序列Z变换与反变换..
信号的Z变换与逆变换
信号的Z变换与逆变换信号处理是数字信号处理领域的重要内容，而Z变换是信号处理中常用的数学工具之一。
本文将介绍信号的Z变换及其逆变换的概念及应用。
一、Z变换的概念Z变换是一种在离散时间域中对信号进行频域分析的方法。
它可以将离散序列表示为复平面上的函数，其数学定义如下：给定一个离散时间序列x[n]，其Z变换表示为X(z)，其中z是一个复变量。
X(z)的定义如下：X(z) = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] * z^(-n)Z变换将离散序列x[n]映射到复平面上的函数X(z)，其中z是z轴上的点，通过对X(z)的分析得到信号的频域特性。
二、Z变换的性质Z变换具有一系列重要的性质，这些性质有助于我们对信号的分析和处理。
以下是一些常见的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及信号x1[n]和x2[n]，有X(a*x1[n] + b*x2[n]) = a*X(z1) + b*X(z2)，其中z1和z2是x1[n]和x2[n]的Z变换函数。
2. 延迟性质：对于一个有限长序列x[n-d]，其Z变换为X(z)*z^(-d)。
3. 卷积性质：对于两个序列x1[n]和x2[n]的卷积序列y[n]，其Z变换为Y(z) = X(z) * Z(z)，其中Z(z)是x2[n]的Z变换。
4. 初值定理：对于离散时间序列x[n]，其初始值x[0]等于X(z)在z=1处的极限值。
通过这些性质，我们可以根据Z变换函数来推导和分析信号的特性。
三、Z逆变换的概念Z逆变换是Z变换的逆运算，旨在将Z域中的函数转换回原始的离散时间信号。
Z逆变换的数学定义如下：设X(z)为一个Z变换函数，其Z逆变换表示为x[n]，满足以下公式：x[n] = (1/2πj)∮(C)X(z) * z^(n-1) * dz其中，C是包围Z平面上所有极点的闭合曲线，∮表示沿着C的积分。
通过计算这个积分，我们可以得到离散时间信号x[n]。
四、Z变换与离散时间系统Z变换在信号处理中广泛应用于离散时间系统的分析和设计。
第15讲 Z变换及逆Z变换
m
z)
令m n
X ( z) a m z m
m 1
a
m0
z m a 0 z 0 1 a m z m
m 0
z 当 1，即 z a 时收敛 a 1 a z X z 1 1 z az za 1 a
24
6.3
逆Z变换
•部分分式展开法 •幂级数展开法 •围线积分法——留数法
25
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r N (z) X (z) D( z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a k 1 z k 1 a k z k
n 0
n
1 1 两边，对 z 求导 1 1 z
1 n 1
1 n( z ) 1 2 ( 1 z ) n 0 两边同时乘以z-1 ，可得
L nu n nz
n 0
n
z ( z 1)2
z 1
9
同理可得
n u( n) n z
x ( n) a n u n
0 n
n1
X ( z) a n z n
n 0
a 1 n z a lim n a n 0 z 1 z
a 当 1，即 z a 时收敛 z
j Im( z )
z X z a za 1 z
6.1 概述
1
一．引言
本章主要讨论： Z变换的定义、收敛域、性质，
2
z变换的定义
[数字信号处理]序列的逆z变换
![[数字信号处理]序列的逆z变换](https://img.taocdn.com/s3/m/8eb9ce7eb94ae45c3b3567ec102de2bd9605deee.png)
定义
[数字信号处理 ]序列的逆 z变换
已知序列的z变换X(z),求原序列x(n)称为z反变换
X(z)的 本 质
X(z)本质上是一个关于z的有理函数,可以表示一个关于z的多项式N(z)除一个关于z的多项是D(z). N(z) bmzm + am− 1zm− 1 + . . . + b1z + b0
