数学建模第三讲层次分析法
数学建模——层次分析法
在大石头中的重量比）可用向量
且
n
w ( w1 , w2 ,..., wn
T 表示， )
. 显然， 的各个列向量与 w 1 A i
i 1
w
仅相差一个比例
因子。 一般地，如果一个正互反阵
A
满足 （8.2.4）
aij a jk aik , i, j, k 1, 2,..., n
则
3 计算权向量并做一致性检验
定理1
当
n 阶正互反阵 A的最大特征根 n，
时
当且仅
A为一致阵。 由于 连续的依赖于 aii ，则 比 n 大的越多， 的不 A
n
一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因
素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引 起的判断误差越大。因而可以用
RI。方法为：
A1 , A2 ,, A500
2.则可得一致性指标 ： CI1 , CI 2 ,CI500
CI1 CI 2 CI500 RI 500
n RI
1 2 500 n 500 n 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
aii 1 ，如用 C1 , C2 ,..., Cn
2 构造成对比较矩阵
2.比较尺度 • 当比较两个可能具有不同性质的因素 Ci 和 C j 对于一个上层 因素 O 的影响时，Saaty提出用1—9尺度（见下表），即aij 的取值范围是1,2,,9 ，及其互反数1,1/ 2,,1/ 9 。其理由 如下：
重，景色次之，居住条件再次。 问题1.怎样由成对比较阵确定诸因素 C , C ,..., C 对上层因 1 2 n 素
数学建模——层次分析法模型
危害性分级模型的建立与求解1.基于层次分析模型对恐怖袭击事件危害性指标建立层次结构模型考虑到恐怖袭击事件的危害性、人员伤亡、经济损失、发生的时机、地域、针对的对象等等诸多因素有关，在构建指标体系时，无法全部考虑到所有指标，因此本文采用层次分析模型，以定性和定量相结合的方法处理指标。
根据上述分析可知, 影响恐怖事件危险性级别的因素有很多，但是，在构建综合评价指标体系时，很难一次性考虑全部细节，此时可以将问题分解成多个层次，而每个层次又包含多个要素，依据大系统理论的分解协调原理，由粗到细，从全局到局部地逐步深入分析，把危险性级别评价的诸多影响因素条理化、层次化，从而建立一个递阶层次分析模型具体的层次分析模型如图1所示。
通过附件1对所有数据指标分析，建立系统的递阶层次结构，第一层为目标层分为5大类，第二层为准则层，第三层为子准则层，第四层为方案层。
其结果目标层准则层子准则层方案层恐怖袭击危害性指标响应级别人员伤亡死亡人数级别1级别2级别3级别4级别5受伤人数被绑人数经济损失损失程度1损失程度2损失程度3损失程度4攻击类型攻击设施攻击个人攻击群体武器类型无杀伤力中小型杀伤力攻击设施1.2 构造成对比较矩阵上一层因素的同一层诸因素，用成对比较法和1~9比较尺度构建成对比较矩阵[1]，直到最底层。
表2 标度------比较尺度解释标度 定义1 因素i 与因素j 相同重要 3 因素i 比因素j 稍重要 5 因素i 比因素j 较重要 7 因素i 比因素j 非常重要 9 因素i 比因素j 绝对重要2,4,6,8因素i 与因素j 的重要性的比值介于上述两个相邻等级之间倒数1，1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8,1/9因素j 与因素i 比较得到判断值为ij a 的互反数，ijji a a 1=1=ii a设要素为i F ，j F ；当i F 与j F 相比同等重要，有ij R =1 ；当i F 与j F 相比略为重要，有ij R =3/1 ；当i F 与j F 相比相当重要，有ij R =5/1 ；当i F 与j F 相比明显重要，有ij R =7/1 ；当i F 与j F 相比绝对重要，有ij R =9/1。
数学建模(层次分析法(AHP法)
2 构造判断(成对比较)矩阵
在建立递阶层次结构以后，上下层次之 间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层 次 的 元 素 Ck 作 为 准 则 ， 对 下 一 层 次 的 元 素 A1, …, An 有支配关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重要性赋予 A1, …, An 相 应的权重。
RI
一般，当一致性比率 CR CI 0.1 时，认为A
RI
的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通 过一致性检验。否则要重新构造成对比较矩阵A，对 aij 加以调整。
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1 及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程。
判断矩阵一致性检验的步骤如下： (1) 计算一致性指标 C.I.：
一个典型的层次可以用下图表示出来：
几点注意
1.处于最上面的的层次通常只有一个元素， 一般是分析问题的预定目标或理想结果。 中间层次一般是准则、子准则。最低一层 包括决策的方案。层次之间元素的支配关 系不一定是完全的，即可以存在这样的元 素，它并不支配下一层次的所有元素。
2.层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽 程度有关。每一层次中的元素一般不超过9个，因 一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带 来困难。
