概率论与数理统计第二章测验题答案

第二章测验题答案

一. 填空(共28分，每题4分)

1. 投掷一枚均匀对称的硬币，以X 表示正面出现的次数，则随机变量在区间 (0.5, 1.5)取值的概率为0.5 . 解：随机变量X 的分布律为

所以

{0.5}{1}0.551.P X P X <===≤

2. 设随机变量~(1,6)U ξ, 则方程210x x ξ++=, 有实根的概率为 4/5 . 解：方程210x x ξ++=有实根，则判别式240ξ∆=-≥, 则2ξ≥或者2ξ≤-,

所以

()2

{}{40}{2}{2}P P P ξξξ=∆=-≥=≥⋃≤-方程有实根

{2}{2}P P ξξ=≥+≤-

又因为随机变量ξ服从参数为(1,6)的均匀分布，所以其概率密度函数为

11

,16,16()6150,0,x x f x ⎧⎧<<<<⎪

⎪==-⎨⎨⎪⎪⎩⎩

其它其它

所以

62

2

2214{2}(),

5

5

{2}()00.

P f t dt dt P f t dt dt ξξ+∞---∞

-∞

≥=

=

=

≤-=

=

=⎰

⎰

⎰

⎰

故{}P 方程有实根{2}{2}P P ξξ=≥+≤-45

=

. 3. 设(2,),(3,)X b p Y b p , 若519

{}P X ≥=, 则{1}P Y ≥=19/27.

解：由题意知随机变量X 和Y 分别服从参数为2和p 、3和p 的二项分布.

5{1}1{0}9

P X P X =≥=-=, 得到4{0}9

P X ==

, 即0022

2(1)(1)C p p p -=-49

=

,

所以2(1)3

p -=

, 从而

33

3

3

3

219{1}1{0}1(1)1(1)1.327P Y P Y C p p p ⎛⎫

≥=-==--=--=-= ⎪⎝⎭

4. 设X 的概率密度函数为

1

,[0,1]32

(),[3,6]9

0,x f x x ⎧∈⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎪⎩

其它，若

k 使得2{}3

P X k ≥=

, 则k 的

取值范围是13k ≤≤.

解：此题用画图的方法来解：下图中红线即为()f x 的图像.

其中S1表示由红线1()3

f x =

与x 轴所夹部分的面积，即{01}P X ≤≤13

=

；

S2表示红线2()9

f x =

与x 轴所夹部分面积，即{36}P X ≤≤2239

3

=⨯=.

而{}P X k ≥即表示()f x 图像与x 轴所夹图形在直线x k =右侧的面积(绿色虚线所示范围). 因为2{}3

P X k ≥=

{36}P X =≤≤，

所以k 的取值范围只能在1和3之间， 即

13k ≤≤.

5. 设随机变量(1,4)X N , 则{12}P X <≤= 0.1915 .(已知(0.5)0.6915Φ=.) 解：由(1,4)X N 可知，1,2μσ==. 首先进行正态分布的标准化，在查表计算

11211{12}{0}222X X P X P P μ

μσσ----⎧⎫<≤=<≤=<≤⎨⎬

⎩⎭

1

()(0)2

=Φ-Φ0.69150.5=-=0.1915

6. 设硕士研究生入学数学考试及格率为0.55，则15名考生中数学考试及格人数X 的概率分布是二项分布，参数为15和0.55, 解：15名考生参加考试，可以视为15次伯努利实验。每一名考生考试及格为成功A ，不及格为失败A ，成功的概率为p=0.55. 因此，15名考生中及格人数X 服从参数为(15, 0.55)的二项分布.

7. 用还原抽样的方式从1, 2, …, 9等九个阿拉伯数字中一个接一个地抽取数字，直到出现被3整除的数字为止，则被3整除的数字出现在第三次抽取的概率为__4/27__. 解：从1,2,…,9中随意抽取一个数，能被3整除的概率为p=1/3. 以X 表示题

中要求的抽样次数，则X 的概率分布为

1

,1,2{}(1...)

,n P X n p p n -==-=

即参数为p=1/3的几何分布，因此被3整除的数字出现在第三次抽取的概率为

2

124

.37

{3}32P X ⎛⎫⎪⎭= ⎝==

二. 选择(共24分，每题4分)

1. 设1()F x 和2()F x 分别是随机变量1X 和2X 的分布函数，为使

12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，在下列数值中a 和b 应取[ A] (A) 32,55a b =

=- (B)22,33a b ==- (C) 1

3,2

2

a b =-=

(D)13,2

2

a b =

=-

解：为使F(x)也成为分布函数，则需要满足分布函数的四个性质，其中为判定a,b 的取值，则利用121()lim ()()()x F F x aF bF a b →+∞

=+∞==+∞-+∞=-,各选项

中仅有选项(A)符合这个条件.

2. 如果X 的可能值充满区间[A,B]，那么sin x 可以成为这个随机变量的密度函 数.（此题有两个答案）

(A) [0,0.5]π (B) [0.5,]ππ