X(z) = D(z) = anzn + an − 1zn − 1 + . . . + a1z + a0 令分母D(z) = 0,方程的解称为极点,用pk表示 令分子N(z) = 0,方程的解称为零点,用zk表示
部分分式展开法求序列
N(z) bmzm + am− 1zm− 1 + . . . + b1z + b0 X(z) = D(z) = anzn + an − 1zn − 1 + . . . + a1z + a0
Processing math: 100%
我们可以把它转换成一些特定的式子相加,根据z变换的线性性质,我们就可以知道原本的序列
把X(z)分母分解成n个因式相乘
X(z)
N1(z )
A1
Ak
令X1(z) = z = (z− p1) . . . (z− pn) = z− p1 + . . . z− pk x(n) = [A1(p1)n + . . . Ak(pk)n]u(n)
数字信号处理,第二章 Z变换讲解
二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
例2-4-2：
X
(
z)
第一课序列Z变换与反变换
Bn zn
N r k 1
1
Ak zk z1
r k 1
(1
Ck zi z1)k
Bn是X(z)整式部分系数；zk是X(z)的单阶极点； zi是X(z)的r阶重极点。
部分分式展开法计算过程
Ak
(1 zk z1) X (z) zzk
Res
X
(z) z
z
zk
(
1 v
)v1dv
max[Rx1 ,
1 ]< Rx2
v
<
min[Rx1 ,
1] Rx2
Z变换与Laplace 变换的关系
理想抽样信号 xa (t) 的Laplace变换
xa (t)＝xa (t)T (t) xa (nT ) (t nT )
n
Xa (s) L[xa (t)] xa (nT )ensT
1
e
1
j0
z 1
,
z
e j0
1
Z[e
j0nu(n)]
1
1 e j0
z 1
,
z
e j0
1
故，Z[cos(0n)u(n)]
11
2
[ 1
e
j0
z
1
1 1 e j0 z1 ],
z
1
双边Z变换的主要性质
2．位移特性 x [n m] z mX(z) ROC = Rx
只有一个一阶极点
zr
1 4
。
x(n)
Res[ zn1
/(4
lesson6 Z变换的逆变换
X z 的收敛域内的一条环绕原点的积分围线。
3.留数定理法
xn X z z n 1dz 可用留数定 对于有理Z变换，围线积分 2 j C 理来计算。设在有限的Z平面上， ak , k 1,2,, N 是 X z z n1 1
在围线 C 内部的极点集， bk , k 1,2,, M 是 X z z n1 在围线 C 外部的极点集。根据柯西留数定理，有
X z A1 A2 1 2 z 1 1 0.5 z 1
2.部分分式展开法
(Partial Fraction Expansion)
例2.16 解(续)：其中
A1 X z 1 2 z
1
z 2
1 4 1 1 0.5 z z2 3 1 1 1 1 2 z z0.5 3
当 n 0 时，因为 X z z n1 在 C 外无极点，且 X z z n1 的分 母与分子多项式阶数之差为 2 n 1 1 n 2因为n为负值 ， 所以有 xn 0, n 0
最后得
1 a n 1 x n u n 1 a
1.幂级数法
解(续)：
1 4 z 1 7 z 2 1 2 z 1 z 2 4 z 1 z 2 4 z 1 8 z 2 4 z 3 7 z 2 4 z 3 7 z 2 14 z 3 7 z 4 10 z 3 7 z 4
A2 X z 1 0.5 z
1
z 0.5
即
1 4 1 X z 1 3 1 2 z 1 0.5 z 1
4 n 1 n 2 0.5 , x n 3 3 0, n0
数字信号处理 6-Z变换
总结：双边序列Z变换的收敛域为由极点限定的圆环
• 例 4.8 x(n)=b|n|， a为实数， 求x(n)的Z变换及其收敛域。
解：
X z
X 1 z
n
1
xn z n
n n
n
1
b n z n
n0
b n z n
z 1 b
X 2 z
z a
X(z)存在要求|a-1 z|<1， 即收敛域为|z|<|a|
4. 双边序列