3.一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。 层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面 深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层 次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问 题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建 立一个合理的层次结构。
层次分析法-数学建模
层次分析法一、分析模型和一般步骤二、建立层次结构模型三、构造成对比较矩阵四、作一致性检验五、层次总排序及决策一. 层次分析模型和一般步骤层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法。
这种方法将决策者的经验判断给于数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便，因而在实践中得到广泛应用。
层次分析的四个基本步骤：（1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类，建立一个多层次结构；（2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵；（3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性；（4）在符合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重；计算各因素对于系统目标的总排序权重并决策。
二. 建立层次结构模型将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。
也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。
把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。
用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。
〔例1〕购物模型某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：例2〕选拔干部模型对三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型：假设有三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型例3〕评选优秀学校某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。
主要考虑以下几个因素：（1）教师队伍（包括平均学历和年龄结构）（2）教学设施（3）教学工作（包括课堂教学，课外活动，统考成绩和教学管理）（4）文体活动三、构造成对比较矩阵比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重来描述。
数学建模——层次分析法
数学建模——层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种用于复杂决策和评估问题的定量方法，旨在帮助决策者在多个准则和选项之间进行权衡和选择。
该方法由美国学者Thomas L. Saaty于1970年代初提出，已经广泛应用于管理、工程、经济学、环境科学等领域。
方法步骤：1.建立层次结构：将复杂的决策问题分解为不同层次的因素和准则，形成层次结构。
层次结构包括目标层、准则层和选择层。
2.创建比较矩阵：对每个层次内的准则和选择进行两两比较，确定它们之间的相对重要性。
使用尺度来表示两者之间的相对优先级，通常是1到9之间的数值。
3.计算权重：通过计算比较矩阵的特征向量，得出每个准则和选择的权重。
特征向量反映了每个准则和选择对目标的贡献程度。
4.一致性检验：检查比较矩阵的一致性，确保所做的两两比较是合理的。
如果比较矩阵不够一致，需要进行调整。
5.计算综合得分：将每个选择的权重与其所属准则的权重相乘，得出每个选择的综合得分。
综合得分反映了每个选择在整体目标中的重要性。
6.做出决策：根据综合得分，确定最佳选择。
较高的综合得分通常意味着更优选。
示例：选择旅游目的地假设你想选择一个旅游目的地，考虑了三个因素：景色美丽度、文化体验和交通便利性。
你将这三个因素作为准则，然后列出了三个潜在的旅游目的地：A、B 和C。
步骤：1.建立层次结构：2.目标层：选择最佳旅游目的地3.准则层：景色美丽度、文化体验、交通便利性4.选择层：A、B、C5.创建比较矩阵：比较准则之间的相对重要性，如景色美丽度相对于文化体验的比较，以及文化体验相对于交通便利性的比较。
使用1到9的尺度，表明一个因素比另一个因素重要多少。
6.计算权重：计算每个准则和每个选择的权重，使用特征向量法。
7.一致性检验：检查比较矩阵的一致性。
如果一致性不够，可能需要重新考虑比较。
8.计算综合得分：将每个选择的权重与其所属准则的权重相乘，得出每个选择的综合得分。
层次分析法数学建模
在某些情况下，层次分析法可能无法合理地分配权重，导致决策结果 与实际情况存在较大偏差。
无法处理动态变化
层次分析法主要用于静态决策问题，对于动态变化的决策问题处理能 力较弱。
05 结论与展望
结论
层次分析法是一种有效的决策分析方法，能够将复杂问题 分解为多个层次和因素，通过比较和判断各因素之间的相 对重要性，为决策提供依据。
实例三：风险评估问题
总结词
层次分析法在风险评估问题中，能够综合考虑风险的多种来源和影响因素，确定各因素之间的权重关 系，为风险的有效控制提供科学的依据。
