧⎪= 0 ≤<⎨⎪ ≥⎩的密度函数为 21()0x x f x 0<<⎧= ⎨ ⎩其它证： 当x <0时，()x f x dx -∞⎰=0xdx -∞⎰=00≤x < 1时，()xf x dx -∞⎰=00dx -∞⎰+02xxdx ⎰=2x x ≥1时， ()xf x dx -∞⎰=0dx -∞⎰+12xdx ⎰+10xdx ⎰=1性质：()F x 0≥()1f x dx +∞-∞=⎰两个常用的公式()()()()ba p ab f x dx F b F a ε≤≤==-⎰ ()()F x f x =0-1分布 ()()11kk p X k p p -==- p pq二项分布 ()()1n kk k n P X k C p p -==- np npq 泊松分布 ()!kP X k e k λλ-==λ λ均匀分布 1()0a x b f x b a ⎧ <<⎪=-⎨⎪ ⎩其它 2a b + 2()12b a -指数分布 ()00x e x f x λλ-⎧ >=⎨ ⎩其它1λ 21λ正态分布22()2()x f x μσ--= μ 2σ 标准正态分布222()x f x σ-=0 1第七章 数字特征回顾：随机变量、事件、概率、分布率、分布函数、连续型随机变量、数字特征一、随机变量的数字特征1i k k Ex x p ∞==∑2()()Dx E x Ex x σ=-→=→均方差 22()Dx Ex Ex =-=22()k k k k kx p x p -∑∑举例：Ex =？ Dx=？思考：1、为什么要引入Ex 和Dx ？ 2、为什么2Ex =2k k kx p ∑？常见的一些连续型随机变量的数字特征一览表（参加上页） 期望和方差的一些性质： ①()EY E kx c kEx c =±=±2()DY D kx c k Dx =±=②若X 与Y 独立，则E (XY )=E (X )E (Y ).③标准化随机变量：已知E (X )，方差D （x ）,引入新的随机变量。

0x⇒00Ex =,0Dx =1例子：设两个相互独立的X 、Y 的方差分别为4和2， D （x ）=4，D （y ）=2，求D （3x-2y ）= ?正态分布的一些性质： ①X ～N (μ , 2σ).，~(0,1)x Y N μσ-≡②~(0,1)x N ，？？？？？③X ～2(,)μσΓ，则x 的线性函数Y=ax+b 服从正态分布22~(,)N a a μσΓ④1x 与2x 相互独立，2(,)i i i x N μσ ？？？？？ 如何证明？互动，让同学做下。

协方差与相关系数：定义：Cov(X, Y)=E{[X -E(X)][Y -E(Y)]}.协方差定义：XY ρρ==⇒(,)XY Cov X Y ρ=协方差的性质：设a 、b 、c 、d 为常数 ①Cov (X , Y )=Cov (Y , X );②Cov (aX , Y )=aCov (X , Y )；Cov (X , bY )=bCov (X , Y ), ③(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-④Cov (1x +2x ，Y )=Cov (1x , Y )+Cov (2x , Y );⑤Cov (X ,X )=D (X );，Cov (Y ，Y)=D (Y); ⑥ X ，Y 独立，Cov (X , Y)=0，反之不然。

⑦Cov (b , Y)= Cov (X , a )=0 ⑧(,)(,)Cov aX b Y aCov X Y ±= ⑨(,)(,)Cov aX b cY d acCov X Y ±±=⑩(,)()(,)Cov aX bY cX dY acbx bdDY ad bc Cov X Y ±±=+++ 11、D(X ±Y)=D(X)+D(Y) ±2Cov (X, Y) . 例子：Y=5x+6，D （x ）=3,求Cov (X , Y)？ 解：Cov (X , Y) = Cov (Y , X )XY ρρ==Cov (5X+6 , X)= Cov (5X , X)+ Cov (6 , X)=5 Cov (X , X)+ Cov (6 , X)=5D （X ）+0第二篇数理统计第一章抽样分布一、总体与样本抽样分布（为什么要引入抽样分布？）二、统计量三、抽样分布一、均值分布有关的抽样分布（一）2~(,)X N n σμ，1x ，2x …i x 来自x 的一个样本，则样本均值X =11ni i X n =∑X 2~(,)N nσμ（二）两个正态总体211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，X 与Y 相互独立。

X 和Y 分别为样本，X -、Y -为正态分布。

221212~(,)X Y N u u mnσσ--±±±~(0,1)N --（三）非正态总体下的样本均X 为任意总体，期望值Ex u =，方差2Dx σ=，i x 为总体的一个样本。

当n 较大时，近似的有X 2~(,)N nσμ~(0,1)N -（四）设总体x （对总体分布无要求，只要均值和方差存在），Ex u =，方差2Dx σ=，i x 为样本，则E x u -=，2D x n σ-=，22ES σ=证明：思路，x -为随机变量，对随机变量求E 值才有意义。

111i iE x E X EX n n n n λλ-⎡⎤===∙∙=⎢⎥⎣⎦∑∑ 1i D x n X n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑221()1i ES E X X n ⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦∑样本方差定义（思考：为什么是1n -） 总结：为什么要讨论x -发布例题：某厂灯泡使用寿命2~(2250,250)x N ，现在进行质量检查，方法如下，任意一排选若干个灯泡，如果这些灯泡的寿命超过2200个小时，就认为该厂生产的灯泡质量合格，若要使检查可能通过的概率超过0.997，到底多少个灯泡？2~(2250,250)x N(2200)0.997p x ->>求n二、抽样分布的2χ分布随机变量x 的p 函数为122210()2(2)00n xn x e x f x n x --⎧≥⎪=Γ⎨⎪<⎩2χ分布的典型模型：χ，F ，t 都是由N 分布的加减乘除所构造出来的定理一：i x 相互独立且服从正态分布x =22212..........~()n x x x x n χ++⇒定理二：正态分布2~(,),X N μσ12..........n x x x ++为样本。