一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和， 其Z变换表示为
X z
X 1 z
n
1
xn z n X 1 ( z ) X 2 ( z )
n
xn z n
0 z Rx
Rx z
X 2 z xn z n
n 0
X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。 如果Rx+>Rx其收敛域为Rx- <|z|< Rx+ ， 这是一个环状域， 如果Rx+ < Rx- ， 两 个收敛域没有公共区域， X(z)没有收敛域， 因此X(z)不存在。
例 4.5求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域
•
X ( z)
n
RN (n) z n z n
1 zN 1 z 1
这是一个因果的有限长序列， 因此收敛域为0<z≤∞。 但由结果 的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点， 但同时分子多项式在z=1 时也有一个零点， 极零点对消， X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n) 的FT， 可将z=ejω代入X(z)得到， 其结果和例题4.2中的结果相同。
《自动控制原理》z变换与z反变换
《自动控制原理》z变换与z反变换自动控制原理是一门研究系统动态特性与控制方法的学科，其中涉及到了很多数学工具和方法，其中之一就是z变换和z反变换。
本文将对z 变换和z反变换进行详细的解释和介绍。
z变换是一种非常重要的数学工具，它是离散时间信号和系统分析中的一种常用方法。
z变换的定义如下：X(z)=Z[x(n)]=∑[x(n)*z^(-n)]其中，x(n)为离散时间信号，X(z)为z变换后的结果，z为变量。
z变换可以将离散时间信号从时域转换到z域，从而可以更方便地进行分析和处理。
z变换可以将离散时间信号表示为有理函数的形式，从而可以用于求解离散时间系统的频率响应、系统稳定性等问题。
z变换的性质有很多，这里只介绍其中几个重要的性质。
首先是线性性质，即线性系统的z变换可以表示为输入信号和系统冲激响应的z变换的乘积。
其次是时移性质，即输入信号的z变换与输入信号z变换乘以z^(-n)的结果相等。
最后是共轭对称性质，即输入信号为实数序列时，其z变换的共轭对称性质。
在进行z变换的计算时，可以使用z变换的表格、z变换的性质以及z变换的逆变换来简化计算。
z变换的逆变换可以将z域的信号重新转换回时域的信号，其定义如下：x(n) = Z^(-1)[X(z)] = (1/2πj) * ∮[X(z) * z^(n-1) * dz]其中，X(z)为z变换的结果，x(n)为z变换的逆变换结果。
z反变换可以将z域的信号转换为时域的信号，从而可以得到离散时间信号的具体数值。
z变换和z反变换在自动控制领域中有着广泛的应用。
例如，在系统建模和分析中，可以通过z变换将离散时间系统转换为z域的传递函数，从而可以方便地进行系统分析和控制器设计。
此外，在数字滤波器设计中，z变换也是一种常用的工具，可以将滤波器的差分方程转换为z域的传递函数，从而可以设计出满足要求的数字滤波器。
总结起来，z变换和z反变换是自动控制原理中的重要数学工具，可以方便地进行离散时间信号和系统的分析和处理。
高中教材中傅里叶变换,拉普拉斯变换,z变换
高中教材中傅里叶变换,拉普拉斯变换,z变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，它被广泛应用于信号处理和通信领域。
在高中教材中，傅里叶变换通常作为一个拓展内容出现，并不要求学生深入理解其数学推导。
傅里叶变换可以将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的加权和，通过分析原始信号中的各个频率成分，我们可以获得有关信号频谱的信息。
这对于理解信号的频率特性和滤波器设计非常重要。
在高中教材中，傅里叶变换通常涉及以下几个方面的内容：1.傅里叶级数：介绍周期函数的傅里叶级数展开，以及如何计算级数中的各个系数。