详细描述
风险评估问题涉及到如何识别、评估和控制各种潜在的风险。层次分析法可以将风险的多种来源和影 响因素进行比较和判断，确定各因素之间的权重关系，为风险的有效控制提供科学的依据。同时，层 次分析法还可以用于制定风险应对策略和预案，提高组织的抗风险能力。
层次单排序与一致性检验
层次单排序
根据判断矩阵的性质和计算方法，计 算出各组成元素的权重值，并按照权 重值的大小进行排序。
一致性检验
对判断矩阵的一致性进行检验，以确 保各组成元素之间的相对重要性关系 符合逻辑和实际情况。
层次总排序与一致性检验
层次总排序
根据各层次的权重值和组成元素的权重值，计算出整个层次结构模型的权重值， 并进行总排序。
确定层次
根据问题的复杂程度和组 成元素的性质，将层次结 构划分为不同的层次，以 便于分析和计算。
判断矩阵的建立
确定判断标准
根据问题的特点和要求，确定判 断各组成元素之间相对重要性的 标准和方法。
构造判断矩阵
根据判断标准，构造出一个判断 矩阵，用于表示各组成元素之间 的相对重要性关系。
【数学建模】1.层次分析法
【数学建模】1.层次分析法1.解决问题的类型⾸先，提出⼀个⽅法考虑的应该是他对应解决什么类型的问题，对于层次分析法来说，它是⽤来解决确定评价指标、形成评价体系的评价类问题.解决评价类问题需要考虑的三个问题1.评价⽬标是什么2.为了达到这种⽬标有⼏种可以选择的⽅案3.评价的准则是什么2.层次分析法的步骤第⼀步建⽴系统的递阶层次结构.注：如果⽤到了层次分析法，层次结构图要放在建模论⽂中.层次结构图可以⽤PPT的SmartArt⽣成层次结构图可以⽤专业软件：亿图图⽰⽣成第⼆步构造判断矩阵对于判断矩阵来说很重要的⼀点就是确定各个指标的权重，那么下⾯就来说⼀说怎么确定权重3.权重的确定（1）⾸先填写判断矩阵把评价准则（景⾊、花费、居住、饮⾷、交通）和可选择的⽅案（苏杭、北戴河、桂林）做成判断矩阵（制表）我们采⽤填写判断矩阵的⽅法确定权重，参考如图总的判断表格判断矩阵判断指标然后需要对总的判断表格中的评价准则和针对不同准则⽅案之间的差异重新制表写判断表格。
对⾓线均为1评价准则的判断矩阵针对不同准则⽅案之间的差异值得注意的⼀点，填写完判断矩阵后我们要判断矩阵是否为⼀致矩阵⼀致矩阵特点：各⾏（各列）成倍数关系注：判断矩阵中的元素只能是1-9和他们的倒数.（2）其次进⾏⼀致性检验⼀致性检验：检查我们构造的判断矩阵和⼀致矩阵是否有太⼤的差别。
检验的具体原理这⾥就不详细的叙述了，下⾯就直接讲⼀致性检验的步骤了注：matlab中可以进⾏特征值计算，如果特征值为虚数，那么就⽐较特征值的模长.如果得到的判断矩阵符合⼀致性检验，那么我们就可以计算⼀致矩阵的权重了。
（3）再次⼀致矩阵权重的计算有三种⽅法：算术平均法、⼏何平均法、特征值法。
通常采⽤特征值法计算权重如果⼀个矩阵是⼀致矩阵那么采⽤特征值法计算权重的⽅法为那么对于通过⼀致性检验的矩阵来说，也可以采⽤这种⽅法最后汇总权重，计算得分得到的表格(4)CR>0.1的修正上⾯说的都是判断矩阵经过⼀致性检验的步骤，那如果没有经过⼀致性检验呢，这就需要我们对判断矩阵进⾏修正调整的原则就是：往⼀致矩阵调整就OK了，⼀致矩阵隔⾏成倍数关系4.层次分析法的局限性5.模型拓展6.例⼦7.附录优先选择知⽹（万⽅、百度学术、⾕歌学术等平台）搜索⽂献。
数学建模第三讲层次分析法
数学建模第三讲层次分析法在数学建模的领域中，层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称 AHP）是一种相当实用且重要的决策方法。
它能够帮助我们在面对复杂的多准则决策问题时，做出更为合理、科学的决策。
那么，什么是层次分析法呢？简单来说，层次分析法就是把一个复杂的问题分解成若干个层次，通过两两比较的方式，确定各层次元素之间的相对重要性，最后综合这些比较结果，得出最终的决策方案。
比如说，我们要选择一个旅游目的地。
这时候，可能会考虑多个因素，比如景点吸引力、交通便利性、住宿条件、餐饮质量、费用等等。
这些因素就构成了不同的层次。
然后，我们会对每个因素进行两两比较，比如景点吸引力比交通便利性更重要吗？重要多少？通过这样的比较，我们就能给每个因素赋予一个相对的权重。
为了更清楚地理解层次分析法，我们来看看它的具体步骤。
第一步，建立层次结构模型。
这是层次分析法的基础。
我们需要把问题分解成目标层、准则层和方案层。
目标层就是我们最终要实现的目标，比如选择最佳的旅游目的地。
准则层就是影响目标实现的各种因素，像前面提到的景点吸引力、交通便利性等等。
方案层就是我们可以选择的具体方案，比如去三亚、去桂林、去丽江等等。
第二步，构造判断矩阵。
在这一步，我们要对同一层次的元素进行两两比较，比较它们对于上一层某个元素的重要性。
比较的结果通常用 1 9 标度法来表示。
比如说，如果因素 A 比因素 B 稍微重要，就给A 对B 的比较值赋 3；如果 A 比 B 明显重要，就赋 5；如果 A 比 B 极端重要，就赋 9。
反过来，如果 B 比 A 稍微重要，就给 B 对 A 的比较值赋 1/3，以此类推。
第三步，计算权重向量并进行一致性检验。
通过数学方法，比如特征根法，计算出每个判断矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
这个特征向量就是我们所需要的权重向量。
但是，为了确保我们的判断是合理的，还需要进行一致性检验。
如果一致性比率小于 01，就认为判断矩阵的一致性是可以接受的；否则，就需要重新调整判断矩阵。
数学建模之层次分析课件(三)
n
b.对 ij 按行求和 i ij i 1
c.将 i
n
归一化 i i / ij i 1
， 1,2,..... n T
即为近似特征向量
d.计算
1 n Ai
n i1 i
作为最大特征根的近似值
一致性的概念
C1 : C2 1: 2 C2 : C3 4 :1
C1 : C3 ?
