傅里叶变换

第4章 连续时间傅里叶变换

4.1.1 非周期信号傅里叶变换表示的导出

为了对傅里叶变换表示的实质求得更深入地了解，我们还是先由在例3.5中所研究过的连续时间周期方波的博里叶级数表示入手。在—个周期内

⎪⎩⎪⎨⎧<<<=2

/,0,1)(11

T t T T t t x

以周期T 周期重复，如图4．1所示。

在例3．5曾求出，该方波信号的傅里叶级数系数k a 是

0,)

s i n (2010≠=

k T

k T k a k ωω

式中T /20πω=，如下图所示，展示出了对于固定的1T 值和不同的T 值时，这些系数的

条状图。

理解(4 .1)式的另一种方式是把它当作一个包络函数的样本，即

1

s i n 2ωωω

ωk k T Ta ==

这就是，若将ω看作一个连续变量，则函数

ω

ω1

sin 2T 就代表k Ta 的包络，这些系数就是

在此包络上等间隔取得的样本。而且，若1T 固定，则k Ta 的包络就与T 无关。在下图中，再次表明了该周期方波的傅里叶级数系数，不过，这次是按上式作为k Ta 包络的样本给出

的，从该图可以看到，随着T 增加(或等效地，基波频T /20

πω=减小)，该包络就被以愈

来愈密集的间隔采样。随着T 变得无穷大，原来的周期方波就趋近于一个矩形脉冲 (也就是说，在时域所保留下的是一个非周期信号，它对应于原方波的一个周期)。与此同时，博里叶级数系数(乘以T 后)作为包络上的样本也变得愈来愈密集，这样从某种意义上说(稍后将说明)，随着∞→T ，博里叶级数系数就越来越趋近于这个包络函数。

这个例子说明了对非周期信号建立傅里叶表示的基本思想。这就是在建立非周期信号的博里叶变换时，可以把非周期信号当作—个周期信号在周期任意大时的极限来看待，并且研究这个周期信号博里叶级数表不式的极限特性。现在，我们来考虑一个信号)(t x ，它具有有限持续朗，即对某个1T ，当1T t

>时，0)(=t x ，如图

4．3(a)所示。从这个非周期

信号出发，可以构成一个周期信号)(t z ，使)(t x 就是)(t z 的一个周期，如图4．3(b)所示。当随着∞→T

，对任意有限时间t 值断言，)(t z 就等于)(t x 。

现在来考察一下在这种情况下)(t z 的傅里叶级数表达式的变化。这里，为方便起见，将综合公式和分析公式重写如下，并将分析公式的积分区间取为如下：

t jk k k

e a t z 0)(ω∑+∞

-∞

==

⎰--=2/2

/0)(1T T t

jk k dt e t z T a ω 以重新写成

⎰⎰∞∞

----==dt e t x T dt e t x T a t jk T T t jk k 00)(1)(12/2/ωω 定义k Ta 的 包络为)(ωj X

⎰

∞

∞

--=

dt e t x j X t

jk 0)()(ωω 这时，系数k a 可以写为

)(1

0ωjk X T

a k =

综合上述，将(4．6)式和式(4。3)式结合在一起，就可以用表示为

t jk k e jk X T

t z 0)(1

)(0ωω∑+∞

-∞==

因为T /20

πω=又可表示为

000

)(21)(ωωπ

ωt jk k e jk X t z ∑+∞

-∞

==

随着∞→T

，00→ω，)(t z 趋近于)(t x ，结果上式的极限就变成)(t x 的表示式。

而且式的右边就过渡为—个积分。

⎰

+∞

∞-=

ωωπωd e j X t x t

j )(21)( (4．8) ⎰+∞∞

--=

dt e

t x j X t

j ωω)()( (4．9)

(4．8)式和(4．9)式称为傅里叶变换对。函数)(ωj X 称为)(t x 的傅里叶变换或傅里叶积分，而(4．8)式称为傅里叶反变换式。综合公式(4．8)对非周期信号所起的作用与(3．38)

式对周期信号的作用相同，因为两者部相当于把一个信号表示为一组复指数信号的线性组合。一个非周期信号)(t x 的变换)(ωj X 通常称为)(t x 的频谱，因为)(ωj X 告诉我们将

)(t x 表示为不同频率正弦信号的线性组合(就是积分)所需要的信息。

4．1．2 傅里叶变换的收敛

也和周期信号一样，傅里叶变换要收敛，必须满足一组条件，这组条件也称为狄里赫利条件，它们是：

1.

)(t x 绝对可积，即

⎰-∞∞

+∞

2．在任何有限区间内，)(t x 只有有限个最大值和最小值。

3．在任何有限区间内，)(t x 有有限个不连续点，并且在每个不连续点都必须是有限值。因此，本身是连续的或者只有有限个不连续点的绝对可积信号都存在傅里叶变换。

尽管这两组条件都给出了一个信号存在傅里叶变换的充分条件，但是下一节将会看到，

倘若在变换过程中可以使用冲激函数，那么，在一个无限区间内，既不绝对可积，又不具备平方可积的周期信号也可以认为具有傅里叶变换。这样，就有可能把傅里叶级数和傅里叶变换纳入到一个统一的框架内。在以后的各章讨论中将会发现这样做是非常方便的。

3.5 典型非周信号的傅里叶变换

例1：考虑信号

)()(t u e t x at -=，0>a ，求其傅里叶变换。

解：由分析公式，有

∞+-∞

--+-==⎰0

)(0

1

)(t

j a t

j at e j a dt e

e

j X ωωω

ω

ω

ωj a j X +=1

)(，0>a

这个傅里叶变换是复数，要画出作为ω的函数，就需要利用它的模和相位来表示)(ωj X

2

2

1)(ω

ω+=

a j X

)(tan )(1a

j X ω

ω--=∠

该傅里叶变换的相位谱和幅度谱如上图所示。