2.傅里叶变换与频谱：讨论连续时间信号的傅里叶变换，以及如何从傅里叶变换的结果中获取频谱信息。
3.傅里叶变换的性质：介绍傅里叶变换的线性性、平移性、尺度性等基本性质，并给出相应的证明。
4.傅里叶变换的逆变换：讲解如何从频域信号反推回时域信号，即傅里叶逆变换的计算方法。
高中阶段的学生可以通过简单的例子和图形来理解傅里叶变换的基本概念和应用。
此外，教材还可能提及一些傅里叶变换在实际应用中的例子，例如音频信号的压缩和图像处理等领域。
拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种将复杂的微分方程转化为代数方程的数学工具，广泛应用于电路分析和控制系统设计等领域。
在高中教材中，拉普拉斯变换通常不作为必修内容，而是出现在物理或工程类选修课程中。
拉普拉斯变换可以将一个时域函数转换为复平面上的频域函数。
通过对原始信号进行变换，我们可以获得有关信号的频率特性、稳定性以及对外界扰动的响应等信息。
在高中教材中，拉普拉斯变换通常涉及以下几个方面的内容：1.拉普拉斯变换的定义：介绍拉普拉斯变换的定义和计算方法，包括常见函数的拉普拉斯变换表格。
2.拉普拉斯变换的性质：讲解拉普拉斯变换的线性性、平移性、尺度性等基本性质，并给出相应的证明。
3.拉普拉斯变换的逆变换：讲解如何从频域信号反推回时域信号，即拉普拉斯逆变换的计算方法。
4.拉普拉斯变换与微分方程：介绍如何利用拉普拉斯变换解决一些复杂的微分方程问题。
信号分析与处理-程耕国 第4章 时域离散信号的频域分析
信号与系统
SIGNALS AND SYSTEMS
9
幂级数展开法
幂级数展开法，又叫长除法。根据z变换的 定义，可用长除法将 X (z )展开为幂级数形式， 其系数就是相应的原序列的值。但用这种方法只 能求得原序列开头若干个有限项值，一般无法得 到序列 x (n)的封闭解形式。
信号与系统
SIGNALS AND SYSTEMS
M N M N
Ak (1 d k z ) X ( z ) | z d k
BM N 1 z
N M N 1
1
Ak B1 z B0 1 d k z 1 k 1
N
Ak Bn z 1 d k z 1 n 0 k 1
n
Bn可直接用长除法得到，Ak 求解同上。
n 0
因此
lim X ( z ) x(0)
z
信号与系统
SIGNALS AND SYSTEMS
23
8 终值定理
若x(n) 是因果序列，而且 X (z ) 除在 z 1 处可以 有一阶极点外，其它极点都在单位圆内，则
lim x ( n) lim [( z 1) X ( z )]
第4章 时域离散信号的频域分析
4.1 序列的z变换 4.2 z反变换 4.3 z变换的性质和定理 4.4 序列的z变换与时域连续的拉普拉斯变换、傅 里叶变换的关系 4.5 时域离散信号的傅里叶变换 4.6 周期序列的离散傅里叶级数及其傅里叶变换 4.7 小结
信号与系统
SIGNALS AND SYSTEMS
高二阶或二阶以上时，无穷远处的留数为零，因 此围线外的留数可表示为：
x(n) Re s[ X ( z ) z
常见序列的z变换
常见序列的z变换什么是z变换？z变换是一种数学工具，用于分析和处理离散时间信号和系统。
它可以将离散时间信号从时域（时间）转换到z域（复平面），从而方便地进行频域分析和系统设计。
z变换在数字信号处理、控制系统和通信系统等领域中广泛应用。
z变换的定义对于一个离散时间序列x[n]，其z变换X(z)定义为：X(z)=∑x∞n=−∞[n]z−n其中，z是一个复数，x[n]是离散时间序列的值。
常见序列的z变换1. 单位序列单位序列u[n]是一个从n=0开始的离散时间序列，其值为1。
其z变换为：U(z)=∑u∞n=0[n]z−n=∑z−n∞n=0根据几何级数的公式，可以得到：U(z)=11−z−12. 单位阶跃序列单位阶跃序列u s[n]是一个从n=0开始的离散时间序列，其值在n≥0时为1，n< 0时为0。
其z变换为：U s(z)=∑u s∞n=0[n]z−n=∑z−n∞n=0根据几何级数的公式，可以得到：U s(z)=11−z−13. 指数序列指数序列x[n]=a n是一个常数a的离散时间序列。