C1 : C3 2 矩阵为一致性的
• 它具有思路清晰、方法简单、实用面广、系 统性强等特点，便于普及推广。
二、模型建立的基本步骤
第一步：建立层次结构模型（解决问题的关键） 第二步：构造判断矩阵 第三步：层次单排序及其一致性检验 第四步：层次总排序 第五步：层次总排序的一致性检验
层次分析的结构
目标层 决策层 方案层
吃中午饭了，假如有3个食堂供你选择， 从味道、价格、环境三个方面出发，选出你 认为的最佳的吃饭地点。
目标层与决策层的判断矩阵：
味道 味 道1
价格 2
环境 6
价 格
1/2
1
4
环 境
1/6
1/4
1
1
aij a ji
正互反矩 阵
正互反阵最大特征根和 特征向量的实用算法
• 幂法 • 和法 • 根法
1 2 6
0.6 0.615
B 1/ 2 1 4 列向量归一化 0.3 0.308 0.364
目标层对决策层的特征向量：
决策层对选择层的n个特征向量：
味道 a1 价格 a2 环境 a3
味道：P1 b11 P2 b12 P3 b13
价格：P1 b21 P2 b22 P3 b23
环境: P1 b31 P2 b32 P3 b33
数学建模层次分析法
.实验报告课程名称：数学模型与实验课题名称：层次分析法专业：信息与计算科学姓名：班级：完成日期： 2016 年 6月 22 日实验报告一、实验名称层次分析法二、实验目的人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
在这样的系统中，人们感兴趣的问题之一是：就 n 个不同事物所共有的某一性质而言，应该怎样对任一事物的所给性质表现出来的程度（排序权重）赋值，使得这些数值能客观地反映不同事物之间在该性质上的差异？层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。
它把复杂问题分解成组成因素，并按支配关系形成层次结构，然后用两两比较的方法确定决策方案的相对重要性。
三、实验原理运用层次分析法解决问题，大体可以分为四个步骤：1. 建立问题的递阶层次结构；（1）将决策问题分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层；（2）通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重；（3）将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。
2. 构造成对比较矩阵；3. 层次单排序及一致性检验；判断矩阵一致性检验的步骤如下：(1) 计算一致性指标 C.I.：(2) 查找平均随机一致性指标 R.I.；(3) 计算一致性比例 C.R.：当 C.R.< 0.1 时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。
否则应对判断矩阵作适当的修正。
4. 层次总排序及其一致性检验。
当 CR＜0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。
到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。
四、 实验题目 一、旅游问题（1）建模A 1,A 2, A 3,A 4 ,A 5分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。
B 1,B 2,B 3分别表示苏杭、北戴河、桂林。
（2）构造成对比较矩阵A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 1 3 1/5 1/31 1 2 1/5 1/31/3 1/2 1 1/7 1/45 5 7 1 23 3 4 1/21 B 1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11/21/5211/2521B 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1383/1138/13/11 B 3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡13/13/1311311B 4= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡114/1113/1431 B 5=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1444/1114/111 (3)计算层次单排序的权向量和一致性检验 成对比矩阵A的最大特征值 5.073=λ该特征值对应的归一化特征向量=ω {}0.1100.0990.0550.4750.263，，，，表明A通过了一致性检验。
数学建模-层次分析法
三、判断矩阵的一致性
定义1:设 如果满足下列二个条件：
则称 A 为互反矩阵。
定义2:设
A ( aij )m m，A 0,
1 (2) a ij , a ji
(1) a ii 1,
则称 A 为一致性矩阵。
N
TU
a ik ； i , j , k 1, 2, , m (3) a ij a jk
N
根据线性代数知识，3是矩阵A的最大特征值，G是矩阵A属于特征值3的特征向量。 因此，物体测重问题就转化为求判断矩阵的特征值和对应的特征向量，3个物体的
TU
AG 3G
-M
3 g1 g1 g1 / g1 g1 / g2 g1 / g3 g1 A G g2 / g1 g2 / g2 g2 / g3 g2 3 g2 3 g2 3G g / g g / g g / g g 3g g 3 1 3 2 3 3 3 3 3
人才培养 B2
可行性 B3
发展前景 B4
研 究 周 期 C5
财 政 支 持 C6
-M
课题1
课题N
6
1
AHP方法的基本原理
数学建模-层次分析法
二、判断矩阵及其特征向量
AHP方法采用优先权重作为区分方案优劣程度的指标。 优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和 方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上到下逐层计算
数学建模-层次分析法
三、判断矩阵的一致性
定理3:设 A 是一致性矩阵，则：
① 一致性正矩阵是互反正矩阵； ② A 的转置矩阵AT也是一致性矩阵；
数学建模(层次分析法(AHP法))
判断矩阵元素a 判断矩阵元素 ij的标度方法
标度 1 3 5 7 9 2 ， 4 ， 6， 8 倒数 含义 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，具有同样重要性 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要 上述两相邻判断的中值
层次分析法在经济、科技、文化、军事、 环境乃至社会发展等方面的管理决策中都 有广泛的应用。 常用来解决诸如综合评价、选择决策方案、 估计和预测、投入量的分配等问题。
层次分析法建模
一 、问题的提出 日常生活中有许多决策问题。 日常生活中有许多决策问题。决策是指 在面临多种方案时需要依据一定的标准选择 某一种方案。 某一种方案。 例1 某人准备选购一台电冰箱 他对市场上的6 他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解 选取一些中间指标进行考察。例如电冰 指标进行考察 后，选取一些中间指标进行考察。例如电冰 箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、 箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、 外界信誉、售后服务等 外界信誉、售后服务等。
目标层
O(选择旅游地 选择旅游地) 选择旅游地
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性 要比较各准则 对目标 的重要性
Ci :Cj ⇒aij
选 择 C1 旅 C2 游 C 3 地
C4 C5 C1
层次分析法(AHP法 层次分析法(AHP法)
Analytic Hierarchy Process
层次分析法及其应用数学建模
层次单排序
根据判断矩阵求解各因素对于上一层次因素的相 对重要性权重，得到层次单排序结果。
02
一致性检验
对判断矩阵进行一致性检验，检查各因素之间的 相对重要性是否合理。
层次总排序与一致性检验
层次总排序
根据各层次的权重和下一层因素相对于上一层因素的权重，计算出最底层因素相对于总目标的 权重。
一致性检验
判断矩阵的构造
确定比较标度
比较同一层次中各因素对于上一 层次因素的相对重要性，通常采 用1-9的标度法进行比较。
构造判断矩阵
根据比较标度，构造出判断矩阵， 矩阵中的元素表示对应因素的比 较结果。
求解判断矩阵
通过计算判断矩阵的特征向量， 得到各因素对于上一层次因素分析法可以根据问题 的实际情况调整层次结构 和判断矩阵，具有较高的 灵活性。
局限性
主观性
层次分析法在构造判断矩阵时依赖于专 家的主观判断，因此结果可能受到专家
主观因素的影响。
计算复杂度较高
对于大规模问题，层次分析法的计算 复杂度较高，需要借助计算机进行辅
助计算。
一致性检验困难
对于构造的判断矩阵，一致性检验是 一个难题，需要找到合适的检验方法。
层次分析法在数学建模中的应用
01 在数学建模中，层次分析法常用于解决多目标决 策问题，例如在资源分配、方案选择、风险评估 等方面。
02 通过构建层次结构模型，可以将复杂的决策问题 分解为多个层次，使得决策过程更加清晰和有条 理。
02 在应用层次分析法时，需要构建判断矩阵，并进 行一致性检验，以确保决策的合理性和准确性。
02
层次分析法的基本原理
层次结构模型的建立
01 明确问题
首先需要明确问题的目标，并确定相关的因素， 将因素按照属性不同分为不同的层次，形成层次 结构。
数学建模-层次分析法讲义
层次分析模型讲义人们在日常生活中常常会碰到许多决策问题：买一件衬衫，你要在棉的、丝的、涤纶的……及花的、白的、方格的……之中作出抉择；请朋友吃饭，要筹划是办家宴或去饭店，吃中餐、西餐或是自助餐；假期旅游，是去风光绮丽的苏杭，还是去迷人的北戴河海滨，或是去山水甲天下的桂林。
如果以为这些日常小事不必作为决策问题认真对待的话，那么当你面临报考学校、挑选专业或者选择工作岗位的时候，就要慎重考虑、反复比较，尽可能地作出满意的决策了。
从事各种职业的人也经常面对这样或那样的决策：一个厂长，要决定购买哪种设备，上马什么产品；科技人员要选择研究课题；医生要为疑难病症确定治疗方案；经理要从若干应试者中选拔秘书；各地区各部门的官员则要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。
人们在处理上面这些决策的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但一个共同点就是它们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素。
在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人们的主观选择也起着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来实质上的困难。
T. L. Saaty 等人在七十年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的使用方法，称为层次分析法（AHP ）。
这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。
下面介绍层次分析法的基本步骤和应用实例。
例1：假期旅游，有321,,P P P 三个旅游胜地供你选择，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食、旅途等一些准则去反复比较那三个候选地点，最终决策去哪个旅游地。
一、建立层次结构模型层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维判断过程大体上是一样的。
此例中，首先，你会确定这些准则在你的心目中占有多大比重，如果醉心旅游，自然会更看重景色；而平时俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用；中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄予较大关注。
其次，你会就每一个准则将三个地点进行对比，譬如1P 景色最好，2P 次之；2P 费用最低，3P 次之等。
(完整版)数学建模之层次分析法
层次分析法层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。