其z变换为：X(z)=∑a n∞n=−∞z−n=∑(az−1)n∞n=−∞根据几何级数的公式，可以得到：X(z)=11−az−1,|az−1|<14. 正弦序列正弦序列x[n]=Asin(ωn+ϕ)是一个频率为ω、振幅为A、相位为ϕ的离散时间序列。
其z变换为：X(z)=∑A∞n=−∞sin(ωn+ϕ)z−n根据正弦函数的性质，可以将其拆分为实部和虚部的和：X(z)=∑A∞n=−∞sin(ωn+ϕ)z−n=∑A∞n=−∞sin(ωn)cos(ϕ)z−n+∑A∞n=−∞cos(ωn)sin(ϕ)z−n利用欧拉公式，可以将正弦函数转换为指数函数：X(z)=∑A∞n=−∞sin(ωn)cos(ϕ)z−n+∑A∞n=−∞cos(ωn)sin(ϕ)z−n=12j∑A∞n=−∞(e jωn−e−jωn)cos(ϕ)z−n+12j∑A∞n=−∞(e jωn+e−jωn)sin(ϕ)z−n=12j∑A∞n=−∞(e jωn cos(ϕ)−e−jωn cos(ϕ))z−n+12j∑A∞n=−∞(e jωn sin(ϕ)+e−jωn sin(ϕ))z−n根据欧拉公式的性质，可以得到：X(z)=12j∑A∞n=−∞(e jωn cos(ϕ)−e−jωn cos(ϕ))z−n+12j∑A∞n=−∞(e jωn sin(ϕ)+e−jωn sin(ϕ))z−n=12j∑A∞n=−∞(cos(ϕ)(z−1)n−cos(ϕ)(z−1)−n)+12j∑A∞n=−∞(sin(ϕ)(z−1)n+sin(ϕ)(z−1)−n)整理得到：X(z)=Acos(ϕ)2j∑((z−1)n−(z−1)−n)∞n=−∞+Asin(ϕ)2j∑((z−1)n+(z−1)−n)∞n=−∞利用几何级数的公式，可以得到：X(z)=Acos(ϕ)2j11−z−1+Asin(ϕ)2jz−11−z−15. 脉冲序列脉冲序列x[n]=δ[n]是一个在n=0时取值为1，其他时刻取值为0的离散时间序列。
序列Z变换与反变换
几种不同序列z变换的ROC
(2) 右边序列
X (z) x(n)zn
nn1
若n1 0 : z R
若n1 < 0 : R < z <
R
x-
Im z ROC
Re z
因果序列的ROC包含∞点
几种不同序列z变换的ROC
(3) 左边序列
n2
X (z)
x(n)zn
n
若n2 0 : z < R
Xk (z)
x(n) Z 1[X1(z)] Z 1[X2(z)] Z 1[Xk (z)]
部分分式展开法计算过程
M
X
(z)
B(z) A( z )
bi zi
i0 N
1 ai zi
i1
M N n0
Bn zn
N r k 1
1
Ak zk z1
r k 1
(1
Ck zi z1)k
Bn是X(z)整式部分系数；zk是X(z)的单阶极点； zi是X(z)的r阶重极点。
解：
X1(z)
n0
an zn
1
1 az1
za
1
X2(z)
n
anzn
1 1 az1
z<a
不同的序列可能对应着相同的z变换表达式，但收敛域 却不同。只有当两者均相同时，才能说两序列相等。
几种不同序列z变换的ROC
(1) 有限长序列
n2
X (z) x(n)zn
nn1
(1) n1<0, n2 >0时，ROC： 0 < z < (2) n1<0, n2 0时，ROC： 0 z < (3) n1 0, n2 >0时，ROC： 0 < z
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
第三章 Z变换(数字信号处理)
(1 a2 )zn (z a) (z a)(1 az)
za
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
1 )
z a 1
an an
最后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。
(2) 收敛域|z|<|a|
这种情况原序列是左序列， 无须计算n≥0情况， 当n≥0时， 围线积分c内没有极点， 因此x(n)=0。 n<0 时， c内只有一个极点z=0， 且是n阶极点， 改求c外极 点留数之和
n0
(3.2)
第三章 序列的Z变换
这种单边Z变换的求和限是从零到无限大， 因此对于因 果序列， 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。 本书中如不另外说明， 均用双边Z变换对信号进行分 析和变换。