该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
缺点：（1）层次分析法的主观性太强，模型的搭建，判断矩阵的输入都是决策者的主观判断，往往会因为决策者的考虑不周、顾此失彼而造成失误。
（2）层次分析法模型的内部结构太过理想化，完全分离、彼此独立的层次结构在实践中很难做到。
（5）层次分析法只能从给定的决策方案中去选择，而不能给出新的、更优的策略。
1.模型的应用用于解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析。
（1）公司选拔人员，（2）旅游地点的选取，（3）产品的购买等，（4）船舶投资决策问题（下载文档），（5）煤矿安全研究，（6）城市灾害应急能力，（7）油库安全性评价，（8）交通安全评价等。
2.步骤①建立层次结构模型首先明确决策目标，再将各个因素按不同的属性从上至下搭建出一个有层次的结构模型，模型如下图所示。
目标层准则层方案层目标层：表示解决问题的目的，即层次分析要达到的总目标。
通常只有一个总目标。
准则层：表示采取某种措施、政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节。
方案层：表示将选用的解决问题的各种措施、政策、方案等。
通常有几个方案可选。
注意：（1）任一元素属于且仅属于一个层次；任一元素仅受相邻的上层元素的支配，并不是任一元素与下层元素都有联系；（2）虽然对准则层中每层元素数目没有明确限制，但通常情况下每层元素数最好不要超过 9 个。
这是因为，心理学研究表明，只有一组事物在 9 个以内，普通人对其属性进行判别时才较为清楚。
当同一层次元素数多于 9 个时，决策者对两两重要性判断可能会出现逻辑错误的概率加大，此时可以通过增加层数，来减少同一层的元素数。
②构造判断（成对比较）矩阵以任意一个上一层的元素为准则，对其支配的下层各因素之间进行两两比a重要程度的衡量用Santy的1—9较。
数学建模层次分析法
(Analytic Hierarchy Process) 建模
数学建模
模型背景 基本步骤 应用实例
一、模型背景
❖ 美国运筹学家匹兹堡大学教授Saaty在20世纪70 年代初提出的一种层次权重决策分析方法。
❖层次分析法(Analytic Hierarchy Process简称AHP) 是一种定性和定量分析相结合的决策分析方法。
对总目标Z的排序为
A1
A2
Am
a1, a2 ,, am
B层n个因素对上层 A中因素为 Aj
其层次单排序为
B1
B2
Bn b1 j ,b2 j ,,bnj ( j 1,2,, m)
层次 A A1
层次 B a1
B1
b11
B2
b21
.
.
.
.
.
.
Bn
bn1
A2 … Am B 层次总
a2
… am 排序权值
RI 0i RIi 0.58 i 1
CR CI / RI 0.087 / 0.58 0.015 0.1
C5
0.118 0.166 0.166 0.668
层次P的 总排序
0.3 0.246 0.456
层次分析法的优点
系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合 的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统 计分析之后发展起来的系统分析的重要工具；
w(2) (0.263, 0.475, 0.055, 0.090, 0.110)T
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
方案层对C1(景色)的 成对比较阵
方案层对C2(费用)的 成对比较阵
…Cn
数学建模-层次分析法
1 1/ 3 1/ 8 B2 3 1 1/ 3 1 8 3
1 3 1 B3 1 1 3 1 / 3 1/ 3 1
1 3 4 B3 1/ 3 1 1 1/ 4 1 1
1 1 1/ 4 B5 1 1 1/ 4 4 4 1
,
i
k 1
4)若mk max ui ui
i
, 停止；否则，k k 1, 转2）
n
最大特征值的近似值
1 ui k n i 1 wi
k 1
wi
1 n
j 1
n
aij
a
k 1
n
n
kj
ij 1. 将A的每一列向量归一化得 w
3
0.4286 0.4286 0.1429
4
0.6337 0.1919 0.1744
5
0.1667 0.1667 0.6667
k
CRk
3.0055 0.0048
3.0015 0.0013
3.0000 0
3.0092 0.0079
3 0
由上表知A以及各Bk均通过一致性检验! 注意:若以上有没通过一致性检验者,则必须返回重新构造判断矩阵(叫一致性改进)!
n aij j 1 wi 1 n n n akj k 1 j 1
ij 1. 将A的每一列向量归一化得 w aij
1 n
a
i 1
n
ij
~ 按行求积再开根得 w i 2. 对 w ij
i w ~ w , 3. 将 wi归一化 i n w
w(0.58,320.9)T,3.01 Bk
数学建模的层次分析法
1、层次分析法的基本概念
1、层次分析法的基本概念
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种广泛应用于数学 建模中的方法。它通过将复杂问题分解为多个层次，帮助我们更好地理解和解决 实际问题。层次分析法的基本原理是将一个复杂问题分解为多个相关因素，并根 据这些因素之间的相对重要性进行排序。
3、层次分析法的实际应用
(4)权重计算：通过计算判断矩阵的特征向量，得到每个因素的权重值。 (5)一致性检验：对判断矩阵进行一致性检验，以确保得到的权重值是合理的。
3、层次分析法的实际应用
(6)结果分析：根据权重值的大小，对每个因素进行分析，从而得到问题的解 决方案。层次分析法在多目标决策、资源分配、风险评估等领域有着广泛的应用。 例如，在多目标决策中，层次分析法可以帮助我们确定各目标的权重，从而得到 最优解。
三、大学生毕业设计质量评价的 数学模型建立
三、大学生毕业设计质量评价的数学模型建立
1、确定评价指标：根据模糊层次分析法的原理，我们首先需要确定评价指标 体系。选取与毕业设计质量相关的指标，建立多级递阶结构，其中一级指标为选 题质量、设计过程、成果质量等，二级指标为选题难度、选题新颖性、设计规范 性等。
2、数学建模在各领域的应用