(3.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要 求级数绝对可和， 即
x(n)zn
第三章 序列的Z变换
例 3.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域
解：
X (z)
n
anu(n)zn
n0
anzn
1 1 azn
在收敛域中必须满足|az-1|<1， 因此收敛域为|z|>|a|。
3. 左序列
左序列是在n≤n2时， 序列值不全为零， 而在n>n2， 序列值全为零的序列。 左序列的Z变换表示为
nn1
nn1
nn1
第三章 序列的Z变换
1
x(n)Z n x(n)Z n x(n)Z n
nn1
nn1
第二章(2)序列的Z变换
z
n
Im [z ]
1 0
za
C
当 n 0时 , 因 为 z a， 围 线 c内 F ( z ) 有 一 个 单 阶 极 点 z a , 围 线 c 外 有 一 个 n阶 极 点 z
a R e [z ]
x(n) Re s[ X ( z ) z
k 1
1
n 1
, zk ] Re s[ F ( z ), a] ( z a)
n 1
n2
x(n) z
n
j Im(z )
若 n2 0, 级 数 没 有 负 幂 项 ， 其 收 敛 域 为 0 z R x 若 n2 0, 其 收 敛 域 为 0 z R x 总之，其收敛域是半径为的圆内部，是否包括 原点由的具体取值而定
0
Rx+
Re(z )
例 2 . 5 . 4 求 x ( n ) a u ( n 1)的 Z 变 换 并 确 定 其 收 敛 域
X (z)
n
x(n) z
n
收敛的所有Z值之集合，即
为X(z)的收敛域（ROC，Region of convergence)
2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
n
x(n) z
n
（ 2 .6 .3 ）
j Im[ z ]
3. 序列的收敛半径
阿贝尔定理:
§2.5 序列的Z变换
2.5.1 Z变换定义 设某序列为x(n)，其Z变换定义为
双 边 Z变 换 X (z) X (z)
n
x (n ) z
n
(2 .6 .1 )
Z变换定义与性质
z sin0
z2 2z cos0 1
尺度变换性质
如果： f (n) F (z)
则： a n f (n) F ( z )
a
若 a = -1： (1)n f (n) F (z)
a0
a可为实数或复数
例2
f (n) an (n)
(n) z
z 1
an (n)
z
a z 1
z za
a
尺度变换性质
Z变换的性质
线性性质 尺度变换性质 时移性质 z域微分特性 卷积和特性
线性性质
如果： f1(n) F1(z)
f2 (n) F2 (z)
则： af1(n) bf2 (n) aF1(z) bF2 (z)
例1：
Z sin(0n) (n)
1 2 j
z z e j0
z z e j0
故
F(z) z za
za
图1 右边序列的收敛域
右边序列的收敛域是Z平面以原点为圆心，
以 a 为半径的圆外区域。
z变换定义和收敛域
。
例2 已知 f (n) bn(n 1),求其双边Z变换及收敛域
解
1
F(z) bn zn (b1z)n 1 (b1z)n
n
n1
n0
1
lim
n
1 (b1z)n 1 b1z
n0
记为： F (z) Z f (n)
称为序列f (n) 的 双边z变换
称为序列f (n) 的 单边z变换
原函数
Z反变换的定义
Ñ f (n) 1
F (z)zn1dz
2π j c
z变换对： f (n) Z -1 F ( z)
简记为： f (n) F(z)
数字信号处理,第二章 Z变换讲解
各个变换的关系：
连续： L[h(t)]
系 统 函 数
x(t)est dt 0
x(t)e jt dt
s=jΩ
X(S)
X(j)
z=esT
=T
X(z)
z=ejω
X(ejω)
模拟：x(t)
频
率 响
t=nT
应s
离散： Z[h(t)]
x(n)z n
n
x(n)e jn
n
数字：x(n)