在科学研究领域，数学建模被广泛应用于物理学、化学、生物学等学科。例 如，牛顿第二定律、万有引力定律等都是通过数学建模得到的。在工程技术领域， 数学建模也发挥着重要的作用。例如，桥梁设计、建筑设计等领域都需要用到数 学建模来分析结构稳定性和安全性。此外，数学建模在金融、经济、社会等领域 也有着广泛的应用。
参考内容
一、引言
一、引言
随着高等教育的普及化，大学生毕业设计的质量评价已成为一个重要的研究 领域。毕业设计是大学生综合素质和教育水平的直接体现，因此，对其质量进行 科学、客观的评价至关重要。本次演示将介绍一种基于模糊层次分析法（Fuzzy Analytic Hierarchy Process，FAHP）的大学生毕业设计质量评价数学建模方 法，旨在为提高毕业设计质量和评价效率提供有效手段。
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准则层
调动职工 积极性C1
提高企业 技术水平C2
改善职工 生活水平C3
方案层
发奖金P1
建福利 设施P2
请职工 进修P3
建图 书馆P4
引进新 设备P5
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也就是说，对于资金使用这个问 题来说，模型结构分为三层。最高为 目标层，即合理使用资金；中间为准 则层，即合理使用资金的三个准则： 调动职工积极性，提高企业技术水平 和改善职工生活；最下一层为方案层, 即可供选择的方案。
目标层外，每个元素至少受上一层一 个元素支配；除方案层外，每个元素 至少支配下一层一个元素；同一层次 元素不存在支配关系。 建立层次结构的关键是能否构造 出合理的满足一定支配关系的准则。
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四、比较判断矩阵的构造
由于在决策者心目中，各准则对 目标的影响程度不同，各方案对每个 准则的影响程度也不同，所以建立层 次结构后的首要任务是确定各准则对 目标以及各方案对每个准则的权重。 层次分析法确定上述权重的方法 是构造准则层和方案层的比较判断矩 阵。
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其理论依据是什么？ 8. 如何进行一致性检验，如何理解一 致性指标CI、平均随机一致性指标 RI、一致性比例CR？ 9. 何谓层次总排序？ 10. 层次总排序的步骤和原理。 11. 如何进行层次总排序的一致性检 验？
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12. 当一致性检验未通过时，如何对 判断矩阵进行调整？ 13. 层次分析法的缺陷及解决办法。 14. 层次分析法软件的使用。 15. 层次分析法建模实例。
很容易办到，选最胖者也不难，但要 挑选一个最高、最胖且最帅的人就不 容易了。 此类决策问题的困难主要在于: (1) 有的指标不易量化; (2) 有些指标 相互关联，甚至相互矛盾，导致决策 复杂化。
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层次分析法(AHP)是美国运筹学 家Lsaaty在20世纪70年代初提出的一 种定性分析与定量分析相结合的多准 则决策方法，简单、实用，特别适用 于人的定性判断起重要作用，对决策 结果难于直接准确计量的问题。
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恒有 max； (3) max 为A的单特征值，因而它 所对应的特征向量除相差一个常数因 子外是唯一的。 下面再给出两个定理，这两个定 理分别是权重排序原理和一致性检验 原理的理论基础。 定理1 若A为一致矩阵，则
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(1) A必为正互反矩阵； (2) A的任意两行(列)成比例； (3) A的最大特征值 max n，n为 A的阶，从而A的其余特征值均为零; (4) 若A的最大特征值 max 对应的 T 特征向量为 W w1 , w2 ,, wn ，则 aij wi w j ，即
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2. 方案层比较判断矩阵的构造 类似地可以构造出各方案对每个 准则的比较判断矩阵。 例如，例1中的各方案对每个准 则的比较判断矩阵可以设为
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P1 1 2 3 4 P2 1 2 1 3 2 B1 P3 1 3 1 3 1 1 2 1 4 1 2 2 P4 1 P5 1 7 1 5 1 2 1 3 P2 1 1 7 1 3 1 5 7 1 P3 5 3 B2 P4 3 1 5 1 1 3 5 1 3 3 P5 1
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人们在日常活动中，常常会面对 一些决策问题。例如，大学生选择职 业时，往往会从专业对口、发展潜力、 待遇收入等多方面考虑和决策。 许多决策问题是一个由相互关联、 相互制约的众多因素构成的复杂系统， 很难用通常的数学模型解决。 例如，在一群人中挑个子最高的
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7 5 2 3 1
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P1 1 1 1 P2 1 B3 P3 1 3 1 3 1 3 1 3 P4
3 3 3 3 1 1 1 1
构造出判断矩阵后，即可对判断 矩阵进行单排序计算。在各层次排序 后还要进行各层次总排序，其中还存 在着判断矩阵的一致性检验问题。
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1. 准则层比较判断矩阵的构造 下面介绍准则C1,C2,…,Cn对目标 Z的权重的确定方法。 在复杂问题中，准则的权重很难 直接获得且不易定量化。Saaty提出 可用对准则两两比较的方法来确定权 重，即每次取两个准则Ci和Cj，用aij 表示Ci和Cj对Z的影响之比, 全部比较
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判断矩阵的确定具有很强的主观 性。比如，在例1中，假定企业领导 对于资金使用的态度是：首先是提高 企业的技术水平，其次是改善职工生 活条件，最后是调动职工积极性，则 准则层对目标层的比较判断矩阵可以 设定为
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C1 C2
C3
C1 1 1 5 1 3 5 1 A C2 3 C3 3 1 3 1 显然，若 C i 和C j 对Z的影响之比
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w1 w 1 w2 w A 1 w n w1
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w1 w2 w2 w2 wn w2
w1 wn w2 wn wn wn
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定理2 若A为n阶正互反矩阵，则
(1) max n ； (2) A为一致矩阵 max n 。 尽管上述结论的证明并不复杂， 有些内容还是考研中的常见内容，如 定理1的(2)和(3)，但绝大部分学生理 解起来还是比较困难。 不过这并没有关系，因为我们只 要利用这两个定理得出排序和一致性
层次分析法首先要把决策问题层 次化。所谓层次化就是根据问题的性 质以及要达到的目标，将问题分解为 不同的因素，并按各因素间的隶属关 系和关联程度分组，形成一个不相交 的层次。 下面通过一个实例来说明构造层 次以及层次分析法的决策过程。
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例1 假设某企业领导要决定一笔 资金如何使用。经过调研，现有下列 方案可供选择： (1) 作为奖金发给职工； (2) 扩建宿舍和食堂等福利设施; (3) 举办职工进修班； (4) 建图书馆、俱乐部等； (5) 引进新设备进行技术改造。
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建立问题的层次结构是层次分析 法中最重要的一步。通常，层次结构 分为三层，最高层只有一个元素，即 决策者要达到的目标；中间层为衡量 目标是否达到的若干判断准则；最低 层为备选的具体方案。 上一层次的元素对相邻的下一层 次的全部或部分元素起支配作用。除
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含义 表示两个元素相比，具有同样的重要性。 表示两个元素相比，前者比后者稍重要。 表示两个元素相比，前者比后者明显重要。 表示两个元素相比，前者比后者极其重要。 表示两个元素相比，前者比后者强烈重要。 表示上述相邻判断的中间值。
若元素i和元素j的重要性之比为aij ，那么元素j与元素 i的重要性之比为aji=1/ aij 。
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阵 max n ，就这意味着max比n大 得越多， A的不一致程度就越严重。 因此，可以用 max n CI n 1 作为衡量不一致程度的数量指标， CI称为一致性指标。 CI其实即为除最大特征值以外 的其余特征值的负平均值。
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标度将人的主观判断进行客观量化， 在此基础上进行定性和定量分析。 层次分析法大致可分为下面四个 步骤： (1) 建立递阶层次结构； (2) 构造比较判断矩阵； (3) 单准则排序和一致性检验； (4) 层次总排序和一致性检验。
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三、递阶结构层次的建立
2013数学建模培训
第三讲 层次分析法
一、引 言
层次分析法是数学建模竞赛中的 常用方法。在数学建模竞赛论文中， 时常能看到层次分析法。 需要提醒大家注意的是，有些学 生没有搞清楚层次分析法的特点、原 理、优缺点及局限性，在建模中随意 乱用层次分析法。 在本讲中，大家首先要搞清楚层
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检验的方法即可。 根据定理1中的结论(4)，可以得 出确定排序向量的下列方法： 求出比较判断矩阵A最大特征值 max 的特征向量W，经归一化后即为 各准则对目标或各方案对某准则的排 序权重向量。 可借助软件求特征值特征向量。
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2. 比较判断矩阵的一致性检验 虽然构造比较判断矩阵时，不要 求具有严格的一致性，但一个混乱、 不一致的比较判断矩阵有可能导致决 策的失误，所以我们希望在判断时应 大体一致，从而对每一层在做单准则 排序时，均需要做一致性检验。 根据定理2， max n 且A为一致矩
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五、单准则排序与一致性检验
1. 单准则下的排序 根据比较判断矩阵确定某层各元 素对上层某元素相对权重排序的过程 称为单准则下的排序。通常有各方案 对某准则的权重排序和各准则对目标 的权重排序。 计算权重的方法有多种，比较成 熟的是特征根方法。
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特征根方法的理论依据是Perron 定理，它保证了所得到的排序向量的 正值性和唯一性。 Perron定理 设n阶方阵A>0， max 为A的模最大特征值，则 (1) max为正特征值，且对应的特 征向量为正向量； (2) 对于A的任何其它特征值 ,
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从调动职工工作积极性，提高职 工文化技术水平和改善职工物质文化 生活条件来看，这些方案都有其合理 因素。如何使得这笔资金更合理地使 用，就是企业领导面临的决策问题。 注意 在建模实际问题中, 如需用 层次分析法，则首先要根据问题的特 点建立适当的层次。
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请大家揣摩本题中构造层次结构 的思路与过程。 通过分析，上述方案都是为了更 好地调动职工工作积极性，提高企业 技术水平和改善职工物质文化条件， 而最终目的是为了企业进一步发展， 增强企业的竞争力。 据此，可以建立下列层次结构：