§2.6 离散系统的系统函数和 系统的频率响应
横坐标为实轴，纵坐标为虚轴； •两平面都是复平面。
z e sT re j e( j)T eT e jT
r eT , T
(1)r与的关系 (r eT )
→
=0,即S平面的虚轴→r=1,即z平面单位圆； <0,即S的左半平面→r<1,即z的单位圆内； >0,即S的右半平面→r>1,即z的单位圆外 。
j
0
0
→
r＝0，＝0时， ＝–，＝0，即z平面的原点映射到
s平面的实轴上负无穷远处。
(2)与的关系（=T）
的取值范围是从-→（负频端无意义，只是
用于数学分析），而在圆周上变化，具有明显 的周期性，以2为周期，这样的对应关系非单值
关系，所以要把限制在一个周期内。
= T,从–→， 所以在一个周期内：为–/T→/T
z zk
再利用已知的z变换：
Z[ Ak zknu(n)]
Ak
z z zk
或Z[-Ak zknu(-n -1)]
Ak
z z zk
N
结合收敛域写出反变换： x(n) A0 Ak (zk )n
k 1
序列的Z变换(数字信号处理)
nn1
设x(n)为有界序列， 由于是有限项求和， 除0与∞
两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均 收敛。 如果n1<0， 则收敛域不包括∞点； 如n2>0， 则 收敛域不包括z=0点； 如果是因果序列， 收敛域包括
z=∞点。 具体有限长序列的收敛域表示如下：
11
第三章 序列的Z变换
例 3.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域
解：
X (z)
n
anu(n)zn
n0
anzn
1 1 azn
在收敛域中必须满足|az-1|<1， 因此收敛域为|z|>|a|。
3. 左序列
左序列是在n≤n2时， 序列值不全为零， 而在n>n2， 序列值全为零的序列。 左序列的Z变换表示为
1
x(n)Z n x(n)Z n x(n)Z n
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列， 设n1≤-1， 其收敛域为0≤|z|＜ ∞。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx是第二项最小的收敛半径。 将两收敛域相与， 其收 敛域为Rx- <|z|<∞。 如果x(n)是因果序列， 收敛域定为Rx- <|z|≤∞。 推论：如序列x(n)的Z变换的收敛域包含∞点，则x(n) 是因果序列
例 3.1 x(n)=u(n)， 求其Z变换。
解：
X (z)
u(n)zn zn
n
n0
X(z)存在的条件是|z-1|<1， 因此收敛域为|z|>1，
X
(
z)
1
1 z
1
|z|>1
5
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n 1
1 /(4 z )( z )] 1 4 z 4
4
1 n 1 ( ) 4
1 1 4 4 n , n 1 4 15
Z反变换
2）当n≤-2时，X(z)zn-1在z=0处有多重极点。因此C内 有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1)阶极点；而在C外 的无穷远处没有极点，仅有 z=4这个一阶极点；且此 时分母中z的次数大于分子中z的次数二次以上:
Z 1[ X k ( z )]
部分分式展开法计算过程
i b z i M
B( z ) X ( z) A( z )
M N n 0
1 ai z i
z变换定义及收敛域
序列z变换的定义为
X ( z)
n
x ( n) z n
能够使上式收敛的z值集合称为z变换的收敛域 (ROC) n x ( n ) z M < 绝对可和 充要条件:
n
收敛域(ROC): R< |z|<R+
例：求下列信号的Z变换及收敛域。
,
1 < z <4 4
，求z反变换。
j Im[ z ]
X ( z ) z n 1
z n 1 1 (4 z )( z ) 4
0
1/4 c 4
Re[ z ]
1）当n≥-1时, z 在z=0处不会构成极点，此时C内 只有一个一阶极点 z r 1 。
n 1
x(n) Res[ z
x1 (n) a nu(n) x2 (n) a nu(n 1)
解：
X1 ( z ) a z
n 0 1
n n
1 1 az 1 1 1 az 1
z a
z <a
X 2 ( z)
n
a z
n n
不同的序列可能对应着相同的z变换表达式，但收敛域 却不同。只有当两者均相同时，才能说两序列相等。
1 x(n) - Res[ z /(4 z )( z )]z 4 4 1 1 n 1 n 2 (4) 4 4 , n 2 4 15
n 1
1 n 4 , 15 因此， x ( n ) 1 4n 2 , 15
若n 2 0 :
若n 2 0 :
n
n2
x ( n) z
z < R
n
Im z ROC
R x+
Re z
0 < z < R
几种不同序列z变换的ROC
(4) 双边序列
X ( z)
n
x ( n) z
n
Im z ROC
ROC R < z < R
R
x-
Re z
R
x+
序列 z 变换
z变换的定义与收敛域 z反变换 z变换的性质与定理 z变换与 Laplace, Fourier变换
z变换的定义及符号表示
z变换 z反变换
X ( z)
n
x ( n) z n
1 n 1 x ( n) X ( z ) z dz c 2 πj
C为X(z) 的收敛域(ROC )中的一闭合曲线 物理意义： 将离散信号分解为不同频率复指数esTk的线性组合 符号表示 正变换：X(z)=Z{x(n)} 反变换： x(n) =Z1{X(z)} z 或 x(n) X ( z)
z反变换
1 n 1 x ( n) X ( z ) z dz 2πj c
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线 留数法
部分分式法
长除法
z反变换
1.留数法
罗朗级数公式：
若：X ( z )
n n x ( n ) z ,
Rx < z < Rx
j Im[ z ]
1 n 1 则：x (n ) X ( z ) z dz, c ( Rx , Rx ) c 2j
n 1 n 2
部分分式展开法基本思想 将X(z)分解成一些简单而常见的部分分式之和，然 后分别求出各部分分式的反变换，最后将各反变换 相加即得x(n)。
B( z ) X ( z) X1 ( z ) X 2 ( z ) A( z )
X k ( z)
x(n) Z 1[ X1 ( z)] Z 1[ X 2 ( z )]
c为环形解析域内环绕原点的 一条逆时针闭合围线.
Rx
0
Re[ z ]
Rx
cLeabharlann Z反变换为计算围线积分，由留数定理可知：
1 2 j 1 2 j
c c
X ( z ) z n 1dz Res[ X ( z ) z n 1 ]z zk
k
X ( z ) z n 1dz Res[ X ( z ) z n 1 ]z zm
m
zk
为c内的第k个极点， z m 为c外的第m个极点，
Res[ ]表示极点处的留数。使用第二式的条件是分 母多项式中的z次数比分子多项式高二次以上。
Z反变换
• 留数的求法：
(1)当Zr为一阶极点时的留数
Res[ X ( z ) z
n 1
]Z Zr [( z zr ) X ( z ) z
ROC也可能包含0或∞点
几种不同序列z变换的ROC
(2) 右边序列
X ( z)
n n1
x ( n) z
n
Im z ROC
R
x-
若n1 0 :
z R
Re z
若n1 < 0 : R < z <
因果序列的ROC包含∞点
几种不同序列z变换的ROC
(3) 左边序列
X ( z)
几种不同序列z变换的ROC
(1) 有限长序列
X ( z)
n n1
n2
x ( n) z n
(1) n1 <0, n 2 >0时，ROC： 0 < z < (2) n1 <0, n 2 0时，ROC： 0 z < (3) n1 0, n 2 >0时，ROC： 0 < z
n 1
] z zr
(2)当Zr为l阶(多重)极点时的留数
n 1
Res[ X ( z ) z
] z zr
1 d l n 1 [( z zr ) X ( z ) z ]z zr l 1 (l 1)! dz
l 1
例： 已知
X ( z)
z2 1 (4 z )( z ) 4